Chapitre VI.
Les classifications multiplicatives (matrices) ^{1 a} 🔗

Soit un jeu d’éléments à doubles caractères (par exemple des carrés et des cercles, rouges et bleus) pouvant être répartis de façon exhaustive en deux classes A₁ et A’₁ selon l’un de leurs caractères (A₁ = carrés et A’₁ = cercles) et également en deux classes A₂ et A’₂ selon l’autre de leurs caractères (A₂ = rouges et A’₂ = bleus). Nous appellerons B₁ la réunion des deux premières classes (formes), soit B₁ − A₁ + A’₁, et B₂ la réunion des deux secondes (couleurs), soit B₂ = A₂ + A’₂. La classification multiplicative consistera alors à classer ces éléments à la fois selon la classification additive B₁ et selon la classification additive B₂, ce qui engendrera quatre classes distinctes :

B₁ × B₂ = A₁ A₂ + A₁ A’₂ + A’₁ A₂ + A’₁ A ₂ = B₁ B₂

Si l’on désire alors répartir ces quatre classes multiplicatives de manière à conserver un voisinage entre les sous-classes relevant de la même classe additive (par exemple, pour la classe A₁, mettre A₁ A₂ dans le voisinage de A₁ A’₂, mais, pour la classe A₂, mettre aussi A₁ A₂ dans le voisinage immédiat de A’, AA, il n’est qu’une disposition spatiale possible, qui est celle d’une matrice (ou table à double entrée) à deux dimensions : en ce cas les classes A₁ et A’₁ correspondent aux deux colonnes verticales et les classes A₂ et A’₂ aux deux rangées horizontales (ou vice versa), ce qui préserve le voisinage de leurs sous-classes. Bien entendu, rien n’oblige à conserver les voisinages, et la classification demeure la même dans l’abstrait, mais, de même que les emboîtements additifs sont symbolisés par des enveloppements topologiques (les cercles d’Euler) auxquels ils sont isomorphes, de même les emboîtements multiplicatifs ne peuvent être symbolisés que par de telles intersections à deux ou plusieurs dimensions.

Il est alors facile de vérifier les deux affirmations que nous venons de soutenir en introduisant ce chapitre : qu’une telle structure est plus complexe que les classifications additives, mais qu’elle correspond à une disposition spatiale telle que les sujets du stade I peuvent l’interpréter à titre de « collection figurale ».

Pour ce qui est du premier de ces deux points, on se rappelle les 10 critères de la classification additive (chap. II, § 1) qui sont tous observés dès le stade III et dont tous sauf l’inclusion (critère 7) sont déjà en voie d’application dès le stade II. Or, ces critères s’appliquent également tous à une classification multiplicative (puisqu’elle est un composé de classifications additives). Mais il s’y ajoute deux critères nouveaux et leurs conséquences, que nous numéroterons 11 à 14 :

(11) Tous les éléments de B₁ appartiennent aussi à B₂ et réciproquement, c’est-à-dire que tous les éléments de B₁ sont multipliés par B₂ [p. 155] (et non pas seulement certains d’entre eux), et réciproquement. S’il existe des B₁ n’appartenant pas à B_i (par exemple des carrés et cercles, du matériel offert à l’enfant, qui ne seraient pas seulement rouges ou bleus, mais également noirs) cela signifierait que, pour qu’elle soit complète, il faudrait ajouter à la classification une classe B’₂ (= les noirs), ce qui donnerait une table à six casiers, soit B₁ × C₂ = (A₁ A₂ + A₁ A’₂ + A₁ B’₂) + (A’₁ A₂ + A’₁ A’₂ + A’₁ B’₂). En ce cas tous les éléments de B₁ appartiendraient à C₂ et réciproquement.

(12) Tous les éléments de A₁ appartiennent aussi à A₂ ou à A’₂ (etc., mais pas aux deux à la fois en vertu du critère 5 de disjonction : A₂ × A₂ = 0) ;

tous les éléments de A’₁ appartiennent aussi à A₂ ou à A’₂,

tous les éléments de A₂ appartiennent aussi à A₁ ou à A’₁

et tous les éléments de A’₂ appartiennent aussi à A₁ ou à A’₁.

(13) Les sous-classes A₁ et A’₁ (etc.) ne comprennent que des éléments appartenant aussi à A₂ ou à A’₂ (etc.) et les sous-classes A₂ et A’₂ (etc.) ne comprennent que des éléments appartenant aussi à A₁ ou A’₁ (etc.).

(14) Chaque association élémentaire A₁ A₂ ou A₁ A’₂, etc., constitue une classe multiplicative et n’en constitue qu’une seule.

Mais, d’autre part, il est évident que la table à double entrée ou matrice constitue une disposition figurale qui est caractérisée par une certaine configuration perceptive à base de symétries. Dans le cas où A₁ + A’₁ sont des carrés et des cercles et A₂ + A’₂ des rouges et des bleus, les carrés de A₁ A₂ font symétrie avec ceux de A₁ A’₂ pendant que les cercles de A’₁ A₂ font symétrie avec ceux de A’₁ A’₂ et les rouges de A₁ A₂ font symétrie avec ceux de A’₁ A₂ pendant que les bleus de A₁ A’₂ font symétrie avec ceux de A’₁ A’₂ : il y a donc une double symétrie générale déterminée par les axes horizontaux et verticaux, qui correspond aux complémentarités logiques (par négation) du tableau.

Or, ce facteur de configuration perceptive et représentative est même si important que, sous certaines conditions, il peut non seulement faciliter, mais encore provoquer à lui seul la solution d’épreuves que l’on serait, au premier abord, tenté de considérer comme opératoires mais qui comportent en fait une solution relevant de la méthode des simples « collections figurales ». Tel est le cas notamment des épreuves dites de « matrices », par exemple les « Progressive Matrices » de Raven, dans lesquelles on fournit la table multiplicative toute faite, avec trois casiers déjà remplis sur quatre (ou cinq sur six dans les matrices « prolongées » du type B₁ × C₂), et où le sujet est simplement prié de compléter la table en remplissant le dernier casier ; ce qui revient donc à dire que, A₁ A₂, A₁ A’₂ et A’₁ A₂ étant donnés, il s’agit sans plus de trouver A’₁ A’₂. En une telle situation, il est alors clair que, non seulement les critères 1 à 10 de la classification additive sont déjà satisfaits d’avance, mais encore que les critères multiplicatifs 11 à 13 le sont également en partie : les trois éléments donnés sont déjà classés selon B₁ et B₂ à la fois ; [p. 156] les deux éléments de A₁ appartiennent déjà à A₂ ou à A’₂ ; l’élément donné A’₁ appartient à A₂ et il ne reste qu’à trouver un A’₁ appartenant à A’₂ ; les deux éléments A₂ appartiennent déjà à A₁ ou à A’₁ ; l’élément donné A’₂ appartient à A₁ et il ne reste qu’à trouver un A’₁ appartenant à A’₁ ; la sous-classe A₁ ne contient que des A₂ et des A’₂ et la sous-classe A₂ ne contient que des A₁ et des A’₁. Bref, les conditions propres à la classification multiplicative opératoire sont déjà remplies dans la configuration perceptive de la matrice, en ce qui concerne les éléments donnés, et il ne reste, pour le quatrième élément devant être trouvé, qu’à prolonger ces propriétés figurales en se servant des symétries gauche × droite et haut × bas établies de façon perceptible pour les trois premiers éléments.

Autrement dit, il existe, dans la disposition spatiale utilisée par les matrices, une préfiguration perceptive des conditions de la classification opératoire basée sur la multiplication bi-univoque des classes, et cette préfiguration peut conduire à des réussites qui ne nécessiteront l’emploi d’aucune opération et qui seront fondées sur le seul jeu des rapports de ressemblance et de différence structurés en fonction de la double symétrie de la table.

Mais ce qui complique l’analyse psychologique est que, bien entendu, le sujet pourra compléter ses structurations figurales par un ensemble de mises en relation plus ou moins opératoires, c’est-à-dire relevant de tous les niveaux compris entre les stades I et III. Il en résulte qu’il sera très difficile de dissocier les facteurs d’opération et de configuration, et cela d’autant plus que leur dosage dépendra en partie de la nature des données fournies. Pour passer de la solution par la méthode des collections figurales à la solution opératoire, il suffira, en effet, que le sujet raisonne en termes de classes et non plus de configurations, c’est-à-dire qu’il attribue les ressemblances et les différences aux éléments comme tels, indépendamment de leur disposition spatiale. Mais c’est précisément ce qu’il est fort malaisé d’établir. La méthode consistera naturellement à ne pas se borner à l’étude des matrices à compléter, mais à prier aussi les sujets de construire eux-mêmes leurs classifications, jusqu’au niveau des tables à double entrée spontanées. Seulement, ici encore, le sujet peut procéder ou par opérations multiplicatives ou par collections figurales, avec tous les intermédiaires entre deux.

Par contre, si l’analyse est difficile, le problème à résoudre est clair et consiste à choisir entre les trois interprétations suivantes :

(1) Les structures opératoires ne dériveraient pas des structures figurales, l’opération multiplicative apparaissant indépendamment des configurations, tout en pouvant être retardée, facilitée et aussi remplacée par elles.

(2) Les structures opératoires, préfigurées par les configurations, dériveraient directement des conduites relatives à ces dernières.

(3) Les structures opératoires multiplicatives, tout en passant comme les structures additives par un stade où prédominent les collections figurales, relèveraient avant tout d’une coordination ou organisation assimilatrice d’ensemble, qui généraliserait au fur et à mesure, dans le [p. 157] cas des multiplications, ce qui est acquis dans le domaine des classifications en général (avec progrès parallèles dans les classifications additives et multiplicatives).

La solution (1) conduirait à une discontinuité nette entre les stades primitifs et terminaux, la solution (2) à une continuité complète et la solution (3) à une discontinuité relative due à l’action successive des configurations propres à la multiplication (matrices) et de la cohérence progressive des systèmes opératoires. Plus précisément, en comparant les réactions des sujets aux tests de matrices et aux situations exigeant une classification multiplicative spontanée, on devrait trouver, pour vérifier la solution (1), une discontinuité dans les deux cas, pour la solution (2) une continuité dans les deux cas et, pour la solution (3), certaines discontinuités relatives dans le premier cas et une continuité dans le second.

Le matériel utilisé a consisté en 14 matrices de quatre à six objets (dont un à déterminer) groupés selon la forme, la couleur, la grandeur, le nombre et l’orientation (il s’agit en ce dernier cas d’animaux dont la tête est dirigée à gauche ou à droite) ².

Les sujets : 14 de 4-5 ans, 16 de 6-7 ans et 17 de 8-9 ans. Toutes les épreuves sauf deux sont réussies à 8-9 ans par le 75 % des cas.

Or, le résultat intéressant a été d’obtenir pour certaines de ces épreuves un pourcentage de réponses correctes plus élevé à 4-5 ans qu’à 6-7 ans : voir le tabl. XIII. (Il s’agit ici des résultats d’une étude clinique qui seront contrôlés avec un matériel restreint de façon standardisée.)

Tableau XIII. Résultats des épreuves de matrices ( % des réussites)

F = forme, C = couleur, G = grandeur, N = nombre, T = orientation, I = 3 modèles à choix, II = 6 modèles à choix (aucune indication équivaut à I). Entre parenthèses le nombre des épreuves.

À lire ce tableau, on constate ce fait paradoxal que, si les épreuves à deux qualités donnent lieu à une réussite croissante avec l’âge (sauf celle où intervient le nombre, qui donne un résultat constant de 4 à 7 ans), les épreuves à trois qualités par contre, qui comportent donc une multiplication plus complexe et plus difficile, donnent dans les trois cas FCTI (1) et FCGI (2) une réussite moyenne meilleure à 4-5 ans qu’à 6-7 ans, avant de remonter quelque peu à 8-9 ans : or, il s’agit précisément des trois épreuves les moins bien réussies à 8-9 ans, par opposition à celles à deux qualités, ce qui vérifie bien leur caractère opératoirement plus compliqué.

[p. 158] Il y a d’ailleurs une exception à cette réussite précoce des épreuves à trois qualités, mais peut-être s’explique-t-elle sans contredire ce qui précède : c’est le cas des épreuves où l’on offre à choix six (ou même sept) modèles, dont un seul est correct. Il est alors possible que cette circonstance entraîne une difficulté supplémentaire pour les petits et d’un caractère différent, qui est la difficulté à comparer simultanément trop d’éléments à choix, au lieu des trois superposés que l’on utilise dans les épreuves habituelles ³.

Si les petits de 4-5 ans (stade I) réussissent ainsi les trois épreuves de matrices à trois qualités (et avec trois éléments à choix) dans le 53 à 60 % des cas contre 44-46 % à 6-7 ans, et presque aussi bien que les sujets de 8-9 ans (61-64 %), c’est donc évidemment qu’ils emploient une autre méthode que les grands pour résoudre le problème : une méthode dont l’application serait moins fréquente à 6-7 ans (stade II), parce que la méthode propre aux grands serait déjà essayée par les sujets du stade II, mais avec difficulté, et ne se développerait qu’au cours du stade III. Or il nous suffit de nous référer aux caractères principaux de ces trois stades (collections figurales, collections non figurales et opérations constitutives de l’inclusion) pour comprendre en quoi doit consister cette différence de méthodes : tandis que les grands (à partir du stade II) cherchent à raisonner sur les objets et sur leurs trois qualités à la fois (ce qui est assurément plus difficile que de raisonner sur deux caractères seulement), les petits du stade I raisonnent moins qu’ils ne regardent, et se fondent sur la configuration comme telle, par opposition aux éléments ou objets. Choisissant alors le quatrième élément en fonction des symétries figurales et non pas des relations conceptuelles, ils ne sont pas gênés par la présence de trois qualités au lieu de deux, car il n’est pas plus malaisé de percevoir trois caractères que deux, tandis qu’il est moins facile de raisonner sur les trois que sur les deux. Au contraire, la présence d’une troisième qualité renforce les symétries figurales, et ceci à tel point que ces petits de 4-5 ans, qui réussissent donc au 53-60 % les épreuves à trois qualités, n’atteignent que le 43-46 % dans les épreuves à deux qualités (sauf celle qui fait intervenir les nombres figuraux, c’est-à-dire un facteur spécialement puissant de symétrie).

Il semble donc clair qu’il existe une méthode figurale ou quasi perceptive de solution au problème des matrices à trois qualités, méthode antérieure à la solution opératoire. Or, si cette hypothèse est exacte, on doit pouvoir le vérifier par l’examen individuel et clinique (interrogation) des procédés utilisés par les sujets. En réalité, cette vérification [p. 159] est possible mais moins facile qu’il ne semblerait, car si, dans les grandes lignes, les petits ne savent guère justifier leur choix, rien ne les empêche, après qu’ils ont trouvé le quatrième élément par des procédés qu’ils ne savent pas analyser en eux-mêmes, de décrire les quatre éléments en termes conceptuels et verbaux corrects, ce qui donne l’impression qu’ils ont utilisé une méthode analogue à celle des grands. Contentons-nous donc pour le moment d’une comparaison des erreurs des grands (lorsqu’il y a erreur) avec les réussites des petits (au prochain paragraphe, nous utiliserons une technique plus fine consistant à proposer d’autres choix au sujet et à examiner ses réactions au double point de vue de la justification et de la stabilité des choix).

Partons de l’épreuve 8. Du point de vue des opérations logiques, on se trouve en présence de trois couples de qualités : A₁ (carrés) et A’₁ (cercles) ; A₂ (grands) et A’₂ (petits) ; A₃ (blancs) et A’₃ (rayés). Les trois associations A₁ A₂ A₃ (1) + A₂ A’₂ A’₃ (2) + A’₁ A₂ A₃ (3) étant données, il s’agit de trouver (4) A’₁ A’₂ A’₃ (ce qui signifie que la table ne prévoit pas les 9 combinaisons possibles, mais seulement 4, du fait que A₂ A₃ constitue un tout nié en bloc sous la forme A’₂ A’₃). Psychologiquement cela suppose donc que, en cherchant le A’₁ (cercle) qui ne soit pas A₂ A₃ (grand et blanc), le sujet pense à la fois aux caractères A’₂ (petit) et à A’₃ (non-blanc = rayé). Le problème est alors de comprendre pourquoi les jeunes sujets parviennent si facilement à tenir compte de ces deux caractères à la fois et pourquoi tant de sujets de 8-9 ans n’y parviennent pas. Voici trois exemples :

Bab (5 ; 7) dit simplement « Il faut mettre un rond rayé » sans faire mention de la taille, mais en choisissant sans hésiter le petit.

Chap (6 ; 0) choisit correctement. « Pourquoi celui-là ? — Là (1) il y a un carré sans ligne et là (2) avec des lignes. Là (1) un gros et là (2) un petit (il énonce donc les trois caractères et ajoute spontanément :) Si le grand rond (3) était rayé il faudrait mettre (en 4) celui-là (petit rond blanc). Si le grand carré (1) était rayé, le petit carré rayé (2) devrait être blanc ! »

Hei (7 ; 9) choisit d’abord (pour 4) le grand carré rayé A₁ A₂ A’₃ en ne pensant qu’à la couleur (A’₃) et en oubliant la forme (A’₁) et la grandeur (A’₂). Puis il choisit le grand cercle rayé (A’₁ A₂ A’₃) en oubliant la grandeur (A’₂). « Ça va ? — Oui, parce que ça (4) a des raies et ça aussi (2 = A₁ A’₂ A’₃). — Et ça va bien horizontalement ? — Ah ! non, il faut mettre le petit cercle rayé (A’₁ A’₂ A’₃) et pas le grand (il met juste). — Ça va bien maintenant ? — Oui, on a blanc et rayé (montre 1 et 2), et blanc et rayé (montre 3 et 4). »

Or, à comparer ces tâtonnements du sujet Hei de 7 ; 9 aux réactions immédiatement correctes des petits de 5 ; 7 et 6 ; 0 (Bab et Chap), il paraît difficile de ne pas reconnaître l’influence des deux méthodes distinctes dont nous supposions plus haut l’existence. Si Hei oublie deux caractères sur trois puis un sur trois, c’est probablement qu’il cherche à raisonner et qu’il est alors plus malaisé de penser à trois choses à la fois qu’à deux ou à une seule. Si Bal et Chap réussissent au contraire d’emblée à trouver le bon élément, c’est vraisemblablement qu’ils ne raisonnent pas à proprement parler : ils regardent au lieu de réfléchir et se fondent [p. 160] alors sur les symétries figurales et non pas sur les transformations conceptuelles, ce qui ne les empêche pas, une fois le choix fait, de décrire les quatre éléments en termes notionnels et verbaux corrects. Il est frappant, en effet, de constater que Hei ne parvient pas tout seul à reconnaître que son choix (de A₁ A’₂ A’₃) ne convient pas « horizontalement » : il faut qu’on le lui demande, comme s’il ne tenait pas compte de la configuration d’ensemble. Les jeunes sujets, au contraire, partent de la figure et la traitent à la manière d’une bonne forme incomplète, en comblant la lacune en fonction des symétries. En un mot, sous l’identité apparente des expressions s’opposent le raisonnement sur les objets en tant que classes selon trois systèmes à coordonner et la réaction à la figure d’ensemble avec ses symétries multiples simultanément perçues.

C’est ce que permet de contrôler l’épreuve 5, la plus difficile du groupe 5, 8 et 10 puisqu’elle ne donne lieu à aucune amélioration sensible avec l’âge (44 % de réussite à 4-5 ans, 35 % à 6-7 ans et 52 % à 8-9 ans). La structure logique de cette épreuve 5 ne repose pas sur une multiplication simple de classes, mais y ajoute pour la troisième qualité (A₃ et A’₃) une distribution vicariante. En effet, si A₁ correspond à des anémones et A’₁ à des tulipes, A₂ aux petits dessins et A’₂ aux grands, A₃ correspond simplement à l’une des deux couleurs (rouge ou bleue) et A’₁ à l’autre, selon une répartition croisée (1 rouge, bleu en 2 et en 3 et 4 rouge). C’est pourquoi les sujets du stade III éprouvent encore une certaine difficulté à résoudre cette épreuve et n’y parviennent que par approximation :

Baz (7 ; 9) choisit pour la case 4 une grande anémone bleue (au lieu d’une petite tulipe rouge) : « Ça va horizontalement ! — Non (met une petite tulipe bleue). Comme ça ! — Regarde ici (ou montre la première rangée horizontale). — Ah ! oui (il met une petite tulipe rouge) parce que c’est le contraire de chaque côté. »

Or, les petits procèdent par une méthode bien plus simple (qui subsiste d’ailleurs en de nombreux cas chez les grands) : ils se bornent à regarder les symétries de la figure et s’orientent d’après les diagonales. Par exemple :

Bab (5 ; 7) : « Il faut mettre une petite (tulipe), la rouge (juste). — Pourquoi ? — Parce que là (3) il y a bleu : là (1) c’est rouge et là (2) c’est bleu. »

Mei (5 ; 10) met d’abord une petite tulipe bleue puis s’écrie spontanément : « Ah ! Il faut mettre ça (rouge) parce que ça fait comme ça (montre les diagonales). »

De même, dans l’épreuve 10 (forme, couleur, orientation), les grands oublient ou la couleur ou l’orientation, mais surtout cette dernière parce qu’il s’agit d’un caractère relatif et non pas inhérent aux propriétés permanentes de l’objet considéré. Au contraire, par leur méthode figurale les petits voient d’emblée que l’élément 4 doit être placé symétriquement par rapport à 3 comme 2 par rapport à 1.

En bref, il semble exister un correspondant figural des structures de multiplication bi-univoque des classes : il consiste à remplacer les [p. 161] réciprocités propres à la correspondance bi-univoque par de simples symétries spatiales, accessibles à la perception et à la représentation imagée. C’est pourquoi on observe un niveau de réussite précoce à 5-6 ans, pour les épreuves à trois qualités, qui préfigure sur le plan figural le niveau des réussites opératoires de 8-9 ans.

Mais, si les épreuves à trois qualités nous donnent ainsi la preuve d’une certaine préfiguration des structures multiplicatives opératoires dans le domaine des collections figurales, et d’une certaine discontinuité entre les deux niveaux (puisqu’il y a diminution statistique des réussites entre deux), l’ensemble des épreuves de matrices semble au contraire indiquer une continuité relative entre les stades successifs. On le constate d’abord à examiner le % des réussites par rapport au nombre total des choix effectués (pour les 14 épreuves réussies) :

D’autre part, si l’on examine le premier choix de chaque sujet en présence de l’une des quatorze matrices, indépendamment des corrections ultérieures et des réussites ou échecs finaux, on constate que la tendance à tenir compte d’au moins deux caractères à la fois augmente également avec régularité, tandis que diminue la tendance à ne tenir compte que d’un seul caractère. Voici les % complémentaires à cet égard :

On constate d’abord que c’est à 7 ans que ces deux mouvements descendant et ascendant se croisent à 50 % : or, l’âge de 7 ans correspond aux débuts du stade des opérations concrètes.

On peut, en second lieu, inférer de ces données que si les jeunes sujets parviennent à certaines réussites par une méthode figurale, c’est après des tâtonnements divers et sans compréhension, dès le départ, de la nécessité des intersections multiplicatives. Au contraire, l’attitude des grands est orientée dès le départ, dans plus du 50 % des cas, vers la multiplication des caractères en jeu.

Or, tant l’évolution des réussites globales que celle de ces attitudes multiplicatives au premier contact avec chacune des épreuves indiquent une évolution relativement continue, qui contraste avec le caractère bimodal de la distribution des réactions aux épreuves à trois qualités. De ces divers groupes de faits il est donc permis de conclure à une filiation entre les structures figurales initiales et les structures opératoires multiplicatives, selon un développement analogue à celui que nous avons observé entre les collections figurales (additives) et les classifications opératoires additives. Mais la question subsiste, dans le cas des classifications multiplicatives, de savoir quelle est la fonction exacte des structures figurales qui, nous l’avons vu, coïncident alors de façon [p. 162]

[p. 164] plus étroite avec les structures opératoires que ce n’est le cas pour les classifications additives. Pour ce qui est des épreuves de matrices, analysées en ce § 2, la structure figurale, étant présentée déjà tout organisée aux sujets, joue assurément un rôle exceptionnel de facilitation, ce qui nous empêche de choisir entre les solutions (2) et (3) distinguées à la fin du § 1. Tout au plus pourrait-on dire que le mélange de continuité et de discontinuité que nous venons de noter parle davantage en faveur de la solution (3), puisque la discontinuité se marque surtout à propos des épreuves à trois qualités où la méthode figurale se distingue le mieux de la méthode opératoire, et que la continuité se retrouve à propos des réussites globales et des attitudes initiales où les deux facteurs sont mêlés. Il conviendra donc, pour pousser plus avant l’analyse, d’étudier les classifications multiplicatives spontanées, ce que nous ferons aux § 4 et 5 ; mais nous tenons encore à fournir auparavant quelques compléments au sujet des matrices, obtenus au moyen d’une technique plus systématique.

Les résultats du § 2 présentent un caractère surtout clinique. Nous avons tenu à les contrôler au moyen d’épreuves plus standardisées, dont nous fournirons surtout les résultats statistiques et qui porteront sur des problèmes légèrement différents, complétant les précédents.

Pour ce faire, nous avons retenu 9 des 14 matrices utilisées au § 2, dont la première sert simplement d’entraînement. Les huit autres, que nous numéroterons I à VIII, comportent soit deux critères (I et II forme × couleur, III forme × nombre, IV couleur × orientation) soit trois (V à VII couleur × forme × orientation, VIII forme × couleur × grandeur) ⁴. En outre, nous avons utilisé une technique qui sera dite « abrégée », ne portant que sur les matrices II et V (à deux et à trois critères), après entraînement sur la matrice préliminaire.

Pour cette matrice préliminaire, quatre éléments à choix sont présentés, dont trois sont identiques aux trois qui se trouvent déjà sur la matrice elle-même. Pour les matrices I-IV, on présente six éléments à choix, dont trois identiques à ceux de la matrice (contrairement à la technique du § 2) ; et pour V-VIII on présente huit éléments à choix dont trois à nouveau identiques à ceux de la matrice. Ces éléments sont présentés un à un sur de petits cartons séparés (et non pas collés en ordre superposé sur un carton unique), que l’enfant peut placer à titre de contrôle sur le casier vide de la matrice elle-même. L’ordre de présentation est constant pour chaque matrice, mais il va de soi que l’on a pris le soin de varier systématiquement le rang de l’image juste d’une matrice à l’autre.

On pose trois sortes de questions aux sujets : (1) trouver l’image juste ; (2) justifier ce choix ; (3) indiquer si l’une ou l’autre des cartes non choisies irait aussi bien ou même mieux (la stabilité ou la mobilité du choix s’étant révélées intéressantes).

[p. 165] On constate ainsi que les problèmes posés complètent sur au moins deux points ceux du § 2 : (a) En présentant, parmi les éléments à choix, des figures identiques (trois sur six ou huit) à celles de la matrice elle-même, nous parvenons mieux à distinguer la part d’abstraction qui intervient dans la solution du problème. Les solutions par identité étant naturellement plus fréquentes chez les petits, nous perdons peut-être de ce fait l’occasion d’un nombre suffisant de solutions justes fondées sur la configuration perceptive pour retrouver les courbes bimodales obtenues pour certaines des situations du tabl. XIII. Mais cet inconvénient éventuel est compensé par l’obtention d’une courbe de décroissance des solutions par identité (voir plus loin, tabl. XV), qui nous renseigne ainsi sur les progrès de l’abstraction, (b) Par contre, pour distinguer les facteurs figuraux et opératoires nous disposons de deux données simultanées, dont l’une est nouvelle : la justification du choix (question 2), qui peut être correcte ou inadéquate, et, ce qui s’est montré tout aussi instructif, la stabilité de ce choix. En effet, lorsque l’enfant justifie adéquatement son choix et, ce qui va en général (mais pas toujours) de pair, refuse de le modifier on peut admettre qu’il a compris les relations en jeu. Par contre, lorsque l’enfant, pour un choix correspondant objectivement à ce que serait un choix correct, non seulement ne parvient pas à le justifier, mais encore ne réussit pas à s’y tenir et cède aux suggestions de changement, on peut alors admettre que le choix initial, en apparence juste, était en réalité simplement dû aux symétries perceptives.

Il s’agira donc de fournir, en plus du tableau des réussites et échecs globaux par niveaux d’âge, celui des solutions par identités et ceux des solutions justes distinguées en « figurales » et « opératoires » selon les critères indiqués à l’instant.

Commençons par le tableau des moyennes de réussites. Celles-ci ont été chiffrées à raison d’un point par critère observé correctement, soit 0, 1 ou 2 pour les matrices I-IV et 0, 1, 2 ou 3 pour les matrices V à VIII. Nous avons bloqué dans les mêmes colonnes les matrices présentant les mêmes sortes de critères, soit I et II pour forme × couleur (FC) et V à VII pour forme x couleur x orientation (FCO) :

Tableau XIV. Réussites aux épreuves de matrices par nombres de critères observés (2 pour I-IV et 3 pour V-VIII)

On constate alors que, malgré l’amélioration générale des résultats avec l’âge, les réactions de 6 ans semblent en certaines situations (notamment [p. 166] avec la technique abrégée) meilleures que celles de 7 ans et paraissent alors marquer une sorte de maximum. Un tel fait doit évidemment résulter d’une interférence de facteurs qu’il s’agit donc de dissocier, puisqu’une même réponse en apparence correcte peut tenir, soit à des raisons opératoires, soit à des symétries figurales sans compréhension réelle.

Examinons d’abord l’évolution des réactions par identité :

Tableau XV. Distribution des identités avec l’âge (en % des réponses)

Dans le cas de la technique complète il y a apprentissage au cours des épreuves I à VIII d’où le plus faible nombre d’identités pour trois critères que pour deux, ce qui s’inverse (comme il est normal) dans la technique abrégée. On note d’autre part la diminution des solutions par identité à 6 ans, ce qui correspond donc à l’amélioration des réponses notée à cet âge au tableau XIV. Par contre, il y a dans la technique abrégée (sans apprentissage) recrudescence des identités à 7 ans, comme s’il y avait à cet âge une lacune entre les solutions figurales en voie de disparition et les solutions opératoires en voie de constitution.

Examinons donc la répartition de ces deux sortes de solutions, en nous fondant sur les critères indiqués plus haut (justification et stabilité).

Tableau XVI. Pourcentage des solutions opératoires et figurales ⁵

Voici, pour préciser, deux exemples de ce que nous appelons les solutions figurales :

Vua (4 ; 5), pour la matrice préliminaire (un grand carré et un petit, un grand rond et…) met le petit rond, ce qui est correct : « Pourquoi ? — Parce qu’il y a deux [p. 167] carrés. » Mais, à la question « On pourrait mettre autre chose ? », elle répond aussitôt : « Oui, le petit carré est mieux. — Pourquoi ? — Parce que ça fait la même chose (identité par rapport à l’élément au-dessus. »

De même pour la matrice II (une fleur et une pomme rouges, une fleur jaune et…), Vua met correctement une pomme jaune : « C’est le mieux ? — Oui, parce qu’il y a deux pommes, une rouge et une jaune. — Une pomme rouge irait aussi ? — Oui, ça fait deux rouges. — Et une fleur jaune ? — Oui, parce qu’il y a (déjà) la pomme. — Entre les trois (pommes rouge, pomme jaune et fleur jaune), qu’est-ce qui va le mieux ? — La pomme rouge. »

Fra (5 ; 10), pour la même matrice II, met d’abord une grosse pomme puis l’écarte, ensuite une pomme rouge et lui substitue la jaune (juste) : » Pourquoi ? — Ça fait deux pommes, une rouge et une jaune. — Il y a quelque chose qui irait mieux ? — La banane. — Ça va bien ? — Moyen ! — Il faut en mettre une qui va bien. — (Il met la fleur rouge.) C’est la même couleur (que la pomme en dessus). — C’est le mieux ? — Non, la pomme rouge (Identité par rapport à l’élément en dessus). »

On voit que ces sujets (représentatifs de tous ceux qui sont classés dans le groupe « figural ») commencent, avec ou sans tâtonnements, par une solution correcte, mais sans toujours pouvoir la justifier adéquatement. D’autre part, dès les premières suggestions, ils acceptent à peu près n’importe quel autre élément, mais avec préférence pour les ressemblances ou même identités par rapport à ceux qui figurent au-dessus ou à gauche sur la matrice : autrement dit, lorsqu’il s’agit d’analyser les relations ils n’en considèrent plus qu’une seule à la fois et perdent le bénéfice du jugement figural global du début.

Voici, par contre, un exemple typique de solutions opératoires :

Gra (7 ; 3), matrice II : met d’emblée la pomme jaune « parce que ce sont la même chose mais d’une couleur différente (montre la direction verticale) et là (direction horizontale) ils sont de la même couleur. — On pourrait mettre autre chose ? — La pomme rouge, mais ça ne va pas très bien, parce qu’en haut on a une fleur rouge et une pomme rouge et, en bas, on aura une fleur jaune et une pomme rouge : c’est mieux d’avoir une fleur jaune et une pomme jaune. » Matr. V : met sans hésiter l’oiseau vert. « C’est le mieux qu’on puisse mettre ? — Oui, c’est le mieux. On a le poisson bleu et le poisson vert, puis l’oiseau bleu et l’oiseau vert. En haut ils sont tournés dans un sens opposé et en bas ils doivent être tournés en un sens opposé aussi. »

On observe l’union des deux critères annoncés précédemment : justification témoignant d’une mise en relation selon les deux (ou trois) qualités en jeu et refus de substituer un autre élément à celui qui est considéré comme le meilleur.

Cela dit, le tabl. XVI fournit donc la preuve d’une dualité nette entre les solutions figurales et les solutions opératoires des épreuves de matrices. Tandis que ces dernières solutions croissent régulièrement avec l’âge dans toutes les situations, les solutions figurales décroissent à partir de 6 ans. Si ces dernières semblent passer par un maximum à 6 ans (ce qui explique la distribution pour cet âge des réponses justes du tabl. XIV), ce résultat est naturellement relatif à la technique adoptée qui rend possibles les solutions par identités : en supprimant des éléments à choix les images identiques à celles de la matrice, nous aurions au contraire [p. 168] provoqué un plus grand nombre de réponses justes à 4 et 5 ans (comme on l’a vu au § 2 avec les mêmes épreuves : voir le tabl. XIII) et aurions sans doute trouvé dans les distributions globales des réussites, des courbes bimodales au lieu de maxima apparents à 6 ans, dus à l’addition des réussites figurales et des réussites opératoires.

En conclusion, ces résultats confirment donc bien, mais avec d’autres méthodes, ce que nous avaient permis d’entrevoir l’analyse clinique et les distributions statistiques du § 2 : que si, dans les structures multiplicatives de classes (matrices) comme dans les structures additives (classifications simples), il y a filiation des structures opératoires à partir des structures figurales initiales, il y a néanmoins discontinuité relative entre deux sortes de solutions à résultats également corrects (par rapport aux données objectives), les unes fondées sur les simples symétries perceptives et les autres sur la compréhension proprement dite des correspondances.

Nous nous servirons, pour commencer, d’une technique intermédiaire entre les matrices à compléter (§ 2-3) et les classifications par boîtes (§ 5) : il s’agira ici d’une boîte à quatre compartiments telle que l’on puisse enlever et remettre les cloisons pour déterminer les liens entre les collections ou les classes multiplicatives établies par le sujet. Nous utiliserons, à cet égard, deux sortes d’éléments à classer : les uns (I) distribuables en quatre classes, mais dont chacune est formée d’éléments identiques entre eux, et les autres (II) distribuables également en quatre classes, mais sans identités entre les termes individuels. Voici la description de ces ensembles :

I a : 16 dessins répartis en (1) quatre lapins noirs assis ; (2) quatre lapins blancs assis ; (3) quatre lapins noirs qui courent et (4) quatre lapins blancs qui courent.

I b : 16 figures géométriques consistant en (1) quatre carrés bleus ; (2) quatre carrés rouges ; (3) quatre cercles bleus et (4) quatre cercles rouges.

II : 16 dessins ⁶ représentant (1) quatre hommes (un gendarme, un clown, un joueur de football et un monsieur en frac) ; (2) quatre dames (l’une avec chapeau, une autre portant un panier, une troisième portant un seau et une skieuse) ; (3) quatre garçons (deux, distincts, portant des sacs, un troisième courant et un quatrième jouant au cerf-volant) ; (4) quatre filles (l’une avec un sac, une seconde courant, une troisième accompagnée d’un chien et la dernière jouant à la poupée).

L’interrogation comporte pour l’ensemble II les étapes suivantes : (a) classification libre (« mettre ensemble ceux qui vont bien ensemble, ceux qui se ressemblent ») ; (b) on présente une boîte divisée en quatre compartiments en demandant de faire quatre tas avec tous les dessins ; (c) on enlève l’une des deux cloisons se croisant dans la boîte, ce qui laisse subsister deux grands compartiments et on demande de « faire [p. 169] seulement deux tas », avec justification, puis on en demande à nouveau deux « mais autrement » ; (d) on remet les deux cloisons : « Tu vas faire de nouveau quatre tas, mais il faut que si on enlève cette séparation (verticale) les deux tas (ainsi réunis : on les montre du geste) aillent bien ensemble et que, si on enlève l’autre séparation (horizontale), on puisse aussi mélanger les deux tas (geste). »

Pour les ensembles I a et I b le début (a) et la fin (d) des interrogations ont été les mêmes, mais les parties (b) et (c) sont remplacées par des répartitions dans des boîtes symboliques noire ou blanche (ou ronde et carrée) avec des ouvertures en forme de lapins, etc.

Le principe de la recherche est donc le même que celui des matrices des § 2-3, mais avec d’importantes différences : (a) l’enfant est en présence de tous les éléments sur un pied d’égalité (pas d’éléments déjà classés et d’autres à choisir pour terminer la classification), et il doit tous les classer ; (b) il doit chercher lui-même les critères de sa classification (les récipients symboliques mis à sa disposition sont tous vides au [p. 170] départ et limitent simplement le nombre des classes possibles sans préjuger du détail des intersections); (c) les sous-classes multiplicatives ne sont pas singulières mais comportent chacune plusieurs éléments identiques.

Il est inutile de remonter au stade I dont les collections figurales (alignements, etc.) n’ont pas de relations génétiques avec les futures tables à double entrée, même lorsqu’il s’agit d’objets collectifs ou complexes qui en présentent l’apparence momentanée (cf. chap. I, § 2, sous III, le cas de Nel). Quant au stade II (des collections non figurales), nous assistons à un passage graduel des classifications simples et successives (c’est-à-dire selon les deux critères possibles mais envisagés à tour de rôle) à la classification multiplicative simultanée. Les types de conduite sont à cet égard les suivants, en les classant des plus simples aux plus évolués. Il convient seulement de noter qu’il s’agit là de types et réactions variables chez un même sujet et pas nécessairement de types individuels stables ni a fortiori de sous-stades :

I. Le type le plus simple consiste à classer les images en deux collections seulement (lapins qui courent ou assis, noirs ou blancs), mais sans sous-classes et sans changement de critère une fois construites les deux collections :

Ber (4 ; 5) fait deux colonnes de lapins (assis et courants) sans s’occuper des couleurs. Boîtes et sacs : idem. Compartiments : il n’en occupe que deux, toujours avec la même subdivision. « Tu peux mettre dans les quatre ? — Oui. » Mais il met des lapins assis (noirs et blancs) dans les casiers 1 et 4 (en diagonale) et des lapins qui courent (noirs et blancs mélangés) dans les casiers 2 et 3. Quant aux jetons, il passe au type II.

II. Un second type de réaction consiste à classer les éléments en quatre collections, sans relations simultanées entre elles :

Jea (5 ; 3) fait une rangée de lapins blancs qui courent, puis une autre de lapins noirs qui courent, une troisième de lapins blancs assis et une quatrième de lapins noirs assis, mais sans relations entre les quatre rangées. On lui donne les deux boîtes et les deux sacs : il met dans la première les lapins blancs qui courent, mais aucun noir, et les assis noirs dans la seconde, en laissant le reste sur la table : « Tu pourrais mettre les autres ? — … — Tu crois qu’ils peuvent aller dedans ? — Non », etc. Après suggestion, il passe au type I et divise en lapins assis et lapins qui courent en mélangeant les couleurs. On présente alors la boîte à compartiments : pas de réaction. On classe alors en quatre collections devant l’enfant, puis on enlève une cloison : « Là ? — C’est des lapins qui courent. — Et là ? — Les lapins qui s’amusent (= assis). — (On remet la cloison en enlevant l’autre.) Et là ? — C’est des lapins qui courent et des lapins qui s’amusent. — Et là ? — La même chose. »

Ce sujet distinguait donc par lui-même quatre classes, mais sans relations. La preuve en est d’abord que quand on le contraint à réunir en deux classes, il s’y tient mais sans subdivisions. D’autre part, lorsqu’on construit une table à double entrée avec la boîte à deux cloisons, il reconnaît les mêmes classes (assis ou qui courent), mais sans discerner les autres subdivisions selon les couleurs.

[p. 171] III. Un type de réaction un peu plus évolué consiste à construire deux collections dont l’une seulement est subdivisée en sous-collections, tandis que l’autre ne l’est pas, bien que les mêmes caractères s’y retrouvent :

Dan (5 ; 7) classe les lapins en assis (noirs et blancs mêlés), en blancs qui courent et en noirs qui courent. On lui donne les boîtes et les sacs : elle maintient sa division en trois collections seulement. La boîte à quatre compartiments : elle met d’abord les assis d’un côté, et ceux qui courent de l’autre. Puis elle subdivise ces derniers en noirs et blancs en deux compartiments et place dans les deux autres des lapins assis (noirs et blancs mêlés).

Par contre, Dan répartit correctement les jetons en quatre collections, carrés et ronds, bleus et rouges. Mais il ne s’agit, comme dans le type II, que de quatre collections isolées. En effet, lorsqu’on enlève la première cloison, Dan reconnaît « des carrés et des ronds » mais lorsqu’on la remet et qu’on enlève l’autre cloison, il ne reconnaît pas en ces deux collections des rouges et des bleus mais simplement : « C’est (en haut) des carrés et des ronds et ici (en bas) des ronds et des carrés. »

Ce type III est donc orienté dans la direction de la table à double entrée puisque l’une des deux collections initiales est déjà subdivisée en deux, mais le sujet reste insensible à la symétrie qui devrait le pousser à la même subdivision pour l’autre classe. Cependant, lorsqu’il passe au type II, il construit quatre collections isomorphes à celles d’une table à double entrée : mais s’il y a bien là, au cours de la construction, un schème prémultiplicatif, il n’aboutit pas, une fois la construction achevée, à la double dichotomie qui assurerait la multiplication elle-même et ne prend conscience que de l’une des dichotomies sur deux.

IV. Le type IV se rapproche davantage encore de la table à double entrée : deux dichotomies successives, mais de valeurs différentes, se manifestant par des résistances variées à les faire interférer selon toutes les combinaisons multiplicatives :

Nis (5 ; 10) classe les jetons en deux collections (carrés et ronds), puis les mêmes en deux autres (bleus et rouges). Elle place facilement les deux collections dans la boîte à compartiments sous la forme de quatre sous-collections, ce qui semble donc réaliser une table à double entrée complète, mais elle se refuse à admettre les classes par Intersections : « (On enlève la cloison entre bleus et rouges.) Ils sont comment ? — … — Si je les prends ensemble, ça fait quoi ? — Des carrés. — C’est tout ? — Et aussi des ronds. — On peut les mettre ensemble ? — Oui. — Pourquoi ? — Sais pas (ils sont tous bleus, mais elle ne voit plus cette possibilité de classement qu’elle a utilisée elle-même au début) », etc. On enlève la seconde cloison : mêmes réactions.

On passe aux lapins : Nis construit cette fois d’emblée la table à double entrée dans la boîte cloisonnée (assis et en course, noirs et blancs). Lorsqu’on enlève une cloison, elle distingue bien les deux classes de ceux qui courent et de ceux qui « ne font rien du tout ». Mais, lorsqu’on enlève l’autre cloison, elle se refuse à reconnaître les deux autres classes (noirs et blancs) : « Ils sont de la même couleur (on montre les noirs) ? — … — On peut les mettre ensemble ? — Non, oui, ils ont tous les oreilles pointues. »

C’est donc en de tels cas que la structure spatiale des tables à double entrée semble s’imposer pour des raisons figurales, avant la compréhension [p. 172] complète de l’opération multiplicative pourtant esquissée dans cette construction même.

V. Le type V est encore un cas de double classification successive correcte, mais d’interférences incomplètes, dues cette fois au fait que les sujets disposent les collections en diagonale et non pas selon les axes de la boîte :

Myr (6 ; 5) : « Des lapins qui courent et des lapins assis ; des blancs et des noirs ! » L’expression verbale est donc parfaite, mais Myr dispose les quatre collections dans la boîte de telle sorte que les noirs occupent l’une des diagonales et les blancs l’autre. En enlevant l’une des cloisons, on a alors les deux classes « assis » et « en course ». Mais en enlevant l’autre, « ça ne va pas, c’est tout mélangé ». On demande alors de réarranger, mais malgré de multiples essais, Myr retombe toujours sur la diagonale.

VI. Intersections correctes mais après tâtonnements : ce dernier type du stade II fait donc la transition avec le stade III :

Ala (5 ; 11). Jetons : il remarque d’abord les bleus, puis met les carrés d’un côté et les cercles de l’autre, mais en alternant, dans chaque collection, les rouges et les bleus au lieu de subdiviser les cercles et les carrés en deux sous-collections rouge et bleue. Ce n’est que peu à peu qu’il se libère de cette disposition figurale (héritée du stade I) pour accepter les subdivisions en quatre collections. Mais une fois celles-ci atteintes il les place correctement dans la boîte à cloisons : « (On enlève l’une des cloisons.) Ça fait une boîte de quoi ? — Ronds et carrés (juste). — Et comme ça (on enlève l’autre cloison en mélangeant les éléments de l’un des côtés) ? — Ça ne fait rien (qu’on mélange ronds et carrés) parce qu’ils sont rouges aussi. — Et l’autre côté ? — C’est des bleus : des carrés et des ronds. »

Lapins : même réaction juste après tâtonnements.

Enfin, les sujets du stade III parviennent d’emblée à la structure multiplicative :

For (7 ; 9) classe spontanément (sans boîte) les lapins selon les quatre sous-classes possibles puis les place correctement dans les boîtes et les sacs ainsi que dans la boîte à cloisons. Quand on enlève alternativement les cloisons, elle accepte les quatre réunions : « Oui, parce qu’ils sont tous blancs », puis « parce qu’ils courent », « parce qu’ils sont tous assis » et enfin « parce qu’ils sont tous noirs ».

Les jetons donnent lieu à la même réussite immédiate.

En conclusion, nous n’avons pas, avec cette technique, trouvé davantage de structures spontanées de matrices sous une forme figurale au stade I qu’avec la technique du § 5. Quant à la préparation de la multiplication opératoire, le stade II nous offre le tableau de types hiérarchiques que l’on peut sérier comme suit 1 (I et II) → 2 (III) → 3 (IV et V) → 4 (VI). On distingue alors dans cette succession le processus qui sera décrit à propos du stade II dans l’expérience du § 5, mais sans que nous soyons en mesure, du point de vue statistique, de faire correspondre ces quatre groupes à des sous-stades. Les formes les plus simples de réaction (I et II) consistent à considérer les deux critères (ou qualités à multiplier) séparément, sans coordination après coup. Le type III, [p. 173] plus évolué, marque un début de coordination, puisque le sujet construit trois collections avec dichotomie entre la première et les deux autres selon l’un des critères et avec dichotomie entre les deux dernières selon le second critère : mais les trois collections demeurent sur le même plan et le début de coordination ne s’achève pas en une intersection complète entre les classes dues aux deux dichotomies possibles. Au troisième palier (types IV et V), il y a cette fois deux dichotomies complètes (et non plus partielles comme pour le type III), la seconde réagissant rétroactivement sur les résultats de la première ; mais, faute d’une concentration de ces démarches successives en un tout simultané qui compléterait ainsi la rétroaction par un processus anticipateur, le sujet ne parvient pas à la construction du système proprement multiplicatif. Le type VI, enfin, aboutit à cette concentration et à cette anticipation, mais par étapes successives (tâtonnements) tandis qu’au stade III le système s’achève en un schème anticipateur immédiatement appliqué aux données présentées.

Quant à la classification des bonshommes (questions II), elle fournit les mêmes résultats. Bornons-nous à citer des sujets représentant les trois étapes principales caractérisées par la découverte de deux ou quatre classes, mais sans multiplication proprement dite, puis de réussite graduelle et enfin immédiate :

Mar (6 ; 6) commence par réunir les deux garçons parce qu’ils ont « pas tout à fait la même position, les deux vont à l’école », puis les deux femmes parce qu’elles ont « la même position », puis le monsieur en frac et le policier « ils sont la même chose pas tout à fait » et se contente d’un alignement du reste. Prié de faire quatre tas, il en revient aux quatre précédents. Pour deux tas, il donne : « des petites filles, des dames et des petits garçons, des papas. »

Ce sujet aboutit donc bien aux quatre classes d’une matrice possible, mais sans aucune idée de multiplication. Les sujets suivants s’en rapprochent par contre, ou y aboutissent progressivement :

Van (6 ; 3) commence par huit petits tas, dont six homogènes (deux garçons sac au dos, etc.) et deux mêlés (dame et fillette, clown et skieuse). Pour quatre tas, elle donne (1) gendarme, homme en frac et trois dames, (2) le clown, (3) deux garçons au sac et quatre filles, (4) skieuse et deux garçons courant. Pour deux tas, elle répartit d’abord par l’âge (enfants et adultes) puis, lors d’un second essai demandé, par le sexe : « Tous les messieurs et les garçons ensemble, toutes les filles et les dames ensemble. » Priée à nouveau de faire quatre tas, elle aboutit alors à une table à double entrée, mais en diagonale : (1) dames et (2) filles ; (3) garçons et (4) messieurs.

Cat (6 ; 8) commence aussi par huit petits tas, puis, pour quatre, donne : (1) trois skieuses, (2) quatre filles, (3) les dames, (4) les messieurs. Pour deux tas, il répartit d’abord par le sexe, puis par l’âge. Prié à nouveau de faire quatre tas, il donne alors une table à double entrée correcte : filles et dames, garçons et messieurs.

Le sujet suivant est par contre représentatif de la réussite immédiate :

Dub (8 ; 6) débute par huit couples homogènes. Priée de faire quatre tas, elle construit d’emblée la table à double entrée correcte. « Et si on faisait comme ça [p. 174] (messieurs, filles, dames et garçons, donc en diagonale) ça irait aussi ? — Non, parce qu’il y a ici les filles et les hommes. » Elle indique alors clairement le sens multiplicatif de sa propre table : selon une dimension les « enfants et grandes personnes » et selon l’autre les sexes.

On constate donc le caractère à la fois spontané et progressif de la construction des structures multiplicatives.

Nous avons fait diverses autres recherches, dont le principe commun est de présenter à nouveau au sujet un ensemble d’objets pouvant être classés selon deux critères différents et de chercher si et comment il parvient à les répartir à la fois selon ces deux critères.

[p. 175] Le meilleur exemple est celui de huit images (automobile, camion, motocyclette, vélomoteur, char, poussette, bicyclette et pousse-pousse) pouvant être réparties selon que les véhicules sont motorisés ou non et ont quatre ou deux roues. La consigne est de « mettre ensemble ceux qui vont bien ensemble », d’abord dans quatre boîtes, puis dans deux (deux ou trois fois de suite), à nouveau dans quatre et finalement, si l’enfant n’a pas trouvé de lui-même une disposition à double entrée, dans quatre boîtes distribuées en matrice (voir la fig. 12).

Nous observons en ce cas un ensemble de réactions de complexité croissante que l’on peut sérier selon nos stades I (mélange de ressemblances et de convenances empiriques), II (collections différenciées avec complémentarités) et III (structures opératoires avec inclusions et intersections).

Inutile d’insister sur les réactions du stade I. Elles consistent en alignements ou petits tas soit avec ressemblances deux par deux soit avec convenances empiriques soit même sans raisons autres que de réunir :

Bou (4 ; 10). Deux alignements de quatre objets, mais sans ressemblances sinon parfois par couples (vélo et vélomoteur).

Nic (5 ; 5). Quatre boîtes : (1) « C’est des vélos », (2) « c’est des autos », (3) « c’est un char » et (4) « une poussette ». En deux boîtes : (1) auto, vélomoteur, motocyclette et pousse-pousse, (2) les quatre autres. La bicyclette et la poussette vont ensemble parce que souvent réunis dans les mêmes garages de maisons, etc.

À ce niveau I correspondant aux collections figurales il n’y a donc pas de trace de structures spontanées de matrices, bien que les sujets du même âge parviennent avec une facilité relative, comme on l’a vu aux § 2-3, à résoudre les épreuves de matrices par une sorte de lecture directe des doubles symétries perceptives.

Au niveau II, non seulement les collections construites par le sujet ne se fondent plus que sur les ressemblances, mais encore elles se différencient en sous-collections complémentaires, qui s’ébauchent, dès les débuts du stade, sous une forme imparfaite et sans disjonctions complètes, pour se préciser ensuite sous la forme de classifications dichotomiques d’abord successives puis reliées en un tout par intersections multiplicatives.

Voici quelques exemples des débuts de ce stade II :

Grei (6 ; 6) commence par quatre tas : (1) char, pousse-pousse, (2) vélo, vélomoteur, moto, (3) auto et camion, (4) poussette. Puis il met la poussette avec le char « parce que la poussette a quatre roues ». — Et (2) ? — Parce que ça a deux roues. »

Deux boîtes. Grei met tout dans une seule boîte : « Je vais mettre tout ce qui roule (il part donc d’une classe totale unique). — Et si on met en deux boîtes ? — Ici (char, poussette et pousse-pousse) c’est tous des chars. — Et ici (2, où il met tout le reste) ? — Parce qu’il n’y a pas d’autres places. »

On recommence avec deux boîtes : (1) « C’est tous ceux à deux roues » ; (2) « c’est tous ceux à quatre roues ».

Quatre boîtes « mais en mettant autrement que la première fois » : (1) Camion, auto, « ça a un moteur et ils ont quatre roues. » (2) Moto, vélomoteur : « Ils ont un [p. 176] moteur [et deux roues]. » (3) Pousse-pousse et char : « C’est des chars. Ils ont deux et quatre roues. » (4) Vélo et poussette.

Saf (4 ; 6) : (1) Auto, camion : « Ce sont deux voitures ». (2) Vélomoteur et moto : « Ils sont les deux électriques (= motorisés). » (3) Char, trottinette ⁷ : « Il faut marcher et pousser avec les pieds. » (4) Poussette, vélo : « On doit pousser par la main et les pieds. »

On voit ainsi se dessiner certaines différenciations avec complémentarités : quatre et deux roues, les chars et le reste (Grei, par dichotomie de la classe totale « tout ce qui roule »), motorisés et à pousser, etc. Mais de telles subdivisions ne sont ni complètes (comprenant l’ensemble des objets à classer) ni unifiées (mêmes critères pour l’ensemble), ce qui a pour effet de les empêcher d’être disjointes. Enfin, lorsqu’on propose à ces sujets une répartition en table à double entrée, ils ne savent pas s’y adapter (contrairement à l’épreuve des matrices des § 2 et 3 où il ne s’agissait que de remplir le quatrième casier, les trois premiers étant déjà occupés).

Dans la suite (seconde moitié du stade II), les différenciations avec complémentarités se généralisent à l’ensemble des éléments et le sujet peut passer d’une première forme de complémentarité à une autre forme à titre de seconde classification possible. Mais ce sont là des classifications successives sans qu’il y ait encore fusion des deux en un système multiplicatif unique :

Fer (5 ; 6), après avoir mis en quatre boîtes deux groupes de véhicules à quatre roues et deux groupes à deux roues, réunit le tout en deux boîtes : « Deux roues et quatre roues. — Pourrais-tu faire encore autrement (on lui donne deux autres boîtes) ? — Ceux-là prennent de la benzine (= motorisés) et ceux-là pas (juste). » Mais lorsqu’on revient à quatre boîtes, il reproduit la classification initiale qui exclut toute double entrée (la bicyclette est seule en 1 et la trottinette seule en 4).

Gal (6 ; 6) fait quatre tas et s’écrie : « J’ai trouvé, ils ont tous des roues. » Il parvient alors à différencier en deux boîtes une classe de quatre véhicules motorisés — « Ils ont tous des moteurs » — et une classe des quatre autres dont il dit simplement : « Ils ont tous des roues [mais pas de moteurs] ». Avec deux nouvelles boîtes il répartit les mêmes éléments en une classe à deux roues et une classe à quatre. Mais il échoue à la table à double entrée.

Mau (7 ; 5), de même, fait deux classifications successives, l’une selon que les véhicules ont quatre ou deux roues, l’autre selon qu’ils ont « des moteurs et pas de moteurs ». Mais il échoue à les réunir en un système unique.

La question est alors de comprendre comment le sujet passera de ces deux classifications distinctes mais successives à la classification multiplicative les réunissant toutes deux en un même système. Comme nous allons le voir en analysant l’arrivée au stade III, il semble que ce passage de l’une à l’autre entraîne d’abord un passage réciproque ou rétroactif de la seconde à la première et que cette rétroaction provoque alors l’anticipation permettant de les réunir. Mais pour suivre ce processus [p. 177] complexe, il importe d’analyser le détail des réactions successives d’un ou deux cas individuels :

Sac (7 ; 8), après un classement en quatre boîtes sans critères d’ensemble, réunit le camion, le vélomoteur, la bicyclette, la motocyclette et l’auto dans une boîte et le reste dans l’autre : « Là (1) ils ont tous des roues. — Et les autres ? — Aussi. — Alors ? — Ils ont tous un moteur sauf le vélo (il le place en 2) et ici (2) il y a des roues et pas de moteurs. » Nouvel essai : il répartit en quatre roues et deux roues, mais sans dire autre chose que « des roues ». On donne alors quatre boîtes : (1) moto et vélomoteur ; (2) camion, auto ; (3) vélo, pousse-pousse et (4) char, poussette. « Pourquoi ceux-là (4) ? — Ils ont des roues et pas de moteur. — (3) ? — Pas de moteur. — (2) ? — Un moteur. — Et (1) ? — Aussi un moteur. — Pourrait-on mettre l’auto avec le vélomoteur et le camion avec la moto ? — Non, celles-ci (2) ont quatre roues et celles-là (1) n’en ont que deux. » Il y a donc là quatre classes multiplicatives correctes, mais sans table à double entrée.

Un mois après (7 ; 9), Sac prétend ne se souvenir de rien, mais refait immédiatement, en quatre boîtes alignées, le même classement. On lui demande d’« arranger les boîtes pour qu’elles aillent bien ensemble deux par deux ». Il construit alors une figure telle que les boîtes (1) et (4) occupent une diagonale et les boîtes (2) et (3) l’autre, en les décrivant comme suit : (1) quatre roues sans moteur ; (4) quatre roues avec moteur ; (2) deux roues sans moteur et (3) deux roues avec moteur.

Jan (7 ; 1) débute par quatre boîtes empiriquement, puis les réunit en deux selon qu’ils ont « des moteurs » ou « pas de moteurs. — Et pourrais-tu autrement ? — Oui, il y en a en bois et en fer. »

Quatre boîtes : recommence en essayant d’un système bois ou fer et moteur ou non-moteur. « Pourrais-tu autrement ? — Oui, je crois, j’ai une idée : (1) en bois quatre roues (char et camion) ; (2) en bois deux roues (pousse-pousse) ; (3) en fer, quatre roues (auto, poussette) et (4) en fer, deux roues (vélo, vélomoteur et motocyclette). »

Kro (7 ; 9) débute aussi par quatre collections sans critère préalable, puis les répartit en deux selon qu’il y a moteur ou absence de moteur, et de nouveau en deux selon qu’il y a quatre ou deux roues. Lorsqu’on redonne quatre boîtes, il les distribue alors selon les quatre associations : moteur avec deux ou quatre roues et sans moteur avec deux ou quatre roues.

La différence entre ces réactions marquant les débuts du stade III et celles du niveau II est qu’il y a intervention nette de schèmes anticipateurs : « J’ai une idée », dit par exemple Jan, qui classe ensuite en fonction de cette idée préalable. D’une manière générale, il est clair que la classification multiplicative, consistant à répartir tous les objets selon deux critères à la fois, ne saurait être découverte sans l’intention préalable de réunir en un seul tout les dichotomies distinctes établies auparavant. Mais il est non moins clair que cette anticipation ne saurait surgir ex nihilo et qu’elle est préparée par les réactions qui la précèdent. Or, les cas individuels que nous venons de citer ne débutent précisément par aucune réaction anticipatrice, puisque, en présence des quatre boîtes vides initiales, ils commencent par un classement empirique, avec tâtonnements successifs, donc sans aucun plan d’ensemble. Après quoi seulement ils découvrent un critère général (moteur ou non) puis un autre (quatre ou deux roues, en bois ou en fer). La seule différence avec les sujets du stade II (Fer, Gai et Mau) qui, eux aussi, trouvaient ces [p. 178] critères successifs, est qu’au lieu de passer sans plus du premier au second en oubliant ce qui précède, ils tendent lors de l’adoption du critère suivant à revenir au précédent par un mouvement rétroactif : c’est ainsi que Sac reste influencé à un mois de distance par ses classifications antérieures et que, même sans formuler au début la distinction entre deux et quatre roues, il revient sans cesse à ce critère. L’anticipation qui conduit à réunir les deux critères en un même système multiplicatif est donc, ici comme ailleurs, fonction des oscillations et des rétroactions préalables qui, de successifs, les rend alternatifs et finalement simultanés.

Malheureusement, dans le cas de ce matériel, les dichotomies possibles sont multiples (Jan introduit déjà la dichotomie en bois ou en fer au lieu des deux ou quatre roues), de telle sorte que les sujets de 8-9 ans, au lieu de marquer une stabilisation des réactions que nous venons de noter entre 7 et 8 ans, progressent dans le sens d’une mobilité toujours plus grande eu égard à ces critères possibles :

Bon (8 ; 3) débute immédiatement, en présence des quatre boîtes vides initiales, par les quatre classes multiplicatives les plus simples, avec ou sans moteur et à quatre ou deux roues. Mais lorsqu’on demande le classement en deux boîtes, Bon trouve huit critères possibles : deux ou quatre roues, avec ou sans toit, avec ou sans guidon, avec ou sans porte, avec ou sans selle, avec ou sans sonnette, avec ou sans freins et avec ou sans pneus. Leurs associations donneraient donc 256 classes multiplicatives ! Aussi, lorsque l’on redonne quatre boîtes vides, Bon s’essaye à diverses combinaisons toutes incomplètes. Par contre, lorsque l’on présente un dispositif de table à double entrée, il revient aux quatre classes initiales exhaustives.

Ben (8 ; 6) de même trouve six dichotomies selon les critères moteur, roues, selles, rayons, lumière et contenu (personnes ou choses), ce qui donnerait 64 classes qu’il ne cherche naturellement pas à réunir en un seul système.

À part ces complications finales, cette recherche montre néanmoins clairement comment, une fois en possession des instruments intervenant par ailleurs dans la classification additive (voir chap. II § 1-2), le sujet tend de lui-même à réunir en un même système multiplicatif les classifications d’abord successives effectuées selon les critères de départ (passage du stade II au stade III). Mais on constate que, s’il parvient ainsi à construire facilement quatre classes multiplicatives, il ne cherche pas de lui-même, sauf quelques exceptions, à les disposer selon la structure figurale des matrices ou tables à double entrée, ce qui semble confirmer le fait que, à côté des facteurs figuraux, il intervient dans l’élaboration des classifications multiplicatives un facteur de coordination d’abord préopératoire (régulations avec rétroactions et début d’anticipations) puis opératoire, à évolution relativement continue.

Les faits discutés jusqu’ici semblent montrer que les structures multiplicatives ne surgiraient pas au cours du développement sans liaison avec les structures préopératoires et figurales antérieures (hypothèse 1 du § 1), mais ne dériveraient pas non plus directement de ces structures [p. 179] figurales (hypothèse 2) : tout en passant par une étape figurale, elles seraient dues à une organisation progressive s’appuyant sur celle qui intervient par ailleurs dans les classifications simplement additives (hypothèse 3). Quant à la nature de cette organisation, elle paraît procéder selon les étapes suivantes, d’abord une seule ou deux dichotomies sans liaison, puis effet rétroactif de la seconde sur la première, puis fusion des deux en un schème anticipateur.

Mais s’il en est ainsi, il doit intervenir une différence nette entre l’évolution des multiplications complètes, envisagées jusqu’ici, et les multiplications simples, ou intersection de deux classes seulement, dont il va être question. Nous disons qu’il y a « multiplication complète » entre deux classes composées B₁ et B₂ (où B₁ = A₁ + A’₁ et B₂ = A₂+ A’₂) quand tous les éléments de B₁ font partie de B₂ et réciproquement et que les sous-classes de rang A et A’ donnent lieu à interférences (ou intersections) selon les quatre associations A₁ A₂ ; A₁ A’₂ ; A’₁ A₂ et A’₁ A’₂. Nous parlerons au contraire de « multiplication simple » lorsque deux classes quelconques A₁ et A₂ n’ont qu’une partie commune A₁ A₂ et que chacune des deux présente une partie non commune avec l’autre, soit A₁ A’₂ et A’₁ A₂. La multiplication simple est donc une opération partielle, intervenant dans la multiplication complète, mais telle que A₁ et A’₁ ne soient pas réunis en B₁ ni A₂ et A’₂ en B₂ et qu’il manque l’association A’₁ A’₂.

Or, on pourrait penser (et ce serait cohérent avec une psychologie ou une logique atomistiques) que la multiplication simple est plus « élémentaire » que la multiplication complète et qu’elle apparaît donc génétiquement de façon plus précoce ; la multiplication complète, conçue comme un système composé de multiplications simples, serait ainsi de formation plus tardive.

Dans l’hypothèse contraire, où les systèmes opératoires d’ensemble sont à concevoir comme plus primitifs du point de vue génétique et plus fondamentaux du point de vue logique, la multiplication simple ne constituerait que le produit d’un découpage au sein du système total de la multiplication complète et serait par conséquent de formation plus tardive. En particulier, si la genèse de ce système total résulte bien du jeu des coordinations d’abord rétroactives puis anticipatrices) dont nous venons de supposer l’existence, le fait d’être obligé de classer l’ensemble des éléments du système selon les deux classes B₁ et B₂ de la multiplication complète accélérerait cette formation psychogénétique, tandis que l’intersection simple serait plus tardive en tant que ne provoquant pas (ou moins) les coordinations dues à l’obligation de classer tous les éléments à la fois selon les deux dichotomies possibles.

Nous avons donc cherché à analyser l’évolution de la multiplication simple, au moyen du dispositif suivant ⁸. On présente, d’une part, une rangée d’objets verts (une poire, une casquette, etc.) et, d’autre part, une rangée de feuilles d’arbre d’autres couleurs (brune, rouge, jaune, etc.) : l’une des rangées étant perpendiculaire à l’autre, leur point de jonction [p. 180] est marqué par la présence d’une case vide (en blanc) qu’il s’agit de remplir (en imagination ou par le dessin, ou encore en choisissant l’un parmi plusieurs objets présentés); le problème est alors de trouver un objet « qui va bien avec tous » ceux de l’une comme de l’autre des deux rangées, autrement dit une feuille verte. Mais avant de prier le sujet de choisir cet élément commun aux deux classes, on lui demande d’abord pour chacune d’entre elles : « Pourquoi a-t-on mis tous ces objets ensemble ? Ont-ils quelque chose de pareil ? Se ressemblent-ils un peu ? » (ou encore « Ce sont tous des … ? »). En outre, si le sujet éprouve quelque difficulté à résoudre le problème, on renforce de diverses manières l’effet d’intersection : on prolonge les deux rangées en une figure ayant la forme d’une croix (avec casier vide au centre), ou encore on les élargit par des rangées parallèles et juxtaposées qui accentuent l’effet de ressemblance ou qui, au contraire, procéderont par contraste (on doublera, par exemple, la rangée des feuilles par une rangée de chats, ce qui renforce le lien commun des feuilles, etc.).

[p. 181] L’intérêt de cette technique n’est pas seulement d’opposer la multiplication simple, ou intersection des classes, à la multiplication complète, mais encore de permettre de dégager les relations entre la multiplication de deux classes et la formation de ces classes elles-mêmes.

Cela dit, voici d’abord les résultats obtenus en ce qui concerne l’évolution avec l’âge des deux groupes les plus généraux de réactions, la première consistant à ne tenir compte, pour le choix de l’objet à trouver, que de l’une des deux collections d’objets déjà dessinés, et la seconde consistant à tenir compte des deux collections à la fois (ce qui est donc une réaction toujours multiplicative, mais sans qu’il y ait pour autant multiplication de classes proprement dite) :

Tableau XVII. Réactions à une seule ou aux deux collections à la fois ⁹ :

On constate donc que, si les épreuves de matrices sont dans leur grande majorité (forme, couleur, nombre, orientation, etc., par opposition aux liaisons de causalité, etc.) résolues à 7-8 ans par le 75 % des sujets, ces multiplications simples entre deux classes ne le sont qu’à 9-10 ans. Assurément le facteur figural joue un rôle non négligeable dans le cas des matrices, mais, tout en étant moins prégnant dans celui du présent dispositif (en équerre et surtout en croix), il n’en est cependant pas absent.

Cherchons donc à suivre pas à pas les étapes de cette multiplication simple, en décrivant les différents types particuliers de réactions appartenant au groupe I (une seule collection) et au groupe II (les deux collections considérées simultanément) :

I. Les choix en fonction d’une seule collection. (I 1) Identité avec le terme voisin. — Cette réaction, qui est sans doute la plus élémentaire, consiste à reproduire dans sa forme ou dans sa couleur l’un des deux éléments les plus proches de la case à remplir :

Fra (5 ; 10) : « Qu’est-ce qu’il faut mettre pour que ça aille bien avec tous ceux-ci et avec tous ceux-là ? — Une casquette (= élément le plus proche de la collection des objets verts). — Ou encore ? — Une feuille (la prend violette comme l’élément voisin). »

Mon (5 ; 10) : « Une feuille (couleur de l’élément voisin). — (On ajoute un élargissement rouge.) Et comme ça ? — Une casquette (comme l’élément voisin). — (On rajoute des pommes en élargissement des feuilles et des éléments verts pour doubler ceux déjà placés). Et comme ça ? — Une pomme comme ça (couleur orange comme la voisine), etc. »

[p. 182] On voit que les mobiles du choix sont purement perceptifs : ressemblance, d’une part, sous forme d’identité ¹⁰, et avec l’élément situé en proximité immédiate, d’autre part, sans s’occuper des suivants ni de l’autre collection. Cette variété de réaction constitue plus de la moitié des réponses à 5 ans, un tiers encore à 6 ans et ne disparaît qu’à 8 ans.

(I 2) Identité avec un élément intérieur à l’une des deux collections. — C’est là un simple prolongement de la conduite précédente : le maximum de fréquence s’en trouve à 6 ans et cette seconde variété devient exceptionnelle dès 8 ans :

Cot (5 ; 9) débute par le voisinage, puis passe à des éléments intérieurs : « Une casquette et une cloche (= les deux plus proches de la même collection). — Une seule chose. — La poire (intérieure à cette même collection des objets verts). — (On met un prolongement à la rangée des feuilles.) Et comme ça ? — Une feuille. — Comment ? — Rose (intérieure). — On pourrait mettre autre chose ? — Le livre (intérieur aux verts). »

Cri (6 ; 9). Fleurs et objets jaunes : « Une fleur. — Et pour que ça aille aussi avec tous ceux-là ? — Une pernette (insecte jaune, vers le milieu de la série). — (Chats et objets roses.) Et comme ça ? — Un cochon et un petit chat (donc un élément de chaque collection, mais sans intersection multiplicative). — Il faut en mettre un seul, mais qui aille bien avec tout ça et avec tout ça. — Alors un cochon, parce que ma sœur et moi nous aimons bien le rose. — Un cochon irait bien avec ça (les chats) ? — Non, il faut mettre un petit chat. — Et pour aller bien avec ça aussi (les objets roses) ? — Le cochon. »

Cette seconde variété de réaction se prolonge elle-même en une sous-variété intermédiaire entre (2) et (3), qui conduit donc à cette dernière et aboutit, d’autre part, en certains cas, à un début de relation entre les deux collections : ce sont les cas où l’objet est choisi à l’intérieur de l’une des deux collections mais en raison de relations, soit fonctionnelles soit relatives à un objet complexe, qui intéressent également l’autre collection :

Ber (5 ; 11). Feuilles et objets verts : « La poire verte, pour qu’elle aille avec les feuilles. »

La poire est ainsi choisie, d’une part, parce qu’appartenant aux objets verts (c’est l’un des éléments donnés, intérieur à cette rangée) et, d’autre part, parce qu’elle va bien avec les feuilles en tant qu’appartenant comme elles à un même objet total (un arbre). Mais cette variété, qui conduit au type (3), est trop exceptionnelle pour qu’on puisse la constituer en un type séparé.

(I 3) Choix d’un élément non donné, présentant avec l’un ou plusieurs des termes de l’une des deux collections une relation fonctionnelle, ou de partie à tout relative à un objet d’un seul tenant. — La nouveauté est que l’élément choisi est cette fois non donné dans les collections présentées, mais le sujet ne réussit pas encore à trouver un élément non donné qui [p. 183] appartienne à l’une de ces deux classes et il substitue à cette relation logique d’appartenance inclusive à une classe la relation plus facile à imaginer d’appartenance partitive (relation infralogique de partie à objet complexe total). Il y a là un curieux rappel des réactions primitives de classification, mais un rappel tardif, se produisant surtout vers 7-8 ans et disparaissant seulement vers 10 ans (avant 7-8 ans le sujet ne parvient que peu à imaginer des éléments non donnés). Mais il est à remarquer que, s’il y a là résurgence d’une conduite primitive, celle-ci s’accompagne alors souvent d’un début de mise en relation avec l’autre des deux collections et non pas seulement avec celle qui donne lieu, à propos de l’objet non donné mais choisi par le sujet, à l’imagination d’un objet complexe :

Eli (8 ; 9) débute par une mise en relation entre les deux collections : (feuilles et objets verts) un arbre (qui contient donc des feuilles et du vert). — Et comme ça (deux prolongements) ? — Un tronc d’arbre (vert). — Ça irait aussi avec ça (les feuilles) ? — Oui, parce que la feuille va bien sur un tronc d’arbre. — (Élargissement rose.) — Un objet pour travailler la terre : ça irait bien avec la brouette (donc une seule collection). — (Feuilles et objets rouges ?) — Une personne pour lire le livre (une seule collection). — Ça irait bien avec ça (feuilles) ? — Non, il faudrait un monsieur pour soigner les feuilles. »

Ani (9 ; 6). Feuilles et objets verts : « Une prune. — Pourquoi ? — Parce que les feuilles sont presque comme une prune. — Ça irait bien avec ça (objets verts) ? — Non, parce que c’est bleu. — (Fleurs et objets jaunes ?) — Un marron, parce que c’est des feuilles de marronnier. — Ça irait bien avec ça (feuilles) ? — Ça ne va pas avec les feuilles. Un vase [irait] parce que les tulipes, on les mettra dans le vase, et les tulipes c’est jaune. »

On voit que ce type de réaction est en progrès sur les précédents, d’une part, du fait que le sujet choisit un élément non donné et, d’autre part, du fait qu’en certains cas (comme dans l’exemple de Ber pour le type 2, mais avec une fréquence plus grande) il y a déjà un début de mise en relation entre les deux collections présentées. Mais la réaction demeure néanmoins assez primitive puisqu’elle se réfère à un objet complexe et non pas à une appartenance inclusive.

(I 4) Choix d’un élément non donné présentant quelque équivalence avec les éléments de la collection considérée. — Cette réaction marque un nouveau progrès en tant que s’acheminant dans la direction de l’extension de la collection considérée. Mais il ne s’agit pas encore de l’extension d’une classe proprement dite, parce que le sujet procède de proche en proche et toujours pas en fonction du « tous » :

Mic (6 ; 2). Feuilles et objets verts : « Une feuille (une autre que celles déjà placées), ou une clochette (pour les feuilles) ou un ballon vert. »

Pie (8 ; 9) commence par des réactions du type 3 : « (Feuilles et objets verts ?) Un arbre. — (Fleurs et objets roses.) Et comme ça ? — De l’herbe pour le cochon. Non, il faut répéter une fleur (en prend une autre). — (Pommes et objets jaunes ?) — Des fruits. »

[p. 184]Lou (8 ; 10). Feuilles et objets verts : « Du rose. — Pourquoi ? — Parce qu’il n’y a pas encore de rose (dans les feuilles). — (Deux prolongements, dont un d’objets roses) ? — Un cerisier, parce qu’il y a du vert et un peu de rose » (début de relation entre les deux collections, mais avec réaction voisine du type 3).

Clau (9 ; 5). Feuilles et objets verts : « Une pomme. — Pourquoi ? — Il y a déjà des fruits (dans les objets verts), alors on met une pomme et ça fait encore un fruit. — Et ça va bien avec ça (feuilles) ? — Non, une feuille jaune, parce qu’il n’y a pas de feuilles jaunes. »

Cette réaction consiste donc à compléter la collection donnée en ajoutant un élément partiellement équivalent, ce qui annonce un début de recherche de la classe logique.

(I 5) Choix d’un objet non donné appartenant à l’une des deux classes. — Le critère de l’apparition de la classe, par opposition à la simple collection, est l’abstraction de la qualité commune, en compréhension, avec quantification par le mot « tous », en extension. Lorsque l’enfant parvient à cette constitution des classes proprement dites, il est en général apte ipso facto à la multiplication complète de deux systèmes de classes, donc à la construction de tables à double entrée ou matrices (avec de légers décalages dans un sens ou dans l’autre). Par contre, en ce qui concerne les multiplications simples ou intersections de deux classes, il y a décalage net dans le sens d’un retard de l’intersection sur la formation des classes. D’où ce type I 5 :

Dam (7 ans) propose d’ajouter une pomme à la série des objets verts parce que « c’est pas les mêmes objets mais ils sont coloriés de la même couleur » puis elle propose une feuille d’une nouvelle couleur pour la série des feuilles parce que « c’est les mêmes objets, mais coloriés d’autres couleurs. » Pour les autres rangées d’objets elle donne des réponses du même ordre en ne considérant d’abord qu’une rangée à la fois, sans intersection multiplicative. Enfin elle a l’idée de l’intersection et passe alors au type II 5 (où nous la retrouverons).

Ce sujet n’emploie pas le mot « tous » pour caractériser les deux classes mais il est clair que des expressions telles que « les mêmes objets » ou « pas les mêmes objets mais la même couleur » s’appliquent simultanément à une extension totale et à la compréhension correspondante.

II. Choix en fonction des deux collections à la fois. — Dès qu’intervient le schème qui se traduit par les mots « à la fois » (mais indépendamment de l’emploi de ces mots), on est en présence d’une liaison multiplicative. Or, il se trouve que, ainsi conçu sous sa forme générale, le schème multiplicatif apparaît bien avant d’acquérir sa structure opératoire finale : preuve en soit que, à propos des types I 2 à I 5 nous avons déjà constaté des ébauches de mises en relations entre les deux collections. Il est donc d’une certaine importance de suivre attentivement les étapes propres à ces réactions de type II, puisque ce développement graduel de la multiplication nous fournit la preuve que ce schème opératoire se construit en corrélation étroite avec celui de l’addition et n’attend pas, pour se constituer, que le schème additif soit élaboré et puisse lui servir de base de départ.

[p. 185] Nous retrouverons à cet égard les cinq mêmes types de croissance, plus un type II 0 faisant la transition entre l’additif et le multiplicatif :

(II 0) Juxtaposition, de deux éléments ou doubles. — La transition entre les choix en fonction d’une seule collection et les choix en fonction des deux à la fois est assurée par des conduites peu fréquentes statistiquement (moins de 10 % à chacun des âges de 4 à 9 ans), sans doute parce qu’elles sont vite dépassées par des formes plus effectives de multiplications : le sujet choisit non pas un seul objet convenant aux deux collections à la fois mais deux objets dont chacun convient respectivement à l’une des deux collections :

Ber (5 ; 11) déjà cité sous I 2 (à propos d’une sous-variété avec tendance à relier les deux collections) : « (Objets roses et pommes.) Il faut mettre quelque chose de rose et une pomme en d’autres couleurs. — Lesquelles ? — Rouge ou rose grenat (on voit qu’il est sur le point d’aboutir à une pomme rose). — Et ça (chats et objets jaunes) ? — Il faut mettre une toute petite chose jaune et un tout petit chat. — (Fleurs et objets violets ?) — Une petite chose violette et une petite fleur brune. »

Ris (6 ; 9). Chats et objets roses : « Un cochon et un petit chat. — (Pommes et objets violets) ? — Une pomme et un objet violet. — Et si on ne met qu’une seule chose ? — Une pomme et on la colorierait en violet. »

Ces doubles marquent donc simplement une étape dans l’interférence des deux collections : pour les mettre en relations le sujet commence par une délégation de chacune au moyen d’un objet particulier, ces deux objets pouvant alors, comme le montre le cas de Ris, être fondus en un seul.

(II 1) Multiplication d’éléments isolés les plus proches. — Lorsque les éléments représentatifs des deux collections sont d’emblée identifiés en un seul, on retrouve d’abord la tendance à ne pas considérer dans leurs ensembles respectifs les deux collections à faire interférer, mais à considérer simplement un élément de chaque collection, à commencer par le plus proche :

Jac (5 ; 10), dont les autres réactions sont de type II : « (Objets violets et feuilles.) Une casquette (comme l’objet violet immédiatement voisin), mais elle doit être de la même couleur que ça (la feuille la plus voisine, qui est bleue). »

On voit que faute de considérer l’ensemble des collections, Jac emprunte le critère de forme au carton dont la collection est caractérisée par la couleur, et le critère de couleur au carton dont la collection est caractérisée par la forme (d’ailleurs sans cette inversion il eût choisi une feuille verte en ne se fondant que sur le voisinage également et on eût pris sa réaction comme étant de type II 5, sauf à prendre les précautions d’interrogation nécessaires !).

(II 2) Multiplication d’éléments isolés choisis à l’intérieur des collections. — La structure de l’intersection est la même (pas de référence à [p. 186] l’ensemble des collections), mais il y a progrès en ce que l’enfant ne s’en tient plus au seul voisinage immédiat :

Den (6 ; 9). Fleurs et objets verts : « Une poire. — Ça irait avec ça (fleurs) ? — Non, alors comme ça (la tulipe verte, qui est sur le carton des verts). — Et avec ça (fleurs et objets jaunes) ? — Une fleur. — Comment ? — Comme ça (montre une fleur de couleur orange au milieu de la rangée). — Pourquoi ? — Parce qu’elle est jaune. — (Fleurs et objets violets ?) — Il n’y a rien du tout (Den cherche un objet déjà donné). — Cherche dans ta tête. — La bleue mais coloriée en violet. — (Pommes et objets verts ?) — Il faut du rouge pour les fleurs… non, il faut mettre du vert aux pommes. »

Il y a donc recherche de l’intersection, mais d’abord en analogie avec l’un seulement des éléments de la rangée des couleurs, intérieur à cette rangée, jusqu’au moment où le sujet imagine la partie commune d’une manière qui tend vers le plus générique (passage au type II 4).

(II 3) Choix en jonction de relations partitives (objets d’un seul tenant) ou fonctionnelles. — Ce mode II 3 correspond donc au type 13 ; nous avons d’ailleurs déjà constaté des cas de transition entre 13 et II 3 (cas de Ani) :

Lec (6 ; 2). Feuilles et objets verts (dont une pomme, une casquette, etc.) : « Une pomme, parce qu’on peut avoir une pomme sur des feuilles. — Et ça va avec le vert ? — Oui, parce que, des fois, quand on a une pomme et une casquette, on met la pomme dans la casquette. »

Ala (7 ; 11). Feuilles et objets verts (dont une hache) : « Un arbre, parce que ça va bien avec la hache et avec les feuilles. »

Eli (8 ; 9). Chats et objets jaunes (dont une poire) : « Des branches : la poire pousse sur la branche et le chat monte dessus. »

Pie (8 ; 10). Chats et objets bleus (dont un oiseau) : « Un arbre avec un petit nid dessus et un chat qui grimpe. »

Ani (9 ; 6 déjà citée sous I 3). Chats et objets violets : « Un peloton de laine parce que les chats s’amusent avec la laine et qu’elle est violette. »

Le progrès est donc qu’il y a imagination d’éléments non donnés, mais ils sont reliés aux autres par des relations, non pas de classes, mais partitives et fonctionnelles qu’il est curieux de voir réapparaître à ces âges alors qu’elles sont largement dépassées dans les classifications spontanées, additives et multiplicatives (celles-ci en opposition avec l’intersection simple).

(II 4) Multiplication de relations génériques. — Le type correspond à I 4 en additif :

Ris (7 ; 6). Pommes et objets bleus : « Une valise, non une poire. — Pourquoi ? — Parce que c’est un même fruit. »

Ons (9 ; 6). Feuilles et objets verts : « Une prune (verte) parce que les feuilles sont presque comme une prune (il pense à la forme). »

[p. 187] Il y a donc multiplication mais avec équivalences trop lâches, comme dans le cas des premières définitions logiques par le genre seul, sans différences spécifiques.

(II 5) Multiplication des classes. — C’est la solution correcte :

Dam (7 ans, déjà citée sous I 5). Fleurs et objets roses : « Une fleur rose. — Une balle rose irait ? — Non, parce que là (rangée des fleurs) ce ne sont pas des balles. » Pommes et objets jaunes : « Une pomme jaune. — Et avec ça (chats et objets rouges) ? — Un chat… (silence). Un chat rouge ! Parce que là c’est tous des chats et là c’est tout rouge. »

On note la référence explicite à la classe (« tous ») par opposition à un objet donné particulier (comme en II 1 ou II 2), ainsi que l’invention du terme nouveau, même irréel (le chat rouge).

À s’en tenir à ces réactions II 5 explicites, on trouve les pourcentages suivants en fonction de l’âge :

Ce qui confirme bien la difficulté de l’intersection simple, qui est supérieure à celle des multiplications complètes (§ 2 à 4).

Cette difficulté plus grande de l’intersection simple nous permet alors de pousser davantage l’analyse des relations entre l’addition et la multiplication, car, selon la solution adoptée pour ce cas de la multiplication simple, elle vaudra a fortiori pour la multiplication complète, qui est plus précoce.

Tout ce qui a été vu jusqu’ici, et en particulier le parallélisme étroit entre les types I 1-I 5 et les types II 1-II 5 de réactions que nous venons d’analyser au § 6 à propos de la multiplication simple, parle en faveur de l’hypothèse 3 du § 1, c’est-à-dire d’une organisation opératoire conjointe des schèmes additifs et multiplicatifs. Mais cette hypothèse 3 peut encore être comprise en deux sens différents : celui d’une priorité temporelle de l’addition par rapport à la multiplication, et celui d’une organisation simultanée.

À cet égard, le tableau XVII du § 6 pourrait faire croire à une priorité temporelle des schèmes additifs, puisque, de 5-6 à 9-10 ans, les sujets passent du 85 au 17,5 % de réactions à une seule des deux collections à comparer et du 15 au 82,5 % de réactions aux deux à la fois. Mais ce tableau, qui ne tient pas compte du degré d’élaboration des schèmes additifs ou multiplicatifs, peut présenter lui-même deux significations distinctes : ou bien l’enfant parviendrait à organiser ses schèmes additifs (réactions à une seule collection) avant ses, schèmes multiplicatifs, ou bien ce serait au fur et à mesure des progrès de l’organisation structurale des schèmes additifs (dans le cas d’une seule ou de deux collections) qu’il progresserait corrélativement dans la construction des schèmes multiplicatifs (réactions aux deux collections à la fois).

[p. 188] Or, les résultats que nous venons de décrire au § 6 sont décisifs à l’appui de cette seconde interprétation : les réactions à une seule collection (types I 1 à I 5) prennent en effet exactement les mêmes formes et passent par les mêmes niveaux que les réactions aux deux collections à la fois (types II 1 à II 5). Le tabl. XVII prouve donc simplement que plus les réactions à une seule collection demeurent élémentaires (I 1 à I 3) et sont encore éloignées de l’addition proprement opératoire, plus l’enfant éprouve de difficulté à relier les deux collections au moyen d’une seule réaction à la fois. Réciproquement, mieux est structuré le schème additif (types I 4 et surtout I 5) et mieux s’élabore corrélativement le schème multiplicatif (II 4 et II 5). En d’autres termes, c’est une seule et même organisation opératoire d’ensemble qui donne simultanément naissance aux schèmes additifs et multiplicatifs.

Mais, pour avoir le droit d’admettre cette conclusion, il convient encore de s’assurer que le dispositif utilisé n’était pas de nature à retarder l’élaboration des schèmes additifs en suggérant (par la consigne et par la présentation figurale) une intersection entre les deux collections, même si le sujet ne parvient pas à la réaliser. Nous avons donc complété la recherche précédente par une analyse des réactions qui se produisent lorsque, au lieu de faire trouver un objet appartenant simultanément aux deux collections (intersection simple), on demande uniquement de compléter chacune des deux collections, considérées à part l’une de l’autre.

À cet effet, on laisse un espace blanc à l’extrémité de chacune des deux rangées d’éléments, et non plus un espace commun aux deux rangées (zone d’intersection). On pose alors les deux questions suivantes : (1) « On a dessiné ces images. Pourquoi le monsieur qui a fait ces dessins a-t-il mis ceux-là ensemble ? Et ceux-ci ? Pourquoi vont-ils bien ensemble, etc. » (2) On présente ensuite quelques figures dessinées chacune isolément : « Tu vois qu’il reste une place blanche sur chaque carton : on a oublié de mettre un dessin. Tu vas choisir dans ceux-ci ceux qui vont bien avec tous ceux qui sont sur le même carton. » En cas de doute, on offre les dessins un à un.

Or, les résultats obtenus sont exactement les mêmes que dans l’expérience précédente, lorsque les sujets ne réagissent qu’à une seule collection. Autrement dit, on retrouve les types I 1 à I 5 de réaction, le type I 3 (liaisons partitives et fonctionnelles) étant seulement plus rare du fait que les objets à ajouter ne sont pas à inventer mais à choisir parmi les éléments donnés. Il est cependant intéressant de réexaminer quelques exemples, car nous nous trouvons ainsi en présence d’un nouveau problème, non étudié au cours des chap. I, II et III, celui de la compréhension des classes déjà constituées par opposition à la construction de collections spontanées : nous assisterons ainsi, d’un point de vue non encore examiné, aux difficultés, progressivement surmontées, de la construction des liaisons d’appartenance à une classe (« x est A ») ; ces difficultés tenant essentiellement à celle de l’opération additive qui consiste à caractériser la classe A par une coordination de la compréhension a avec l’extension correspondant au quantificateur « tous » [p. 189] (« tous les A sont a » et « tous les x qualifiés a sont des A » : cf. chap. III). Voici d’abord des exemples des réactions (1) à (3) :

Ang (6 ; 2) donne, pour la collection des objets verts, une simple énumération sans dégager le caractère commun. « Pourquoi sont-ils ensemble ? — Parce que la fleur va avec le fruit. » Choix : la casquette verte « parce qu’elle est tout à fait égale (à l’une de celles qui sont déjà comprises dans la rangée). — Autre chose ? — La casquette rouge. Non, la couleur ne va pas. — Le soulier (vert) irait ? — Non, cette forme ne va pas. » Pour la collection des feuilles, Ang dit : « des feuilles. — Peux-tu choisir un dessin pour le mettre là (la place vide) ? — La feuille bleue (identique à la plus proche). — Pourquoi ? — La couleur est la même, mais la position pas tout à fait. — La feuille violette irait ? — (Il cherche.) Oui, parce que c’est la même position que ça (la jaune). »

Jun (6 ; 3) semble indiquer correctement les caractères communs des deux collections : « des feuilles » et pour l’autre : « c’est la même chose en vert ». Mais lorsqu’il s’agit de les compléter elle propose pour les fleurs « la pipe bleue. — Pourquoi ? C’est la même couleur que ça (feuille bleue). — Autre chose ? — La fleur — violette. » Et pour les objets verts : « La casquette verte. — Pourquoi ? — Parce que c’est la même chose que ça (objet le plus proche). — Et la casquette rouge irait ? — Oui, parce que c’est aussi une casquette. — Le soulier vert ? — Oui, parce qu’il est vert », mais aussi une fleur bleue « parce que quelquefois on fait du vert avec du bleu. »

Ried (6 ; 6), pour la classe des objets verts, se borne à une énumération sans indiquer la qualité commune. Choix : « Le livre vert. — Pourquoi ? — Il y a un livre là. — Autre chose ? — La casquette verte. — Et encore ? — La feuille verte (l’enlève aussitôt). Non, il n’y a pas de feuilles là. — Le soulier vert peut aller ? — Non, il n’y a pas de soulier. — Qu’est-ce qui va le mieux ? — La casquette (= identique à l’élément le plus proche). » Pour les feuilles, Ried dit « des feuilles » et il choisit la feuille bleue (qui y est déjà), puis la jaune (id.) : « C’est mieux la bleue ou la jaune ? — La bleue parce qu’elle va bien avec ça (la plus proche). — Mais il en faut qui aille bien avec toutes ? — La feuille bleue ne va pas avec la jaune… Je ne sais pas. »

On voit que ni les définitions ni les choix ne reviennent à caractériser « tous » les éléments de la collection A par une qualité commune a ni à leur adjoindre un nouvel élément x, pouvant être quelconque pourvu qu’il présente la même qualité a. Au contraire ces sujets cherchent soit l’élément identique au plus proche (cf. la réaction I 1 du § 5) soit un élément identique à l’un des autres (cf. I 2), ou encore imaginent des liaisons partitives ou fonctionnelles (la fleur avec le fruit, la pipe avec la casquette, etc.), ou encore des analogies qui relèvent du type suivant.

En effet, les réactions correspondant au type I 4 consistent à choisir l’élément manquant selon des analogies partielles, dépassant en compréhension la seule qualité commune mais ne créant le lien d’analogie qu’avec une partie seulement des éléments donnés :

Bas (5 ; 2) définit correctement les deux collections : « des feuilles » et « vert, vert, vert », ce qui ne l’empêche pas de vouloir adjoindre à cette dernière « une pomme rose parce qu’on y a mis une poire » et aux feuilles « une casquette rouge (parce qu’il y a une feuille rouge) » ou « une pipe bleue parce qu’il y a déjà une fleur bleue ». Autrement dit, la collection définie par les mêmes formes est étendue dans le sens des couleurs analogues et celle des mêmes couleurs dans celui des formes analogues.

[p. 190]Nad (6 ; 4), de même, adjoint une casquette rouge aux objets verts parce qu’ils contiennent une casquette, etc.

On voit que le critère n’est plus l’identité (certains sujets refusent même de choisir tel ou tel élément « parce qu’il y est déjà ») mais une analogie qui, en fait, altère plus ou moins complètement la définition initiale de la classe donnée, et cela bien que les sujets fournissent correctement cette définition (en progrès sur les types précédents).

Voici enfin des réactions correctes (correspondant au type I 5) :

Fra (7 ; 6) propose d’abord, pour les objets verts : « La pomme rose, non, la feuille verte parce que les autres objets sont tous verts : on peut mettre aussi le soulier vert et la casquette verte. » Pour les feuilles : « la feuille verte. — Et le soulier vert ? — Non, pas avec les feuilles. »

Bru (7 ; 6) : choix corrects « parce que ça fait tout vert » et « parce qu’il faut [que ce soit] toutes des feuilles ».

Ces quelques faits sont instructifs à deux points de vue. Un premier résultat, surprenant au premier abord mais en fait très cohérent avec les conclusions des chap. I à IV (et notamment avec l’analyse du « tous » et du « quelques », chap. III) est que, même pour des classes déjà constituées, l’appartenance inclusive à déterminer pour un nouvel élément qu’il s’agit de leur adjoindre n’est acquise qu’au stade III (Fra et Bru : cf. l’emploi régulateur du « tous » dans les énoncés de ces sujets). Nous pouvons donc conclure, en second lieu, que dans les dispositifs du § 6, la corrélation étroite entre les étapes de formation des schèmes additifs et multiplicatifs ne tient pas au mélange des facteurs : la construction des schèmes additifs d’appartenance et d’inclusion est effectivement très lente et progressive, et c’est bien alors au fur et à mesure de ses progrès que s’élaborent corrélativement les schèmes multiplicatifs. Cette conclusion vaut a fortiori dans le cas des multiplications complètes par opposition aux intersections simples, puisque ces dernières sont moins facilement élaborées que les premières.

Après avoir examiné l’évolution des schèmes multiplicatifs comme nous l’avons fait aux chap. I-II et IV pour les schèmes additifs, il nous reste à analyser la quantification des classes multiplicatives comme nous l’avons tenté aux chap. III et IV pour les classes additives. Il s’agira donc d’étudier les questions du « tous » et du « quelques » et de la quantification de l’inclusion mais dans une structure de matrice ou d’intersection simple.

Nous nous bornerons à discuter un problème d’intersection, mais au moyen d’une technique plus active que celle du § 5, dont les résultats nous fourniront ainsi un complément d’information sur la multiplication simple tout en favorisant au maximum la compréhension des quantifications.

On dispose de quatre sortes de jetons : ronds bleus (Rb), ronds rouges (Rr), carrés bleus (Cb) et carrés rouges (Cr) ainsi que de huit sortes de [p. 191] boîtes qui en contiennent selon diverses combinaisons. Quatre de ces boîtes sont indifférenciées : celle des rouges r (couvercle entièrement couvert de papier rouge), celle des bleus b (couvercle entièrement couvert de papier bleu), celle des ronds R (couvercle blanc sur lequel est collé un rond blanc) et celle des carrés C (couvercle blanc sur lequel est collé un carré de carton blanc). Quatre autres boîtes sont différenciées et correspondent aux quatre variétés de jetons Rr, Rb, Cr et Cb (un jeton de chaque espèce est collé sur les couvercles blancs).

On dispose en outre de deux feuilles de papier blanc sur lesquelles sont dessinées une grande circonférence en noir et une autre en jaune, qui s’entrecroisent, délimitant ainsi trois parties dont l’une commune aux deux, ce qui servira à symboliser deux classes et leur intersection (nous appellerons ces trois parties A, AB et B, la partie AB étant la partie commune).

L’expérience commence alors et comprend huit phases. On place d’abord devant l’enfant un petit tas de jetons mélangés comprenant 5 Rb, 5 Rr et 5 Cb et les 4 boîtes différenciées comprenant chacune 5 jetons correspondant à celui qui est collé sur le couvercle :

(1) Après explication du contenu des boîtes et de la tâche à accomplir (reproduire de mémoire le tas présenté), on prie l’enfant d’observer attentivement les jetons mélangés, puis on les cache et le sujet reconstitue un tas analogue au moyen du contenu des boîtes. En cas d’échec on passe à (2).

(2) On dispose les 15 mêmes jetons sur l’une des feuilles de papier, les Rr dans le cercle noir (en 1) les Cb dans le cercle jaune (en 3) et les Rb dans la partie commune (en 2). Le cercle noir symbolise ainsi les jetons ronds (Rr et Rb), le cercle jaune les jetons bleus (Cb et Rb) et leur partie commune les jetons à la fois ronds et bleus (Rb). Sans indiquer ce symbolisme, on demande à l’enfant d’observer soigneusement le dispositif, puis on le cache et il le reproduit sur la seconde feuille de papier (contenant les mêmes cercles) au moyen des mêmes boîtes (différenciées).

(3) On fait un petit tas des jetons de quatre sortes (Rb, Rr, Cb et Cr), on présente les quatre boîtes indifférenciées mais vides, on explique leur destination (« pour tous les ronds », etc.) et on demande à l’enfant de les remplir au moyen des jetons présentés. Si le sujet ne met qu’une sorte de jetons par boîte (Rb et non pas Rb + Rr) on lui demande de recommencer différemment (variation de critère). S’il échoue on le fait avec lui.

(4) On lui demande ensuite le contenu de ces quatre boîtes (indifférenciées) fermées.

(5) On met à nouveau devant l’enfant la feuille de papier occupée par 15 jetons comme en (2). On demande alors simplement de décrire ce que contiennent le cercle noir et le jaune, pourquoi les Rb sont en 2 (partie commune), etc.

(6) En laissant telle quelle la feuille de papier (avec les 5 Rr, 5 Rb et 5 Cb) on présente les huit boîtes (garnies) et on demande de reconstruire le même assemblage sur la seconde feuille de papier (avec les mêmes cercles noir et jaune mais vides) en utilisant deux seulement des huit boîtes (selon les différentes possibilités).

[p. 192] (7) On passe alors aux questions de quantification de l’inclusion, sous les formes suivantes : « Si une petite fille faisait des colliers avec ces jetons (Rb) ou avec ceux-là (tous les b, etc.) lequel des deux colliers serait le plus long ? » On pose la question trois fois en faisant comparer : (I) les Cb et les b ; (II) les b et les R ; et (III) les R et les C (il y a toujours 5 jetons par sous-classes Rb, Rr et Cb donc 5 Rb et 10 b, 10 b et 10 R, 10 R et 5 C).

(8) On peut enfin poser les questions du « tous » et du « quelques » appliquées à ces différentes classes.

Nous nous bornerons, pour ne pas allonger, à décrire les réactions aux questions (5) à (8). Les questions (1) à (4) ne nous apportent, en effet, rien de neuf par rapport à ce que nous avons déjà vu ou à ce que nous verrons au chap. VI à propos des changements de critère (la question des deux critères qui est soulevée sous (3) est résolue en moyenne dès 7 ans).

La question (5), par contre, met en évidence de façon très concrète les difficultés de l’intersection. Voici d’abord deux cas d’échecs :

Cha (6 ; 11) : « Qu’est-ce qu’il y a dans le noir ? — Des carrés bleus. — Montre du doigt (il le fait correctement). Qu’est-ce qu’il y a dedans ? — Des carrés bleus. — C’est tout ? — Oui. — Montre de nouveau. — (Il parcourt encore la circonférence.) Des ronds bleus. — C’est tout ? — Oui. — Et dans le jaune ? — Des ronds rouges. — Montre (il le fait). Alors qu’est-ce qu’il y a ? — Des ronds rouges. » Il néglige donc systématiquement l’intersection.

Car (7 ; 1) : « Qu’y a-t-il dans le cercle noir ? — Des bleus et des rouges. — Comment ? — Ronds. — Et dans le jaune ? — Des carrés bleus (oublie les Rb). — Veux-tu me montrer avec ton doigt ? — (Montre tout le pourtour du cercle jaune.) — Qu’est-ce qu’il y a dedans ? — Des carrés (oublie encore les Rb). »

Puis des cas de transitions :

Sta (7 ; 6) : « Qu’y a-t-il dans le rond noir ? — Des bleus. — Comment ? — Ronds et carrés. — Et dans le jaune ? — Des ronds rouges. — Suis avec le doigt. — Ah ! Des ronds rouges et des ronds bleus. »

Guy (8 ; 3) : « Dans le rond noir ? — Des carrés bleus et des ronds bleus. — Et dans le jaune ? — Des carrés rouges et des ronds rouges. — Montre avec le doigt. — Non, des ronds rouges et des ronds bleus. »

Bau (9 ; 6) : « Dans le jaune ? — Des carrés bleus. — Seulement ? — Puis des ronds. — Alors ? — Des carrés et des ronds bleus. — Et dans le noir ? — Des ronds rouges et bleus. »

Boug (10 ; 4) : « Dans le rond noir ? — Des carrés bleus et des ronds bleus. — Et dans le jaune ? — Des ronds rouges. — Montre. — Des ronds rouges et des ronds bleus. »

Et de réussites immédiates :

Zan (8 ; 2) : « Dans le rond noir ? — Cinq d’un côté et cinq de l’autre. — Comment ? — Des ronds bleus et des carrés bleus dans l’autre rond (= dans l’intersection des deux). — Et dans le rond jaune ? — Il y a cinq rouges et cinq bleus. — Comment ? — Ronds. »

[p. 193]Beg (10 ; 5) : « Dans le noir ? — Des bleus et des rouges. — Comment ? — Des ronds bleus et des bleus rouges ; non, des ronds rouges. — Et dans le jaune ? — Des carrés bleus et aussi des ronds, des ronds bleus. — Il y a quelque chose qui te frappe dans ces deux cercles ? — Ça se coupe. — On aurait pu mettre les ronds rouges au centre ? — Oui, mais alors dans chaque cercle il y aurait deux sortes différentes (= il n’y aurait pas d’intersection). »

La question 6 (reproduire les trois sous-classes Rr, Rb et Cb au moyen de deux boîtes seulement) est par contre plus facile, car elle ne fait pas appel à l’intersection elle-même : en effet les huit boîtes comportent toutes les combinaisons, mais de façon disjointe, et les trois collections données peuvent être reproduites indépendamment de l’intersection entre les deux classes qu’elles forment à elles trois. Ce n’est cependant qu’à 7-8 ans que le problème est résolu à cause du jeu des emboîtements qu’il suppose. Voici d’abord un cas d’échec :

Car (7 ; 1) prend les boîtes Rr et Rb et essaye : « Qu’est-ce qui te manque ? — Les carrés. » Il continue par tâtonnements non systématiques. « Et si tu prenais (R) et (Cb), ça irait ? — … — Et (Rb + Cr) ? — … — Et (r) et (b) ? — Oui. — Et (C + Cr) ? — Oui. — Sûr ? — Non. — Qu’est-ce qui manque ? — Les ronds », etc.

Et des exemples de tâtonnements :

Pel (7 ; 0) prend Cb et r et constate qu’il manque les ronds bleus. Il prend alors la boîte de bleus en disant : « C’est des ronds bleus et des carrés bleus » puis la boîte de Rr et réussit. « Et avec (C + Rb) ? — Non (juste). »

Guy (8 ; 3) réussit d’emblée avec R et C mais croit qu’il n’y a pas d’autres possibilités et tâtonne jusqu’à r + b. « C’est possible avec (C + Cb) ? — Non, il n’y a pas de ronds (juste). — Et avec (Rb + r) ? — Oui (faux). — Qu’y a-t-il dans (r) ? — Des carrés rouges et des ronds rouges. — Et ici (Rb) ? — Des ronds bleus. — Alors ? — … »

Et de réussites immédiates :

Sta (7 ; 6) prend immédiatement les boîtes b et Rr.

Zan (8 ; 2) prend d’emblée r et b et cherche d’autres combinaisons : b et Rr, etc.

Bau (9 ; 6) prend C et R. « Et avec d’autres ? — Oui, les bleus et les rouges (b + r), etc. »

De même que les questions 1 à 4 portant déjà sur les diverses façons de reproduire les collections en jeu, ces questions 5 et 6 préparent directement au problème de leur quantification (question 7), soit en mettant en évidence l’intersection (question 5), soit en montrant comment trois sous-classes peuvent dépendre de deux classes seulement (question 6). Examinons donc maintenant ce que donnent les quantifications demandées, qui sont de trois sortes : (I) Cb < b, soit inclusion simple des 5 carrés bleus dans les 10 bleus ; (II) b = R, soit équivalence entre les deux classes avec intersection 10 bleus = 10 ronds ; et (III) R > C soit inégalité entre les 10 ronds et les 5 carrés. On voit ainsi que la quantification I demeure intensive (indépendante des nombres en jeu pourvu [p. 194] que les b non C ne soient pas nuis), tandis que les quantifications II et III sont extensives, II avec intersection et III entre classes disjointes. Les dernières questions supposent donc le nombre ou la correspondance numérique, mais les sujets savent bien par les manipulations précédentes que chaque sous-collection est formée de 5 jetons.

Voici d’abord des exemples d’échec aux questions 7 I et II et d’échec ou de réussite pour les seules classes disjointes (III) :

Vog (6 ; 8) : « Quel sera le collier le plus long, celui des carrés ou celui des ronds ? — La même chose longs (faux). — Et avec les bleus et les ronds ? — Celui des ronds plus long, parce qu’il y a les ronds rouges et les ronds bleus (faux : oublie que Rb fait partie des b). — Et avec les bleus et les carrés bleus ? — Celui des carrés bleus sera plus long. »

Fer (6 ; 5) mêmes réactions mais juste pour les bleus et les rouges.

Car (7 ; 1) : « Quel sera le collier le plus long, celui des bleus ou des carrés bleus ? — … Sais pas. (Il les fait et constate simplement :) Celui avec les carrés et les ronds (= b). — Et avec les bleus et les ronds ? — … Sais pas … même chose long (pourrait être juste mais reste hésitant). — Pourquoi ? — … — Qu’est-ce qu’il y a dans le collier des bleus ? — Des ronds. — C’est tout ? — … — Et dans le collier des ronds ? — Des bleus et des rouges. Le collier des ronds sera le plus long (oublie donc les carrés bleus). »

« Et avec les ronds et les carrés ? — Dans les ronds il y a les rouges et les bleus ; dans les carrés il y aura les carrés bleus. Celui des ronds est plus long (juste). »

Voici maintenant des exemples de réussite pour les quantifications extensives, y compris l’intersection, mais non pas pour les intensives :

Pel (7 ; 0) : « Quel sera le plus long collier, celui des bleus ou des carrés bleus ? — C’est celui des carrés le plus long parce qu’il y a moins de ronds (Rb) que de carrés (Cb). — Tu crois ? — (Il constate que Rb = Cb). Alors la même chose long (faux). Et avec les bleus et les ronds. — Même chose (il montre correctement les deux ensemble, sinon il pourrait n’avoir pensé qu’à Cb = Rb). — Et avec les ronds et les carrés ? — Celui des ronds sera plus long. Dans les ronds il y a les rouges et les bleus (juste). »

Guy (8 ; 3) : « Celui des carrés ou celui des ronds ? — Pas la même chose. Il y a plus de ronds (juste). — Et avec les bleus et les carrés bleus ? — La même chose longs. — Essaye. — (Il les fait et constate l’erreur.) — Et avec les bleus et les ronds ? — La même chose longs (montre juste). »

En enfin des exemples de réussite aux trois quantifications :

Sta (7 ; 6) : « Les bleus ou les carrés bleus ? — Celui des bleus est plus grand. — Et avec les bleus et les ronds ? — Même chose. »

Nin (8 ; 9) : « (b ou Cb ?). — Celui des bleus parce que les bleus ont les ronds bleus et les carrés bleus. — (C ou R) ? — Celui des ronds. — (R ou b) ? — La même chose longs. — (R ou Rr) ? — Celui des ronds, parce que les ronds rouges il y a seulement la moitié des ronds. »

Bau (9 ; 6) : « (b ou Cb) ? — Un sera plus long que l’autre : celui des bleus. — Pourquoi ? — Parce qu’il y a tous les bleus. — Et avec les ronds et les bleus ? — Ça fera la même chose. — Pourquoi ? — Parce qu’on aura (pour les R) les rouges et [p. 195] les ronds bleus et (pour les C) les ronds bleus et les carrés bleus. — Et avec les rouges et les bleus ? — Celui des bleus sera plus long : dans un on aura des ronds et des carrés tandis que dans l’autre seulement des ronds. »

Il semble donc que la question de la quantification de l’inclusion (I) déjà étudiée au chap. IV demeure la plus difficile des trois. La question III est naturellement la plus facile puisque portant sur des classes disjointes. La question II ou quantification de deux classes avec intersection n’est en tout cas pas plus difficile que celle de l’inclusion, ce qu’il s’agissait d’établir (mais il faut naturellement contrôler que l’enfant compare bien, dans b et R, les Cb + Rb avec les Rb + Rr et pas seulement les Cb et les Rr !). Si elle paraît même plus facile, ce peut être soit à cause de l’entraînement provoqué par les questions 1 à 6 (et surtout 5 et 6), soit par le fait que la partie commune Rb n’est pas à mettre en relation avec un seul tout comme Cb et b dans la question I) mais avec deux classes totales à la fois, ce qui est peut-être plus simple du point de vue figural.

Examinons enfin la question 8 du « tous » et du « quelques ». Il est à remarquer d’abord que la configuration Rr + Rb + Cb est exactement identique à celle du § 1 du chap. III (sauf qu’ici les carrés sont bleus au lieu d’être rouges et qu’il existe par contre des ronds rouges), ce qui revient à dire que la configuration du chap. III comportait implicitement les mêmes liaisons d’intersection (entre les C et les b comme ici entre les R et les b). Mais la différence est qu’alors nous n’insistions pas sur elles, tandis que dans la présente expérience, toutes les questions précédentes (1 à 7) portent sur les intersections et pourraient donc être conçues comme facilitant systématiquement les questions 8 du « tous » et du « quelques ». Il y a dès lors intérêt à déterminer si c’est le cas ou non. Or, les résultats montrent qu’il n’en est rien :

Cou (5 ; 8) : « Tous les carrés sont bleus ? — Oui. — Tous les bleus sont carrés ? — Non, parce qu’il y a des ronds aussi (juste). — Tous les ronds sont rouges ? — Oui (néglige l’intersection). — Tous les rouges sont ronds ? — Oui (juste mais par réciprocité avec la dernière réponse). »

Fer (6 ; 5) : « Tous les carrés sont bleus ? — Oui. — Tous les bleus sont carrés ? — Oui (faux). — Tous les ronds sont rouges ? — Non, parce qu’il y a encore des bleus. — Tous les rouges sont ronds ? — Oui (juste). — Tous les bleus sont ronds ? — Oui (faux). — Tous les carrés sont bleus ? — Oui (juste). »

Vou (6 ; 8) : « Tous les ronds sont bleus ? — Non (juste). — Tous les bleus sont ronds ? — Non (juste). — Tous les rouges sont ronds ? — Non (faux). — Pourquoi ? — (Montre les ronds bleus). »

Mal (7 ; 2) : « Tous les carrés sont bleus ? — Oui (juste). — Tous les bleus sont carrés ? — Non, parce qu’il y a des ronds et des carrés (juste). — Tous les rouges sont ronds ? — Non, parce qu’il y en a des comme ça (ronds bleus). — Tous les ronds sont rouges ? — Non, parce qu’il y en a qui sont bleus (juste). »

Hes (7 ; 5) : « Tous les bleus sont carrés ? — Non, il y a aussi des bleus ronds (juste). — Tous les bleus sont ronds ? — Non, parce qu’il y a des ronds rouges (cet argument inversé est typique de l’incompréhension de la question, traduite sous [p. 196] la forme « tous les bleus sont-ils tous les ronds ? »). — Tous les ronds sont rouges ? — Non (mais avec même traduction possible de la question). »

Zer (7 ; 6) : « Tous les rouges sont ronds ? — Oui. — Tous les ronds sont bleus ? — Non, parce qu’il y a aussi des carrés (! cf. Hes). — Tous les ronds sont rouges ? — Oui. — Tous ? — Oui (oublie l’intersection Rb). »

Chu (7 ; 10) : « Tous les bleus sont carrés ? — Non. — Tous les ronds sont rouges ? — Non. — Tous les rouges sont ronds ? — Non, parce qu’il y a des ronds bleus aussi (!). »

On retrouve ainsi les mêmes résultats qu’au chap. III. D’une part, on observe chez un même sujet un mélange de réponses justes et fausses, et cela jusque pour des questions du même type (« tous les A sont B ? », si A < B, ou « tous les B sont A ? ») : ces variations peuvent être dues, soit aux plus ou moins grandes facilités figurales (le rouge s’opposant davantage au bleu que les ronds aux carrés, etc.), soit surtout au fait que l’enfant raisonne sans doute en considérant le prédicat tantôt en compréhension (« tous les A sont b » où b = la qualité ronde, rouge, etc.), tantôt en extension (« tous les A sont B » = « sont des B » ou « sont quelques B »). Or, il est clair que le point de vue de la compréhension facilite la réponse tandis que celui de l’extension soulève la question (posée par Hamilton) de la quantification du prédicat. C’est dans ce second cas d’un raisonnement en extension pour le prédicat comme pour le terme servant de sujet que les erreurs semblent se polariser comme au chap. III : tandis que la question du type « tous les B sont-ils (des) A ? » donne des réponses facilement justes même si l’enfant la comprend sous la forme « tous les B sont-ils tous les A ? », la question de type « tous les A sont-ils (des) B ? » donne lieu à erreur lorsqu’elle est comprise selon la fausse quantification du prédicat « tous les A sont-ils (tous les) B ? » C’est ce que nous voyons explicitement, par exempte, chez Mal qui nie, contre l’évidence, que tous les rouges sont ronds parce qu’il existe des ronds bleus et chez Chu pour la même raison (« parce qu’il y a des ronds bleus aussi »).

Mais ce qui semble spécial aux présents résultats est que, même dans le cas des questions de type « tous les B sont-ils des A ? » (si A < B), on trouve des erreurs du même type, sans doute dues à l’accent mis sur l’intersection des classes lors des questions précédentes (1 à 7) ; c’est ainsi que Hes nie que tous les bleus sont ronds non pas parce qu’il existe des bleus carrés dans la classe des jetons bleus, mais « parce qu’il y a des ronds rouges », ce qui revient à nier que tous les B soient des A₁ non pas parce qu’il existe des « B A’₁ » mais parce qu’il existe des « A₂ - non-B » ! De même Zer nie que tous les ronds sont bleus non pas parce qu’il existe des ronds rouges mais « parce qu’il y a aussi des carrés (bleus) ».

Voici enfin des cas du stade III, donc de réponses entièrement justes et correctement justifiées ;

Sei (7 ; 0) : « Tous les bleus sont carrés ? — Non, il y a des ronds et des carrés. — Tous les ronds sont bleus ? — Non, ils sont rouges et bleus. — Tous les bleus sont [p. 197] ronds ? — Pas tous. — Tous les ronds sont rouges ? — Non, on n’a qu’un paquet (Rr). — Tous les rouges sont ronds ? — Oui. — Tous les carrés sont bleus ? — Oui. »

Car (7 ; 3) : « Tous les carrés sont bleus ? — Oui. — Tous les bleus sont carrés ? — Non, il y a des ronds bleus. — Tous les ronds sont bleus ? — Non », etc.

Hey (7 ; 3) : « Tous les carrés sont bleus ? — Oui. — Tous les bleus sont carrés ? — Non. — Tous les bleus sont ronds ? — Non. — Tous les ronds sont rouges ? — Non, il y a aussi des ronds bleus. »

Gra (8 ; 6) : « Tous les carrés sont bleus ? — Oui, parce qu’il n’y a pas de carrés rouges. — Tous les bleus sont carrés ? — Non, il y a aussi des ronds. — Tous les ronds sont bleus ? — Non, il y a aussi des rouges. — Tous les bleus sont ronds ? — Non, il y a aussi des carrés. — Tous les rouges sont ronds ? — Oui. »

En de tels cas on a l’impression que les exercices précédents d’intersection facilitent les réponses, ce qui est naturel sitôt que le réglage du « tous » et du « quelques » est suffisant pour éviter les fausses quantifications du prédicat. Mais on a vu à l’instant que les intersections compliquent au contraire les réponses aux questions de type « tous les B sont-ils des A (si A < B) ? » lorsque le réglage est insuffisant. Comme le réglage dépend surtout du progrès de l’inclusion et des opérations additives, on peut voir dans ces faits un nouvel exemple des interactions entre les constructions solidaires des schèmes additifs et multiplicatifs.

Ce long chapitre sur le développement des opérations multiplicatives de classes semble donc avant tout mettre en évidence le parallélisme et la solidarité existant entre cette évolution et celle des opérations additives, et cela au cours des trois stades préopératoires et opératoires de ces deux sortes de structures.

Nous nous sommes demandé, au § 1 de ce chapitre, si les structures multiplicatives ou matrices dérivent directement des structures figurales correspondantes, étant donné leur caractère de bonnes formes perceptives, ou si elles en sont indépendantes, ou encore si elles en procèdent par paliers successifs de la même manière que les classifications additives tirent leur source des collections figurales par l’intermédiaire des collections non figurales.

Les faits analysés dans les paragraphes précédents nous permettent de fournir une réponse à ces questions. En premier lieu, il est exclu de considérer les structures multiplicatives comme directement issues des configurations correspondantes, puisque les § 2 et 3 nous ont montré par deux techniques distinctes, et dont les résultats ont été convergents, qu’il existe une discontinuité entre les solutions perceptives et les solutions opératoires des épreuves de matrices. D’autre part, il est également exclu de considérer les structures multiplicatives comme dues à des coordinations tardives qui se superposeraient sans plus aux structures initiales liées aux dispositifs figuraux, puisque les § 4 et 5 nous ont montré combien les classifications multiplicatives spontanées procèdent pas à pas, à partir des collections figurales et de la même manière que les classifications additives.

[p. 198] Il ne reste donc, par élimination, que la troisième solution. Mais celle-ci a pu recevoir une confirmation directe des faits décrits dans les § 6 à 8 : tant l’étude des intersections (§ 6), ou des relations entre l’addition et la multiplication à propos du même dispositif d’intersection (§ 7), que l’analyse du « tous » et du « quelques » appliqués aux classes multiplicatives (§ 8) ont mis en évidence l’étroite solidarité qui existe entre la construction des opérations additives de classes et celle des opérations multiplicatives. D’un tel point de vue, il n’y a pas, d’abord élaboration des structures additives, et ensuite généralisation de ces structures à deux ou plusieurs dimensions sous la forme multiplicative : il y a, à tous les niveaux, certaines formes, rudimentaires ou achevées, de classification et ces formes peuvent aussi bien s’appliquer à un seul critère qu’à plusieurs critères à la fois (coordonnés en cas d’achèvement ou mélangés de diverses manières aux niveaux plus élémentaires) : dans le premier cas la structure est additive et dans le second multiplicative, sans aucune opposition essentielle entre elles deux.

Cette solidarité de développement, jointe aux synchronismes des étapes respectives, montre ainsi que les structures additives et multiplicatives de classes constituent une même grande organisation opératoire, malgré les différences figurales et les différences apparentes de complexité. Nous aboutirons à la même conclusion en ce qui concerne les opérations additives et multiplicatives de relations sériales (chap. IX et X) et constaterons de plus la parenté génétique entre ces systèmes de sériations et les systèmes de classifications. De tels liens génétiques entre les structures d’ensemble des opérations élémentaires nous paraissent constituer l’un des arguments les plus solides en faveur de la conception opératoire de l’intelligence.