Chapitre X.
La multiplication des relations asymétriques transitives ^{1 a} 🔗

On présente à l’enfant 49 dessins de feuilles d’arbre découpées dans du carton bristol et pouvant être ordonnées simultanément selon leur grandeur croissante (sept [p. 271]grandeurs distinctes que nous numéroterons I à VII) et selon leurs teintes de plus en plus foncées s’échelonnant du jaune vert au vert foncé (sept teintes que nous numéroterons 1 à 7). Chaque grandeur distincte correspond aux sept teintes (I 1, I 2, … I 7 ; II 1 II 7 ; etc.) et chaque teinte distincte aux sept grandeurs possibles (II, III, … VIII ; I 2, II 2, … VII 2 ; etc.). En outre on peut donner 98 feuilles pour voir la réaction aux éléments identiques (49 paires d’identiques). Enfin, pour les petits, nous nous sommes servis d’une collection réduite de 4 × 4 feuilles (avec identiques, soit 32 éléments en tout), mais avec une différence plus sensible entre les grandeurs et entre les teintes.

On demande au sujet d’arranger ces éléments comme il l’entend. En cas d’insuccès, l’expérimentateur peut sérier l’une des rangées selon l’une des deux dimensions, ou en sérier deux selon les deux dimensions (voir le tableau ci-contre ; en laissant alors au sujet le soin de remplir le cadre ainsi tracé. Une fois le tableau construit, soit spontanément, soit par remplissage du cadre suggéré, on prie le sujet de trouver un élément selon les deux critères à la fois : il arrive, en effet, que certains sujets, tout en ayant construit d’eux-mêmes un tableau complet, n’en comprennent pas pour autant la signification multiplicative entière.

Nous distinguerons trois stades qui correspondent aux trois paliers habituels. Au cours du stade I, il n’y a pas encore de sériations proprement dites, mais des conduites intermédiaires entre la classification et la sériation et procédant en général par collections figurales (alignements, etc.). Au cours du stade II, il y a sériation selon l’un des critères seulement, ou passage de cette sériation à l’autre mais sans la synthèse multiplicative des deux. Au cours du stade III, enfin (avec début vers 7-8 ans), le groupement multiplicatif est atteint par double sériation de l’ensemble des éléments.

Donnons d’abord des exemptes :

Hen (5 ; 5). Petit ensemble (32 éléments) : il commence par un alignement général des 32 feuilles, avec les identiques côte à côte ; les 8 plus grandes feuilles sont réunies, les 24 autres dispersées irrégulièrement. « Peux-tu faire encore mieux ? — (Il les range à nouveau et aboutit à quatre classes de grandeurs, mais sans les sérier ni s’occuper des couleurs). — Peux-tu les mettre ensemble pour qu’on retrouve les foncées, les moins foncées, les claires et les toutes claires ? — (Essai de sériation mais approximative parce qu’il est gêné par les grandeurs.) — Essaye maintenant de ranger pour que les grandes soient ensemble et les petites aussi, mais les mêmes couleurs aussi. — (Il fait un grand cercle en réunissant les feuilles d’après leurs couleurs et en subdivisant les classes de couleurs selon les grandeurs.) — On donne enfin le cadre de la table multiplicative à 16 casiers en construisant une rangée en [p. 272] haut et une colonne à gauche, et l’on demande de situer deux ou trois feuilles (successivement) : il réussit après tâtonnements : « parce que c’est la même couleur et la même grandeur ».

Ver (5 ; 7), 32 éléments : il les classe en quatre collections (non sériées) d’après les grandeurs. « As-tu une autre idée ? — (Deux tas, grandes et petites.) — Et autrement ? — Non. — On pourrait mettre les foncées ensemble et les claires ensemble ? — Non, ça ne va pas : il y a des grandes et des petites. — Fais-le quand même. — (Trois tas : claires, moyennes et foncées). — Et là (dernier tas) il y a des très foncées et des moins foncées. — (Il le divise, d’où 4 classes de couleurs.) — On pourrait les ranger pour trouver tout de suite par exemple les grandes ? — (Il fait quatre classes de grandeurs sans plus s’occuper de la couleur.) — Et pour trouver à la fois la grandeur et la couleur ? — (Il fait un seul tas qu’il subdivise en claires, en petites, etc., mais sans aucun système multiplicatif.) » On construit enfin le cadre du tableau avec une rangée en haut et une colonne à gauche : il le complète après tâtonnements.

Bur (5 ; 9) répartit l’ensemble de 49 éléments en collections fondées tantôt sur les grandeurs, tantôt sur les couleurs. On lui montre la possibilité de sérier selon les grandeurs et il continue sans s’occuper des couleurs. — 32 éléments : il fait une collection des grandes foncées, une autre des grandes claires et une troisième des petites claires foncées : il aligne ces trois collections en rangées superposées, mais sans sériations ni multiplication.

Vus (6 ; 0) procède par alignements verticaux de mêmes couleurs, mais les colonnes n’étant pas sériées entre elles et chacune d’entre elles comportant des grandeurs mélangées au hasard (sauf quelques sériations de trois éléments). « Pourrais-tu faire autrement pour qu’on retrouve les grandeurs ? — (Elle procède de même par alignements verticaux de grandeur, mais avec couleurs mélangées.) » Essaie ensuite d’empiler les feuilles de mêmes grandeurs, mais sans sériations ni considération des couleurs.

Le caractère général de ces réactions est de procéder par collections figurales (alignements, cercles, empilements, etc.) sous une forme susceptible d’évoluer aussi bien dans la direction de la classe que de la sériation. Mais lorsqu’ils n’y sont pas incités par l’expérimentateur, ces sujets ne se livrent à aucune sériation proprement dite, bien qu’ils en soient capables par une méthode de tâtonnement empirique (voir Hen). D’autre part, leurs classifications figurales ne portent spontanément que sur une seule des qualités en jeu, grandeur ou couleur, ou bien (Bur) sur un mélange des deux, mais avec alternance sans système et non pas avec le dessein de les composer multiplicativement. Lorsque l’expérimentateur insiste sur la qualité oubliée, ils parviennent bien à différencier les collections antérieurement construites et à construire ainsi des sous-collections tenant compte du second caractère, mais il n’y a là aucune multiplication proprement dite. Cependant, malgré cette absence de sériation spontanée et d’intention multiplicatrice, ces sujets parviennent avec tâtonnements à utiliser le cadre de la matrice de multiplication des relations (Hen et Ver) sitôt que l’on construit devant eux la rangée supérieure et la colonne de gauche ; mais il ne s’agit naturellement alors que d’une solution figurale et non pas encore opératoire.

Voici quelques exemples :

San (6 ; 0) construit spontanément, avec 32 éléments, un tableau carré de 16 casiers (les identiques étant superposés) dont les rangées horizontales sont respectivement formées des quatre couleurs distinctes et sont sériées de la plus claire à la plus foncée. Par contre les grandeurs sont distribuées au hasard. « Comment as-tu fait ? — (Elle montre les quatre rangées de haut en bas !) Les claires, les moins claires, les foncées, les plus foncées. — Et où sont les grandes et les petites ? — (Les montre.) — Tu peux faire pour qu’on les retrouve plus vite ? — (San construit une nouvelle table en rangées horizontales choisies selon les grandeurs et sériées de la supérieure à l’inférieure en ordre de grandeurs croissantes. Les couleurs sont par contre mélangées.) — Mais, tu sais, maintenant on ne trouve plus les couleurs ! — (San prend les feuilles claires et les ordonne verticalement des plus grandes aux plus petites.) — Tu peux faire la même chose pour les foncées ? — (Elle le fait puis intercale entre deux les couleurs intermédiaires, également sériées par ordre de grandeur.) » San est ainsi parvenue, mais à la suite des questions suggestives (qu’on vient de rapporter) de l’expérimentateur, à une configuration figuralement isomorphe à une table à double entrée de multiplication de relations. Seulement, n’ayant pas atteint ce résultat spontanément, San n’en saisit pas la portée : lorsqu’on lui donne le cadre de la matrice à 49 éléments (en fournissant la rangée supérieure de 7 feuilles et la colonne de gauche de 7 feuilles), en lui demandant de chercher l’emplacement de feuilles qu’on lui présente, elle ne trouve le rang voulu que pour la couleur et échoue pour la grandeur si la place recherchée n’est pas voisine d’une feuille déjà posée.

Stec (6 ; 3) construit aussi, avec 32 éléments, un tableau carré, dont les quatre colonnes correspondent aux quatre couleurs et sont sériées en ordre décroissant de gauche à droite. Mais à l’intérieur de chaque colonne les grandeurs demeurent mêlées. « C’est trop dispersé. Tu pourrais ranger pour qu’on retrouve plus vite les grandeurs ? » Stec se livre alors à une sériation approximative des grandeurs à l’intérieur des colonnes. Puis elle fait quatre empilements dont chacun constitue une sériation selon la grandeur (plus grande feuille à la base et plus petite au sommet) et qui sont eux-mêmes sériés selon les teintes. Enfin, elle étale spontanément en séries verticales les éléments empilés et retrouve ainsi un tableau carré qui constitue en fait une table à double entrée complète et correcte. Mais, comme San, Stec n’en comprend pas toute la signification, et, quand on lui présente le cadre de la table à 49 éléments, elle réussit bien à trouver les emplacements du point de vue de la grandeur des feuilles présentées, mais échoue à la couleur, sauf par voisinages.

Cat (6 ; 2) série d’après les grandeurs décroissantes, mais en ordre cyclique, les feuilles les plus foncées des 32 éléments : la plus petite touche alors la plus grande. Elle fait ensuite un second cercle avec les moins foncées, en sériant également les grandeurs en ordre décroissant mais de manière cyclique. Puis elle fait un troisième cercle avec les claires et un quatrième avec les plus claires, toujours selon le même principe. Les quatre cercles de 8 éléments (les identiques étant superposés, ce qui donne 4 chaînons pour chaque cercle) sont, d’autre part, situés l’un à côté de l’autre en ordre linéaire par ordre de teintes décroissantes. Cette configuration d’ensemble de quatre cercles sériés entre eux et chacun sérié intérieurement constitue donc un système multiplicatif complet et correct, auquel il ne manque, au point de vue de la lecture des correspondances, qu’un ensemble de liaisons commodes pour faire correspondre l’un des éléments d’un des cercles à l’élément correspondant des autres cercles. Cat essaye alors d’un autre système : elle transforme l’un des cercles [p. 274] en une colonne verticale, avec superposition partielle des feuilles comme s’il s’agissait de tuiles ; elle fait de même avec les trois autres cercles, ce qui donne presque la matrice carrée de 16 casiers. Puis elle remplace ces rangées par des empilements, la plus grande feuille étant à la base et la plus petite au sommet. Enfin, elle remanie le tout et dispose les plus grandes feuilles (I) en une rangée horizontale sériée par teintes décroissantes. En dessous de cette rangée elle place une seconde rangée formée des feuilles de la grandeur immédiatement inférieure (II), également sériées par teintes décroissantes ; mais, au lieu de faire correspondre les teintes de la rangée II à celles de la rangée I, elle fait une rangée II plus courte que la rangée I, ce qui rend les lignes de correspondances obliques et non verticales. Elle construit de même une rangée III (grandeur suivante), par teintes décroissantes mais la rend encore plus courte que II. De même pour la rangée IV. Le résultat est alors une table à double entrée, mais à laquelle il manque la forme carrée : seuls les éléments I 1 II 1 III 1 et IV 1 sont superposés verticalement, tandis que les colonnes I 2 à IV 2, I 3 à IV 3 et I 4 à IV 4 sont de plus en plus inclinées.

Asc (6 ; 4) classe les 32 éléments selon les quatre couleurs, puis prend la collection la plus claire et la série selon les grandeurs. Il fait de même des collections de plus en plus foncées. Il parvient ainsi à un système multiplicatif complet mais, faute de superposer exactement les collections sériées, il ne prend pas conscience des correspondances terme à terme entre les grandeurs des feuilles comprises dans les différentes classes de couleurs : autrement dit, il comprend bien la sériation des quatre collections de couleurs ainsi que la sériation interne de chacune d’entre elles du point de vue des grandeurs, mais il n’atteint pas les correspondances élément à élément d’une collection à l’autre.

Ce stade fournit ainsi une série progressive de réactions qui finissent par atteindre la frontière des tables multiplicatives complètes. On peut caractériser cette progression de la manière suivante : les sujets les moins développés (par exemple San) se bornent à sérier selon l’une des qualités en jeu, en négligeant l’autre jusqu’à ce que l’expérimentateur leur en rappelle l’existence ; puis ils effectuent une sériation selon l’autre qualité, mais en oubliant la première, et enfin ils cherchent à concilier les deux sériations, mais sans atteindre la conscience de la multiplication entière. À un niveau un peu plus élevé (Stec), le sujet commence également par une seule sériation, puis, lorsqu’on rappelle la seconde qualité, il introduit une sériation de ce second point de vue à l’intérieur des collections construites et sériées entre elles au premier point de vue ; mais ici encore, et même quand l’enfant a atteint une configuration isomorphe à celle de la matrice multiplicative, il n’en comprend pas toute la signification. Un pas de plus est franchi lorsque le sujet commence de lui-même par une double sériation : c’est ainsi que Cat groupe les feuilles selon leurs couleurs en figures circulaires sériées les unes par rapport aux autres de la teinte la plus foncée à la teinte la plus claire, tout en introduisant à l’intérieur de chaque cercle un ordre cyclique permettant de sérier les grandeurs. Mais si l’intention de la multiplication devient ainsi nette, puisque le sujet recherche les deux sériations « à la fois », le résultat n’est toujours pas complet car ces deux sériations ne sont pas situées sur le même plan : l’une est externe aux collections de départ (cercles, colonnes, empilements, etc.) et les ordonne les unes par rapport aux autres, tandis que l’autre sériation est intérieure à chaque collection, mais sans instrument [p. 275] de correspondance permettant de relier terme à terme les membres de l’une des collections à ceux des autres. Le sujet Cat atteint d’ailleurs presque cette correspondance grâce à une figure d’ensemble quadrilatère : mais le fait même qu’il ne réussit pas à trouver la forme carrée qui donnerait à la table son sens multiplicatif complet (double correspondance entre colonnes et entre rangées) montre assez qu’il ne cherche pas à dépasser le niveau des sériations hétérogènes, les unes externes et les autres internes. Il en est de même du sujet Asc qui atteint d’emblée le résultat final de Cat et se trouve ainsi au seuil de la méthode opératoire.

Notons encore que la réaction des sujets au cadre de la table des 49 éléments (lorsque l’on donne au sujet la rangée supérieure et la colonne de gauche de cette table, en le priant de situer des feuilles données successivement) confirme bien le fait que, à ce niveau II, les deux sortes de sériations à multiplier entre elles ne sont pas encore homogènes : il est frappant à cet égard de constater que si l’enfant parvient d’emblée à repérer un emplacement du point de vue de l’une des deux qualités sériées, il échoue au second point de vue sinon par voisinages successifs. Or, il est clair qu’une telle difficulté ne saurait être d’ordre perceptif : c’est bien l’exigence de suivre les sériations « à la fois », donc l’exigence multiplicative comme telle, qui constitue ici le problème délicat pour l’enfant. Et c’est pourquoi, même lorsqu’il parvient, dans son arrangement des 32 éléments, à tenir compte des deux sériations nécessaires, il n’arrive pas, malgré cette réussite partielle, à les rendre entièrement homogènes, comme ce sera le cas au cours du stade III.

Nous commencerons par citer trois cas intermédiaires entre les stades II et III avant de passer aux cas francs :

Kro (6 ; 6) range d’emblée les 32 éléments d’après la grandeur et la couleur : elle parvient ainsi peu à peu à 4 colonnes verticales sériées de gauche à droite selon les grandeurs décroissantes et à 4 rangées horizontales sériées de haut en bas selon les teintes décroissantes. Elle comprend qu’en suivant une même rangée ou une même colonne une seule des qualités varie à la fois et lorsqu’on lui demande de montrer un élément à la fois plus petit et plus clair qu’un autre elle suit les diagonales ou leurs parallèles.

Pour la collection de 2 × 49 éléments elle n’aboutit par contre qu’à des réussites partielles. Lorsqu’on lui fournit le cadre constitué par la rangée supérieure et la colonne de gauche elle complète par contre tout le tableau avec quelques tâtonnements spontanément corrigés.

À 7 ; 1, le même sujet arrange immédiatement pour les 32 éléments une table à double entrée. Pour les 98 éléments, elle commence bien, mais se lasse. On lui donne le cadre et elle termine sans erreur.

Jun (7 ; 6) commence, pour les 32 éléments, par faire 8 séries horizontales de grandeurs décroissantes (couleurs mêlées) qu’il place par quatre les unes au-dessus des autres en deux tableaux juxtaposés, puis il ordonne les couleurs à l’intérieur de chaque série. On a ainsi deux tables à double entrée juxtaposées formées d’éléments identiques, mais la seconde présente par rapport à la première une inversion systématique du sens de sériation des couleurs, tandis que les grandeurs sont sériées de la même manière dans les deux.

[p. 276]Sut (7 ; 2) commence de même par sérier les grandeurs, avec couleurs mélangées, puis elle série les couleurs en ordre décroissant, d’où une table à double entrée correcte avec deux exemplaires de chaque élément.

Pour l’ensemble de 2 × 49, elle entreprend d’emblée la table à double entrée selon la méthode trouvée à l’instant et la réussit à part quelques petites erreurs de couleurs (dans les nuances peu distinctes).

Mar (7 ; 4) : « Qu’est-ce que tu vois ? — Il y a des plus foncées et aussi des plus petites que d’autres. — Tu pourrais les mettre en ordre ? — (Il prend les plus foncées et les série selon la grandeur.) C’est les plus foncées que j’ai mises en premier. Ça ne fait rien ? (Il superpose les feuilles pour juger de leurs grandeurs puis continue avec les moins foncées, etc., jusqu’à la table à double entrée complète.) — Mais comment as-tu si bien arrangé ? — J’ai regardé toujours les plus petites et les plus claires. »

Wes (7 ; 5) fait d’abord des rangées de 3-4 éléments de grandeur et de couleur décroissant simultanément, ce qui signifie qu’il pense pouvoir éviter les séries avec égalité d’une qualité et ordre croissant de l’autre. Mais il constate que tous les éléments ne se laissent pas ainsi sérier. « C’est possible de faire autrement ? — (Il fait alors des colonnes de même grandeur et de teintes décroissantes et des rangées de même couleur et de grandeurs décroissantes). »

Dub (7 ; 11) série les grandes feuilles (32 éléments) par teintes décroissantes, puis les moins grandes, etc., mais aligne ses séries en une longue rangée unique. « Et si tu voulais retrouver tout de suite les plus claires ou les plus foncées ? — Ah ! oui (il superpose les rangées, ce qui donne un tableau à deux dimensions). »

49 éléments : applique la même méthode en superposant d’emblée les rangées.

Guy (8 ; 3) série au contraire les feuilles foncées par grandeurs décroissantes, etc., et les laisse également juxtaposées. « Tu pourrais faire quelque chose pour tout retrouver à la fois ? — Mais oui ! » (Il superpose les 4 classes de couleurs et atteint ainsi la table à double entrée.)

Par (8 ; 6) commence comme Wes par une rangée en couleurs et grandeurs simultanément décroissantes (ce qui correspond à I 1, II 2, III 3 et IV 4, donc à la diagonale) puis il construit une colonne de grandeurs égales et couleurs décroissantes (I 1, I 2, I 3 et I 4). Il ne parvient alors naturellement pas à construire sa table en prenant la première suite comme rangée supérieure et la seconde comme colonne de gauche : il continue alors selon le second système.

Deux nouveautés caractérisent ce stade par rapport au précédent, et se réduisent d’ailleurs sans doute à deux aspects complémentaires d’une même nouvelle réaction.

La première consiste en ceci que, dès l’inspection initiale de la collection, le sujet anticipe la nécessité d’une double sériation selon les deux qualités variables. Comme le dit, par exemple, Mar (le premier des cas francs cités précédemment), « il y a des plus foncées et aussi des plus petites que d’autres ». Aussi l’enfant forme-t-il d’emblée le projet de sérier les deux sortes de qualités, même s’il commence par l’une seule des deux.

La seconde nouveauté revient d’autre part à ce que, même si le sujet a commencé par l’une des deux sériations, il ne subordonne pas la seconde à la première, comme c’était le cas au stade II, mais les considère comme homogènes ou d’égale importance. Il n’y a donc plus des classes de couleurs [p. 277] sériées de façon externe les unes par rapport aux autres avec en plus une sériation interne des grandeurs, ou des classes de grandeurs sériées de façon externe avec en plus une sériation interne des couleurs. Il y a dorénavant l’une et l’autre de ces deux dispositions quelle que soit celle qui a précédé l’autre. En d’autres termes, quand un sujet comme Dub construit des classes de grandeurs décroissantes avec sériation interne des couleurs en chaque classe, il établit mentalement une correspondance entre les couleurs comprises en une classe de grandeurs et les couleurs des autres classes de grandeurs (ce qui n’était pas le cas au stade II) : c’est pourquoi, bien qu’il ait aligné ses classes de grandeurs en une rangée unique, il suffit de lui demander : « Et si tu voulais retrouver… etc. » pour qu’il superpose immédiatement ses classes de couleur et atteigne ainsi la configuration de table à double entrée où les sériations externes et internes se fondent en un seul système. Guy commence inversement par les classes de couleurs, sériées intérieurement selon les grandeurs mais réagit de même à la question de « tout retrouver » et construit sa table à double entrée.

Mais c’est à ce projet de double sériation et de deux sériations homogènes que se limite le schème anticipateur. Ce schème porte donc bien sur l’essentiel, qui est l’intention multiplicatrice, mais sans que le sujet voie toujours d’avance la disposition spatiale qu’il donnera à cette double sériation, tandis que dans le cas de la multiplication des classes on a l’impression chez la plupart des sujets du stade correspondant que l’anticipation porte aussi sur la disposition spatiale (sur la matrice elle-même). D’autre part, on vient de voir au chap. VI que la sériation unique donne lieu à une semi-anticipation de la figure spatiale dès le stade II 1 II y a donc là un double problème comme nous le faisions entrevoir dans l’introduction du présent chapitre.

Or, une sériation est une « bonne forme » d’abord parce qu’elle comporte toujours une différence de même nature qualitative qui se répète entre éléments successifs et dans la mesure ensuite où les différences ainsi répétées sont quantitativement égales (ce qui n’est pas nécessairement le cas). Rappelons en outre que ces relations de différence sont directement perceptibles, ce qui n’est pas le cas des classes.

Une classification, par contre, n’est pas une « bonne forme » parce que dans l’inclusion des classes successives A en B, B en C, etc. (selon l’opération (A + A’ = B ; B + B’ = C ; etc.) il intervient : (1) des relations d’équivalence a entre les individus appartenant à A ; b entre les individus appartenant à B, etc. (relations qui sont perceptibles tandis que les classes en tant que réunions ne le sont pas sinon sous des formes figurales arbitraires) ; (2) des relations de différence ou « altérités » entre les A et les A’, entre les B et les B’, etc. : or, ces relations ne sont pas les mêmes dans le cas A A’ que dans les cas B B’, ou C C’, etc. et elles ne sont donc pas sériables dans le cas général. C’est ce mélange d’équivalences et d’altérités qui oppose la configuration classificatoire à la configuration sériale et confère à celle-là une complexité que n’a pas celle-ci et l’empêche de constituer une forme aussi « bonne », faute de simplicité et de régularité.

[p. 278] Dans le cas des matrices de multiplication de classes on a, pour neuf éléments (voir la table ci-contre), à considérer les différences ou altérités entre A₁ et A’₁, entre (A₁ + A’₁) et B’₁, entre A₂ et A’₂ et entre (A₂ + A’₂) et B’₂, ce qui constitue la même difficulté que pour les classifications simples. Mais la difficulté, au lieu d’augmenter avec le système multiplicatif est au contraire atténuée du fait des symétries : ce sont, en effet, les mêmes caractères que l’on retrouve le long des mêmes rangées (horizontales) ou des mêmes colonnes (verticales) selon un principe de double symétrie. Il en résulte que le jeu des équivalences domine au point de vue figural, bien qu’il y ait autant de relations de différences que d’équivalences : c’est pourquoi la matrice de multiplication des classes est une forme figuralement meilleure que la classification simple, d’où les paradoxes évolutifs relevés au chap. V.

Quant à la multiplication des relations asymétriques transitives ou des sériations (voir le tableau) il en est en apparence exactement de même sauf que les altérités sont remplacées par des différences sériables : or, la sériation constituant une forme « meilleure » que la classification, on pourrait même s’attendre à ce que la multiplication des sériations soit également plus simple que celle des classes non sériables.

Mais la difficulté spécifique de la multiplication sériale provient paradoxalement du même facteur qui facilite la construction des matrices de multiplication des classes : à savoir le rôle des équivalences. En effet, lorsque le sujet est orienté vers la classification il recherche, par attitude systématique, des équivalences puisqu’une classe est une réunion d’éléments équivalents : les différences ou altérités constituent alors un obstacle ou une complication du classement, et c’est cette complication qui est précisément atténuée par le jeu des symétries dans une matrice multiplicative, d’où le retour au primat de l’équivalence. Lorsque le sujet tend au contraire à sérier, il cherche les différences puisqu’une sériation est un enchaînement de différences asymétriques transitives ; et lorsqu’il constate, à l’inspection de la collection présentée, la présence de deux systèmes de différences sériables, il est a fortiori orienté vers les différences elles-mêmes. Or, il est impossible de construire un tableau multiplicatif de deux systèmes de différences sériables sans introduire un jeu d’équivalences sans quoi l’on n’obtient que les diagonales ou les lignes obliques de la table. Autrement dit si pour deux relations I… et 1… on peut avoir les combinaisons <<, >>, >< et <>, on doit prévoir aussi les combinaisons < =, > =, = <, = > et = =, qu’elles soient réalisées ou non. C’est alors cette intervention des équivalences partielles dans la table multiplicative de n sériations qui constitue l’obstacle à une facilité figurale comme celle de la sériation simple où cette difficulté n’intervient pas. Et c’est ce qui explique le paradoxe que la matrice multiplicative des classes comporte une configuration meilleure que la [p. 279] classification tandis que celle des relations ne comporte qu’une configuration moins « bonne » que la sériation.

Il est intéressant de constater à cet égard que plusieurs sujets (voir Wes et Par) commencent par vouloir constituer une double sériation en ordonnant directement les éléments selon les deux relations << ou >> (plus grands et plus foncés, etc.), c’est-à-dire qu’ils construisent au départ ce qui constituera en fait la diagonale de leur table, mais en croyant atteindre la table elle-même ou l’une de ses rangées ou colonnes. Or, c’est bien là l’attitude la plus naturelle, une fois compris qu’il faut deux sériations : c’est pourquoi on ne trouve cette réaction ni au stade I où l’enfant se borne à classer par collections figurales, ni au stade II où il ne pense qu’à une sériation à la fois ou fait primer l’une des deux par rapport à l’autre.

Il est d’autant plus frappant que, malgré ces difficultés figurales dues au caractère mixte des tables de double sériation, les sujets parviennent spontanément soit à des classes ordonnées en longues rangées comme Dub et Guy (I 1-4 ; II 1-4, etc.), ce qui constitue bien une table multiplicative mais à figuration unidimensionnelle, soit à des tables à deux dimensions.

En conclusion, nous pouvons donc répondre comme suit au problème posé au début de ce chapitre : (1) l’enfant parvient à peu près au même niveau (7-8 ans) aux schèmes opératoires de la multiplication des classes et de celle des relations asymétriques transitives (multiplication sériale) ; (2) mais le dernier schème, reposant à la fois sur les différences sériables et sur les équivalences, soulève un problème spécial, non pas de structure mais de symbolisme spatial. Dès 7-8 ans en moyenne les sujets comprennent, soit d’emblée, soit en débutant par de doubles inégalités (>> ou <<, c’est-à-dire les diagonales de la table ou leurs parallèles), la nécessité de cette combinaison des différences sériables et des équivalences (puisque, dans notre dispositif, ils construisent à la fois des classes de couleurs avec grandeurs sériées et des classes de grandeurs avec couleurs sériées), mais tous ne choisissent pas, ou pas d’emblée, le symbolisme bidimensionnel : certains procèdent par succession cyclique unidimensionnelle (I 1-4 ; II 1-4 ; etc.), tandis que d’autres parviennent spontanément à la table à double entrée.

Au total, il est assez remarquable, du point de vue des mécanismes opératoires, de constater que malgré les différences assez considérables que nous avons notées (d’abord du point de vue des facilités de la représentation figurale, ce qui se traduit ensuite en facilités ou difficultés du symbolisme spatial) entre la classification, la sériation simple et les systèmes multiplicatifs de classes ou de sériations, ces quatre grandes structures correspondant aux quatre principaux « groupements » de la logique des classes et des relations, se constituent ou plutôt s’achèvent à peu près au même niveau de développement, la part faite naturellement des décalages dus à la résistance plus ou moins grande des contenus intuitifs.