Chapitre IX
L’enroulement de chaînes autour de diverses plaquettes ^{1 a} 🔗

Voici d’abord des exemples du niveau IA :

Mab (4 ; 8) avec la technique des poids ne s’occupe que d’utiliser des poids égaux (soit 1, soit 2 de chaque côté), qu’il place sur des ficelles quelconques en les fixant à des plaquettes quelconques, y compris un petit triangle et un [p. 167] grand cercle. « Et si tu pends ton poids là (grand cercle) et moi là (cercle moyen) ? — Moi je gagne, ça tourne vite. — (Essai.) — Pourquoi tu as perdu ? — J’sais pas. — Et comme ça (égalité) pourquoi ils sont arrivés en même temps ? — Parce qu’on a tiré tous les deux… parce qu’on tourne. — (Deux petites figures) Qui va gagner ? — Moi. — Pourquoi ? — Parce qu’on tire. »

Bur (5 ; 3). Technique des chaînes. Il accroche une longue chaîne au grand rond et une grande aussi au grand triangle : « Ils arriveront les deux en même temps. — Une va gagner ? — Oui, celle-là (chaîne du triangle). — Pourquoi ? — Parce qu’elle est plus grande (il vérifie), non les deux. » Mais ensuite il place une longue chaîne sur un petit triangle et une plus courte sur un grand. « Laquelle va gagner ? — Celui-là (petit) et le grand rond perd. — Mais je veux qu’ils gagnent les deux (= arriver ensemble). Quoi faire ? — En mettre une autre, une chaîne qui soit la même chose. — Et si on a ça (petit carré et grand rond) ? — Les deux parce que les chaînes sont de la même longueur. » Et ainsi de suite sur d’autres plaquettes, malgré les échecs : « Avec les mêmes chaînes on peut gagner ? — Oui. — Partout ? — Oui. — Avec les grandes et petites formes ensemble ? — Oui. — Et avec des petites ? — Oui, avec des chaînes la même chose (de même longueur). »

Nic (5 ; 2) au contraire choisit des plaquettes de tailles égales mais ordinairement avec des chaînes inégales : une longue à un petit cercle et une courte à un petit triangle, puis une longue à un petit cercle et une plus courte à un autre petit cercle, etc. À un moment donné il met deux mêmes petites chaînes sur deux petits cercles mais ne comprend pas pourquoi elles arrivent ensemble au haut des figures et il met immédiatement après une longue chaîne sur un petit cercle et une courte sur un petit triangle. Il semble alors comprendre : « Non, je me trompe, il faut mettre aussi une grande là. » Il permute alors simplement les deux chaînes. À la fin de l’interrogation on demande à Nic s’il y a moyen que sur deux petites plaquettes les chaînes arrivent en même temps ; il met alors des chaînes de longueur égale, mais pour expliquer la réussite il se borne à dire : « Parce qu’il y a deux petits et ils ont gagné (tous les deux). — Et pourquoi avec ça (grande et petite forme), ça n’a pas marché ? — Parce qu’on a mis sur ce triangle et ce rond. »

Voici maintenant des cas du niveau IB :

Sea (5 ; 6) fait tourner un grand carré et un grand rond avec de longues chaînes inégales et constate : « Ça n’arrive pas en même temps. Il faut mettre une toute grande. — Comment tu sais ? — Je ne sais pas, ça dure longtemps. (Réussite.) Elles arrivent en même temps ! — Et d’une autre façon ? — Sur un petit triangle et un gros. — Ça va arriver en même temps ? — (Il mesure la longueur des ficelles) Non… Si… non parce qu’il n’y a pas deux gros triangles. Il en aurait fallu deux pareils parce que le petit est moins haut et le grand est plus haut. — Mais si, on peut les faire tourner en même temps. — (Il prend deux grands ronds et réussit) J’ai fini. Ils sont à la même longueur. — Et encore ? — J’aurais aimé deux petits (réussit avec deux petits triangles). — Et autrement ? — (Il prend deux petites chaînes mais inégales.) J’ai pris deux petites chaînes, mais non, une est plus grande (en choisit deux égales [p. 168] et les accroche sur deux petits carrés). — Ça va arriver en même temps ? — Oui parce que j’ai regardé si c’est deux fois la même longueur (de chaînes). — Et autrement ? — Il n’y en a plus d’autres. — Un garçon m’a dit qu’on peut avec un grand triangle et un grand rond ? — Non, il faut avoir deux grands triangles, sans ça ça ne va pas. — Un autre m’a dit qu’on peut avec un grand rond et un petit, mais avec d’autres chaînes (suggestion). — On va essayer (il met une chaîne de longueur double sur le petit et une simple sur le grand). Il manque un gros bout. — Mais il dit que c’est possible. — Ça ne va pas parce que ça (grand) ça prend beaucoup trop de chaîne et ça moins. Alors il doit prendre un petit bout là (grand rond) et un grand là (petit) et il coupe quand ça arrive là (après avoir tourné deux fois la chaîne autour du petit rond). Non, il m’en faudrait une de la même longueur (essais successifs). — Oui mais le garçon le dit qu’on pouvait le faire avec deux chaînes pas pareilles. — (Il réfléchit.) Ici c’est plus grand et ça fait un plus grand tour, ici (petit rond) ça prend moins (semble renoncer). — Mais lui en a pris une pour le petit rond et une autre pour le grand (continuation de la suggestion). — Alors je prends une petite pour le petit rond et une grande pour là (le grand : réussite). » Et pour un grand rond et un grand triangle : « Oui, mais si on prend des formes différentes il faut changer de chaînes. »

Cho (5 ; 3) accroche deux chaînes inégales sur deux petites plaquettes : « Non, parce qu’il faut que ce soit la même grandeur de chaînes (corrige et réussit). Oui, parce que les chaînes sont de la même grandeur. » Id. sur deux grandes plaquettes. « Et encore autrement ? — (Elle met cette fois deux chaînes égales sur un grand triangle et un petit carré.) — Elles vont arriver en même temps ? — Oui, parce qu’elles (les chaînes) sont la même chose. (Essai.) Non, parce que c’est trop grand le triangle (en prend un petit). — Un garçon m’a dit qu’on peut réussir avec un petit et un grand rond. — Non, parce que si on met un grand et un petit la chaîne est trop grande pour un et trop petite pour l’autre. — Essaie. — Non, c’est pas arrivé en même temps. — Qu’est-ce qu’il faudrait ? — (Elle en montre deux autres égales.) — Mais ça n’allait pas. — Alors une plus petite. — Pourquoi ? — Parce qu’il n’y en a pas de plus grande. — Mais il en faudrait une plus petite ou une plus grande ? — Une plus grande. — Où tu vas la mettre. — Sur le petit (rond). Si j’ai la même grandeur ça ne va pas. — On peut savoir quand il faut une plus petite ou une plus grande ? — Avec une plus grande parce qu’avec une autre ça ne va pas (elle accroche une chaîne double sur le petit rond et une simple sur le grand et essaie). — Ça marche ? — Non. Il faut mettre deux petites chaînes sur deux petites formes. — Essaie comme ça (petite chaîne sur le petit rond). — Elles sont arrivées en même temps ! — Pourquoi le garçon avait raison ? — Il y avait une grande chaîne avec une grande forme et une petite avec une petite forme. » Mais elle se refuse ensuite à deux grandes chaînes sur un grand triangle et un grand cercle : « Ça n’arrivera pas » parce qu’il faut les mêmes formes.

Mel (6 ; 8), après avoir attaché un long fil à un petit triangle et un plus court à un petit cercle, puis de même à un grand triangle et à un grand cercle, conclut : « Il faut prendre la même grandeur de ficelle et la même grandeur de formes. » On accroche devant elle un long fil à un grand triangle et un court [p. 169] à un petit : « Ça va marcher ? — Non parce que là c’est grand et là c’est petit et les ficelles sont différentes. »

Per (6 ; 9). Mêmes réactions mais avec l’idée en plus que quand la plaquette « est plus grande ça tourne plus vite », d’où le refus d’égalisation pour un grand triangle et un grand cercle : « Celui-là est plus grand : ça dépasse là (les angles) » ; le fil sera donc trop court, mais aucune solution de compensation.

Sec (6 ; 8) : « Il faut deux chaînes de la même grandeur » et « deux mêmes formes. — Un enfant m’a dit qu’on pouvait réussir avec un petit rond et un petit triangle. — Non ça ne va pas, ils ne sont pas la même forme. — Essaie. — Je peux bien (essai). Ah oui, ça va. — Et avec un grand rond et une petite forme ? — Oui, c’est possible (il met les mêmes chaînes : essai). Non c’est plus grand. — Alors ? — (Nouveaux essais avec divers couples) Non ça ne peut pas aller. Il faut deux grandes ou deux petites formes et des chaînes de même grandeur ».

For (6 ; 10). Mêmes réactions. — « Et avec ça (grand et petit triangle), ça va marcher ? — Oui parce que c’est la même chose (mêmes formes). — Essaie. — (Échec) Non, parce que celui-là est trop petit. — Ça fait quelque chose la grandeur ? — Non, pas. — Alors ? — Je ne sais pas. Il faut trouver les mêmes chaînes. — Un petit garçon m’a dit qu’on peut réussir avec une longue chaîne et une courte on peut réussir sur les formes différentes ? — Oui, avec ça (grand rond et grand triangle), en mettant la grande chaîne ici (rond) et la petite sur celui-là. (Échec.) — Il m’a même dit qu’il faudrait une grande chaîne sur une grande forme et une petite sur une petite forme. — Oui (réussite) parce que le rond est plus grand. »

Mar (6 ; 6) essaie et réussit avec deux petits triangles « peut-être parce que les deux sont des triangles » et (avec carré et rond) « parce que les chaînes étaient la même chose, elles s’enroulaient à la même vitesse ». Avec grands triangle et cercle « Ça ira ? — Oui parce que tous les deux sont grands », mais il accroche aussi deux mêmes chaînes sur un grand et un petit triangle : « Ça va marcher ? — Peut-être, mais on ne sait pas, parce que le grand il réussit plus vite. Il faudrait tourner plus vite au petit pour que la chaîne arrive aussi en haut. — Ces formes prennent la même chose de chaîne ? — Oui, si on tourne vite toutes les formes tournent vite. — Mais elles prennent la même chose de chaîne ? — Ah, le grand prend plus et le petit moins. » Donc on doit « mettre une chaîne plus petite là ». Mais ensuite il met une longue chaîne sur un petit carré et une courte sur un petit rond et place même des chaînes plus longues sur de petites plaquettes que sur les grandes, puis en revient enfin à la compensation.

Pour ce qui est des sujets du niveau IA il n’est pas besoin d’en multiplier les exemples pour voir que leur tendance commune est de lier la réussite (souvent exprimée en termes de « gagner tous les deux ») à l’égalité d’un seul des facteurs en jeu. Avec la technique des poids, Mar ne s’occupe d’abord en [p. 170] son action que de maintenir ceux-ci égaux. Puis après échecs répétés, il pense à la vitesse de rotation avec l’idée (inexprimée) qu’un grand cercle va plus vite qu’un petit, mais à la constatation il ne s’occupe plus de la grandeur des plaquettes et ne parle plus que de « tirer » (le poids) ou « tourner ». Avec la technique des chaînes, Bur ne considère que la longueur de celles-ci, une plus longue faisant « gagner » (= arriver avant), même sur un plus petit triangle et l’égalité des longueurs assurant la réussite même si les formes sont différentes et les grandeurs des plaquettes également. Nic, par contre, met tout l’accent sur les tailles de celles-ci puis sur leurs formes, sans s’occuper de la longueur des chaînes. Lorsqu’il constate que deux chaînes inégales empêchent le succès sur deux petites formes, il se borne à les permuter et jusqu’à la fin échoue à signaler le rôle de leurs longueurs.

Avec le niveau IB, en revanche, les sujets réussissent plus ou moins rapidement à tenir compte simultanément de la longueur des chaînes et de la grandeur de la plaquette, donc à mettre en relation les deux facteurs au lieu de n’en retenir qu’un seul. Mais l’enfant s’en tient encore à des relations d’égalité et y ajoute même souvent cette exigence supplémentaire d’une égalité de formes (cf. Sca et Cho à la fin de leurs interrogations, For et Mar au début de la leur ; Seg : il faut « deux mêmes formes », etc.). Autrement dit ce qui manque à ce niveau est la construction des compensations et, si les sujets arrivent en général à faire abstraction des formes au profit des grandeurs, ils ne parviennent pas à eux seuls à trouver que, pour faire synchroniser les remontées finales des chaînes sur des plaquettes de tailles inégales, il faut mettre une plus longue chaîne autour de la grande figure et une plus courte autour de la petite.

Il est d’abord à noter qu’en l’absence de toute suggestion verbale le sujet n’essaie d’aucune compensation (Per, Mel et Seg). Même lorsqu’on met devant Mel une grande chaîne sur une grande forme et une petite sur une moins grande, elle affirme que cela n’ira pas parce que les tailles des figures et les longueurs des ficelles « sont différentes ». Lorsqu’on suggère verbalement des chaînes inégales pour ces grandeurs différentes de plaquettes, il en va autrement mais il est remarquable que plusieurs sujets songent d’abord à une compensation dans le [p. 171] mauvais sens : Sca propose « un petit bout » pour le grand rond et « un grand » mais coupé pour le petit (qu’il enroule alors deux fois autour de ce petit). Cho veut mettre d’abord « une plus grande » chaîne « sur le petit » rond. Par contre Mar pense que le grand rond tourne plus vite et qu’il faut donc accélérer la marche du petit pour que sa chaîne (égale à l’autre) arrive en même temps et c’est cette idée d’une plus grande vitesse du grand rond (voir aussi Per) qui explique sans doute les fausses compensations surprenantes par lesquelles débutent Sca et Cho. L’idée serait alors simplement que si la petite plaquette a un désavantage (moindre vitesse ou moindre puissance due à sa petite taille) il faut le compenser par quelque chose en plus (plus longue chaîne). Par contre certains sujets finissent par accepter la suggestion d’une compensation correcte, mais sans compréhension stable, en se fondant simplement sur une analogie de grandeur.

Relevons enfin que, si l’on demande, au terme de l’interrogation, ce que le sujet donnerait pour conseils à d’autres pour réussir à coup sûr, il n’est question, dans cette conceptualisation, que de l’égalité des chaînes et des grandeurs de plaquettes, sans allusions aux compensations.

La nouveauté de ce palier de 7-8 ans est que les sujets parviennent d’eux-mêmes à une idée de compensation, en cas de grandeurs inégales des plaquettes. Mais il reste à examiner sa nature :

Did (7 ; 5) met des chaînes égales sur le grand cercle et le grand triangle. « On peut mettre autrement ? — Oui, ici et ici (deux petits carrés). — Et en changeant les chaînes ? — Oui, avec un petit carré et un grand rond. — Avec quelles chaînes ? — Une petite là (petit carré) et une grosse là (grand rond). — Et autrement ? — On peut mettre la grande ficelle sur le gros rond et la petite sur un petit rond. — Comment tu savais ? — Parce que la grande allait bien sur le gros rond et la petite sur le petit. — Ça va marcher ? — Oui (exécute) parce que c’était aussi petit. — On peut faire autrement pour réussir ? — Peut-être une petite ficelle sur le grand rond et une petite sur le petit carré (!). — Ça va marcher ? — … — On peut le savoir ? — Non (il tourne à demi). Ça ne marchera pas parce qu’il y a une petite forme : alors [p. 172] elle continue encore (d’enrouler la ficelle), tandis que la grande elle ne peut plus. »

Flo (6 ; 11) accroche d’abord deux mêmes chaînes à un petit carré et à un grand rond mais en les regardant prévoit une différence des moments d’arrivée et prend un des deux petits triangles, puis un grand rond et un grand triangle, etc. Elle change de figures et de chaînes mais conserve les égalités. On donne alors des figures de grandeurs inégales : « Le grand va arriver avant. — Comment faire pour réussir ? — Il faut changer la chaîne parce que le grand n’est pas la même chose que le petit (elle prend une chaîne longue et une courte). Ils vont arriver en même temps parce que le petit triangle a une petite chaîne et le grand une grande. » Au résumé final, Flo déclare que pour réussir il faut mettre des chaînes égales sur des plaquettes de grandeurs égales, mais que « si on met la grande et la petite forme, il faut prendre une grande et une petite chaîne ».

Dom (7 ; 10) commence comme Did par des chaînes égales sur des plaquettes de mêmes formes et de mêmes grandeurs, puis essaie sur un petit et un grand rond : « Elles ne sont pas arrivées en même temps parce qu’il y en a un plus grand que l’autre… Si on prend des fils de même grandeur il faut les mettre sur des formes de la même grandeur. — Mais tu peux choisir d’autres chaînes et faire ce que tu veux. — (Il met deux longues chaînes sur un petit et un grand triangle.) Ça ne va pas marcher, on le voit déjà (il prend une plus petite chaîne pour le petit triangle). Oui, parce que celui-ci (le grand) s’enroulera plus vite parce que la forme est plus longue (essai). »

Fis (7 ; 9) débute par des petites ou grandes plaquettes, mais de formes différentes : « Pourquoi elles arrivent en même temps ? — Parce que c’est les mêmes chaînes. — Et ça dépend de quoi ? — De la grandeur des formes. — Et si je prends des chaînes pas pareilles ça ira ? — Non, la petite est courte et arrive avant, la grande après. — Et des mêmes chaînes ça et ça (grandeurs inégales) ? — Non. Sur la petite ça va faire plus lent et sur la grande plus vite. — Un petit garçon a réussi avec ça, comment il a fait ? — Il a mis une grande chaîne à la grande et une petite à la petite. (Essai.) Voilà : en même temps ! — On peut faire ça (trois cercles inégaux) avec trois chaînes ? — Oui, il faut une petite à celle-là (grande), une moyenne à celle-ci et une grande à la petite. » Puis : « Non, il faut une plus grande à celle-là (la grande). »

Fla (7 ; 7). D’abord égalités des chaînes et des grandeurs d’objets mais pas de formes. « On peut réussir avec ces deux chaînes (inégales) ? — Non, il faudrait la même chose. — Ça marcherait ? — On ne peut pas savoir d’avance. (Essai.) Non, il y avait une chaîne un peu plus courte que l’autre. » On propose alors deux triangles inégaux : « Celui-là c’est plus petit et ça prend moins de chaîne, l’autre c’est plus grand et ça prend plus de chaîne. »

Car (7 ; 11) par contre débute dès le premier essai par un petit et un grand cercle munis d’une courte et d’une longue chaîne « parce que ça c’est plus gros ». Mais elle prend aussi des chaînes inégales pour deux petite objets (carré et triangle), puis après essais, réussit avec « des fils de la même [p. 173] longueur ». Après quoi elle revient à des grandeurs inégales et prend des chaînes correspondantes en ajoutant : « Je n’ai qu’à prendre une chaîne comme ça (montre le petit cercle) et je prends une longue ici (geste circulaire sur le grand), alors ça arrive en même temps. »

Mon (8 ; 1), après quelques réussites sur des couples de grandes ou de petites figures mais de formes différentes. « Qu’est-ce que je dois faire pour réussir ? — Il faut regarder les formes et la longueur des ficelles. Peut-être il faut des la même chose. — Toujours ? — Peut-être ça irait aussi avec une grande ficelle et une petite. Non il faut deux grandes ou bien deux petites (elle les accroche sur un grand et un petit cercle). — Ça va marcher ? — Je crois (échec). C’est peut-être les ficelles, parce qu’elles sont la même chose. Il faudrait une plus grande et une plus petite. — Ça va marcher ? — Je ne sais pas, je crois. — Tu peux deviner ? — Non. » Après plusieurs essais : « Ça dépend des formes (= de leur grandeur) et des ficelles. Elles (= celles-ci) doivent être de la même grandeur ou pas la même chose. — Quand ? — Il faut essayer et voir. »

Wys (8 ; 5) débute au hasard avec des grandeurs de figures et de chaînes égales ou inégales et conclut : « Si on met une trop petite chaîne, la grande est pas encore enroulée et la petite déjà », puis après nouveaux essais : « À chaque fois il faut prendre les mêmes chaînes. — Et pour ça (grand et petit rond) ? — Non pas là, il faut une grande et une petite. » Pour trois cercles inégaux réussite après tâtonnements pour les deux plus petits. « On ne peut pas savoir automatiquement sans tourner. »

Ari (8 ; 2) essaie au hasard, puis : « Ce qui m’inquiète c’est la longueur du fil : évidemment si c’est plus court alors ça arrive avant. » Elle en conclut à la nécessité de fils de longueurs égales : « Et avec ça (un grand et un petit triangle) ? — (Elle accroche les fils inégaux, mais un peu trop long sur le grand : début d’essai.) Non il est un peu trop long. — Mais tu n’as pas fini de tourner. — Si je continuais, ça (trop long) arriverait après. »

Pat (8 ; 9) commence par des égalités puis prend deux cercles inégaux et deux chaînes différentes : « Je vais mettre la petite sur le grand rond et la grande sur le petit rond (encore une compensation dans le mauvais sens comme parfois au niveau IB). Non (essai) je me suis trompée de grandeurs… Il faudrait une plus petite là. Ce rond est plus grand, alors ça va en haut plus vite, ça prend plus alors il faut une plus grande. »

Viv (8 ; 7) arrive par tâtonnements à la compensation pour un petit carré et un grand rond. « La grande chaîne doit être comment ? — 50 cm et l’autre 20 cm parce que ça (carré) c’est la moitié de ça (rond). »

Ryl (9 ; 7) regarde le matériel : « C’est pas possible parce qu’il y en a de plus grands et de plus petits. » Puis arrive aux compensations par tâtonnements et ne conclut que « une plus grande forme et une plus grande chaîne, une petite chaîne à la petite forme ».

[p. 174]Cel (9 ; 0). Mêmes réactions : « Parce que si elle (gros rond) serait plus grosse elle prendrait plus de ficelle. »

Jud (9 ; 0). Mêmes réactions : « Mais celui-là il est très grand, alors il faut un fil très grand. — Grand comment ? — Je ne sais pas (essai), ça va aller : il est plus grand, alors il fait moins de tours que ça (que le petit). »

On voit que chacun de ces sujets arrive spontanément à compenser l’inégalité des grandeurs des plaquettes par une inégalité correspondante des chaînes ou des fils. Mais on constate aussi l’hétérogénéité des réactions observées et la première question qui se pose est de savoir s’il s’agit là de simples correspondances ou de compensations réelles. On peut admettre l’intervention de celles-ci lorsque le sujet, constatant ou prévoyant que l’extrémité d’une chaîne arrivera trop tôt au haut d’une grande plaquette ou trop tard sur une petite, conclut qu’il faut rallonger la chaîne dans le premier cas, et la raccourcir dans le second, donc compenser le décalage par une égalisation agissant dans les deux cas en sens contraire de la perturbation. Mais en fait les réponses des sujets sont de types plus variables.

Le plus élémentaire est celui que présente d’abord Did : la grande ficelle « allait bien sur le gros rond et la petite sur le petit », par simple correspondance analogique des tailles. Mais il y a déjà là un début de compensation puisqu’il passe ensuite par une correspondance inverse (petite ficelle sur le grand rond) et qu’il comprend dès le début de la constatation que la longue ficelle sur le petit rond « continuera encore » de s’enrouler et non pas la petite sur le grand. Chez d’autres sujets on trouve également toutes les transitions entre les simples analogies de taille et la compréhension des décalages temporels ou cinématiques de la terminaison des enroulements.

Mais ces sujets ne parviennent pas à des prévisions assurées : « Il faut essayer et voir », dit encore Dom à 8 ; 1 et « on ne peut pas savoir automatiquement sans tourner » (Wys à 8 ; 5), etc. La raison en est qu’ils comparent simplement des grandeurs, comme le dit explicitement Viv à 8 ; 7, qui considère un petit carré comme « la moitié » d’un grand rond : il leur manque donc encore la correspondance des longueurs de chaînes et du périmètre des plaquettes, laquelle ne s’imposera qu’au niveau IIB. Il n’en est pas moins intéressant de constater cette apparition générale des compensations non suggérées au niveau IIA, qui [p. 175] est celui des débuts de la réversibilité opératoire. Un tel fait semble indiquer que, même si ces sujets procèdent empiriquement et semblent ne parvenir à l’idée de compensations qu’après de multiples constatations sur la correspondance entre des chaînes de longueurs égales et des plaquettes variables mais de grandeurs équivalentes (sauf Car, mais qui se trompe aussitôt après), ces compensations exigent néanmoins des coordinations inférentielles fondées sur les mécanismes opératoires de réciprocité : en d’autres termes, l’interprétation correcte d’observables physiques découverts par abstraction empirique supposerait déjà en plus une part variable d’abstraction réfléchissante, comme les niveaux suivants le montreront de plus en plus.

Le palier IIB est caractérisé par la considération des périmètres et non plus simplement de la grandeur globale des plaquettes. Mais il faut encore au sujet, pour parvenir à cette interprétation, quelques constatations préalables, tandis qu’au stade III elle est déduite dès le départ. Voici d’abord des exemples de ce niveau IIB (9-10 ans et un cas de 8 ½ ans) :

Sno (8 ; 6), après quelques essais sur des égalités, prend un grand et un petit triangle : « Non, si c’est celui-là ça ne va pas parce qu’il y a un plus long trajet à faire… — On peut savoir quelles longueurs il faut ? — On regarde la longueur de la ficelle, on mesure le pourtour (de la figure) et si elle arrive ici, on coupe une ficelle comme ça. »

Ou (9 ; 10) débute par des égalités : « Les chaînes sont la même chose, alors elles arrivent en même temps. — Qu’est-ce que ça veut dire ? — C’est le même nombre de tours (il montre le périmètre). — Les mêmes formes ? — Non, pas toujours. Ici je crois que c’est le même pourtour… Non, pas tout à fait, le triangle (comparé à un cercle) c’est plus petit, le pourtour. — Et deux de ces petites formes ? — Elles sont égales, elles ont le même pourtour. — Et avec ça (deux cercles inégaux) ? — 30 cm pour le petit et 40 cm pour le grand. »

Bol (10 ; 3) débute par un petit carré et un grand cercle, en mesurant d’abord les chaînes. « Pourquoi tu les mesures ? — Parce que je ne veux pas la même grandeur. — Pourquoi ? — Parce que le carré est plus petit, alors il est plus vite enroulé. Le cercle est plus grand, je dois prendre une chaîne plus grande. » Mais il ne mesure d’abord le cercle que selon deux diamètres [p. 176] en croix. Par contre dans la suite il considère, non pas encore la longueur des côtés, mais les « coins pointus. L’angle fait obstacle et prend plus de fil ». Finalement il en vient au « tour des cartons ».

Bou (10 ; 2) débute également par une grande et une petite plaquette et par des chaînes inégales : « Sur le grand triangle il faut prendre la longue chaîne et la courte sur la petite parce que le grand il prend plus de place quand on tourne, plus de place là-dedans (il montre la rainure). — En largeur ? — Non la longueur (donc le périmètre). — On peut mesurer ? — On mesure avec la chaîne (il suit le pourtour). » Dans la suite il mesure le pourtour d’un cercle et d’un triangle avant de placer les chaînes.

Ric (10 ; 5) : « Si le pourtour est plus grand chez ce rond, ça va plus vite », d’où « une chaîne plus longue ».

Cur (11 ; 2) débute aussi par des inégalités avec compensations. Il mesure avec une ficelle le périmètre d’un cercle et celui d’un triangle : « Si on prend le tour là et le tour là, la différence on doit la trouver. »

Man (11 ; 3) : « Parce que le tour ne mesure pas la même chose, on prend une grande et une petite chaîne. »

Jen (11 ; 8). Égalités des chaînes avec formes différentes « parce que les pourtours sont égaux », sinon compensations.

Et voici des cas du stade III :

Aba (11 ; 1) annonce ce qu’il va faire : « Je prends la longueur du tour du rond et du triangle et je vais voir s’il y a une différence. S’il n’y en a pas c’est facile et s’il y a une différence là où il y a la longueur la plus courte je mets une ficelle plus courte (il mesure alors un cercle et un triangle avec des ficelles et y ajuste celles qu’il va enrouler). »

Her (11 ; 2) : « Certaines (chaînes) vont s’enrouler plus vite que d’autres selon les longueurs. Il faudrait faire des calculs (= des mesures). » Pour de mêmes chaînes « il faut faire attention à ce que le contour (périmètre) soit le même : pour ça il faut mesurer ». « Par exemple si on a 40 et 15 cm ? — Ça fait 25 cm de différence : il faudrait une chaîne de 25 cm plus courte. »

Par (12 ; 1) pour un carré et un triangle : « On prend (= mesure) un côté du triangle et on le multiplie par 3 et le carré 4 fois et on voit si c’est la même chose. S’ils sont pareils alors la même chaîne et autrement on prend une chaîne plus longue. »

Si les sujets du niveau IA parviennent déjà à mettre en correspondance la longueur des chaînes et la grandeur des figures, ils ne considèrent encore celle-ci que de façon globale, [p. 177] c’est-à-dire sans différencier la surface et le périmètre. D’où les fausses conservations étudiées par E. Lunzer et par Vinh-Bang à ce niveau : en modifiant les côtés d’un rectangle l’enfant s’imagine qu’à un périmètre constant correspondra une surface invariante, et réciproquement. La nouveauté des réactions du sous-stade IIB est au contraire la différenciation, de ces deux notions, d’où la compréhension plus ou moins rapide du fait qu’à des figures de grandeurs différentes (et Bol, Bou, etc., commencent même par ces situations d’inégalité) la longueur de la chaîne devra correspondre à celle du périmètre comme tel et non plus à une quantité globale. Certains sujets y parviennent assez rapidement tandis que d’autres tâtonnent plus longuement : Bol commence ainsi par mesurer deux diamètres, perpendiculaires du cercle, et par noter les angles d’un triangle en tant qu’« obstacles » à l’enroulement de la chaîne, puis en vient seulement ensuite à la considération du « tour des cartons ».

Enfin, au stade III, la solution du problème est comprise dès son énoncé, et, avant tout essai, le sujet déduit ce qu’il convient de faire. On voit ainsi comment, à ces niveaux IIB et III, l’abstraction réfléchissante finit par l’emporter sur les abstractions simples et incomplètes du stade I.

L’abstraction empirique procède à partir des objets et permet, par exemple, au sujet de ne retenir de la perception des chaînes et des plaquettes que la longueur des premières et la grandeur des secondes. L’abstraction réfléchissante porte sur les coordinations des actions du sujet et lui permet, par exemple, d’utiliser les relations de transitivité nécessaires à la mesure ou les relations numériques pour multiplier par 3 ou 4 la longueur du côté d’un triangle ou d’un carré. Mais une action matérielle du sujet, telle que d’enrouler une chaîne, et même l’évocation par représentation imagée de telles actions possibles constituent encore des données perceptibles au même titre que les propriétés d’un objet extérieur et donnent donc aussi lieu [p. 178] à des abstractions empiriques. Comment donc tracer la frontière entre les deux types d’abstraction ? La question est d’autant plus délicate que les mêmes relations spatiales se retrouvent de façon isomorphe dans la géométrie des objets et dans celle du sujet.

À prendre un cas du stade III comme Her, qui mesure en pensée deux périmètres, admet que leur différence est de 25 cm et veut donc choisir deux chaînes différant également de cette longueur, on voit cependant que ses actions ajoutent aux objets des relations qui n’y étaient point contenues avant de telles compositions. D’abord les pourtours et les chaînes étaient respectivement comparables entre eux ou entre elles, mais non encore comparés avant que le sujet n’établisse leur inégalité. Ensuite l’inégalité des deux chaînes A et B (ou des deux périmètres) revient à les soumettre à une action ou opération de partition telle que dans la plus longue B on retrouve une longueur égale à A, plus une longueur supplémentaire A’ non comprise en A. De plus et naturellement, la mesure implique de multiples opérations (unités, partitions et ordre des déplacements de la partie unité) non données dans les objets. Il s’y ajoute les mises en correspondance des mesures sur les périmètres et les chaînes. Enfin la notion même de périmètre implique que ses variations sont distinctes de celles de la surface. En un mot, les objets avant l’action étaient certes comparables, égalisables, mesurables, etc., mais tout cela relativement à des actions ou opérations possibles ne procédant pas d’eux, même si elles se bornent à composer des données qui, chacune à part, constituent une propriété déjà spatiale de ces objets.

Qu’est-ce alors que la géométrie du sujet ? D’abord un ensemble de compositions qui ajoutent à un contenu donné une forme qui le dépasse. Par exemple un déplacement est un changement ou une substitution de positions, tel que dans le cas le plus simple AB soit modifié en BA. Mais les positions de A et de B sont déterminées par des relations d’ordre à une dimension tant qu’il ne s’agit que de A et de B, mais à deux déjà si l’on précise leurs références, ce qui suppose un système de coordonnées (donc de coordinations au sens propre du terme). Ces compositions sont isomorphes à celles des systèmes logico-arithmétiques, sauf que les critères de mises en relation [p. 179] sont le voisinage et le continu et non pas seulement les ressemblances et différences (équivalences de diverses variétés) : or, ceux-là, tout en correspondant à des contenus constatables (mais de façon très insuffisante puisque le continu perceptif peut demeurer contradictoire : B indiscernable de A, C de B, mais non pas C de A), deviennent des formes en termes de relations ou d’opérations d’ordre et d’emboîtements. En bref, si les objets comportent déjà une géométrie (d’ailleurs toujours spatio-temporelle et plus ou moins liée à une dynamique), celle du sujet permet de la reconstruire et de la dépasser de toutes parts : d’où le rôle croissant des abstractions réfléchissantes destinées à fournir les instruments de ces reconstructions et de ces dépassements.

Cela dit on comprend mieux la succession de nos niveaux. Au sous-stade IA, où seul un facteur est considéré par le sujet, l’activité de celui-ci se borne à des mises en relation en plus grand, plus petit ou égal. Avec le niveau IB les égalités de grandeur des plaquettes doivent correspondre aux égalités de longueur des chaînes, ce qui témoigne de relations entre relations (= x) ↔ (= y) ou fonctions tirées par abstractions réfléchissantes des relations simples = x ou = y. Par contre la généralisation sous forme de compensations (± x) ↔ (± y) n’est pas acquise spontanément avant le niveau IIA, car elle suppose une structure de correspondance sériale à base de nouvelles abstractions réfléchissantes. La distinction du périmètre + p et de la surface + s, à partir de la grandeur globale des plaquettes, requiert une nouvelle construction plus complexe parce qu’impliquant la non-correspondance (donc l’indépendance relative) de ces deux variables : d’où un progrès de plus dans l’abstraction réfléchissante, acquis au niveau IIB seulement. Enfin les déductions du stade III marquent un début d’autonomie de la géométrie du sujet.

À ces étapes de l’abstraction réfléchissante correspondent, comme cela est naturel, les moments successifs de la prise de conscience et de la compréhension. Un premier fait remarquable à cet égard est que, au niveau IB, le sujet en fin d’interrogation se borne à indiquer, pour résumer ce qu’il a fait, les situations d’égalités (formes, grandeurs et longueurs), mais sans retenir les effets de compensation auxquels il a pu parvenir sur suggestions. Au niveau IIA encore, le sujet ne retient que [p. 180] ce qu’il a compris ou anticipé, dans les situations d’inégalités, donc ce qui suppose des coordinations inférentielles avec abstraction réfléchissante, mais ne parvient pas à conceptualiser après coup ce qu’il a seulement constaté en n’utilisant alors que des abstractions empiriques.