Chapitre XI
L’effectuation de parcours équivalents ^{1 a} 🔗

Examinons d’abord quelques faits :

Jac (4 ; 9) n’attribue aucune signification stable à l’expression de long chemin. Dans la situation I avec la planche avançant dans le sens longitudinal, tantôt les deux jetons A et B font le même long chemin, tantôt non et alors c’est A qui est censé parcourir le plus long, mais c’est deux fois de suite B, qualifié de dernier (son plus long chemin correspondant alors sans doute à un retard). Avec les anneaux Jac construit « le même long chemin » en leur imprimant des trajets parallèles puis courbés et concentriques, de telle sorte que celui de B est visiblement bien plus court. Lorsqu’on lui demande de les effectuer en lignes droites, il fait rejoindre A et B comme si « le même long chemin » était le même chemin au sens d’un point d’arrivée [p. 195] commun. Même réaction lors de trajets à courbures multiples. Avec les « cuillères » il fait coïncider sur la même ligne d’arrivée tantôt les perles et tantôt les jetons. Mis enfin en présence de deux trajets parallèles et très inégaux, celui du mobile B est jugé plus long « parce qu’il va plus vite ».

Cor (5 ; 1), avec les planches à trous, juge que le jeton en tête A fait un plus long chemin « parce qu’il est devant », mais quand la boîte est placée transversalement, c’est alors B « parce qu’il était de ce côté » (en marche rectiligne). Avec les anneaux les « mêmes longs chemins », en cas de décalage au départ, sont ceux qui assurent leur jonction à l’arrivée (trajets d’abord parallèles puis convergence sur les derniers quarts).

Sal (5 ; 4), pour la planche à deux jetons placée transversalement, pense que le jeton de droite fait le plus long chemin, puis se rallie à l’égalité. En position longitudinale c’est A qui a le plus long trajet « parce qu’il est devant », mais en fait c’est parce que le doigt de l’enfant tire la planchette au niveau de A, tandis que quand il la pousse au niveau de B (A restant en tête), c’est B qui est privilégié « parce qu’il est devant », mais « devant » signifiant ici qu’il entraîne le mouvement puisqu’il est en réalité situé derrière A dans le sens de la marche. Lors de la rotation de la planche, Sal attribue le chemin le plus court, tantôt au jeton A qui pivote sur place « parce que son chemin est trop petit », tantôt au jeton B qui décrit un arc de 180° « parce qu’il a fait très peu de chemin » : Lorsqu’on lui demande de reproduire avec le doigt les deux trajets, il les indique semblables sous la forme d’une sorte de 8 couché. Avec la grande planche et trois jetons, les chemins sont les mêmes « parce qu’ils ont fait très peu de chemin », cette expression signifiant donc, comme tantôt qu’un « même long chemin » équivaut à un chemin de même catégorie qualitative. Avec les anneaux partant de la même ligne mais arrivant avec dépassement de B, les chemins sont pareils « parce qu’ils sont arrivés en même temps ». Avec les « cuillères » et les plaquettes rectangulaires inégales, tantôt les chemins sont égaux « parce qu’ils étaient ensemble », c’est-à-dire marchant parallèlement, tantôt l’un fait plus de chemin « parce qu’il était devant » ou qu’« il a avancé ».

Cip (5 ; 1), avec la planche à deux jetons puis la grande avec trois jetons, déclare égaux les chemins droits ou circulaires, etc., « parce qu’ils sont en voiture » et qu’« ils font la même promenade ». Mais ce n’est pas encore là la réaction du niveau IB où les trajets sont jugés égaux parce que les jetons sont placés sur le même véhicule : c’est parce qu’ils se promènent sur la même route. En effet, avec les anneaux avançant parallèlement, mais avec un fort décalage au départ et une même ligne d’arrivée, Cip dit que « c’est le même long chemin parce qu’ils sont allés sur le même chemin ». Lorsqu’on insiste sur les inégalités de départ, Cip finit par admettre celle des trajets, mais par deux fois montre le plus long comme étant « le plus court », ce qui ne semble pas un lapsus mais une assimilation à une marche plus rapide. Pour rétablir l’égalité, Cip recule les points d’arrivée, en les maintenant égaux, mais sans modifier les points de départ très inégaux : « C’est la même longueur ? — Oui. » Après quoi elle a l’idée de faire faire un détour à celui qui est plus près du but, ce qui rapproche Cip du niveau IB.

[p. 196] Ces conduites montrent à l’évidence la nécessité de distinguer la longueur-objet, en tant que propriété spatiale des solides, qu’il s’agisse de corps immobiles ou en mouvement ou de leurs référentiels et de l’espace parcouru, et la longueur-action, en tant que propriété d’un mouvement avec ses caractères cinématiques (espace, temps et vitesse) ou même praxéologiques (but à atteindre, etc.). Or il est clair que les sujets précédents ne différencient pas ces deux sortes de notions et ne considèrent pas à part l’espace parcouru, mais mettent tout l’accent sur les caractères praxéologiques des mouvements qu’ils impriment ou voient imprimer aux objets considérés comme des personnages.

Il s’y ajoute un caractère général de ce niveau IA, et non pas spécial aux notions spatiales et cinématiques : c’est l’absence de quantification autre qu’ordinale, de telle sorte que les expressions « plus » ou « moins », ou bien n’interviennent pas encore, ou bien n’ont rien de métrique et demeurent attachées à des considérations de rang : « plus vite », par exemple, se rapporte à un dépassement. Il en résulte que la longueur des chemins est souvent évaluée en termes de catégories qualitatives : pour Sal, par exemple, les trois jetons de la grande planche ont fait « les mêmes longs chemins » parce qu’ils ont fait « très peu de chemin » et les mots « très petit » sont même souvent remplacés par « trop petit » sans préciser par rapport à quoi, les grandeurs consistant donc en des sortes de qualifications absolues et non pas relatives.

Cela étant il va de soi que les critères utilisés sont essentiellement polymorphes, au risque d’être contradictoires entre eux. C’est ainsi que Jac débute par des critères ordinaux : le premier jeton A (sur un trajet de la planche à deux trous) fait tantôt le même long chemin que le second B parce qu’ils marchent ensemble, tantôt le plus long parce qu’il est devant l’autre et tantôt le plus court parce que B doit le rattraper. Ensuite les « mêmes longs chemins » sont ceux qui ont la même forme (parallèles en lignes droites ou de même courbure) indépendamment de leurs dimensions objectives. Après quoi ils sont caractérisés par un point d’arrivée commun (un point de convergence entre fins de trajets obliques et non pas une ligne d’arrivée). Enfin la longueur du trajet est assimilée à une vitesse.

[p. 197] Chez Cor le critère du plus long chemin est la position : tantôt devant, tantôt même de côté, puis la convergence des points d’arrivée. Chez Sal, c’est aussi d’abord la position de côté puis devant, mais « devant » prend ensuite le sens de celui qui est poussé par le doigt, bien qu’étant derrière. Après quoi Sal fait appel aux catégories qualitatives (« très peu de chemin »), puis à la simultanéité temporelle des moments d’arrivée malgré le décalage spatial et enfin à nouveau à l’ordre des positions. Chez Cip la catégorisation qualitative va jusqu’à faire considérer deux mobiles comme parcourant la même longueur lorsqu’ils sont « sur le même chemin », indépendamment de la distance effectivement parcourue, puis il assimile le « plus court » à plus rapide.

En un mot, le plus ou le même « long chemin » garde à ce niveau IA une signification praxéologique et non quantifiée. Or comme l’équivalence entre deux actions de parcourir des trajets orientés vers des buts quelconques peut s’évaluer selon de multiples critères, le sujet de ce niveau en use à tour de rôle sans chercher à les coordonner, d’où l’absence d’un contrôle spécifiquement spatial.

Voici d’abord des exemples, à commencer par un cas intermédiaire entre les niveaux IA et IB :

Gir (5 ; 9), pour la planche à deux jetons, juge les chemins égaux « parce qu’ils sont dans un trou. — Pourquoi ça fait le même long chemin ? — Parce que je les ai tournés en rond ». Avec les anneaux, elle les soumet à des mouvements circulaires concentriques de rayons très inégaux : « C’est le même long chemin ? — (Oui) parce que je les ai mis dans mes mains et je les ai fait les deux ensemble tourner. — Et sont droit en avant ? — (Elle les fait partir de points différents et arriver sur la même ligne.) Le même long chemin parce que je les ai faits tout droits. » À la répétition elle observe le même décalage à l’arrivée qu’au départ mais quand on dispose des « maisons » sur la même ligne d’arrivée avec départs très inégaux, elle affirme l’équivalence des trajets « parce qu’ils ont été tout droits ». Sur suggestion elle accepte ensuite l’inégalité des chemins en cas de décalage dans les points d’arrivée « parce que pour celui-là il y a tout ça à faire de plus », puis revient à l’équivalence : « Ils sont venus tout droit, ça fait le même long chemin. » Mêmes hésitations pour les « cuillères » : « C’est celui-là (sur la grande cuillère) parce qu’il est le plus grand. Non ça va pas, parce que c’est le même chemin : ils sont à la même hauteur. »

[p. 198]Axa (6 ; 4), pour la planche à deux trous les chemins sont égaux, y compris en rotation, « parce que les jetons sont sur la même planche ». Anneaux : mêmes longs chemins « parce que je les serre (pour les faire aller ensemble). — Et comme ça (on les écarte, mais sur la même ligne) ? — (Marches parallèles mais décalage à l’arrivée.) C’est le même long chemin parce que je les ai faits droits, il n’y en a pas un qui a courbé. — Et comme ça (on montre deux trajets égaux mais décalés) ? — Celui-là a fait le plus long parce qu’il est derrière. Non, le même parce qu’ils se sont suivis. — Et s’ils reviennent ? — Pas le même, celui-là ira plus loin que l’autre. — Comment faire pour que ce soit pareil ? — (Il refait les déplacements décalés.) Comme ça, je les ai faits vite alors ils sont arrivés les deux en même temps. — (Planche à six jetons, trajets variés.) — Tous en même temps parce qu’ils sont sur la même planche. — Et celui-là (en arrière) ? — Il a fait un chemin plus long parce qu’il est derrière ».

Fur (6 ; 6) pour la planche à deux jetons : même chemin « parce qu’ils ont tourné tous en même temps » ; et de même en ligne droite : « ça va tout droit comme la planche ». Planche à six jetons : même réaction, puis « le rouge ferait le plus long chemin parce qu’il est en bas (= en arrière) ». Anneaux : pour leur faire faire le même long chemin, Fur leur imprime deux trajets courbes bien symétriques (et non pas parallèles), en disant : « Les deux partent en même temps et arrivent et même temps. — Et s’ils partent comme ça (A plus bas que B) ? — (Pour compenser cette inégalité, Fur fait arriver A plus loin que B !) — Pourquoi ? — Le rouge devrait faire plus que le bleu (pour atteindre l’égalité). — Et si on les met comme ça (A collé sur le devant de B) on peut faire le même long chemin ? — Oui (elle les fait arriver à nouveau juxtaposés, mais A derrière B !). — Ça fait le même long chemin ? — Oui. — Et comme ça (départs sur la même ligne avec comme buts des « maisons » décalées) ? — Le bleu (trajet plus court) doit s’amuser en route (détour correct). » Cuillères avec perle A’ plus bas que B’ : Fur les déplace de façon que le jeton A soit en avant de B, donc par une fausse compensation comme avec les anneaux, d’où une inégalité évidente des trajets : « Tu as bien regardé ? — Ça fait quand même le même long chemin ! » Deux rectangles avec bases sur la même ligne : trajets jugés égaux parce qu’elle aboutit avec les sommets sur la même ligne, ce qui donne au petit un chemin plus long : « C’est le même long chemin ? — Oui, le grand est un peu plus grand et le petit un peu plus petit : maintenant le petit est un peu avancé comme le grand. »

Béa (6 ; 9). Planches trouées avec rotations, etc., avec A eu avant : « Même long chemin parce qu’ils sont sur la même planche. » Anneaux : elle construit des trajets à angles droits, mais le chemin de B bien plus long et enveloppant celui de A : « Même chemin parce que (B) a suivi (A). » Rectangles de carton : fausses compensations comme Fur.

Kre (6 ; 10). Planches trouées : « Ça fait le même long chemin (rotations, etc.) ? — Oui, parce qu’ils sont dedans. » Anneaux : pour même « long voyage », il fait partir A en ligne droite et B obliquement avec même ligne d’arrêt, puis il les colle l’un à l’autre pour les déplacer ensemble. Lorsqu’on les sépare et qu’on laisse un décalage au départ il les fait converger sur le même point : « Ça fait le même long voyage ? — Oui. »

[p. 199]Bus (7 ; 0). Planches trouées : « Les deux la même chose parce qu’ils sont dans le même bateau. — (Rotation autour de A comme centre.) — Les deux la même chose comme s’ils étaient deux frères. » Anneaux : il fait des arcs de cercles concentriques en affirmant néanmoins l’égalité « parce qu’ils vont à la même vitesse ». Grande planche : « Celui-là (A) fait un chemin plus long parce qu’il est en arrière. »

Le progrès accompli par les sujets de ce niveau consiste en ceci que, quand les jetons sont placés sur un même véhicule, ce sont les positions de celui-ci par rapport à la table qui servent de critère, d’où la conclusion que les mobiles véhiculés font le même trajet, quelle que soit la forme de celui-ci. Mais la position des jetons par rapport à la table est alors négligée, de telle sorte que, quand la planche servant de voiture décrit une rotation autour de l’un des jetons demeurant immobile en tant que centre de pivotement, les trajets des deux sont néanmoins jugés égaux.

En fait, cette solidarité des mobiles entraînés par un même mouvement d’ensemble est à la fois l’indice d’une différenciation des caractères spatiaux du déplacement et d’une prédominance croissante du critère ordinal (ordre de succession des positions) permettant de les évaluer sans métrique. En effet, admettre que les mobiles véhiculés font le même chemin parce qu’ils avancent « ensemble », c’est dire que l’un ne dépasse pas l’autre sur le même parcours (par négligence sur ce point de leurs positions relatives lors de l’arrivée), et lorsque les mobiles avancent sans véhicule c’est surtout à ce critère de dépassement que recourent ces sujets : ou bien ils les serrent l’un contre l’autre pour qu’il n’y ait pas dépassement (Gir, Ala, Kre), ou ils construisent des trajets symétriques ou parallèles (Fur, Bus) pour éviter aussi les dépassements, ou encore, s’il y en a, ils jugent des longueurs en fonction des positions rarement en avant et fréquemment en arrière (d’où plus de chemin pour rattraper l’autre : Ala, Fur au début, Bus). Ces dépassements jouent même parfois un rôle si grand que certains sujets comme Fur et Béa corrigent un décalage au départ par un décalage en sens inverse à l’arrivée sans voir que cela double la différence des longueurs.

Mais si le critère ordinal tend ainsi déjà à l’emporter (pour devenir ensuite systématique au niveau IIA), il n’exclut pas encore sous ces formes globales un ensemble de résidus des [p. 200] critères multiples et contradictoires du niveau IA : Gir et Ala jugent un moment des longueurs par la forme droite du trajet, Béa par une même forme d’ensemble bien que l’une enveloppe l’autre, Kre par un même point (et non pas une même ligne) d’arrivée avec décalages au départ, Bus par les vitesses, etc. Néanmoins il y a progrès net lorsque le sujet fait faire un détour à l’un des jetons pour égaliser son trajet à celui d’une droite courte.

Vers 7 ans on assiste à un renversement de l’évaluation des longueurs de chemin, le critère devenant avant tout l’ordre des points d’arrivée (plus long = arrivant plus loin), mais avec, en certaines situations, un début d’estimation fondée sur l’intervalle. Voici des exemples, à commencer par trois cas intermédiaires entre les niveaux IB et IIA :

Zan (6 ; 9). Planche à deux jetons qu’on fait avancer longitudinalement : « Ça fait le même long chemin ? — Non il y en a un qui est derrière et un devant (celui qui est en arrière en faisant davantage). — Tu peux faire le même chemin ? — (Il place la planche transversalement.) Ils sont les deux devant : ils se donnent la main. — Et comme ça (rotation de A autour de B fixe) ? — Oui, ils se donnent la main. — Montre les chemins ? — (Il indique un arc de cercle pour A et une allée et venue pour B). » Anneaux : il les fait aller de front. « Et comme ça (mêmes longueurs l’un derrière l’autre), c’est le même long chemin ? — Ils ne se sont pas donné la main, ils se sont suivis. » Trajets égaux avec mêmes décalages au départ et à l’arrivée : celui de devant a fait un plus long chemin « parce qu’il habitait plus loin. — Arrange pour qu’ils fassent le même long chemin. — (Il les fait arriver à la même ligne.) Un rattrape l’autre, puis ils se donnent la main. — Mais c’est le même chemin pour les deux ? — Oui, celui-là vole en hélicoptère et il arrive en même temps ! ». Cuillères : « Celui-là fait un plus long chemin : la barre est plus longue (et dépasse l’autre). »

Jac (7 ; 8). Planche à deux jetons : elle le fait avancer transversalement, d’où égalité des chemins « parce qu’ils sont l’un à côté de l’autre. — Et comme ça (longitudinalement) ? — On ne peut pas. — Essaie. — (Elle pousse B par-derrière.) Celui-là (A en avant) a fait le plus long chemin, puis ma main (derrière) a fait le plus petit chemin et celui-là (B) entre deux. — Et si on revient (sans inverse), lequel fait le plus long chemin ? — Toujours celui-là (A) parce qu’il est en dernier. — Et si on avance ? — Le même (A) parce qu’il est venu le premier ». Après quoi elle se ravise et dit que le premier fait dans [p. 201] les deux cas le plus long chemin. De même pour la plaquette irrégulière où l’on met A en avant. Par contre, pour A et B mis à distance en orientation oblique, Jac égalise les chemins en les faisant se croiser : A va au point où est B et inversement : « Tu es sûre que c’est le même long chemin ? — Tout à fait sûre. » Mais pour les « cuillères », elle juge impossible d’obtenir les mêmes longs chemins pour les jetons A et B et les perles a et b : « Il faudrait mettre (a) et (b) à la même hauteur (de départ) et elles auraient fait le même chemin, mais alors pas les jetons. — Essaie comme ça (A et B sur la même ligne, a en arrière de b). — Non, on ne peut pas. Il faudrait que je recule (b) pour faire le même long chemin, mais alors c’est embêtant parce que ça fera un plus long chemin pour (B) après. »

Ded (7 ; 4) pour deux petites boules fixées au tiers et aux deux tiers de la même tige : « Je crois que c’est le même long chemin parce qu’elles ont avancé les deux en même temps. — Et comme ça (même intervalle entre les boules mais elles sont fixées sur deux tiges tirées par une même poignée) ? — C’est celle-là (en arrière) qui fait le plus long chemin. Je crois que c’est elle qui a commencé à avancer en premier. — Et si on pousse (le carton et les deux tiges) ? — Elles sont parties en même temps mais c’est quand même la dernière qui a avancé le plus. » Par contre, dans l’épreuve habituelle de conservation des longueurs avec deux tiges égales, d’abord superposées puis dont on avance l’une, elle dit que c’est celle-ci qui devient « la plus longue : elle a plus avancé ».

Cit (7 ; 0). Deux boules sur une même tige : « C’est celle-là qui fait le plus long chemin, parce qu’elle est devant. — Pourquoi ? — Quand on est devant, ça fait plus long, comme la locomotive dans un train. » Double tige et carton irrégulier : même réaction.

Pat (7 ; 1) est prié de trouver les mêmes longs chemins pour A et B situés sur la planche à deux trous longitudinalement : il s’en tire en partant avec A en tête et en arrivant A en queue par compensations : « Ça a tourné la même chose. — Et comme ça (en ligne droite) ? — Non, (B) fait moins de chemin parce qu’il est derrière. — Pourquoi ça fait moins ? — … — Tu sais ? — Parce que… oui, sauf si on revient en arrière : une fois c’est (A) qui est devant, une fois c’est (B). — (Rotation autour de B ?) — (A) a fait plus de chemin et (B) n’a pas bougé. » Avec les anneaux Pat obtient des chemins égaux par des constructions symétriques de 2 à 5 segments avec retours aux points de départ. On lui demande des équivalences avec points de départ décalés ; il effectue des trajets égaux, avec décalage équivalent des points d’arrivée, mais avec retours aux points de départ : « Et sans revenir ? — Non celui-là ferait plus de chemin (B, qui est devant l’autre). — Fais-le quand même sans revenir. — (Il arrête A et B sur la même ligne, d’où un trajet supérieur pour A.) — C’est les mêmes longs chemins ? — Oui, (A) est allé un peu plus vite, il a rattrapé (B), ça fait les mêmes longs chemins. — Mais comment expliquer ça (décalage au départ) et ça (pas de décalage à l’arrivée) ? Ça fait les mêmes chemins ? — Non, (B) a fait un plus petit chemin, il était en avant. — Alors comment faire les mêmes ? — (Il refait un décalage à l’arrivée, comme précédemment, mais sans retour.) — Et pour ça (décalage plus [p. 202] grand de départ) ? — (Il fait partir les jetons ensemble et hésite entre une même ligne d’arrivée et un petit décalage.) — Fais l’un après l’autre. — (Juste.) — Comment être sûr (on lui donne les baguettes) ? — (Il mesure correctement avec un même jeu de baguettes sur chacun des deux chemins.) J’ai fait la même chose. » On reprend alors la planche à deux jetons, longitudinalement : « Celui-là a fait un chemin plus long parce qu’il était devant. »

Ver (7 ; 7) avec la planche à deux jetons leur fait faire des circuits avec retour : « C’est le même long chemin parce que je les ai poussés les deux la même chose. » Mais en ligne droite, « le blanc (B) n’aura pas fait autant que le rose (A) parce qu’il est derrière ». Trois jetons : même réaction, les chemins n’étant égaux que s’ils avancent de front. Cuillères : « Si on veut que les jetons fassent la même chose, on les met comme ça (même ligne d’arrivée) et si on veut que les perles fassent la même chose on les met comme ça (même ligne). » Anneaux que l’on montre avec les mêmes décalages au départ et à l’arrivée : elle admet que ce sont les mêmes longs chemins, mais avec un autre décalage de départ elle les fait aboutir obliquement au même point, d’où une inégalité très visible : « Qu’est-ce que tu regardes pour voir si c’est le même chemin ? — On doit changer quelque chose là (elle corrige le point de jonction pour que les trajets soient égaux puis les fait partir de là sur un chemin commun égal aux segments initiaux). »

Aub (7 ; 9) fait faire des circuits à la planche de deux jetons, pour compenser les effets d’ordre. « Et comme ça (en ligne droite et longitudinalement) ? — C’est pas la même chose… Comme ça (longitudinalement) il va plus lentement et autrement (transversalement) il va plus vite. » Il en résulte que longitudinalement le jeton arrière a du retard sur l’autre, ce que dit Aub à propos du carton irrégulier : « Les deux perles font le même long chemin ? — Non, il manque un bout ici (à celle qui est en arrière). L’autre (en avant) fait un chemin plus long. » Par contre, pour les anneaux partant avec décalage et qu’elle fait arriver à la même ligne, Aub reconnaît après coup qu’un des chemins est alors plus long (jugement sur l’intervalle), mais elle croit rétablir l’égalité en les faisant revenir à leurs places initiales (ce qui double l’inégalité).

Alb (8 ; 1) pense comme Aub qu’en faisant avancer transversalement la planche à deux jetons les chemins sont égaux ; « il n’y a pas besoin de faire un virage, ils peuvent aller tout droit » ; mais longitudinalement le jeton arrière « fera plus de chemin quand je m’arrête. Celui-là (en avant) est arrivé jusqu’au bout et pour l’autre il reste le petit bout (décalage) à faire ». Par contre, en cas de rotation (sur B), A « fait plus parce que l’autre n’a fait que tourner sur place ». Pour les anneaux il assure l’égalité des chemins au moyen de trajets compliqués et angulaires ou à courbures, et toujours parallèles, mais il arrive aussi à des trajets croisés avec intervalles égaux.

Urs (8 ; 1) commence par imprimer à la planche pour deux jetons deux trajets circulaires de sens inverse pour compenser les effets de virage. En ligne droite, par contre, et longitudinalement les deux jetons ne feront pas les mêmes longs chemins « parce que celui-ci est en avant et l’autre en [p. 203] arrière, l’autre fait moins de chemin ». Rotation sur A : juste. Avec les anneaux : vastes courbures compliquées, mais exactement symétriques. Lorsqu’on les pose avec décalage en demandant des trajets rectilignes, il commence par compenser l’écart entre A et B (A en arrière) en le reportant sur le trajet de A (arrivée en avant), comme Fur au niveau IB, et les mesures qu’il fait de l’intervalle ne le détrompent pas d’emblée, puis il se corrige et trouve la solution (même décalage à l’arrivée et au départ). Mais lorsqu’on reprend la planche à deux jetons, la constatation des trajets égaux parcourus en ligne droite par A et B ne suffit pas à le convaincre : « Ce n’est pas les mêmes longs chemins ? — Non, celui-là est devant et l’autre derrière. » Cuillères : impossibilité « parce que cette barre est plus courte ».

Cat (8 ; 8). Deux boules fixées à un fil : « Je trouve que la première a fait plus de chemin : comme elle est plus éloignée (de la base de départ) elle fait le plus long chemin. » Deux fils : même réaction. Etc. Épreuve de conservation (deux réglettes) : « De toute façon quand on les met l’une sur l’autre elles sont de la même grandeur. Quand on les pousse, celle-là est plus longue que l’autre mais elle est de la même longueur. — Et les bouts qui dépassent ? — Les dépassements sont pareils, mais l’un est plus grand. — On sait d’avance lequel ? — On ne peut pas savoir d’avance s’ils seront pareils (ou non). »

Gen (8 ; 2), pour deux anneaux avec départ en décalage, il les fait arriver à la même ligne, puis ramène A à peu près à la hauteur du point de départ de B et B à celui de A ce qui assure l’égalité totale par compensation des décalages. « Et sans revenir ? — (Il rajoute alors à A un bout équivalent à son décalage au départ, où A était en arrière, ce qui double la différence.) — Pourquoi ? — Parce que (A) était là, et (B) au-dessus de l’autre et maintenant un (A) est au-dessus de l’autre. — Et pourquoi ça fait le même long chemin ? — Parce qu’un est arrivé en premier (alors qu’il partait en dernier) et l’autre en dernier (alors qu’il partait en premier). » Après quoi il se corrige et reporte les mêmes décalages à l’arrivée et au départ. Planche à deux trous : il s’arrange à le faire tourner pour que le jeton en arrière au départ soit en avant à l’arrivée (compensation des relations d’ordre). Planche à neuf trous avec trois jetons en diagonale : « Celui-là (en tête) fera un chemin plus long. » Cuillères : il les fait avancer transversalement, ce qui supprime les problèmes. Petit et grand rectangle : le petit au bas du grand au départ est placé au haut à l’arrivée (nouveau cas de compensation).

Pel (9 ; 0). Boules sur une même tige, ou sur deux parallèles : « Celle-là fait plus de chemin, elle est première. » Épreuve de conservation : « Celle-ci est plus longue : elles sont en escalier. — Et si on mesure ? — Elles n’auront pas la même grandeur. »

Tra (9 ; 4). Tiges, etc. : « Celle-là a fait un tout petit peu plus de chemin, elle est en avant. » Conservation : « Quand on pousse, c’est pas la même longueur : celle-ci est plus longue. — Et si on regarde des deux côtés ? — … On les a poussées et on ne sait pas laquelle est la plus longue, alors on croit que c’est la même chose. — Et si on mesure ? — La même chose. — Alors c’est la même longueur ? — Non, maintenant pas (une fois qu’on a tiré l’une). »

[p. 204]Ros (9 ; 5). Conservation : « Celle-là est plus grande (après poussée). — Et si on les mesurait ? — La même chose, parce qu’elles sont de la même longueur. — Mais avant tu disais autrement ? — Oui, si on les mesure comme ça (décalage) on ne trouve pas la même chose, mais comme elles étaient avant (superposition), oui. »

Nad (9 ; 0). Planche à deux trous : « Non, ça ne ferait pas le même long chemin : il faut les mettre à côté l’un de l’autre (transversalement). » Cuillères : « Non, ce n’est pas possible, l’une est plus grande que l’autre : c’est seulement les jetons qui font le même chemin si l’on avance ainsi (les deux de front). »

Les sujets de ce niveau IIA n’utilisent plus les critères multiples et contradictoires du niveau IA, encore fréquents en IB, et se concentrent sur l’évaluation ordinale des longueurs par les dépassements, mais avec un progrès net sur le niveau IB où cette estimation ordinale tendait déjà à prévaloir : c’est que les positions relatives des jetons sont considérées sur le véhicule en tenant compte des mouvements de celui-ci par rapport à la référence immobile qu’est la table. Ce progrès se paye certes par une généralisation fallacieuse : au lieu de juger les jetons sur la planche à deux trous comme parcourant le même long chemin parce que entraînés ensemble, même lorsque ce véhicule avance longitudinalement, les sujets du niveau IIA disent que le jeton placé en avant fait un plus long chemin parce que dépassant l’autre (et non plus un chemin plus court parce que le jeton de l’arrière est en retard et doit rattraper « un bout », comme le pensent parfois les sujets du niveau IB, ou les cas intermédiaires (Zan à Deb), lorsqu’il s’agit de jetons indépendants ou qu’ils oublient leur solidarité sur une trop grande planche. Mais s’il y a ainsi généralisation outrancière du critère de dépassement, l’évaluation en est cependant plus fine et cette finesse se manifeste en particulier en cas de rotation du véhicule autour de l’un des jetons : en ce cas l’autre jeton est compris comme étant seul en mouvement, tandis que celui qui sert de centre de pivotement demeure sur place et est sans cesse dépassé circulairement par le premier.

Cela dit, les deux problèmes que posent ces réactions sont celui des paradoxes auxquels aboutissent les dépassements et celui de la manière dont ces sujets parviennent sur certains points à se libérer du critère ordinal pour atteindre la notion correcte de longueur en tant qu’intervalle entre les points de départ du mouvement et ceux de son arrivée.

[p. 205] Pour ce qui est de la première de ces questions, il s’agit d’abord de comprendre le pourquoi du critère de dépassement centré sur les points d’arrivée. Au niveau IB, où l’équivalence de longueur des chemins dépend encore de leur forme générale commune, les jetons situés sur un seul véhicule sont jugés marcher « ensemble » et faire le même trajet, et il en est de même de mobiles indépendants s’ils avancent « ensemble », sauf parfois si l’un des deux a dû auparavant rattraper l’autre. À ce niveau IA, la notion de « marcher ensemble », donc sans dépassement, est mieux analysée, entre autres parce que le sujet situe les positions des mobiles à la fois l’un par rapport à l’autre, par rapport au véhicule et par rapport à la table : cela n’est pas parce qu’il y a là plusieurs systèmes de coordonnées, puisque c’est le même pour tous ces objets (tant que les mobiles sont entraînés par le véhicule et ne se déplacent pas en sens inverse du sien), mais que les relations de position sont analysées dans l’espace en fonction de davantage d’objets. Il en résulte alors le progrès que l’on a vu en cas de rotation de la planche autour d’un des jetons, mais il en résulte aussi qu’en cas de trajet rectiligne et longitudinal le jeton de devant arrive avant l’autre, d’où son chemin jugé plus long. Quant à savoir pourquoi le sujet néglige alors les points de départ, c’est d’abord parce qu’une coordination de plusieurs variables dans l’espace n’entraîne pas d’emblée la mise en relation temporelle qui unirait les débuts et la fin du mouvement ; mais c’est surtout que l’action de se déplacer est orientée vers un but et que son résultat compte davantage que ses conditions initiales (d’où les fonctions univoques à « droite »). Il s’y ajoute sans doute que, comme nous l’avons vu ailleurs à propos de la causalité, il faut attendre le niveau IIB lorsque l’on déplace un objet allongé (par exemple à propos des longueurs de tiges d’abord superposées ou décalées, etc.) pour que les sujets différencient nettement les déplacements avec conservation des dimensions du solide et les étirements ou allongements dans le sens du mouvement (élastiques). Toutes ces raisons convergent sans doute pour imposer, dans l’évaluation des longueurs, le choix du critère du dépassement aux seuls points d’arrivée.

Cette situation générale explique alors à la fois les astuces et les paradoxes des conduites de nos sujets. Les premières consistent, par exemple en allers et retours, en circuits et [p. 206] même en tête-à-queue utilisés pour compenser les inégalités ordinales, le jeton A arrivant le dernier sur la planche lorsqu’il est parti en premier (cf. Pat, etc.). Les seconds consistent en fausses compensations analogues à celles du niveau IB et revenant à doubler le décalage (en le reportant du départ à l’arrivée mais dans le faux sens ou par allers et retours : cf. Aub, Gen, etc.), ce qui double l’inégalité des trajets. Mais les sujets de ce niveau parviennent ensuite à corriger cette erreur, tandis que pour les « cuillères » (jetons et perles aux deux extrémités de tiges inégales), ils jugent impossible l’égalisation de la longueur des chemins (Ver, Nad, etc.), puisqu’on ne peut pas faire coïncider à la fois les jetons et les perles. Quant aux réponses aux épreuves de conservation, elles montrent (chez Cat) la différence qui subsiste à ce niveau entre la longueur-objet (« même longueur ») et la longueur-action (« quand on la pousse elle est plus longue que l’autre ») ainsi que l’indifférenciation qui persiste entre l’allongement et le déplacement.

Il n’en reste pas moins que chacun de ces sujets, après de multiples tâtonnements, en arrive momentanément à juger des longueurs de chemin par l’intervalle entre les points de départ et d’arrivée. C’est le cas de Jac lorsqu’elle permute les positions des jetons A et B (⇄) ou de Alb avec un croisement de forme

Voici quelques exemples, à commencer par un cas intermédiaire :

Ato (8 ; 7) pousse transversalement la planche à deux trous : « Quand on les pousse ils sont tous les deux à la même limite, mais si on tourne, celui-là serait plus en avant. — Comme ça (longitudinalement) ? — Non, celui-là irait plus vite. Au commencement il irait plus en avant, mais quand on arrive à la fin… (hésitation). Non, au départ il a un bout de moins à faire et quand on arrive c’est un bout de moins pour l’autre. — Tu es sûr ? — Il y a deux chemins de mêmes longueurs mais ils ne sont pas au même endroit (= décalage de trajets égaux). » Mais malgré cette découverte, Ato fait ensuite pour A et B en décalages (anneaux) deux trajets rectangulaires mais dont l’un est inscrit dans l’autre et manifestement bien moins long. Il se corrige [p. 207] ensuite avec des trajets croisés et angulaires de manière à compenser les décalages : « celui de derrière passe toujours devant pour les contours (juste) ». Pour les « cuillères », Ato les fait arriver avec le même décalage qu’au départ, en faveur soit des jetons soit des perles : « Laquelle fait le chemin le plus long ? — Elles font les deux la même chose. » De même pour les rectangles, etc.

Ari (9 ; 1) pour la planche à deux jetons commence par dire que « le premier a fait un plus long chemin ». Rotation : juste. Pour les anneaux elle commence par ne construire que des trajets parallèles ou symétriques, sans décalages, mais quand on en impose un au départ elle reproduit le même à l’arrivée et affirme l’égalité des longueurs : « Je les avance, ensuite je peux mesurer où était le premier. De même pour le second. — Mais avant tu disais que celui de devant faisait plus de chemin ? — Non (elle mesure les décalages avec 3 et 3 petites baguettes). » Cuillères : mêmes chemins : « Tu dois mesurer ? — Non, je suis sûre. Celui-là était déjà en avant, alors il est resté en avant : ça fait le même chemin. »

Min (9 ; 2) commence également par l’évaluation ordinale, mais avec les anneaux elle reproduit aussi à l’arrivée un décalage demandé au départ en disant : « Ça fait le même long chemin : ils sont partis en même temps mais n’étaient pas au même endroit et ils se sont arrêtés en même temps. » De même pour les cuillères : « Simplement celle-là est plus longue que celle-ci. » Pour la planche à secteurs emboîtés : « C’est le même chemin, parce que cette partie a simplement avancé plus. Toutes les parties sont pareilles (solidarité des morceaux d’un tout). »

Bro (9 ; 0) commence par dire, à propos de la planche à deux trous : « C’est le même long chemin, mais le jeton rouge est quand même le premier : on doit revenir au point de départ sans quoi ils ne font pas le même chemin, parce que le jeton noir n’a pas été jusqu’à la limite du rouge. » Mais avec les anneaux et un départ en décalage il conserve celui-ci à l’arrivée et affirme l’égalité des trajets : « Ils doivent être à la même distance entre eux qu’au départ. » Cuillères : même réaction : l’avance de l’un des jetons, si les perles sont sur la même ligne, ne lui sert « à rien ». Quant au carton à secteur emboîté : « Ça avance tout en même temps. Si on mesure la distance, c’est la même. — Et si tu mesures à part le chemin du petit carré (en tête) ? — Il n’y a rien à mesurer, on sait que c’est tout ensemble. »

Ril (9 ; 3), enfin, n’hésite plus quant aux planches à deux ou six jetons : « Ça fait le même chemin parce qu’ils sont les deux ensemble », etc., mais « quand on tourne (circuits) ils ne tournent peut-être pas la même chose ». Anneaux avec décalage au départ : elle le conserve à l’arrivée et affirme l’égalité « parce qu’ils sont avancés (décalés) les deux la même chose ». Cuillères : même réaction mais « il faut qu’ils soient droits ».

Le progrès décisif accompli par les sujets de ce niveau consiste donc à évaluer les longueurs en fonction non plus de l’ordre des points d’arrivée mais de l’intervalle compris entre [p. 208] les points de départ et d’arrivée. À ce succès final concourent deux sortes de facteurs généraux. Les uns sont logico-mathématiques et sont dus au développement de la métrique et des systèmes de coordonnées, ce qui permet de comparer les décalages de départ à ceux d’arrivée. Les autres sont de nature physique et sont relatifs à la différenciation de la dynamique et de la cinématique d’où la distinction des allongements et des simples déplacements. Mais l’essentiel tient aux progrès de l’action elle-même, qui se décentre des buts à atteindre et considère l’ensemble de la trajectoire, non plus de manière statique comme au cours du stade I mais en son déroulement temporel de mouvement continu : le fait que les premiers de ces sujets, de Ato à Bro, commencent par n’utiliser que le critère ordinal (fin du parcours), puis hésitent et remontent aux points de départ montre assez l’importance et la direction de cette prise de conscience, qui remonte des résultats finals de l’acte à ses conditions initiales jusqu’à la saisie de l’ensemble. C’est alors seulement que la longueur-action devient coordonnable avec la longueur-objet (et que cette dernière acquiert ses caractères stables de conservation).

Le fait que l’action demandée aux sujets en cette recherche consiste à construire une équivalence entre deux mouvements et non pas à atteindre un but matériel au moyen de l’un seulement d’entre eux aboutit à une situation particulière au point de vue de la prise de conscience et de la compréhension : tandis qu’un seul mouvement peut donner lieu aux faits habituels (conscience demeurant incomplète ou même déformante tant que l’action n’est soumise qu’à des régulations sensori-motrices ou automatiques, mais progressant en fonction des réglages actifs), l’égalisation de deux mouvements sera naturellement subordonnée à la conceptualisation, puisqu’il s’agit (voir l’Introduction de ce chapitre) de choisir un critère d’équivalence et que l’exécution de cette action complexe, y compris son propre réglage actif, dépend elle-même du choix de ce critère. Nous assistons donc, au cours des stades du développement de l’égalisation [p. 209] des longueurs de trajets, à des interactions complexes entre la prise de conscience de l’action de déplacer un objet (déjà à l’œuvre pour un seul déplacement) et la conceptualisation de l’équivalence de deux trajets correspondants.

Au niveau IA nous avons constaté que la longueur-objet n’est pas encore différenciée de la longueur-action. Quant à celle-ci, la prise de conscience qu’en tire le sujet est caractérisée par des catégories surtout qualitatives (intensives) précédant toute quantification extensive ou métrique (« très peu de chemin », un chemin « trop petit » dans le sens de « très », etc.), par des formes indépendamment de leurs dimensions (droites ou courbes, qu’elles soient plus ou moins longues ou courtes) et même par des itinéraires donnés indépendamment de leur longueur (un chemin au sens d’un itinéraire coutumier par opposition à d’autres situés différemment). Lorsqu’il s’agit alors de juger de l’équivalence de deux trajets, même s’ils sont appelés selon la consigne les « mêmes longs chemins », le sujet de ce niveau IA ne dépasse guère cette conceptualisation : sont jugés égaux les trajets de même catégorie (très petits », etc.) sans évaluation quantitative, ou de même forme (parallèles pour des droites, ou de courbures analogues), ou encore situés « sur le même chemin » au sens indiqué à l’instant. Mais il s’y ajoute des critères spéciaux d’égalisation, qui annoncent déjà, mais de loin, les futurs critères ordinaux : deux chemins sont égaux s’ils aboutissent au même but ou point d’arrivée, d’où parfois l’indice fourni par le fait de « marcher ensemble », et inégaux s’ils demeurent séparés (d’où des chemins plus grands si l’un des deux devance l’autre, on doit le rattraper, ou même rester à son côté) ou encore si l’un est poussé par le sujet et pas l’autre (dans le cas de la planche à deux jetons).

Ces critères qualitatifs se retrouvent au niveau IB, mais avec un progrès dans le cas où les mobiles avancent sur le même véhicule : en cette situation, le fait qu’ils parcourent des trajets de même catégorie, de même forme, sur le même chemin et pour arriver au même but impose la notion qu’ils avancent « ensemble ». C’est alors cette relation qui devient le critère principal à ce niveau IB et c’est là déjà un critère ordinal puisque marcher « ensemble » signifie qu’aucun des deux mobiles ne dépasse l’autre (à s’en tenir du moins à une constatation globale). Aussi bien les sujets de ce sous-stade cherchent-ils à [p. 210] imprimer aux jetons, lorsqu’ils sont indépendants, des trajets parallèles ou symétriques excluant tout dépassement et conservant la liaison « ensemble », bien que cette fois par correspondance des positions et non plus par unicité du véhicule. Lorsque l’on impose un décalage, par contre, la réaction la plus fréquente consiste à invoquer, non pas l’avance de celui qui occupe le premier rang, mais l’obligation pour celui qui est en retard de rattraper l’autre et donc de rejoindre la position « ensemble », ce qui lui fait attribuer un parcours plus long. En bref, la prise de conscience ou conceptualisation de la longueur du chemin tend dès ce niveau à se subordonner aux critères d’égalisation des longueurs-actions.

Les réactions du niveau IIA consistent ensuite à analyser plus finement les conditions du dépassement, ce qui oblige à une meilleure prise de conscience ou de connaissance des positions relatives et des références : d’où le double refus de considérer comme marchant « ensemble » et faisant les mêmes chemins les jetons de la planche à deux trous lorsque celle-ci fait une rotation ayant pour centre l’un des jetons (cela avec raison) ou lorsque l’un d’entre eux devance l’autre en une marche longitudinale. Le critère fondamental devient alors l’ordre des points d’arrivée, par un progrès de cette analyse, mais par négligence plus ou moins intentionnelle des perturbations éventuelles dues à l’inégalité des points de départ, d’où les compensations correctes ou illusoires consistant à renverser l’ordre de succession des jetons durant le parcours, etc. D’où également le refus de toute solution pour les tiges inégales (« cuillères »).

Mais dès le niveau IIA la considération des intervalles entre les points de départ et d’arrivée intervient lorsque les trajets des deux mobiles ne sont pas identiques (sur une partie du parcours) ou parallèles. C’est alors cette notion d’intervalle due au progrès de la prise de conscience ou compréhension de toutes les variables et de la coordination métrique, qui se généralise au niveau IIB, d’où la solution correcte des problèmes d’équivalence présentés aux sujets, et la conservation de la longueur-objet, enfin différenciée de la longueur-action, dont le privilège imposait encore au niveau IIA le primat du critère fondé sur les seuls points d’arrivée.