Chapitre III.
Le développement historique de la géométrie ^a 🔗

L’histoire des mathématiques ne commence pas avec les Grecs. Prendre la Grèce comme point de départ ne signifie pas adhérer à une tradition qui a injustement relégué — ou tout au moins minimisé — le développement des mathématiques des autres peuples de l’Antiquité, en envisageant le « miracle grec » comme une coupure sans précédent ni parallèle. Suivre la voie grecque nous permet d’œuvrer dans la continuité historique : malgré une grande quantité d’incertitudes initiales, il est possible d’établir un processus dont les étapes successives peuvent être suivies pas à pas jusqu’à nos jours.

Sans doute, dans les mathématiques grecques, la géométrie est la branche qui a fait preuve d’une telle perfection qu’elle est devenue pendant plusieurs siècles le paradigme même de la science. Deux mille ans après Euclide, elle sera pour Newton le modèle pour toute construction d’une théorie scientifique, et ses Principia s’inspireront de ce modèle.

Cependant, notre but n’est pas de faire une synthèse historique de la géométrie des Grecs mais de souligner les caractéristiques qui mettent en évidence ses bases méthodologiques et le cadre épistémologique dans lequel les géomètres grecs ont travaillé. Pour cela, nous nous limiterons aux quatre noms les plus importants de cette période, en laissant de côté beaucoup d’autres dont pourtant la contribution est notable. Il sera question d’Euclide, d’Archimède, d’Apollonius et de Pappus.

[p. 106] Euclide est suffisamment connu pour qu’il soit inutile d’entrer dans le détail de la signification historique de ses Éléments. Ils représentent, sans doute, la contribution la plus importante de l’Antiquité à la méthodologie des sciences.

La valeur de ses travaux est indépendante de la discussion concernant le nom d’Euclide en tant qu’auteur des Éléments (nom attribué par quelques-uns à un seul homme et par d’autres à toute une école). Il est également en dehors de notre propos de nous occuper ici de ses prédécesseurs qui, d’après Proclus, ont écrit sur les éléments de la géométrie. Cet auteur parle d’Euclide comme de « celui qui rassembla les Éléments, mit en ordre beaucoup de choses trouvées par Eudoxe, perfectionna ce qui avait été commencé par Theaetetus, et démontra plus rigoureusement ce qui n’avait encore été que trop mollement démontré avant lui ».

L’importance de la contribution d’Euclide qui, dans la formulation de ses Éléments, présenta la première axiomatisation de l’histoire des mathématiques n’a été appréciée (à l’exception d’Archimède) que longtemps après. Elle ne fut comprise dans toute sa profondeur qu’au moment de la transition du xix^e au xx^e siècle, et à partir des travaux de Hilbert et de Peano. Nous n’insisterons pas sur l’analyse de cette contribution, et ceci pour deux raisons différentes. En premier lieu, la signification de la méthode axiomatique est parfaitement connue, et dans n’importe lequel des bons ouvrages qui traitent des fondements des mathématiques ou de la logique il est possible d’en trouver un clair exposé. En second lieu, l’axiomatisation d’une théorie représente un point d’arrivée, le terme de son développement ; elle est une formulation systématique d’éléments préalablement élaborés par laquelle on essaie d’éclaircir ses rapports logiques. Bien qu’elle soit très féconde, cette méthode est loin d’épuiser l’analyse épistémologique. Notre analyse, comme nous l’avons déjà souligné, doit s’occuper surtout du processus même de la construction, de la genèse des structurations successives, des mécanismes de passage d’un stade au suivant dans le développement historique de la science.

Les Éléments d’Euclide ont, pour notre analyse, l’intérêt de représenter d’une façon parfaite le type de géométrie qui va dominer pendant toute la période comprise entre [p. 107] l’Antiquité et l’époque moderne. Ces caractéristiques ne seront mises en lumière qu’au xix^e siècle, au moment même d’une profonde révolution méthodologique et d’un changement de conceptions sur la signification de la géométrie. À ce moment, ses caractéristiques et les limitations qu’elles comportent seront mises en évidence. Pour comprendre ce processus il convient peut-être d’esquisser le développement de la géométrie à partir du xvii^e siècle, puis de revenir aux Grecs : leurs réussites et les obstacles qu’ils ont rencontrés prendront ainsi un sens à la lumière des développements ultérieurs.

Après les Grecs, la première mutation spectaculaire a été produite par la géométrie analytique. Bien que précédé chronologiquement par Fermat (1601-1665), c’est René Descartes qui, avec son célèbre Discours de la méthode pour bien conduire sa raison et chercher la vérité dans les sciences (1637), sera le moteur le plus important de ce processus. Le troisième appendice du Discours, dont le titre est « La géométrie », est le jalon qui marque le commencement de l’âge moderne en mathématiques.

Descartes et Fermat vont remplacer les points d’un plan au moyen de couples de nombres, et les courbes au moyen d’équations. Ainsi, à l’étude des propriétés des courbes sera substituée l’étude des propriétés algébriques des équations correspondantes. La géométrie sera ainsi « réduite » à l’algèbre. Descartes lui-même est tout à fait conscient de l’importance de son œuvre : l’année même de sa publication il envoie une lettre à Mersonne où il affirme que sa méthode d’analyse de la nature et des propriétés des courbes a dépassé la géométrie ordinaire de la même façon que la rhétorique de Cicéron dépasse l’a-b-c des enfants.

Un demi-siècle après le Discours, Newton publia ses Principia (1687). Le calcul différentiel créé par Newton et, indépendamment, par Leibniz, donnera à la géométrie analytique une portée que Descartes n’avait pas prévue. Plus tard, les Bernoulli, Euler et Lagrange vont compléter la « réduction » de la géométrie à l’analyse.

Envisagée dans sa perspective historique, il est possible d’établir dans quelle mesure la géométrie analytique a dépassé la « géométrie ordinaire », en quoi consiste exactement [p. 108] le dépassement auquel se réfère Descartes, et dans quelle mesure elle est restée liée à la tradition grecque. D’autre part, comme nous l’avons dit, cette comparaison permet de mieux apprécier les caractéristiques et les limites de cette dernière. Cette évaluation a eu lieu au début du xix^e siècle. Deux géomètres français, Poncelet (1788-1867) et Chasles (1793-1880), seront ses meilleurs interprètes.

Dans l’introduction à son célèbre Traité ¹, Poncelet signale clairement dans quel sens la géométrie analytique a dépassé la « Géométrie Ancienne » :

[…] tandis que la Géométrie analytique offre, par la marche qui lui est propre, des moyens généraux et uniformes pour procéder à la solution des questions qui se présentent, à la recherche des propriétés des figures ; tandis qu’elle arrive à des résultats dont la généralité est pour ainsi dire sans bornes, l’autre procède au hasard ; sa marche dépend tout à fait de la sagacité de celui qui l’emploie, et ses résultats sont, presque toujours, bornés à l’état particulier de la figure que l’on considère. Par les efforts successifs des géomètres, les vérités particulières se sont multipliées sans cesse, mais il est arrivé rarement que la méthode et la théorie générale y aient gagné […] ².

Poncelet explique ainsi les causes profondes de cette situation :

Dans la Géométrie ordinaire, qu’on nomme souvent la synthèse, les principes sont tout autres, la marche est plus timide ou plus sévère ; la figure est décrite, jamais on ne la perd de vue, toujours on raisonne sur des grandeurs, des formes réelles et existantes, et jamais on ne tire des conséquences qui ne puissent se peindre, à l’imagination ou à la vue, par des objets sensibles ; on s’arrête dès que ces objets cessent d’avoir une existence positive et absolue, une existence physique. La rigueur est même poussée jusqu’au point de ne pas admettre les conséquences d’un raisonnement, établi dans une certaine disposition générale des objets d’une figure, pour une autre disposition également générale de ces objets, et qui aurait toute l’analogie possible avec la première ; en un mot, dans cette Géométrie restreinte, on est forcé de reprendre toute la série des raisonnements primitifs, [p. 109] dès l’instant où une ligne, un point ont passé de la droite à la gauche d’un autre, etc. ³

De son côté, Chasles, dans sa magnifique synthèse historique sur le développement de la géométrie ⁴ nous présente un commentaire similaire :

La Géométrie de Descartes, outre ce caractère éminent d’universalité, se distingue encore de la Géométrie ancienne sous un rapport particulier qui mérite d’être remarqué ; c’est qu’elle établit, par une seule formule, des propriétés générales de familles entières de courbes ; de sorte que l’on ne saurait découvrir par cette voie quelque propriété d’une courbe, qu’elle ne fasse aussitôt connaître des propriétés semblables ou analogues dans une infinité d’autres lignes. Jusque-là, on n’avait étudié que des propriétés particulières de quelques courbes, prises une à une, et toujours par des moyens différents qui n’établissaient aucune liaison entre différentes courbes ⁵.

Une fois la géométrie analytique définitivement constituée, il s’est établi un corps de doctrines à partir duquel va se produire une profonde révolution dans la pensée mathématique. Poncelet et Chasles sont parmi les plus importants promoteurs de cette révolution. Les citations de ces auteurs que nous avons présentées dans la section précédente font partie de leurs réflexions sur le développement historique de la géométrie. Mais ils ne s’arrêtent pas là : au contraire, ils présentent aussi leur propre interprétation du processus et en tirent les conséquences pour une nouvelle formulation de cette science qui dominera presque tout le xix^e siècle. Dans l’histoire de la science, il est peu fréquent de pouvoir suivre aussi clairement le processus au moyen duquel se produit un changement fondamental dans la ligne de pensée. Dans ce cas, il n’est pas nécessaire d’approfondir l’analyse pour chercher avec difficulté une interprétation adéquate. Il suffit d’écouter l’explication que nous donnent les protagonistes du changement sur l’origine de leurs idées.

[p. 110] Après avoir expliqué le degré de généralité de la géométrie analytique et, parallèlement, les limites de la « géométrie ancienne », Poncelet étudie les causes de ces différences :

L’Algèbre emploie des signes abstraits, elle représente les grandeurs absolues par des caractères qui n’ont aucune valeur par eux-mêmes, et qui laissent à ces grandeurs toute l’indétermination possible ; par suite elle opère et raisonne forcément sur les signes de non-existence comme sur des quantités toujours absolues, toujours réelles […]. Le résultat doit donc lui-même participer de cette généralité et s’étendre à tous les cas possibles, à toutes les valeurs des lettres qui y entrent ⁶.

Mais Poncelet comprend parfaitement que cette capacité de généralisation ne se limite pas aux « signes abstraits ». En effet, il remarque plus loin :

Or on est conduit à toutes ces conséquences, non seulement quand on emploie les signes et les notations de l’algèbre, mais aussi toutes les fois qu’en raisonnant sur des grandeurs quelconques on fait abstraction de leurs valeurs numériques et absolues ; en un mot, toutes les fois qu’on emploie le raisonnement sur des grandeurs indéterminées, c’est-à-dire le raisonnement purement implicite ⁷.

Le problème que se pose Poncelet consiste à rechercher par des méthodes spécifiques de la géométrie, c’est-à-dire sans faire appel à l’algèbre, la façon d’y appliquer le raisonnement implicite, en faisant abstraction de la figure, et à obtenir ainsi le même degré de généralité que la géométrie analytique. La question est formulée dans ces termes :

L’ancienne Géométrie est hérissée de figures. La raison en est simple. Puisqu’on manquait alors de principes généraux et abstraits, chaque question ne pouvait être traitée qu’à l’état concret, sur la figure même qui était l’objet de cette question, et dont la vue seule pouvait faire découvrir les éléments nécessaires à la démonstration ou à la solution cherchée. Mais on n’a pas été sans éprouver les inconvénients de cette manière de procéder, par la difficulté de construction de certaines figures, et par leur complication, qui en rend l’intelligence laborieuse et pénible. C’est surtout dans les questions de la Géométrie à trois dimensions, où les figures peuvent devenir tout à fait impossibles, que l’inconvénient que nous signalons se fait le plus sentir.

[p. 111] Ce défaut de la Géométrie ancienne fait l’un des avantages relatifs de la Géométrie analytique, où il se trouve éludé de la manière la plus heureuse. On a dû se demander, après cela, s’il n’était point aussi, en Géométrie pure et spéculative, une manière de raisonner sans l’assistance continuelle de figures, dont un inconvénient réel, même quand leur construction est facile, est tout au moins de fatiguer l’esprit et de ralentir la pensée.

Les écrits de Monge, et le professorat de cet illustre maître, dont les manières nous avaient été conservées par l’un de ses plus célèbres disciples, héritier de sa chaire, ont résolu la question. Il nous ont appris qu’il suffit, maintenant que les éléments de la science sont formés et très étendus, d’introduire, dans notre langage et dans nos conceptions géométriques, ces principes généraux et ces transformations analogues à celle de l’Analyse, qui, en nous faisant connaître une vérité dans sa pureté primitive et sous toutes ses faces, se prêtent à des déductions faciles et fécondes, par lesquelles on arrive naturellement au but ⁸.

Chasles suit un chemin parallèle à celui de Poncelet et, après avoir présenté une étude historique qui reste encore un classique de l’histoire de la géométrie, il arrive à des conclusions identiques :

[…] en réfléchissant sur les procédés de l’Algèbre et en recherchant la cause des avantages immenses qu’elle apporte dans la Géométrie, ne s’aperçoit-on pas qu’elle doit une partie de ces avantages à la facilité des transformations que l’on fait subir aux expressions qu’on y introduit d’abord ? Transformations dont le secret et le mécanisme font la véritable science, et l’objet constant des recherches de l’analyste. N’était-il pas naturel de chercher à introduire pareillement dans la Géométrie pure des transformations analogues portant directement sur les figures proposées et sur leurs propriétés ⁹.

Sans qu’il soit nécessaire de continuer avec des citations, il est clair que Poncelet et Chasles vont incorporer les systèmes de transformations comme méthode fondamentale de la géométrie et qu’ils essaient ainsi de donner à cette science, indépendamment de l’algèbre, la même généralité, la même souplesse, la même fécondité que la géométrie analytique avait montrées au cours de son développement au xviii^e siècle.

[p. 112] Mais il est clair aussi que ces deux géomètres vont introduire leur nouvelle conception de la géométrie à partir des méthodes algébriques. C’est également en s’inspirant des méthodes algébriques qu’ils vont donner un sens « purement géométrique » aux éléments « imaginaires ». À titre d’illustration, on présentera un exemple d’une grande pertinence historique. Au deuxième chapitre de l’œuvre de Poncelet à laquelle on a fait référence, celui-ci étudie les propriétés projectives des figures et il analyse les conséquences qui découlent de l’application de quelques théorèmes démontrés « dans des circonstances de construction générale », à des cas où les points ou droites des figures en question sont imaginaires. Ensuite, il arrive aux conclusions suivantes :

a. Deux hyperboles ou plus, semblables et semblablement placées (« s. et s. p. ») sur un plan, ont leurs asymptotes parallèles ; par conséquent elles ont deux points communs et une sécante commune à l’infini.

b. Étant donné un nombre quelconque d’ellipses « s. et s. p. », pour chaque direction donnée il existe un système d’hyperboles « supplémentaires » dont les diamètres de contact sont parallèles ; puisqu’elles sont toutes « s. et s. p. », elles ont une sécante commune à l’infini, qu’on peut supposer parallèle à la direction donnée ; par conséquent, les ellipses données ont une sécante commune à l’infini, c’est-à-dire qu’elles ont deux points imaginaires communs à l’infini.

c. Étant donné le fait que les paraboles peuvent être considérées comme des ellipses infiniment allongées, toutes les paraboles « semblablement situées » se rejoignent en un point dont la tangente se trouve à l’infini.

d. Deux circonférences, ou plus, placées arbitrairement sur le plan sont, évidemment, des courbes « s. et s. p. » sur ce plan, et il est possible de faire appel en ce qui les concerne aux raisonnements précédents ; par conséquent, elles ont une sécante idéale commune à l’infini.

De cette dernière proposition découle la célèbre assertion de Poncelet :

Des cercles placés arbitrairement sur un plan ne sont donc pas tout à fait indépendants entre eux, comme on pourrait le croire au premier abord ; ils ont idéalement deux points imaginaires communs à l’infini et, sous ce rapport, ils doivent jouir de certaines propriétés appartenant à la fois à tout leur [p. 113] système, et analogues à celles dont ils jouissent quand ils ont une sécante commune ordinaire.

L’introduction de ces idées dans la géométrie projective permettra une généralisation et une simplification remarquables de plusieurs résultats partiels. Ainsi, par exemple, les deux points fixes, situés à l’infini où passent tous les cercles du plan qui seront nommés « points cycliques », ont aussi permis d’appliquer aux cercles le théorème d’après lequel le nombre de points d’intersection de deux courbes algébriques planes de degré m et n est égal au produit mn (la circonférence était apparemment une exception, étant donné que son équation est du deuxième degré ; l’intersection de deux cercles serait un cas dans lequel m = n = 2, dont le produit est mn = 4).

Sur la base des points cycliques à l’infini, Laguerre réussit à donner une définition de l’angle formé par deux droites. En général, l’expression analytique de toutes les propriétés métriques euclidiennes suppose la relation entre la propriété en question et les points cycliques à l’infini, ou bien les coniques et quadratiques à l’infini introduites plus tard par Cayley sous le nom d’« absolus ». À Cayley appartient l’idée que toutes les propriétés métriques des figures ne sont autre chose que les propriétés projectives en rapport avec les absolus. Il est important de souligner que les travaux de Cayley se basent sur sa théorie des « quantics » (polynômes homogènes de deux ou plusieurs variables) et de leurs invariants. Ses études sur la géométrie projective ont donc leur source dans une perspective algébrique.

Les idées de Cayley ont été développées par Klein. Celui-ci réussira à donner à ces idées un degré de généralité tel qu’une synthèse de toute la géométrie en deviendra possible. La découverte centrale de Klein a été la nature projective des géométries non euclidiennes, ainsi que la démonstration de l’indépendance de la géométrie projective par rapport à la théorie des parallèles. À partir de la conception de la métrique de Cayley, Klein établit, avec clarté, que, en fonction de la nature de l’« absolu », on peut obtenir toutes les géométries : quand la surface absolue de deuxième degré est un ellipsoïde, un paraboloïde elliptique ou un hyperboloïde réels, on obtient la géométrie de Bolyai-Lobatchevsky ; quand la surface est [p. 114] imaginaire, on obtient la géométrie non euclidienne de Riemann ; quand il s’agit d’une sphère, on obtient la géométrie euclidienne.

Or, ces travaux de Klein ouvrent la voie à une nouvelle étape de la géométrie : celle de son incorporation à la mathématique moderne.

La notion de transformation est donc à la base de la nouvelle géométrie, qui se développera au cours du xix^e siècle. On peut donc se demander si elle n’a pas eu d’antécédent historique et, en tout cas, pourquoi il a fallu tant de siècles pour s’en servir et prendre conscience de son rôle. De même, dans la mesure où cette notion s’inspire de la géométrie analytique (laquelle, de son côté, est fondée sur l’introduction de coordonnées et, par leur intermédiaire, sur la « réduction » de la géométrie à l’algèbre et au calcul infinitésimal), nous devons nous interroger sur les antécédents historiques de ces méthodes. En ce sens, l’histoire est pleine d’enseignements et nous pouvons y trouver une base solide pour la théorie épistémologique. Cependant, nous tenons à souligner que la recherche d’antécédents n’a pas pour but d’établir des « priorités » ou de préciser, comme on le fait souvent dans la recherche historique, le degré d’originalité d’un auteur ou d’une école donnés. D’une certaine façon, notre recherche s’oppose à cette pratique historique. Notre objectif est d’abord de déterminer quels ont été les facteurs qui ont empêché le développement d’idées entrevues à une certaine période et restées ensuite à l’état embryonnaire, ceci parfois pendant des siècles. Notre hypothèse de travail consiste à considérer que ces faits n’obéissent pas au hasard et que ces périodes d’attente correspondent en général à des périodes de développement d’autres méthodes ou d’autres concepts sans lesquels ces idées ne pouvaient pas être élaborées en profondeur.

Les développements qui ont eu lieu dans la première moitié du xix^e siècle exerceront leur influence jusqu’au début du xx^e siècle et même au-delà. Ils domineront le champ de la géométrie jusqu’à ce que les idées de Sophus Lie et de Félix Klein, d’une part, et celles de Riemann, d’autre part, fassent leur chemin et que l’on extraie toute la richesse de leur contenu.

L’étape à laquelle a conduit le concept de transformation tel qu’il a été conçu par Poncelet et par Chasles a eu une longue durée marquée par un brillant apogée. Mais la systématisation de la géométrie qu’ils ont réalisée présentait une limitation fondamentale : à travers elle, la distinction entre propriétés métriques et propriétés projectives ne peut être formulée de manière stricte. Ce n’est qu’avec Lie et Klein, sur la base de la notion de groupe de transformations et les invariantes correspondantes, que l’on disposera de l’outil nécessaire pour introduire les distinctions précises entre les différents types de Géométrie. Cette fois c’est Félix Klein qui va formuler de façon magistrale le nouveau point de vue. Une nouvelle étape sera ainsi inaugurée. Le passage de l’étape des transformations projectives à l’étape des structures de groupe constitue une précieuse leçon pour l’épistémologie.

L’idée de transformation introduite pendant l’étape précédente avait une origine clairement intuitive. Le recours à l’intuition a eu des avantages évidents que nous [p. 122] avons déjà signalés mais a également imposé des limitations.

Dans chaque cas particulier un type de transformation était appliqué ; il permettait d’étudier les propriétés des figures à un degré de généralité très élevé, mais les moyens manquaient pour identifier et exprimer la structure de l’ensemble de ces transformations. La théorie des groupes va fournir l’outil nécessaire pour reformuler les problèmes à un autre niveau à partir duquel cette structuration deviendra manifeste.

On considère habituellement que Klein s’est familiarisé avec la théorie des groupes à travers le livre de C. Jordan (1870). Cependant, ses relations avec Lie ont très bien pu être à l’origine de ses premiers contacts avec les travaux de Galois et d’Abel. Nous n’allons pas essayer d’élucider jusqu’à quel point Klein est original. Ce qui nous intéresse c’est la formulation faite par lui dans son Programme d’Erlangen (1872) qui est, sans doute, la plus claire et concise reformulation de la géométrie qu’on ait jamais réalisée.

Les conceptions de Klein ont pour point de départ la notion de groupe de transformations de l’espace. Or, comme l’indique Dieudonné, « la grande originalité de Klein est d’avoir conçu la relation entre une “géométrie” et son groupe en renversant les rôles de ces deux entités, le groupe étant donc l’objet primordial et les divers espaces sur lesquels il “opère” mettant en évidence divers aspects de la structure du groupe ¹⁴ ».

Félix Klein lui-même explique ce qu’il fait dans un paragraphe admirable qui mérite d’être cité in extenso :

Il y a des transformations de l’espace qui n’altèrent en rien les propriétés géométriques des figures. Par contre, ces propriétés sont, en effet, indépendantes de la situation occupée dans l’espace par la figure considérée, de sa grandeur absolue, et enfin aussi du sens dans lequel ses parties sont disposées. Les déplacements de l’espace, ses transformations avec similitude et celles par symétrie n’altèrent donc pas les propriétés des figures, non plus que les transformations composées avec les précédents. Nous appellerons groupe principal de transformations de l’espace l’ensemble de toutes ces transformations ; les propriétés géométriques ne sont pas altérées par les transformations du groupe [p. 123] principal. La réciproque est également vraie : les propriétés géométriques sont caractérisées par leur invariance relativement aux transformations du groupe principal. Si l’on considère, en effet, un instant l’espace comme ne pouvant se déplacer, etc., comme une multiplicité fixe, chaque figure possède une individualité propre ; des propriétés qu’elle possède comme individu, celles-là seules sont proprement géométriques que les transformations du groupe principal n’altèrent pas ¹⁵.

Klein arrive ainsi à une profonde reformulation de la géométrie :

Comme généralisation de la Géométrie se pose ainsi la question générale que voici : étant donné une multiplicité et un groupe de transformations de cette multiplicité, en étudier les êtres au point de vue des propriétés qui ne sont pas altérées par les transformations du groupe ¹⁶.

Et il va donner un peu plus de précision à cette définition :

On donne une multiplicité et un groupe de transformations de cette multiplicité ; développer la théorie des invariants relatifs à ce groupe.

Nous arrivons ainsi à la fin d’un processus qui commence avec Monge et qui est explicité (thématisé) par Poncelet et Chasles : l’introduction en géométrie de la notion de transformation. Klein va faire le grand bond en avant en passant des transformations aux structures qui les « expliquent ». En effet, à partir du moment où l’on reconnaît que le système de transformations qui laisse invariantes certaines propriétés géométriques forme un groupe, on peut remplacer l’analyse des transformations mêmes par l’analyse des relations internes du groupe. Ce sont les relations entre les éléments d’une structure donnée qui passent au premier plan.

Le passage d’une étape à l’autre signifie la mise en relation de divers groupes de transformations qui caractérisent les diverses géométries, conçus comme des sous-groupes d’un système global qui les contient tous. C’est en ceci que consiste la « subordination » des diverses géométries à un groupe unique, dont elles deviennent des « cas particuliers ».