Chapitre VI.
La formation des systèmes préalgébriques ^a 🔗

Les multiples recherches que nous avons faites depuis des années sur le développement des opérations chez l’enfant nous ont conduits à distinguer trois périodes successives en tous les domaines explorés jusqu’ici : l’une, dite « préopératoire », au cours de laquelle se constituent peu à peu des actions répétables, modifiant les objets, mais ne se transformant ni ne se coordonnant entre elles. La seconde, dite des « opérations concrètes », où celles-ci s’organisent en systèmes (les « groupements ») comportant certaines transformations des opérations elles-mêmes ; et la troisième caractérisée par des opérations hypothético-déductives avec synthèse des transformations pouvant même en certains cas prendre la forme de « groupes ».

Il est alors clair que ces trois étapes, dont les âges sont de quatre-six ans, de sept-dix et onze-douze ans (et au-delà), correspondent à notre succession « intra », « inter » et « trans » comme nous allons le montrer par des exemples concrets avant d’en venir aux raisons qui rendent nécessaire une telle progression et qui justifient le nombre de trois (à la manière des « thèses », « antithèses » et « synthèses » de la dialectique classique) au lieu d’une distribution en un nombre quelconque.

A. Pour ce qui est de l’« intra », le propre en est de découvrir une action opératoire quelconque et de chercher à en analyser les diverses propriétés internes ou les conséquences immédiates, mais avec cette double limitation qu’il n’y a pas coordination de cette préopération avec d’autres en un « groupement » organisé et que l’analyse interne de l’opération en jeu s’accompagne d’erreurs à corriger successivement et de lacunes dans les conséquences à en déduire.

Un bon exemple de cette situation « intra » est celui de l’expérience où l’on présente à l’enfant deux bocaux semblables, l’un (A) transparent et l’autre (B) masqué par un écran. Tous deux contiennent quelques perles en nombres égaux A = B et le sujet est prié d’en rajouter une à une d’une main en A pendant qu’il en place [p. 199] également une à une en B avec l’autre main. La question est alors, après ces quelques adjonctions, de décider si A + n = B + n. Tous les sujets, dès quatre-cinq ans, sont convaincus, pour de petits nombres n, que l’égalité A + n = B + n se conserve pour les perles déjà posées et c’est là l’opération de base qui est donc réussie, mais dont il s’agit par ailleurs de voir si elle se coordonne avec d’autres ou plus simplement si elle se prête à une déduction exacte des conséquences qu’elle comporte. Or, la plus simple de ces conséquences donne déjà lieu à des fluctuations révélatrices : lorsque l’on demande sans plus si en continuant un certain temps (par exemple « une heure » ou « jusqu’au soir », etc.) à placer n perles (une à une) d’une main en A et autant (une à une) de l’autre main en B, la majorité des sujets refusent d’en décider (« on ne peut pas savoir sans les compter », etc.), sauf quelques cas avancés comme un sujet de cinq ans et demi qui a répondu « quand on sait pour une fois, on sait pour toujours », ce qui est déjà un appel à la récurrence du niveau « inter ». Une autre question a consisté à placer n perles au départ en A et m > n en B avec une faible inégalité (de 2 ou 3 éléments) et à demander si en rajoutant successivement une perle en chacun des deux récipients on conservera l’inégalité de départ ou si au contraire les deux collections finiront par s’égaler : or, ici encore, les réponses sont flottantes et les sujets croient volontiers que l’inégalité s’effacera du fait que les quantités ajoutées des deux côtés sont constamment égales. Ajoutons à ce propos que si les deux collections A et B sont fortement inégales et qu’on enlève n éléments couple par couple, les n perles tirées de la plus grande collection seront souvent considérées comme « faisant plus » que les n extraites de l’autre, par confusion de l’extension (nombres) et de la compréhension (grands ou petits ensembles).

Ces faits nous suffisent pour caractériser l’étape « intra », qui consiste donc à s’attacher à une action répétable ou opération correcte, mais sans pouvoir encore l’insérer en un système de conditions ou de conséquences qui en élargiraient la portée et l’inséreraient en une totalité de transformations solidaires : il y a bien déjà un début de transformations mais portant sur les objets que modifient les actions en jeu, et non pas sur les actions ou opérations de départ qui demeurent isolées et ne donnent donc lieu [p. 200] qu’à un effort d’analyse ou de compréhension centré sur la nature et les propriétés de chacune considérée à part ; d’où les analogies avec l’« intrafigural » du chapitre II où la figure étudiée n’est caractérisée qu’en elle-même sans relations avec l’espace ambiant.

B. Le propre de l’« interopérationnel » est, au contraire, une fois comprise une opération de départ, d’en déduire celles qu’elle implique ou de la coordonner avec d’autres plus ou moins semblables, jusqu’à la constitution de systèmes comportant certaines transformations, ce qui est nouveau, mais dont les compositions sont limitées par une condition encore très restrictive, qui est de ne procéder que de proche en proche. C’est ainsi que, dans le domaine des classifications, le sujet saura, non seulement réunir en une classe A des objets présentant un même caractère a, mais encore inclure cette classe A en une autre B, plus large, comprenant les A mais encore des B qui ne sont pas des A et que nous appellerons A’ (d’où B = A + A’). Il parviendra de même à inclure B en C selon le même principe (C = B + B”), etc. Mais ce qui n’est pas possible, à en rester à de tels emboîtements « naturels », est de réunir directement en une même classe des éléments éloignés, tels une mouche et un chameau, sans passer par un ensemble complexe d’emboîtements intermédiaires, ou, sinon, d’en rester à des classes très générales, tels les animaux et les végétaux, mais en négligeant alors les sous-emboîtements importants. Ce sont ces limitations qui nous obligent alors à distinguer les systèmes interopérationnels des « structures » transopérationnelles, les coordinations de proche en proche des synthèses proprement dites, et c’est en fonction de telles différences que nous avons introduit la notion de « groupements ».

Il n’empêche qu’au sein des groupements certains ensembles de compositions distinctes sont déjà possibles. C’est ainsi qu’au sein du groupement des généalogies (groupe de l’arbre en faisant abstraction des mariages) la relation centrale de fils à père engendre celles de frère (autre fils du même père), de grand-père, de cousin (petit-fils du même grand-père mais pas fils du même père), etc. D’où des équivalences, telles que celle qui réunit cette caractérisation du cousin à cette autre qui en fait le fils du frère du père (de l’oncle) ou encore le neveu du père, etc. Mais, il n’y a là encore que des coordinations [p. 201] de proche en proche, relevant donc de processus discursifs ², sans atteindre les « dépassements » du type « trans » qui résulteront de synthèses proprement dites.

Par contre, il convient de préciser qu’en cette situation intermédiaire qu’occupent les groupements avec la formation des relations « inter », celles-ci s’orientent progressivement dans la direction des transformations et que, à comparer l’ensemble des groupements de classes à ceux de relations, on se trouve même en présence de deux systèmes généraux de transformations, mais sans la synthèse qui ne les réunira qu’à l’étape « trans ». L’une de ces transformations générales, dont on pourrait douter qu’il s’agisse d’une transformation tant elle paraît simple, est la négation qui intéresse spécialement les groupements de classes et dont nous signalerons certaines des difficultés qu’elle rencontre. La seconde est constituée par les réciprocités et concerne avant tout les groupements de relations au sein desquels elle soulève aussi un certain nombre de problèmes. Examinons donc ces deux sortes de transformations dont on voit d’emblée qu’elles constituent les deux formes possibles de la réversibilité, c’est-à-dire du caractère commun à toutes les opérations et à leurs compositions, donc de la nouveauté essentielle marquant les progrès des systèmes « interopérationnels » par rapport aux « intra-opérationnels ».

Pour ce qui est de la négation, elle constitue la condition sine qua non de la délimitation de toutes les classes emboîtées, car, si A ⊂ B cela signifie (si B > A) que B = A + A’ et que A = B − A’. En d’autres termes, omnis determinatio est negatio, comme disait Spinoza, ce qui est vrai dans les deux sens, puisque A’ = B − A et que l’on retrouve en tous les cas l’implication (p → q) → (q → p). Mais, s’il semble n’y avoir là que des évidences et même en un sens observables, nos recherches antérieures sur la quantification de l’inclusion ³ montrent bel et bien qu’il s’agit de transformations ne se réglant que peu à peu au cours de l’étape « inter » et non généralisées au niveau « intra ». On présente par exemple à l’enfant un ensemble de dix fleurs dont six ou sept sont des primevères et les [p. 202] autres quelques fleurs quelconques. Le sujet est bien d’accord que ce sont là « toutes des fleurs » et que les primevères en sont également, mais, lorsqu’on lui demande si, dans ce bouquet, il y a « plus de fleurs ou plus de primevères », la réponse ordinaire, jusqu’à la consolidation du niveau « inter », est qu’il y a plus de primevères parce qu’il y a seulement trois ou quatre marguerites, etc. On a beau insister, le sujet raisonne comme si la totalité des dix fleurs étant dissociée en deux parties, la sous-classe A n’appartient plus à ce tout B sous la forme A = B − A’ et le tout B se réduit à ce qu’il en reste en A’. Bien entendu, l’opposition entre les A et les A’ implique déjà une négation élémentaire, puisque les A ne sont pas des A’, mais ce n’est pas encore une négation relative à son référentiel B puisque celui-ci n’existe plus après le partage. Or les négations en jeu en une classification sont toutes relatives à des référentiels (A = B − A’ ; B = C − B’ ; etc.) et c’est à ce titre qu’elles constituent l’une des conditions nécessaires des emboîtements. L’absence d’emboîtements de A en B empêchant la quantification des inclusions dans l’expérience citée à l’instant tient donc lieu, par l’un de ses aspects essentiels, aux difficultés relatives au réglage des négations.

Quant aux réciprocités, leur caractère de transformations générales est plus immédiatement visible, dans le domaine où elles sont prédominantes, c’est-à-dire celui des groupements de relations. Mais ici encore, on constate que leur conquête est loin de se faire en un bloc au niveau « inter » et qu’elle exige une construction progressive. À l’étape « intra » le manque de réciprocité va jusqu’à sa négation dans le cas de la relation élémentaire de frère : « Tu as un frère ? — Oui, F. — Et F. est-ce qu’il a un frère ? — Non, nous ne sommes que deux dans la famille. » Dans la suite, des difficultés analogues se retrouvent pour la relation de « cousin » ou dans les rapports entre « neveu » et « oncle », etc. Bien plus complexes sont naturellement les réciprocités entre variables solidaires mais antagonistes, comme l’action et la réaction en mécanique.

C. Le niveau transopérationnel est facile à définir en fonction de ce qui précède comme ne comportant pas seulement des transformations, mais des synthèses entre elles parvenant alors, quoique au plan des actions et sans thématisation, jusqu’à la construction de « structures ». La [p. 203] plus remarquable est celle qui, portant entre autres sur l’ensemble des parties sans se limiter à des classes et relations disjointes ou emboîtables, réunit en un même tout les inversions et les réciprocités, donc les deux formes de la réversibilité : en ce cas la « structure » atteinte est celle d’un « groupe » authentique, que nous nommons INRC, car pour une opération comme p → q on peut la laisser identique I, l’inverser en N = p.  q, la transformer en sa réciproque R = q → p (= p → q) ou en sa corrélative C = p. q, d’où NR = C, NC = R, CR = N et NCR = I. Il va de soi que cette formulation n’est que celle de l’observateur, mais les sujets, dès onze-douze ans, construisent de telles synthèses par compositions en actions et inférences progressives lorsqu’il s’agit de coordonner des inversions et des réciprocités en un même système total. Un exemple élémentaire est celui des balances à fléau où l’on peut soit augmenter ou diminuer les poids en les laissant sur place, soit compenser un poids situé près du centre par un poids plus léger situé à une distance plus grande. Un autre exemple est celui des mouvements relatifs avec coordination nécessaire de deux référentiels, etc.

Mais il nous reste à examiner deux problèmes. Le premier n’est que de terminologie. Nous avons convenu dans le présent ouvrage de réserver le terme de « structures » à celles qui comportent des synthèses de transformations distinctes, comme le sont, dans le cas particulier, les inversions et les réciprocités : en de telles situations, on a évidemment affaire à des systèmes « transopérationnels » puisqu’on dépasse les frontières de chacune des transformations constituantes. Mais nous avons ailleurs, et ceci reste valable, considéré les « groupements » comme constituant déjà des structures, quoique demeurant limitées du fait de leurs compositions de proche en proche (d’où la notion de « successeur immédiat » dont s’est servi Wermus dans son axiomatisation des groupements). Il suffira donc, pour lever toute équivoque, de distinguer les structures par généralisations ou itérations, déjà élaborées au niveau « inter », et les structures synthétiques du niveau « trans », désignées ici pour abréger sous le seul terme de « structures » tout court.

Mais le problème essentiel qui reste à résoudre est celui du moteur qui rend nécessaire le passage de l’« intra-opérationnel » [p. 204] à l’« inter » puis au « trans » et des relations entre ce dynamisme constructif et le processus général conduisant du simple emploi d’une opération à la construction d’« opérations sur des opérations ». Pour faciliter la discussion de ces questions, il peut être utile de rappeler encore quelques faits montrant ce que le sujet sait tirer des groupements les plus simples (sériations et classifications) lorsqu’il en arrive à des conduites intermédiaires entre les groupements propres au niveau « inter » et les synthèses du niveau « transopérationnel ».

Si l’on donne au sujet quelques bâtonnets inégaux en lui demandant de les « bien ranger », il est capable dès le niveau préopératoire « intra » de construire la série A < B < C… en tant qu’« escalier », mais il n’aura pas l’idée d’une telle succession avec d’autres objets, par exemple en présence de cercles de diamètres différents. Le sujet demeure en ce cas à l’étape « intra-opérationnelle » en tant que la forme élaborée demeure locale et liée à certains contenus. Il y aura par contre généralisation « interopérationnelle » quand la sériation est utilisée à titre d’instrument cognitif pour l’analyse de contenus variés, comme une suite de polygones à nombre croissant de côtés, etc. Quant au « transopérationnel », il consiste à composer entre elles des sériations distinctes pour en tirer une opération plus riche et plus « forte » comme ce fut le cas dans l’ancienne expérience suivante. On donnait à l’enfant un ensemble de petits poissons de diverses tailles et un certain nombre de boules de nourriture, de grandeurs également distinctes, la consigne étant de les distribuer en fonction des besoins. En ce cas les sujets d’un certain niveau sériaient les poissons selon leurs dimensions et les boules de nourriture selon les leurs, puis mettaient les deux séries en correspondance terme à terme, ce qui constituait pour eux la forme la plus simple sous laquelle ils découvraient la notion de proportions.

Si banals que soient ces faits, ils montrent qu’une opération, une fois constituée et si proche reste-t-elle des actions courantes comme l’est une ordination, ne demeure pas longtemps inerte et isolée (« intra »), mais constitue tôt [p. 205] ou tard un noyau de structurations dans les directions « inter » et « trans » qui se prolongent ensuite indéfiniment jusqu’à la construction de structures proprement dites.

Un autre exemple est fourni par la classification. La forme la plus directe de relations intraopérationnelles consiste en ce domaine à réunir des objets semblables en une classe A1 emboîtable en B, telle qu’il existe des B non A que nous désignerons par A’1 (d’où la suite possible C = B + B’, etc.). Mais un progrès dans la direction interopérationnelle s’impose ultérieurement quand le sujet découvre que sa répartition de B en A1 et A’1 ne s’impose pas à titre de nécessité unique et que les mêmes éléments peuvent être distribués en fonction d’autres critères. En ce cas la même classe B sera composée des sous-classes A2 + A’2, telles que A2 appartienne à ce qui était A’1 dans la première classification et que, si les A’2 deviennent les complémentaires de A2 sous l’ensemble B dans le même sens que les A’1 l’étaient de A1 (= « les autres » que la classe de départ A2 ou A1), il ne s’agit plus des mêmes « autres », ce terme n’ayant qu’un sens essentiellement relatif. Nous appelons « vicariances » ces changements de classification portant sur les mêmes éléments et le groupement des vicariances est important, notamment dans l’élaboration des relations de parentés où l’on a vu que l’interopérationnel l’emporte nettement sur l’intraopérationnel.

Mais l’intérêt des vicariances est surtout le suivant. Si elles complètent d’assez près les premières conduites classificatrices, c’est d’abord seulement dans la mesure où il s’agit de modifications successives d’un classement initial, sans réunion des diverses possibilités en une même totalité simultanée. Par exemple, un certain nombre de projets pouvant être classés selon leurs formes, leurs grandeurs ou leurs couleurs, le sujet ne voit pas les intersections possibles entre les trois sortes de sous-classes qu’il se borne à construire successivement. Par contre dans la suite il n’éprouvera plus de difficultés à trouver autant de « petits carrés rouges » que de « grands ronds bleus », etc., ou à voir que l’une de ces sous-collections est plus nombreuse que l’autre. Or, cette capacité de différenciations et d’emboîtements simultanés aboutit tôt ou tard à la combinatoire 2ⁿ, autrement dit à l’« ensemble des parties », mais en action, sans calcul ni thématisation.

[p. 206] Les deux exemples que nous venons de citer présentent un caractère commun qui est fondamental dans la construction des systèmes d’actions préalgébriques : c’est le processus consistant à passer de relations simples à des relations entre relations. Dans le cas des deux sériations A1 < A2 < A3…, et B1 < B2 < B3…, qui reposent chacune sur des relations de grandeurs x < y, si leur mise en relation conduit à des équivalences quantitatives de formes A1 / B1 = A2 / B2, la composition de ces deux sortes de relations aboutit au système des proportions, dont l’importance est essentielle et qui se généralise vers onze-douze ans. Dans le cas de la combinatoire qu’est l’ensemble des parties (également accessible aux mêmes âges), la composition des relations en jeu prend même une forme que l’on retrouve en maintes occasions : l’élévation d’une opération à une puissance supérieure ; une combinatoire n’est, en effet, pas autre chose qu’une classification de toutes les classifications possibles pour un matériel donné.

Notons à ce propos que c’est ainsi que se constitue la multiplication numérique, dont la compréhension est sensiblement plus tardive que celle de l’addition et résulte d’une addition d’additions en passant par deux étapes. Durant la première, l’expression n × m (par exemple 4 × 3) est simplement comprise comme une adjonction de quelques m avec lecture fondée sur le seul résultat. Au cours de la seconde, en revanche, le sujet prend conscience du nombre de fois qu’il a ajouté m et distingue ainsi le multiplicateur des multiplicandes (« j’ai pris n fois m »), ce qui promeut la multiplication au rang d’opération nouvelle, en tant que synthèse d’additions.

Il est clair que cette triade constitue une succession dialectique, mais ce n’est rien expliquer tant que l’on ne précise pas qu’elle procède d’une façon qui lui est propre par dépassements des instruments mêmes de dépassements.

Convenons d’abord de désigner, pour abréger, le niveau « intra » par le symbole Ia, l’« inter » par Ir et le « trans » par T, la triade complète s’écrivant donc « IaIrT ». Cela dit, il convient en premier lieu de remarquer que cette triade IaIrT implique toujours la construction d’opérations sur des opérations, mais sans pour autant que la réciproque [p. 207] soit vraie. Notons en outre que la succession Ia, Ir, et T obéit à un ordre nécessaire puisque l’élaboration de T en tant que système de toutes les transformations réunies en une totalité à propriétés nouvelles suppose la formation de certaines de ces transformations en Ir et que celles-ci impliquent la connaissance des caractères analysés en Ia.

Cet ordre nécessaire de succession comporte alors deux sortes de dépassements dialectiques, l’un ajoutant aux propriétés analysées en Ia les transformations élaborées en Ir et l’autre synthétisant en T le système de ces transformations jusqu’à constituer des totalités dont les caractères d’ensemble sont à leur tour nouveaux relativement à Ir. Mais, quels que soient les contenus sur lesquels portent ces formes successivement construites que nous classons sous les rubriques Ia, Ir ou T avec leurs dépassements respectifs de Ir par rapport à Ia et de T par rapport à Ir, ces élaborations comportent à tous les niveaux des processus psychogénétiques ou historiques communs, donc généraux, que l’on peut sommairement caractériser comme suit. En premier lieu, une phase préalable et nécessaire est celle de l’analyse de cas particuliers non encore ou insuffisamment reliés entre eux (phase Ia). En second lieu, leur comparaison mettant en évidence les différences comme leurs correspondances conduit à la construction de transformations (Ir) ; celles-ci une fois dominées et généralisées permettent de nouvelles synthèses T, donc des totalités inaccessibles jusque-là, avec leurs nouvelles propriétés d’ensemble. Mais précisons que ces trois phases, avec leurs caractéristiques, sont de nature fonctionnelle et non pas structurale, donc communes à tous les niveaux et non pas spéciales à certains d’entre eux, ou, si l’on préfère, inhérentes à toute construction et non pas liées à certains domaines ou niveaux. Plus exactement, elles se bornent à décrire l’aspect psychodynamique des dépassements en général sans viser certains d’entre eux.

Mais, s’il en est ainsi, il va alors de soi que nos descriptions en termes de Ia, Ir et T demeurent liées à des questions d’échelles et que, comme déjà dit au début de ce chapitre, chacune de ces grandes étapes comporte des sous-étapes telles que l’on puisse distinguer, par exemple au niveau T, ce que nous avons appelé les phases « trans-intra », « trans-inter » et « trans-trans ». Un cas historique bien clair à cet égard est celui de la théorie des [p. 208] « catégories » qui relève évidemment, prise en son ensemble, du niveau T par rapport aux phases antérieures de l’algèbre. Or, à considérer la formation de cette théorie actuelle, il est évident qu’elle a débuté par une phase « trans-intra » limitée à l’analyse de certaines correspondances. Puis s’est constituée une phase « trans-inter » avec l’étude des transformations entre les morphismes. Enfin, avec la découverte des foncteurs, s’est imposée une théorie générale des catégories, caractérisant donc un niveau « trans-trans ».

Ces hiérarchies cognitives comportent deux sortes d’emboîtements. Les uns sont proactifs, par élargissement des domaines au cours des périodes successives de la construction des connaissances. Mais d’autres sont rétroactifs, parce que l’acquis à un niveau n peut enrichir après coup les relations déjà établies à des niveaux antérieurs n— 1, par exemple en chimie où les explications électroniques ont abouti à une conception nouvelle des valences.

S’il en est ainsi on peut, semble-t-il, conclure que les séries IaIrT ne consistent pas en dépassements simples, donc linéaires, tels qu’on les retrouve en toute succession dialectique élémentaire, mais qu’il faut parler d’un dépassement continuel des instruments mêmes de dépassements, ce qui confère aux instruments cognitifs leur richesse et leur complexité particulière. D’un tel point de vue l’algèbre, en tant que théorie des formes ou des structures, constitue le modèle privilégié permettant de fournir une théorie adéquate et générale de l’intelligence ou de la connaissance, car seule cette interprétation algébrique de la raison humaine permet de se libérer du double écueil de l’empirisme et de l’apriorisme. On peut même aller jusqu’à soutenir que les successions Ia, Ir et T puisent leurs racines dans la biologie (cf. l’embryogenèse, etc.) : ce sont donc elles qui justifient le rêve d’un constructivisme intégral qui est de relier par tous les intermédiaires voulus les structures biologiques de départ et les créations logico-mathématiques d’arrivée.