De la rouille à la médaille Fields

– Prof. Stanislav Smirnov, Section de mathématiques & NCCR SwissMAP; © Thomas Breher –

Comment modéliser l’interface entre la partie rouillée et la partie intacte? La théorie de la percolation permet de le faire. On peut ainsi montrer que l’interface est une fractale aléatoire très particulière dont l’étude est liée aux médailles Fields 2010 de S. Smirnov et 2022 de H. Duminil-Copin.

L’étude scientifique des modèles de percolation a débuté en 1957 avec les travaux de l’ingénieur Simon Broadbent et du mathématicien John Hammersley, en Angleterre. Ils ont introduit un tel modèle afin de comprendre comment les poussières pouvaient obstruer les masques à gaz. Depuis, la percolation n’a cessé de susciter l’intérêt des scientifiques, notamment parce qu’on la rencontre sous une forme ou une autre dans de nombreux phénomènes : écoulement d’un fluide dans un matériau poreux, gélification d’un liquide, propagation d’un incendie ou d’une épidémie, passage du courant électrique dans un mélange de matériaux conducteurs et isolants, etc.

Bien qu’il ne s’agisse que d’un modèle, la simplification permet de dégager certaines propriétés intrinsèques, indépendantes des détails spécifiques du phénomène considéré. Ainsi, il y a quelques années, Bernard Sapoval, à l’École polytechnique, a étudié les phénomènes de corrosion et a relevé des similarités frappantes avec les propriétés de la percolation. Plus précisément, la frontière entre la région rouillée et le domaine intact de cette plaque de fer ressemble à une courbe SLE(6). Cette courbe aléatoire et fractale est reliée à un modèle de percolation appelé limite d’échelle. De fait, certains liens ont été établis entre les phénomènes de corrosion et la percolation.

Mais qu’est-ce qu’exactement un modèle de percolation ? Imaginons un rectangle pavé par des hexagones. Il s’agit maintenant de colorier chaque hexagone à l’aide de deux couleurs, disons bleu et jaune. Pour savoir si une catelle sera de couleur jaune ou bleue, on tire à pile ou face : pile, la catelle sera jaune, face elle sera bleue. On obtient ainsi un quelque chose de semblable à la figure ci-dessous.

Pavage de percolation pour une probalité 1/2. © H. Duminil-Copin

On peut maintenant commencer à se poser des questions, par exemple existe-t-il un chemin jaune permettant d’aller de haut en bas ou quelle serait la longueur et la forme d’un chemin séparant les hexagones bleus des hexagones jaunes ? Il est assez clair que si l’on change la probabilité avec laquelle les catelles sont colorées en jaune ou bleu, cela aura une influence sur la réponse. Mais comment varie la possibilité d’avoir un chemin : la probabilité d’avoir un chemin varie-t-elle continument ou existe-t-il un seuil (une transition de phase) à partir duquel la probabilité d’avoir un chemin traversant presque devient nulle ?

Un autre paramètre qui influence les questions est la taille des catelles par rapport à la pièce. En effet, si on considère des catelles de plus en plus petites, la probabilité de traverser se rapproche de plus en plus d’une valeur qualifiée de probabilité limite. La percolation étant un modèle pertinent seulement pour des systèmes contenant un très grand nombre d’hexagones, l’approximation consistant à supposer que la taille des hexagones tend vers zéro est naturelle et porte même un nom : on appelle « limite d’échelle » de la percolation le modèle obtenu en faisant tendre vers zéro la taille des hexagones.

C’est dans cette limite d’échelle que la courbe décrite par la rouille apparaît comme réponse à la question de savoir quelle est la forme d’un chemin séparant les catelles bleues des catelles jaunes.

Texte  librement adapté de [2]

1. S. Smirnov. Towards conformal invariance of 2D lattice models, in Sanz-Solé, Marta (ed.) et al., Proceedings of the International Congress of Mathematicians (ICM), Madrid, Spain, August 22-30, 2006. Volume II, 1421--1451. Zürich: European Mathematical Society, 2006.
2. H. Duminil-Copin — La percolation, jeu de pavages aléatoires — Images des Mathématiques, CNRS, 2012
3. M. Hairer. The work of Hugo Duminil-Copin. Prize LectureS, 2022, vol. 1, p. 26-49. Disponible en Open access
4. H. Duminil-Copin. 100 years of the (critical) Ising model on the hypercubic lattice, in Beliaev B. et Smirnov, S. (eds), Proceedings of the International Congress of Mathematicians (ICM). 2022. p. 164-210. Disponible en Open access

Pour aller plus loin

• Page de Prof. S. Smirnov
• Page de Prof. H. Duminil-Copin
• Pages dédiées à la Médaille Fields 2022 décernée à H. Duminil-Copin
• Site du NCCR SwissMAP

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