Chapitre premier.
Classification des opérations logiques éléments réversibles en extension ^a 🔗

[p. 13]

Une opération rationnelle n’est pas une action psychologique quelconque : c’est une action — extériorisée en mouvements ou intériorisée en pensée, peu importe — susceptible de réversibilité complète en son mécanisme formel et aboutissant en ses résultats à constituer des invariants ou à inverser toute variation. Les opérations rationnelles permettent ainsi à la pensée de situer le flux irréversible des processus externes et internes dans un univers de classes, de relations logiques et de fonctions mathématiques qui le dépasse en le reconstruisant, mais ne lui ajoute qu’une indéfinie mobilité, gage de cohérence croissante.

L’apparition des actions réversibles ou opérations rationnelles est caractéristique de l’intelligence. C’est ainsi que la perception d’une collection d’arbres plus ou moins grands n’est pas comme telle une opération logique c’est une donnée qui annule les précédentes dans le champ visuel et qui sera annulée par les suivantes. Cette perception n’intéresse la logique que si elle-même ou son souvenir sont incorporés dans les opérations dont nous allons parler, mais, en tant que contact sensori-moteur et indépendamment de toute classification, sériation, etc., elle n’est point encore logique. Par contre, en tant qu’elle englobe déjà des facteurs de classification ou de sériation, elle annonce de telles opérations, mais celles-ci doivent être détachées de la perception actuelle et fonctionner en elles-mêmes pour devenir vraiment « opératoires » : elles seront alors précisément réversibles, puisqu’une réunion ou une série peuvent se faire et se défaire à volonté. Déplanter ces arbres [p. 14] pour les replanter ne constitue pas non plus une opération logique ces actions, même réversibles en apparence, sont caractérisées par un hic, un nunc, un sic, etc., qui sont impossibles à retrouver tels quels. Mais, par la pensée, je puis évoquer et « poser » l’arbre déplanté (ou coupé, détruit, etc.) aussi bien dans l’état antérieur à ces transformations que dans l’état ultérieur : toute action et toute perception d’un changement peuvent ainsi être annulées ou inversées en esprit et, de la sorte, l’action ou le changement perçu se prolongent en réalités logiques (concepts, relations, etc.) c’est-à-dire réversibles. Bien plus, réunir ces arbres en un tout ou les dissocier un à un, les englober dans un autre tout ou les en extraire, les sérier en plus ou moins élevés, solides, etc., ou inverser ces séries, sont des opérations logiques dès l’action même, parce que faciles à détacher de leur actualité psychique et tendant comme telles à la réversibilité. Que l’on effectue ces opérations en déplaçant réellement les corps ou à n’importe quel degré d’abstraction et de symbolisation, inconsciemment dès la perception ou grâce à une série de jugements explicites, ce sont toujours les mêmes opérations : une fois engagés en elles, les objets, viennent-ils à disparaître en cours de route ou à se transformer de toute manière, sont pour ainsi dire dissociés du présent et de leur lieu de départ pour entrer dans une infinité de combinaisons possibles, remontant ou descendant le cours du temps, traversant l’espace en un sens ou en un autre, bref transcendant l’irréversibilité du réel par une réversibilité opératoire rigoureuse, qu’esquisse la manipulation et que réalise la pensée.

Introduisons maintenant quelques distinctions. En premier lieu, il est des opérations réversibles dont le propre est de réunir ou de comparer les réalités dans leur diversité qualitative sans faire intervenir d’unité composable avec elle-même, tandis que d’autres font abstraction des qualités pour considérer les objets dans leurs rapports avec une telle unité ou envisagent les qualités en fonction seulement de ces rapports. C’est ainsi qu’une pierre peut être réunie à d’autres en tant que pierre, ou jugée plus lourde qu’une seconde, ou lancée plus loin qu’elle, etc. Dans les opérations de ce genre, que nous appellerons « logiques », l’objet individuel n’est qu’une unité qualitative et le problème n’est pas de savoir combien de telles unités interviennent, mais en vertu de quelles qualités : la ressemblance des caractères ou la différence des poids et des distances suffit [p. 15] ainsi à motiver ces jugements, sans que l’on demande le nombre des pierres réunies, ni la valeur métrique de la pesée ou du déplacement. Par contre, si nous évaluons la quantité des pierres, soit par un chiffre, soit par correspondance bi-univoque (quelconque) avec un autre tas, ou que nous mesurons le poids de l’une d’entre elles ou la longueur du jet, alors les pierres sont envisagées en tant qu’unités homogènes, leurs poids ou leurs déplacements sont décomposés selon le même principe, et les opérations sont « mathématiques » le critère de ces opérations, qui sont également réversibles, est la répétition possible de l’unité comme telle, par exemple « 4 pierres », ou « 1 fois ½ plus lourd », ou « 2 fois plus loin », etc. Nous nous bornerons pour l’instant à cette distinction sommaire, pour ne l’approfondir qu’au cours du chapitre XI. D’ici là elle nous suffira pour la forme, puisqu’elle se traduit axiomatiquement par l’opposition fondamentale que l’on connaît : l’unité arithmétique est caractérisée par l’« itération » (A + A = 2A) et l’unité qualitative par la « tautologie » (A + A = A).

Quant aux opérations logiques, auxquelles nous limiterons d’ici là notre étude, deux nouvelles distinctions s’imposent d’emblée.

Toute opération relie au moins deux termes l’un à l’autre (nous considérerons même la négation comme « binaire »). Comme l’a dit Hœffding, la pensée est semblable à un compas, dont chaque pointe se pose alternativement en un endroit nouveau, tandis que l’autre conserve son appui en attendant son tour de rotation. Dès lors on peut en premier lieu distinguer les termes comme tels, points de départ des classes, et la relation qui les unit. Si, par exemple, « (le loup) mange (la brebis) », la relation est « mange » et les termes sont le loup et la brebis. Un terme donné comme « le loup » constitue à lui seul une classe singulière, mais on peut construire plusieurs autres classes en substituant à ce terme ses équivalents possibles. Ainsi, dans « le loup mange (y) », on peut donner à (y) non seulement la valeur « brebis », mais toutes sortes d’autres valeurs qui constitueront ainsi la classe des « nourritures du loup » ou des « animaux mangés par le loup ». Ou encore, dans « (x) mange la brebis » on peut substituer au loup d’autres « mangeurs de brebis ». Si (y) prend toutes les valeurs, alors (x) s’étendra de proche, en proche à la classe des « mangeurs » en général, etc. En bref, si nous considérons la forme de ces opérations initiales, indépendamment [p. 16] de leur « groupement », nous appellerons selon l’usage « classes » les fonctions propositionnelles saturées par une seule valence, « (x) mange la brebis » ou « le loup mange (y) » et « relations » les fonctions saturées par au moins deux valences « (x) mange (y) ». Mais, comme on le verra, cette distinction qui suffit à caractériser la forme des opérations isolées est impuissante à rendre compte des oppositions plus profondes qui interviennent, lorsque l’on « groupe » les équivalences propres aux classes en général et les non-équivalences propres aux relations au sens strict.

D’où une seconde distinction, qui est à introduire cette fois entre les opérations préliminaires, sources des relations et des classes, et les opérations proprement dites ou « entières » qui permettent le groupement. Toute la théorie des groupements logiques nous conduira, en effet, à admettre que les équivalences engendrant les classes ou que les mises en relations ne sont que des fragments d’opérations, des chaînons dissociés de la chaîne continue qui constitue le groupe. Psychologiquement, déjà, il est clair que concepts et rapports ne sont rien en eux-mêmes, indépendamment des jugements et des raisonnements qui les englobent. Or, du point de vue axiomatique, cette vérité fondamentale correspond au principe même des groupements que nous allons construire, à savoir que les vrais « éléments » ne sont pas les classes et les relations comme telles, mais les opérations complètes qui traduisent leur coordination, autrement dit les équations ou égalités entières qui expriment à la fois les opérations et leurs résultats.

Une opération n’est, en effet, « entière » qu’en fonction de son résultat. Que signifie cette notion du point de vue logique ? La conséquence matérielle d’un acte est irréversible et n’entre donc point ici en considération comme telle. Le résultat logique d’une opération est au contraire sa conséquence devenue réversible : c’est sa « conclusion » ou son « produit » reliés aux facteurs de l’opération par un signe d’égalité.

Pour ce qui est des classes, l’« élément » sera donc toute égalité résultant d’une addition de termes équivalents, puisqu’une classe est par définition une telle réunion, ou résultant d’une multiplication, c’est-à-dire de la réunion de termes en deux ou plusieurs classes à la fois. Par exemple : « les Vertébrés (A) réunis aux Invertébrés (A’) sont tous les Animaux (B) », d’où A + A’ = B ; ou « tous les Vertébrés (A) sont en même temps des Animaux (B) », d’où A × B = A B.

[p. 17] Pour ce qui est des relations, par contre, il n’est pas possible d’effectuer ces deux opérations fondamentales de la logique en additionnant ou multipliant les termes eux-mêmes, parce qu’alors on ne dépasserait pas le terrain des classes, c’est-à-dire que l’on considérerait simplement ces termes en tant qu’éléments de classes : ce sont donc les relations comme telles qu’il s’agit d’additionner ou de multiplier. Or, c’est précisément cette coordination des relations qui conduit à leur conclusion. Par exemple, si « l’eau de A coule en B » (soit A a→ B), et si « l’eau de B coule en C » (soit B a’→ C), il ne sert de rien d’additionner (A + B + C) qui ne constituent que la classe des niveaux successifs de l’eau : il faut additionner les relations a et a’, d’où (a + a’ = b). Le résultat matériel de l’acte est que l’eau est en C et elle ne saurait « matériellement » remonter en B ou en A. Mais la conclusion logique (a + a’ = b) signifie « l’eau de 1A a coulé en C » (soit A b→ C) et elle est réversible (soit b − a’ = a) puisque, par la pensée, je puis soustraire du changement total la relation (B a’→ C) et obtenir (A a→ B), ou inverser la relation (B a’→ C) en (B ←a’ C), c’est-à-dire faire l’hypothèse que « l’eau remonte en B ». De même je puis faire correspondre ces relations à toute autre que l’on voudra, c’est-à-dire les « multiplier » les unes par les autres.

⁂

Cherchons maintenant à classer les opérations réversibles aptes à servir d’« éléments » à des groupes d’ordre logique ou « groupements ».

Soit, tout d’abord, une collection quelconque de termes A₁ A₂ A₃… etc. (les indices numériques indiquant simplement que les objets sont distincts les uns des autres). Une action exercée sur l’un de ces termes, est, par hypothèse, susceptible de s’appliquer également aux autres : par exemple, je puis brûler l’un d’entre eux aussi bien qu’un autre, etc. Psychologiquement cette assimilation possible constitue le concept de « combustible » et permet ainsi de réunir ces objets en une même classe. Logiquement, on peut traduire la chose en disant que, du point de vue considéré, A₁ A₂ A₃… etc. sont équivalents. Mais il faut [p. 18] prendre grand soin de définir convenablement cette relation, car toute la théorie des groupements logiques dépend de la distinction des diverses formes d’équivalences. En effet, A₁ A₂ A₃… etc., peuvent être équivalent à plusieurs points de vue différents et ne pas l’être à d’autres. Si B = la classe des corps combustibles, A₁ A₂ A₃… sont équivalents en tant que combustibles, ce que nous écrirons A₁ B= A₂ =B A₃…, etc. Si C = la classe des corps pesants, ils sont donc aussi équivalents en tant que pesants, ce que nous écrirons A₁ C= A₂ =C A₃…, etc. Mais si A’ = la classe des corps en bois et que A₂ seul est en bois, par opposition à A₁, alors A₁ A’≠ A₂. D’autre part A₁ est équivalent à lui-même en tant que A₁, soit A₁ A₁ = A₁, mais il n’est équivalent à A₂ ni en tant que A₁ ni en tant que A₂, soit A₁ A₁ ≠ A₂ et A₁ A₂ ≠ A₂.

L’opération fondamentale, à cet égard, sera celle qui définit l’égalité, c’est-à-dire la substitution simple. Nous tiendrons cette opération pour indéfinissable, car on ne pourrait la définir que par l’égalité elle-même. Mais sa signification opératoire étant évidente, nous pouvons nous borner à convenir, que X = Y signifie : « X peut être substitué (sans conditions) à Y ». La substitution étant par essence réversible, nous trouvons donc en elle un premier « élément » possible de groupement logique ; seulement un tel groupement n’est que préliminaire, puisqu’il ne comporte encore aucune opération « entière ». Nous écrirons :

(0) X = Y = Z … ou A_l = A_m = A_n…

pour les classes et

x = y = z… ou a = a_m = a_n…

pour les relations.

L’égalité, ainsi caractérisée par la substitution simple, conduit à la tautologie : si A = A_m, alors A + A_m = A, ou si a = a_m, alors a + a_m = a. D’autre part, la signification de l’égalité demeure la même lorsqu’elle réunit les deux membres d’une équation logique : A + A’ = B ; car si (A + A’) et (B) étaient situés dans le même membre, et affectés du même signe, ils se tautifieraient l’un l’autre : A + A’ + B = B.

[p. 19] En logique des classes et des relations, on ne peut donc substituer les uns aux autres que des termes impossibles à additionner réellement entre eux, puisque s’ils sont substituables, ils sont tautologiques et que leur addition demeure alors fictive. En arithmétique, par contre, on peut substituer les uns aux autres des termes que l’on pourrait également additionner. Par exemple, en logique qualitative, on vient de voir que si A + A’ = B, alors A + A’ + B = B, tandis qu’en arithmétique si 1 + 1 = 2, alors 1 + 1 + 2 = 4. L’égalité logique se réduit ainsi à l’identité ou auto-équivalence : A = A signifie A A= A, soit « A est équivalent à A du point de vue de A lui-même ». L’égalité numérique est au contraire une équivalence du point de vue du nombre seul ¹, que nous appellerons équivalence numérique (ou correspondance cardinale). Nous analyserons plus bas (chap. XI) la nature de cette relation et nous ne nous en occuperons pas pour le moment.

Quant à l’équivalence qualitative, elle suppose, comme cette dernière, l’addition possible des termes équivalents, d’où la nécessité de la distinguer de l’égalité. Mais on peut la concevoir comme due à la généralisation de l’opération de substitution, et c’est ce que nous allons montrer d’emblée, quittes à y revenir ultérieurement (chap. VIII et IX).

Soit A₁ = les Vertébrés. Cette classe n’est en droit égale ou substituable qu’à elle-même A₁ = A₁. Mais parmi les qualités qui la caractérisent il en est qui ne lui sont pas spéciales et qui définissent ainsi d’autres classes, dont A₁ fait partie. On peut exprimer la chose dans le langage de l’égalité, en disant que « les Vertébrés sont des Animaux (B), des Êtres vivants (C), etc. soit A₁ = quelques B ; A₁ = quelques C (de même que B = quelques C), etc. La relation d’inclusion, c’est-à-dire la relation de partie à tout, peut donc être introduite ici, en la définissant, au [p. 20] moins provisoirement, comme une égalité partielle entre A₁ et B₁, entre B et C, etc. ²

Mais si nous posons « A₁ = quelques B », il va de soi que d’autres valeurs peuvent remplacer le terme A₁ et satisfaire à la même équation. Appelons A’ ces autres termes (= les autres B), c’est-à-dire, en langage usuel, que A’ = l’ensemble de toutes les valeurs, sauf A₁, de la « fonction propositionnelle » x φ (B). A’ comprendra par exemple A₂ (= les Insectes), A₃ (= les Mollusques), etc. D’où :

A₁ (= quelques B) + A’ (= les autres B) = B (= tous les B).

Mais si A’ (soit A₂ ; A₃…) peut être substitué en tout ou en partie à A₁ dans l’égalité « A₁ = quelques B », il va de soi que cette substitution ne constitue plus une égalité et qu’elle n’est plus une opération du même ordre que la substitution simple. En effet, si je substitue A₂ à A₁, je puis encore poser « A₂ = quelques B », mais d’une part il ne s’agit plus des mêmes B que dans « A₁ = quelques B », et d’autre part A₁ n’est pas éliminé par la substitution, mais doit se retrouver ailleurs, en A’ (mais dans un A’ défini cette fois par rapport à A₂). Au contraire dans la substitution simple, si X = A₁, alors « X = quelques B » est identique à « A₁ = quelques B » et X est éliminé (= se tautifie) en A₁ ou l’inverse.

Pour construire les groupements logiques, nous n’utiliserons donc pas le langage des fonctions propositionnelles, qui serait peu commode, et nous servirons uniquement des égalités de type A + A’ = B, qui lui est d’ailleurs réductible et dans lequel on a : si x φ (B) = x est un B :

A₁ [= quelque valeur x de φ (B)] + A’[= les valeurs de φ (B) complémentaires de A] = B [= toutes les valeurs de φ (B)].

Nous pouvons dès lors introduire les notions de « substitution réciproque » et d’« équivalence qualitative » : l’opération de la substitution réciproque réglera la substitution de A₂, A₃… par rapport à A₁ et l’équivalence qualitative sera la relation existant entre les différentes valeurs possibles de B, telles que A B= A’. Soient :

La substitution réciproque est l’opération qui consiste, si le terme A₁ égale une partie de B et si le terme A₂ égale une autre partie (disjointe de A₁) de B, à remplacer en une équation quelconque A₁ par A₂, en rattachant alors [p. 21] A₁ à la partie de B complémentaire de A₂, de manière à laisser invariant le terme total B. Plus brièvement, la substitution réciproque consiste à substituer à une classe quelconque A₁ une classe disjointe quelconque A₂, en substituant alors à la classe A’₁ (complémentaire de A₁) la classe A’₂ (complémentaire de A₂ et comprenant le terme A₁).

Par exemple, si A₁ = les Vertébrés ; A₂ = les Insectes, B = les Animaux et A’₁ = les Animaux non-Vertébrés, alors dans l’équation A₁ + A’₁ = B, je puis remplacer A₁ par A₂, à condition de remplacer également A’₁ par A’₂ d’où A₂ + A’₂ = B, le terme A’₂ signifiant donc « les Animaux non-Insectes, y compris les Vertébrés ».

Nous appellerons réciproquement substituables ou plus simplement vicariantes (de « vicarius » = remplaçant) les classes entre lesquelles l’opération de la substitution réciproque est possible, soit A₁ et A₂ ou de manière générale A₁ et A’₁ ; A₂ et A’₂ ; A₃ et A’₃ etc. Nous nommerons en outre altérité la relation existant entre classes vicariantes, c’est-à-dire la relation unissant les unes aux autres des classes non égales (= différentes), mais chacune égale à une partie d’une classe totale au sein de laquelle la substitution réciproque est possible entre elles. Il est alors facile de définir l’équivalence qualitative comme la réunion de l’égalité et de l’altérité :

L’équivalence qualitative est donc la relation qui unit l’une à l’autre deux classes X et Y chacune égale à quelque partie d’une classe quelconque Z et pouvant être substituées l’une à l’autre simplement ou réciproquement au sein de Z. Les termes X et Y peuvent donc être égaux ou vicariants et le terme Z est celui « du point de vue duquel » X et Y sont équivalents.

Dans l’exemple cité à l’instant on a donc A₁ B= A₂. Par extension nous écrirons A₁ B= A’₁ puisque A’₁ ne comprend que des termes (A₂, A₃…) équivalents à A₁ du point de vue de B. Mais cette écriture n’est qu’une abréviation de A₁ B= A₂ ; A B= A₃ ; … etc. On a en outre A₁ B= A₁, la relation d’équivalence qualitative étant réflexive, et A A= A, puisque le terme A est aussi équivalent à lui-même à son propre point de vue (l’égalité A = A). D’autre part il est clair que la relation d’équivalence qualitative peut s’appliquer de même aux individus « appartenant » à la même classe ainsi qu’aux relations symétriques quelles qu’elles soient, lorsqu’on [p. 22] les emboîte les unes dans les autres. Par contre, on voit d’emblée qu’elle ne saurait avoir de sens dans le cas des relations asymétriques, car si l’égalité s’applique aux emboîtements de ces dernières, la substitution réciproque est contradictoire avec l’asymétrie elle-même.

Nous voici donc en mesure de classer les groupements additifs, et les groupements opératoires en général. L’équivalence pure ou égalité ne saurait, comme on l’a vu, constituer qu’un groupement préliminaire, faute d’opérations complètes (la substitution simple n’engendrant jamais qu’elle-même). Par contre la substitution réciproque conduit à l’addition.

Nous appellerons addition des classes l’opération qui consiste à réunir deux classes équivalentes dans la plus petite des classes du point de vue desquelles ces deux classes sont équivalentes. L’addition des classes consiste donc soit à égaler A + A = A (tautologie), soit à égaler A + A’ = B (A et A’ étant vicariantes). L’opération additive dont nous nous servirons sera donc toujours disjonctive, sauf le cas particulier de la tautologie et celui où A + B = B (résorption) qui se réduit à la tautologie A + A + A’ = B.

Ces considérations si simples suffisent à nous permettre de formuler le principe des groupements d’additions et de multiplications de classes. 1° Nous appellerons « classes primaires » A, B, C… etc. une suite de classes quelconques non égales et dont chacune est incluse dans la suivante, c’est-à-dire telles que B contienne A et au moins un terme de plus que A ; que C contienne B et au moins un terme de plus que B, etc. Par exemple A = les Vertébrés ; B = les Animaux ; C = les Êtres vivants ; … etc. (Ou A = les Hommes ; B = les Mammifères ; C = les Vertébrés ; … etc. Ou encore A = Socrate ; B = les Hommes ; C = les êtres vivants ; … etc.), les rangs A, B, C… etc. demeurant ainsi entièrement relatifs aux classes choisies, pourvu qu’il y ait inclusion hiérarchique (A pouvant être une classe « singulière »). 2° Nous appellerons « classes secondaires » de chaque suite, les classes A’ B’ C’… etc. comprenant les termes inclus en chaque classe primaire d’ordre supérieur, mais non pas dans les classes primaires de même ordre ni d’ordre inférieur à celui de la classe secondaire considérée, donc : A’ = B − A ; B’ = C − B ; C’ = D − C ; … etc. Par exemple, si A = les Vertébrés et B les Animaux, alors A’ = les Animaux non-Vertébrés = les Invertébrés. Si B = les Animaux et si C = les Êtres vivants, alors B’ = les [p. 23] Êtres vivants non-Animaux = les Végétaux ; … etc. Il ne faut donc pas confondre les classes secondaires, qui sont des fractions de classes primaires, telle que A’ qui est une partie de B, et les classes négatives (− A) qui sont les classes positives en tant qu’exclues d’une classe donnée (B − A = A’ ; C − A = B’ + A’ ; … etc.)

Cela posé, le premier « élément » possible de groupement est la simple réunion des classes en un système hiérarchique :

(1) A + A’ = B ; B + B’ = C ; C + C’ = D ; … etc.

De telles opérations sont réversibles, c’est-à-dire qu’après avoir réuni les A et les A’ en B, je puis retrouver les A en excluant les A’ de B, ou les A’ en excluant les A de B, soit B − A’ = A et B − A = A’. D’où la « soustraction » des classes, dont un cas particulier est la négation totale, laquelle consiste à exclure les A de la totalité des classes. Mais comme nous ne savons pas ce qu’est la totalité des classes, puisque la construction des classes n’est jamais achevée et que nous sommes précisément occupés en cet instant d’en élaborer encore, nous nous bornerons à dire que, si l’on définit Z = l’ensemble des classes actuellement construites, alors Z − Y = Y’ signifie « tout ce qui n’est pas Y dans l’ensemble des classes actuellement construites ». La soustraction binaire est donc une opération absolument générale :

(1 bis) B − A’ = A ; C − B’ = B ; C − B = B’ ; D − C’ = C ; etc.

Quant aux classes secondaires A’ B’ C’… etc. leur définition, qui procède ainsi par soustraction, est naturellement toute relative au choix des classes primaires A B C… etc., d’autant plus que l’ordre de ces dernières est également tout relatif pourvu qu’il y ait emboîtement de chaque classe primaire dans la suivante. Dès lors, on peut concevoir, à l’intérieur de chaque secondaire, une composition du même type que (1) et (1 bis). Ces compositions secondaires constitueront donc un ensemble de groupements réciproques du groupement I de l’addition des classes. Nous ne pourrons faire comprendre la signification de ces groupements réciproques qu’en les analysant au cours du chap. IV et nous bornerons pour l’instant à une brève indication.

Si A’₁ = « les Animaux (B) non-Vertébrés » et si A = les [p. 24] Vertébrés, alors, comme nous l’avons déjà vu, on peut distinguer en A’₁ des embranchements de même rang que les Vertébrés, par exemple A₂ = les Insectes. En ce cas, « les Animaux (B) non-Insectes » constitueront la classe A’₂ qui comprendra A₁. On a dès lors les « éléments » de groupes dus à des « substitutions réciproques », c’est-à-dire distincts de celui de l’addition simple :

(2) A₁ + A’₁ = B et A₂ + A’₂ = B ; … etc.

D’où : A₁ + A’₁= A₂ + A’₂

B₂ + B’₂ = B₃ + B’₃

… etc.

les classes en jeu étant « réciproquement substituables » (voir plus haut). D’où :

(2 bis) B − A₂ = A’₂ et B − A’₂ = A₂

et

A’₂ − A₁ + A₂ = A’₁

… etc.

On peut ainsi constituer à l’intérieur de chacune des classes secondaires successives A’, B’, C’… etc. autant de suites additives de plus en plus complexes, qui rejoignent toutes la suite initiale (1) et (1 bis) au niveau de la classe primaire à laquelle est relative la classe secondaire considérée. Dans le cas particulier de (2) la suite secondaire A₂ + A’₂ rejoint déjà la suite initiale en B, puisque A’₂ est relative à B.

Il va de soi que les indices numériques se bornent à différencier les classes de même rang, sans intervention d’aucune opération arithmétique, ce rang lui-même étant entièrement relatif à la classification choisie.

Supposons maintenant qu’en chacune des classes d’une suite quelconque on emboîte chacune de celles d’une autre suite. Par exemple, si A₁ = les Animaux aquatiques et si A’₁ = les Animaux non-aquatiques, B₁ étant ainsi l’ensemble des Animaux aquatiques et non-aquatiques ; d’autre part, si A₂ = les Invertébrés et si A’₂ = les Vertébrés, B₂ étant alors l’ensemble des animaux Vertébrés et Invertébrés, on a :

(3) B₁ × B₂ = A₁A₂ + A₁A’₂ + A’₁A₂ + A’₁A’₂

soit les Invertébrés et les Vertébrés aquatiques et non-aquatiques.

[p. 25] La simple multiplication de deux classes élémentaires A₁ × A₂ = A₁ A₂ (= les Invertébrés aquatiques) n’est qu’un cas particulier de cette opération complète. Celle-ci est naturellement réversible, car si la multiplication consiste à qualifier ou à « déterminer » une classe par une autre ou une suite de classes par une autre, il est toujours possible de diviser un produit par l’un de ses facteurs, c’est-à-dire d’« abstraire » une classe d’une autre :

(3 bis) B₁B₂ : B₁ = B₂

C’est-à-dire concrètement : « L’ensemble des Animaux aquatiques et non-aquatiques, abstraction faite de leur répartition en aquatiques et non-aquatiques, est égal à l’ensemble des Animaux ».

D’autre part, si l’on multiplie une suite quelconque de classes d’ordre (1), par exemple D₁ (soit A₁ quelques frères ; A’₁ = leurs fils ; B’₁ = leurs petits-fils et C’₁ = leurs arrière-petits-fils) avec une autre suite disposée selon les opérations d’ordre (2) (additions secondaires), par exemple D₂ (soit A₂ = les fils de même père ; B₂ = les petits-fils de même grand-père ; A’₂ = les petits-fils de même grand-père autres que les A₂ ; C₂ = les arrières petits-fils de même arrière-grand-père ; B’₂ = les C₂ autres que B₂; … etc.) ³, on obtient :

(4) D₁ × D₂ = A₁A₂

A’₁A₂ + A’₁A’₂

B’₁A₂ + B’₁A’₂ + B’₁B’₂

C’₁A₂ + C’₁A’₂ + C’₁B’₂ + C’₁C’₂

Cette opération, que nous appellerons la « multiplication co-univoque des classes » par opposition à la multiplication bi-univoque (3) n’est ainsi que le produit d’une suite de type (1) par les suites secondaires d’ordre (2).

Il est clair que si les classes sont par définition des réunions de termes équivalents, l’addition et la multiplication des classes sont les seules opérations qu’il est possible d’effectuer sur ces classes comme telles, puisque l’addition est la réunion même qui constitue les emboîtements successifs et que la multiplication détermine l’ensemble des emboîtements simultanés.

[p. 26]⁂

Nous n’avons opéré jusqu’ici que sur des équivalences d’abord pures (groupe préliminaire), puis hiérarchisées (opérations 1 à 4). Mais, s’il y a ainsi hiérarchie possible des emboîtements de classes, c’est que, outre les équivalences, il existe des non-équivalences. Pour reprendre notre exemple initial, si tous les corps que l’on peut brûler sont équivalents à ce point de vue et constituent ainsi la cl. A, si tous les corps pesants forment grâce à cette qualité commune (donc à cette équivalence qualitative) la cl. B, il existe néanmoins des corps pesants non combustibles : B − A = A’. Si A et A’ sont équivalents en tant que B, ils ne le sont donc plus en tant que A ou que A’. La classe en tant que classe est bien un système d’équivalences, mais la hiérarchie des classes implique des non-équivalences. Comment traiter formellement celles-ci en elles-mêmes ?

Si nous sommes partis de l’opération préliminaire A₁ = A₂ = A₃… cas limite de A₁ M= A₂ M= A3 ⁴, on peut concevoir, à l’autre extrémité de la pensée, une suite de termes dont chacun est différent du suivant, soit A₁ M≠ A₂ M≠ A₃… Or, il est clair que de cette suite on ne peut rien tirer car deux non-équivalences peuvent donner une non-équivalence ou une équivalence. Aucune connaissance n’est ainsi concevable. Une seconde méthode s’impose à cet égard on peut « grouper » ou composer les non-équivalences comme telles de la même manière que les équivalences, mais à condition de les sérier et d’opérer sur ces sériations elles-mêmes.

Ces deux méthodes correspondent à deux logiques, celle des classes et celle des relations, qui sont à la fois différentes et complémentaires l’une et l’autre. Lorsque deux ou plusieurs termes sont équivalents ou substituables entre eux, à un point de vue donné, ils constituent de ce point de vue une classe. Lorsqu’ils ne le sont pas (toujours au point de vue que l’on considère), il est alors nécessaire de les sérier :

A₁ → A₂ → A₃ → A₄ …

c’est-à-dire d’établir entre chaque terme et le suivant [p. 27] une succession de relations marquant les différences progressives (le symbole A₁ → A₂ signifie que A₂ est « plus » x que A₁, et A₂ ← A₁ que A₁ est « moins » x que A₂). Ce sont alors ces différences qui sont composées comme telles. L’opposition essentielle entre les deux logiques est donc que l’une compose entre elles des équivalences et l’autre des différences.

Sans doute les équivalences A₁ M= A₂ M= A₃… qui sont au point de départ de la construction des classes sont elles-mêmes des relations, que l’on peut composer comme telles (A₁ C= A₂) + (A₂ C= A₃) = (A₁ C= A₃) et les inégalités une fois sériées aboutissent-elles à des égalités (A₁ → A₂) + (A₂ → A₃) = (A₁ → A₃). D’autre part, les différentes classes d’un système ne sont pas équivalentes comme telles les unes aux autres. Mais il va de soi que les différences entre classes sont précisément des relations, susceptibles de sériations. Quant aux équivalences (M=) et aux égalités (=), ce sont bien, par leur forme, des relations, mais qui rentrent dans la catégorie des relations « symétriques et transitives ». Or nous allons voir ce qu’il faut admettre de ces dernières, du point de vue du groupement.

Il convient d’abord de rappeler la distinction que nous avons faite entre la forme de chaque classe ou relation prise isolément, et la forme du groupement des classes et des relations. Du premier de ces points de vue, nous nous sommes ralliés au début de ce chapitre au critère devenu classique en logistique : les classes sont des fonctions propositionnelles saturées par une seule valence et les relations par deux. C’est de ce point de vue que les rapports d’équivalences sont par leur forme d’authentiques relations. Du point de vue du groupement, par contre, il faut dégager les parentés réelles des simples analogies formelles. Il existe, comme on sait, deux grands types de relations : 1° les relations asymétriques, telles qu’on ne puisse pas intervertir A₁ et A₂ dans le rapport A₁ → A₂ ; 2° les relations symétriques dans lesquelles les termes de la relation sont interchangeables, comme A₁ ↔ A₂ (A₁ est frère de A₂) et peuvent même, lorsqu’elles sont réflexives, se réduire à un seul terme posé deux fois, comme dans l’égalité A₁ = A₁. Mais si seules les relations asymétriques semblent correspondre à notre critère de la non-équivalence des termes des relations, c’est que, du point de vue des groupements, les relations symétriques sont des « relations de classes » et doivent pour être « groupées » entrer en correspondance avec une suite de classes emboîtées.

[p. 28] En effet, les termes d’une même relation symétrique transitive (par exemple des individus qui sont « frères » les uns des autres) peuvent, puisqu’ils sont équivalents se prêter sans plus aux opérations de classes (+ et ×) et constituer ainsi une classe en tant précisément que reliés par cette relation symétrique. Ce que les logisticiens appellent le « principe d’abstraction », source de telles « classes d’abstraction » ⁵ montre ainsi la parenté des relations symétriques avec la structure des classes. Au contraire, les termes non-substituables d’une suite de relations asymétriques (par exemple A < B < C… etc.) ne peuvent pas être additionnés ou multipliés en tant que non-substituables. On peut bien poser A + B + C… = M. Mais c’est en tant que l’on néglige leur inégalité : par le fait même qu’on les réunit en une addition de classes, on les rend équivalents en tant que faisant partie de la classe M. Par exemple les objets plus ou moins lourds conduisent à un système de relations dans la mesure où l’on s’attache à sérier ces inégalités, mais ils ne peuvent être réunis en une classe (celle des objets pesants) que si l’on élimine ces différences individuelles pour ne plus considérer que leur caractère commun, c’est-à-dire leur caractère d’équivalence. Par contre, on peut additionner ou multiplier leurs relations comme telles (A → B) + (B → C) = (A → C), et c’est alors bien en tant que non-équivalents qu’on les envisage. C’est pourquoi, du point de vue du groupement, nous considérerons les relations asymétriques comme relations proprement dites et appellerons « relations de classes » les relations symétriques et transitives.

Si la méthode propre à la logique des relations est ainsi la sériation linéaire, par opposition à la sériation hiérarchique des emboîtements de classes, comment pourrons-nous « grouper » les segments de telles séries de façon analogue aux inclusions de classes ? Simplement en emboîtant aussi les unes dans les autres les relations asymétriques elles-mêmes. Si A est plus petit que B et si B est plus petit que C, A est donc plus petit que C, mais alors il y a une plus grande différence entre A et C qu’entre A et B, et l’on peut par conséquent considérer la relation A → B comme incluse ou emboîtée dans la relation A → C. Dès lors, [p. 29] si nous appelons a la relation A a→ B, nous pouvons appeler b la relation A b→ C et c la relation A c→ D ; … etc. Ces relations a, b, c… etc., dont chacune est incluse dans la suivante, peuvent ainsi être traitées exactement comme un système de classes hiérarchisées. On a donc non seulement une suite de « relations primaires » a b c… etc. définies comme on vient de voir, mais encore une suite de « relations secondaires » définies comme la différence entre chaque relation primaire et la suivante. D’où :

Ces définitions nous permettent d’emblée de poser le premier élément des groupements de relations, à savoir l’addition simple de ces relations :

(5) (A a→ B) + (B a’→ C) = (A b→ C)

…etc.

De telles opérations sont réversibles, à condition naturellement que les termes A, B, C… soient sériés, de même que les classes envisagées en (1) sont emboîtées les unes dans les autres. Si les relations primaires a b c… etc. sont donc définies comme les différences entre le terme initial A de la série et chacun des autres B, C, D… etc. et si les relations secondaires expriment de leur côté les différences entre B et C, entre C et D… etc., c’est-à-dire entre chaque terme (depuis B) et le suivant (ou, ce qui revient au même, entre chaque relation primaire et la suivante), alors il est clair que :

(5 bis) (A b→ C) − (B a’→ C) = (A a→ B)

Cette soustraction n’est pas autre chose qu’une addition de la relation inverse :

(5 ter) (A b→ C) + (C a’← B) = (A a→ B)

[p. 30] Pour ce qui est, par contre, des relations symétriques, même transitives, elles ne peuvent donner lieu comme telles à des opérations additives sans dépasser la pure tautologie, puisque leurs termes sont équivalents et ne sauraient donc pas être sériés. Si A B C et D sont des frères, alors on a entre eux les relations A a↔ B a’↔ C b↔ D soit a + a = a, etc. On ne peut donc pas distinguer, dans une suite de mêmes relations symétriques un a, un a’, un b’… etc. ou des a b c… etc. comme en une série de relations asymétriques, parce que l’ordre de succession des termes A B C D… est arbitraire et non pas déterminé par leurs inégalités. La seule manière de grouper les relations symétriques est de les sérier en une pluralité de relations différentes, en fonction d’une suite asymétrique. Dans l’exemple choisi, on peut en effet, mettre en correspondance les relations horizontales « frères », « cousins », etc. avec une série asymétrique verticale « père », « grand-père », … etc., d’où les relations symétriques a = « qui a le même père » ; b = « qui a le même grand-père » ; a’ = « qui a le même grand-père mais pas le même père (= cousin germain) » ; c = « qui a le même arrière-grand-père » ; b’ = c sauf b ; … etc. Mais alors ces relations donnent lieu à une suite d’« additions secondaires » comme les classes elles-mêmes (opérations 2 et 2 bis), parce qu’elles constituent à nouveau des « relations de classes ». De plus, en tant que correspondant à une suite asymétrique, de telles relations peuvent alors donner lieu à une sériation conformément au principe des non-équivalences propres aux groupes de relations proprement dites ou asymétriques. D’où, pour les relations symétriques et transitives, l’élément

(6) (A a↔ B) + (B a’↔ C) = (A b↔ B, C)

(A b↔ B, C) + (C b’↔ D) = (A c↔ B, C, D)

… etc.

parallèle aux opérations 2 et 2 bis (l’opération inverse résulte d’une simple permutation des termes de l’opération directe) et qui présente une série de particularités dont nous ferons l’analyse au cours du chap. VIII.

Cette mise en correspondance, qui permet de grouper les relations symétriques en les rapportant à une suite asymétrique suppose en fait une multiplication, mais dont [p. 31] nous nous sommes borné à sérier additivement les produits (en langage technique cela revient à dire qu’une relation co-univoque multipliée par sa converse donne une relation symétrique et transitive). Cette remarque nous conduit aux opérations mêmes de multiplication.

En effet, si l’addition des relations revient à réunir les uns aux autres les segments (c’est-à-dire les différences élémentaires) d’une même série, la multiplication consistera à faire correspondre les unes aux autres deux ou plusieurs séries, en ajoutant donc à la dimension propre de l’une, celle ou celles selon lesquelles on établit la correspondance. Par exemple, je puis sérier une collection d’objets selon les relations de gauche (←) et de droite (→) et faire correspondre à chacun des termes de cette série une suite d’autres objets placés au-dessus (↓) ou au-dessous (↑). Si chaque primaire est notée a, b, c… etc. et chaque relation secondaire a’, b’, c’… etc., on a toutes les combinaisons possibles :

(7) (A a→ B) × (B ↓ a C) = (A a→ ↓ a C)

et (7 bis) (A a→ ↓ a C) : (B ↓ a C) = (A a→ C)

Il existe des relations qui supposent le « plus » et le « moins » et qui constituent ainsi des séries que nous appellerons continues, et d’autres qui ne les supposent pas qui constituent les suites discontinues. Par exemple on aime plus ou moins quelque chose, un objet est plus ou moins lourd qu’un autre, etc., mais A est le frère de B, ou son cousin germain, sans degrés intermédiaires. C’est que les premières sont des sériations simples ou uni-dimensionnelles, tandis que les secondes impliquent une correspondance entre deux sériations au moins, soit une dualité ou pluralité de dimensions. En effet, toute multiplication même entre séries continues, telle que l’opération (7), introduit des discontinuités.

Enfin, si l’on fait correspondre aux termes d’une série asymétrique quelconque d’autres termes, mais par correspondance co-univoque et non plus bi-univoque, on obtient alors une opération qui est à l’addition secondaire (6) ce que la multiplication bi-univoque (7) est à l’addition simple (5). Le meilleur exemple de cette multiplication co-univoque est celui des multiplications de relations généalogiques. Si le signe ↔ désigne les relations symétriques [p. 32] de frère, cousin, etc. et ↓↑ les relations asymétriques de père, grand-père, etc. ou fils, petit-fils, etc. on a :

(8) (A ↓ a a↔ B) × (B ↓ a’ a’↔ C) = (A ↓ b b↔ C)

… etc.

Tels sont donc les huit éléments fondamentaux qui peuvent donner lieu à la construction des groupements élémentaires de la logique formelle. En voici, pour conclure le tableau

Groupement préliminaire : équivalences pures (égalités).

Groupements d’opérations entières :

 

A. Classes

a) Additifs : (Sériation)

I. Addition simple des classes (d’une suite initiale).

II. Additions secondaires des classes (des suites réciproques d’une suite initiale quelconque).

 

b) Multiplicatifs : (Correspondance)

III. Multiplication bi-univoque (de deux suites simples de classes).

IV. Multiplication co-univoque (d’une suite simple de classes par les suites secondaires ou réciproques correspondantes).

 

B. Relations

a) Additifs : (Sériation)

V. Addition simple des relations asymétriques.

VI. Additions secondaires des relations symétriques.

 

b) Multiplicatifs : (Correspondance)

VII. Multiplication bi-univoque (d’une série asymétrique par une autre).

VIII. Multiplication co-univoque (d’une série de relations asymétriques par les suites de relations symétriques correspondantes).