Chapitre VI.
Le groupement de la multiplication co-univoque des classes (Groupement IV) a

Multiplier deux classes quelconques, c’est établir une correspondance bi-univoque entre les classes élémentaires de l’une selon la structure de l’autre. Or, on peut concevoir la même opération en remplaçant la correspondance du type précédent par une correspondance co-univoque, c’est-à-dire, par le système dans lequel plusieurs termes correspondent ensemble, de manière définie, à un seul.

Soient deux suites, M1 et M2 de type A1 + A’1 = B1 ; B1 + B’1 = C1 ; …etc. et A2+ A’2 = B2 ; B2 + B’2 = C2 ;… etc. La multiplication bi-univoque consiste à déterminer sans plus ces deux suites simples l’une par l’autre, c’est-à-dire à retrouver chaque classe de l’une en chacune des classes de l’autre et réciproquement. La multiplication co-univoque, au contraire, consiste à multiplier une suite simple M1 par l’ensemble des suites secondaires ou réciproques de l’autre suite (M2) jusqu’au point où ces suites secondaires rejoignent leur suite initiale M2 (voir Chap IV, prop. 2). Cela revient à dire qu’en A1 on retrouvera A2 ; en A’1 on retrouvera A2 et A’2 ; en B’ on retrouvera A2, A’2 et B’2 ; …etc.1. En bref, en chacune des classes de la première série M1, considérées dans leur ordre hiérarchique,

on retrouvera donc l’ensemble des classes des suites secondaires de la seconde série, de A2 jusqu’à la classe d’ordre égal à celui de la classe donnée de la première série.

Pour deux séries M1 et M2, on aura donc la table de multiplication suivante :

A1A2

A’1A2 + A’1A’2

B’1A2 + B’1A’2 + B’1B’2

(1) M1 × M2 =

C’1A2 + C’1A’2 + C’1B’2 + C’1C’2

D’1A2 + D’1A’2 + D’1B’2 + D’1C’2 + D’1D’2

E’1A2 + E’1A’2 + E’1B’2 + E’1C’2 + E’1D’2 + E’1E’2

…etc.

Ce mode de groupement est fort important parce qu’il se présente, d’une part, toutes les fois que l’on exprime sous forme de classes un champ de relations co-univoques (relations de descendance biologique, relations généalogiques, etc.) et d’autre part, toutes les fois que l’on multiplie une suite d’emboîtements par une autre, si cette dernière est ordonnée selon le principe des additions secondaires (groupements réciproques). Par exemple, on peut considérer A1 comme une classe de frères ; A’1 seront leurs fils ; B’1 leurs petits-fils ; … etc. D’autre part, les classes horizontales seront : A2 = des frères ; A’2 = leurs cousins germains ; B’2 = les cousins issus de germains des A2 ; …etc. Le tableau précédent exprime ainsi toute la descendance des A1A2 = deux ou plusieurs frères qui sont pères des A’1 (A’1A2 et A’1A’2) ; le produit A’1A2 signifie « une classe de frères (A2) qui sont fils des A1 (soit A’1) » et le produit A’1A2 signifie « les classes de fils des A1 qui sont cousins germains des A’1A2 » ; …etc. On voit donc que la série A1A’1… M1 constitue une suite simple de classes, tandis que les séries A2 A’2 B’2… etc. représentent toutes les suites secondaires de M2, c’est-à-dire autant de suites de « frères » (A), « cousins germains » (A’) ; …etc. qu’il y a de classes élémentaires en M, chacune des suites secondaires s’arrêtant au point où elle rejoint la suite initiale : A pour A ; A et A’ pour A’ ; A’A’ et B’ pour B’ ; …etc.

Ce principe de la multiplication par correspondance co-univoque se retrouve dans le second exemple que voici et qui illustre la généralité du système. Soit M1 la suite de classes zoologiques citées aux Chapitres III et IV (A1 = le Chat domestique ; A’1 = les autres espèces de Chats ;

B = le genre Chat ; B’ = les autres genres de la famille des Félidés ; C = la famille des Félidés ; … etc.). Et soit M2 = l’ensemble des suites secondaires que l’on peut construire au moyen d’une série quelconque de classes zoologiques : A2 = une espèce ; A’2 = les autres espèces de même genre ; B2 = le genre auquel appartient A2 ; B’2 = les autres genres de même famille ; C2 = la famille à laquelle appartient B2 ; C’2 = les autres familles de même ordre ; D2 = l’ordre auquel appartient la famille C2 ; D’2 = les autres ordres de même Classe zoologique ; E2 = la Classe (zoologique) à laquelle appartient D2 ; E’2 = les autres Classes de même embranchement ; F2 = cet embranchement ; …etc. Chaque multiplication co-univoque de M1 avec M2 déterminera ainsi l’ensemble des classes possibles dans le champ défini par les deux classes emboîtées l’une dans l’autre. Par exemple en B1 je ne puis trouver que des espèces (A2 et A’2) et un genre (B2), mais pas d’autres genres (B’2) ni d’ordre (C2), etc. De même, si l’on multiplie les classes de « frères », « cousins germains », etc. par les deux seules classes de B1 soit A1 = des frères (qui sont pères) et A’1 = leurs fils, on ne peut trouver que les trois classes A1A2 ; A’1A2 et A’1A’2 parce que les fils d’une réunion de frères ne peuvent être que frères ou cousins germains.

D’une manière générale, on a donc les règles de composition suivantes :

(2) M1 × M2 = A1 (A2) + A’1(A2 + A’2) + B’1(A2 + … + B’2) +

C’1 (A2 + … + C’2) + … + L’1 (A2 + … + L’2)

ou M1 × M2 = A1A2 + A’1B2 + B’1C2 + C’1D2 + … + L’1M2

et (2 bis) N’1 × N’2 = N’1N’2 si N’1 ≤ N’2

Si N’1> N’2 alors N’1N’2 = 0.

Par exemple : B1 × B2 = A1A2 + A’1A2 + A’1A’2 ; …etc.

Et A1 × C2 = A1A2 ; B1 × C2 = A1A2 + A’1A2 + A’1A’2 ; B1 × E2 = A1A2 + A’1A2 + A’1A’2 ; …etc. puisque A1 ne comporte pas de termes correspondants dans la série M2 au delà de A2 et que B1 n’en comporte pas au delà de B2.

Et encore A’2 x D’1 = A’2D’1 mais D’2 × C’1 = 0

B’2 × D’1 = D’1B’2 mais E’2 × C’1 = 0.

Ce qui signifie que dans la classe D’1 je puis toujours trouver une classe A2 et réunir par rapport à elle les autres classes A’2 ; ou trouver une classe B2 et réunir les autres classes sous B’2 ; mais que dans la classe C’1 (par exemple

un ensemble de familles zoologiques de même ordre sauf C1), je ne puis trouver d’ensemble D’2 ou E’2 (c’est-à-dire des ordres ou des classes zoologiques).

Quant à l’opération inverse :

(3) A1A2 : A2 = A1 ou A1A2 : A1 = A2

B1B2 : B2 = B1

…etc.

elle présente la même signification que dans la multiplication bi-univoque.

Il est clair que l’on peut, en outre, additionner un produit quelconque, par exemple B1B2 à une classe adjacente telle que B’1 ou B’2, etc. On a alors :

(4) (B1 + B’1 = C1) × B2 = C1B2

(B2 + B’2 = C2) ×B1 = B1C2

…etc.

Quant aux absorptions et tautologies, on a, comme dans la multiplication bi-univoque :

(5) C1C2 × B1 = B1B2

C1B1 × B1B2 = B1B2

B1B2 × B1B2 = BB2

B1B2 × B1 = B1B2

…etc.

parce que la correspondance est alors limitée à la classe B1B2.

Toutes ces compositions sont associatives, à condition, comme dans tous les autres groupements, de faire porter l’associativité sur les égalités elles-mêmes (par exemple B1 × B2 = B1B2), seuls éléments du groupe, et non pas sur les termes isolés (× B1 ou : B2), qui ne sont pas associatifs comme tels.

(6) Si par exemple α = (B1 × B2 = B1B2), si β = [(B1 + B’1) × (B2 + B’2) = C1C2] et si γ = (C1C2 : C2 = C1), alors on a (αβ)γ = α(βγ) soit, dans les deux ensembles, B1B2 = B1B2 à condition, bien entendu, de suivre les règles de calcul de la Remarque I du Chapitre V.

Nous pouvons enfin relier ces suites co-univoques à d’autres séries de classes, également par correspondance co-univoque. On a :

(7) M1M2 × M3 = A1 (A2 × A3) + A’1 (B2 × B3) + B’1 (C2 × C3) +

…L’1(M2 × M3)

et M1M2M3 × M4 = A1(A2 × A3 × A4) + A’1 (A2 × A3 × A4) +  …+ L’1 (M2 X M3 x M4)

On élargit simplement ainsi la base du triangle multiplicatif (1) puisque les nouvelles multiplications demeurent purement horizontales (M2 × M3… etc.), la série verticale M1 étant la même pour toutes les autres (puisque la correspondance est co-univoque). Si le groupement III consiste à multiplier deux ou plusieurs suites simples l’une par l’autre, et si le présent groupement IV consiste d’autre part à multiplier une suite simple par les suites secondaires d’une ou de plusieurs autres suites, cela ne constitue donc pas un nouveau groupement de multiplier ces suites secondaires les unes par les autres. De deux choses l’une, en effet : ou bien deux ou plusieurs séries secondaires seront multipliées de façon bi-univoque et l’on retrouvera le groupement III, ou bien la correspondance sera co-univoque et alors l’une des séries initiales (voir Chap. IV, définitions) sera la même pour toutes et la multiplication restera conforme au schéma de la proposition (7).