Chapitre XII.
Classes, relations et nombres ^a 🔗

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On a beaucoup débattu, depuis la constitution de la logistique, la question de savoir si les mathématiques sont réductibles à la logique. Les logisticiens estiment avoir opéré cette réduction en définissant le nombre cardinal par la notion de classe, le nombre ordinal par les relations et les notions essentielles d’ordre, de fonction, d’ensemble, de groupe, etc. par des combinaisons diverses d’opérations logiques. Les adversaires de la réduction lui opposent une série d’arguments fondés sur le caractère spécial de la synthèse numérique, du raisonnement mathématique et sur l’irréductibilité des éléments intuitifs.

Les réflexions contenues dans le chapitre précédent, selon lesquelles on pourrait expliquer le nombre par un système de classes et de relations fondues en une totalité opératoire unique, tendent-elles à réduire le nombre à la logique, ou à considérer celle-ci comme une mathématique incomplète, due à la dissociation des composantes numériques ? L’énoncé d’une telle question suffit à en faire justice. Si l’on appelle « logique » au sens étroit, la logique des classes définies conceptuellement et des relations qualitatives, alors le nombre n’est point réductible à la logique. Ces classes et les relations qualitatives apparaissent au contraire comme deux instruments nécessairement disjoints l’un de l’autre sur le plan qualitatif et que seul le nombre parvient à réunir en un tout véritable. Mais alors le nombre sacrifie la diversité qualitative des concepts. Ou bien on appelle « logique », au sens large, tout système formel, et dans ce cas la logique des classes et des relations n’est qu’une petite partie de la logique, et les mathématiques elles-mêmes, précisément parce qu’irréductibles aux [p. 257] classes et aux relations qualitatives, en constituant l’essentiel.

Mais, s’il en est ainsi, il existera une logique des nombres, une logique des ensembles, une logique des fonctions, une logique des différents des espaces, bref autant de logiques que de systèmes fondamentaux définis par leurs transformations. La logique commune à ces différentes structures serait alors la théorie générale des opérations réversibles, c’est-à-dire la théorie du groupement comme tel. Remarquons-le à ce propos, mais sans que cette indication conditionne les conclusions auxquelles nous sommes parvenus sur les rapports du nombre et du concept, si l’on se place au point de vue des totalités que constituent les groupes, et non pas de cet atomisme logique qu’a entretenu le pur préjugé du primat des classes, des relations ou des nombres entiers, alors s’atténue en d’importantes proportions l’opposition de l’intuition et des structures formelles : il suffit, en effet, que l’on puisse attribuer à des transformations intuitives une structure de groupe pour constituer une logique particulière, et le passage entre cette logique particulière et les autres pourra toujours être assuré par les rapports établis entre les opérations respectives. Indépendamment de cette remarque, il est clair qu’en réaction contre l’arithmétisation de l’analyse, les mathématiques contemporaines trouvent aujourd’hui leurs critères de vérité dans la cohérence totale des transformations d’un système et non plus dans l’élément comme tel, en tant qu’idéal de réduction.

Pour ce qui est de la première interprétation nous avons vu au cours du chapitre précédent que la réduction du nombre à la classe ou à la relation logiques repose sur un cercle : pour tirer le nombre des classes il faut introduire une correspondance biunivoque « quelconque » entre les éléments de celles-ci et pour le tirer des relations il faut introduire une « similitude généralisée » entre celles-ci. Or ces deux sortes d’opérations, par opposition aux correspondances biunivoques d’ordre qualitatif impliquent précisément l’abolition des qualités conceptuelles, c’est-à-dire la fusion en un tout unique des relations et des classes qui demeurent « complémentaires » sur le plan qualitatif.

Est-ce à dire que l’on puisse inversement réduire les classes et les relations aux nombres eux-mêmes ? Sans doute un nombre est en un sens une classe, et également une série asymétrique, mais l’on ne peut retrouver les lois de [p. 258] et composition des groupements additifs et multiplicatifs des classés et des relations, à partir des groupes arithmétiques élémentaires, qu’en dissociant l’un de l’autre ces deux aspects du nombre, c’est-à-dire en renonçant précisément à ce qui caractérise le nombre lui-même : si donc l’on élimine l’itération au profit de la tautologie et des résorptions ou absorptions, on peut bien alors déduire du nombre les classes et les relations, mais c’est à la manière dont on peut tirer l’ellipse du cercle en modifiant les propriétés de ce dernier.

En troisième lieu, il est clair par cela même que l’on ne saurait opposer radicalement l’un à l’autre le nombre et le concept. Sans doute le nombre, la classe et la relation remplissent des fonctions différentes dans l’équilibre de l’esprit : la classe fusionne en un tout les objets considérés comme équivalents par leurs qualités, la relation coordonne les inégalités qualitatives et le nombre différencie et réunit à la fois. Mais ces distinctions n’excluent en rien les mécanismes communs, dont il s’agit maintenant de retracer le schéma.

Notons d’abord que, du point de vue psychologique, si les nombres ne peuvent être élaborés sans la collaboration des classes et des relations, inversement ni les classes ni les relations ne peuvent se construire sans l’intervention du nombre (ou de la quantité). Il est facile de voir que, parallèlement aux mécanismes génétiques (sur lesquels nous reviendrons dans les Conclusions), la construction formelle implique également l’interaction de ces notions.

Pour ce qui est des classes, d’abord, il est évident que si NA = le nombre des individus réunis en une classe A, on a :

(A + A’ = B) = (NA + NA’ = NB) =

(NB > NA) et (NB > NA’)

En effet, sans savoir combien il y a d’individus en A ni en A’, il est clair que s’il existe une classe A’ (c’est-à-dire la classe des « B non-A ») non nulle, la classe B sera plus nombreuse que la classe A d’au moins un individu. De même si la classe A n’est pas nulle, la classe B sera plus nombreuse que la classe A’ d’un individu au moins.

D’une manière générale, le groupement additif des classes suppose au moins quatre notions dont on peut tirer [p. 259] et sans plus des jugements numériques : « un », « tous », « quelques-uns » et « aucun ». Les trois propositions : « (Tous les A) + (tous les A’) = (tous les B) », « quelques B sont tous les A », « aucun A n’est inclus en A’ » impliquent ainsi chacune une relation de nombres : la première énonce une égalité et la seconde une inégalité numériques et la troisième fait intervenir le zéro arithmétique aussi bien que logique.

Dira-t-on maintenant que si B = A + A’ et si A et A’ sont l’une et l’autre des classes singulières, l’addition logique A + A’ = B implique de même le nombre 2, parce qu’alors 1 + 1 = 2 ? Il n’en est rien, car pour avoir le droit de poser 1 + 1 = 2, je dois admettre au préalable que 1A = 1A’. Or si A = A’, alors A + A = A, d’où il faudrait tirer 1 + 1 = 1. Si l’unité arithmétique est nécessairement invoquée dans l’affirmation qu’il existe 1A, l’addition des nombres suppose par contre d’autres axiomes que celle des classes, la série des classes étant un système d’emboîtements sans itération et celle des nombres un système d’itérations de l’unité avec emboîtements définis par cette itération même.

Seulement on sait que les logisticiens contestent que l’unité logique (l’individu unique contenu dans la classe singulière A) implique l’unité arithmétique, sous le prétexte que l’unité logique se définit par l’identité seule. En effet, nous dit M. Couturat ¹, si la classe singulière existe, c’est-à-dire qu’elle n’est pas nulle, alors deux individus quelconques x et y lui appartenant sont nécessairement identiques x = y. Mais il est, nous semble-t-il, permis de répondre que l’identité x = y n’est pas de nature « logique » plus qu’arithmétique et nous avons vu (chap. II) que le groupe préliminaire des égalités, loin de pouvoir engendrer les suivants, peut au contraire être tiré de n’importe quel autre groupement et demeure ainsi essentiellement indéterminé du point de vue opératoire. Nous ne saurions donc admettre la nature logique, par opposition à arithmétique, de l’identité x = y, pas plus que nous n’avons pu considérer la correspondance biunivoque quelconque comme fondée sur la logique seule parce qu’une relation bi-uniforme se définit en termes d’identité pure (voir chap. XI, Rem. IV). L’identité est une forme logique au sens général [p. 260] et non pas seulement au sens spécial de la logique des classes et des relations. Bien plus, si l’on se place au point de vue des « groupes », il faut poser comme règle qu’une structure n’est pas logique ou arithmétique en soi, mais seulement eu égard aux opérations auxquelles on la soumet. Par exemple, dans l’opération A + A = A une classe singulière A est posée en tant que structure de classe et son élément unique x est alors simplement considéré en tant qu’identique à lui-même. Par contre, dans l’inégalité A < B < C, etc., le terme A sous entend un sens numérique. Il tombe donc sous le sens que, sans référence au nombre, la suite des notions « aucun », « un », « quelques » et « tous », qui sont les déterminations de l’extension des classes, n’auraient aucune signification. Sans doute l’extension n’exige aucun dénombrement précis et les nombres en jeu peuvent rester indéterminés, mais on aura toujours, si le signe (A < B) signifie ici que le nombre A est plus petit que le nombre B, la série :

(Aucun) < (un) < (quelques) < (tous).

Pour ce qui est des relations, toute suite de relations asymétriques unidimensionnelles suppose, d’autre part, le + et le −, c’est-à-dire la gradation. La notion de quantité est ainsi impliquée dans ce rapport de différence que la relation asymétrique établit comme telle entre les qualités relatives ². Il n’y a donc pas de sériation possible sans référence implicite au nombre ordinal, ce qui ne signifie pas que l’on compte les relations ou les termes, mais que leur succession implique des rapports constants entre des ordinaux indéterminés. Si SA = le nombre ordinal du terme A, alors :

[?]

De même qu’à propos des classes, nous ne savons pas quel est le nombre ordinal S de A ni de B ni de C. Mais [p. 261] nous savons que, si A → B → C, alors SA < SB, c’est-à-dire que B est caractérisé par un type d’ordre supérieur d’au moins une unité à celui de A et qu’il en est de même entre C et B. Toute relation asymétrique suppose donc les notions de « premier », de « dernier », de « suivant » et de « même ordre », qui sont les équivalents ordinaux de « un », de « tous », de « quelques » et de « aucun » (en effet si A et B sont du « même ordre », on a A [?] B).

Par contre, on ne pourrait pas non plus tirer de (A → B → C) la notion de 2 (ou 3, etc.) parce que, pour avoir le droit de poser B = 2^e et C = 3^e, il faut admettre tout à la fois : 1° que la relation [?] entre A et B est de même valeur [?] que [?], [?], etc., donc que a = a’ = b’; que b = a + a ; C = a + a + a ; etc. Sinon il pourrait y avoir une place à remplir entre A et B ou entre B et C. 2° que A, C… sont substituables et se distinguent seulement parce que B vient après un seul terme A, que C vient après 2 termes (A + A), etc. ³ Seulement, s’ils sont substituables, il n’y a plus seulement sériation de relations, mais ordination se référant à une cardination corrélative.

Quant aux multiplications de classes et de relations, il est clair que la correspondance bi-univoque intervenant en toute opération de ce type (groupes III et VII) se réfère nécessairement, sans impliquer le nombre, à un dénombrement possible. Elle n’implique pas le nombre, parce qu’une correspondance biunivoque d’ordre qualitatif n’est pas une correspondance biunivoque quelconque (chap. IX Rem. III), cette dernière opération étant nécessaire à la constitution des structures numériques. Mais elle se réfère à un dénombrement possible, puisque la correspondance biunivoque entre termes définis par leurs qualités est englobée à titre de cas particulier par la correspondance biunivoque quelconque, et que, à ce titre, on sait que les séries correspondantes qualitativement possèdent nécessairement le même nombre (comme on sait que si A + A’ = B il y a autant d’individus en B qu’en A+A’).

[p. 262] En bref, on ne saurait construire les classes ou les relations en extension sans se référer à la notion de nombre. Ce n’est pas que les classes et les relations comprendraient des opérations arithmétiques déjà différenciées et prêtes à engendrer par leur composition les nombres particuliers : c’est parce que les opérations logiques impliquent, une arithmétique indifférenciée, si l’on peut dire, comportant une quantification des termes extrêmes (0, 1 et « tous ») ainsi que de leur contraire (ni 0, ni 1, ni tous, soit « quelques ») et pouvant se condenser en opérations proprement arithmétiques, dès que l’on fusionne en un seul système les axiomes de la classe et ceux de la relation. Inversement, le nombre implique donc la classe et la relation réunies, puisqu’il se définit précisément par cette fusion.

Comment donc concevoir cette sorte d’implication mutuelle ? Les nombres, les classes et les relations ont en commun un ensemble de caractères, qui se réduisent aux trois notions suivantes : celles de tout et de partie (colligation), de degré ou d’ordre (sériation) et de correspondance (biunivoque ou co-univoque). Ils présentent, d’autre part, certaines différences précises, tenant au rôle de la qualité et de la quantification et dès lors à la fonction de l’unité dans les colligations, sériations et correspondances.

Les caractères communs sont naturellement ceux que nécessite l’existence même de tout groupe d’opérations, les éléments distincts sont ceux qui différencient les types de groupes les uns des autres, c’est-à-dire les « groupements » des groupes proprement dits. La classe, la relation et le nombre forment ainsi à eux trois un système total, dont chaque partie est solidaire des autres, mais susceptible de se particulariser selon qu’on applique les lois du groupement à des terme équivalents, ou sériables asymétriquement ou équivalents et sériables à la fois. Le système total serait ainsi la raison elle-même en tant que construction réversible créatrice de groupes. Tel serait le sens de cette quatrième solution.

En effet, point de groupement possible sans colligation, sériation et correspondance.

La colligation, tout d’abord, est l’expression même de la composition. Il est donc normal que l’acte au moyen duquel nous réunissons en une seule totalité numérique une pluralité d’unités soit le même que celui qui nous permet de réunir en une classe unique une diversité d’individus [p. 263] ou en une relation d’ensemble une succession de relations partielles. Cet acte c’est l’opération « et » ou « plus » (+) et son inverse (−). Que, dans le premier cas, il s’accompagne d’une règle d’itération et, dans les deux autres, des règles de tautologie ou de résorption, cela n’enlève rien au caractère général de l’acte de pensée qui permet de constituer ces totalités en conférant une unité d’ordre supérieur au tout qui englobe les unités initiales réunies. De plus, cet acte est indépendant du niveau hiérarchique auquel il est effectué qu’il s’agisse de réunir les fractions d’une unité arithmétique en un entier ou de l’addition de deux nombres entiers en un total, qu’il, s’agisse de réunir, des individus en une classe ou des classes en une classe d’ordre supérieur et enfin de l’inclusion de relations d’ordre quelconque en une relation plus vaste, nous trouvons dans la colligation un premier invariant fonctionnel nécessaire à la construction de tout groupement numérique ou conceptuel.

En second lieu, la sériation est aussi nécessaire aux opérations logiques qu’à la construction du nombre. Si la colligation exprime l’acte initial du groupe, à savoir la « composition », ou construction des totalités de divers ordres, on peut dire que la sériation exprime la seconde condition de tout groupement, c’est-à-dire l’« associativité » ou possibilité de coordonner, selon différentes combinaisons les compositions en suivant toujours le même ordre de succession. La nécessité de cette sériation est évidente dans le cas des relations, mais elle n’est pas moins vraie dans celui des classes. En effet, si chaque classe est une réunion de termes équivalents, les classes primaires sont nécessairement emboîtées les unes dans les autres en un système hiérarchique qui est une sériation. D’autre part, le contenu de chaque classe peut être énuméré, ce qui constitue à nouveau une sériation (voir chap. III, Rem. III). Il est vrai que la sériation est autre dans le cas des relations asymétriques et dans celui des classes et des rapports symétriques (qui sont, avons-nous vu, des relations de classes) : dans le premier cas tous les termes individuels et toutes les relations élémentaires sont sériés en un ordre intangible, tandis que dans le second les emboîtements seuls (soit les classes primaires) présentent un tel ordre, les termes réunis en un même emboîtement étant équivalents et par conséquent sériables de différentes manières qui toutes aboutissent au même terme total (voir chap. III, [p. 264] Rem. IV). Mais si la classe n’est donc pas série en tant que classe et que les termes de la relation ne sont pas classe en tant que sériables, et s’il faut ainsi distinguer les séries d’emboîtements ou d’égalités hiérarchisées et les séries de différences linéaires ou de relations asymétriques, la nécessité d’une sériation n’en est pas moins générale et toute classe n’acquiert sa signification qu’en fonction d’un système hiérarchique d’ensemble. On peut dire ainsi que la sériation comme la colligation est une nécessité de tout groupement, qu’il s’agisse de classes, de relations ou de nombres.

En troisième lieu, la correspondance rentre également dans les mécanismes communs au nombre et aux structures logiques, parce qu’elle est aussi une condition du groupement lui-même, dont elle traduit le caractère de réciprocité, c’est-à-dire l’un des aspects de la réversibilité. Cela est évident en ce qui concerne les multiplications de classes, de relations et de nombres, puisque toute multiplication est une mise en correspondance. Mais si toute multiplication logique est une correspondance, les comparaisons mêmes qui permettent de réunir les individus en une seule classe, parce que semblables, ou de les séparer parce que dissemblables, sont des correspondances qualitatives. En termes d’extension, cela consiste à dire qu’en toute classe d’ordre B = A + A’ on a A × B = AB (= A); A’ × B = A’B (=A’) ; A × A = A ; A’ × A’ = A’ et B × B = B ; et en termes de compréhension cela revient à dire qu’il faut un caractère commun à différents individus pour définir une classe.

En bref, colligation, sériation et correspondance sont les conditions de tout groupement logico-arithmétique et constituent, par conséquent, les mécanismes communs aux classes, aux relations et aux nombres. Ce sont ces mécanismes communs qui permettent de constituer l’élément fondamental A + A’ = B, puisque la classe B est un tout colligé, un terme sérié après A dans l’ordre de la hiérarchie et qu’elle résulte de la correspondance entre tous les termes réunis en elle. De même, en toute relation asymétrique, A [?] A’[?] B’, les relations a et a’ sont colligées en b, a’ est sérié après a et par la relation b correspondent a et a’.

Mais, cela dit, il y a trois manières de concevoir les rapports de A, de A’ et de B, et ce sont ces trois manières qui déterminent les différences entre les classes, les relations [p. 265] et les nombres : ou bien, on relie les individus d’après leurs qualités communes et alors on développe la colligation en sacrifiant la sériation des termes secondaires, d’où la notion de classe ; on bien on compare ces qualités au moyen de leurs gradations, mais sans introduire encore d’unités homogènes, et l’on développe la sériation en lui subordonnant la colligation, d’où la relation ; ou bien on quantifie ces degrés jusqu’à remplacer la qualité par des combinaisons d’unités, que l’on peut colliger autant que sérier, et il y a nombre.

En premier lieu, en effet, A et A’ peuvent être considérés comme équivalents en tant que B, c’est-à-dire être colligés selon leurs qualités communes ; mais alors ils cessent de se valoir quant aux qualités qui ne définissent pas B, et qui restent caractéristiques de A ou de A’. On ne peut obtenir dans cette éventualité qu’un simple emboîtement de A dans B, le résidu étant défini par la différence B − A = A’. Par conséquent, le primat de la qualité exclut toute unité composable avec elle-même et le groupement n’est possible qu’en admettant A + A = A et A + A’ = B.

En second lieu, on peut considérer A et A’ selon leurs différences qualitatives. C’est là une sorte de quantification, puisque les différences se marquent nécessairement en « plus » et en « moins ». La distance a entre A et A’, et la distance a’ entre A’ et B’ formeront ensemble la différence totale (a + a’ = b). Dans ce cas, les caractères a et a’, quoique distincts l’un de l’autre, entreront l’un et l’autre, et précisément en tant que non équivalents, dans la définition ou rapport total b. Nous sommes donc engagés dans la voie de l’itération, mais sans y parvenir encore. Tant que les relations restent conçues comme des rapports de qualités, sans comporter d’unités homogènes à titre de communes mesures, on ne peut poser, en effet, a = a’, et l’on ne peut toujours pas considérer la relation b comme résultant de a + a = b. On a donc encore a + a = a.

En troisième lieu, A et A’ peuvent être conçus comme étant à la fois équivalents et sériables, ce qui entraîne les mêmes propriétés pour a et a’. Ces conditions signifient l’élimination de la qualité et la définition de l’unité itérante A + A = B, ou a + a = b. D’où le nombre, 1 + 1 = 2 et la négation de la tautologie.

D’autre part, chacune de ces trois possibilités comporte elle-même deux cas particuliers : Ou correspondances par rapport à soi-même et réunions par addition, ou correspondances [p. 266] bi-univoques par rapport à d’autres séries et compositions par multiplications.

Telles sont donc les ressemblances et les différences de la classe, de la relation et du nombre.

⁂

Si nous traduisons maintenant ces résultats en termes de raisonnement, ils rejoignent alors le problème fameux de la déduction mathématique.

Le raisonnement mathématique est à la fois rigoureux et fécond. Le syllogisme est rigoureux, mais ne nous apprend rien de plus que ce que contiennent déjà les prémisses. L’induction expérimentale est féconde, mais non pas rigoureuse puisqu’elle ne constitue même pas un raisonnement proprement dit. Comment donc expliquer que la déduction mathématique engendre des conclusions nouvelles, c’est-à-dire non contenues analytiquement dans les prémisses, et cependant nécessaires, c’est-à-dire reliées après coup à ces prémisses par un lien dont la rigueur donne l’illusion qu’il est analytique ?

Les interprétations nombreuses qui ont été données de ce processus aboutissent en général à sacrifier la fécondité à la rigueur ou à faire le sacrifice inverse. Sans revenir sur le raisonnement par récurrence invoqué par H. Poincaré et dont les logisticiens et M. Goblot se sont trouvés d’accord pour montrer qu’il contenait lui-même des raisonnements plus simples, on se trouve actuellement, en effet, en présence de deux sortes de solutions, celles qui avec von Wittgenstein et l’école dite de Vienne réduisent la déduction mathématique à une tautologie pour justifier sa nécessité, et celles qui avec Goblot et E. Meyerson font appel à la réalité extra-mathématique pour expliquer sa fécondité.

Nous ne saurions suivre les doctrines aboutissant à la notion d’une vérité mathématique purement analytique et tautologique, et cela pour deux raisons complémentaires. La première est que, en se ralliant à une telle conception, on introduit une opposition de principe entre la logique et la psychologie : l’opération, qui, du point de vue psychologique, est l’acte constructif lui-même et par conséquent la source des termes qu’il semble relier simplement, devient, pour la logique de la tautologie, un rapport entre des [p. 267] termes existant comme tels indépendamment de lui et antérieurement à lui. Par exemple, si 1 + 1 = 2, il y a autre chose, psychologiquement en 2 qu’en 1 ; 1 : il y a l’opération + qui engendre cette totalité nouvelle qu’est le nombre 2. Et si l’on déclare que 2 est, par simple définition, égal à 1 ; 1 soit, (2 = 1 ; 1), alors l’opération n’est plus un acte de pensée, mais un signe et la logique ainsi que les mathématiques entières deviennent un simple langage. Seulement cette conséquence, devant laquelle ne reculent nullement des logisticiens tels que M. Carnap, n’élude pas la question de savoir pourquoi le développement du langage des mathématiques se poursuit indéfiniment par la simple combinaison de ses rapports internes, tandis que celui des concepts ne présente pas ce caractère. Un concept nouveau suppose, en effet, la délimitation empirique d’une qualité nouvelle, et même si l’on calcule A + A’ = B ou A = B - A’, les qualités de A de A’ et de B ne sauraient se réduire analytiquement les unes aux autres. Les structures conceptuelles A et B peuvent alors être considérées comme de simples signes reliés par la règle de grammaire A + A’ = B. Mais, dans ce cas, pourquoi cette grammaire est-elle si courte, tandis que celle des nombres ou des fonctions mathématiques n’est jamais achevée, tant est riche le système de ces signes particuliers opposés à ceux de la logique formelle ?

En second lieu, si les mathématiques sont déjà toutes données d’avance en une vaste identité et que l’élaboration d’un tel système de rapports n’est une construction qu’en apparence et du seul point de vue subjectif. Alors comment éviter les difficultés de l’infini actuel et de la classe de « toutes » les classes ? Si l’on admet la réalité constructive des opérations, il est compréhensible que les constructions effectuées par elles ne soient jamais achevées et qu’ainsi l’ ∞ soit l’expression même de l’opération indéfiniment itérée. Mais si l’on nie la réalité des opérations, il faut bien alors situer l’∞ quelque part, dans la réalité physique, logico-linguistique ou logico-idéelle, et les antinomies réapparaissent. Il est donc vain, nous semble-t-il d’espérer expliquer le raisonnement mathématique en sacrifiant la fécondité à la nécessité même conçue comme tautologique : celle-ci ne se suffit point à elle-même, sans contradiction, et s’il faut la relier à l’activité psychologique, la question de la fécondité réapparaît alors inchangée.

[p. 268] C’est cette constatation qui a engagé M. Goblot à élaborer une interprétation selon laquelle la fécondité du raisonnement mathématique s’explique par les opérations mêmes, entendues comme des constructions mentales ou expérimentales, la rigueur s’expliquant alors par le fait que ces constructions sont réglées au moyen de propositions antérieurement admises. La discussion de cette thèse a porté sur deux problèmes bien distincts, que l’on ne saurait, nous semble-t-il, lier l’un à l’autre sans équivoque : le premier est de savoir si les opérations conçues comme des actes matériels ou mentaux de construction sont encore des opérations mathématiques ou si elles nous transportent sur un terrain empirique ou extra-logique. La seconde est de savoir si la nécessité du raisonnement est suffisamment expliquée par l’application des propositions antérieures à la construction elle-même.

Sur le premier point, nous ne voyons aucune difficulté à la thèse de M. Goblot. Ce n’est pas le fait qu’une opération soit effectuée avec l’aide d’objets matériels, ou qu’elle soit intériorisée au moyen d’un symbolisme aussi abstrait que l’on voudra, qui décide de son caractère logique ou extra-logique. Un enfant peut être rigoureusement logique en ne raisonnant qu’avec un boulier et un philosophe peut rester empirique en combinant des syllogismes ou des formules, s’il les applique à titre de simples « recettes » de calcul. Qu’une opération soit matérielle ou mentale intéresse le psychologue, mais non pas le logicien, lequel s’occupe seulement de savoir si la conclusion est reliée aux prémisses avec une nécessité entière, incomplète ou par un lien contingent.

Or, c’est sur ce second point que nous sommes obligés de nous séparer de M. Goblot. Déduire, c’est construire, nous dit l’auteur du Traité de logique, et construire c’est combiner les prémisses au moyen d’opérations diverses de manière à trouver des conclusions qui n’étaient pas contenues dans les données de départ. La construction crée donc une réalité nouvelle qui est nouvelle en tant que construite, mais qui, cependant, est nécessaire dans la mesure où elle est réglée. Or ces règles, précise M. Goblot, ne sont pas celles de la logique, ni en particulier celles du syllogisme : ce sont les propositions admises antérieurement et que l’on applique, par le moyen du syllogisme, à cette construction même, de manière à la régler. La construction dépasse donc le syllogisme en tant que conduisant [p. 269] à des résultats nouveaux, mais ces résultats sont nécessaires dans la mesure où la construction qui les engendre sont réglés par des propositions à elle appliquées syllogistiquement. Telle est l’essence de cette interprétation.

Seulement, si le réglage des constructions obéit à ce mécanisme, il nous paraît difficile d’échapper à la difficulté suivante : ou bien les résultats de la construction sont déjà contenus dans les propositions antérieurement admises, et alors ils sont nécessaires, mais la construction ne crée rien de nouveau et se réduit au syllogisme ; ou bien les résultats sont nouveaux, c’est-à-dire non contenus dans les propositions antérieures, mais alors celles-ci ne les règlent pas ultérieurement : en tant qu’ils sont nouveaux, elles ne les règlent précisément pas mais se bornent à les canaliser et à fixer simplement les limites qu’ils ne pourront pas franchir, de telle sorte que, à l’intérieur de ces limites, les résultats nouveaux demeurent bien contingents.

Nous admettrons donc avec M. Goblot que le raisonnement mathématique est une construction qui engendre des réalités nouvelles et qui dépasse le syllogisme. Mais la seule manière d’assurer la nécessité de ces constructions nous paraît consister à leur attribuer un réglage interne et à ne pas se contenter d’un réglage externe, fatalement insuffisant.

Faut-il alors réintroduire à ce titre les règles mêmes de la logique, c’est-à-dire donc les principes formels de non-contradiction, d’identité, etc. ? Mais chacun sait que si ces principes nous interdisent de nous contredire, nous prescrivent de laisser invariant le sens d’un terme, etc., ils ne nous indiquent par contre nullement en eux-mêmes s’il y a contradiction ou non, si un terme est identique à un autre, etc. Est-il, par exemple, contradictoire pour un animal d’être à la fois aquatique et porteur de poumons ? Affaire de définitions, c’est-à-dire précisément de construction : c’est donc après seulement que les éléments et les opérations de la construction sont définis, qu’il est possible de voir si celle-ci se développe de façon cohérente ou si elle enferme des contradictions. Bref, il ne suffit nullement pour régler la construction d’invoquer le principe de non-contradiction, car, ou bien le principe se borne à interdire telle ou telle transformation particulière, mais cela en vertu des définitions et opérations admises, [p. 270] ou bien il prétend dominer l’ensemble des définitions et opérations, mais alors il faut trouver un critère permettant de juger de cette cohérence d’ensemble.

Selon Couturat, par exemple, si A + A’ = 1 (soit 1 = l’Univers du Discours), alors A × A’ = 0, la première égalité exprimant le principe du tiers exclus (« ou A ou non A ») et la seconde celui de non-contradiction (« aucun terme n’est à la fois A et non-A ») ⁴. Or, il est clair, que ces énoncés se bornent à définir les termes A et A’ et qu’à ce premier point de vue les principes de contradiction et de tiers-exclus constitueraient simplement, comme nous le disions à l’instant, des règles parmi les autres. Mais il y a plus dans ces principes : il y a l’affirmation que si l’on transforme A en X ou Y… et A’ en Z, on aura toujours X + Z = 1 et Y x Z = 0, ou que si l’on réunit A et A’ à d’autres termes, leurs rapports de contradictoires se conserveront. Autrement dit, en un second sens, les principes formels prétendent régler l’ensemble de la construction et non pas seulement telle transformation isolée. Seulement alors, où est le critère de la non-contradiction ? Comment saurais-je, si A = X, que non-A est bien Z ? Par exemple, tout le monde voit qu’un carré rond est contradictoire, que si le carré = A, une figure circulaire ne peut appartenir qu’à A’. Mais si au lieu de définir classes et relations comme nous l’avons fait, nous avions voulu parler de classes itérables à quoi eût-on découvert la contradiction ?

La solution est extrêmement simple. Si A × A’ = 0, on pourra toujours s’assurer si X × Z = 0 ou si Y × Z = 0, en ramenant X ou Y à A et Z à A’, c’est-à-dire que le véritable critère de la non-contradiction d’un système est la réversibilité des opérations qui le composent ⁵. Cela est vrai, en premier lieu parce que si A + A’ = B alors A’ = B − A et A = B − A’, c’est-à-dire que + A peut être transféré dans l’autre membre d’une égalité sous la forme − A et revenir à la forme + A (même si B = l’Univers du Discours). C’est cette réversibilité de l’affirmation et de la négation qui définissent les conditions initiales de la non-contradiction A × A’ = 0. Cela est vrai, en [p. 271] second lieu, parce que si les constructions que l’on peut effectuer en partant de A + A’ = B ou de A × A’ = 0 introduisent réellement quelque nouveauté et ne se bornent pas à reproduire l’égalité initiale de toutes les manières, la seule garantie que l’on ait de la cohérence de ces compositions est la possibilité permanente de retour au point de départ.

On peut donc conclure que le raisonnement mathématique est une construction, parce qu’il est formé d’opérations et que ces opérations peuvent être composées entre elles, mais ces compositions sont rigoureuses parce qu’elles sont réglées de l’intérieur et cela grâce à leur réversibilité. Le critère de la nécessité d’un système ne fait alors plus qu’un avec celui de sa fécondité : toutes deux trouvent leur justification dans la nature de « groupe » de ce système, la composition associative rendant compte de la fécondité et la réversibilité avec retour possible aux éléments identiques rendant compte de la rigueur. Telle est, nous semble-t-il, la leçon des essais tentés au cours des chapitres précédents.

M. E. Meyerson explique également la nécessité du raisonnement mathématique par un réglage interne, mais qui ne serait pas dû à la réversibilité en général et qui requerrait toujours un principe plus rigide et plus étroit : celui de l’identification ou de l’application au divers de l’identité formelle elle-même. Pour rendre compte de la fécondité de la pensée mathématique, M. Meyerson fait siennes les vues de M. Goblot sur le rôle des opérations de construction, mais il considère ces opérations comme témoignant de l’intervention du réel dans le raisonnement, la réalité extérieure à l’esprit expliquant donc la fécondité et l’identification la nécessité. Seulement, s’il est clair que l’on n’aurait jamais songé à additionner, soustraire, multiplier, diviser, etc., dans un monde d’identités pures, cela ne prouve, en rien que les opérations + ; − ; × ; : ; √ ; etc., résultent davantage de cette diversité comme telle que la substitution elle-même [?] ou =, c’est-à-dire que l’identification. Si dans l’égalité B = A + A’ le signe = marque l’œuvre de l’esprit par opposition au divers imposé par la réalité, soit à A et A’, on en peut dire autant de l’opération +. Et si toutes les opérations + ; × etc., n’étaient que de résultats de l’identification = c’est qu’alors l’esprit serait précisément capable de construire des schèmes de plus en plus complexes. La fécondité du [p. 272] raisonnement mathématique tient donc à un pouvoir interne de coordination opératoire et non pas seulement au réel. Quant à la nécessité, ce que nous venons de dire du principe de contradiction s’applique aussi bien à celui d’identité : comment distinguer les fausses identifications des vraies, sinon précisément en fonction d’un système d’ensemble de compositions réversibles ? Nous ne voyons donc ni du côté de la fécondité ni de celui de la nécessité, de raison de dissocier la réalité de l’esprit, et si l’on conçoit la fécondité comme opératoire et la rigueur comme due au caractère de groupe de ces opérations réversibles, on évite une opposition factice entre ces deux aspects inséparables de la pensée mathématique.

Mais, alors, le problème se retrouve de savoir pourquoi les groupes mathématiques conduisent à un raisonnement qui présente bien ce double caractère, tandis que les groupements d’opérations portant sur la classe logique, laquelle a pourtant les mêmes propriétés de composition associative et de réversibilité, ne conduisent qu’au syllogisme, c’est-à-dire à un raisonnement rigoureux, mais assurément moins fécond que les compositions de nombres ? La question réapparaît ainsi, mais sur le plan nouveau du raisonnement lui-même, de concilier les différences entre le nombre, la relation et la classe avec leur commune nature groupale.

Précisons d’ailleurs que les remarques faites à l’instant sur les rapports entre l’esprit et les choses s’appliquent aux classes et aux relations autant qu’au nombre. Les pommes réunies en une classe sont des réalités extérieures à la pensée, ni plus ni moins que les pommes comptées une à une, mais les classes A ou B élaborées par l’esprit à leur sujet témoignent d’une coordination opératoire de la raison autant que les nombres 1, 2, 3… qui sont appliqués à ces objets. La question n’est donc pas de savoir ici si le réel et l’esprit sont autrement représentés en une classe, une relation ou un nombre : elle est seulement de comprendre pourquoi les schèmes intellectuels de la classe et de la relation donnent lieu à des compositions tellement plus pauvres que les combinaisons portant sur les schèmes intellectuels d’ordre mathématique.

Or, dans le cadre étroit que nous nous sommes tracé en cet ouvrage, une réponse paraît cependant pouvoir être donnée à cette question essentielle, et cela non seulement sur le terrain de la nature même des éléments de [p. 273] ces trois sortes de groupes, mais encore et surtout sur celui des conditions de leurs constructions ou des résistances que rencontrent ces trois types de composition.

L’élément des groupements d’opérations de classes est le syllogisme lui-même :

(A + A’= B) + (B + B’ C) = [A + (A’ + B’) =  C]

ou

= [A = C − (A’ + B’)]

Par exemple A = Socrate ; A’ = les autres hommes ; B = tous les hommes ; B’ les mortels non-hommes ; C = tous les mortels. Donc les égalités finales signifieront que Socrate est mortel avec tous les autres hommes et avec tous les autres mortels, ou qu’il est un mortel.

Or, pourquoi un tel raisonnement est-il moins fécond qu’une déduction mathématique ? Simplement parce que B ne peut être défini que par les caractères communs à A et à A’ tandis que A a des caractères que ne comportent ni A’ ni B et que A’ possède également des caractères qui ne sont attribuables ni à A ni à B. En d’autres termes, c’est parce que la compréhension des concepts est inversement proportionnelle à leur extension. Dès lors le terme A n’est pas entièrement substituable à un A₂ quelconque situé en A’ mais il lui est équivalent seulement en tant que B : on a donc A [?] A₂ mais non pas A = A₂. Par exemple si, en tant qu’homme (B) Socrate (A) est substituable à un Barbare quelconque (A₂), il ne l’est pas à d’autres points de vue propres à Socrate lui-même. C’est pourquoi l’élément du groupement ne peut pas être A ou A₂, etc., parce que chaque terme demeure pour ainsi dire figé en ses emboîtements et il faut passer par l’intermédiaire de ces derniers pour composer l’un avec l’autre les deux différentes classes A (par exemple A + A₂ = B - A"₂, voir proposition 2 du chapitre IV). Les compositions d’un tel groupement seront donc peu nombreuses. Il serait erroné de réduire leur fécondité à rien, puisqu’une composition indéfinie de telles égalités est possible. Mais ces compositions ne consistent qu’en emboîtements et déboîtements sans que le compartimentage de chaque classe résulte des caractères de cette classe elle-même prise dans sa totalité, c’est-à-dire sans que les caractères différentiels des parties puissent être déduits de ceux du tout.

Dira-t-on qu’une telle différence entre les éléments de classes et les éléments de nombres résulte, malgré ce que [p. 274] nous disions à l’instant, d’un autre type de rapport entre le réel et l’esprit, les classes étant des coordinations de qualités, lesquelles ne peuvent se réduire les unes aux autres et les nombres étant des réunions d’unités homogènes et, par conséquent, identifiables ? Il est clair que le nombre fait abstraction des qualités tandis que l’objet d’une classification est précisément de le considérer. Mais, si cette différence explique psychologiquement l’opposition de structure entre les classes et les nombres, il reste que, du point de vue logique, la coordination A + A’ = B est aussi opératoire que la coordination 1 + 1 = 2, et que seules les divergences de composition, soit les règles (A [?] A’) et (A + A = A), comparées à (1 = 1) et (1 + 1 = 2), expliquent les différences de fécondité.

Si nous passons aux relations, nous trouvons comme élément un raisonnement procédant par coordination directe et ne nécessitant aucune intervention des classes :

(A [?] B) + (B [?] C) = A [?] C)

Par exemple : si B est plus vertueux que A et si C l’est plus que B alors C l’est plus que A. La nouveauté de ce raisonnement, comparé au précédent, est que la relation a’ constitue pour ainsi parler la suite homogène de la relation a, c’est-à-dire qu’elle ne contient pas d’autres termes d’ordre a, mais se rattache directement à lui. En effet, si Socrate (A) est un homme (B), la classe (A’) contient des millions d’autres termes que l’on aurait pu appeler A également et que l’on définit par la simple négative B − A = A’. Au contraire la relation B [?] C est une unité qualitative en elle-même, comparable à A [?] B sans lui être substituable dans la série. C’est cette opposition que nous avons caractérisée (chap. VII, Remarque III) par l’impossibilité dans laquelle on se trouve d’appliquer l’addition complète à une suite de relations asymétriques, c’est-à-dire non issues de correspondances co-univoques. Dès lors, la relation b, soit (A [?]C), contient les caractères de la relation a et ceux de la relation a’, en plus des siens propres, c’est-à-dire qu’en une série linéaire la compréhension est proportionnelle à l’extension (voir même Remarque). La classe A diffère de la classe A’ ou des classes A₂ incluses en A’ par [p. 275] des caractères différentiels qui n’entrent pas dans la définition de B, tandis que les caractères différentiels des termes de relations A et B, soit la différence elle-même A [?]B, ainsi que les caractères différentiels de B et de C, soit la différence B [?]C entrent tous deux dans la définition de la série de relations A [?]C. Ces relations étant des inégalités, ce sont donc précisément les caractères différentiels des relations élémentaires qui constituent la relation totale, et c’est là leur grande opposition avec les classes. Dira-t-on que la relation A → C envisagée en elle-même et indépendamment de son ordre b ne contient pas la relation B → C ? Mais si je pose une relation asymétrique quelconque Y → Z, j’admets par là même la possibilité d’une série de relations intermédiaires entre Y et Z telles que chaque terme soit à la fois Y [?]T et T [?]Z. Il reste donc que la relation Y → Z ou A [?]C contient en elle une série virtuelle de relations, résultant de son propre fractionnement en tant que relation totale, et toutes différentes les unes des autres, tandis que la classe B ne contient en elle que des classes A toutes équivalentes du point de vue de B et dont les caractères différentiels n’entrent pas dans la compréhension de B. Donc le compartimentage d’une relation dépend en un sens de la définition du tout, tandis que celui d’une classe ne découle pas des caractères de l’ensemble.

C’est pourquoi, comparé au syllogisme, le raisonnement par coordination de relations est plus fécond parce qu’il repose sur des groupements plus riches en compositions que les groupes de classes. La comparaison des groupes VII et surtout VIII avec les groupes I-IV en témoigne éloquemment. Mais, comparée à la déduction mathématique, la simple coordination des relations est encore peu féconde. La raison, pour ainsi dire externe, en est que les relations, étant des rapports qualificatifs, bien qu’elles constituent en tant que rapports un début de quantification, comportent des « domaines » respectifs entre lesquels on trouve toutes les transitions entre l’indépendance complète, l’interférence et la correspondance entière. D’où les limites des coordinations d’un domaine à l’autre. Entre les relations mathématiques par contre, il s’établit beaucoup plus de liaisons entre un domaine et un autre, malgré une situation de départ semblable. La raison interne en est la suivante : la relation logique ne connaît ni mesure, ni unité ni par [p. 276] conséquent d’itération. Par exemple si A < X et si A < Y on ne sait pas si X = Y ou X ≷ Y, parce que la relation « plus petit » n’est pas une mesure. Si l’on série A, X et Y on peut poser A[?]X et X [?]Y mais aucun procédé purement logique n’autorise à égaler a = a’, s’ils sont par ailleurs distincts. Dès lors si b = a + a’ on ne peut poser b = a + a et on est obligé de tautifier les relations identiques : a + a = a.

En un mot, les raisonnements relatifs sont plus féconds que les syllogismes parce que les termes réunis en une classe sont équivalents à ce point de vue et que leurs caractères différentiels ne peuvent être composés comme tels tandis que les différences elles-mêmes entrent dans la composition des relations totales. Mais les relations n’étant alors précisément plus substituables les unes aux autres, elles ne comportent pas non plus d’itération, d’où la pauvreté de leurs combinaisons comparées aux mathématiques.

Enfin le raisonnement mathématique portant sur des unités à la fois substituables et sériables, c’est-à-dire sur des classes et des relations fondues en totalités organiques, il y a itération de ces unités et c’est pourquoi ce type de déduction est indéfiniment fécond.

Du point de vue du raisonnement lui-même, nous retrouvons ainsi une commune nature entre les classes, les relations et les nombres, puisque tous trois donnent lieu à des raisonnements productifs et rigoureux à la fois. Mais la fécondité indéfinie due à des compositions illimitées est seule l’apanage des mathématiques, parce que la possibilité de l’itération est due à la fusion de la classe et de la relation dont aucune des deux séparément ne suffit à engendrer un tel mécanisme. Les classes et les relations ne sont à cet égard que des mathématiques incomplètes : elles sont, il est vrai, complémentaires, et leur complémentarité leur permet de dominer le monde des qualités. Mais pour structurer la qualité en un réseau qui la double d’une quantification précise, il faut dépasser la complémentarité et c’est en cela que consiste l’oeuvre de la déduction itérante ou déduction proprement mathématique.

Quant aux domaines si nombreux des mathématiques que l’on appelle « qualitatifs » parce qu’ils ne font intervenir ni le nombre proprement dit, ni la mesure, il est facile de voir qu’ils diffèrent aussi de la simple logique qualitative. Un emboîtement purement logique, tel que A + A’ = B, ne [p. 277] suppose, en effet, aucune relation quantitative entre A et A’ : on peut avoir A > A’ ou A < A’ comme A = A’. Le nombre ou la métrique impliquent au contraire l’égalité A = A’, d’où B = 2 A. Quant aux emboîtements mathématiques non métriques, ils supposent toujours eux aussi une comparaison quantitative entre A et A’, mais autre que l’égalité. Par exemple, une suite d’emboîtements convergeant vers un point limite (cf. le postulat de Cantor sur le continu, etc.) implique, si A, B, C,… sont les classes emboîtées et A’, B’, C’… leurs différences, les suites A < A’ <B’ < …ou A > A’> B’> … Il va de soi qu’alors, même sans itération d’une unité, il y a itération d’un rapport et que la déduction mathématique peut à nouveau dépasser ainsi le cadre étroit des classes ou des relations dissociées ⁶.