Chapitre IV.
Le groupement de l’addition secondaire des classes (Groupement II) ^a 🔗

On a vu (Chap. III, Remarque IV) comment on peut exprimer au moyen du schéma de l’addition simple des classes une suite de termes dont les classes secondaires A’, B’, C’… ne contiennent chacune qu’une seule classe d’ordre A. Quels rapports peut-on dès lors établir entre une telle suite et le schéma de l’addition secondaire ? La question n’est pas seulement formelle. Les deux pôles de l’univers logique sont en effet la classification hiérarchique et la sériation linéaire (Chap. III, Remarque V) et nous retrouverons au cours de toute notre analyse l’opposition de ces deux formes de groupement. Mais si elles diffèrent l’une de l’autre, chacune peut être traduite dans le langage de l’autre et il est même intéressant de tenter cette traduction formelle parce qu’elle contribue précisément à marquer la dualité de fond. Cherchons donc à déterminer ce que devient une suite de classes simples dans le cadre des propositions (1) à (9) du présent sous-groupement.

On a d’abord (en vertu de la prop. 1) :

(1 bis) A₃ + A’ (= A₂) + B’ (= B₃ = A₃) + C’ (= C₄ = B₄ = A₄)

…etc.

où

A’’₂ = 0 ; A’₃ = 0 ; B’’₃ = 0 ; A’₄ = 0 ; B’₄ = 0 ; C’’₄ = 0

…etc.

[p. 67] Si l’on compare cette proposition (1 bis) au tableau (1) de ce chapitre, on retrouve donc la forme générale de l’addition secondaire, mais réduite au cas particulier dans lequel chaque classe secondaire est constituée par une seule classe d’ordre A, les autres classes possibles étant nulles. On a alors, en vertu de 2, 3… etc. :

(2 bis) A₂ + A = B ; A₃ (= B₃) + B = C ; A₄ (= B₄ = C₄) + C = D ;

… etc.

(3 bis) A₂ + A’ (= A₂) = A’ ; A₃ + B’ ( = A₃) = B’ ; B₃ (= A₃) + B’ (= A₃) = B’ ;

… etc.

(4 bis) A’₃ (= 0) + B’ = B’ ; A’₄ (= 0) + C’ = C’ ; B’₄ (= 0) + C = C’ ;

… etc.

(5 bis) A + A’₂ (= A) = A ; A + B’₃ (= B) = B ; B + B’₃ (= B) = B ;

… etc.

(6 bis) A’ + B’₃ (= B) = B ; A’ + C’₄ (= C) = C ; B’ + C’₄ (= C) = C ;

…etc.

(7 bis) A + A’ = B A₂ (= A’) + A’₂ (= A) = B

… etc.

et (8 bis) ou (9 bis) A’ + A’₂ (= A) = B

B’ + B’₃ (= B) = C

… etc.

Nous retrouverons ces cas particuliers du présent groupement lorsque nous traduirons les rapports de classes en relations symétriques et que, nous appliquerons le schéma des relations symétriques, en général (Chap. VIII) au cas particulier d’une série linéaire simple (Chap. VIII, Remarque II).

Pour montrer d’autre part la fécondité de la distinction des classes primaires et des classes secondaires, principe des compositions de ce sous-groupement, et pour préparer la discussion des deux Remarques suivantes sur la hiérarchie des classes, il nous parait utile de faire voir dès maintenant en quoi les propositions précédentes, et spécialement les propositions (6 bis) et (9) permettent la composition des relations symétriques.

Nous avons déjà vu (Chap. I) en quoi les relations symétriques transitives sont des « relations de classes ». Si L est frère de M et de N, par exemple, cela signifie que tous trois sont fils d’un même père : ainsi définis comme équivalents en tant que reliés par la même relation symétrique [p. 68] et transitive, ils constituent bien une classe. Nous appellerons classe A cette classe de frères et a↔ la relation existant entre les individus qui en font partie. En outre, si ceux-ci ont le même grand-père, d’autres individus encore peuvent être les petits-fils de ce dernier. Nous appellerons B la classe de tous ces petits-fils : la classe B inclut A, et ses éléments sont reliés par la relation symétrique et transitive b↔ (= qui a le même grand-père). Donc, si la classe A est incluse en B, d’autres classes d’ordre A le sont également, c’est-à-dire que tous les petits-fils de ce même grand-père ne sont pas nécessairement frères entre eux : à côté de A₁ comprenant les individus L, M, N… etc., nous devrons distinguer en B l’éventualité des classes A₂, etc. comprenant d’autres petits-fils du même grand-père, frères entre eux, mais non pas frères de A₁, etc. Or, si les individus de A₂ ne sont pas frères de ceux de A₁, ils soutiennent avec eux une relation que nous pouvons définir par la soustraction (B − A = A’), d’où a’↔, c’est-à-dire « qui a le même grand-père mais pas le même père » et qui est la relation de « cousin-germain ». En langage de classes, cela revient à dire que relativement à A1 il existe une classe secondaire A’₁ (soit B − A₁ = A’₁) et que relativement à A₂ il existe une autre classe secondaire A’₂ (soit B − A₂ = A’₂). Ces deux classes A’₁ et A’₂ étant vicariantes et les deux classes A₁ et A₂ équivalentes en B (A₁ B= A₂, voir Chap. III, prop. 26), il s’ensuit que la relation a’↔ est symétrique comme la relation a↔. En effet, si un individu de A₂ est cousin germain d’un individu de A₁, parce que pour A₁ la classe A₂ est en A’₁, réciproquement l’individu de A₁ est cousin germain de celui de A₂ parce que pour A₂ la classe A₁ est en A’₂. Seulement, la relation a’↔ est symétrique, mais non pas transitive : le cousin germain de mon cousin germain n’est pas nécessairement mon cousin germain, car il peut être mon frère ou moi-même. La raison en est précisément que, si la relation a↔ est une relation de classe, parce qu’unissant entre eux les individus de la même classe A, la relation a’↔ n’est plus, par contre, une relation de même classe, mais de classes différentes, parce qu’elle unit un individu de A à un individu de A’ (par exemple un A₁ à un A’₁ ou un A₂ à un A’₂). Nous dirons qu’elle est une « relation de classes complémentaires » (si A et A’, B et B’, C et C’… etc., sont appelées [p. 69] classes complémentaires) ou altérité et qu’elle signifie : « Y a’↔ Z = Y appartient à une autre classe d’ordre A que Z, mais incluse dans la même classe d’ordre B ». Cela explique donc que cette relation soit à la fois symétrique et non-transitive.

On voit d’emblée combien le mécanisme des classes primaires et secondaires est apte à rendre compte de celui des relations symétriques et nous montrerons à l’instant comment la proposition (9) du présent groupe fournit la solution du problème de la composition des relations symétriques non-transitives ou « relations de classes complémentaires ». Examinons auparavant le principe général du passage des classes à ce type de relations.

Si les relations a↔, a’↔ et b’↔ sont définies comme on vient de voir, il est facile de prolonger cette construction : la relation b’↔ signifiera « qui a le même arrière-grand-père » ; mais pas le même grand-père » (ou « cousin issu de germain ») ; c↔ = « qui a le même arrière-grand-père » ; d↔ = « qui a le même arrière-arrière-grand-père » ; … etc. Nous n’envisagerons pour simplifier que des collatéraux mâles, indépendamment de leurs alliances, c’est-à-dire issus du même ancêtre, chacun des ascendants ayant eu plusieurs fils. Ces relations expriment ainsi le système de classes suivant :

A = un ensemble de frères.

A’ = les cousins germains des A.

B’ = les « cousins issus de germain » de A.

… etc.

B = les petits-fils du grand-père des A.

C = les arrière-petits-fils de l’arrière-grand-père des A.

… etc.

A₂ = un ensemble de frères choisis en A’.

A’₂ = les cousins germains des A₂.

A₃ = un ensemble de frères choisis en B’.

A’₃ = les cousins germains des A₃.

B₃ = les A₃ et A’₃ réunis.

B’₃ = les cousins issus de germains des A₃.

… etc.

Pour traduire une opération d’addition secondaire de classes en une addition secondaire de relations, il suffit d’observer les principes suivants.

[p. 70] Soit trois individus X, Y et Z appartenant à trois quelconques des classes précédentes : 1° Nous dirons qu’il existe entre X et Y la relation X a↔ Y s’ils appartiennent à la même classe d’ordre A ; une relation X b↔ Y s’ils appartiennent à la même classe d’ordre B, etc. 2° Il existe entre X et Y la relation X a’↔ Y si Y appartient à une classe A’ définie par rapport à la classe A dans laquelle est situé X et si X appartient à une classe A’ définie par rapport à la classe A à laquelle appartient Y ; une relation X b’↔ Y si Y est situé dans une classe B’ par rapport à la classe B à laquelle appartient X et réciproquement ; … etc. 3° Quant à l’addition des deux relations X ↔ Y et Y ↔ Z, dont le produit est X ↔ Z, elle résulte de l’emboîtement de la classe de Z dans celle de Y, la classe de Z étant définie par rapport à celle de Y et celle de Y par rapport à celle de X. 4° Si la classe de Y (définie par rapport à celle de X) est d’ordre inférieur à celle de Z (définie par rapport à celle de Y), alors l’addition des deux relations résulte de l’emboîtement de la classe de X (définie par rapport à celle de Y) dans celle de Y (définie par rapport à celle de Z).

Par exemple (X a↔ Y) + (Y a’↔ Z) = (X a’↔ Z) parce que, si X et Y sont en A et Z en A₂, alors X est en A’₂ pour Z et A + A’₂ = A’₂, d’où la relation (X a’↔ Z).

On obtient ainsi les trois sortes de compositions essentielles de ces relations, qui correspondent aux trois compositions principales du groupement des additions secondaires de classes.

En premier, on a, en vertu des règles générales de tautologie et de résorption (nous écrirons simplement a, a’, b, etc., pour désigner les relations a↔, a’↔, b↔, etc.) :

a + a = a parce que A + A = A

b + b = b parce que B + B = B

c + c = c parce que C + C = C

etc.

ou a + b = b parce que A + B = B

a + c = c parce que A + C = C

b + c = c parce que B + C = C

etc.

En second lieu, on a, en vertu des propositions (3) à (6) :

[p. 71]a + a’ = a’ parce que A + A’₂ = A’₂

a + b’ = b’ parce que (A + B = B et que) B + B’₃ = B’₃

a + c’ = c’ parce que (A +C = C et que) C + C’₄ = C’₄

etc.

ou b + b’ = b’ parce que B + B’₃ = B’₃

c + c’ = c’ parce que C + C’₄ = C’₄

etc.

a’ + a = a’ parce que A’ + A₂ = A’

b’ + a = b’ parce que B’ + A₃ = B’

c’ + a = c’ parce que C’ + A’₄ = C’

etc.

ou b’+ b = b’ parce que B’ + B₃ = B’

c’ + b = c’ parce que C’ + B₄ = C’

c’ + c = c’ parce que C’ + C₄ = C’

etc.

D’autre part, on a pour les mêmes raisons :

a’ + b’ = b’ parce que A’ + B’₃ = B’₃

a’ + c’ = c’ parce que A’ + C’₄ = C’₄

b’ + c’ = c’ parce que B’ + C’₄ = C’₄

b’ + d’ = d’ parce que B’ + D’₅ = D’₅

etc.

et b’ +a’ = b’ parce que B’ + A’₃ = B’

c’ + a’ = c’ parce que C’ + A’₄ = C’

c’ + b’ = b’ parce que C’ + B’₄ = C’

etc.

On voit que toutes les compositions précédentes sont des tautologies et des résorptions, résultant en premier lieu de l’emboîtement des classes primaires les unes dans les autres, et en second lieu de l’emboîtement dans les classes secondaires. Il reste à examiner un troisième cas, celui précisément de la réunion, non plus tautologique ou résorbante, mais proprement additive, de deux classes secondaires de même ordre (a’ + a’ = ?) ou (b’ + b’ = ?) ; …etc. Or, en vertu exactement des mêmes principes que les compositions précédentes, on a, par suite de la proposition (9), les opérations :

a’ + a’ = b parce que A’n + A’m = B

b’ + b’ =c parce que B’n + B’m = C

c’ + c’ = d parce que C’n + C’m = D

etc.

En effet, si X et Y soutiennent l’un avec l’autre la relation a’ (c’est-à-dire s’ils sont cousins germains) cela [p. 72] signifie qu’ils ne font pas partie de la même classe A, mais que X est en A et Y est en A’, par exemple en A₂ (c’est-à-dire dans un ensemble quelconque de frères choisis en A’). Dès lors, si Y et Z présentent également la relation a’, alors Z ne peut pas appartenir à A₂, mais à une autre classe quelconque de B (y compris A et exclue seulement A2) et Y est en A’₂ pour lui. D’où A’ + A’₂ = B, c’est-à-dire a’ + a’ = b.

Nous voici donc déjà, grâce à l’addition secondaire des classes, en possession des propositions essentielles qui détermineront le groupement des additions de relations symétriques, et, avec elles, celui des multiplications co-univoques.

Les compositions de la section 2 du chapitre III, ainsi que celles de l’addition secondaire des classes, soulèvent un problème important pour l’intelligence des groupes logiques et qui est celui de la légitimité de la sériation des classes en fonction de leur rang d’extension ou de leur ordre hiérarchique. Nous discuterons d’abord ce problème en relation seulement avec les opérations effectuées jusqu’ici, sans nous référer à la « théorie des types » (ou aux différentes théories des types) que les logisticiens doivent à l’ingéniosité de M. Russell, et dont nous parlerons à la Remarque IV.

Une première remarque est indispensable. Les indices numériques dont nous nous sommes servis (A2, B3, etc.) se bornent, il va de soi, à différencier les classes de même rang et à les faire correspondre aux classes secondaires d’ensemble A’, B’, C’… etc. Ils n’impliquent donc l’intervention d’aucune opération numérique et A₃, par exemple, doit simplement se lire : « Une classe d’ordre A qui appartient à B’ ». Par contre, les opérations de l’addition secondaire font intervenir la notion de l’« ordre » ou du « rang » occupé par une classe. Une classe de rang A n’est pas subdivisée. Une classe de rang B contient une classe A et une classe A’ ; une classe de rang C contient une classe B et une classe B’ ; … etc. Les classes secondaires d’une suite quelconque peuvent être composées au maximum, c’est-à-dire conformément au tableau (1) de ce chapitre, ou présenter moins d’éléments, mais elles n’en supposent pas moins chacune un rang bien défini par le fait qu’elles sont construites en relation avec les classes primaires. Seulement, [p. 73] ce rang n’implique lui non plus aucune numération : par exemple, il est clair qu’un « genre » zoologique peut contenir plusieurs espèces ou une seule, sans que leur nombre intervienne, qu’une « famille » contient un ou plusieurs genres en nombre indéterminé, un « ordre » une ou plusieurs familles, etc. C’est le principe, purement classificatoire, de la hiérarchie des emboîtements, qui justifie les deux sortes d’opérations envisagées jusqu’ici.

Mais, si l’on peut ainsi assurément considérer la classe A comme une sorte d’unité qualitative de composition, et les classes B, C, D… ou A’, B’, C’… etc. comme occupant un rang différent, mais déterminé par rapport à A, il est évident que le contenu de ces classes demeure entièrement relatif.

La chose va d’ailleurs de soi puisque la situation est semblable pour la numération elle-même. Les additions (1 + 1 = 2), (2 + 1 = 3), etc., restent vraies quels que soient les contenus concrets auxquels s’appliquent ces nombres. Si je compte des cailloux, alors (1 caillou + 1 caillou 2 = cailloux), mais si je compte des tas de cailloux alors (1 tas + 1 tas = 2 tas) ou si je pulvérise un caillou, alors (1 grain de sable + 1 autre grain = 2 grains de sable). Dans la numération comme dans la classification, la signification de l’unité de départ 1 ou A est relative au contenu choisi et l’échelle inférieure à cette unité n’entre pas en ligne de compte. De même, tout nouvel élément considéré est à concevoir relativement aux termes antérieurs : si je compte les cailloux comme tels, un 3e caillou s’ajoutera à 2 (2 + 1 = 3), mais si je compte les tas, un caillou isolé ne sera envisagé que comme partie intégrante de l’un de ces tas. Nous nous excusons de rappeler ces vérités premières, mais comme les classes logiques étant qualitatives, ne possèdent pas d’unité itérante, il est plus difficile de dissocier à leur sujet la forme et le contenu : une comparaison avec la numération concrète est donc de nature à faciliter la position du problème.

C’est ainsi que — pour nous en tenir à la classification zoologique — nous pouvons appeler A un individu (ou plutôt la classe à terme unique qui contient cet individu), A’ ses descendants de première génération (d’où B = A + A’) et B’ la deuxième génération (d’où C = B + B’). Ou bien A peut être une espèce, B un genre et C une famille ; ou A une famille, B un sous-ordre et C un ordre ; ou A une classe zoologique, B un embranchement et C le règne animal [p. 74] tout entier, etc. Tout ce que signifie A est que nous prenons cette classe (qui peut être à terme unique ou d’extension que l’on voudra), comme point de départ indivisé, B comme une classe d’ordre immédiatement supérieur et C d’ordre suivant. Mais encore le caractère « immédiatement supérieur » demeure tout relatif, car je puis sauter de l’individu A à l’espèce, au genre, à la famille, etc. et choisir B où me semble bon pourvu que B comprenne toute la classe A.

Néanmoins, relativement les unes aux autres, nous avons le droit de considérer la classe A comme unité logique, la classe B comme composée de A et du reste A’, et la classe C comme formée de B et du reste B’, et, une fois choisie, la signification des termes de départ, le rang des nouveaux termes que l’on peut ajouter est parfaitement déterminé. Par exemple, si j’appelle A_n = le Chat domestique, B_n le genre Chat et C_n la famille des Félins (suivant l’exemple donné pour ce chapitre) et que je désire réunir à cette suite une autre suite formée de A_m les Carnassiers et B_m les Mammifères, on a alors (Chap. III, Sect. 2) C_n + B_m = E parce que C_n est directement emboîtable en A_m : par conséquent, A_m devient D_n et B_m devient E_n (de même que C’_n est défini par D_n — C_n et que D’_n est défini par E_n − D_n c’est-à-dire par B_m − A_m). Par contre, si à la suite A_n… C_n je veux additionner une autre suite constituée par A_x = le Lion d’Afrique + A’_x les autres espèces de Lion, et B_x = le genre Lion, je dois situer A_x, A’_x et B_x en C_n et alors A_x devient une classe de B’_n : par exemple A_x devient A₃ du tableau (1), A’_x devient A’₃ et B_x devient B₃. Cette nécessité montre assez que si le choix du contenu des classes de rang A, B, C… est entièrement libre, une fois les conventions posées, les compositions qui s’ensuivent sont bien déterminées.

Mais, lorsqu’une classification est admise, on peut se demander au nom de quel critère on assigne à une nouvelle classe quelconque considérée à l’intérieur de A’, de B’, de C’… etc., un rang particulier d’ordre A_n ou A’_n, B_n ou B’_n… etc. Un exemple pratique fixera immédiatement la portée du problème. Supposons que la classification A… G choisie pour illustrer le tableau (1) de ce chapitre ait été élaborée avant la découverte des Ornithorhynques. Nous avons donc A = une espèce zoologique, B un genre, C une famille, D = l’ordre des Carnassiers, D’ = les [p. 75] autres ordres de Mammifères, etc. Nous nous trouvons alors en présence d’un nouvel animal, qui est bien un Vertébré (F), Mammifère (E) mais qui ne rentre dans aucune des classes logiques définies jusque-là en E, puisqu’il est pourvu d’un bec d’oiseau, d’un cloaque, etc., qui le distinguent des autres Mammifères. Il faut donc construire pour lui une nouvelle classe logique : mais sera-t-elle de rang A, B, C… etc. ?

La réponse donnée à de telles questions par la classification zoologique — qui est un modèle de classification cohérente par opposition à celles du langage usuel — est d’un vif intérêt pour notre propos, parce qu’elle montre le caractère nécessaire des divers ordres hiérarchiques de classes, une fois admise conventionnellement une série de départ. Supposons qu’on n’ait découvert que deux ou trois représentants individuels de l’Ornithorynque (ou même un seul) sans aucune espèce affine. Il faudra faire pour ces quelques individus une nouvelle espèce, donc A_x. Mais cette nouvelle espèce ne rentrant dans aucun genre connu, il faudra baptiser aussi un nouveau genre B_x (ne contenant que l’espèce A_x). Ce genre lui-même ne rentrant dans aucune famille du tableau, on construira la famille C_x (à un seul genre B_x) et cette famille elle-même ne rentrant ni dans les Carnassiers, ni dans les Marsupiaux, ni dans les Rongeurs, etc., on devra construire encore un nouvel ordre D_x (ne contenant que C_x), cet ordre étant donc à situer en E (et en D’ par rapport aux D connus). Bref, trois individus nouveaux inclassables dans les emboîtements admis jusque-là (et cette éventualité se réalise souvent en Paléontologie) supposera une série de classes nouvelles A_x, B_x, C_x et D_x à situer en E et telles que A’_x = 0 ; B’_x = 0 et C’_x = 0 (cf. prop. 1 bis in Remarque I).

Cet exemple montre combien les divers rangs considérés, une fois posé conventionnellement un cadre hiérarchique de départ, n’ont plus rien d’arbitraire mais deviennent nécessaires. Cette nécessité est ainsi d’ordre hypothético-déductif, comme celle dont bénéficie un corps de propositions mathématiques une fois admises les définitions de départ. Il suffira naturellement de changer les conventions fixant la signification concrète (le contenu) des classes A… E pour qu’une classe quelconque N comprise entre l’ordre A et l’ordre E change d’ordre hiérarchique. Mais quelles que soient les conventions d’où l’on part, une classe [p. 76] quelconque trouvera toujours un rang nécessaire si la classification est cohérente. C’est cette nécessité hypothético-inclusive, pourrait-on dire, qui assure aux groupements I et II leur valeur de groupements logiques.

Pour éviter les antinomies résultant de l’emploi des classes qui se contiennent elles-mêmes comme éléments (les catalogues qui se cataloguent eux-mêmes, ou le menteur qui déclare lui-même qu’il ment, etc.), M. Russell a élaboré une « théorie des types », dont les logisticiens admettent communément les principes, ou du moins certains d’entre eux (jusqu’à, et non compris en général, l’« axiome de réductibilité » dont H. Poincaré a déclaré en des pages célèbres qu’il n’était point certain d’en avoir saisi la signification et dont on nous dispensera donc de parler ici).

Les individus réunis en une classe élémentaire constituent un premier niveau de hiérarchie, antérieur à la classification elle-même (puisqu’il faut distinguer une classe même à terme unique et le ou les individus qu’elle subsume) : ce niveau peut donc être appelé le type zéro ou t (0). Les classes qui réunissent directement des individus de t (0) constituent le t (1). Les classes composées de classes de t (1) sont elles-mêmes d’un nouveau type ou t (2), et ainsi de suite. Le principe essentiel de la théorie des types en logique des classes est qu’une même fonction propositionnelle à une valence (= une classe, voir chap. I) ne saurait être saturée par des valeurs de types différents, autrement dit que les termes réunis en une même classe ne sauraient comprendre cette classe comme telle.

On peut donc se demander si la hiérarchie des classes primaires A, B, C… et secondaires A’, B’, C’… etc., dont nous nous sommes servis jusqu’ici, est conforme à la théorie des types ou se confond avec elle. La réponse dépendra du sens absolu ou relatif que l’on peut donner à cette graduation.

Une première remarque s’impose. Nous n’avons été conduits à admettre aucune classe primaire ou secondaire qui se contienne elle-même comme élément, puisque nous n’envisageons jamais que des classes finies et définissons chaque classe primaire par la réunion des classes d’ordre [p. 77] inférieur qu’elle subsume. Une classe B est une réunion de classes d’ordre A (A, et les autres classes A réunies en A’), etc. Quant à la classe A, elle est par définition la réunion des éléments non-classés en eux-mêmes, qui sont donc bien de type t (0). Si, pour la forme, nous réunissons sans cesse une classe à elle-même A + A = A ; B + B = B… etc., cela n’entraîne donc aucune des antinomies des classes qui se comprennent comme élément, puisqu’alors il y a tautologie pure et simple.

Mais comme on a vu (Remarque III) il est impossible d’attribuer à cette hiérarchie une valeur autre que relative à l’opération en cours. Pour ce qui est des rapports entre la forme et le contenu, cela est évident : de même que l’on peut appliquer la numération à n’importe quel ordre de réalité physique et considérer ainsi comme unités à dénombrer un objet quelconque, de l’atome aux systèmes astronomiques, de même on peut appliquer les classes de t (1) à n’importe quelle unité qualitative et considérer l’ordre inférieur comme étant de t (0). Mais la question intéressante n’est pas celle de cette relativité de contenu : c’est elle de la relativité formelle, c’est-à-dire du type à attribuer aux classes secondaires, ou des rapports entre la hiérarchie des emboîtements et la juxtaposition des unités d’une énumération simple. Ces deux derniers problèmes n’en constituent d’ailleurs qu’un seul.

Soit, en effet, une classe d’ordre B réunissant plusieurs classes d’ordre A. Ces dernières seront donc du type t (1) et la classe B du type t (2). Mais si j’appelle A₁ l’une quelconque de ces classes d’ordre t (1) et que je réunisse « les autres » classes d’ordre A sous la désignation de A’, cet ensemble A’ est-il lui-même une classe de type t (1) ou de type t (2) ? On répondra peut-être qu’il est une classe partielle ou fractionnaire, une « Teilklasse » de B, et qu’ainsi A’ est d’ordre t (1) puisqu’il n’est composé que de « quelques classes d’ordre A ». Seulement, si l’ensemble A’ est une réunion de classes d’ordre A, c’est-à-dire de type t (1), de quel droit refuserons-nous à cet ensemble la qualité de classe ? On a vu au contraire (Remarque II) combien il peut être utile d’envisager les classes secondaires A’, B’, C’… etc., comme de vraies classes, puisqu’elles permettent le calcul des relations symétriques non-transitives, d’ordre a’↔, b’↔, c’↔,… etc. et qu’à cet égard, elles constituent les « classes complémentaires » des classes A, B, C… etc. En outre, indépendamment de toute relation, on a [p. 78] toujours le droit de réunir deux ou plusieurs classes quelconques en une nouvelle classe, puisque l’opération de l’addition des classes est générale et non pas limitée à la réunion de « tous les A » en B. Par exemple, si B = les États scandinaves et A = la Norvège, alors A’ = les États scandinaves sauf la Norvège et A’ est donc une classe concevable. Sans doute, est-elle fractionnaire (Chap. III, Remarque I), bien qu’il n’y ait pas en soi de fractions de classes. Mais, même à titre de fraction de B, elle contient elle-même plusieurs classes d’ordre A. Elle est alors du type t (2), et il faut, dans ce cas attribuer l’ordre t (3) à B, car A₁ qui est du type t (1) est lui-même et réciproquement, inclus en une classe A’₂ de type t (2), en vertu des propositions (5) et (6) de ce Chapitre : il suffit donc qu’il existe une classe secondaire A’ en B pour que B soit de type t (3), que A’ soit de type t (2) en tant que comprenant A₂ qui est de type t (1) et qu’il faille construire une autre classe A’₂ de type t (2) qui comprenne elle-même la classe A, de type t (1). C’est bien ce que nous avons admis dans toutes les compositions de ce Chapitre, en particulier les propositions 7 et 7 bis (7 bis dans la Remarque I).

Mais ce n’est pas tout. A’ peut se subdiviser lui-même en A₂ + A"₂. Dans ce cas A₂ sera réciproquement à situer en une classe A" par rapport à l’une de celles de A"₂, et les mêmes opérations sont à pratiquer en A’₂. D’où un type de plus à intercaler entre A et A’, soit A = t (1) ; A" = t (2) ; A’ = t (3) et B = t (4). Puis, si l’on répartit A"₂ en une classe A et une classe A", il faudra intercaler un type de plus entre les classes A de type t (1) et les classes A", et ainsi de suite. Bref, si dans B = A + A’ la classe secondaire A’ ne contient qu’une classe, la classe B est de type t (3), si A’ contient deux classes, on a A, A’, A" et la classe B est de type t (4) ; si A’ contient trois classes, on a A, A’, A’’, A’’’ et la classe B est de type t (5) ; …etc. C’est seulement si B ne contient qu’une classe A et que A’ = 0 que la classe B est de type t (2) et le type de B est à élever d’un rang chaque fois que l’on ajoute une classe d’ordre A. La hiérarchie des types finit ainsi par se confondre avec la numération ou l’énumération des classes d’ordre A. Le même raisonnement vaut pour les rapports de B, B’ et C ; de C, C’ et D ; … etc.

La seule manière d’éviter ces conséquences serait d’établir une distinction absolue entre les classes entières « tous les x » et les classes fractionnaires « quelques x ». Mais on voit [p. 79] combien une telle distinction est arbitraire. Par exemple « la Suède » est une classe entière, « le Danemark et la Suède » est une autre classe entière, « la Suède, la Norvège et le Danemark » est encore une classe entière. C’est seulement si je pose, par hypothèse, cette dernière comme totalité et que je la définis comme telle (« tous les États scandinaves ») qu’alors « les États scandinaves sauf la Norvège » devient une classe fractionnaire. C’est pourquoi nous ne définissons les classes fractionnaires ou secondaires que par leur fonction momentanée et n’assignons pas le type absolu aux classes primaires, leur hiérarchie étant toute relative aux égalités considérées.

Quant à l’énumération simple, elle pose un problème de même nature. Si dans la classe des Etats Scandinaves, j’appelle A = le Danemark ; B = le Danemark et la Norvège ; C = le Danemark, la Norvège et la Suède, alors A’ = la Norvège et B’ = la Suède. En un tel cas, nous dirons (Remarque I de ce Chapitre) que A’ = A₂ ; B’ = A₃ = B₃ ; etc., et cela permettrait de considérer les objets individuels ainsi classés comme étant de type t (0), les trois classes A comme étant de type t (1), les classes B et B₃ comme étant de type t (2) et la classe C de type t (3). Mais si la forme est sauvée, nous retrouvons le même problème qu’à propos des classes fractionnaires. De deux choses l’une : ou bien la hiérarchie des types se réduit en fin de compte à une numération des classes elles-mêmes, ou bien elle s’en tient aux emboîtements qualitatifs et purement logiques, mais alors il faut se résigner à la relativité des types. C’est d’ailleurs sans doute avouer cette dernière avec bonne grâce que de parler, comme le fait M. Carnap, d’« équivoque » ou de « multivocité » méthodiques pour couvrir les simplifications que l’on est conduit à apporter en pratique à la théorie ⁵.

En conclusion, l’intérêt principal d’une théorie logique, pour qui n’est pas platonicien mais seulement psychologue, est de rendre compte de la rigueur formelle des compositions, tout en distinguant les opérations effectives des opérations fictives. C’est pourquoi nous n’avons pas d’autre prétention, en distinguant les divers ordres de classes primaires et secondaires, que de traduire le plus naïvement possible les démarche du raisonnement réel.

[p. 80] Les classes primaires sont ainsi constituées par les emboîtements que l’on choisit conventionnellement à titre de prémisses d’un raisonnement, et les classes secondaires expriment sans plus les fractions (que l’on néglige ordinairement dans la formulation verbale) relatives à ce système convenu d’inclusion de départ. Mais, une fois les conventions posées, chaque opération s’ensuit nécessairement, et si le « type » des classes varie selon le nombre de fractionnements que l’on convient de faire au sein des classes posées, le rang relatif de celles-ci est si bien déterminé que, comme on l’a vu à la Remarque II, c’est précisément le rang des classes secondaires qui commande le calcul des relations symétriques intransitives.