Chapitre IX.
Le groupement de la multiplication bi-univoque des relations (Groupement VII) ^a 🔗

Nous avons vu, au cours des chapitres V et VI comment l’addition des classes engendre leur multiplication dès qu’une suite additive devient principe de correspondance entre les classes d’une ou de plusieurs autres suites. La construction est exactement la même avec les relations : lorsqu’à une suite unidimensionnelle ou additive de relations on fait correspondre un ensemble de mêmes suites, mais en ordonnant ces correspondances selon une ou plusieurs autres sériations, on obtient une table multidimensionnelle, c’est-à-dire une multiplication. En d’autres termes, multiplier deux suites de relations consistera à associer chaque relation de la première à chacune de celles de la seconde et réciproquement.

Partons d’un exemple concret, d’où nous tirerons par généralisations successives les lois de ce groupement. Choisissons une collection de boules différant toutes les unes des autres soit par le poids, soit par le volume, soit par les deux à la fois, et supposons qu’on les fasse sérier à un enfant ignorant de toute mesure quantitative et qui utilisera ainsi uniquement les relations qualitatives « plus (ou moins) lourd » et « plus (ou moins) gros ». Il pourra d’abord réunir un ensemble de boules de même volume et établira leur sériation du point de vue du poids seul. S’il commence par les plus légères, il construira ainsi une rangée de gauche à droite. Chaque autre ensemble de boules de volumes différents des précédents, mais égaux entre

eux, lui permettra d’établir sur le même modèle une série de poids dont chacun sera égal à l’un de ceux de la rangée initiale. Il pourra alors sérier ces ensembles, mais cette fois du point de vue du volume. Il va de soi qu’il devra les ordonner selon une autre direction : s’il a sérié les poids en lignes horizontales, il superposera donc simplement ces rangées les unes aux autres : chaque boule sera ainsi de même volume que celles de la même rangée horizontale qu’elle et de même poids que celles de la même rangée verticale ; d’autre part, chaque déplacement de gauche à droite implique une augmentation de poids et chaque déplacement de haut en bas une augmentation de volume. D’où le tableau suivant, si A → B = « A est plus léger que B », et si A ↓ B = « A est plus petit que B » :

a…x a a…x a

(1) (A Y) × (A↓: Z)  = (A ↓: YZ) =

y y

a a’ b’ c’ d’

O  . .  .  . .  . …etc. Y

a a a a a

a a’ b’ c’ d’

 . .  .  . .  . …etc.

a’ a’ a’ a’ a’

a a’ b’ c’ d’

 . .  .  . .  . …etc.

b’ b’ b’ b’ b’

a a’ b’ c’ d’

 . .  .  . .  . …etc.

c’ c’ c’ c’ c’

a a’ b’ c’ d’

Z  . .  .  . .  . …etc.

: : : : : :

etc. etc. etc. etc. etc. etc.

Cela étant, deux sortes de compositions sont possibles. On peut tout d’abord composer ces relations avec d’autres encore. Par exemple on peut mettre les boules que nous venons de sérier selon leur poids et leur volume en correspondance avec d’autres collections analogues en ordonnant en outre le tout en fonction de nouveaux caractères (solidité, couleur, etc.) selon une ou plusieurs nouvelles dimensions (a… s ; ou a… t ; etc.). On aurait alors :

a…x a a…s a…x a a…s

(2) (A ↓: YZ) × (A T) = (A ↓: YZT)

y y

et ainsi de suite.

D’autre part, on peut multiplier n’importe quelles relations particulières du tableau (1) avec n’importe quelles autres. Nous distinguerons, à cet égard, deux sortes de notations. En premier lieu :

a…c a a…x a

(3) (A Y) × (A↓: Z)  = (A ↓: YZ)

b b

signifie que si l’on multiplie toutes les relations horizontales

de a à c entre A et Y avec les relations de a à b verticales entre

a a’ b’

A et Z on obtient toutes les associations →↓a →↓a →↓a et

a b’ b’

→↓a’ →↓a’ →↓a’ c’est-à-dire une partie quelconque du tableau (1). Cette opération, et toutes celles qui sont possibles avec elle, et que résume la formule (1), sont analogues aux multiplications bi-univoques de classes répondant aux com-

positions particulières du groupement III (prop. 4 du chap.

c

V). Or, si multiplier la relation ↓b par la relation → : signifie donc associer (↓a + a’) à (a+a’+b’) selon toutes les possibilités

a…c a

↓: nous pouvons, en second lieu, ne retenir de ces asso-

b

ciations que leur somme, c’est-à-dire l’association particulière

c c

→↓b. Donc, si le terme A est relié à B par la relation A → B et que B soit relié au terme C par la relation B ↓b C, nous avons alors :

c c

(4) (A → B) × (B ↓b C) = (A →↓b C)

ce qui signifie, si A, B et C représentent des termes quelcon-

c

ques du tableau (1) : si A est plus léger (→) que B à volume égal, et que B est plus petit (↓b) que C à poids égal, alors A est à la fois plus léger et plus petit que C.

Les correspondances bi-univoques de ce groupement de multiplications permettent donc de combiner les opérations que l’on distingue en général sous le nom de « multiplica-

tion logique » (= A présente deux relations à la fois avec C) et de « produit relatif » (A R B × B R C donc A R C). Le produit relatif ou « enchaînement » n’est en effet à concevoir ici que comme le mode de composition intérieure de la multiplication logique des relations.

De plus, on peut combiner ces opérations avec l’addition même des relations en jeu :

x x’ x+x’

(5) (A → B) + B → C) = (A → C)

b b’+c’ d

par exemple (→) + ( ) = (→), ou, selon la notation de la

b b d

section 2 du chapitre VII (→ + → = →)

(5 bis) (A ↓ y B) +(B ↓ y’ C) = (A ↓y + y’ C)

c

Il est clair, en effet, que toute relation (A → ↓ b C)

a + a’ + b’

(voir 4) peut être décomposée en (A ↓ a + a’ C)

puisque (4) est la somme des relations (3). Dès lors, lorsque deux relations à multiplier l’une par l’autre n’ont point d’éléments commun on peut toujours sur le modèle de la propo-

sition (9) du chapitre (V) additionner au préalable leurs éléments

x x’

pour les multiplier ensuite. Par exemple (↓y →) × (↓y’ →) =

0 puisqu’ils n’ont pas d’éléments communs. Mais (↓y + y’) ×

x+x’

(x + x’) = ↓y + y’ ). Nous écrirons donc, pour abréger :

x x’ x+x’

(6) (A ↓y → B) × (B ↓ y’ → C) = (A ↓y + y’ C)

x x’ x— x’

et (6 bis) (A ↓y → B) × (B ↑ y’ ← C) = (A ↓y — y’ C)

a b a

Par exemple (A ↓b → B) × (B ↑a ← C) = (A ↓a → C).

On peut composer selon, le même principe toutes les multiplications (→↓) × (→↓) ou (↓→) × (→↑) ou (→↑) ×(↓→), etc., et dans toutes les directions.

L’addition des relations (enchaînement ou Verkettung) n’est pas commutative, pas plus que la multiplication co-

x

univoque (groupement VIII). Par contre la multiplication bi-univoque l’est naturellement, puisqu’elle subordonne la « multiplication relative » et la « multiplication logique des relations » à un principe de correspondance bi-univoque. On a, dès lors la transformation fondamentale du groupement :

x x x x

(7) (A ↓y → B) = (A → ↓y B) ou (A ↑y → B) = (A → ↑y B)

Exemple :

d d d d

(A ↓c → B) = (A → ↓c B) ou (A ↑c → B) = (A → ↑c B)

et, en combinant (6) et (7) :

x x’ x x’

(7 bis) (A ↓y → B) × (B ↓y’ → C) = (A ↓y → ↓y’ → C) =

x x’ x x’

(A → → ↓y ↓y’ → C) = (A ↓y ↓y’ → → C) =

x x’ x x’

(A → ↓y → ↓y’ C) = (A ↓y’ → → ↓y C) = …etc

Par exemple :

a b c b a

(A → ↓b B) × (B → ↓c C) = (A↓e → C) = (A ↓c → ↓b → C)

…etc.

a b

selon toutes les permutations possibles entre → ↓b ↓c et →.

Il y a là un nouvel exemple de la « commutativité apparente » dont nous avons parlé à propos de la proposition (12) du chapitre VII, et qui provient du fait que les relations enchaînées ne sont pas les mêmes relations. En effet les multiplications (7) et (7bis) donnent simplement plusieurs itinéraires différents de A en B ou de A en C.

Les compositions du type (6) constituent une première figure, dont le schéma est (A →↓B) × (B →↓C). On peut concevoir une seconde figure, dont le type de composition sera :

x x’ x’ — x

(8) (A → ↓y B) × (A → ↓y’ C) = (B ↓y’ — y C)

Par exemple :

b a a

(A → ↓b B) × (A → ↓b C) = (B ← C), le déplacement vertical étant annulé (↓b — b = ↓0).

a a b

Ou (A → ↓b B) × (A ←↑a C) = (B ←↑c C) puisque — a — a = — b et que — a — b = — c .

Une troisième figure présente la disposition suivante :

x x’ x— x’

(9) (A → ↓y B) × (C — → ↓y’ B) = (A ↓y — y’ C)

c b a

Par exemple : (A → ↓b B) × (C → ↓a B) = (A → ↓a C) ou

c b e

(A → ↓b B) × (C ← ↑a B) = (A → ↓c C) ^[*] parce que c — (— b) = c + b = e ; etc.

Enfin une quatrième figure donne :

x x’ x +x’

(10) (A → ↓y B) × (C → ↓y’ A) = (B ↑y + y’ C)

b b d

soit (A → ↓a B) × (C → ↓b A) = (B ←↑c C)

(11) Associativité. Soit, par exemple :

a a b o

(A → ↓a B) × (B → ↓a C) × (C ← D) = (A → ↓o D)

Si nous appelons α le premier de ces produits, β le second et γ le troisième, on a bien α(βγ) = (αβ)γ.

(12 et l2bis). Inverses. L’inverse de la multiplication est la division des relations. Mais, de même que nous avons distingué les opérations (2 - 3) et (4 - 7), de même il faut distinguer ses divisions générales et particulières. L’inverse de (3) est :

a…c a a…c a

(12) (A ↓: D C) : (A D) = (A ↓: C)

b b

a…c a a a…c

et (A  ↓: D C) : (A ↓: C) = (A D)

b b

Ce qui signifie : « Si je supprime les relations de poids dans le tableau des relations de poids et de volume entre

c b e

A et D C je n’ai plus à considérer que les relations de volume » et réciproquement. Alors que la multiplication des relations consiste à tirer de deux séries additives différentes un tableau de correspondances, la division consiste donc, en dissociant ou abstrayant l’une de ces séries de l’autre, à ramener le tableau à une série unique.

Mais de même que nous considérons comme des multiplications particulières les enchaînements (5) et (6), de même on peut appeler aussi divisions les multiplications par la relation inverse :

a a

(12 bis) Si (A → B) × (B ↓ a C) =(A → ↓a C)

alors :

a a

(A → ↓a C) : (B ↓a C) = (A → B) où [: (B ↓a C) = × (C↑a B)]

et :

a a a a

(A → ↓a C) : (A → B) = (B ↓a C) où [: (A → B) = × (B ← A)]

Cela revient simplement à dire : « Si A est plus léger que B, à volume égal, et que B est plus petit que C, à poids égal, alors A est à la fois plus léger et plus petit que C » et alors « si A est à la fois plus léger et plus petit que C et que C est plus grand que B à poids égal, alors A est plus léger que B », etc.

(13) Tautologie :

a a a

(A → ↓a B) × (A → ↓a B) = (A → ↓a B)

(14) Absorption :

a b a

(A → ↓a B) × (A → ↓b B) = (A → ↓a B)

(15) Identique générale :

x x o

(A → ↓y B) : A → ↓y B) = (A → ↓o A)

x x

parce que (: A → ↓y B) (× A ←↑y B)

Remarque I. Généralité des opérations du groupement. — Supposons maintenant qu’au lieu de ne sérier que des

objets dont chacun est égal à une collection d’autres au point de vue de l’une des relations envisagées (mais qui sont différents au point de vue de l’autre relation), nous ayons affaire à des objets tous différents les uns des autres, soient par exemple n boules que nous appellerons A₁ A₂ A₃, etc., et dont il serait impossible d’en trouver deux qui présentent le même poids ou le même volume. Peut-on alors effectuer sur elles les opérations précédentes ? Supposons seulement pour simplifier que la plus petite soit en même temps la plus légère.

En sériant ces boules par leur volume, on aura, par exemple A₁ ↓a A₃ ↓a’ A₅ ↓b’ A₂ ↓c’ A⁷ ↓d’ A₄ ↓e’ A⁹ …etc.

Et en les sériant par le poids, on pourra, par exemple, ob-

a a’ b’ c’ d’ e’ f’

tenir A₁ → A₂ → A₂ → A₃ → A₄ →A⁸ →A⁹ → A₁₁ …etc.

Il est évident que l’on pourra alors composer :

a a’+b’+c’ d

(A₁ → ↓c A₂) x (A₂ ↓c’ + ↓d’ A₄) = (A₁ → ↓e A₄)

…etc.

D’où (7) :

d d

(A₁ → ↓e A₄) = (A₁ ↓e → A₄)

On parviendra ainsi à obtenir toutes les autres compositions du groupement. Mais si de telles compositions sont possibles, il est bien clair que c’est grâce au fait qu’en multipliant l’une par l’autre les deux séries concrètes de relations existant entre les objets donnés A₁ A₂ A₃… on engendre, non pas seulement les produits effectifs de ces quelques relations,

mais toutes les combinaisons concevables. C’est ainsi que le

a

produit (A₄ → ↓c A₂) permet de concevoir un Ax qui serait

o a

à la fois (A₁ → ↓c Ax) et (A_x → ↓o A₂) etc. Autrement dit, les

deux séries de relations engendrent par leur multiplication un tableau semblable au tableau (1) à cette unique différence près que seuls sont donnés effectivement quelques termes individuels (correspondant à quelques points seulement du tableau 1), et par conséquent quelques relations et quelques produits. Mais tous les autres s’ensuivent logiquement et leur « existence logique » est ainsi engendrée à défaut d’existence

réelle. C’est pourquoi nous avons d’emblée décrit les opérations du groupement sous leur forme la plus générale.

Remarque II. Signification du groupement. — On a vu qu’une réunion quelconque d’additions de relations ne constitue pas un groupement si ces additions ne sont pas sériées c’est-à-dire si les relations n’aboutissent pas à ranger en une suite uni-dimensionnelle régulière les objets qu’elles unissent. En effet, de (A < C) — (B < C) on ne saurait tirer (A < B) que si l’on pose que B est placé entre A et C. On peut donc dire que sérier les relations est la même chose que les « grouper » et que la signification concrète du groupe des additions simples de relation est donnée dans l’acte même de ranger une suite d’objets définis par leurs rapports.

De même, il est clair que la signification, et les limites tout à la fois, du présent groupe sont données dans l’acte de la mise en correspondance. Si aux boules de différents poids ayant le même volume on ne fait pas correspondre les poids identiques des séries caractérisées par d’autres volumes et si les boules de poids successifs ne se correspondent pas par un volume identique, il n’y a pas de groupement. En effet, à vouloir grouper les relations existant entre des objets différant tous les uns les autres par le volume et le poids à la fois (Rem. I), ou bien on engendre un système de forme semblable, ou bien on ne parvient à aucun groupement. Je sais par exemple que A (= la 3^e boule de la 3^e rangée horizontale) est à la fois plus légère et plus volumineuse que B (= la 5^e boule de la 1^ère rangée horizontale) : c’est parce que A a le même poids que C ( 3^e boule de la 1^ère rangée horizontale) et que C est plus léger que B ; et parce que B a le même volume que D (= 5^e boule de la 3^e rangée horizontale) qui est plus grosse que B. Mais sans ces correspondances, qui me servent de moyens termes, je ne saurais que conclure en brassant au hasard les relations et ne découvrirais aucune des conséquences permises.

Mais on demandera peut être avant toutes choses ce que l’on cherche précisément à conclure et si un tableau de la forme (1) est jamais construit ou conçu par l’esprit en vue d’une application quelconque ? Il faut à cet égard distinguer deux points de vue : celui de la pensée qui s’élabore et celui du raisonnement scientifique tout construit, mais s’appliquant à des objets nouveaux.

Du premier de ces points de vue, il est clair que la for-

mation de la logique chez l’enfant implique une coordination progressive des relations construites, c’est-à-dire un ensemble de multiplications, et que ces multiplications sont même la condition de l’achèvement d’une telle construction. Or, nous croyons que ces opérations procèdent tôt ou tard selon le schème précédent. Les relations de poids et de taille, pour en rester à notre exemple, débutent par un état d’indifférenciation, c’est-à-dire que le petit enfant croit que le poids des objets est proportionnel à leur taille : en toute expérience portant sur le maniement des jugements de poids, l’enfant commence par se refuser à émettre des propositions telles que « A est à la fois plus lourd et plus petit que B », etc. Comment donc parvient-il à les construire ? Précisément en raisonnant au moyen du schéma représenté par le tableau (1). Soient ainsi à comparer, sans les toucher, un bouchon, un morceau de bois et un caillou, de poids inversement proportionnel à leur taille : l’enfant ne découvrira la réponse juste que s’il est capable de comparer en esprit les objets qu’il a sous les yeux à toute une gamme d’autres objets sériés selon la taille et le poids, ce qui revient à effectuer les opérations de ce groupement. Il se dira, par exemple, que le bouchon donné est plus petit qu’un autre bouchon dont il vient de constater la légèreté par rapport à un caillou à peine plus gros que l’échantillon actuellement perçu, etc. Bref, il ordonnera en esprit un certain nombre d’unités de référence et construira un système qualitatif de moyens termes, dont le principe est justement développé par le présent groupement.

Quant au raisonnement scientifique, nous nous permettons de déclarer que notre ambition n’est en rien de construire une logique. Aussi les opérations de ce groupement peuvent-elles fort bien ne servir à rien une fois la pensée constituée, puisque la vraie logique est la mathématique et que la logique qualitative est sans cesse dépassée par le calcul dès que le raisonnement porte sur des objets suffisamment précis. Il n’en reste pas moins que le tableau (1) constitue le principe de la notion de « corrélation » sous sa forme qualitative et qu’en de nombreux domaines on est bien obligé d’en demeurer là. Supposons, par exemple, que le poids d’une collection d’objets soit exactement proportionnel à leur taille : il s’ensuivrait que les seuls points existant réellement au tableau (1) constitueraient la diagonale partant de l’origine O et que, pour une corrélation inverse, les points donnés suivraient l’autre

diagonale. Admettons maintenant que nous cherchions à comparer entre elles deux qualités non-mesurables, mais évaluables en « plus » et en « moins » : la seule méthode consisterait alors à examiner les objets deux à deux, d’où les combinaisons (+ +) (+ =) (+ — ) (— +) (— =) (— — ) et (= =), et à les sérier selon le tableau (1), ce qui revient à nouveau à dire que la multiplication de leurs relations supposerait un système de correspondances, c’est-à-dire de communes mesures qualitatives.

La signification psychologique du groupement VII se réduit donc à ceci que la multiplication des relations implique un système de correspondances qualitatives susceptibles de constituer autant de communes mesures (intensives).

Notons d’abord que ces correspondances introduisent nécessairement des discontinuités dans les relations continues qui se développent selon les deux dimensions envisagées. On peut bien concevoir, dans A → B, une infinité de gradations insensibles entre A et B ; de même en A ↓ B. Mais alors on ne pourrait plus multiplier l’une de ces relations par l’autre : pour que cette multiplication s’effectue,

c’est-à-dire pour qu’il y ait correspondance possible entre

a’

une relation → et une autre ou entre une relation ↓a’ et une autre, il faut introduire des discontinuités dans les séries.

Or, ces discontinuités sont elles-mêmes définies par des égalités partielles, ou équivalences par correspondance, qui servent précisément de communes mesures. Impossible de comparer les unes aux autres des séries d’objets inégaux à deux points de vue à la fois sans un système d’égalités partielles qui, seules, permettent les correspondances. C’est pourquoi chaque rangée horizontale ou verticale du tableau (1) constitue une classe du point de vue de l’égalité des termes et ne rentre dans le système des relations asymétriques que par l’inégalité des mêmes termes à l’autre des deux points de vue considérés. Bien plus, cette égalité qualitative, ou équivalence, peut être conçue comme une relation symétrique et transitive résultant de la multiplication par la relation converse de la relation asymétrique qui relie la rangée considérée à la suivante. On voit ainsi combien toutes les opérations des différents groupements se tiennent entre elles et permettent le passage d’un groupement à l’autre moyennant telle condition en plus ou en moins.

Mais, si la multiplication des relations suppose ainsi un système de communes mesures définies par les égalités qualitatives que l’on peut insérer de façon discontinue dans les séries de relations continues, on peut se demander si ce groupement ne nous transporte pas dans le domaine de l’arithmétique plus encore que les précédents, puisque le chemin paraît court entre la commune mesure qualitative ou intensive et l’égalité quantitative ou extensive ?

On pourrait d’abord rechercher si l’idée même de série n’est pas d’ordre arithmétique ? Mais on peut sérier des qualités sans les mesurer ni les compter, comme des douleurs ou des plaisirs ; et, si la sériation n’implique que le plus et le moins, ces notions caractérisent déjà toute relation comme telle, ainsi que nous l’avons déjà vu à propos du groupement V (voir chap. VII, Rem. I). On peut, d’autre part, faire correspondre des objets les uns aux autres sans pour autant les compter, et, si la correspondance ne s’effectue pas indépendamment des qualités et aux fins d’une évaluation quantitative, mais du point de vue de la seule comparaison qualitative, elle demeure préarithmétique. Que l’on puisse après coup compter les termes que l’on a sériés ou les relations que l’on a mises en correspondance, cela est certes possible : mais ce dénombrement constitue une autre opération, qui n’influence en rien la première.

Dira-t-on alors que le nombre intervient dans la notion même d’égalité qualitative et dans la métrique implicite du tableau (1) ? Mais si je déclare un fruit aussi bon qu’un second et meilleur qu’un troisième, je fais de ce fruit une commune mesure entre le second et le troisième sans que cette équivalence ni cette relation de plus et de moins soient le moins du monde numériques. Si l’on accorde que la sériation et la correspondance peuvent être constituées par comparaisons qualitatives, on se donne par là même le droit de poser des équivalences et des inégalités, donc des communes mesures constituées simplement par les moyens termes des raisonnements.

Le critère réel de l’intervention du nombre est ainsi à chercher au delà et non pas en deçà des opérations précédentes : il est constitué par la nature des unités de mesures ou de relations. En effet, dans le tableau (1) je sais que la seconde boule de la première rangée horizontale est plus lourde que la première, mais je ne sais pas de combien, et je sais que la troisième est plus lourde que la seconde,

mais je ne sais pas si la différence de poids entre ces deux dernières est égale à la différence entre les deux premières. Une série qualitative n’est donc pas une échelle numérique et cela dans la mesure où elle ignore l’unité itérable a + a = 2a. La métrique du tableau (1) ne ferait intervenir le nombre que si les relations a, a’, b’, c’ …etc., obéissaient à des proportions définies tandis que l’arithmétique n’entre pas en jeu si l’on a simplement la série a’ = b — a ; b’ = c — b ; …etc. Il est vrai que toutes les relations a des séries correspondantes sont les mêmes, toutes les relations a’ également, etc. ; ce qui revient à dire que tous les premiers termes des séries correspondantes sont équivalents entre eux, du point de vue de ces relations, tous les seconds termes des mêmes séries également, etc. Mais, d’une part, ces relations parallèles ne sont que « semblables » et non point « égales » (voir Rem. III), et d’autre part, l’équivalence des termes correspondants est simplement donnée par cette correspondance (voir Rem. III) et n’est nullement construite par itération à la manière des égalités mathématiques.

Plus précisément, on peut dire que les compositions de

ce groupement se réduisent toutes aux trois types suivants :

a

1° réunion de deux différences en une égalité : (A → B) +

a’ b a a’

(B → C) = (A → C) ou (A ↓a → B) × (B ↓a’ → C) =

b

(A ↓b → C) ; 2° mise en correspondance de deux relations

a a

semblables » ₁ A → B et C → D (si A ↓a C et B ↓a D),

a a a

soit (A → B) = (A↓a → D) × (D ↑a B) ou (A → B) =

a o

(A ↓a →↑a B) ; 3° identité d’un terme (A ↓o → A), ou équi-

valence de deux termes au point de vue de l’une des relations

a o

considérées (A ↓o → B) ou de l’autre (A ↓a → B). Mais au-

cun de ces trois types de composition ne revient à égaler des

a a’ b b’

différences → = → ou ↓a = ↓a’ ; → = → ou ↓b = ↓b’ ; …

etc., ce qui serait la condition nécessaire de la constitution d’uni-

a a a

tés susceptibles d’itération → + → = → ou b = 2a. Autrement

dit, ce groupement n’envisage que des relations de différences asy-

r

métriques ↓r ou → ou des relations d’égalité partielle ou totale ↓o

o

ou →, mais les égalités ne proviennent que de différences nulles

o

(↓o ou →) ou de la réunion de deux différences en une différence

unique (a + a’ = b) et non pas de l’égalisation des différences (a = a’) : or seule cette dernière opération conduirait au nombre (ou aux « proportions » numériques : voir chap. V, Rem. IV).

C’est pourquoi, enfin, pour la seule logique, la multiplica-

a a

tion de → par ↓a donne simplement → ↓a, tandis que si nous accordions une valeur numérique aux relations qualitatives de poids et de volume choisies comme exemples, leur multiplication ou division engendrerait un rapport nouveau, celui de densité, ou de poids spécifique, etc., qui ne résulte pas sans plus de la composition logique comme telle. Par exemple, je sais que la seconde boule de la seconde rangée horizontale est à la fois plus lourde et plus grosse que la première boule de la première rangée ; mais je ne sais pas si elle est plus dense, faute précisément de mesures fondées sur

l’itération d’une unité donnée. Au contraire si je précisais les

a

valeurs mathématiques de → et de ↓a je saurais si l’une de ces deux boules est plus dense que l’autre.

Nous avons vu (Groupe IV) qu’il est toujours possible dans une table de multiplication bi-univoques de classes, de considérer l’une des classes élémentaires en présence comme le produit de l’intersection de deux autres, que l’on peut dès lors associer ou dissocier à volonté (A’₂ × B’₁ = A’₂ B’₁), d’où un sous-groupement possible des interférences comme telles.

Il en est de même dans une table de multiplication bi- ou multidimentionnelles de relations. D’où la possibilité d’envisager toute relation séparément et de la multiplier par d’autres ou de les en dissocier en un système d’intersections de relations et non plus de classes. Or, les conditions de groupement de ces intersections sont intéressantes à noter, ce que nous allons faire très brièvement, car l’on retrouve à leur sujet les notions de commune mesure et de correspondance par équivalences partielles.

Par exemple, dans le tableau (1), si une boule quelconque B est à la fois plus lourde et plus petite que la boule A, on en peut conclure qu’elle est plus dense ou plus serrée. Si nous désignons pour abréger les relations « plus lourd »

par + a₁, « plus petit » par — a₂ et « plus serré » par + a₃, nous aurions (+ a₁) × (— a2) = (+ a₃). Mais si du fait qu’une boule C est plus serrée qu’une autre D, nous dissocions la relation « plus lourd » (+ a₁), nous n’en pouvons pas conclure nécessairement qu’elle est « plus petite » (— a₂). On n’a donc pas (+ a₃) : (+ a₁) = a₂), parce que C peut être à la fois plus lourde, plus serrée et plus grande que D.

A défaut de sériation et si l’on compose au hasard les relations isolées les unes par les autres, on ne peut composer à coup sûr, si l’on veut se réserver le droit d’inverser toute composition, que les opérations suivantes :

(16) (= a₁) × (— a₂) = (+ a₃) et (+ a₃) : (= a₁) = (— a₂)

C’est-à-dire « à poids égal ₁, une boule plus petite qu’une autre est plus serrée » et « si la boule A est plus serrée que B et de même poids, elle est plus petite que B ». Mais il serait illégitime de poser (+ a₃) : (— a₂) = (= a₁).

De même, pour prendre dans un tout autre domaine un exemple de relations directement proportionnelles, on peut poser qu’un travail plus rapide qu’un autre (+ a₄) et en même temps plus exact (+ a₅) a plus de valeur (scolaire, professionnelle, etc.) = + a⁶. Donc (+ a₄) × (+ a₅) = (+ a⁶). Mais l’on ne saurait que conclure lorsqu’un travail est plus exact mais plus lent (ou inversement) qu’un autre. Ici encore on a donc :

(16 bis) (= a₄) × (+ a₅) = (+ a⁶) et (+ a⁶): (= a₄) = (+ a₅)

c’est-à-dire « à rapidité égale, un travail plus exact est meilleur », d’où « abstraction faite de sa rapidité égale, un travail meilleur est plus exact qu’un autre ».

D’une manière générale, si l’on définit une relation a_x par la multiplication de deux ou plusieurs autres, les seules compositions réversibles sont les égalités telles que chaque membre ne contienne qu’une seule relation de différence (+ ou — ), les autres étant toutes réduites à des relations d’équivalences c. Soit pour les relations directement proportionnelles, si

(= a₁) signifie (A ^a B) :

=₁

o

(17) (= a₁) × (+ a₂) = (+ a_x)

et (= a₁) × (— a₂) = (— a_x)

(= a₁) × (= a₂) × (+ a₃) (+ a^y)

et (= a₁) × (= a₂) × (— a₃) = (— a^y)

(= a₁) × (= a₂) × (= a₃) × (+ a₄)= (+ a^z) …etc.

D’où les dissociations :

(17 bis) (+ a_x) : (= a₁) = (+ a₂)

(+ a^y) : (= a₁) : (= a₂) = (+ a₃)

…etc.

Et pour les relations inversement proportionnelles :

(18) (= a_x) × (— a₂) = (+ a_x)

et (= a₁) × (+ a₂) = (— a_x)

(= a₁) × (= a₂) × (— a₃) = (+ a^y)

et (= a₁) × (= a₂) × (+ a₃) =  (— a^y)

(= a₁) × (= a₂) × (= a₃) × (— a₄) = ( + a^z) … etc.

D’où les dissociations possibles :

(+ a₁) : (= a₁) = (— a₂)

(+ a^y) : (= a₁) : (= a₂) = (— a₃)

…etc.

Telles sont les opérations qui, dans le champ de la multiplication des relations, équivalent aux intersections de

classes. On voit que par rapport, au tableau (1) ces opé-

rations reviennent toutes à des compositions de la forme

o a

(A→ ↓↑a B) ou (A ⇄↓o B)=(A [?] B) ou (A [?] B) qui sont bien ainsi l’équivalent des multiplications incomplètes de classes.

Les limitations que l’on vient de noter dans la composition des intersections montre ainsi à nouveau, en en fournissant pour ainsi dire une contre épreuve négative, la nécessité de la correspondance bi-univoque pour la constitution du groupement. Le moment est donc venu, à titre de conclusion de l’étude des groupes multiplicatifs bi-univoques, de préciser quelques vues générales sur la nature de la correspondance en rapport avec la multiplication.

Remarque III. Correspondances bi-univoques des classes et des relations, co-distribution et équivalence multiplicative. — A propos de la multiplication des classes déjà (chap. V, Rem. II) nous avons distingué, à titre de première approximation, la « correspondance bi-univoque qualitative » ou « qualifiée » et la correspondance bi-univoque « quelconque ». Mais il était nécessaire, pour développer cette analyse, de préciser auparavant d’une manière plus complète les lois de la co-inclusion et de la co-appartenance, puisque ces relations déterminent celles de l’égalité, et de l’équivalence qualitative. C’est ce que nous avons fait au cours du chap. précédent (en particulier rem. II). En effet, les relations de correspondance bi-univoque, quoique nécessairement liées à la multiplication, sont aussi des relations symétriques et transitives et ressortissent ainsi également au groupement VI. Bien plus, elles conduisent, elles aussi, à des équivalences et on limite même en général le terme d’« équivalences » aux égalités par correspondance. Quels rapports soutiennent donc entre elles ces nouvelles équivalences ou « équivalences multiplicatives », avec celles que nous appelons équivalences tout court et qu’il faudrait appeler « équivalences additives » ? C’est ce qu’il convient, de déterminer maintenant. Nous examinerons donc dans cette remarque le problème de la correspondance bi-univoque en général, puis celui de la correspondance des relations ou « similitude ».

La mise en correspondance bi-univoque et réciproque est une opération fondamentale de l’esprit, aussi élémentaire que la substitution (source de l’égalité) et que la substitution réciproque (source de l’équivalence qualitative). Elle conduit à la multiplication comme la substitution réciproque à l’addition. Multiplier M par N c’est, en effet, réunir M suites correspondantes de N ou N suites correspondantes de M. Mais si l’on définit directement la multiplication sans faire appel à l’addition des suites correspondantes, on peut en retour définir la correspondance biunivoque par la multiplication et la concevoir comme une relation de co-multiplicabilité de la même manière que nous venons de définir l’égalité et l’équivalence qualitative par la co-inclusion (c’est-à-dire par la co-additivité).

La multiplication de deux ensembles M et N est définie en théorie des ensembles comme l’opération qui consiste à associer de toutes les manières possibles un élément m

de M à un élément n de N. Cela est aussi vrai de la multiplication des classes (Groupement III) et de celle des nombres.

Par exemple si N = B₁ et M = B₂ alors B₁ × B₂ = (A₁ A₂ + A₁ A’₂) + (A’₁ A₂’+ A’₁ A’₂). Nous appellerons A₁ A₂ une « association », et nommerons (A₁ A₂ + A₁ A’₂) les « associations de A₁ » et (A₁ A₂ et A₁’ A₂) les « associations, de A₂ ». Il est alors clair que les associations de A₁ correspondent bi-univoquement à celles de A’₁ et celles de A₂ à celles A’₂.

De manière générale, lorsqu’un ensemble M est multiplié par un ensemble N, les associations d’un élément de l’un m (ou n) correspondent bi-univoquement à celles de chacun des autres éléments m (ou n) du même ensemble. Par exemple, si 4 × 5 = 20, chaque unité de (4) est associée à (5), d’où 4 suites correspondantes de 5 associations (ou 5 suites correspondantes de 4 associations).

Inversement, lorsque les éléments de deux ensembles de puissance a (par exemple a = 20 éléments) correspondent bi-univoquement et réciproquement entre eux, chaque couple de corrélatifs peut être conçu comme l’une des associations d’une multiplication par deux, et chacun des deux ensembles correspondants comme constituant a associations avec l’une des unités du nombre 2, le nombre 1 étant alors leur commun multiplicateur. La correspondance bi-univoque peut ainsi être définie par les relations entre les ensembles co-multipliés et leur commun multiplicateur, de même que les relations d’égalité et d’équivalence qualitatives sont les rapports existant entre les ensembles co-additionnés et leur somme. Les relations de correspondance seront donc bien des équivalences multiplicatives, par oppositions aux co-inclusions ou équivalences additives.

Soit donc deux ensembles M et N chacun multipliés par x. On a, selon la loi de distributivité, commune à toutes les multiplications :

(19) (M + N) × x = Mx + Nx

Nous appellerons « co-multiplicabilité » ou « co-distribution » la relation unissant M et N du point de vue de x.

Si d’autre part Mx = Nx ou que Mx soit qualitativement

x

équivalent à Nx, soit en général Mx = Nx, nous dirons

alors qu’il y a « équi-distribution », l’équi-distribution s’appliquant donc à la correspondance numérique (si Mx = Nx alors M = N) comme aux correspondances d’ordre qualitatif, c’est-à-dire dans lesquelles M et N sont des classes ou des relations définies conceptuellement. Il est à remarquer que, dans ces derniers cas, la co-distribution conduit toujours à un rapport d’équi-distribution, car

quels que soient M et N, s’ils sont co-multipliés par x, on

x

a (si «  —   » est la correspondance bi-univoque du point de vue de x) :

x x

(20) (M «  —   » N) =[(M + N) × x] = [Mx = Nx (= M’ x)]

En effet, si M et N sont deux classes entièrement multipliables par la classe x, alors Mx et Nx constituent une seule classe dont M est A₁ et N est A’₁ tandis que x est A₂. D’où (Mx + Nx = A₁ A₂ + A’₁ A₂). D’où alors A₁ A₂ [?] A’₁ A₂ ou A₁ A₂ [?] A’₁ A₂. La relation de co-distribution est donc nécessairement une relation de co-inclusion entre classes d’ordre multiplicatif (voir chap. V, Rem. II prop. 13), donc une relation d’équi-distribution. Nous

pouvons ainsi considérer la co-distribution qualitative

x

(symbole M «  —   » N, soit « la classe M et la classe N sont co-multipliables par la classe X ») comme une relation symétrique et transitive, du même ordre que les relations de co-inclusion ou de co-appartenance, et pouvant être par conséquent composée comme toutes les relations du groupement VI.

Cela dit il devient facile de trouver un critère précis permettant de distinguer les relations de correspondance « quelconque » ou non qualifiée et les relations de correspondance qualifiée, selon la distinction introduite déjà au chap. V Rem. II. Il suffit en effet, pour qu’il y ait correspondance non qualifiée, qu’en (M + N) × x, on ait Mx = Nx et que (Mx + Nx) soit différent de (Mx) et de (Nx) isolément : (Mx + Nx) ne correspond donc plus à Mx ou

à Nx. En toute correspondance qualifiée on a au contraire soit

x

Mx = Nx, c’est-à-dire que Mx et Nx ne sont pas égaux mais qualitativement équivalents du point de vue de la classe (M + N) ; soit Mx = Nx, mais alors Mx + Nx =

Mx = Nx par tautologie. Dans ces deux cas (Mx + Nx) correspond encore à Mx ou à Nx pris isolément. Pour la correspondance non-qualifiée, on a donc :

x

(21) (M «  —   » N) ≡ (Mx = Nx) ≡ (Mx + Nx ≠ Mx) ≡

x x

(Mx + Nx ≠ Nx) ≡ (Mx + Nx) « — |— » Mx et (Mx + Nx) « — |— » Nx

1

Si par exemple M = N = 20, et x = 1 on a (20 «  —   » 20) ≡

1

(20 = 20) ≡ (20 + 20 ≠ 20) ≡ (20 + 20 « — |— » 20.)

En effet (20 + 20) ne correspondent plus 1 à 1 à (20)

mais seulement 2 à 1. Ce qui est une autre correspondance

1

que «  —   », puisque 40 × 1 ≠ 20 × 1.

Pour la correspondance qualifiée, on a au contraire les deux cas possibles suivants. Dans le premier cas M et N sont deux classes équivalentes (du point de vue de la classe totale (M + N) mais non pas égales (contrairement à la correspondance non qualifiée). On a alors : 1° Mx ≠ Nx, d’où :

x x x

(22) (M «  —   » N) ≡ (Mx = Nx) ≡ (M + N) x «  —   » Mx

x

et (M + N) x «  —   » Nx

Par exemple, si M = A₁ et N = A’₁ et si x = B₂, alors

B₂ B₂

(A₁ «  —   » A’₁) = (A₁B₂ [?] A’₁B₂) = (B₁B₂ «  —   » A₁B₂)

B₂

et (B₁B₂ «  —   » A’₁B₂).

En effet, si l’on traduit ces correspondances en termes de multiplication, puisque la relation de correspondance est une « équi-distribution », on a :

B₂

(22 bis) (A ₁ «  —   » A’₁) = [(A ₁ + A’₁) × B₂] = B ₁ B₂

B₂

(B₁B₂ «  —   » A₁B₂) = [(B₁B₂ + A₁B₂ = B₁B₂) × B₂] = B₁B₂

B₂

(B₁B₂ «  —   »A’₁B₂) = [(B₁B₂ + A’₁B₂ = B₁B₂) × B₂] = B₁B₂

On voit ainsi que la correspondance qualifiée « du point de vue de B₂ » est une autre relation que la correspondance simple du point de vue de 1, puisque (M + N) correspond à N de la même manière que M seul, tandis que 40 ne cor-

respondent pas à 20 de la même manière que 20 seuls. La correspondance qualifiée est en effet une correspondance « classe à classe » (ou relation à relation), tandis que la correspondance quelconque ou numérique est une correspondance unité à unité. Dira-t-on que l’on peut opérer de la même manière entre 40 et 20 en effectuant

simplement une correspondance « couple à unité ». On a

1 2 20

d’abord (20 «  —   » 20) = (10 «  —   » 10) = (1 «  —   » 1), etc. c’est-à-dire que l’on peut faire correspondre 20 objets à 20 autres en les prenant aussi bien 2 à 2 que 1 à 1, ou 4 à 4, etc. D’où, si l’on compare 40 à 20 l’opération consistant à faire correspondre 1 à 1 un couple et une unité :

1 2

(20 «  —   » 20) = (20 + 20 «  —   » 20)

20+20

Mais en ce cas [( — ) + 20] ne correspondent plus à 20,

2

tandis que B₁B₂ correspondent toujours à A’₁B₂ aussi bien que A₁B₂. L’opposition des deux types de correspondance, non qualifiée et qualifiée, ne tient donc pas au nombre des éléments réunis, mais bien à leur mode même de réunion, selon qu’ils sont dénombrés ou au contraire répartis en un système de classes emboîtées et emboîtantes indépendamment du nombre des éléments inclus.

2° Quant au second cas, dans lequel Mx = Nx, le résultat est le même, puisqu’alors Mx et Nx se tautifient. Si l’on peut dire ainsi qu’une classe correspond à elle-même, on a (puisque si M = N, alors M + N = M = N) :

A₂

Par exemple, si M = A₁ (= N), et x = A₂, on a (A₁ «  —   » A₁) ≡

A₂

(A₁A₂ = A₁A₂) = (A₁ + A₁) «  —   » (A₁).

On voit donc que dans aucun de ces deux cas la correspondance qualifiée ne se réduit à la correspondance « quelconque ».

Ce second cas nous conduit à l’analyse des équivalences multiplicatives entre classes co-incluses et par conséquent à la détermination des rapports entre la co-inclusion et la co-distribution ou entre l’équivalence additive et l’équivalence multiplicative.

On peut, en effet, multiplier toute classe par elle-même et par celles qui l’incluent A × A = AA = A et A × B =

AB (= A), etc. et cette multiplication est sous-entendue en tout système d’inclusions. Or, il est facile de tirer de ces auto-multiplications des relations de correspondance par rapport à soi-même qui se confondent avec les équivalences d’ordre additif.

Tout d’abord l’égalité logique ou identité, donne :

A

(24) (A = A) = (A «  —   » A) = (A × A = A × A)

B

(A + A’ = B) = (AB + A’B) «  —   » (AB +A’B)

Quant à l’équivalence qualitative d’ordre additif, elle est une correspondance ou co-distribution du point de vue de la classe incluante :

B B B

(25) (A = A’) = (A «  —   » A’) ou AB «  —   » A’B

B

parce qu’en (AA + AA’) «  —   » (A’A + A’A’)

les termes AA’ et A’A sont naturellement nuls

(25 bis) De même :

C C

(A = B’) = (AA + AA’ + AB’) «  —   » (B’A + B’A’ + B’B’)

les termes AA’, AB’, B’A et B’A’ étant nuls.

Or, si tout rapport d’équivalence additive (co-inclusion) peut ainsi se réduire à une équivalence multiplicative ou co-distribution, la réciproque n’est vraie que pour les classes correspondantes de même rang. On a vu en effet que les classes incluses les unes dans les autres, mais co-multipliées par une même classe multiplicatrice, se correspondent

bi-univoquement du point de vue de cette dernière la co-

B₂

distribution n’exclut donc pas l’inclusion : A₁B₂ «  —   » B₁B₂ est un rapport de correspondance bi-univoque entre A₁B₂ et B₁B₂ bien que A₁B₂ soit inclus en B₁B₂. Or les relations de co-inclusions ne comprennent pas les rapports d’inclusion : on n’a pas A [?] B parce que A n’est substituable ni simplement ni réciproquement à B. La raison de cette différence est que A + B = B tandis que A₁B₂ × B₁B₂ = A₁B₂, c’est-à-dire que dans les rapports additifs la classe

d’ordre inférieur, se résorbe dans la classe d’ordre supérieur, alors que dans les rapports multiplicatifs la classe inférieure absorbe au contraire la classe d’ordre supérieur. Autrement dit, l’addition réunit la partie au tout en négligeant les différences de qualité des parties, ce qui rend non-équivalents le tout et la partie, tandis que la multiplication attribue aux parties les qualités du tout : c’est cette différence fondamentale entre l’équivalence additive et l’équivalence multiplicative qui explique, verrons-nous, la « réflectivité » propre aux ensembles infinis.

Cela établi, il est facile de distinguer des relations précédentes la correspondance bi-univoque des relations asymétriques, dont il est fait usage dans la construction de ce groupement VII. Il est clair, en effet, que cette correspondance des relations, dite « similitude » qualitative et qui est une forme d’« isomorphie », ne consiste en correspondances bi-univoques ni « qualifiée » ni « quelconque », puisqu’elle présente cette particularité de conserver l’ordre. Cependant on peut la réduire comme les précédentes au schéma de la co-distribution, quitte à introduire les distinctions que nous verrons à l’instant.

x₁ x₂

Soient les relations A → B et C → D extraites du tableau (1) x₁ et x₂ pouvant prendre toutes les valeurs a, a’, b’… ou a, b, c… Et soit entre A et C une relation A↓y C. Nous dirons que la série x₁ est « semblable » à x₂, si les relations dont est composée x₁ correspondent bi-univoquement aux relations dont est composée x₂. Autrement dit, les termes successifs entre lesquels sont établies les relations de x₁ correspondront bi-univoquement et réciproquement aux termes entre lesquels sont établies les relations de x₂, et dans le même ordre, une telle correspondance se réduit ainsi à la co-multiplication ou co-distribution suivante :

y

(26) (x₁ «  —   » x₂) = (x₁y = yx₂)

En effet, en vertu, de la proposition (7) du groupement VII,

y

on a si x₁ «  —   » x₂ :

x ₁ x ₂

(26 bis) (A → B) × (B ↑ y D) = (A ↑y C) × (C → D)

c c

Par exemple (A → B) × (B↓a D) = (A ↓a C) × (C → D).

Nous retrouvons ainsi la formule logistique classique de la similitude ₁ :

x ₁ x ₂ x ₁ x ₂

(26 ter) (A → B) est semblable à (C → D) si (→ = ↓y → ↑ y)

y

Cela dit, il est clair que la similitude (26) x₁ «  —   » x₂ diffère de la correspondance bi-univoque qualifiée ou co-distribution des classes ainsi que de la correspondance bi-univoque quelconque, puisque la première conserve l’ordre tandis que les secondes en font abstraction.

On peut exprimer cette différence de la manière suivante. La correspondance bi-univoque des classes implique, comme on l’a vu (chap. V, Rem. II prop. 13) l’équivalence additive ou co-inclusion des termes correspondants dans la classe du point de vue de laquelle ils sont correspondants. Au con-

traire, dans la similitude propre au groupement VII, on n’a

y

pas x₁ ⁼ x₂, donc :

y

(27) x₁ ≠ x₂

puisque x₁ et x₂ ne sont pas vicariants.

En effet si la relation ↓y dite « corrélateur » de x₁ et x₂ est asymétrique, cela exclut toute vicariance entre x₁ et x₂. La similitude (26) est donc une équivalence multiplicative mais exclut l’équivalence qualitative d’ordre additif ₂.

Par contre, il est clair qu’une série quelconque est « semblable » à elle-même et que cette auto-similitude entraîne l’égalité non seulement multiplicative mais additive. La similitude par rapport à soi-même est en effet une multiplication de x₁ par ↓o ou ↑o, d’où :

o o

(28) (x₁ «  —   » x₁) = (x₁ = x₁) ou x₁ = x₂

puisque ↓o est une relation symétrique : ↓o = ↑o.

En outre, de même que nous avons été conduits à distingu[?][?]er une correspondance bi-univoque qualifiée ou co-distribution entre classes qualitatives et une correspondance bi-univoque quelconque ou co-distribution entre éléments homogènes de deux ensembles non-ordonnées, de même nous devons distinguer maintenant une « similitude qualitative » et une « similitude généralisée ». La similitude qualitative est la correspondance (26) lorsque les relations qui correspondent une à une sont les mêmes ou ne diffèrent les unes des autres que par leur « corrélateur ». Au contraire la « similitude généralisée » fait abstraction des qualités et détermine ainsi l’ordre pur ou les « types d’ordre » des collections finies (par opposition aux ensembles transfinis où l’on retrouve la similitude qualifiée). La différence entre ces deux formes de similitude peut être formulée comme suit.

1° Dans la similitude qualitative des séries de relations asymétriques, une série n’est « semblable » à elle-même que si l’ordre des termes de ses propres relations élémentaires est conservé. Les relations élémentaires ne sont donc pas « vicariantes ».

a a’ b

Soit, par exemple (X → Y) + (Y → Z) = (X → Z) et appe-

lons a₁ ; a’₁ et b₁ les relations ordonnées de cette manière.

a₁

Pour fixer les idées X → Y = « X est à gauche de Y » ; a’₁ = « Y est à gauche de Z » ; et b₁ = « X est à gauche de Z ».

b o b

On a donc (X → Z) «  —   » (X → Z) c’est-à-dire que cette

série est « semblable » à elle-même (28). Mais, par contre,

b o b

(X → Z) «  —   » (Z → X) est absurde, parce que si je change

l’ordre entre X et Z je n’ai plus les mêmes relations. Appe-

a₂ a’₂

lons a₂ la relation Z → Y et a’₂ la relation Y → X. Alors a₂ + a’₂ = b₂ et b₂ n’est pas égal à b₁ puisqu’en b₁ X est à gauche de Z et qu’en b₂ Z est à gauche de X.

Nous dirons donc que, si l’on s’en tient aux relations qualitatives a₁ ; a’₁ ; b₁ et a₂ ; a’₂ ; b₂, les deux séries ne sont, par définition, pas semblables l’une à l’autre, c’est-à-dire que :

b ₁ o b ₂

(29) (X → Z) « — |— » (Z → X)

et que les relations b₁ et b₂ ne sont par conséquent pas « vicariantes » :

(30) (a₁ + a’₁) ≠ (a₂ + a’₂) et b₁ ≠ b₂

Dira-t-on, au contraire que, en (29) il y a similitude parce que a₁ correspond à a₂ et a’₁ à a’₂, en respectant l’ordre a₁ + a’₁ et a₂ + a’₂, les termes seuls ayant été permutés, mais les relations spatiales étant restées les mêmes ? Certes, on peut aussi raisonner de cette seconde manière, mais alors on effectue une opération différente de la précédente : on ne met plus en correspondance les relations qualitatives que les termes X, Y et Z soutiennent entre eux et qui les caractérise (au moins momentanément), on met au contraire en correspondance des relations d’ordre comme telles, en faisant abstraction des qualités des objets. On énonce de la sorte un théorème mathématique, disant que sur une droite archimédienne un point quelconque est toujours à gauche d’un autre et à droite d’un troisième, mais on sort du domaine de la logique qualitative. C’est cette seconde opération qui caractérise la correspondance ordinale que nous appellerons « similitude généralisée » :

2° Il y a « similitude généralisée » si une série demeure « semblable à elle-même lorsque l’on permute l’ordre des termes :

b o b

(31) (X → Z) « — » (Z → X)

et, si a’₁ = a₂ et a₁ = a’₃ :

(32) (a₁ + a’₁) = (a₂ + a’₂) soit b₁ = b₂

Pour prendre un nouvel exemple soit X Y et Z, trois termes que je compte dans l’ordre X = le 1^er ; Y = le 2^e et Z = le 3^e et les relations :

a₁  = X → Y = le 1^er précède le 2^e.

a’₁ = Y → Z = le 2^e » le 3^e.

b₁  = X → Z = le 1^er » le 3^e.

Si je permute de façon quelconque, j’aurais par exemple :

a₂ = Z → Y ; a’₂ = Y → X et b₂ = Z → X

Faire correspondre b₂ à b₁ selon la « similitude généralisée » consistera donc à écrire maintenant Z = le 1^er ; Y = le 2^e et X = le 3^e, ce qui permet de laisser les relations invariantes et de conclure selon (31) et (32). Mais alors nous sortons des règles de ce groupement VII et de celles du groupement V, selon lesquelles les relations asymétriques ne sont pas vicariantes : la vicariance des relations asymétriques signifie, en effet, que l’on n’envisage plus les relations sous leur aspect qualitatif de rapports durables ou momentanés entre des objets, mais en tant que types d’ordre purement relatifs. Par exemple, pour la similitude généralisée « X est à gauche de Y » est la même relation ou le même type d’ordre que « Y est à gauche de X », tandis que pour la logique qualitative ce sont deux ordres ou deux relations différents. De même « A est le 1^er et B est le 2^e » ou « B est le 1^er et A le 2^e » sont pour la logique qualitative deux jugements différents, c’est-à-dire qu’ils « qualifient » autrement A et B. Pour la similitude généralisée c’est au contraire la même relation ; et effectivement c’est cette abstraction des qualités de l’objet qui, verrons-nous, permet de définir le nombre mais elle contraint par cela même à renoncer aux règles des groupements qualitatifs.

Notons encore que cette opération (31) et (32) ne s’applique qu’aux nombres finis ce qui explique la correspondance terme à terme existant entre les ordinaux et des cardinaux finis. Dans le transfini, au contraire (ω + 1) est différent de (1 + ω), ce qui montre d’emblée que si le groupement VII ne s’applique pas au nombre inductif, nous le retrouverons dans les ensembles bien ordonnés infinis.

Enfin, il est facile de voir que la similitude qualitative (29) et (30) correspond à la correspondance bi-univoque qualifiée (22) et (22bis) tandis que la similitude généralisée (31) et (32)

correspond à la correspondance bi-univoque quelconque (21).

a a

En effet, si nous posons, les relations (A₁ → B₁ → C₁) et

a a a

(A₂ → B₂ → C₂) où → signifie « A₁ est le 1^er et B₁ le 2^e » etc. ; on peut réunir (A₁ + A₂) en une classe A ; (B₁ + B₂) en une classe B et (C₁ + C₂) en une classe C. On a alors :

b a ⁱ b b a ⁱ b

(33) (A → C) « — » (A₁ → C₁) et (A → C) « — » (A₂ → C₃)

où aⁱ sera la relation d’inclusion unissant A à A₁ et à A₂ ;

B à B₁ et à B₂ et C à C₁ et C₂. La correspondance signifiera alors que « la première classe A correspond à la première classe singulière A^l, la 2e classe B à la 2e classe singulière B₁… etc. »

Les notions de 1^er, 2^e etc. ne sont alors que des qualifications attribuées à des classes de termes singuliers ou de plusieurs termes réunis, etc. et alors la correspondance bi-univoque est qualifiée, ainsi que la similitude, ce qui interdit la vicariance. Au contraire, si nous procédons par similitude généralisée, nous avons le droit de vicarier et toute suite finie sera semblable à elle-même, mais alors on ne peut plus parler de classes au sens de (32) et, du point de vue cardinal, il serait absurde de faire correspondre le tout à la partie. Nous verrons ultérieurement (chap. XI, Rem. II) que c’est l’opposition de ces deux sortes d’opérations, les unes quelconques et les autres qualitatives, qui explique la différence des nombres inductifs et des nombres « réflectifs », ces derniers étant à nouveau soumis, par le fait de leur nature infinie et non-itérante, aux règles de la logique qualitative, c’est-à-dire aux correspondances (22) et (29 ; 30).