Chapitre X.
Le groupement de la multiplication co-univoque des relations (Groupement VIII)
a
La multiplication des relations, comme celle des classes, suppose une mise en correspondance. Mais cette correspondance peut être bi-univoque ou co-univoque. La correspondance bi-univoque définit la multiplication d’une série additive simple par une autre série additive simple (relations asymétriques). Au contraire, lorsque l’on multiplie les relations asymétriques d’une suite additive simple par les relations symétriques des suites additives secondaires, il y a correspondance co-univoque : cela est d’autant plus naturel que les relations symétriques résultent précisément de la multiplication des relations asymétriques par leurs converses, c’est-à-dire d’une mise en correspondance co-univoque.[?][?]
L’exemple le plus connu de ces structures est celui des relations de descendance ou généalogiques. Nous allons chercher à montrer que l’ensemble de ces relations constitue également un groupement, qui est même le plus complexe et le plus intéressant des groupements élémentaires d’opérations logiques. Mais c’est à condition, bien entendu, de faire abstraction des parentés par alliance, qui ne sont pas composables de manière homogène. Nous supposerons donc simplement une lignée régulière formée d’individus mâles dont chacun aurait plus de deux fils, en nous donnant la liberté de remonter indéfiniment de fils en pères ou de poursuivre indéfiniment de descendants en descendants. On peut alors multiplier n’importe quelle relation simple (père et fils) ou complexe (oncle et neveu) par n’im-
porte quelle autre, composer indéfiniment des hyper-oncles et des hyper-cousins, et retrouver toujours des relations bien déterminées par leurs rangs.
Les relations de départ sont donc données par la multiplication co-univoque suivante :
a a a…n
(1) (A ↓ : B) × (C ↑ : A) = (B C) où n = g
g g
Voici d’abord la série des relations verticales :
A ↓a B = A est le père de B
A ↓b C = A est le grand-père de C
A ↓c D = A est l’arrière grand-père de D
…etc.
B ↓a’ C = (b — c) = B est le père de C ; où a’ = a2 = a
C ↓b’ D = (c — b) = C est le père de D ; où b’ = a3 = a
…etc.
B ↑a A = B est le fils de A
C ↑b A = C est le petit-fils de A
D ↑c A = D est l’arrière petit-fils
…etc.
C ↑a’ B = C est le fils de B ; où a’ = a2 = a
D ↑b’ C = D est le fils de C ; où b’ = a3 = a.
E ↑c’ D = E est le fils de D ; où c’ = a4 = a
…etc.
Ces relations se composent naturellement entre elles par additions simples :
(2) (A ↓g B) × (B ↓g’ C) = (A ↓g + g’ C)
et (2 bis) (A ↓g B) × (B ↑ g’ C) = (A ↓g — g’ C)
Lorsque (g’ > g) il va de soi que, en (2bis) le produit (↓ — a) signifie ↑a. Par exemple (A ↓b B) × (B ↑c C) = (A ↑a C). Il est à noter en outre que nous n’employerons jamais, pour les additions verticales, les relations secondaires a’, b’, c’… etc., mais seulement les relations primaires selon la notation du chap. VII sect. 2. De plus, pour simplifier, nous n’utiliserons pas d’indices pour les distinguer les unes des autres, étant entendu que si (A ↓b B) × (B ↓b [?][?][?]C) = (A ↓d C), il s’agit de deux relations différentes d’ordre b.
Quant aux relations horizontales, nous avons le tableau :
a
A ↔ B = A a le même père que B
b
A ↔ C = A a le même grand-père que C
c
A ↔ D = A a le même arrière-grand-père que D
… etc.
Ces relations sont dues aux multiplications :
a
(A ↑a L) × (L ↓a B) = A ↔ B
b
(A ↑b M) × (M ↓b C) = A ↔ C
c
(A ↑c N) × (N ↓c D) = A ↔ D
… etc. qui résultent de la formule (1).
De telles relations sont transitives et symétriques ; elles sont
a b
en outre réflexives, c’est-à-dire que l’on a A ↔ A ; A ↔ A ; … etc. puisque « A a le même père que lui-même », qu’il « a le même grand-père que lui-même », etc. On a de plus, comme on l’a vu au chap. VIII, par soustraction de ces relations asymétriques primaires, les relations symétriques secondaires non transitives comme telles, ni réflexives :
a’ b
B ↔ C = B a le même grand-père que C soit (B ↔ C)
-a
mais pas le même père (B ↔ C) =
B est le cousin-germain de C.
b’
C ↔ D = C a le même arrière-grand-père que D (soit
c
C ↔ D) mais pas le même grand-père
-b
(C ↔ D) = C est le cousin issu de germains de D.
c’ d -c
D ↔ E = (D ↔ E) × (D ↔ E).
La composition des relations horizontales entre elles obéit naturellement au principe de l’addition secondaire des relations (chap. VIII). Soit :
n
si n > n’ alors (A ↔ C)
n n’
(3) (A ↔ B) × (B ↔ C) =
-
n’
si n < n’ alors (A ↔ C)
n
si n et n’ sont d’ordre primaire, alors (A ↔ C)
(3bis) Si n = n’
-
n
si n et n’ sont d’ordre secondaire, alors (A ↔ C)
-
où n = la relation primaire de rang immédiatement supérieur
-
à n’. D’une manière générale nous écrirons n pour désigner la relation primaire résultant de l’addition n + n’ quand n = n’, que n et n’ soient d’ordre primaire ou secondaire 1.
a
Il reste à définir deux relations d’ordre inférieur à ↔ dont nous n’avons pas eu besoin jusqu’à présent, mais dont l’existence est naturellement générale (voir chap. VIII, rel. 2 et 2bis) : ce sont les relations primaire et secondaire qui correspondent à l’opération identique et qui, dans le cas particulier des rapports de famille, permettent de caractériser la notion de frère.
a
On a donc A ↔ A, soit « A a le même père que lui-même ».
o
Mais on peut aussi concevoir la relation A ↔ A, soit « A (n’est pas son propre frère, mais) est lui-même » qui dérive comme les autres relations symétriques et réflexives, de la multiplication d’une relation asymétrique par sa converse :
o
(A ↓o A) × (A ↑o A) = (A ↔ A)
Ces relations définissent proprement l’identique générale
b a’
du groupement. Or, de même que ↔ se dissocie en ↔ et en
a c b b’ a
↔ ; ↔ en ↔ et en ↔ ; … etc. de même la relation A ↔ B,
o
soit « A a le même père que B », peut se dissocier en A ↔ A
[?][?][?][?][?][?][?] o’
(opération identique), et A ↔ B, soit « A a le même père que B, B étant autre que A lui-même », donc « A est frère de B ».
Bien plus, de même que l’on a (chap. VIII, prop. 9) a’ +
a’ = b ; b’ + b’ = c ; … etc. De même on a (o’ + o’ = a), soit
o’ o’ a
(A ↔ B) + (B ↔ X) = (A ↔ X) où (X = C) ou bien (X = A lui-même).
o o’
Enfin (prop. 3) l’on a également (A ↔ A) + (A ↔ B) =
o’ o’ o o’
(A ↔ B) et (3bis) (A ↔ B) + (B ↔ B) = (A ↔ B).
Cela dit, il convient pour les autres développements de ces propositions (3) et (3bis) de se reporter aux propositions (1) à (9) du chap. VIII, toutes applicables telles quelles aux présentes relations horizontales.
Définissons maintenant les relations (entre un terme quelconque A et un autre terme quelconque B) résultant de la multiplication d’une relation verticale (asymétrique) par une relation horizontale (symétrique) ou l’inverse :
o
A ↔ ↓a B = A est le frère du père de B, donc l’oncle de B.
a’
A ↔ ↓a B = A est le cousin -germain du père de B.
b’
A ↔ ↓a B = A est le cousin issu de germain du père de B.
… etc.
o’
A ↔ ↓b = A est le frère du grand-père de B.
o’
A ↔ ↓c B = A est le frère de l’arrière-grand-père de B.
… etc.
a’
A ↓a ↔ B est le père du cousin-germain de B.
b’
A ↓b ↔ B = A est le grand-père du cousin issu de germain
de B.
… etc.
o’
A ↑a ↔ B = A est le fils du frère de B, donc le neveu de B.
a’
A ↑a ↔ B = A est le fils du cousin-germain de B.
a’
A ↑b ↔ B = A est le petit-fils du cousin-germain de B.
… etc.
a’
A ↔ ↑a B = A est le cousin-germain du fils de B.
…etc.
Comment construire les relations ainsi définies ? On a d’abord les multiplications co-univoques suivantes, qui engendrent les deux formes différentes (A ↔↓ B) et (A ↑↔ B) et leurs converses :
n n
(4) (A ↔ B) × (B ↓g C) = (A ↔ ↓g C)
n
qui se convertit en (C ↑g ↔ A)
n n
et (4 bis) (A ↓g B) × (B ↔ C) (A ↓g ↔ C)
n
qui se convertit en (C ↔↑g A)
Il est donc à noter que la multiplication co-univoque des
relations n’est pas commutative (à l’opposé de la multiplica-
n
tion bi-univoque), puisque (A ↔ ↓g C) n’est pas identique à
n
(A ↓g ↔ C) : le frère du père, par exemple, n’est pas identique
o’
au père du frère. Mais si (A ↔ ↓a B), donc si « A est le frère
o’
du père de B », alors on a bien (B ↑a ↔ A), c’est-à-dire « B est le fils du frère de A ».
Mais cela étant posé, comment pourrons-nous procéder
n ?
de la forme (A ↔ ↓g B) à la forme (A ↓g ↔ B) ? Si, par exemple,
a’
on a (A ↔ ↓a B), donc « A est le cousin-germain du père de B »,
n
comment écrire la même relation sous la forme (A ↓g ↔ B) ?
a’ b’
Dans le cas particulier (A ↔ ↓a B) donne (A ↓a ↔ B), donc « A est le père du cousin issu de germains de B ». Peut-on donc poser de façon générale :
n ng
(A ↔ ↓g B) = (A ↓g ↔ B) ?
Et comment calculer le rapport ng ? Commençons par faire correspondre les unes aux autres les relations verticales et les relations horizontales (cf. la multiplication co-univoque des classes, chap. VI, tab !. 1). On a ainsi la table suivan[?][?][?][?][?][?][?][?][?][?][?][?]te de multiplications co-univoques de relations :
(5) Correspondances co-univoques :
o o’ a’ b’ c’ d’ e’ n
↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔
o
↓o o = ↔
a
↓a o o’ = ↔
b
↓b o o’ a’ = ↔
c
↓c o o’ a’ b’ = ↔
d
↓d o o’ a’ b’ c’ = ↔
e
↓e o o’ a’ b’ c’ d’ = ↔
f
↓f o o’ a’ b’ c’ d’ e’ = ↔
: …etc.
etc.
↓g
Voici la signification de ce tableau. La première ligne hori-
o o
zontale se lit (A ↓o A) × (A ↔ A) = (A ↔ A) et représente
ainsi l’individu de départ A dont sont issues les générations
a
suivantes. La seconde ligne horizontale se lit ↔ × ↓a = o + o’ = a et représente les seules relations possibles (o, o’ et a) entre
individus de première génération issus de A. La troisième
b
ligne se lit ↔ × ↓b = b et représente les seules relations possibles (o + o’ + a’ = b) entre individus de deuxième génération
issus de A. La quatrième ligne horizontale figure la troisième
o o’ a’ b’
génération ↓c, d’où les relations ↔, ↔, ↔ et ↔ : les individus
c
qui en font partie sont donc tous ↔ entre eux (arrières-petits-
-fils du même arrière grand-père). La quatrième génération
o o’ a’ b’ c’
(↓d) comporte les relations ↔, ↔, ↔, ↔ et ↔ et tous les indi-
d
vidus qui la composent sont entre eux ↔ ; … etc.
Pour calculer le rapport ng, il suffit donc d’additionner n à g, dans le tableau (5) : le produit ng est alors déterminé soit par la relation primaire d’ensemble (si dans n + g la
relation n est d’ordre primaire), soit par la dernière rela-
tion secondaire de la suite additive n + g, si n est d’ordre secondaire. On a ainsi les tables de multiplication suivantes que nous tirons sans plus du tableau des correspondances (5) :
n × g = ng et n × g = ng
o × o = o o’ × o = o’
a × o = a o’ × a = a’
b × o = b o’ × b = b’
…etc. o’ × c = c’
o × a = a …etc.
o × b = b a’ × o = a’
o × c = c a’ × a = b’
…etc. a’ × b = c’
a × a = b a’ × c = d’
a × b = c …etc.
a × c = d b’ × o = b’
…etc. b’ × a = c’
b × a = c b’ × b = d’
c × a = d b’ × c = e’
d × a = e …etc.
…etc. c’ × o = c’
b × b = d c’ × a = d’
b × c = e c’ × b = e’
b × d = f c’ × c = f’
…etc. …etc.
c × b = e d’ × a = e’
c × c = f d’ × b = f’
c × d = g d’ × c = g’
…etc. …etc.
Il est donc légitime de généraliser, en vertu, des correspondances du tableau (5) une première transformation fondamentale du groupement, que nous écrirons :
n ng
(6) (A ↔ ↓g B) = (A ↓g ↔ B)
ou, en vertu de (4bis) :
n ng
(6 bis) (A ↔ ↓g B) = (B ↔ ↑g A)
Le calcul de ng s’opère grâce aux deux tables précéden-
tes, en considérant naturellement la relation ↓ g comme
n
comme relative au point de départ fixé par la relation
a’
considérée. Par exemple, si A est le c[?][?][?][?][?][?][?][?][?][?][?]ousin-germain ()
de l’arrière-grand-père (↓c) de B, alors A est l’arrière-grand-
d’
père (↓c) du cousin de rang (↔) de B (parce que a’ + c = d’).
a’ d’ d’
Soit (A ↔ ↓c B) = A (↓c ↔ B) = (B ↔ ↑cA).[*]
o’
Ou encore si A est le frère du grand-père de B (A ↔ ↓b B),
b’
A est également (A ↓b ↔ B), c’est-à-dire grand-père du cousin issu de germains de B.
Inversement, on a :
n : g = (n : g) et n : g = (n : g)
o : o = o o’ : o = o’
o : a = o o’ : a = o
…etc. …etc.
a : o = a
a : a = o a’ : o = a’
a : b = o a’ : a = o’
…etc. a’ : b = o
b : o = b …etc.
b : a = a
b : b = o b’ : o = b’
…etc. b’ : a = a’
c : o = c b’ : b = o’
c : a = b b’ : c = o
c : b = a …etc.
c : c = o
…etc. c’ : o = c’
d : o = d c’ : a = b’
d : a = c c’ : b = a’
d : b = b c’ : c = o’
d : c = a c’ : d = o
d : d = o …etc.
…etc.
D’où la seconde transformation fondamentale du groupement :
n n :g
(7) (A ↓g ↔ B) = (A ↔ ↓g B)
et, en vertu de (4) :
n n :g
(7 bis) (A ↓g ↔ B) = (B ↑g ↔ A)
Par exemple, si A est le grand père (↓b) du cousin issu
[*] [Note FJP : Nous avons remplacé C par B à la deuxième ligne, et B’ par B à la 4e ligne.]
b’ b’ o’
de germains (↔) de B (soit A ↓b ↔ B), alors il est le frère (↔)du grand-père de B. Soit :
b’ o’ o’
(A ↓b ↔ B) = (A ↔ ↓b B) = (B ↑b ↔ A)
Si n ≤ g, on a naturellement :
n o
(7ter) (A ↓g ↔ B), pour n ≤ g, = (A ↓g ↔ B) = (A ↓g B)
puisque les relations horizontales correspondent de façon
co-univoque aux relations verticales et qu’ainsi une relation
a…n = g
↓g correspond à toutes les relations . Il est clair, par exemple, que le grand-père de mes cousins-germains est également (par définition) mon grand-père, ainsi que celui de mes frères.
Ces transformations ainsi définies, nous pouvons compo-
ser n’importe quel élément du groupement, soit les produits
n n
du type (A ↓g ↔ B) ou (A ↔ ↓g B), etc. avec n’importe quel autre et retrouver toujours une relation du groupement.
Première figure : (AB) × (BC) = (AC)
Grâce aux deux transformations fondamentales (6) et (7) il est possible, tout d’abord de composer n’importe quel produit à deux dimensions (A ↓ ↔ B) ou (A ↔ ↓ B) avec n’importe quel autre (B ↓ ↔ C) ou (B ↔ ↓ C) et d’obtenir encore une relation généalogique à deux dimensions (A ↓ ↔ C) ou (A ↔ ↓ C).
Partons de la proposition (7ter) en l’appliquant sans plus à trois individus :
n
(8) Si n ≤ g, alors (A ↓g B) × (B ↔ C) = (A ↓g C)
Nous appellerons « famille g » de A l’ensemble des individus issus de A de génération quelconque g, tels que les relations horizontales existant entre eux ne dépassent pas n[?][?][?][?][?][?][?] = g. Si n > g, on a, en vertu de (7) :
n n :g
(8bis) Si n > g, alors (A ↓g B) × (B ↔ C) =(A ↔ ↓g C)
C’est cette relation qui permet d’effectuer les compositions sortant des limites de la famille g de A ; elle résulte donc de la définition même de la division des relations (rel. 7 et 7bis).
En introduisant un déplacement vertical de plus, on a :
si n ≤ g alors (A ↓g+g’ C)
n n :g
(9) (A ↓g B) × (B ↔ ↓g’ C) = si n > g alors (A ↔ ↓g+g’ C)
ng
ou (A ↓g+g’ ↔ C)
et (9 bis) :
si n ≤ g alors (A ↓g+g’ C)
n
(A ↓g ↔ B) × (B ↓g’ C) =
n :g
si n > g alors (A ↔ ↓g+g’ C)
ng
ou (A ↓g+g’ ↔ C)
Ces relations dérivent également sans plus des transformations (6) et (7). Nous pouvons maintenant généraliser :
n n’
(10) (A ↓g ↔ B) × (B ↓g’ ↔ C) = (A ↓g+g’ C)
Si n et n’ demeurent dans la famille (g + g’) de A, c’est-à-dire si n ≤ g et si n’ ≤ (g + g’). Si ces deux conditions ne sont pas remplies simultanément, on a :
ng’
Si n’ < ng’ alors (A ↓g + g’ ↔ C)
n’
Si n’ > ng’ alors (A ↓g + g’ ↔ C).
Si n’ = ng’ alors (A ↓g + g’ C).
Voici un exemple pour (n ≤ g) et (g + g’ ≥ n’) :
a’ b’
(A ↓c ↔ B) × (B ↓b ↔ C) = (A ↓e C)
Et pour (n ≤ g) mais (g + g’ < n’) :
a’ d’ d’
(A ↓c ↔ B) ×(B ↓a ↔ C) = (A ↓a ↔ C)
parce que (a’ × a) < d’
Pour (g + g’) < n’ et (n > g) :
a’ a’ b’
(A ↓a ↔ B) × (B ↓a ↔ C) = (A ↓b ↔ C)
parce que (a’ × a) > a’
Revenons maintenant aux compositions (8bis) et (9) et ajoutons un déplacement horizontal entre A et B :
si n’ < ng, alors
n
(A ↔ ↓g +g’ C)
si n’ > ng, alors
n n’
(11) (A ↔ ↓g B) × (B ↔ ↓g’ C) =
n’:g
(A ↔ ↓g +g’ C)
si n’ = ng, alors
_
n
(A ↔ ↓g +g’ C)
—
où n = la première relation primaire englobant n.
Exemples :
Pour (n’ < ng) :
a’ o’ a’
(A ↔ ↓b B) × (B ↔ ↓a C) = (A ↔ ↓c B)
Pour (n’ > ng) :
a’ c’ b’
(A ↔ ↓a B) × (B ↔ ↓a C) = (A ↔ ↓b C)
Pour (n’ = ng):
a’ b’ b
(A ↔ ↓a B) × (B ↔ ↓a C) = (A ↔ ↓b C),
c’est-à-dire que A peut être :
o’ a’
(A ↓b C) ou (A ↔ ↓b C) ou (A ↔ ↓b C)
n n’
(11 bis) Pour : (A ↔ ↓b B) × (B ↔ C)
on a naturellement les mêmes transformations que pour
n’
(B ↔ ↓g C).
Si nous combinons maintenant l’une avec l’autre les compositions (10) et (11) nous trouvons :
Si n’ < n (g + g’) alors :
n
(A ↔ ↓g + g’ C)
Si n’ > n (g + g’) alors :
n n’
(12) (A ↔ ↓g B) × (B ↓g’ ↔ C) = n’:(g+g’)
(A ↓g+g’ C)
Si n’ =n(g+g’) alors :
—
n
(A ↔ ↓g +g’ C)
Exemple pour n’ < n (g + g’) :
a’ a’ a’
(A ↔ ↓a B) × (B ↓a ↔ C) = (A ↔ ↓b C)
Pour n’ > n (g + g’) :
a’[?][?][?][?][?] d’ b’
(A ↔ ↓a B) × (B ↓a ↔ C) = (A ↔ ↓b C)
a’ e’ c’
(A ↔ ↓a B) × (B ↓a ↔ C) = (A ↔ ↓b C)
…etc.
Pour n’ = n (g +g’) :
a’ d’ b
(A ↔ ↓b B) × (B ↓a ↔ C) = (A ↔ ↓c C) où b = o, o’ et a’
De même on peut calculer :
n n’
(13) (A ↓g ↔ B) × (B ↔ ↓g’ C) = (A ↓g+g’ C) si (n + n’) ≤ g
ng’
Si n > n’ alors (A ↓g+g’ ↔ C)
Si (n + n’) > g on a n’g’
Si n < n’ alors (A ↓g+g’ ↔ C)
—
(n=n’) g’
Si n = n’ alors( ↓g+g’ C)
— —
où ng’ = n’g’ est la première relation primaire supérieure à ng’, si ng’ est secondaire.
Exemples :
a’ a’
Pour (n + n’) ≤ g (A ↓b ↔ B) × (B ↔ ↓d C) = (A ↓f C)
parce que a’ + a’ = b
Pour :
b’ a’ c’
(n + n’) > g et n > n’ (A ↓b ↔ B) × (B ↔ ↓a C) = (A ↓c ↔ C)
a’ b’ c’
— et n’ > n (A ↓b ↔ B) × (B ↔ ↓a C) = (A ↓c ↔ C)
a’ a’ c
— et n’ = n (A ↓a ↔ B) × (B ↔ ↓a C) = (A ↓b ↔ C)
Il est à noter que l’opération (n + n’) est ici une addition secondaire et non pas simple, comme il est naturel puisque dans la forme que prend la relation (13) les relations n et n’ se prolongent directement l’une l’autre (et au même niveau).
Il convient maintenant d’examiner un ensemble de compositions que l’on peut effectuer en inversant les déplacements verticaux :
n n’
(14) (A ↔ ↑g B) × (B ↔ ↑g’ C) = (A ↓g+g’ C)
si (n’g) ≤ (g+g’)
Si n’g sort de la famille (g + g’) de A, on a :
n’g
n’g > n alors (A ↔ ↑g+g’ C)
n
Si n’g > (g + g’) n’g < n alors(A ↔ ↑g+g’ C)
—
n
n’g = n alors (A ↔ ↑g+g’ C)
Exemples :
a a’
Pour n’g > (g + g’) et n’g > n … (A ↔ ↑a B) × (B ↔ ↑a C) =
b’
(A ↔ ↑b C)
c’ a’
— et n’g < n … (A ↔ ↑a B) × (B ↔ ↑a C) =
c’
(A ↔ ↑b C)
b’ a’
— et n’g = n … (A ↔ ↑a B) × (B ↔ ↑a C) =
c
(A ↔ ↑b C)
Et encore :
n n’
(15) (A ↑g ↔ B) × (B ↑g’ ↔ C) =
n :g’
Si n > g’n’ alors (A ↑g + g’ ↔ C)
n’
Si n < g’n’ alors (A ↑g + g’ ↔ C)
—
n’
Si n = g’n’ alors (A ↑g + g’ ↔ C)
Exemples :
b’ a a’
Pour n > g’n’ … (A ↑a ↔ B) × (B ↑a ↔ C) = (A ↑b ↔ C)
a a a
Pour n < g’n’ … (A ↑a ↔ B) × (B ↑a ↔ C) = (A ↑b ↔ C)
a’ a a
Pour n = g’n’ … (A ↑a ↔ B) × (B ↑a ↔ C) = (A ↑b ↔ C)
Puis, lorsque les deux, déplacement verticaux sont l’un descendant et l’autre ascendant :
n n’
(16) (A ↔ ↓g B) × (B ↑g’ ↔ C) =
n(g— g’)
Si (g — g’) > (n’ — n) alors (A ↓g — g’ C)
n’
Pour g > g’ Si (g — g’) < (n’ — n) alors (A ↓g — g’ ↔ C)
—
n’
Si (g — g’) = (n’ — n) alors (A ↓g — g’ ↔ C)
n :(g— g’)
Si (g’ — g) < (n — n’) alors (A ↑g’ — g C)
n’
Pour g < g’ Si (g’ — g) > (n — n’) alors (A ↑g’ — g ↔ C)
—
n’
Si (g’ — g) = (n — n’) alors (A ↑g’ — g ↔ C)
n
Si n > n’ alors (A ↔ C)
n’
Pour g = g’ Si n < n’ alors (A ↔ C)
n
Si n = n’ alors (A ↔ C)
II est à noter, lorsque g ≠ g’, que (n’ — n) est alors une soustraction simple et non pas secondaire, puisque n’ et n ne sont pas juxtaposés sur le même plan comme en (13) mais situés à des niveaux différents. Pour g = g’, par contre, il y a addition secondaire de n et de n’.
Exemples :
o’ a’
(g — g’) > (n’ — n) … (A ↔ ↓c B) × (B ↑a ↔ C) =
b’
(A ↓b ↔ C)
a b’
Pour g > g’ (g — g’) < (n’ — n) … (A ↔↓b B) × (B ↑a ↔ C) =
b’
(A ↓a ↔ C)
a a’
(g — g’) = (n’ — n) … (A ↔ ↓b B) × (B ↑a ↔ C) =
b
(A ↓a ↔ C)
b’ a
(g’ — g) < (n — n’) … (A ↔ ↓a B) × (B ↑b ↔ C) =
a’
(A ↑a ↔ C)
a’ a
Pour g < g’ (g’ — g) > (n — n’) … (A ↔ ↓a B) × (B ↑c ↔ C) =
a
(A ↑b ↔ C)
a’ a
(g’ — g) = (n — n’) … (A ↔ ↓a B) × (B ↑b ↔ C) =
a
(A ↑a ↔ C) … etc.
D’autre part :
n n’
(17) (A ↔ ↑g B) × (B ↔ ↓g’ C) =
n(g’— g)
Si (n : g) > n’ alors (A ↓g’ — g C)
n’g’
Pour g < g’ Si (n : g) < n’ alors (A ↓g’ — g ↔ C)
—
n’g’
Si (n : g) = n’ alors(A ↓g’ — g ↔ C)
n’g’
Si n’g’ > n alors (A ↑g — g’ ↔ C)
n’g’
Pour g > g’ Si n’g’ < n alors (A ↑g — g’ ↔ C)
n
Si n’g’ = n alors (A ↑g — g’ ↔ C)
n
Si (n : g) > n’ alors (A ↔ C)
n’g’
Pour g = g’ Si (n : g) < n’ alors (A ↔ C)
—
n
Si (n : g) = n’ alors (A ↔ C)
Exemples :
b’ a
(n : g) > n’ … (A ↔ ↑a B) × (B ↔ ↓b C) =
c’
(A ↓a ↔ C)
a’ a’
Pour g < g’ (n : g) < n’ … (A ↔ ↑a B) × (B ↔ ↓c C) =
d’
(A ↓b ↔ C)
b’ a’
(n : g) = n’ … (A ↔ ↑a B) × (B ↔ ↓b C) =
d
(A ↓a ↔ C)
a’ a’
n’g’ > n … (A ↔ ↑b B) × (B ↔ ↓a C) =
b’
(A ↑a ↔ C)
b’ o’
Pour g > g’ n’g’ < n … (A ↔ ↑b B) × (B ↔ ↓a C) =
a’
(A ↑a ↔ C)
a’ o’
n’g’ = n … (A ↔ ↑b B) × (B ↔ ↓a C) =
a’
(A ↑a ↔ C) … etc.
De même :
n n’
(18) (A ↓g ↔ B) × (B ↑g’ ↔ C) =
n’
Si n’ > (n : g’) alors (A ↑g’ — g ↔ C)
n :g’
Pour g < g’ Si n’ < (n : g’) alors (A ↑g’ — g ↔ C)
—
n’
Si n’ = (n : g’) alors (A ↑g’ — g ↔ C)
—
n’
Si n’ ≤ (g — g’) alors (A ↓g — g ↔ C)
n ≤ g
n’
Si n’ > (g — g’) alors (A ↓g — g ↔ C)
Pour g > g’ n’
Si n’ > (n : g’) alors (A ↓g — g ↔ C)
n :g’
n > g Si n’ < (n : g’) alors (A ↓g — g ↔ C)
—
n’
Si n’ = (n : g’) alors (A ↓g — g ↔ C)
n’
Si n’ > (n : g’) alors (A ↔ C)
n :g’
Pour g = g’ Si n’ < (n : g’) alors (A ↔ C)
—
n’
Si n’ = (n : g’) alors (A ↔ C)
Exemples :
a’ b’
n’ > (n : g’) … (A ↓b ↔ B) × (B ↑c ↔ C) =
b’
(A ↑a ↔ C)
c’ o’
n’ < (n : g’) … (A ↓a ↔ B) × (B ↑b ↔ C) =
Pour g < g’
a’
(A ↑a ↔ C)
c’ a’
n’ = (n : g’) … (A ↓a ↔ B) × (B ↑b ↔ C) =
b
(A ↑a ↔ C)
… etc.
Et enfin :
n n’
(19) (A ↑g ↔ B) × (B ↓g’ ↔ C) =
n’
Si ng’ < n’ alors (A ↓g’ — g ↔ C)
ng’
Pour g < g’ Si ng’ > n’ alors (A ↓g’ — g ↔ C)
—
n’
Si ng’ = n’ alors (A ↓g’ — g ↔ C)
n’
Si ng’ < n’ alors (A ↑g — g’ ↔ C)
n’g’
Pour g > g’ Si ng’ > n’ alors (A ↑g — g’ ↔ C)
—
n’
Si ng’ = n’ alors (A ↑g — g’ ↔ C)
n’
Si ng < n’ alors (A ↔ C)
ng’
Pour g = g’ Si ng > n’ alors (A ↔ C)
—
n’
Si ng = n’ alors(A ↔ C)
Deuxième figure : (AB) × (AC) = (BC)
Contentons-nous, pour analyser les compositions de cette seconde figure, d’exposer les quelques multiplications suivantes :
—
n’
Si n = n’ alors (B ↑g ↔ C)
n n’ n
(20) (A ↔ ↓g B) × (A ↔ C) = Si n > n’ alors (B ↑g ↔ C)
n’
Si n < n’ alors (B ↑g ↔ C)
De même :
n
Si n > n’ alors (B ↔ ↓g C)
n n’ n’
(20bis) (A ↔ B) × (A ↔ ↓g C) = Si n < n’ alors (B ↔ ↓g C)
—
n
Si n = n’ alors (B ↔ ↓g C)
(21)
—
n :g
Si (n :g) = n’ alors (B ↑g ↔ C)
n n’ n :g
(A ↓g ↔ B) × (A ↔ C) = Si (n :g) > n’ alors (B ↑g ↔ C)
n’
Si (n :g) < n’ alors (B ↑g ↔ C)
D’autre part :
(21bis)
—
n
Si (n’:g) = n alors (B ↔ ↓g C)
n n’ n
(A ↔B) × (A ↓g ↔ C) = Si (n’:g) > n alors (B ↔ ↓g C)
n’:g
Si (n’:g) < n alors (B ↔ ↓g C)
D’où :
n n’
(22) (A ↔ ↓g B) × (A ↔ ↓g’ C) =
n’g’
Si n < n’ alors (B ↔ C)
ng’
Pour g = g’ Si n > n’ alors (B ↔ C)
—
ng’
Si n = n’ alors (B ↔ C)
n’g’
Si n < n’ alors (B ↑g — g’ ↔ C)
ng’
Pour g > g’ Si n > n’ alors (B ↑g — g’ ↔ C)
—
n’g’
Si n = n’ alors (B ↑g — g’ ↔ C)
n’g’
Si n < n’ alors (B ↓g’ — g ↔ C)
ng’
Pour g < g’ Si n > n’ alors (B ↓g’ — g ↔ C)
—
ng’
Si n = n’ alors (B ↓g’ — g ↔ C)
n n’
(23) (A ↔ ↓g B) × (A ↑g’ ↔ C) =
n :g’
Si (n — n’) > g’ alors (B ↑g + g’ ↔ C)
n’
Si (n — n’) < g’ alors (B ↑g + g’ ↔ C)
—
n’
Si (n — n’) = g’ alors (B ↑g + g’ ↔ C)
Nous avons calculé de même une série d’autres combinaisons, dont il est inutile de donner le détail et qui confirment toujours la même structure de groupement par leurs produits rigoureusement déterminés.
Troisième figure : (AB) × (CB) = (AC)
Les compositions de cette troisième figure dérivent sans plus de celles de la première. Par exemple :
Si g = g’ alors (A = C)
(24) (A ↓g B) × (C ↓g’ B) = Si g > g’ alors (A ↓g— g’ C)
Si g < g’ alors (A ↑g’— g C)
qui se réduit à (2) :
n n’
(25) (A ↔ ↓g B) × (C ↔ ↓g’ B) =
—
n
Si n = n’ alors (A ↔ C)
n
Pour g = g’ Si n > n’ alors (A ↔ C)
n’
Si n < n’ alors (A ↔ C)
—
n
Si n’ = n (g — g’) alors (A ↔ ↓g — g’ C)
n
Pour g > g’ Si n’ < n (g — g’) alors (A ↔ ↓g — g’ C)
n’:(g-g’)
Si n’ > n (g — g’) alors (A ↓g — g’ C)
Le rapport g < g’ est par contre impossible, par défi-
nition, en cette multiplication (31), sauf sous la forme
n n
(A ↔ ↓g B) × (C ↔ ↑g’ B), auquel cas l’on a :[*]
n
Si (ng) = (n’ : g’) alors (A ↔ ↓g+g’ C)
n
Si g < g’ Si (ng) > (n’ : g’) alors (A ↔ ↓g+g’ C)
n’:(g+g’)
Si (ng) < (n’ : g’) alors (A ↓g+g’ C)
On voit l’analogie avec la formule (11).
Quatrième figure : (AB) × (CA) = (BC)
Les compositions de cette dernière figure sont identiques à celles de la seconde, avec renversement de la relation (AC).
Voici deux exemples :
g’
Si g < g’ alors (B ↔ ↓g— g’ C)
—
g’
(26) (A ↓g B) × (C ↑g’ a) = Si g > g’ alors (B ↑g— g’ ↔ C)
—
g’
Si g = g’ alors (B ↔ C)
n n’
et (27) (A ↔ ↓g B) × (C ↔ ↓g’ A) =
n :g’
Si n > n’g’ alors (B ↑g + g’ ↔ C)
n’
Si n < n’g’ alors (B ↑g + g’ ↔ C)
—
n’
Si n = n’g’ alors (B ↑g + g’ ↔ C)
Associativité
Les compositions de la première figure sont toutes directement associatives. Mais si l’on définit l’associativité par la formule (ab)c = a (bc), le compositions des trois autres figures présentent cette difficulté qu’il n’y a pas de termes communs entre (ab) et (c) et entre (a) et (bc). Par contre, il suffit de remplacer (b) par (ab) et (c) par (bc) pour constituer les suites associatives (a × ab) (bc) = (a) (ab × bc) ce qui est légitime ; ou encore il suffit d’inverser les relations CB ou CA des deux dernières figures. Bornons-nous pour abréger à quelques exemples de la première figure :
o’ a’ b’
(A ↔ ↓b B) × (B ↔ ↓c C) × (C ↔ ↓d D) =
o’ b’ o’
(ab) c = (A ↔ ↓e C) × (C ↔ ↓d D) = (A ↔ ↓i D)
o’ a’ o’
a (bc) = (A ↔ ↓b B) × (B ↔ ↓g D) = (A ↔ ↓i D)
a’ b’ a’
(A ↔ ↓c B) × (B ↑d ↔ C) × (C ↓b ↔ D) =
b’ a’ d’
(ab) c = (A ↑a ↔ C) × (C ↓b ↔ D) = (A ↓a ↔ D)
a’ d’ d’
a (bc) = (A ↔ ↓c B) × (B ↑b ↔ D) = (A ↓a ↔ D)
b’ a’ c’
(A ↑b ↔ B) × (B ↑a ↔ C) × (C ↑c ↔ D) =
b c’ c’
(ab) c = (A ↑c ↔ C) × (C ↑c ↔ D) = (A ↑f ↔ D)
b’ c’ c’
a (bc) = (A ↑b ↔ B) × (B ↑d ↔ D) = (A ↑f ↔ D)
a’ d’ b’
(A ↔ ↓c B) × (B ↓d ↔ C) × (C ↓b ↔ D) =
a’ b’ a’
(ab) c = (A ↔ ↓g C) × (C ↓b ↔ D) = (A ↔ ↓i D)
a’ b’ a’
a (bc) = (A ↔ ↓c B) × (B ↓b ↔ D) = (A ↔ ↓i D)
a’ c’ a
(A ↔ ↑c B) × (B ↔ ↑b C) × (C ↔ ↑a D) =
f’ a f’
(ab) c = (A ↔ ↑e C) × (C ↔ ↑a D) = (A ↔ ↑f D)
a’ c’ f’
a (bc) = (A ↔ ↑c B) × (B ↔ ↑c D) = (A ↔ ↑f D)
d’ a’ b’
(A ↔ ↑b B) × (B ↔ ↓c C) × (C ↓b ↔ D) =
e’ b’ g’
(ab) c = (A ↓a ↔ C) × (C ↓b ↔ D) = (A ↓c ↔ D)
d’ a’ g’
a (bc) = (A ↔ ↑b B) × (B ↔ ↓e D) = (A ↓c ↔ D)
b’ a’ o’
(A ↓b ↔ B) × (B ↑c ↔ C) × (C ↑d ↔ D) =
a’ o’ o’
(ab) c = (A ↑a ↔ C) × (C ↑d ↔ D) = (A ↑e ↔ D)
b’ o’ o’
a (bc) = (A ↓b ↔ C) × (B ↑g ↔ D) = (A ↑e ↔ D)
o’ d’
(A ↑a ↔ B) × (B ↓b ↔ C) × (C ↓e D) =
d’ i
(ab) c = (A ↓a ↔ C) × (C ↓e D) = (A ↓f ↔ D)
o’ i’ i
a (bc) = (A ↑a ↔ B) × (B ↓g ↔ D) = (A ↓f ↔ D)
… etc.
On comprend en de tels cas combien il est exact de considérer l’associativité comme conduisant au même résultat par deux voies différentes, puisque dans plusieurs de ces transformations ce ne sont pas les mêmes formules qui conduisent aux mêmes produits.
*
* *
Ainsi se termine l’analyse que nous projetions de faire des groupements purement logiques de classifications et de sériations : on voit que le même symbolisme des classes ou relations « primaires » et « secondaires » a suffi jusqu’à la fin à la traduction homogène des huit groupements successivement étudiés. Un tel fait est digne de remarque, au moment de passer à l’étude des nombres, dont la propriété fondamentale de l’itération abolit cette distinction des termes primaires et secondaires.