Chapitre VIII.
Le groupement de l’addition secondaire des relations symétriques (Groupement VI) ^a

De même que toute suite de classes emboîtées hiérarchiquement, A + A’ = B ; B + B’ = C ; C + C’ = D ; …etc. comporte un ensemble de suites secondaires qui forment les groupes réciproques de cette suite principale, de même nous venons de constater que toute série de relations asymétriques peut comporter, en cessant d’être connexe, une série de suites secondaires constituées par les relations symétriques que l’on peut extraire de la série asymétrique et l’on va voir maintenant qu’il est facile de « grouper » ces relations symétriques en groupements réciproques les uns des autres. Bien plus, comme on l’a déjà entrevu au Chapitre IV, Remarque II, le parallèle est si complet que ce sont les mêmes règles de composition qui, mutatis mutandis, régissent les groupes de l’addition secondaire des classes et ceux de l’addition secondaire des relations symétriques.

Il suffit, en effet, de multiplier par leur converse les rela-

a a’ b’

tions asymétriques d’une série N₁ → N₂ → N₃ → N₄… etc. en considérant les termes N₁ ; N₂ ; N₃ ; …etc. comme formés de plusieurs individus et non plus d’un seul, pour que deux conséquences s’ensuivent : 1° il existera entre les termes (N₁) ou (N₂) ou (N₁ + N₂) ; …etc. un système de relations symétriques définies par la co-appartenance à un intervalle donné ; 2° les termes (N₁), (N₂), (N₁ + N₂) etc. constitueront des classes dont ces relations symétriques seront les « relations de classes ».

On se rappelle (Chap. I et Chap. VII, Rem. II), que les relations non-asymétriques, c’est-à-dire celles que l’on ne peut pas sérier en des suites de différences continues, constituent des « relations de classes », qui sont symétriques et transitives. En effet, on ne peut pas sérier une collection quelconque de termes d’une même relation symétrique transitive, sinon en recourant à des relations d’une autre forme.

Par exemple, si A, B et C sont « collègues », on ne peut pas

a b

distinguer la première relation A ↔ B de la seconde A ↔ C, et il ne serait pas possible de la traduire sous la forme (a + a’ = b) puisque rien n’oppose a à a’ ou à b. La seule manière d’effectuer une sériation sera de distinguer différents degrés de collégialité (« même Faculté », « même Université », etc.), c’est-à-dire de subordonner ces relations symétriques à une série de relations asymétriques dont elles seront extraites par multiplication de chacune avec sa converse. Cette opération consistera, du même coup, à considérer ces relations symétriques comme exprimant les rapports donnés entre individus de classes emboîtées les unes dans les autres et d’extension croissante.

Or, par le fait même que les relations symétriques et transitives sont ainsi des « relations de classes », elles présentent, contrairement aux relations asymétriques, comme telles, la propriété caractéristique de la structure des classes, à savoir la possibilité de décomposer chaque rapport secondaire a’, b’, c’… etc. en autant de suites complètes s’étendant de l’ordre a jusqu’au rang de la relation secondaire considérée. En parallèle avec l’addition secondaire des classes, il existe donc un groupement des additions secondaires de relations, qui s’applique à toutes les relations symétriques et transitives issues des multiplications co-univoques.

Le meilleur exemple particulier que l’on puisse donner de ce genre d’opérations est le calcul des relations symétriques d’ordre généalogique (frères, cousins, etc.). Mais nous préférons conserver cet exemple, qui a déjà donné lieu, d’ailleurs, à une discussion préliminaire (Chap. IV, Rem. II), jusqu’au moment où nous pourrons l’insérer dans le tableau complet des multiplications co-univoques de relations (groupement VIII). Pour l’instant, choisissons l’exemple le plus général possible, qui présente en même temps l’intérêt de marquer plus que tout autre la parenté

des c[?]lasses et des relations symétriques dans cette composition des « relations de classes » : c’est celui des relations symétriques tirées d’une série asymétrique d’inclusions et d’appartenance. L’inclusion est, en effet, comme telle une relation asymétrique et transitive (non connexe) et une relation qui commande tout système hiérarchique de classes, puisque l’emboîtement de chaque classe primaire dans la suivante constitue précisément une rela-

tion d’inclusion. Quant à la relation d’« appartenance » (∈) re-

liant les individus à la classe qui les contient, elle est asymétrique et intransitive, mais on peut la combiner avec l’inclusion en posant

que si (X ∈ A) et que (A < B) alors (X ∈ B), c’est-à-dire si X

appartient à la classe A et si A est inclus en B, alors X appar-

tient à la classe B. Nous écrirons donc la chose de la manière

a a’ b

suivante (X → A) + (A → B) = (X → B), en considérant

l’appartenance comme la première relation asymétrique (→) d’une suite de relations asymétriques d’inclusion, ce qui permet de constituer ainsi une suite de relations transitives.

Dans le groupement que nous allons construire, seules seront envisagées les relations symétriques entre individus, ainsi fondées exclusivement sur l’appartenance. Mais il va de soi qu’on pourrait le développer en étendant aux relations symétriques entre classes (équivalences qualitatives et égalités), c’est-à-dire sur la co-inclusion. C’est ce que nous verrons au cours de la Remarque II.

Soit ainsi une suite de classes primaires dont chacune est incluse dans la suivante. Nous appellerons X un individu « appartenant » à la première de ces classes (la classe A), puis poserons une classe B, une classe C… etc., ce qui donne, si le signe général → désigne ici les relations asymétriques d’appartenance et d’inclusion :

a a’ b’ c’

X → A → B → C → D…etc.

soit « l’individu X appartient à la classe A », « la classe A est incluse dans la classe B », « la classe B est incluse dans la classe C… etc. Pour fixer les idées, nous pouvons reprendre l’exemple concret qui a déjà servi à illustrer les compositions des Chapitres III, IV et VI, soit A = l’espèce « Chat domestique » (d’où X = un Chat quelconque appartenant à cette espèce) ; B = le genre Chat ; C = la famille des Félins ou Félidés ; D = l’ordre des Carnassiers ; E la classe des Mammifères, etc.

Si maintenant nous multiplions chaque relation asymétrique d’« appartenance » (résultant des diverses additions possibles des relations asymétriques précédentes) par sa converse, nous obtenons le tableau suivant₁. Convenons seulement d’écrire sous la forme de flèches verticales les relations asymétriques d’appartenance et sous la forme horizontale les relations symétrique qui constituent leurs produits :

(X ↑ a A) × (A ↓ a Y) = (X ↔ Y) = « X appartient à la même espèce que Y ».

(X ↑ b B) × (B ↓ b Y) = (X ↔ Y) = « X appartient au même genre que Y ».

(X ↑ c C) × (C ↓ c Y) = (X ↔ Y) = « X appartient à la même famille que Y ».

(X ↑ d D) × (D ↓ d Y) = (X ↔ Y) = « X appartient au même ordre que Y ».

…etc.

D’autre part, il suffit de soustraire chacune de ces classes primaires à la suivante pour engendrer les relations symétriques secondaires (non transitives sans plus) que voici et qui correspondent aux rapports entre les classes primaires et secondaires du système convenu d’inclusions :

a’

b — a = (X ↔ Y) = « X appartient au même genre B que Y mais pas à la même espèce A ».

b’

c — b = (X ↔ Y) = « X appartient à la même famille C que Y mais pas au même genre B ».

c’

d — c = (X ↔ Y) = « X appartient au même ordre D que Y mais pas à la même famille C ».

…etc.

Ces opérations nous permettent maintenant de composer en un groupement initial, issu de l’addition et de la soustraction des classes en présence, toutes les relations de co-appartenance dont est susceptible l’individu X. Nous désignerons par An tout individu appartenant à

la même espèce A que X, par A’n tout individu appartenant à une autre espèce A mais de même genre B que X, par Bn tout individu appartenant au même genre B que X ; …etc. et nous appellerons x₁ toutes les relations de X (x₁ = a₁ ; a’₁ ; b₁… etc.) :

a ₁ a’ ₁ b ₁

(1) (X ↔ A_n) + (X ↔ A’_n) = X ↔ B_n (où B_n = A_n +A’_n)

b ₁ b’ ₁ c ₁

(X ↔ B_n) + (X ↔ B’_n) = X ↔ C_n (où C_n = B_n + B’_n)

c ₁ c’ ₁ d ₁

(X ↔ C_n) + (X ↔ C’_n) = X ↔ D_n (où D_n =C_n +C’_n)

…etc.

Ces opérations expriment donc simplement les relations entre X et les An ; X et les (An + A’n) ; etc. D’où la possibilité d’opérer inversement les soustractions Bn — An = A’n ; etc. ce qui engendre les relations :

c ₁ b’ ₁ b ₁

(1 bis) (X ↔ C_n) — (X ↔ B’_n) = (X ↔ B_n)

c ₁ b ₁ b’ ₁

(X ↔ C_n) — (X ↔ B_n) = (X ↔ B’_n)

c ₁ a ₁ a’ ₁ b’ ₁

(X ↔ C_n) — (X ↔ A_n) = (X ↔ A’_n) + (X ↔ B’_n)

Il est clair que de telles relations sont associatives et constituent bien un « groupement », mais à condition de nous en tenir aux relations x₁, en choisissant donc le terme X₁ comme système de référence. Le groupement définit ainsi le « point de vue » de X (par exemple, lorsqu’un individu donné dit « mes frères », « mes cousins germains », etc., il exprime un tel groupement). Il va de soi que l’on peut construire des groupements analogues avec les relations x₂ de X₂ (= l’un des An ou des A’n… etc.) x₃ de A₃… etc. Mais ce sont d’au-

tres groupements, réciproques de (1) et qui n’interviennent

b ₁

pas ici. C’est pourquoi une relation telle que (X ↔ An ; A’n)

signifie simplement « X appartient au même genre B que tous les An et tous les A’n » sans que l’on s’occupe des rapports des An entre eux ou des An avec les A’n.

L’identique générale est X ↔ X), qui résulte de (X ↑ o X) ×

(X ↓ o X) = X ↔ X).

Soit « X est le même individu que lui-même ». D’où :

a₁o₁o’₁

(2) (X ↔ A) — (X ↔ X) = (X ↔ A_n)

c’est-à-dire « X est de la même espèce que tous les autres

o’

individus de la même espèce que lui-même », la relation ↔

désignant donc le rapport entre X et les individus An autres que lui-même. D’où encore :

o ₁ o’ ₁ a ₁

(2 bis) (X ↔ X) + (X ↔ A_n) = (X ↔ X ; A_n)

Soit « X est de la même espèce que lui-même et que les autres individus de même espèce ».

Nous appellerons donc « groupement initial » les opérations (1) et (2). Mais ce groupe une fois construit, il va de soi que l’on peut en constituer autant de semblables qu’il existe d’individus An, A’n, Bn… etc. et que les relations de ces autres groupes interféreront avec celles du groupe initial. Choisissons, par exemple, un X₂ en B’. On aura si en B’ on trouve les classes A₃ A’₃ B₃ et B’₃ cette dernière englobant donc A et B (voir Chap. IV, prop. 3 et 4), les relations suivantes (a₂ désignent les relations de X₂) ; etc.

a ₂ a’ ₂ b’ ₂

(X₂ ↔ A₃_n) + (X₂ ↔ A’₃_n) = (X₂ ↔ B₃_n) (où B₃_n = A₃_n + A’₃_n)

etc.

b ₂ b’ ₂ c ₂

(X₂ ↔ B₃_n) + (X₂ ↔ B’₃_n) = (X₂ ↔ C₃_n)

Or C₃ = C et B’₃ englobent A et B de (1). De même la

b’ ₂ b’ ₁

relation (X₂ ↔ B’₃n) se confond avec (X₁ ↔ B’n) puisque X₂ appartient à B’ (ou est un B’n), du point de vue de X₁ et que X₁ appartient à B’₃ (est un B’₃n) du point de vue de X₂. On a donc :

b’ ₂ b’ ₁ c ₂ c ₁

(X₂ ↔ B’₃_n) = (X₁ ↔ B’_n) et (X₂ ↔ C₃_n) = (X₁ ↔ C_n)

Si maintenant nous généralisons, nous trouvons autant de groupes secondaires qu’il y a de classes d’individus A, A’, B’, C’… etc., chaque suite secondaire rejoignant la

suite initiale lors de la relation de rang correspondant à la classe considérée. D’où, si nous appelons maintenant x₂ les relations intérieures à A autres que x₁ (= relations de X₁) ; x₃ les relations des A’n ; x₄ les relations des B’n ; etc.:

a ₂ a ₂ a ₂ a ₁

(3) (A₁ ↔ A₂) ou (A₁A₂ ↔ A₃) etc. et (A_n ↔ X₁) = (X₁ ↔ A_n)

a ₃ a’ ₃ a’ ₃ a’ ₁

(A’₁ ↔ A’₂) ; (A’₁ ↔ A’₃) et (A’_n ↔ X₁) = (X₁ ↔ A’_n)

a ₄ a’ ₄ b’ ₄

(B’₁ ↔ B’₂) ; (B’₁ ↔ B’₂) ; (B’₁ ↔ B’₃)

b’ ₄ b’ ₁

et (B’_n ↔ X₁) = (X₁ ↔ B’_n)

a ₅ a’ ₅ b’ ₅ c’ ₅

(C’₁ ↔ C’₂) ; (C’₁ ↔ C’₃) ; (C’₁ ↔ C’₄) ; (C’₁ ↔ C’₅)

c’ ₅ c’ ₁

et (C’_n ↔ X₂) = (X₂ ↔ C’_n)… ; etc…

Ce tableau (3) est donc l’exact analogue, pour les suites réciproques d’additions secondaires de relations, de ce que sont les tableaux (1) et (2) du Chapitre IV pour les suites réciproques d’additions secondaires de classes. Ce tableau (3) signifie, en effet, simplement ceci : « si X₁ est de même espèce que A₁ (voir 1), on peut concevoir que A₁ est lui-même de même espèce que A₂, etc. et dans ces relations de A₁ avec d’autres individus rentre précisément celle de A₁ avec X₁ », puis « Si X₁ est d’une autre espèce que A’₁ mais de même genre que lui, alors A’₁ peut être de même espèce que A’₂, puis d’une autre espèce que A’₃, etc. ces dernières relations comprenant celle de A’₁ avec X₁ », …etc.

Or, si nous raisonnons maintenant sur ces additions complètes, c’est-à-dire sur plusieurs systèmes de relations à la fois, et non plus seulement sur les suites simples (1) et (2), qui se rapportent à un seul individu, trois conséquences s’ensuivent naturellement. En premier lieu, il y aura vicariance

ou réciprocité générales : par exemple, pour les individus de

a₅ a₁

de même espèce (C’₁ ↔ C’₂), les individus (X₁ ↔ A₁) rentrent

c’₅

dans la relation (C’₁ ↔ C’₅) et réciproquement pour X₁ et

A₁ les individus C’₁ et C’₂ rentrent dans la relation (X₁ ;

c’₁ ;₂

A₁ ↔ C’n). En second lieu, et par cela même, toute opération inverse deviendra identique à l’opération directe. En effet, si l’on n’envisage plus une simple sériation des relations du « point de vue » d’un seul individu, comme

en (1) mais plusieurs séries à la fois c’est-à-dire les relations réciproques unissant les « points de vue » les uns aux autres, alors la soustraction d’une relation à l’un des « points de vue » n’enlèvera rien aux relations réciproques entre les

« points de vue » eux-mêmes. Par exemple si X₁ est en A et

a’₁ ;₂

Y₂ en A’ on a X₁ ↔ Y₂. Si Z₂ est aussi en A’ mais dans la

a₂

même classe A que Y₂, on a Y₂ ↔ Z₂. Dans ce cas (a’₁ ;₂ — a₂) donne le même résultat a’ que (a’₁ ;₂ + a₂), puisque X₁ est toujours (a’₁ ;₂) de tous les A’n, que ce soit Y₂ ou Z₂, etc. Plus précisément, il n’y a plus à considérer de soustractions de classes, et l’opération inverse se réduit alors simplement au « point de vue » réciproque de celui qui définit l’opération directe : A ↔ X s’inverse ainsi en X ↔ A. En troisième lieu, les opérations ne consistent plus alors qu’en tautologies et résorptions, telles que (a + a = a), etc. ; a + a’ = a’ ; a + b’ = b’ ; b’ + a = b’… etc. sauf le cas où a’ + a’ = b ; b’ + b’ = c, etc. c’est-à-dire où les relations des suites secondaires rejoignent la suite initiale (1).

Les compositions d’ordre général que nous allons étudier maintenant, et qui constituent proprement la logique des relations symétriques, résultent ainsi simplement de la réunion en un système total des différents groupements réciproques constitués par les suites secondaires (3). On a d’ailleurs déjà vu (Chap. IV, Rem. II) comment ces compositions pouvaient être déduites de celles de l’addition secondaire des classes. Mais nous allons maintenant les exposer en elles-mêmes₁.

Il est clair, tout d’abord, que les compositions des relations primai-

a b c

res (↔, ↔, ↔, etc.) entre elles ne peuvent consister qu’en tautologies ou en résorptions de la relation d’ordre inférieur dans celle d’ordre

a a’

-a -a’

o’

-a

a b b

supérieur, puisque si (X ↔ Y) et (Y ↔ Z) on a aussi (X ↔ Z), X et Y étant équivalents :

a + b = b b + a = b a + a = a

a + c = c c + b = c b + b = b

…etc. …etc. …etc.

D’une manière générale, si nous appelons ↔ la relations

n’

entre X et Y et ↔ la relation entre Y et Z, et si n et n’ sont l’une et l’autre d’ordre primaire, on a :

si n ≥ n’ alors (X ↔ Z)

n n’

(4) (X ↔ Y) + (Y ↔ Z) =

n’

si n ≤ n’ alors (X ↔ Z)

Composons, d’autre part, les relations primaires et secondaires les unes avec les autres. Ces dernières sont naturellement symétriques comme les premières puisqu’elles expriment le rapport entre une classe primaire et la classe secondaire correspondante et que ce rapport est réciproque en tant que ces classes sont vicariantes (prop. 7 du chap. IV ;

groupement II). Par exemple si X tombe dans la classe A et

a’

que (X ↔ Y), alors Y est situé en A’, par exemple en A₂.

Mais alors pour l’individu Y, X sera en A’₂ et l’on aura aussi

a’ a’

(Y ↔ X). D’où (X ↔ Y). De même si X est en A et Y en B’,

b’

alors X est en B’₃ pour Y et l’on a X ↔ Y. On peut donc

n n

écrire de façon générale : (X ↔ Y) = (Y ↔ X) que n soit d’ordre secondaire ou primaire.

Dès lors, si l’on compose une relation : n = a, b, c… avec une relation n’ = a’, b’, c’… ou vice versa une relation n = a’, b’, c’… avec une relation n’ = a, b, c… on peut utiliser cette symétrie selon deux possibilités : ou bien n < n’ (nous dirons que la relation a’ est d’ordre supérieur à a puisqu’elle peut englober plusieurs a ; b’ supérieure à b, etc.), ou bien n > n’ (le cas n = n’ est donc exclus pour le moment). D’où :

n n’ n n’

Si n < n’, alors (X ↔ Y) + (Y ↔ Z) = (Y ↔ X) + (X ↔ Z)

a a’ a a’

Par exemple (X ↔ Y) + (Y ↔ Z) = (Y ↔ X) + (X ↔ Z),

mais il serait absurde de poser (X ↔ Z) en substituant Z à Y. D’où ₁ :

n n’ n’

(6) Si n < n’, alors (X ↔ Y) + (Y ↔ Z) = (X ↔ Y)

D’autre part :

n n’ n n’

(7) Si n > n’, alors (X ↔ Y) + (Y ↔ Z) = (X ↔ Z) + (Z ↔ Y)

b a’ b a’

Par exemple (X ↔ Y) + (Y ↔ Z) = (X ↔ Z) + (Z ↔ Y).

b a

La proposition (X ↔ Z) est vraie même si Z est ↔ de X et

même si Z = X. Par contre, il serait faux de tirer de (7) la

a’ a’ a’

proposition (X ↔ Z), car même si (X ↔ Y) et si (Y ↔ Z),

a’ a

Z peut être ↔, ↔ de X ou = X. D’où ₂ :

n n’ n

(8) Si n> n’, alors (X ↔ Y) + (Y ↔ Z) = (X ↔ Z)

Composons maintenant les « relations secondaires avec elles-mêmes. Il y a deux possibilités, n ≠ n’ et n = n’. Si n ≠ n’, alors les relations secondaires étant symétriques comme les relations primaires, on applique simplement les transformations (5) et (7) et l’on obtient également les règles (6) et (8), sans la restriction que n ou n’ soient d’ordre primaire.

Par contre, si n = n’, alors, en parallèle avec la proposition (9) de l’addition secondaire des classes (groupement II), on ne peut composer les a’ entre eux, les b’ entre eux, etc., que par emboîtement de ces relations dans celles d’ordre primaire immédiatement supérieure. En effet, l’addition de deux relations a’ ou b’ … etc., donne nécessairement b, c … etc., puisque la relation a’ est relative à une relation a qui n’est pas la même pour les indivi-

a’

dus X et Y. Par exemple si X ↔ Y, cela signifie que X est en

a’

A et Y en A’ (en A₂ ou en A’₂). Dans ce cas si Y ↔ Z, cela signifie que Z est en A’₂ ou en toute autre classe A’ par rap-

port à Y. Dès lors la relation X ↔ Z résulte de A’ + A’₂ ou

A’ + A’x (ou A’x = A’), donc elle est ↔. D’où :

a’ + a’ = b

b’ + b’ = c

c’ + c’ = d

…etc.

—

Si nous désignons sous n’ la plus petite relation primaire englobant la relation n’, on a donc :

(9) Si n = n’ (d’ordre secondaire), alors

—

n’ n’ n’

(X ↔ Y) + (Y ↔ Z) = (X ↔ Z)

D’une manière générale, on peut dire en conclusion que, si n = n’ la relation d’ordre supérieur absorbe l’autre. Pour n

= n’, le total est n si les relations sont primaires ; il est égale-

—

ment primaire et d’ordre immédiatement supérieur n’ si n = n’ sont secondaires.

Remarque I. Signification de la relation (9). — Dans

l’exemple que nous avons choisi pour ce chapitre, la relation (9),

a’ a’ b

soit (X ↔ Y) + (Y ↔ Z) = (X ↔ Z) signifie : « Si X est d’une autre espèce de même genre que Y et si Y est d’une autre espèce de même genre que Z, alors X est nécessairement du même genre que Z (et pas nécessairement de la même espèce). » Dans l’exemple choisi pour la Remarque II du chapitre IV, dans lequel la relation a signifie « ayant le même père », b = « ayant le même grand-père » et a’ = « ayant le même grand-père, mais pas le même père (= cousin germain) », alors la proposition (9) (a’ + a’ = b) signifie : « Si X est le cousin germain de Y et si Y l’est de Z, alors X a le même grand-père que Z (et peut être son cousin germain, son frère, ou lui-même). » Une telle proposition n’est-elle pas équivoque et de nature à tenir en échec la structure de groupement des compositions de ce VI^e groupement ?

Il convient d’abord de noter que les présentes composi-

tions portent sur les relations générales comme telles et non pas comme en (1) et (2) sur les points de vue individuels qu’elles relient. A cet égard, la proposition (9) n’est pas équivoque, et se borne à déterminer le produit relatif des deux relations additionnées l’une à l’autre ₁. Quant à sa signification, il suffit, pour la préciser, de se rappeler le parallélisme des additions secondaires de relations et de classes et le caractère de « relations de classes » que présentent les relations symétriques transitives, ainsi que la nature de « relations de classes complémentaires » des relations symétriques secondaires ou non transitives. En effet, l’addition (a’ + a’ = b) résulte de l’addition secondaire des classes (A’n + A’m = B), dont le sens est fort clair. Si, par exemple A’n = tous les hommes (= B), moins Socrate (= An), et si A’m = tous les hommes (= B), moins Platon (= Am), alors

A’n + A’m = tous les hommes, sans exception, puisque Socrate

a’

est compris en A’m et Platon en A’n. De même si X ↔ Y,

alors l’individu Y appartient à une classe A’n définie comme

a’

« tous les petits-fils de R sauf les fils de S. », et si Y ↔ Z,

alors l’individu Z appartient à une classe A’m définie comme « tous les petits-fils de R sauf les fils de T ». Dès lors l’addition (a’ + a’ = b) signifie simplement : « Si X appartient à la classe des fils de S et Y à celle des petits-fils de R, mais non pas à celle des fils de S, et si Z appartient à la classe des petits-fils de R, mais non pas à celle des fils de T alors X et Z appartiennent tous les deux à la classe des petits-fils de R ». Sans doute, par rapport à la classe élémentaire dont fait partie l’individu X (les fils de S), la position de l’individu Z reste indéterminée, mais cela tient uniquement à la définition des classes A’n et A’m et il n’y a aucune indétermination dans la composition comme telle (A’n + A’m = B) et (a’ + a’ = b). Au lieu de tenir en échec le groupement, la relation (9) démontre donc simplement, et une fois de plus, le caractère de « fraction logique » des classes secondaires d’ordre A’ B’, C’, etc. (voir chap. III, Remarque I) et le caractère analogue des relations secondaires a’ b’ c’ …etc. En effet, si la relation b s’applique à « toutes » les relations qui unissent entre eux les petits-fils

de R, la relation a’ ne détermine que « quelques » relations entre petits-fils de R (soit b mais pas a), d’où la nécessité de l’addition (9).

En un mot, on peut dire que toutes les compositions (4) à (9) consistent en tautologies et résorptions, sauf précisément la composition (9) qui est une addition proprement dite et nous ramène ainsi aux opérations du type (1), la raison en est que dans les autres compositions (4 à 8), les relations a’ b’ c’, etc., expriment la structure interne des classes A’ B’ C’ … etc., considérées en tant que totalités par rapport à leurs propres parties. Au contraire, dans la composition (9) les relations a’ b’ c’, etc., traduisent les rapports entre les classes A’ B’ C’… considérées comme des fractions et les classes primaires totales B C D… qui les englobent. C’est pourquoi, dans ce dernier cas, A’ + A’ donnent B et a’ + a’ donnent b : il y a alors, en effet, addition proprement dite, puisque l’on réunit deux fractions de même ordre (quoi qu’elles interfèrent) en un tout, et non plus addition tautologique et résorbante comme précédemment. C’est pourquoi la relation (9) paraît être d’une nature différente des autres, alors qu’elle en résulte sans plus. Son indétermination apparente provient ainsi simplement du fait que les classes A’ B’ C’… ou les relations a’ b’ c’ …, étant toujours définies par soustraction, doivent être additionnées pour engendrer un nouveau tout déterminé, mais cette addition comme telle est donc parfaitement univoque.

Remarque II. Les relations de co-inclusion et les relations d’égalité et d’équivalence qualitatives. — Les relations symétriques prises pour exemples dans l’analyse de

ce groupement des additions secondaires de relations pour-

raient être appellées relations de co-apparlenance, puisque si

X ↔ Y), les individus X et Y « appartiennent » ensemble à la

a’

même classe A et que si X ↔ Y, X et Y appartiennent ensemble à la même classe B (X appartenant à A et Y à A’ ou vice versa). Il va de soi que le schème ainsi dégagé peut s’appliquer tel quel aux relations symétriques de co-inclusion et il est particulièrement important d’y insister puisque ce sont ces relations de co-inclusions, réunies aux substitutions, qui engendrent les relations de l’égalité et l’équivalence qualitatives (voir chap. I et III).

Il est, en effet, facile d’engendrer autant de relations de co-

a a’ b’

inclusions qu’il existe dans la suite X ↔ A ↔ B ↔ C…, etc., de relations d’inclusions proprement dites : chaque relation d’inclusion multipliée par sa converse, donnera naissance à de telles relations symétriques, de même que chaque relation d’appartenance, multipliée par sa converse, a engendré l’un des rapports particuliers de co-appartenance étudié dans les pages qui précèdent.

Par exemple si A et A’ sont deux classes d’ordre A

(à distinguer des individus An dont il a été question en 1),

on a₁ (A ↑b B) (B ↓b A’) = (A ↔ A’), qui signifiera « les clas-

ses A et A’ sont co-incluses en une même classe B ». En outre

b a

la relation ↔ peut se décomposer comme suit : A ↔ A,

c’est-à-dire « la classe A est incluse dans la même classe

a a’

d’ordre A qu’elle-même », (de même A’ ↔ A’) et A ↔ A’,

c’est-à-dire « la classe A est incluse dans une même classe d’ordre B que A’, mais pas dans la même classe d’ordre A ».

De même, si A, A’ et B’ sont trois classes incluses en C, on a

c c

A ↔ A’ ↔ B’, soit « A, A’ et B’ sont co-incluse en C », d’où

b b’

les relations, A ↔ A’, définie à l’instant et A’ ↔ B’, ou

b’

A ↔ B’, c’est-à-dire « A (ou A) est co-incluse dans la même classe d’ordre C que B’, mais non pas dans la même classe

d’ordre B ». D’autre part, comme A + A’ = B, on a aussi

c b’

(B ↑ c C) × (C ↓ c B’) = B ↔ B’, d’où B ↔ B’, ainsi que

b b

B ↔ B et B’ ↔ B’. Il est à noter seulement que, selon les

a’

conventions adoptées les relations ↔ ne signifient pas

« inclus en A’ », mais au contraire « co-inclus dans la même

classe B et non pas dans la même classe d’ordre A ». On a

b b’

donc B’ ↔ B’ et il serait contradictoire de poser B’ ↔ B’

qui signifierait que B’ est inclus en une autre classe d’ordre B qu’elle-même, et, par conséquent, qu’elle n’est pas identique à elle-même !

Ces définitions posées, il est facile de définir les rela-

tions d’équivalence qualitative et d’égalité. Nous appelons « équivalence qualitative » toute relation complète de co-inclusion ou de co-appartenance (complète signifiant pouvant être décomposée en relations primaires et secondaires) :

a b c

X ↔ Y ; A ↔ A’ ; B ↔ B’ ; …etc.

c c d d d

ou A ↔ A’ ↔ B’ ; A ↔ A’ ↔ B’ ↔ C’ ; …etc.

Ces écritures sont donc identiquement égales à :

A B C

X = Y ; A = A’ ; B = B’ ; …etc.

C C D D D

ou A = A’ = B’ ; A = A’ = B’ = C’ ; …etc.

La relation d’équivalence qualitative est ainsi symétrique,

transitive et réflexive. On a, en effet, les relations X = X ;

B C

A = A ; A = A ; …etc., qui signifient « A est inclus dans la même classe B, C… que lui-même », ou « l’individu X appartient à la même classe que lui-même » Cette co-inclusion d’une classe avec elle-même ou cette co-appartenance d’un individu avec lui-même, ne se confondent pas avec la relation d’égalité : l’égalité est bien la co-inclusion d’une classe avec elle-même, mais par rapport à elle-même et non pas par rapport à une classe emboîtante d’extension plus grande. Il faut donc distinguer l’égalité d’un terme avec lui-même de l’équivalence de ce même terme avec lui-même.

Par contre, on ne saurait parler de relations d’équivalence

qualitative qu’entre classes de même rang. En effet, il serait

C c A

absurde d’écrire A = B ou A ↔ B, car si l’on a bien A = A

B b b b

ou B = B, c’est-à-dire A ↔ A et B ↔ B, il est faux que A ↔ B,

puisque l’on a seulement entre A et B la relation asymétrique

a’ b

d’inclusion simple A → B ou A → B.

Si l’équivalence qualitative n’est donc pas autre chose que la relation symétrique et transitive de co-inclusion ou de co-appartenance, alors l’égalité et la vicariance sont à concevoir simplement comme les relations primaires et secondaires qui résultent de la décomposition de ce rapport

d’équivalence. En effet, on a vu qu’il est possible de décom-

b c

poser toute relation A ↔ A’ ; B ↔ B’… etc., en une relation

a a b b

primaire A ↔ A ou A’ ↔ A’ ; B ↔ B ; B’ ↔ B’ ; …etc., et en

a’ b’

une relation secondaire A ↔ A’ ; B ↔ B’ ; …etc., définie

b a c b

comme (↔ — ↔ ) ou (↔ — ↔), etc. : la première de ces deux relations, qui est donc symétrique, transitive et réflexive comme l’équivalence en général, définit l’« égalité », tandis que la seconde, qui est symétrique, mais ni transitive ni réflexive (puisqu’elle est « secondaire ») définit la « vicariance » ou « altérité », fondement de la « différence » en général.

L’égalité ₁, tout d’abord, est la co-inclusion d’une classe par rapport à elle-même, ou la co-appartenance d’un terme indi-

viduel par rapport à sa propre classe singulière. Soient donc

o a b

A₁ ↔ A₁ ; A ↔ A ; B ↔ B ; …etc., et, si A = A₂ ; B’ = B₃, etc.,

a b

alors A’ ↔ A’ ; B’ ↔ B’ ; …etc. Ce sont ces relations que

nous avons écrites jusqu’ici A₁ = A₁ ; A = A ; A’ = A’…etc.,

A B b c

ou A = A ; B = B ; etc. D’où (A + A’) ↔ B ; (B + B’) ↔ C ;

etc. L’opération qui traduit la relation d’égalité est donc la « substitution simple », soit la transformation laissant inva-

riant le jeu des inclusions et des co-inclusions. D’où enfin la

tautologie, puisque si A ↔ A, alors A + A = A.

Quant à la vicariance, elle exprime la différence ou « altérité » des classes co-incluses en une même classe totale lorsqu’on les considère les unes par rapport aux autres ; ou encore

la différence des individus co-appartenant, à la même classe.

a o’ b

Par exemple, si A₁ ↔ A₂ alors A₁ ↔ A₂ ; si A ↔ A’ alors

a’ c b’

A ↔ A’ ; si B ↔ B’, alors B ↔ B’ ; …etc. Si l’égalité se traduit par l’opération de la substitution simple, l’altérité se traduit par l’opération de la « substitution réciproque » et c’est cette substitution réciproque qu’il faut considérer comme constituant proprement la vicariance. Cela signifie, comme nous l’avons vu (chap. I) qu’en toute opération des groupements de classes, il est toujours permis de substituer à la classe de départ A₁ l’une des classes d’ordre A contenues en A’₁ ou A’₁

lui-même si A’₁ ne contient qu’une classe d’ordre A. Nous disons donc que A₂ est substitué à A₁ (soit que A₂ = A’₁ soit que A’₁ = A₂+ A"₂). Mais alors cette substitution de A₂ à A₁ appelle la substitution réciproque de A’₂ (contenant A₁ ou égal à A₁) à A’₁. De même B₃ peut être substitué à B₂, mais alors B’₃ (contenant B₂ ou égal à B₂) doit être réciproquement substitué à B’₂ ; …etc. On comprend maintenant le sens de cette vicariance ou substitution réciproque : de même que l’égalité marque la réflexivité des relations primaires d’équivalence qualitative, de même la vicariance marque la symétrie sans réflexivité des relations secondaires de ce même groupement des équivalences qualitatives.

D’autre part, on comprend aussi pourquoi les relations

asymétriques ne connaissent pas l’équivalence, mais seulement

a a’ b

l’égalité. Si (A → B) + ( B → C) = (A → C), on a, en effet, a + a’ = b, c’est-à-dire que b est substituable a + a’ ou l’inverse mais il serait absurde de considérer les relations a et a’ comme « vicariantes », puisque, comme on vient de le voir, cela consisterait à dire que ces relations sont symétriques : or, elles ne le sont précisément pas. Il est vrai que les relations a et a’ sont l’une et l’autre comprises en b, puisque a + b = b et que a’ + b = b, mais cette résorption possible ne signifie pas à elle seule qu’elles sont co-incluses en b. Comment expliquer cette situation complexe ?

En réalité, considérer (a + a’) comme (= b) et a ou a’ comme se résorbant en b, c’est bien appliquer à ces relations, la relation d’inclusion elle-même, mais nous allons voir que l’emploi des relations d’inclusion n’implique pas celui des relations de co-inclusion complètes ni par conséquent celui de l’équivalence qualitative, la relation d’égalité mise précisément à part.

Qu’est-ce, en effet, que l’inclusion ? C’est la relation qui, si X + Y = Z, unit X à Z ou Y à Z. C’est donc la relation qui unit X et Y à Z, X et Y étant considérés séparément et non pas dans leur réunion. D’un mot la relation d’inclusion est la relation de partie à tout, si le tout résulte additivement de la somme des parties (le tout et les parties étant finies). Cela posé, il est clair que cette relation s’applique, non seulement aux classes A + A’ = B (soit « A et A’ sont inclus en B »), mais encore aux relations asymétriques a + a’ = b (soit « a et a’ sont incluses en b »). Le critère de l’inclusion est ainsi la résorption A + B = B (et A’ + B = B) ou a + b = b (ou a’ + b = b).

Seulement deux cas sont à distinguer parce qu’il existe deux sortes d’additions. L’une est commutative et caractérise la réunion des classes ou des relations symétriques : A + A’

donnent le même B que A’ + A. L’autre est soumise à un

ordre parce que la relation asymétrique → résulte de la suc-

a a’ a’ a

cession → + → et non pas de → + →. Dès lors seule l’inclu-

sion propre à l’addition commutative peut donner lieu à un système de relations de co-inclusion complètes, tandis que l’inclusion propre à l’addition non commutative ignore les relations secondaires de co-inclusion, c’est-à-dire la vicariance.

En effet, si nous comparons les relations symétriques aux relations asymétriques, on peut dire que les premières sont elles-mêmes co-incluses les unes par rapport aux autres,

a₁ a’₁ b

tandis que les secondes ne le sont pas Si ↔ + ↔ = ↔) on a

a₁ b a’₁ a₁ a a₁ a₁ a’ a’₁

( ↔ ) ↔ ( ↔ ) parce que ( ↔ ) ↔ ( ↔ ) et que ( ↔ ) ↔ ( ↔ ),

a a’₁ a₂ a’₂ b a₂ a’₂ a₁ a’₁

car ( ↔ + ↔ ) = ( ↔ + ↔ ) = ↔ ( ↔ et ↔ signifient ↔ et ↔

a₂ a’₁ a’₂ a₁

permutées, donc ↔ = ↔ et ↔ = ↔). Au contraire, de

a₁ a’₁ b a₁ b a’₁

( ↔ + ↔ = ↔ ) on ne peut pas tirer ( ↔ ) ↔ ( ↔ ), parce qu’il

a₁ a’₁ a₂ a’₂

serait absurde de poser ( ↔ + ↔ ) = ( ↔ + ↔ ) = b, la relation

a₁ a’₂ a₂ a’₁

→ ne pouvant pas s’écrire → ni se situer avant → (= →),

faute précisément de symétrie.

Par contre l’emploi de l’égalité est permis, et seul légitime,

a a a a+a’ b a+a’

parce qu’en posant (→) ↔ (→) ou ( → ) ↔ ( → ), on se place

à un niveau auquel il n’y a plus de différence entre la symétrie et l’asymétrie, ou, si l’on préfère, où l’addition redevient

commutative, puisque b + (a + a’) = (a + a’) + b = b ; ou

a o o a

→ + → = → + →.

On ne peut donc parler ni de vicariance ni d’équivalence qualitative en ce qui concerne les relations asymétriques. Mais il va de soi que les termes de ces relations (leurs « domaine », « co-domaines » et « champs ») soit X et Y si

X ↔ Y, peuvent être soumis aux relations de co-inclusion, d’équivalence et de vicariance (cf. chap. VII, Rem. IV), seulement, c’est alors à titre de classes et non plus de termes de relations asymétriques, c’est-à-dire que c’est en faisant abstraction de ces dernières.

Quant au nombre cardinal, faut-il dire qu’en 1 + 1 = 2,

par exemple, la première unité est qualitativement égale ou

équivalente à la seconde ? Soit 1 = 1 ou 1 = 1 ? Si l’on a 1 = 1,

au sens de 1 ↔ 1, alors par définition on devrait obtenir

1 + 1 = 1, ce qui est absurde. De 1 ↔ 1, d’autre part, on de

vrait tirer 1 + 2 = 2, ce qui est également absurde. De même

1 ↔ 1 devrait donner 1 + 3 = 3, etc. Il est donc clair que

l’équivalence numérique 1 = 1 ne rentre pas dans les relations

a b

de type ↔ ou ↔ (si a = 1 et b = 2). Faut-il alors poser

a’

1 ↔ 1 ? Mais alors comment distinguer une unité 1₁ d’une

a’

autre 1₂ et celle-ci d’une troisième 1₃ ? En effet, de (1₁ ↔ 1₂)

a’ a’

et de (1₂ ↔ 1₃) on ne saurait conclure (1 ↔ 1₃), puisqu’on

pourrait avoir aussi bien (1₁ = 1₃), la relation de « différen-

a’ b’

ce » n’étant pas transitive. Il faut alors poser 1₁ ↔ 1₂ ↔ 1₃,

mais en conservant le droit de permuter les termes, quitte à changer alors leurs numéros d’ordre. La réunion de ces deux opérations, qui sont incompatibles l’une avec l’autre en logique qualitative, atteste le caractère irréductible aux précédentes de la relation d’équivalence numérique (voir chap. XI, Rem. I et II).

Remarque III. L’addition secondaire des relations symétriques issues d’une série linéaire simple. — Nous avons vu (chap. IV Rem. I) qu’il est possible d’appliquer le schéma de l’addition secondaire des classes même aux classes d’une énumération simple, dont les termes secondaires A’, B’, C’… ne contiennent alors chacune qu’une seule classes d’ordre A (soient A₂ A₃ A₄ … etc.). Nous allons voir maintenant que le schéma de l’addition secondaire des relations peut également s’appliquer aux relations symétriques issues d’une suite asymétrique, et cela même lorsque celle-ci est formée d’éléments tous sériés linéairement.

Considérons à nouveau, par exemple, la suite dont il a été question au chapitre VII, Remarque IV. Pour introduire les relations symétriques dans la série asymétrique initiale, nous avons simplement ajouté de nouveaux éléments à cette série, celle-ci cessant donc d’être connexe puisque plusieurs éléments de même valeur se trouvent être situés dans les mêmes « intervalles ». Il convient

maintenant de montrer que ces relations symétriques issues d’une suite asymétrique obéissent aussi aux compositions du présent groupe. Elles y obéiraient même si, à la suite asymétrique initiale, on n’ajoutait aucun élément nouveau en lui conservant ainsi son caractère connexe : il n’y aurait alors

qu’un élément par intervalle, et chacun de ces éléments serait

donc seul à soutenir la relation ↔ avec lui-même.

a a’

D’une série asymétrique simple (N₁ → N₂ → N₃ … etc.) on peut tirer, en effet, les relations symétriques a, b, c qui signifient « appartenant aux intervalles compris entre N₁ inclusivement et N₂ ou N₃ …etc., exclusivement », puis par composition de celles-ci, les relations a’, b’, c’ …etc., qui signifient : a’ = « appartenant à l’intervalle compris entre N₁ et N₃, mais pas à celui compris entre N₁ et N₂ (ou entre N₂ et N₃) ; …etc. ». Or, il est facile d’appliquer à ces relations les règles énoncées précédemment, bien que

dans le cas particulier les relations a’ b’ … etc., ne contiennent

chacune qu’une seule relation possible d’ordre ↔ (et cela quel que soit le nombre de termes compris dans l’intervalle).

On d’abord la correspondance suivante entre les relations symétriques en jeu et les classes des termes de la série asymétrique :

Intervalles Relations symétriques Classes

N₁ → | N₂ a (= a₁ = a’₂) A (= A₁ = A’₂)

N₁ → | N₃ b (= b₂ = b’₃) B (= B₂ = B’₂)

N₁ → | N₄ c (= c₃ = c’₄) C (= C₃ = C’₄)

… etc. … etc. … etc.

a’

N₂ → | N₂ a’ (= a₂) A’ (= A₂)

b’

N₂ → | N₃ b’ (= a₃ = b₃) B’ (= B₃ = B₃)

c’

N₂ → | N₄ c’ (= a₄ = b₄ = c₄ ) C’ (= A₄ = B₄ = C₄)

… etc. … etc. … etc.

D’où les compositions suivantes, correspondant aux propositions 4 à 9 :

b a b

(4 bis) (X ↔ Y) + (Y ↔ Z) = (X ↔ Z)

a b b

ou (X ↔ Y) + (Y ↔ Z) = (X ↔ Z)

C’est à dire que si X est dans un même intervalle d’ordre b que Y et que Y est dans un même intervalle d’ordre a que Z alors X est dans un même intervalle d’ordre b que Z, etc. ; cela est vrai même si, par exemple, b₃ + a₃ = b₃ (= b’) ou b₄ + a₄ = b₄ (= c₄ = c’), etc.

a a’ a a’

(5 bis) (X ↔ Y) +(Y ↔ Z)= (Y ↔ X) + (X ↔ Z)

a a’ a’

et (6 bis) (X ↔ Y) + (Y ↔ Z) = (X ↔ Z)

Cela est vrai pour a = a₂ et a’ = a’₂ (= a₁) aussi bien que pour a = a, et a’ = a₂.

(7 et 8 bis) a’ + a = a’ ; …etc.

Par contre si la proposition (9) reste naturellement vraie dans tous les cas possibles (a’ + a’ = b ; b’ + b’ = c ; … etc.), le fait que dans le cas particulier toute relation a’ ne contient qu’une relation d’ordre a que toute relation b’ ne contient qu’une relation b, etc., autorise à conclure dans ces conditions :

a’ a’ a

(9 bis) (X ↔ Y) + (Y ↔ Z) = (X ↔ Z)

Par exemple, si je n’ai qu’un frère (a) et qu’un seul cousin

germain (a’), le cousin germain de mon cousin germain sera

mon frère ou moi-même a’ + a’ = a. Mais si (X ↔ Z), il est

clair qu’ils sont aussi (X ↔ Z).

On voit ainsi que la composition des additions secondaires de relations symétriques est aussi générale que celle des additions secondaires de classes : dès qu’est constituée une suite de classes emboîtées les unes dans les autres, on peut en tirer un système d’additions secondaires, même si les classes secondaires de la série initiale ne contiennent chacune qu’une seule classe élémentaire (chap. IV, Rem. I) et dès qu’une série de relations asymétrique est donnée, on peut en extraire un système d’additions secondaires de

relations symétriques, même si la série asymétrique est simple, c’est-à-dire si chaque « intervalle ne comporte qu’une relation symétrique possible d’ordre a.

Cette double généralisation n’exclut d’ailleurs en rien, mais souligne au contraire, une fois de plus, l’opposition de fonds qui existe entre les systèmes hiérarchiques complets, qu’ils soient présentés sous la forme de classes (la classification zoologique, par exemple) ou de relations (les relations généalogiques) et les suites simples, qu’elles consistent en classes (énumération simple) ou en relations (sériation linéaire).

Remarque IV. Relations non-transitives. Qu’en est-il enfin des relations symétriques non-transitives ? Il est clair que, si l’on ne peut pas les grouper comme telles, on y parvient cependant indirectement et qu’ainsi elles n’échappent point en fait au principe général de groupement.

Ou bien, en effet, de telles relations apparaissent, comme dans le groupement précédent, comme les relations secondaires de relations symétriques primaires, lesquelles sont transitives (par exemple « cousin germain » par rapport à « ayant le même grand-père ») ou bien elles peuvent être rendues elles-mêmes co-univoques, et alors, multipliées par leurs converses, elles engendrent des relations symétriques et transitives.

Soit, par exemple, la relation « N est ami de A₁ ». Si « N est ami de A₂ », cela ne prouve pas que A₁ le soit lui-même

de A₂. Par contre tous les amis de N, soient A₁ A₂ A₃… sont

a a

ensemble « co-amis de N ». On a donc A₁ ↔ A₂ ↔ A₃ …etc.

D’autre part, les amis des amis de N forment de nouvelles classes par relations co-univoques avec les A₁ A₂, etc., et ainsi de suite.

Quant aux relations asymétriques intransitives, on peut toujours les inclure dans des relations plus générales qui seront transitives. « Le feu brûle la maison » est asymétrique et intransitif mais si la combustion est un cas particulier d’oxydation et l’oxydation un cas particulier d’autres réactions chimiques, l’esprit retrouvera nécessairement tôt ou tard, fût-ce dans la relation causale elle-même, cette continuité qui assure à l’univers son intelligibilité et à la raison sa capacité de groupement.