Chapitre XI.
Des groupements logiques aux groupes arithmétiques ^a 🔗

Dans les pages qui précèdent, nous avons fait intervenir la sériation des unités d’un nombre pour empêcher leur équivalence générale d’aboutir à la tautologie : on peut donc considérer cette première démonstration de la nécessité de l’ordre dans la constitution du nombre comme une démonstration par l’absurde, consistant à montrer que, sans l’intervention de la sériation linéaire, on ne saurait concilier l’équivalence générale des unités avec l’itération. Mais on peut donner une deuxième démonstration, qui serait fondée directement sur l’analyse des relations d’équivalence et de différence (altérité ou vicariance) existant entre les unités d’une collection numérique quelconque.

On peut, en effet, exprimer le passage des classes au nombre en un langage de pures relations d’équivalences et de différences, et ce langage est peut-être plus apte à faire saisir immédiatement la nécessité de l’ordre, puisque l’ordre se définit précisément par la logique des relations (une suite de relations est dite sériale ou impliquant l’ordre si ces relations sont transitives, irréflexives et connexes).

Soit donc une suite de classes élémentaires A, A’, B’… etc. toutes singulières et telles que l’on ait :

A + A’ = B ; B + B’ = C ; C + C’ = D ;… etc.

On peut d’abord multiplier par sa converse chacune des relations d’inclusions impliquées par cette suite et engendrer ainsi les relations de co-inclusion ou d’équivalence qualitative (chap. VIII, Rem. II) suivantes :

b c d

A ↔ A’ ; B ↔ B’ ; C ↔ C’ ; … etc.

D’où l’on tire les relations d’« altérité » (ou de différences vicariantes) que voici :

a’ b’ e’

A ↔ A’ ; (A, A’) ↔ B’ ; (A, A’, B’) ↔ C’

d’

(A, A’, B’, C’) ↔ D’ ; … etc.

Que si, maintenant, l’on veut considérer cette suite de classes comme une suite numérique, il faut faire abstraction des qualités différentielles et considérer ainsi chaque [p. 214] classe élémentaire (chaque classe singulière) comme une unité à la fois équivalente et différente par rapport à chacune des autres.

L’équivalence ainsi généralisée signifie que l’on peut réunir n’importe quelle classe élémentaire à n’importe quelle autre pour constituer avec elle une classe B ; puis réunir B à n’importe quelle autre classe élémentaire pour former avec elle une classe d’ordre C ; … etc. D’où :

b, c, d… b, c, d… b, c, d…

A A’ B’ C’… etc.

Mais cette équivalence généralisée ne se réduit pas ici à l’identité des classes, c’est-à-dire à la tautologie, puisque, par hypothèse, on les maintient toutes différentes les unes des autres.

On n’a donc pas par hypothèse ni A ↔ A’ ni A’ ↔ B’, etc. (soit A = A’ ; A’ = B’ ; … etc.), mais il existe entre chaque unité et chaque autre une relation de différence ou d’altérité (= vicariance), telle que s’il est vrai que (Q’ ↔ R’) et que s’il est faux que (Q’ ↔ R’) ou que Q = R’ alors Q’ ↔ R’. Comment donc exprimer cette différence générale des classes singulières, équivalentes sans faire appel à leurs inclusions qualitatives spéciales, celles-ci étant abolies par l’équivalence généralisée admise à l’instant ? Nous allons précisément montrer qu’en un tel cas, la relation de différence, ou bien demeure symétrique et intransitive, et alors ne peut être généralisée, ou bien est rendue générale, c’est-à-dire transitive et connexe ¹, et alors devient asymétrique.

De trois choses l’une, en effet : 1° ou bien, on pose simplement que « P’ est différent de Q’ », que « Q’ est différent de R’ »… etc., en choisissant pour exprimer cette différence indéterminée l’une quelconque des relations d’altérité (ou de vicariance) par rapport à B, ou à C, etc. Soit :

P’ ↔ Q’ ↔ R’ … etc.

[p. 215] Dans ce cas on ne fait intervenir aucune sériation, mais alors on ne sait pas si P’ ↔ R’ ou P’ = R’, puisque la relation simple ou indéterminée de différence n’est ni transitive ni connexe. Cette première hypothèse est donc insuffisante pour rendre compte de la différence générale des termes envisagés.

2° On pourrait alors soutenir que, si chaque terme est différent de tous les autres, chaque relation de différence est alors elle-même différente des autres, ce qui reviendrait à poser :

P’ ↔ P’ ; P’ ↔ Q’ ; Q’ ↔ R’

R’ ↔ S’ ; S’ ↔ T’ ; … etc.

Cela signifie d’abord que la classe singulière P’ (= 1) n’est pas différente d’elle-même ; puis, que si l’on réunit Q’ (= 1) à P’ pour constituer une classe B (= 2), il existe alors en B une autre unité que P’ ; puis, que si l’on réunit à B = (P’ + Q’) une nouvelle classe R’ (= 1) alors on a en C (= 3) une nouvelle classe singulière différente de P’ et de Q’ ;…etc.

Dans ce cas, on est assuré que chaque terme diffère bien de tous les autres, mais il est clair que ce résultat implique la sériation des termes, et de leurs relations symétriques de différence elles-mêmes, en fonction de la série asymétrique d’inclusions A (= 1) → B (= 2) → C (= 3)… etc. Autrement dit, P’, Q’, R’… etc. acquièrent un rang, qui est déterminé par le nombre des relations de différences établies depuis la classe de départ P’, d’abord entre P’ et Q’ (si P’ + Q’ = 2), puis entre Q’ et R’ (si 2 + R’ = 3)… etc. Ces rangs et ces relations demeurent il est vrai identiques à eux-mêmes quelles que soient les permutations des termes, mais ils n’en supposent pas moins un ordre fixe, toujours « semblable » à lui-même, qui est celui du dénombrement effectué. Ce serait donc un cercle que de vouloir démontrer la nécessité de l’ordre par l’admission de cette hypothèse 2 sans démontrer auparavant qu’elle est seule possible.

3° Si nous rejetons ainsi les hypothèses (1) et (2) il ne reste qu’à invoquer une nouvelle relation de différence, relation distincte de la vicariance dont nous nous sommes [p. 216] servis jusqu’ici, et qui exprimerait directement et sans plus la différence générale admise entre les unités équivalentes qui constituent une collection ou un nombre. Soit donc :

n’ n’

P’ ↔ Q’, R’, S’… ; Q’ ↔ P’, R’, S’… ;

n’

R’ ↔ P’, R’, Q’…, etc.

n’

où ↔ signifie « (chacun) différent de chacun des autres ». Donc P’ est différent de Q’, R’, S’… ; Q’ est différent de chacun des autres y compris P’ ; … etc. C’est cette relation qu’utilisent les mathématiciens lorsqu’ils parlent d’un ensemble dont les éléments sont « distincts ».

Or, si cette relation de différence généralisée semble à première vue n’impliquer aucun ordre, elle suppose au contraire une sériation implicite. Une série est, en effet, une suite

de relations irréflexives, transitives et connexes ². Or la rela-

n’

tion ↔ est irréflexive puisqu’aucun des termes envisagés n’est « différent de lui-même ». Elle doit être connexe, si, par définition nous admettons que chacun de ces termes présente la relation « différent » avec chacun des autres. Et elle doit également être transitive, si nous nous donnons le droit, en opposition avec la relation de différence

indéterminée, de conclure toujours par définition que si

n’ n’ n’

P’ ↔ Q’ et si Q’ ↔ R’, alors P’ ↔ R’ et non pas P’ = R’.

Dire que des termes quelconques sont tous différents les uns des autres, sans faire appel aux différences qualitatives qui permettent de les distinguer par leurs inclusions respectives, c’est donc nécessairement les ordonner en une série telle que « chacun est différent du suivant ».

Autrement dit, si la relation « tous différents les uns des autres » est considérée comme transitive et connexe, ce qui est bien la condition d’une différence généralisée, alors elle devient par cela même asymétrique parce qu’elle est irréflexive. Elle signifie dans ce cas, (en groupant les [p. 217] relations élémentaires : « A est différent du terme suivant A’ », etc. ; ou leurs converses : « A’ est différent du terme précédent A », etc.) : si « A’ est différent du terme précédent A » et si « B’ est différent du terme précédent A’ », alors « B’ est différent du terme précédant le précédent (A) » etc. (ce qui équivaut aux suites 13 et 14 exposées précédemment).

Bien plus, il est facile de voir que l’hypothèse (3) se réduit

ainsi à l’hypothèse (2). En effet l’hypothèse (3) revient à poser

a

(si le signe A → A’ signifie que A’ est « différent du précédent » A) :

a a’ b

(A → A’) + (A’ → B’) = (A → B’) ;

b b’ c

(A → B’) + (B’ → C’) = (A → C’)…

a a’ b’ c’

d’où : A → A’ → B’ → C’ → D’… etc.

Or de cette série asymétrique des différences ordonnées, on peut tirer (voir chap. VII, Rem. IV) une suite de relations symétriques de différence simplement réciproque en les définissant par l’« intervalle » compris entre chaque terme et le

suivant. On a alors la suite des relations symétriques que

a

voici (dans laquelle ↔ = « co-inclus dans la même classe A »

a’

ou « égal » ; ↔ = « co-inclus en B mais non en A », donc

b’

« différent par rapport à A » ; ↔ = « différent par rapport à

a a’ b’ c’

B », etc.) : A ↔ A ; A ↔ A’ ; A’ ↔ B’ ; B’ ↔ C’ ; … etc.

Or, cette dernière suite constitue bien celle qui est envisagée dans l’hypothèse (2).

En bref, il existe trois sortes de relations de différence : 1° la relation symétrique mais non transitive ni connexe de différence simple (ou indéterminée) qui ne suffit pas à assurer la différenciation générale des unités équivalentes d’une collection quelconque ; 2° les relations symétriques mais non transitives ni connexes d’« altérité » ou de « vicariance », c’est-à-dire les relations secondaires d’une suite de relations d’équivalence ou de co-inclusion dérivées elles-mêmes d’une série d’inclusions. Ces relations (2) suffisent bien à assurer la différenciation générale des termes d’un [p. 218] système, mais c’est soit grâce aux inclusions qualitatives, soit, si celles-ci sont abolies, grâce aux emboîtements dans les structures numériques A = 1 ; B = 2 ; C = 3 ;… etc. Seulement, dans ce dernier cas, elles supposent ainsi une sériation sous la forme d’un dénombrement ; 3° la relation irréflexive, connexe et transitive « tous différents les uns des autres », qui implique en réalité l’ordre, c’est-à-dire la sériation asymétrique « chacun différent du suivant », et dont la relation (2) n’est que le dérivé symétrique.

En bref, il suffit que les termes rendus équivalents d’une collection soient considérés comme étant « tous différents » les uns des autres, indépendamment de leurs qualités, pour que la relation de différence acquière, par cela même, un caractère sérial. Mais il va de soi que l’ordre de cette série est vicariant, c’est-à-dire que les relations restent les mêmes si l’on permute les termes : c’est pourquoi ce caractère sérial échappe ordinairement à l’analyse.

Mais alors, comment expliquer que l’addition arithmétique soit commutative (1 + 2) = (2 + 1) et que l’ordre n’intervienne en aucune opération cardinale ni en aucune correspondance bi-univoque « quelconque » ?

La raison en est simple. Les classes en général (par exemple les trois classes dont nous venons de parler) ne sont caractérisées par aucun ordre, parce que si A + A’ + B’ = C, on peut aussi bien écrire A₂ (= A’) + A’₂ (= A) + B’₂ = C ou A₃ (= B’) + A’₃ (= A’) + B’₃ (= A) = C ; etc. le seul ordre, nécessaire étant celui des emboîtements A → B → C. D’autre

part, trois objets sériés selon leurs différences qualitatives

a a’

(par exemple de taille) A → A₂ → A₃ présentent un ordre absolu,

a a’ a

tel que A₂ → A → A₃ serait absurde si (X → Y) signifie que « Y est plus grand que X ». L’addition des classes est donc commutative, sans restriction, et celle des relations asymétriques est sériale sans restriction non plus. Or l’addition arithmétique est à la fois commutative et fondée sur une sériation, mais l’ordre propre aux unités additionnées demeure relatif et non pas absolu et peut être appelé pour cette raison « vicariant » par analogie avec la vicariance des classes (= possibilité de « substitutions réciproques »).

[p. 219] Soit, en effet, trois objets à dénombrer α, β et γ. Si nous les additionnons dans l’ordre  α₁ ; β₂ ; γ₃ (les indices désignant le rang momentanément adopté), nous obtenons α₁ + β₂ + γ₃ = 3. Mais nous pouvons poser aussi bien β₁ + α₂ + γ₃ = 3 ; ou γ₁ + β₂ + α₃ = 3 ; etc. Les unités sont donc susceptibles de se remplacer réciproquement sans changer la valeur de l’ensemble, ce qui est la définition de la vicariance des classes. Or, cette vicariance s’applique ici non seulement aux éléments mais à l’ordre lui-même, ou plus précisément, aux rangs respectifs des termes, ce qui est contraire à la fois à la logique des classes, qui ignore la sériation des classes élémentaires, et à la logique des relations asymétriques qui ignore la vicariance.

Dès lors l’addition 1 + 2 est nécessairement commutative, puisque [α₁ + ( β₂ + γ₃)] = [(β₁ + γ₂) + α₃]. D’autre part, l’ordre des unités étant relatif ou « vicariant » rien n’est plus facile que d’en faire abstraction pour se placer au point de vue strictement cardinal, du moins en ce qui concerne les ensembles finis. D’où l’illusion que cet ordre n’intervient pas, ou plutôt le droit que l’on a de ne lui faire jouer aucun rôle dans l’addition ni dans la multiplication arithmétiques. Mais cela est dû uniquement au fait que cette abstraction ne change pas la nature des opérations puisque l’ordre en cause est vicariant, tandis que dans le cas des ordinations non vicariantes, l’abstraction de l’ordre altère la nature même des opérations.

La vicariance propre à l’ordre des unités numériques explique donc la possibilité de construire une arithmétique cardinale finie en faisant abstraction des nombres ordinaux. Quant à la correspondance bi-univoque quelconque entre deux ensembles finis, la situation est la même. La relation de correspondance bi-univoque quelconque suppose, en effet, comme le nombre lui-même, que les termes correspondants soient à la fois équivalents entre eux et différents les uns des autres : l’ordre intervient donc nécessairement puisque (Rem. I) « tous différents » = « chacun différent du suivant ». Cet ordre n’implique au reste pas plus de référence préalable aux nombres ordinaux qu’il permet d’engendrer que la correspondance bi-univoque comme telle ne se réfère d’avance au nombre cardinal dont elle est la source. Seulement, par le fait même que la correspondance entre ensembles détermine les nombres, elle en connaît les lois : la relation « chacun différent du suivant » implique donc aussi un ordre vicariant, puisque, [p. 220] pour « B₂ est le suivant de A₁ » la relation reste la même si « A₂ est le suivant de B₁ » et si A et B sont définis par leur seule position momentanée, indépendamment de toute autre qualité. Dès lors, il est tout aussi légitime de faire abstraction de cet ordre vicariant pour définir la correspondance bi-univoque qu’il est permis de calculer cardinalement en faisant abstraction des nombres ordinaux.

Il convient, avant de poursuivre, de prévenir une objection possible. Si tout nombre cardinal fini et toute correspondance bi-univoque entre ensembles finis supposent un ordre, mais dont on peut faire abstraction sans changer la nature des opérations puisqu’il est vicariant, ne faut-il pas en dire autant des classes elles-mêmes ? On pourrait soutenir, par exemple, qu’une classe C est formée de trois classes ordonnées selon la suite A + A’ + B’, et que cette suite pouvant être transformée en A₂ (= A’) + A’₂ (= A) + B’₂ = C ou en A₃ (B’) + A’₃ (= A’) + B’₃ (A), etc., il est simplement fait abstraction de ces différents ordres puisqu’ils aboutissent à des résultats équivalents et tous égaux à C. Admettre cela reviendrait à supprimer toute distinction entre la classe et les nombres finis. Mais il va de soi qu’une telle objection reposerait sur une confusion entre la vicariance des classes et celle de l’ordre ou des relations. La vicariance des classes est leur possibilité de substitution réciproque (Chap. I et Chap. VIII, Rem. II), mais n’intéresse pas l’ordre. La classe elle-même n’implique donc aucun ordre. La vicariance des relations asymétriques, qui est spéciale au nombre, est au contraire une substitution des termes telle qu’elle conserve l’ordre relatif : elle est donc par définition même, la « similitude généralisée », c’est-à-dire la similitude de tous les ordres que l’on peut constituer avec les éléments d’un même ensemble (telles que les unités d’un même nombre fini). Or, il est clair que les différents ordres obtenus en sériant les éléments d’une même classe ne sont pas « semblables » entre eux, et leur abstraction, qui change donc la nature des opérations, est ce qui définit précisément la classe comme telle.

Qu’en est-il maintenant des ensembles infinis ? On sait en effet, que la théorie des ensembles définit les nombres transfinis, selon des procédés qui paraissent être les mêmes que dans les cas des nombres finis : les « puissances » (ou cardinaux) transfinies sont engendrées grâce à des relations de correspondance bi-univoque comme les cardinaux finis et les ordinaux transfinis doivent leur existence aux [p. 221] relations de similitude comme les ordinaux finis. Or, contrairement à l’arithmétique finie, dans laquelle l’abstraction de l’ordre ne change pas la nature des opérations, puisque chaque cardinal correspond univoquement à un ordinal et réciproquement, l’intervention de l’ordre dissocie les ordinaux des cardinaux dans le transfini. Il est donc nécessaire d’expliquer ce fait dans le système des notions dont nous nous sommes servi, sous peine d’être obligés de considérer ce dernier comme lié à un cas particulier et contingent.

Dire qu’un cardinal transfini ne correspond plus à un seul ordinal, c’est dire que les différentes suites qu’il est possible de réaliser au moyen des éléments de ce cardinal, ne sont plus « semblables » entre elles. C’est dire également, et par cela même que l’ordre des transfinis n’est plus « vicariant » : c’est précisément pourquoi, dans le transfini, l’abstraction de l’ordre, laquelle permet de définir les cardinaux, aboutit à de toutes autres opérations que celles sont on se sert pour composer les ordinaux. Comment donc concilier de telles constatations avec ce qui précède, sans aboutir à la contradiction ?

Nous allons chercher à montrer que cette opposition entre le transfini et le fini provient du fait que les classes et les relations asymétriques, réunies en une même totalité opératoire sur le terrain des nombres finis, se dissocient nécessairement lorsque les collections envisagées comprennent un nombre infini de termes, parce qu’alors les opérations de mise en correspondance ne sont plus identiques, malgré l’apparence, à ce qu’elles sont dans le fini : cette dissociation des classes et des relations explique ainsi les caractères propres aux nombres transfinis et en particulier l’obligation où ils se trouvent de revenir aux opérations de la logique des classes et des relations, sans pouvoir continuer à bénéficier de celles de l’arithmétique finie ou inductive, dont le critère est l’itération de l’unité. Loin de contredire, par conséquent, aux interprétations précédentes, l’arithmétique transfinie en constitue au contraire une excellente vérification, puisque, à proprement parler, elle n’est plus composée de « nombres ».

On sait que le premier cardinal transfini, ℵ₀ (aleph zéro) se définit comme étant la « puissance » des ensembles dénombrables, c’est-à-dire le nombre cardinal résultant de la correspondance bi-univoque entre tous les ensembles équivalents à celui des nombres inductifs. Plus brièvement, [p. 222] ℵ₀ est la classe des termes de toutes les « progressions » abstraction faite des relations qui caractérisent ces dernières. On pourrait donc croire que la correspondance bi-univoque permettant de définir ce nombre est identique à celle dont on fait usage pour définir la puissance des ensembles finis : de même qu’une collection de 12 termes correspond à une autre collection de 12 termes et que cette correspondance définit le cardinal 12, de même n termes correspondent à n termes jusqu’au point où n = la succession indéfinie des nombres inductifs, d’où alors, par correspondance entre ces successions infinies, l’équivalence cardinale ℵ₀. Seulement, il existe une opposition fondamentale entre les résultats de la correspondance bi-univoque entre nombres finis et ceux de la correspondance engendrant le transfini et cette opposition montre d’emblée que les deux opérations sont différentes. En effet, tandis que le fini est caractérisé par la succession « inductive », c’est-à-dire que chaque nombre résulte du précédent par addition itérante (itération de l’unité), le transfini est au contraire « réflectif », c’est-à-dire que le tout est « égal » (= équivalent par correspondance bi-univoque) à ses propres parties intégrantes. Or, il est immédiatement visible que cette « réflectivité » résulte d’un mode de correspondance identique à celle qui définit la multiplication des classes et que nous avons appelé pour cette raison correspondance bi-univoque « qualitative » ou « qualifiée » (voir Chap. I, Rem. II et surtout Chap. IX, Rem. III), par opposition à la correspondance bi-univoque quantitative ou « quelconque ».

On se rappelle, en effet, que nous avons défini la relation bi-univoque et réciproque, en général, par l’« équi-distribution » (voir Chap. IX, Rem. III). On obtient ainsi, pour deux ensembles quelconques M et N et un commun multiplicateur x pouvant être un nombre (1, 2…), une classe ou une relation, la relation suivante, qui définit la correspondance :

x

(M « — » N) = (M + N) × x

Par exemple, pour M = 20 objets, on a :

1

(20 « — » 20) = (20 + 20) × 1 = 40 [###]

2

(10 « — » 10) = (10+10 ) × 2 = 40

20

(1 « — » 1) = (1 + 1) × 20 = 40

…etc.

qui constituent autant d’expressions équivalentes se lisant « 20 correspond 1 à 1 à 20 » (= 20 unités correspondent à 20 unités), ou « 10 couples correspondent à 10 couples », ou « une vingtaine correspond à une vingtaine », etc. L’élément de correspondance peut donc être l’unité, ou le couple, etc., mais la correspondance demeure bi-univoque et réciproque.

Cela établi, deux cas sont possibles : ou bien la correspondance a lieu « élément à élément » de façon « quelconque ». L’on a alors :

x

I. (M «  —   » N) = (Mx = Nx) et (M + N) x ≠ Mx

ou bien la correspondance est « qualifiée », c’est-à-dire qu’une classe donnée correspond à une autre classe déterminée et à elle seule ; la correspondance a donc lieu « classe à classe », et alors :

x x x

II. (M «  —   » N) = (Mx = Nx) et (M + N)x «  —   » Mx (ou Nx)

C’est-à-dire que (Mx) et (Nx) réunis correspondent encore bi-univoquement à (Mx) seul ou à (Nx) seul. Pour rappeler un exemple, si x = E₂ = les pièces du squelette des Vertébrés, si M = A₁ = les pièces du squelette des Poissons et si N = A’₁ = celles du squelette des Batraciens, B’₁ = celles des Reptiles, etc., alors :

E₂ B₁E₂ E₂

A₁ «  —   » A’₁ = (A₁E₂ = = A’₁E₂) = (B₁E₂ «  —   » A₁E₂) … etc.

C’est-à-dire qu’il y a correspondance classe à classe aussi bien entre les pièces du squelette des Poissons (A₁A₂ + A₁A’₂ + A₁B’₂…) et des Batraciens (A’₁A₂ + A’₁A’₂ + A’₁B’₂…) qu’entre les premières et celles des deux réunis (B₁E₂) ou (E₁A₂ + E₁A’₂ + E₁B’₂…) du squelette des Vertébrés en général, y compris les Poissons.

Cela posé, on peut se demander auquel de ces deux types [p. 224] de correspondance appartient la correspondance « réflective » propre aux ensembles transfinis. Par exemple, l’ensemble des nombres inductifs i = 1, 2, 3, 4… se « réfléchit » sur celui des nombres pairs p = 2, 4, 6, 8… etc., puisqu’à chaque nombre inductif correspond un nombre pair déterminé, résultant de sa simple duplication. Cependant, les nombres pairs font eux-mêmes partie de la première suite, dont on peut les extraire à raison d’un terme sur deux. Le tout (i) correspond ainsi terme à terme à la partie (p). Que signifie cette correspondance ?

Tout d’abord, pour un nombre fini de correspondances, telles que celles des 10 premiers nombres inductifs (1, 2, 3… 10) et des 10 premiers nombres pairs (2, 4, 6, 8… 20), il va de soi que la correspondance est « quelconque » (type I). En effet, l’on a :

1

I. p «  —   » i  = (10 p = 10 i), soit (p + i) ≠ 10

Si l’on considère (p + i) en tant que deux ensembles différents de 10 nombres, on a (p + i) = 20, d’où 20 > 10. Si l’on réunit (p + i) en tautifiant les éléments 2, 4, 6, 8 et 10 qui se trouvent à la fois en p et en i, on a (p + i) = 15 d’où 15 > 10.

Par contre, pour un nombre infini de correspondances, tel que les deux ensembles p et i soient considérés l’un et l’autre comme présentant une puissance ℵ₀, on a :

1 ℵ₀ 1

II. (ℵ₀ p « — » i) = (ℵ₀ p = ℵ₀ i), soit (ℵ₀ p + ℵ₀ i) « — » (ℵ₀ p)

1

et (ℵ₀ p + ℵ₀ i) « — » (ℵ₀ i)

En effet (ℵ₀ p + ℵ₀ i) × 1 = ℵ₀.

Ou encore (1 p « — » 1 i) = (1 + 1) (1) puisque ℵ₀ = ℵ₀.

Autrement dit, dès que, au lieu d’envisager un nombre fini de nombres inductifs ou de nombres pairs, on se place au point de vue de ℵ₀ nombres inductifs et de ℵ₀ nombres pairs, c’est-à-dire pour parler concrètement, d’une correspondance qui continue indéfiniment, alors cette correspondance est « qualifiée ». En effet, poser (ℵ₀ p M ℵ₀ i) ce n’est plus multiplier p et i par un commun multiplicateur x tel que 2 x > x, c’est les multiplier par les [p. 225] classes particulières d’une même classe ℵ₀ telle que ℵ₀ + ℵ₀ = ℵ₀. C’est donc, à proprement parler, les « classer », c’est-à-dire que c’est « qualifier » les deux séries p et i par un « caractère commun » qui est d’être dénombrable, et non pas les déterminer par une valeur numérique définie. Dire que p correspond à i, c’est simplement affirmer que tout nombre pair est considéré comme étant « à la fois » terme de sa propre série et terme d’une « progression » ℵ₀ ; mais une série dénombrable quelconque demeure par rapport à ℵ₀, comme l’est une classe de la classe générale des Vertébrés par rapport à cette dernière et elle n’est pas comparable à ce qu’est un nombre fini égalé ou additionné à un autre. De même que les Poissons présentent terme à terme tous les caractères des Vertébrés dont ils font partie, de même les nombres pairs constituent un ensemble dénombrable comme tous les ℵ₀, mais de même que toutes les classes de Vertébrés équivalent ainsi qualitativement à cette classe totale sans lui être comparées par un nombre défini, de même une partie « réflective » de ℵ₀ équivaut à ℵ₀ sans que cette correspondance aboutisse à un nombre assignable actuel. Leibniz avait donc bien raison de se refuser à « égaler » la partie au tout et la suite des nombres pairs à celle des nombres inductifs : ce n’est pas en tant que « partie » additive des seconds que les premiers leur correspondent, c’est en tant que partie multiplicative, c’est-à-dire en tant que les uns et les autres sont « qualifiés » par la même classe des termes de progressions ℵ₀. Répondra-t-on, alors, que la classe ℵ₀ est précisément un nombre, puisqu’elle permet de « dénombrer » les termes correspondants par référence à la série même des nombres inductifs qu’elle subsume ?

Mais une telle affirmation soulève deux objections. La première est que si nous appelons « nombre » un système de classes et de relations réunies en un seul tout opératoire, le nombre ℵ₀ est une simple classe, la « classe des termes de toute progression ». En effet, bien qu’une progression soit un système de relations asymétriques, il est fait abstraction de ces dernières dans la définition de ℵ₀, lequel est uniquement l’ensemble des termes, le « champ » de ces relations, par opposition aux relations elles-mêmes qui sont exprimées par ω₀. Or, comme ces relations ne sont pas vicariantes, leur abstraction dissocie précisément ℵ₀ de ω₀. Seulement, il y aurait cercle vicieux à invoquer cette définition du nombre pour démontrer que ℵ₀ ne [p. 226] saurait assumer de rôle proprement numérique. La seconde objection consistera donc à indiquer directement que le seul dénombrement auquel il soit apte ne dépasse pas en réalité l’équivalence multiplicative d’une classe donnée avec la classe ℵ₀, par opposition à la détermination des valeurs successives des nombres finis.

En effet, les seules opérations auxquelles se prête ℵ₀ sont les opérations de la logique des classes. Non seulement la « réflectivité » qui l’oppose aux nombres finis n’est donc pas autre chose que la relation de tout à partie propre aux groupements de multiplication des classes, mais encore (et c’est là l’essentiel !) le « nombre » ℵ₀ n’est pas itérable comme tel et demeure soumis aux règles de la tautologie ainsi que de la résorption :

n + ℵ₀ = ℵ₀ ; ℵ₀ + n = ℵ₀ ; n × ℵ₀ = ℵ₀ ;

ℵ₀

ℵ₀ × ℵ₀ = ℵ₀ ; ℵ₀  = ℵ₀

D’autre part, les opérations inverses ℵ₀ — n ou ℵ₀ : n ne sont pas non plus comparables à celles de l’arithmétique élémentaire, mais au contraire à celles de la logique des classes : ainsi ℵ₀ moins les nombres pairs donne l’« ensemble » des nombres impairs et non pas un nombre fini quelconque, etc.

Quant aux ordinaux transfinis, le premier d’entre eux ω ou ω₀ est le nombre ordinal ou « type d’ordre » de la série 1, 2, 3, 4… n, c’est-à-dire qu’il est cette série elle-même en tant que relations, c’est-à-dire en tant que type d’ordre distinct de chacune des unités dont elle est composée (= distinct du « champ » ou des « termes » de ces relations). L’ordinal ω₀ correspond ainsi au cardinal ℵ₀ qui est la classe de ces mêmes nombres inductifs, mais sans se confondre avec lui. Or, il est facile de voir que si les cardinaux transfinis résultent de la correspondance bi-univoque « qualifiée » de toutes les progressions, ainsi multipliées entre elles sur le modèle de la multiplication des classes, la composition des ordinaux transfinis obéit au principe de la multiplication des relations (groupement VII). En effet, en tant que ne faisant pas partie de la suite 1, 2, 3… n le nombre ω peut donner lieu à une nouvelle suite ω + 1 ; ω + 2 ; ω + 3 ; …etc. que l’on appelle en général ω.2 ; D’où (ω.2) + 1 ; (ω.2) + 2 ; …etc. ; qui donnent ω.3 puis ω.4 … ω.n. D’où enfin ω.ω ou ω₂. Or, il est clair que [p. 227] ces opérations consistent à répéter autant de fois les » séries 1,2,3… n (soit ω) qu’il y a de nombres dans la série inductive, ce qui revient à la multiplication des relations (groupement VII) suivante :

1 → 2 → 3 → 4 → 5 … → n (= ω)

1 ↓

1 → 2 → 3 → 4 → 5 … → n (= ω) ω.2

1 ↓

1 → 2 → 3 → 4 → 5 … → n (= ω) ω.3

1 ↓

1 → 2 → 3 → 4 → 5 … → n (= ω) ω.4

1 ↓

1 → 2 → 3 → 4 → 5 … → n (= ω) ω.5

…etc.

Il suffit ensuite de multiplier ce tableau à deux dimen-

ω

sions, dont le produit est → × ↓ ω = ω₂, par une série disposée selon une troisième dimension pour avoir ω₃, puis selon une quatrième, d’où ω₄, etc… jusqu’à ω^ω. D’où

ω…

ω

enfin ω

Or cette identité de structure entre la composition des ordinaux transfinis et la multiplication bi-univoque des relations asymétriques explique précisément la nature particu-

lière des opérations en jeu. Tout d’abord, il est clair que si

ω

→ × ↓ ω = ω₂ la puissance (ou le nombre cardinal) de ω₂ demeure ℵ₀ car ℵ₀ × ℵ₀ = ℵ₀. Cela revient à dire que si l’on multiplie les termes ou éléments de ce tableau (par opposition aux relations elles-mêmes qui constituent les ordinaux) la classe des classes équivalentes (par correspondance bi-univoque qualitative ou qualifiée) demeure la même pour toutes les rangées horizontales ou pour une seule, ce qui est en effet conforme aux lois du groupement de la multiplication des classes (groupement III). Ou, plus simplement, une classe multipliée par elle-même se tautifie, par opposition aux nombres entiers autres que 0 et 1, tandis qu’une relation se répétant dans un nouvel ordre donne une nouvelle relation.

D’autre part, le caractère propre au groupement VII qui définit ces opérations ordinales transfinies explique la nature non-commutative de l’addition des ω (par opposition aux nombres finis). On sait, en effet, que 1 + ω ≠ [p. 228] ω + 1 parce que 1 + ω = ω. Ou encore ω + ω₂ = ω₂, tandis que ω₂ + ω est un nouvel ordinal. Or cela découle sans plus des lois du groupement VII. En effet dans (n + ω) le nombre ordinal (= la relation) n est déjà compris dans ω et se tautifie donc avec lui tandis que dans (ω + n) le nombre n est à situer dans la seconde rangée horizontale si ω = la première rangée. De même dans (ω + ω₂), est compris dans le tableau à deux dimensions et se tautifie donc avec ω₂ qui exprime tout le tableau. Au contraire, dans (ω₂ + ω) la série ω est à situer dans une troisième dimension par rapport à ω₂.

En bref, par le fait même qu’elles appartiennent au groupement de la multiplication des relations asymétriques (VII) et non pas à celui de la multiplication des nombres finis, les opérations ordinales transfinies ne sont pas commutatives ³. On pourrait dire, il est vrai, que (ω + ω = ω.2) est commutatif, puisque les deux ω sont « semblables ». Mais, en règle générale, il faut distinguer le suivant du précédent, soit l’addendus de l’augendus ⁴. Dans le cas de ω + ω l’ordre n’est donc qu’apparemment vicariant comme c’est le cas lorsque l’addendus et l’augendus sont semblables ou que l’un est un multiple fini de l’autre, mais ce n’est plus le cas lorsqu’ils ne le sont pas, comme en ω + n ≠ n + ω ou en ω + ω₂ ≠ ω₂ + ω. A parler strictement, l’ordre en cause dans la multiplication et l’addition des ordinaux transfinis n’est donc pas vicariant, c’est-à-dire que la similitude est rompue en cas de permutation (vicariance), ces deux caractères étant précisément ceux des compositions de relations asymétriques par opposition à l’ordre des ordinaux finis. (Pour la « commutativité apparente », voir Chap. VIII, prop. 12 et Chap. IX, prop. 7 et 7bis.)

Au total, la « réflectivité » des cardinaux transfinis et la non-vicariance ou absence de « similitude généralisée » des ordinaux transfinis résultent ainsi de la dissociation, en de tels nombres, des classes et des relations qui sont réunies en un même tout dans le cas des nombres finis ou inductifs. Notons, tout d’abord, que ces deux caractères de réflectivité et de non-vicariance, constituent la réciproque [p. 229] l’un de l’autre, de même que, inversement, l’équivalence généralisée et la vicariance ordinale propres aux unités qui constituent les nombres finis sont mutuellement dépendantes. En effet, si nous comparons les éléments des nombres transfinis aux unités des nombres finis (par exemple 1 + 1 + 1 = 3), nous constatons que la correspondance des premiers n’est pas « quelconque » mais qualifiée », tandis que celle des secondes est « quelconque : cela signifie donc que les secondes présentent entre elles une « équivalence généralisée » (voir prop. 4) et pas les premiers. Dès lors, les diverses suites que l’on peut constituer avec les éléments de ℵ₀ ne sont pas « semblables » entre elles, ce qui équivaut précisément à affirmer l’absence d’ordre vicariant. La « réflectivité » et l’absence de similitude généralisée ou de vicariance constituent donc les deux faces d’une seule et même structure, dont ils représentent, l’une l’aspect cardinal et l’autre l’aspect ordinal. Quant à cette structure, elle se définit ainsi par la dissociation des classes et des relations, en opposition avec leur union opératoire dans le cas du nombre fini.

Or, c’est précisément cette dissociation qui explique, comme nous allons maintenant le montrer directement, les particularités de la correspondance entre les cardinaux et les ordinaux transfinis et surtout qui explique pourquoi ni les uns ni les autres ne présentent d’itération proprement dite. Puisque l’itération nous est apparue comme le résultat de la fusion entre l’addition des classes et celle des relations asymétriques, l’ordre ainsi obtenu étant vicariant, la non-itération des transfinis sera donc à la fois le résultat le plus évident et la meilleure preuve de la dissociation, propre au transfini, des classes et des relations asymétriques dont le nombre fini est toujours constitué.

En effet, si à l’ordinal ω₀ correspond le cardinal ℵ₀, et si à ω₁ correspond ℵ₁, etc., cette correspondance est loin de présenter la signification du parallélisme qui existe entre les ordinaux et les cardinaux finis. Le nombre ω₁ est l’ordinal qui résulte de la sériation de tous les ordinaux que l’on peut tirer de ℵ₀ et le cardinal ℵ₁ est le nombre du champ de ω₁. On tire de même ω₂ de ℵ₁ et ℵ₂ de ω₂, etc. Seulement, ℵ₁ ne résulte donc pas de l’addition ℵ₀ + ℵ₀, laquelle est tautologique. De même ℵ₂ ne résulte pas de ℵ₁ + ℵ₁ ; etc. Quant à ω₁, il ne résulte d’autre part pas non plus de ω₀ + ω₀ = ω.2, puisque ω.2, ω.3, etc. sont encore de puissance ℵ₀ (et ω₂ ne résulte pas de ω₁ + ω₁, [p. 230] etc.) ⁵. Un ensemble bien ordonné peut donc être le segment d’un autre et constituer ainsi un nombre ordinal plus petit que lui tout en ayant la même puissance (= le même cardinal). D’une manière générale, les ordinaux et les cardinaux transfinis ne se correspondent nullement terme à terme, et si les ω₀, ω₁, ω₂… etc. correspondent aux ℵ₀, ℵ₁, ℵ₂… etc., cette correspondance n’est pas due à une itération corrélative.

Pour passer du transfini d’un certain ordre à un transfini d’ordre supérieur, on procède en effet par triage et non pas addition. Ainsi ω₀ est l’ordinal des arrangements des éléments de ℵ₀ tandis que ω₁ résulte de triages opérés sur les mêmes suites ; etc. Quant aux cardinaux correspondants, ils expriment simplement les champs de ces diverses relations. Un autre procédé, celui-là purement cardinal, consiste à dépasser ℵ₀ en déterminant la puissance de tous ses sous-ensembles. On obtient alors 2 à la puissance ℵ₀ qui est plus grand que ℵ₁ ou égal à lui. Mais 2 ℵ₀ ne résulte pas non plus de ℵ₀ × ℵ₀. Le seul cas où il semble y avoir itération est donc celui de ω + ω = ω.2 ; ω.2 + ω = ω.3 ; etc. Il est à noter d’abord que cette itération apparente coïncide précisément avec les cas où l’addition est exceptionnellement commutative et où l’ordre est exceptionnellement vicariant, ce qui montre une fois de plus que l’itération est liée à la commutativité et à la vicariance de l’ordre. Seulement, ces trois caractères n’appartiennent ici qu’en apparence, si l’on peut dire, aux divers ω enchaînés les uns aux autres. En réalité, ces ω constituent les chaînons successifs et asymétriques d’une même suite dès lors, leur itération ainsi que leur vicariance et par conséquent la commutativité exceptionnelle de leurs additions, proviennent simplement de ce qu’on les dénombre au moyen des nombres cardinaux finis 1, 2, 3… etc. L’expression ω.3 signifie ainsi « 3 segments successifs reliés en un seul ensemble bien ordonné » et s’ils sont itérés et vicariants, c’est en tant que dénombrés au moyen des unités du nombre fini « 3 » et non pas en tant que segments de l’ordinal « ω.3 ». C’est pourquoi l’addition ω + ω + ω n’est qu’exceptionnellement commutative : elle l’est, en fait, pourrait-on dire, et non pas en droit, puisque ω + n = n + ω. S’il y avait itération vraie, ω.2 ne correspondrait pas au même cardinal transfini que ω seul, tandis que la [p. 231] seule augmentation cardinale qu’entraîne la pseudo-itération ω + ω est celle du cardinal fini 2 par rapport à l’unité finie 1.

En bref, les cardinaux et les ordinaux transfinis ne correspondent pas les uns aux autres par le moyen de l’itération. Ce fait fondamental prouve à lui seul que les transfinis ne sont pas de vrais nombres, mais des classes et des relations dissociées les unes des autres ; tandis que les nombres finis sont l’une et l’autre à la fois. Les ordinaux transfinis sont des séries de relations, caractérisées par leur type d’ordre, indépendamment du nombre cardinal de leur champ. Les cardinaux transfinis ne constituent que les « champs » de ces relations, mais indépendamment de la forme de ces dernières, c’est-à-dire indépendamment de l’ordre. Les nombres véritables, qui sont les nombres inductifs, ont au contraire une valeur cardinale déterminée par le type d’ordre de leurs unités et un type d’ordre déterminé par la puissance cardinale de l’ensemble de ces unités. Dès lors, l’ordre propre aux nombres finis est nécessairement vicariant, ce qui permet, répétons-le, d’en faire abstraction sans changer la nature des opérations, tandis que l’ordre des nombres transfinis ne saurait être vicariant, ce qui implique la dissociation des opérations cardinales et des opérations ordinales.

On voit, en conclusion, combien le cas des nombres transfinis confirme, au lieu de les contredire, les analyses précédentes : le nombre véritable apparaît ainsi comme inépuisable et réfractaire à la détermination « tous ». Dès que l’on cherche à actualiser « tous » les nombres, par la seule méthode possible qui est celle des correspondances transfinies, on dissocie et on détruit par cela même la structure proprement numérique, pour retomber dans la dualité des classes et des relations d’où le fait que les cardinaux et les ordinaux transfinis se réduisent respectivement aux structures des groupements I-III et V-VIII ⁶.

Si les classes et les relations sont nécessairement distinctes les unes des autres sur le plan conceptuel [p. 232] et fondues en une même totalité opératoire au sein du nombre lui-même, il est donc permis de concevoir tous les intermédiaires entre les termes extrêmes et, si l’on peut s’exprimer ainsi, on peut retrouver tous les degrés de dissociation en redescendant de l’état de nombre pur jusqu’à celui des classes et relations qualitatives. Ces divers degrés de dissociation entre les classes et les relations ou de réintégration des classes et des relations au sein des êtres mathématiques sont naturellement à définir par le genre d’opérations auxquelles on soumet les termes considérés, c’est-à-dire en définitive par la structure de leurs groupements.

Or, il est, entre les classes qualitatives et les nombres, une catégorie d’êtres formels que l’on a trop souvent la tendance de considérer toujours comme de simples classes, ce qu’ils ne sont qu’en partie : ce sont les « ensembles ». On sait assez l’analogie des principes de la théorie des ensembles avec ceux de la logique des classes, en particulier quant à la loi de tautologie et aux opérations qui déterminent la réunion de deux ensembles. Est-ce à dire que l’on puise identifier une fois pour toutes ces deux sortes de structures ?

Du point de vue où nous nous sommes placés dans cette étude, la réponse est aisée à fournir : seule l’opération définit la structure des termes envisagés et celle-ci n’est qu’une abstraction par rapport aux groupements qui leur donne une signification. Dès lors, l’on ne saurait trancher de façon générale la question de savoir si un « ensemble » est une « classe » qualitative ou n’est pas une « classe » : cela dépend entièrement des opérations auxquelles on soumet ces ensembles.

Il est évident, par exemple, que si l’on définit la logique des classes par les opérations dont nous nous sommes servis dans les groupes I-IV, les notions d’ensembles équivalents ou de même « puissance » et l’arithmétique générale qui s’y rattache, dépassent cette logique particulière, puisque la mise en correspondance bi-univoque quelconque n’est pas une opération qui lui appartienne et que seule la correspondance bi-univoque d’ordre qualitatif (voir chap. V, Rem. II) a prise sur les classes comme telles.

De même les notions de correspondance ordinale ou de similitude généralisée avec toutes les notions qui en découlent, sortent des cadres de la logique qualitative, tant des relations que des classes, parce que la similitude généralisée [p. 233] est une relation qui fait précisément abstraction des sériations qualitatives particulières, comme le nombre élimine les qualités des termes nombrés et que la correspondance biunivoque qualitative des relations est la seule opération que connaissent les groupes multiplicatifs de relations ou groupes VII et VIII (voir chap. IX). Par conséquent, les notions d’« ensembles ordonnés » ou d’« ensembles bien ordonnés » n’ont rien de contradictoire avec ce que nous avons dit de l’incapacité où l’on se trouve d’additionner simultanément les classes et les relations, puisqu’un ensemble ordonné n’est pas une classe, et qu’il n’existe pas de classes ordonnées comme telles dans les groupes logiques qualitatifs. Sans doute, on peut toujours ordonner une classe ou réunir en une même classe les termes d’une relation. Mais ces « domaines », « co-domaines » et « champs » ne peuvent être additionnés les uns aux autres à titre de classes qu’en suivant les règles de l’équivalence qualitative (Chap. I et Chap. III, Rem. V), c’est-à-dire en faisant abstraction des sériations.

D’autre part, et indépendamment même des opérations auxquelles sont soumis les ensembles une fois constitués, il faut considérer les opérations qui les constituent ⁷. Or, si nous comparons, par exemple, la classe (qualitative) des êtres vivants et l’ensemble (ou classe mathématique) des nombres entiers positifs et négatifs, il est évident que dans le premier cas la classe résulte simplement de la réunion par juxtaposition de ses éléments et se définit statiquement par les caractères communs à eux tous sans que l’on puisse en déduire les caractères différentiels des diverses sous-classes. Au contraire, l’ensemble des nombres se définit par une loi de formation, et la totalité, ainsi engendrée grâce à une addition constructive et non plus seulement inclusive, suppose les caractères différentiels de ses éléments. Dès lors, il ne saurait être légitime d’appeler « classes » deux totalités aussi dissemblables. Sans doute existe-t-il tous les intermédiaires entre ces deux extrêmes, et tout ensemble n’est-il pas « construit ». Mais c’est bien pourquoi l’on ne saurait trancher la question de savoir si les ensembles sont des classes indépendamment de la considération des opérations en jeu. Il reste en particulier [p. 234] possible de constituer une pure classe des nombres entiers, abstraction faite de leur loi de formation et comme s’ils étaient jetés pêle-mêle en une même boîte, d’ailleurs non fermée, mais alors on n’a pas le droit de confondre cette classe par addition logique à l’« ensemble ordonné » construit au moyen des mêmes éléments. D’où la dissociation de ℵ₀ et de ω.

En bref, si l’on voulait réunir les ensembles aux classes et aux relations pour construire une logique générale, seule l’analyse des opérations comme telles, c’est-à-dire des « groupements » permettrait d’éviter les assimilations illégitimes. Bornons-nous à conclure que les classes et les relations fondues dans le nombre en une totalité opératoire véritable peuvent être dissociées les unes des autres à tous les degrés, grâce aux abstractions propres aux différentes opérations possibles et qu’il est donc dangereux de confondre sous les mêmes symboles ces diverses structures.

On sait que M. Russell a tenté de réduire le nombre cardinal à la classe logique, sans faire appel à la notion d’ordre. Il importe donc d’examiner ce point de vue, qui est contraire à l’idée soutenue dans ce chapitre et suivant laquelle la sériation est nécessaire pour expliquer le passage de l’addition tautologique des classes à l’addition itérante des nombres.

En deux mots, la théorie de M. Russell revient à fonder le nombre sur la correspondance bi-univoque des classes. Deux ou plusieurs classes sont dites « équivalentes » (au sens de A « — » A’. Voir Chap. V, Rem. II, prop. 14), lorsqu’il existe une correspondance univoque et réciproque entre leurs éléments. On peut donc définir « par abstraction » le nombre comme la classe des classes équivalentes. Par exemple, la classe qui contient les classes équivalentes des 42 apôtres, des 12 maréchaux de Napoléon et des 12 mois de l’année est une classe de classes qui constitue le nombre 12. Si, d’autre part, 12 + 12 = 24, c’est que l’addition logique de deux classes de 12 donne une classe qui n’est plus équivalente aux classes de 12 termes mais à celles de 24. Comme le dit M. Couturat ⁸, « si l’on [p. 235] peut ajouter un nombre à lui-même, c’est en l’incarnant dans deux collections différentes (et disjointes) qui ont ce même nombre. Autrement, on aurait beau répéter le nombre a, on n’obtiendrait jamais, en l’ajoutant logiquement à lui-même, que le nombre a ».

Mais une question se pose naturellement : la correspondance bi-univoque établie par M. Russell entre les éléments de deux classes n’introduit-elle pas le nombre dans ces classes logiques au lieu de l’en tirer ? Ou, d’une manière générale, l’« équivalence » résultant d’une telle correspondance est-elle une notion définissable en termes de logique des classes ? Selon M. Couturat, la correspondance bi-univoque quelconque est une relation « purement logique » qui « se définit uniquement au moyen de la relation d’identité entre individus » (loc. cit., p. 47). En effet, « une relation uniforme est une relation telle que x R y et s R z impliquent, quel que soit x, que y est identique à z » (p. 32), et une correspondance bi-univoque n’est qu’une relation bi-uniforme : elle ne suppose donc pas, selon nos auteurs, le nombre 1, mais simplement l’identité entre individus logiques.

Seulement, tout n’est pas dit ainsi, et il convient de distinguer, comme nous y avons été conduit (chap. V, Rem. II) la correspondance bi-univoque entre termes reconnaissables à leurs qualités, tels que les présidents, vice-présidents, secrétaires, etc., de deux comités A₂ « — » A’₂ (voir pour cet exemple chap. V, Rem. II), et la correspondance bi-univoque entre unités indépendantes de toute qualité individuelle, par exemple A₂ « — » A’₂. Seule la distinction de ces deux types de correspondance nous semble précisément permettre de savoir si un terme x ou y est pris dans le sens d’une unité logique ou du nombre 1. Or, il est clair que si l’on fait correspondre selon l’exemple classique les 12 apôtres du Christ aux 12 Maréchaux de Napoléon ou aux 12 mois de l’année, il ne saurait être question de correspondance entre qualités particulières (il n’y a pas de rapport qualitatif défini entre l’apôtre Pierre, le maréchal Ney et le mois d’avril) : la correspondance est donc quelconque, c’est-à-dire qu’elle fait abstraction de toute qualité et qu’on peut l’établir selon toutes les combinaisons, pourvu qu’un élément de l’une des classes corresponde à un seul élément de chacune des autres. Donc tous les éléments de l’une des classes sont considérés [p. 236] comme réciproquement substituables les uns aux autres (= équivalence généralisée) mais sans être identiques : nous prétendons alors que, leur non-identité n’étant plus fondée sur une distinction qualitative, seul un principe de sériation parviendra à différencier les uns des autres. (Rem. I de ce chapitre), ce qui revient à dire qu’on les a déjà transformés, grâce à la correspondance quelconque elle-même, en unités d’ordre numérique.

Si l’on se place au point de vue opératoire, il faut, en effet, pour mettre en correspondance α₁ et β₁ ; α₂ et β₂, etc., s’assurer tout au moins que α_n n’a pas été compté auparavant : la correspondance, lorsqu’elle n’est pas qualitative, suppose ainsi un ordre opératoire quelconque et « vicariant » (Rem. II), mais toujours nécessaire. Seulement, MM. Russell et Couturat, qui sont platoniciens, considèrent assurément la correspondance en soi, à titre de relation donnée et indépendants de l’acte de mise en correspondance. Une opération comme telle apparaît même à M. Couturat comme une notion si entachée de psychologisme qu’elle en devient « manifestement anthropomorphique » ⁹.

Mais si nous nous plaçons sur le terrain formel, la difficulté subsiste, comme nous l’avons développé au cours de la Rem. I. Si α₁ β₁ γ₁… correspondent à α₂ β₂ γ₂… et à α₃ β₃ γ₃… quel que soit l’ordre de la mise en correspondance, cela signifie donc que α₁ β₁ γ₁… sont à la fois équivalents et distincts les uns des autres. L’équivalence ne suppose certes aucun ordre. Mais les différences invoquées seront, ou bien d’ordre qualificatif et alors la correspondance cessera d’être quelconque, ou bien indépendantes des qualités, et alors la relation « chacun différent de chacun » devra être considérée comme irréflexive, connexe et transitive, c’est-à-dire qu’elle impliquera un ordre, à la fois vicariant et asymétrique. Dans ce cas la correspondance bi-univoque conduit bien au nombre, mais c’est parce qu’elle est « quelconque » et contient ainsi d’avance le caractère d’équivalence généralisée et d’ordre vicariant dont l’union constitue précisément le nombre.

En bref, et d’une manière générale, la correspondance bi-univoque entre les éléments de deux classes repose donc, ou bien sur les qualités propres à ces éléments, auquel cas elle ne conduit pas au nombre, ou sur leur simple caractère d’objets à la fois substituables et non identiques, et [p. 237] alors il faut les sérier pour les différencier les uns des autres : dès lors définir le nombre par la correspondance univoque et réciproque entre deux collections de tels objets revient à définir le nombre par lui-même, puisque des éléments à la fois substituables et sériables ne sont plus des unités logiques mais arithmétiques et constituent des répétitions de l’unité 1 dont on prétendait se passer.

Mais il y a plus. Non seulement on espère déduire sans cercle le nombre de la notion de classes correspondantes, mais encore on croit pouvoir expliquer sans contradiction l’itération, par exemple 2 + 2 = 4, par l’addition logique (par exemple les yeux de X + les yeux de Y), le nombre 2 se trouvant alors « incarné » en deux collections différentes et ne se tautifiant donc pas, comme cela serait nécessaire sans cette circonstances (Couturat, loc. cit., p. 53). Cherchons à mettre en symboles cette « incarnation » surprenante, dont le sens concret revient donc ni plus ni moins à réduire le mécanisme fondamental de la formation des nombres (itération) à la diversité qualitative des concepts.

Appelons A₁ l’œil gauche de X (plus précisément A₁ = la classe singulière contenant ce seul objet) et A’₁ son œil droit ; et appelons A₂ l’œil gauche de Y et A’₂ son œil droit. Il paraît alors clair que :

B₁ (= A₁ + A’₁) + B₂ (= A₂ + A’₂) = D (= les 4 yeux).

C’est-à-dire que la somme arithmétique de deux classes équivalentes B₁ «  —   » B₂ (= équivalentes par la correspondance univoque et réciproque de leurs éléments) est égale au nombre cardinal de la somme logique de ces classes. Quant aux « classes de classes équivalentes » construites par « abstraction », il va de soi que la classe des classes singulières A₁ ou A₂ ou A’₁ ou A’₂ est A = 1 ; la classes des classes B₁ et B₂ est B = 2 ; et la classe de la classe D est D = 4.

Seulement on a aussi la possibilité de former logiquement les classes :

B₃ = A₁ + A₂ = les yeux gauches de X et Y

B₄ = A’₁ + A’₂ = les yeux droits de X et Y

B₅ = A₁ + A’₂ = l’œil gauche de X et l’œil droit de Y

B⁶ = A’₁ + A₂ = l’œil droit de X et l’œil gauche de Y

qui ont toutes, comme B₁ et B₂, pour classe de classes la classe B (= 2). De même, on a :

[p. 238] C₁ = A₁ + A’₁ + A₂ = les yeux de X et l’oeil gauche de Y

C₂ = A₁ + A₂ + A’₂ = l’oeil gauche de X et les yeux de Y C₃ = A₁ + A’₁ + A’₂ = les yeux de X et l’oeil droit de Y

C₄ = A’₁ + A₂ + A’₂ = l’oeil droit de X et les yeux de Y

qui ont toutes pour classe de classes équivalentes la classe C (= 3).

Or si nous appliquons à toutes les classes ainsi définies les relations de l’équivalence qualitative (voir chap. I et chap. III prop. 24 et 26) nous obtenons :

D D D D D

B₁  =  B₂  =  B₃  =  B₄  =  B₅  =  B⁶

D D D

C₁  =  C₂  =  C₃  =  C₄

C₁ C₁ B₁

B₁  =  B⁶  =  B₃ et A₁ = A’₁

C₂ C₂ B₂

B₂  =  B₃  =  B₅ A₂ = A’₂

C₃ C₃ B₃ B₅

B₁  =  B₄  =  B₅ A₁  =  A₂ A₁  =  A’₂

C₄ C₄ B₄ B⁶

B₂  =  B₄  =  B⁶ A’₁= A’₂ A’₁= A₂

Par contre toute autre équivalence qualitative est exclue. Or, si nous appliquons aux mêmes classes les mêmes relations d’équivalence qualitative, mais en déterminant ces relations par rapport « aux classes de classes équivalentes par correspondance univoque et réciproque quelconque », (= aux classes de classes Russelliennes), nous trouvons une équivalence générale de toutes les classes de même rang, et il est alors facile de voir que c’est précisément cette équivalence qualitative généralisée (et cessant donc par cela même d’être qualitative) qui permet à n’importe quelle réunion de deux classes singulières de constituer le nombre 2 ; à n’importe quelle réunion de trois classes singulières de constituer le nombre 3, etc.

Appliquer à deux ou plusieurs classes (par exemple B₁ B₂ B₃ …etc.) la relation d’équivalence qualitative par rapport à la classe de classes équivalentes (du point de vue de la correspondance bi-univoque quelconque) signifiera, en effet : 1° que chacune de ces classes est incluse dans la même classe de classes équivalentes (dans cet exemple la [p. 239] classe B) et 2° que ces classes sont vicariantes à l’intérieur de la même classe de classes.

On aura donc (si A, B et C sont les classes de classes envisagées) :

A A A

(A₁ = A₂ = A’₁ = A’₂) = (Cl. A = 1)

B B B B B

(B₁ = B₂ = B₃ = B₄ = B₅ = B₅) = (Cl. B = 2)

C C C

(C₁ = C₂ = C₃ = C₄) = (Cl. C = 3)

On reconnaît là les équivalences généralisées du tableau (3bis) de ce chapitre, et l’on doit en tirer les mêmes conséquences : si des classes quelconques peuvent ainsi être déboîtées de celles dont elles faisaient parties qualitativement, et remplacées par d’autres sans changer la signification des classes emboîtantes, c’est alors que toutes les classes de même rang sont devenues égales et l’on a donc A₁ = A₂, etc. et B₁ = B₂ = B₃, etc. Il devrait y avoir dans ce cas tautologie générale, puisque l’on ne peut plus faire appel aux qualités particulières de chaque classe pour la distinguer des autres classes de même rang. Comment donc éviter cette tautologie ?

La notion des classes de classes équivalentes (A₁ « — » A₂ = par correspondance, etc.) implique donc plus qu’une simple « abstraction » : elle suppose l’équivalence qualitative générale de toutes les classes possibles de même rang que l’on peut construire au moyen des éléments déboîtés des classes initialement définies par leurs qualités conceptuelles. Dès lors il est évidemment illégitime de recourir à ces qualités propres aux collections initiales pour expliquer l’itération 2 + 2 = 4. En effet, la construction des classes de classes équivalentes conduit précisément à l’élimination de ces qualités, et cela tant à cause du caractère quelconque et non pas qualitatif des correspondances bi-univoques sur lesquelles elle se fonde, qu’à cause des équivalences qualitatives généralisées que nous venons de constater et qui ont pour résultat l’annulation de toutes les qualités différentielles. Une « classe de classes équivalentes (par correspondance bi-univoque quelconque) » n’est donc plus une classe logique, et il serait contradictoire d’invoquer les classes logiques qu’elle a transformées au moyen d’opérations déjà proprement arithmétiques pour [p. 240] rendre compte de ses propriétés nouvelles. Seule l’union de l’équivalence généralisée avec la sériation expliquera donc l’itération.

Mais la réunion des deux sortes d’arguments invoqués jusqu’ici a quelque chose de paradoxal : d’une part, en effet, nous voyons dans le passage de la classe au nombre une généralisation des équivalences propres au concept, mais qui demeurent toujours limitées chez celui-ci ; et, d’autre part, nous invoquons, pour maintenir la différence des termes radicalement équivalents, une sériation qui semblerait devoir être exclue par ces équivalences mêmes. En premier lieu, nous avons ainsi opposé la correspondance bi-univoque quelconque ou « cardinale » à la correspondance bi-univoque qualitative, pour cette raison que si α₁ β₁ γ₁ … correspondent quantitativement à α₂ β₂ γ₂…, on peut opérer selon n’importe quel ordre et faire correspondre un terme quelconque de la première collection à un terme quelconque de la seconde, tandis que, dans la correspondance qualitative les correspondances entre α₁ et α₂ ; β₁ et β₂ ; γ₁ et γ₂, etc., constituent des couples indissociables (α₁ ne correspond pas à β₂ ni β₁ à γ₂). Or dans cette correspondance qualitative l’ordre d’énumération des couples n’intervient pas, tandis que dans la correspondance quantifiante c’est précisément la sériation des termes quelconques, c’est-à-dire leur ordre d’énumération, qui nous permet de les distinguer les uns des autres (les différents ordres possibles étant alors considérés comme tous « semblables »). En second lieu, dans les « classes de classes équivalentes » (par correspondance cardinale) toutes les réunions de 2, 3, 4…, termes sont équivalentes entre elles, de manière générale (B₁ = B₂ = B₃…) tandis que dans les classes de classes équivalentes qualitativement les classes équivalentes ne

le sont que par rapport aux classes emboîtantes d’ordre supérieur (B₁ = B₂) ou (B₁ = B₃), etc. Or, à nouveau, la sériation n’intervient pas chez ces dernières tandis qu’elles est nécessaire pour distinguer les premières les unes des autres. Il semble y avoir là une difficulté, mais nous allons constater qu’elle n’est qu’apparente, car c’est précisément l’intervention des caractères distinctifs des classes qui exclut leur sériation, en même temps qu’elle limite leurs équivalences, tandis que l’élimination de ces qualités rétablit par le fait même la considération de l’ordre en même temps qu’elle libère les équivalences.

[p. 241] Un troisième argument montrera auparavant mieux encore, cette opposition des « classes de classes équivalentes par correspondance bi-univoque quelconque » et des classes logiques : c’est la possibilité de construire des « classes de classes équivalentes par correspondance bi-univoque qualitative », dont les propriétés s’identifient à celles des classes logiques en général et non pas à celles des ensembles numériques (voir chap. V, Rem. II. prop. 18). Deux ou plusieurs classes logiques peuvent donc correspondre les unes aux autres, selon le principe de la bi-univocité, mais par les caractères qualitatifs et distinctifs de leurs éléments et non plus de façon quelconque. C’est ainsi que le squelette des Poissons correspond à celui des Batraciens, etc., par le crâne, les vertèbres, les membres, etc. (voir chap. V). De cette correspondance univoque et réciproque on peut tirer « par abstraction » une classe des classes correspondantes, c’est-à-dire la classe de toutes les classes de squelettes de Vertébrés. Si α β γ ont ainsi en commun les mêmes éléments correspondants, alors S est la classe de ces classes. Seulement, en ce cas, deux classes additionnées l’une à l’autre (α + β) correspondent à la même classe de classes que α seule ou β seule, c’est-à-dire que (le squelette des Poissons + le Squelette des Batraciens) sont toujours des squelettes de Vertébrés ¹⁰. Au contraire dans le cas des classes de classes équivalentes par correspondance cardinale (α + β) correspondent à une autre classe de classes que α seul ou β seul : par exemple (12 + 12) appartiennent à la classe de classes (24) et non pas (12). Or la différence n’est pas due au fait que, dans le second cas, les classes considérées (les 12 apôtres, etc.) seraient « collectives » tandis que dans le premier elles ne le seraient pas : la classe des pièces du squelette des Poissons est bien une classe « collective » comme celle des 12 apôtres, puisque le crâne des Poissons n’est pas à lui seul un squelette, pas plus que l’apôtre Pierre n’est à lui seul 12.

En bref, quand la correspondance bi-univoque entre les éléments de plusieurs classes est d’ordre qualitatif, deux de ces classes réunies appartiennent à la même classe de classes correspondantes qu’une seule classe isolée, mais il suffit que la correspondance bi-univoque fasse abstraction [p. 242] des qualités conceptuelles pour que la « classe des classes correspondantes » ne soit plus la même par rapport à l’une seulement de ces classes, ou à deux ou à trois…, etc. Or, précisément, dans le premier de ces cas, il n’y a pas d’équivalence généralisée des classes partielles (par exemple le crâne et les membres antérieurs ne constituent pas la même classe B que les vertèbres et les membres postérieurs, et il faut ainsi distinguer B₁ et B₂) tandis que dans le second cas l’équivalence est généralisée (2 apôtres sont 2 quels qu’ils soient). Il est donc clair qu’il y a opposition de structure entre les classes de classes équivalentes indépendamment de leurs qualités et les classes de classes équivalentes par correspondance bi-univoque qualitative : c’est pourquoi il nous paraît contradictoire d’expliquer l’itération par l’« incarnation » des nombres en des classes définies grâce à leurs différences conceptuelles, c’est-à-dire qualitatives ¹¹.

Si 2 + 2 = 4, ce ne peut donc être, une fois de plus, que parce que la seconde collection de 2, tout en étant jugée égale à la première, par élimination de toute qualité, est en même temps posée comme seconde. Mais elle n’est pas alors considérée comme seconde en tant que conceptuellement distincte de la première, puisqu’au contraire elle lui est rendue égale en tout, sauf qu’elles ne sont pas identiques : si elle est différente de la première, c’est donc simplement qu’elle est sériée par rapport à elle, cette sériation restant la même (par « similitude ») si l’ordre des termes comme tels (par opposition à celui des relations) est interverti.

Mais, on pourrait croire que la sériation vient alors se surajouter à l’extérieur, invoquée comme une sorte de Deus ex machina, lorsque les différences qualitatives ne suffisent plus à rendre compte de la non-identité des termes. Il n’en est rien : la sériation linéaire est immanente à toute sériation hiérarchique de classes et si elle n’intervient pas dans les opérations additives et multiplicatives portant sur les classes, c’est qu’elle est tenue en échec par les nécessités propres aux réunions des qualités. Nous ne parlons pas de la série asymétrique constituée en tout temps par les classes primaires incluses les unes dans les [p. 243] autres A, B, C… etc., puisque la question porte uniquement sur la différenciation des termes contenus en chacune d’elles, soit sur les classes A₁, plus A₂, etc., incluses en B (A et les A’), etc. Or, il est clair que l’on ne saurait énumérer ces classes élémentaires sans suivre un ordre d’énumération, quel qu’il soit, donc sans sérier ces classes asymétriquement en choisissant un ordre quelconque (puisqu’elles sont vicariantes). Seulement, comme cet ordre quelconque n’a point de rapport avec les autres qualités qui définissent les classes ainsi additionnées (et qu’il constitue lui-même une qualité purement accidentelle, et non pas stable de ces classes), il est évident que toute opération additive ou multiplicative doit en faire abstraction ¹² et c’est pourquoi nous disons que les concepts ne sauraient être classes et relations à la fois, c’est-à-dire équivalents et sériables dans le même calcul. Par contre, il suffit que les mêmes termes soient considérés indépendamment de leurs qualités différentielles, et soient ainsi rendus entièrement équivalents les uns aux autres, sauf à être maintenus simplement distincts (c’est-à-dire non identiques) pour que cette élimination des qualités rétablisse en retour, et par le fait même, la considération de l’ordre d’énumération : cet ordre ne surgit point alors ex nihilo, mais réapparaît en tant que les rangs constituent les seules qualités survivant à l’annulation de toutes les autres, puisqu’ils expriment sans plus les ultimes caractères distinctifs de chaque terme après la suppression de toute autre qualification. Plus précisément, il suffit que soient abolies les qualités différentielles des termes pour que leur réunion, sauf à devenir tautologique, ne puisse plus consister qu’en une simple juxtaposition, le fait que chaque terme occupe un rang différent des autres en toute énumération possible demeurant alors son seul caractère distinctif : l’addition, de purement inclusive qu’elle était, devient donc nécessairement sériale et inclusive à la fois, l’ordre étant la seule relation qui exprime simultanément cette égalité et cette différence des termes. Mais cet ordre mobile reste en ce cas toujours « semblable » à lui-même, quelles que soient les [p. 244] permutations des termes, ces permutations devenant compatibles avec la sériation puisque les termes n’ont plus d’autres qualités que leurs rangs momentanés et relatifs.

On pourrait exprimer les mêmes transformations de la manière suivante. Soient les classes singulières A, B, C… etc., définies par leurs qualités différentielles et réunies en une classe M. Ces qualités sont évidemment toutes des relations (A est plus grand que B, moins large, plus âgé, autrement coloré, etc.) ; mais l’addition des termes en fait nécessairement abstraction pour ne retenir que les qualités communes. Ces dernières sont encore des relations (par rapport à d’autres classes N, P, etc.) ; mais, en tant que communes, elles définissent la classe M. L’addition des classes est donc uniquement inclusive et non sériale : elle réunit en une totalité les divers points d’intersection d’un ensemble donné de séries qualitatives possibles, mais les réunit sans tenir compte de ces séries. C’est pourquoi l’ordre d’énumération des termes de la classe ne saurait intervenir dans la définition de cette classe ; mais il est clair que, selon les qualités envisagées, il serait possible de construire un grand nombre de séries entre les différents termes de la même classe. Supposons maintenant que nous éliminions ces qualités distinctives, ce qui implique donc la suppression de toute différence qualitative entre les divers ordres concevables : alors, le fait même de l’abstraction des qualités distinctives des termes entraîne la similitude de leurs ordres, et l’élimination de la qualité rétablit ainsi automatiquement la nécessité de l’ordination (l’ordre étant donc commun à toutes ces sériations « semblables »). L’addition des termes rendus équivalents sera donc dans ce cas à la fois sériale et inclusive, l’équivalence des termes additionnés se confondant avec la similitude de leurs ordres d’énumérations possibles et toutes deux provenant simultanément de l’énumération des qualités différentielles.

La chose est claire dans le domaine de l’intuition. Réunir 10 objets en une classe c’est définir leurs qualités communes en éliminant celles que chacun possède en particulier, y compris sa position momentanée dans l’espace ou dans le temps. Compter les mêmes objets, c’est au contraire, faire abstraction des qualités particulières de chacun, en considérant ces termes comme à la fois équivalents et distincts, mais alors leurs différences ne résultent plus que de leurs positions dans l’espace ou dans le temps au moment même du dénombrement, c’est-à-dire que de [p. 245] leurs ordinations possibles (et toutes équivalentes) ¹³. C’est cette double nécessité psychologique qui nous paraît se traduire logiquement par l’égalité : « suppression des qualités distinctives + non-identité = équivalence + ordre ». Mais comme tous les ordres possibles sont alors semblables (dans le fini) on peut en faire abstraction dans le calcul arithmétique (un nombre ordinal fini correspondant toujours à son cardinal et réciproquement). Seulement cela ne signifie pas qu’on puisse le négliger dans les opérations qui engendrent le nombre (ni que les notions de cardinal et d’ordinal conservent les mêmes significations dans l’infini…)

Ces remarques nous conduisent à l’interprétation que M. Russell a donnée du nombre ordinal. Le nombre ordinal, dit M. Russell est la classe des relations « semblables » entre elles. Cette définition revient donc à déterminer le nombre des relations en jeu ou des termes sériés eux-mêmes, ce qui introduit un élément cardinal dans la construction du nombre ordinal. Nous ne pouvons que nous rallier à cette manière de voir. Mais il est à noter que mettre en correspondance ordinale (similitude) les diverses suites possibles que l’on peut construire avec les termes d’une même série qualitative donnée revient nécessairement à faire abstraction des caractères distinctifs de chaque relation particulière et de la définition

conceptuelle de la relation d’ensemble, puisque si a’ = a’ = b’, etc.,

a

alors la relation → devient une unité itérable. Il faut donc distinguer la similitude ou correspondance ordinale quelconque de la similitude d’ordre qualitatif, et les remarques faites à propos du nombre cardinal, s’appliquent à nouveau ici, sans que nous ayons besoin d’y revenir en détail.

On sait que M. Whitehead en s’inspirant de la notion de « produit » utilisée en théorie des ensembles ¹⁴ a donné de la multiplication arithmétique une définition « purement logique », indépendante de la sériation et de l’addition, et qui prétend ainsi une fois de plus réduire le nombre, en l’une de ses opérations essentielles, à la classe comme telle. Il est indispensable que nous examinions cette interprétation célèbre, puisque nous venons d’admettre au contraire que sans la fusion de la multiplication des relations avec celle des classes on ne saurait rendre compte des caractères particuliers de la multiplication des nombres.

Soit donc la classe C₁ dont il a été question tout à l’heure et qui est la classe des trois classes A₁ ; A’₁ et B’₁ (A₁ = les présidents ; A’₁ = les vice-présidents et B’₁ = les secrétaires). M. Whitehead appelle « classe multiplicative » de C₁, soit P, la classe de toutes les classes possibles formées en empruntant un élément, et un seul, à chacune de ces trois classes de C₁. Le nombre cardinal de la classe multiplicative sera donc le produit des nombres cardinaux des classes de C₁. Si A₁ = 4 (= A₁ A₂ ; A₁ A’₂) ; A’₁ = 4 (A’₁ A₂ ; A’₁ A’₂ ; A’₁ B’₂ et A’₁ C’₂) et B’₁ =4 (B’₁ A₂ ; B’₁ A’₂ ; B’₁ B’₂ et B’₁ C’₂), alors P = 4 × 4 × 4 = 64. En effet en associant les 4 individus de A₁, de A’₁ et de B’₁ selon toutes les combinaisons possibles et en ne choisissant chaque fois qu’un seul individu par classe on trouve 64 associations.

De même, bien que les 3 classes C₁ et que les 4 classes D₂ comprennent les mêmes individus, on peut déterminer la classe multiplicative de C₁ D₂ en considérant C₁ comme formé de 3 éléments (= ses trois classes élémentaires) et D₂ de 4 éléments, qui ne sont pas les mêmes que ceux de C₁. On trouve alors 3 × 4 = 12 parce qu’il y a 12 combinaisons possibles (celles qui correspondent au tableau 1 de cette section 2).

Il est donc évident que le schéma que nous avons donné de la multiplication des classes est conforme à celui [p. 254] de M. Whitehead. Notre interprétation du passage de cette opération à la multiplication des nombres pourrait par conséquent être considérée comme compliquant inutilement celle, si simple, que l’on vient de rappeler, et qui fait l’économie de tout appel à la sériation et à l’addition.

Mais, à regarder sous cette simplicité apparente, il est clair que l’on retrouve, comme sous les « classes de classes équivalentes » de M. Russell, toutes les transformations décrites précédemment qui assurent le passage de la classe au nombre.

Qu’est-ce, en effet, que la « classe multiplicative », dont le nombre cardinal définit le produit des classes multipliées ? Elle n’est qu’un dénombrement des combinaisons possibles des éléments de celles-ci, puisqu’elle est la classe de toutes les classes contenant ces diverses associations. Or, il faut distinguer à nouveau, comme nous l’avons déjà fait à propos des diverses sortes de correspondance bi-univoques (chap. IX rem. III), les combinaisons qualitatives et les combinaisons non-qualitatives. Les premières, qui sont les seules dont nous nous soyons servis pour constituer le groupement III (chap. V), se bornent à combiner des qualités, c’est-à-dire des classes dont les individus sont communs. Ainsi la multiplication logique de C₁ par D₂ donne bien 12 combinaisons, mais c’est en incluant chaque classe de C₁ dans chaque classe de D₂ et réciproquement. En un tel cas, chacune des combinaisons représente une classe qualitativement différente des autres et, pour rendre compte du passage des classes aux nombres, c’est-à-dire de la multiplication logique à la multiplication arithmétique, il est nécessaire d’acquérir au préalable le droit de compter chacune de ces combinaisons comme une unité homogène aux autres. C’est ce que nous avons fait en rendant les termes combinés à la fois substituables et sériables mais alors on sort de la logique des classes pour entrer dans celle des nombres. Or, la réduction due à M. Whitehead définit d’emblée la classe multiplicative comme la classe de toutes les combinaisons possibles. La question est donc de saisir si cette classe multiplicative est encore une classe ou est déjà un nombre (un ensemble doté d’une « puissance » définie) ?

Or, d’une part les combinaisons qui constituent les classes élémentaires de cette « classe multiplicative » (classes élémentaires définies comme formées d’un élément, et d’un seul, emprunté à chacune des classes initiales) sont [p. 255] cardinalement équivalentes entre elles (par définition) et constituent de ce point de vue autant d’unités égales. Mais alors, si l’on dépasse ainsi les opérations du groupement III (chap. V), comment s’assurer que ces combinaisons représentent bien chacune une unité nouvelle, sinon en les calculant numériquement ou en les ordonnant ? C’est ce qu’avoue M. Russell lorsqu’il définit la multiplication de m × v par « le nombre des couples ordonnés » m, v ¹⁵. Qu’on le veuille ou non, la définition de la multiplication arithmétique de M. Whitehead ne repose donc pas sur la seule notion de classe, mais suppose, comme la définition du nombre cardinal de M. Russell, la transformation des classes en nombres, grâce au double jeu de l’équivalence généralisée et de l’ordination vicariante, c’est-à-dire grâce au mécanisme que nous avons cherché à décrire dans cette section 2.