Conclusions ^a 🔗

On peut interpréter de deux manières bien différentes les relations entre les groupements et les groupes. Selon la première qui, nous semble-t-il, est celle qui prévaut ordinairement, les groupes seuls sont considérés comme des unités ou des totalités véritables, et, lorsque le système total et rigide du groupe ne peut pas être formé, alors les règles de composition et les propriétés d’associativité ou de réversibilité que l’on rencontre dans le cas de telle ou telle opération sont considérées comme ne constituant pas, par leur réunion, un tout, mais comme étant simplement comparables à d’autres propriétés opératoires isolées, telles la commutativité ou la distributivité, qui peuvent être présentes ou absentes dans une transformation donnée. Selon cette première interprétation, le groupe est une notion première et ce que nous appelons groupement ne serait que la rencontre de quelques caractères partiels des groupes, mais ne constituerait pas une unité réelle comparable à celle d’un groupe comme tel. Selon une seconde interprétation, au contraire, et qui sera la nôtre, le « groupement » logique, dans lequel chaque élément joue donc le rôle d’identique vis-à-vis de lui-même (et par conséquent vis-à-vis des éléments d’ordre supérieur pour l’addition et d’ordre inférieur pour la multiplication), est une totalité définie, au même titre que le groupe auquel il est entièrement comparable en son fonctionnement. La seule différence [p. 279] fondamentale est qu’au lieu de procéder par itération de l’unité, il procède par emboîtements et déboîtements, d’où l’unicité de l’opération identique dans le cas du groupe et sa multiplicité dans celui du groupement. Mais la parenté de ces deux sortes de structures n’en est pas moins évidente, puisqu’il suffit de réunir en un seul tout les groupements additifs de classes et de relations pour obtenir le groupe additif des nombres entiers, ainsi que les groupements multiplicatifs des classes et des relations pour en tirer le groupe multiplicatif des nombres positifs.

Pour justifier cette seconde interprétation, qui serait donc celle de la parenté des groupes et des groupements, il convient de reprendre brièvement, en un examen rétrospectif général, la discussion des quatre sortes de difficultés que nous avons rencontrées dans la construction des « groupements », et qui correspondent précisément aux quatre critères de tout groupe. Pour ce qui est, d’abord, de la composition elle-même, nous avons constaté la nécessité de sérier les éléments pour pouvoir les grouper, une collection de classes ou de relations non sériées ne constituant comme telle aucun groupement. En second lieu, il ne peut y avoir associativité dans les groupements logiques que si l’on choisit comme éléments les égalités entières, c’est-à-dire des jugements proprement dits (A + A’ = B) ou des raisonnements (A [?] B) + (B [?]C) = (A [?]C), les, classes et les relations n’étant pas associatives indépendamment de ces égalités. En troisième lieu, l’introduction des opérations inverses dans les calculs n’est possible que moyennant certaines règles qui précisent les conditions de validité des simplifications et des tautifications dans les suites de signes mêlés. En quatrième lieu, enfin, l’existence des identiques spéciales entraîne certaines équivoques apparentes de composition, chaque élément jouant le rôle d’identique par rapport à d’autres en certaines circonstances déterminées.

1° En premier lieu, la composition de chacun des huit groupements que nous avons décrits suppose une sériation des éléments, sériation simple ou avec correspondance entre les séries. On peut assurément considérer toute relation asymétrique comme un segment de série mais alors il faut se demander si le groupe n’est pas dans la sériation comme telle, en tant qu’opération mathématique, et non dans la relation conçue alors comme simple contenu de la [p. 280] série ? Quant aux classes, dont aucune ne constitue de série en tant que classe (à la différence des relations asymétriques dont chacune suppose au moins deux termes sériables), nous n’avons pu les « grouper » qu’en sériant les inclusions elles-mêmes, de la classe de départ aux classes supérieures : d’où, à nouveau, et à plus forte raison, la question de savoir si le groupement n’est pas dans la sériation seule et non dans les classes qui sont sériées en suites hiérarchiques.

Supposons, pour faire comprendre cette distinction, que nous comptions les classes A, B, C… en attribuant à chacune un nombre, ordinal ou cardinal. Nous pourrions alors poser 1 + 1 = 2 ; 2 + 1 = 3 ; … etc. Mais il serait absurde d’en conclure que les classes ainsi dénombrées constituent un groupe identique à celui des nombres entiers, car le groupe serait alors dans les nombres eux-mêmes servant à dénombrer ces classes et non pas dans les classes en tant que réalités logiques. Ne pourrait-on pas de même, soutenir que la suite A + A’ = B ; B + B’ = C ; … constitue un groupement en tant seulement que suite ou que série, et non pas en tant que système de classes ? En effet, si je cherche à « grouper » les classes de cette suite avec celles d’un système quelconque, je n’y parviens qu’en établissant au préalable une nouvelle hiérarchie des emboîtements englobant en elles tous les éléments considérés.

Mais on peut répondre que si le dénombrement d’une suite ou d’une collection de ces classes demeure extérieur au mécanisme de constitution de ces classes, leur sériation hiérarchique, par contre, ne fait que de traduire l’ordre de leurs emboîtements, c’est-à-dire le mécanisme même des inclusions qui définissent ces classes et en dehors duquel elles ne seraient pas. La série hiérarchique, c’est la classification elle-même, envisagée en son ensemble, et il va de soi, dès lors, que les groupements I-IV expriment bien les rapports des classes entre elles, puisque chaque classe est solidaire d’une classification.

Pour ce qui est des relations, d’autre part, il est également vrai que leur groupement suppose comme condition, nécessaire leur sériation ou celle des termes entre lesquels elles se développent. On ne saurait ainsi tirer la relation (A < B) des deux relations (A < C) et (B < C) si l’on n’a pas au préalable établi la série (A < B < C). Mais la sériation même a précisément été effectuée au moyen des relations [p. 281] (A < B) et (B < C). Comme nous l’avons vu (chap. VII, Introd. et Rem. I) les opérations du groupement V reviennent simplement à dire : « Si A est plus petit que B, et si B est plus petit que C, alors non seulement A est plus petit que C, mais encore il y a une plus grande différence entre A et C qu’entre A et B et qu’encore B et C.« Et inversement : « Si A est plus petit que C, si B est plus petit que C et que la différence entre B et C est comprise dans celle qui existe entre A et C, alors A est plus petit que B. » La sériation ne consiste ainsi qu’à inclure les unes dans les autres les différences elles-mêmes exactement comme la sériation hiérarchique des classes consiste à distinguer, grâce à leur extension, les différents rangs d’inclusion progressive. Pas plus dans le cas des relations que dans celui des classes, cette sériation ne demeure donc extérieure à la construction logique elle-même. Aucune mesure proprement dite n’intervient, en effet, dans ces gradations, autres que les comparaisons données en « plus » et en « moins » dans les relations comme telles : il n’est aucun besoin, pour composer la série, de savoir si a = a’, ou si a < a’, si b = b’ ou si a’ = b’ …etc. L’ordre seul suffit, et cet ordre est impliqué dans les relations élémentaires elles-mêmes.

Mais on répondra peut-être que si les degrés de la série ne sont pas mesurés, ils peuvent néanmoins être comptés. Et l’on dira même sans doute que nous les avons précisément comptés et que tous les symboles employés dans cet ouvrage, pour les classes (soit A, B, C…) aussi bien que pour les relations (soit a, b, c…) sont des nombres déguisés, puisque nous faisons correspondre chaque rang d’une série hiérarchique ou linéaire à une lettre, c’est-à-dire à une autre série, et que deux séries se correspondant de façon biunivoque constituent une numération. Aussi bien pourrions-nous appeler I, II, III… les classes A, B, C… et 1, 2, 3… les relations a, b, c… Mais nous ne croyons pas que ces arguments prouvent l’intervention du nombre dans la série. Il faut, en effet, distinguer les signes et les choses signifiées et, même si l’on désigne par des chiffres les classes d’extension graduée ou les relations de différences croissantes, cela ne les transforme pas plus en nombres que, par exemple, le fait d’appeler 1 … 15 les quinze premières associations d’idées déclenchées par une image ne transformerait ces associations en réalités numériques. Quant à la correspondance biunivoque entre les termes de deux ou plusieurs séries, nous avons vu (chap. V et IX) combien [p. 282] cette opération peut demeurer qualitative lorsque l’on fait correspondre entre eux des attributs ou des rapports de qualité et non point des unités déjà arithmétisées. Sans doute, on peut compter les correspondances, ou les qualités correspondantes et doubler ainsi la correspondance logique par une correspondance mathématique, mais ce sont là, de nouveau, deux opérations distinctes l’une de l’autre.

Mais il est des cas où l’égalité des degrés d’une série, c’est-à-dire les relations élémentaires a, a’, b’, c’… semble imposée par la nature des choses et où le nombre des termes paraît impliqué dans la relation comme telle. C’est ainsi que la relation « A est l’arrière-grand-père de B », soit (A ↓ c B) suppose 4 individus (A, B et les deux intermédiaires) ainsi que 3 relations (a, a’ et b’), chacune définie par le même rapport de paternité ↓ a (d’où b’ = a’ = a). Ne sont-ce donc pas des nombres ? Tant que nous posons (c + c = c), c’est-à-dire que nous n’itérons pas, mais que nous tautifions une relation composée avec elle-même, le groupe demeure de nature logique : il s’agit simplement de rapports qualitatifs, dont chacun est unique en soi puisqu’il s’établit entre individus particuliers et ne peut ainsi être additionné à lui-même. Seulement peut-être dira-t-on que la notation 2 du calcul de l’addition des classes et des relations (section 2 des chapitres III et VII) enveloppe malgré tout une itération numérique : si A₁ + A₂ = B et si b₁ + b₂ = d, n’y a-t-il pas itération des structures de classes A et A en B et des structures de relations b et b en d ? Il ne servirait naturellement de rien de répondre que l’on peut écrire A + A’ = B ou b + b’ + c’ = d, car alors on demandera si tout le système des sériations des classes ou des relations n’est pas précisément un système d’itérations déguisées, avec une unité de base (A ou a), qui est, dans le cas dit énumération simple, qualitativement égale à chaque terme secondaire, les termes primaires étant alors conçus comme des doubles, triples, quadruples, etc., unités (A ou a) ?

Pour ce qui est des relations de famille, il est facile de répondre que la répétition du rapport qualitatif ↓ a tient à la nature ou au contenu du rapport envisagé et non pas à la structure formelle, employée, et que, dans le cas des autres relations, rien ne permet de supposer une telle égalité quantitative ni de calculer le nombre des termes intéressés en chaque relation. Dans la notation de nos [p. 283] sections 2, en particulier, il est clair que lorsque l’on pose A₁ + A₂ = B ou a₁ + a₂ = b, on considère alors simplement A₂ comme un A’ (= « un autre A » ou = B − A₁) ou a₂ comme un a’ (= b − a₁) sans savoir si l’on a A = A’ ou si a = a’, quantitativement ni sans avoir besoin de les compter. On pourrait dire, il est vrai, que par définition B = 2 A ; C = 3 A ; …etc. Mais nous, n’utilisons précisément jamais cette opération de numération, puisqu’elle reviendrait à considérer A₁ et A₂ ou A₁; A₂ et A₃ (= B’), etc., comme étant à la fois substituables et sériables (chap. XI), tandis que nous opposons qualitativement A₁ (= A); A₂ (= A’) et A₃ (= B’) et que, par conséquent, nous distinguons la tautologie (A₂ + A’ = A’) ou (A₂ + A₂ = A₂), etc., de l’addition des classes différentes (A₁ + A₂ = B). Il ne faut donc point confondre l’« énumération » des termes A₁ A₂ … etc., contenus en B, ou en C, etc., avec la « numération », la première de ces opérations étant impliquée en toute structure logique, mais n’impliquant pas la seconde.

Mais il demeure naturellement qu’en plus des opérations logiques auxquelles nous nous sommes limité, on pourrait compter les classes, relations et tous les termes en présence dans n’importe quelle transformation logique ; et que toute énumération qualitative peut conduire à une numération proprement dite. Il convient donc malgré tout de nous poser la question de principe : nos groupements logiques ne sont-ils pas de simples groupes mathématiques, mais appliqués à une matière qualitative ou plutôt dissociés de toute considération numérique, une sorte d’analysis situs des classes et des relations, mais empruntant sa technique au nombre lui-même ? Or, à cette question, la réponse la plus topique consistera à invoquer précisément les difficultés du groupement d’ordre logique, c’est-à-dire la multiplicité des identiques et les conséquences qu’elle entraîne (limitations de l’associativité et du calcul des résorptions et tautifications en cas d’intervention des opérations inverses). Seulement, la réponse ne revient-elle pas à dire : les groupements sont bien de nature logique puisqu’ils sont des groupes incomplets : mais alors en définitive présentent-ils encore une parenté avec les groupes ? D’où le dilemme : ou bien ces groupes seront parfaits, et alors leur nature en sera mathématique et non plus purement logique, ou bien ils seront d’ordre logique et alors ils ne seront plus comparables aux véritables groupes.

Nous croyons au contraire que les particularités relatives [p. 284] à l’opération identique, à l’associativité et aux opérations inverses attestent la nature logique des systèmes en question, mais sans enlever aux groupements leur parenté avec les véritables groupes. Assurément il y a là en partie une question de mots, et, pour cette part, elle est sans intérêt. Mais, par delà les mots, s’il est possible comme nous l’avons tenté au cours du chap. XI, de rendre compte des groupes additif et multiplicatif de l’arithmétique élémentaire par la fusion des groupements additifs et multiplicatifs de classes et de relations il est assurément légitime de considérer les « groupements » comme équivalant, en logique, à ce que sont les groupes en mathématiques.

2° En ce qui concerne l’associativité, la question se pose de la manière suivante pourquoi les termes (+ A) et (− A) ou (+ a) et (− a) ou (× A) et ( : A) ne sont-ils pas associatifs entre eux et pourquoi faut-il, pour sauvegarder l’associativité, n’associer les unes avec les autres que des égalités complètes, telles que (A + A’ = B) ou (a × b = ab), choisies comme éléments et composées selon le principe des « suites homogènes » (voir chap. III, Rem. III) ?

Il est clair, en effet, que ces égalités seront toujours associatives si l’on peut dissocier et répartir leurs termes dans les deux membres de l’opération totale. Mais alors est-ce encore là de l’associativité, ou celle-ci demeure-t-elle formelle et recouvre-t-elle au fond une résistance irréductible à l’association ?

Il convient de n’être pas dupes des mots et de fixer concrètement le sens des opérations. Associer des termes en eux-mêmes ou des opérations isolées, tels que 1 + (1 − 1) = (1 + 1) − 1, c’est montrer que leur composition aboutit au même résultat dans l’association a (bc) que dans l’association (ab) c. Or, c’est ce qui est impossible avec les classes et les relations, car A + (A − A) n’est pas égal à (A + A) − A, la première association donnant A et la seconde 0 (à cause de la loi de tautologie). Par contre, associer des égalités, telles que a = (1 + 1 = 2); b = (4 − 2 = 2) et c = (5 — 3 = 2), sous la même forme a (bc) = (ab) c, c’est bien aboutir aussi au même résultat (11 − 5 = 6) si l’on additionne tous les termes positifs à part et tous les termes négatifs à part, mais, comme rien n’interdit d’effectuer en cours de route toutes les transformations [p. 285] légitimes, l’associativité de ces trois égalités signifie simplement qu’en les composant selon le mode a (bc) on aboutit au même jeu d’égalités vraies qu’en les composant selon le mode (ab)c. C’est de cette dernière manière que l’on peut toujours associer les qualités logiques, mais alors c’est que l’on dissocie en cours de route les termes compris en chaque égalité, pour les brasser au point que l’égalité finale ne dépende plus nécessairement de la disposition initiale des trois égalités associées. Est-ce là encore de l’associativité ?

Par exemple, si a = (A + A’ = B); b = (A + A’ = B) et c = (— A — A’ = — B) ¹, on a bien a (bc) = (ab)c, parce que la suite a(bc) = (ab)c étant alors hétérogène, on ne peut pas tautifier (ab) avant d’en avoir soustrait (c). Mis quel est le sens concret d’une telle associativité ?

Examinons donc la question de fond. Du point de la logique (par opposition aux nombres), un terme isolé, même déterminé par un signe opératoire, c’est-à-dire par une opération virtuelle, ne présente aucun sens en lui-même. Si, par exemple, A = les Batraciens alors (+ A) ou (− A) ou (× A) etc. ne sont que des indications possibles, c’est-à-dire des termes de jugements ou de raisonnements non encore effectués, et en eux-mêmes ils ne sont rien. Au contraire, une égalité entière, même tautologique telle que A + A = A ou conduisant même à l’annulation d’une classe, telle que A − A = 0, est un jugement, c’est-à-dire une opération vraie, qui se suffit à elle-même et présente une signification. (A + A = A) signifie que « Si je réunis tous les Batraciens à la classe des Batraciens, je ne change rien à cette classe » et (A − A = 0) que « Si j’exclus tous les Batraciens de la classe des Batraciens, j’annule cette classe ». Les deux affirmations sont assurément dénuées de nouveauté dans une classification achevée, mais elles peuvent présenter un sens concret pour le systématicien qui hésite à refondre ou à supprimer une famille zoologique au cours de la recherche de la classification la meilleure. Dès lors, l’associativité des termes isolés demeure équivoque « Les Batraciens ajoutés aux (Batraciens moins les Batraciens) » et « Les (Batraciens ajoutés aux Batraciens) moins les Batraciens » ne sont pas équivalents, parce que ce sont là des accumulations de termes pouvant donner lieu à deux jugements différents ou au même jugement, selon que l’on écrit la seconde suite (A + A − A) = 0 ou A + A = 0 + A, en transférant le [p. 286] (− A) dans le second membre (c’est pourquoi l’équivoque doit être levée moyennant les règles de calcul que nous rappellerons à l’instant). Au contraire, l’associativité des égalités entières prend un sens précis : c’est qu’en associant des jugements vrais de n’importe quelle manière, on retrouve les mêmes jugements vrais et leurs implications, un seul et même jugement vrai pouvant (comme on le verra à nouveau sous 3°) s’exprimer sous n’importe quelle forme négative ou positive. C’est ainsi que (A − A = 0) a la même signification concrète que (A = A), ce qui est formellement exact par transfert de (−A) dans le second membre ; ou que si C = les Animaux, B = les Vertébrés (A = les Batraciens et A’ = les Vertébrés autres que les Batraciens) et B’ = les Invertébrés, alors (B + B’ = C) signifie la même chose que (C − B’ = B) ou (C − B = B’) et que (C − B’ = A + A’) ou (C − B’ − A’ = A) ne diffèrent en rien par le sens de (A + A’ + B’ = C). Il est donc parfaitement conforme aux processus réels de la pensée d’appliquer l’associativité aux égalités elles-mêmes, même en brassant leurs termes au cours des transformations du calcul, puisque ces égalités sont des jugements et que leur signification demeure identique au cours du déplacement des termes.

En bref, si l’on réserve le nom d’associativité à celle des termes isolés, les groupements logiques ne sont pas associatifs, car les termes (+A) et (−A) n’ont pas, comme (+1) et (−1) de signification indépendante des égalités, c’est-à-dire des jugements, dans lesquelles ils sont insérés (et cela à cause des règles de tautologie et de résorption que le nombre remplace par celle d’itération). Mais les groupements logiques sont bien associatifs dès que l’on étend la notion d’associativité aux égalités elles-mêmes : or cela est correct formellement, puisque ce sont précisément ces égalités que nous avons choisies comme éléments de tels groupements, et cela est vrai psychologiquement, puisque, le jugement est l’unité réelle de la pensée et que la signification concrète d’un jugement donné (A + A’ = B) est, identique à celle de ses transformations (B − A = A’), etc.

3° En fin de compte, la question de l’associativité dépend ainsi de la troisième, c’est-à-dire du problème des règles de calcul conditionnant les compositions dans lesquelles intervient l’opération inverse. Nous avons déjà discuté de la portée de ces règles (chap. III, Rem. II et chap. V, Rem. I). Il convient donc de n’y revenir que de [p. 287] manière générale, pour déterminer la nature des opérations inverses eu égard à la nature des groupements logiques.

En un mot, on se rappelle que dans les suites d’additions de même signe il faut tautifier et résorber avant de simplifier, parce que la simplification intéresse les deux membres de l’égalité et que les emboîtements doivent être complets avant de pouvoir appliquer ce procédé de calcul. Dans les suites mixtes (homogènes) la simplification doit au contraire précéder les tautifications et les résorptions, puisque de telles suites constituent un mélange d’emboîtements et de déboîtements et qu’alors les deux autres procédés, qui n’intéressent qu’un membre à la fois des égalités, rompraient l’équilibre s’ils étaient appliqués avant les simplifications nécessaires.

Tout le problème est donc de savoir s’il est légitime ou quand il est légitime de transférer un terme d’un membre à l’autre d’une égalité, en changeant son signe, et c’est en quoi les règles soulèvent la question de la nature des opérations inverses en général, dans l’ordre logique comparé au domaine des mathématiques.

Soient ces deux jugements : (B + B’ = C) et (A + A = A) avec les significations suivantes (voir sous 2°) : « Les Invertébrés (B’) et les Vertébrés (B) sont tous les Animaux » et « Les Batraciens (A) réunis aux Batraciens sont encore les Batraciens ». Si je transfère le second terme du premier membre de ces égalités dans le second membre, j’obtiens :

B = C − B’ qui est correct.

et A = A − A qui est absurde.

La raison en est claire. Le jugement B = C − B’, soit « Les Vertébrés sont tous les Animaux exceptés les Invertébrés » ou « A part les Invertébrés il n’y a rien de plus dans la classe des Animaux que les Vertébrés eux-mêmes » est exactement équivalent au jugement (B + B’ = C), soit « Les Vertébrés et les Invertébrés réunis sont tous les Animaux ». En un tel cas, l’opération inverse est parfaitement logique et ne signifie rien de plus que l’opération directe exprimée sous une forme négative. Au contraire, le jugement « Les Batraciens sont tous les Batraciens exceptés les Batraciens » est absurde, parce que j’exclus de la classe des Batraciens les Batraciens eux-mêmes, au lieu d’en exclure seulement les termes que je ne pouvais plus y inclure parce qu’ils étaient déjà inclus dans la classe A. Le jugement vrai, [p. 288] c’est-à-dire exprimant correctement cette opération inverse, consisterait à dire : « Les Batraciens sont tous les Batraciens, y compris ceux que je ne puis plus ajouter à la classe des Batraciens, parce qu’ils y sont déjà contenus, et si j’exclus ces derniers je ne change rien à la classe des Batraciens ». Autrement dit, l’égalité (A + A = A) devrait s’écrire (A + A = A + A) et alors le transfert impliquant l’opération inverse s’écrirait (A = A + A − A), ce qui est correct.

D’une manière générale, il faut donc distinguer deux sortes d’opérations inverses, relatives à deux sortes d’opérations directes ; les unes réelles et les autres fictives. Les opérations directes réelles sont celles qui réunissent les uns aux autres des termes non identiques ou non déjà inclus les uns dans les autres, tandis que les opérations directes fictives sont les tautologies, résorptions ou absorptions. D’où les opérations inverses réelles, qui sont d’une portée fondamentale pour la pensée, car elles en assurent la réversibilité, et les opérations inverses fictives qui sont la réplique des opérations directes fictives et sont également tautologiques.

L’opération inverse réelle est celle qui exprime sous une forme négative un jugement thétique non tautologique. Nous venons d’en rappeler un exemple à propos de l’addition des classes B = C − B’. En voici un autre à propos de celle des relations : (a + a’ = b) = (b − a’ = a), soit pour concrétiser : « Si, dans une lignée masculine A est le père de B, et B le père de C, alors A est le grand-père de C » = « Si A est le grand-père de C et que C est le fils de B, alors A est le père de B ». Ou pour la multiplication : (A₁ × B₂ = A₁A₂ + A₁A’₂) = (A₁B₂ : B₂ = A₁), soit : « Selon qu’ils appartiennent à la classe des Protestants (A₂) et à celle des non-Protestants (A’₂), les Suisses (A₁) se répartissent en Suisses protestants et en Suisses non-protestants » = « Abstraction faite de leur répartition en Protestants et en non-Protestants, les Suisses protestants et non-protestants sont tous les Suisses », etc. etc.

L’opération inverse fictive consiste au contraire à soustraire d’une classe ou d’une relation des éléments qui ne s’y trouvent plus contenus, ou à dissocier une classe ou une relation d’une correspondance qui n’existe plus : l’opération réelle ayant déjà été effectuée, l’opération fictive se borne alors à répéter pour la forme la soustraction ou l’abstraction (division), en ajoutant cette répétition [p. 289] tautologique à la soustraction ou à la division réelles antérieurement effectuées :

A − A’ = B − A’ − A’ parce que A = B − A’

A₁ : B₂= A₁B₂ : B₂ : B₂ parce que A₁ = A₁B₂ : B₂

D’une manière générale, l’opération inverse fictive consiste donc, comme l’opération directe fictive à effectuer à nouveau une opération lorsqu’elle l’a déjà été antérieurement. Le parallèle est si évident qu’il suffit de mettre ces égalités sous forme positive pour trouver des tautologies : (A + A’ + A’ = B + A’) et (A₁ × B₂ × B₂ = A₁B₂ × B₂). Cependant, si seules les opérations négatives réelles ont ainsi une signification concrète, les opérations négatives fictives, tout comme les tautologies et résorptions positives, résultent du libre-jeu de la pensée spontanée et surgissent nécessairement au cours des combinaisons d’opérations effectives — dans la vie comme dans le calcul logistique. Si l’on nous permet une illustration un peu profane, on connaît le scrupule de ce garçon de restaurant qui se refusait à servir « un bifsteek sans pommes de terres », parce que les pommes de terres n’étaient pas prévues au menu du jour et qui offrait en échange « un bifsteek sans épinards » parce qu’il disposait en fait d’épinards et pouvait par conséquent les exclure légitimement. Cette petite histoire est pleine d’enseignements. D’un côté, si le garçon a bien compris la différence des opérations inverses fictives et des soustractions logiques réelles, il est assurément trop rigoriste en rejetant les premières : on peut tout inverser et tout exclure dans la forme, et (A − A’) est donc une opération à prévoir. Mais, d’un autre côté, toute opération négative fictive est réductible à une négative réelle. Si l’on cherche à effectuer l’opération (A − A’ = B − A’ − A’) on ne peut trouver que (A = B − A’) et si l’on compose (A₁ : B₂ = A₁B₂ : B₂ : B₂) on n’obtient que (A₁ = A₁B₂ : B₂). Cela montre, par antiphrase, la réalité des opérations négatives vraies, qui consistent à inverser effectivement une opération positive réelle, tandis que les opérations négatives fictives ne parviennent pas à atteindre l’inversion effective, faute de termes à inverser. Si (A − A’) est une opération à prévoir formellement, il reste ainsi qu’en logique un terme A’ n’a de signification qu’emboîté dans une classe B et que l’on ne peut exclure effectivement A’ d’un autre terme quelconque, tel que A, s’il n’y [p. 290] est pas inclus. En mathématiques, au contraire, on peut toujours enlever n’ à n, parce que n’importe quel nombre est toujours compris dans n’importe quel autre, même si l’on aboutit à poser par exemple 2 − 3 = −1. Donc, si formellement (A − A’) et les autres opérations inverses fictives peuvent être composées avec toute opération quelle qu’elle soit, c’est à la condition — on saisit une fois de plus pourquoi — de ne chercher d’associativité qu’entre les jugements entiers (les égalités de type A + A’ = B transformées ou non en B − A = A’ ou en B − A’ = A).

On comprend maintenant, en leur principe, les règles qui président au calcul des compositions, lorsque des opérations inverses sont en jeu. Les termes isolés (+A) ; (×A) ; (−A) ; (:A) ; (+a) ; … etc. ne sont pas indéfiniment mobiles parce qu’ils ne sont pas dissociables sans plus des emboîtements ou sériations dont ils font partie. C’est là la vraie limitation des groupements logiques par rapport aux groupes mathématiques. Mais c’est une limitation relative aux opérations fictives. Tant que l’on compose entre elles des opérations réelles, qu’elles soient négatives ou positives, peu importe, les groupements logiques demeurent dans la même situation de mobilité que les groupes arithmétiques. Dès que les opérations fictives entrent en jeu, qu’elles soient également positives ou négatives, alors on parvient bien à composer les termes de toute origine, qu’il s’agisse de classes déboîtées de leur hiérarchie ou de relations désegmentées de leur sériation linéaire, mais à la condition expresse de préciser les règles qui rendent « homogènes » les réemboîtements et les resériations dans les deux membres de l’égalité.

Il n’y a là aucune entorse faite au principe même des groupes. Rappelons, en effet, qu’il suffit, pour abréger l’emploi de telles règles, de ne jamais ni tautifier ni résorber ou absorber de termes isolés mais seulement des équations comme telles (des termes de valeur égale dans les deux membres de l’équation). Voir chap. III, rem. III. Dans ce cas, le calcul logique ne diffère pas formellement du calcul arithmétique.

Au total, ces considérations aboutissent donc toutes à souligner la légitimité des opérations inverses réelles, dont les opérations négatives fictives ne sont que la réplique tautologique, exactement comme les opérations directes fictives sont la réplique tautologique des opérations thétiques réelles.

[p. 291] 4° Cette situation ainsi que les précédentes résultent en définitive de la quatrième et principale différence qui sépare les groupements logiques des groupes mathématiques. En un groupe arithmétique l’opération identique est unique : + 0 ou × 1. Dans les groupements logiques au contraire, outre l’« identique générale » qui est également unique, il existe les « identiques spéciales » et chaque égalité joue le rôle d’identique par rapport à elle-même, puisqu’en se répétant, ses éléments se tautifient : (A + A’ = B) + (A + A’ = B) = (A + A’ = B) car A + A = A ; A’ + A’ = A’ et B + B = B. Dès lors, chaque égalité additive joue en outre le rôle d’identique par rapport à celles d’ordre supérieur, puisqu’elle se résorbe en elles à cause précisément de la tautologie : A + B = B parce que A + (A + A’) = A + A’ = B. Dans la multiplication, chaque égalité joue par contre ce rôle supplémentaire d’identique par rapport à celles d’ordre inférieur, puisqu’elle s’absorbe en elles : A × B = A parce que A × (A + A’) = AA. Dans le groupement préliminaire des égalités, enfin, chaque terme joue naturellement le rôle d’identique par rapport à tous les autres.

On pourrait tirer de ces faits l’objection que les compositions propres aux « groupements » ne sont pas univoques, puisque si (1) A + A’ = B, l’addition (2) A + B donne aussi la somme B. Mais si l’on décompose A + B en A + (A + A’) = B, on voit que les deux additions (1) et (2) sont en réalité les mêmes, la seconde s’accompagnant seulement d’une tautologie supplémentaire.

La raison de ces différences est donc claire les opérations arithmétiques ignorent la tautologie et connaissent une unité itérante + 1, tandis que l’unité des groupements logiques, A ou a, est toute qualitative, donc relative aux termes qui l’emboîtent, et, par conséquent, non itérante, mais soumise à la règle de tautification, qui explique elle-même les règles de résorption ou d’absorption, et, par conséquent, la pluralité des opérations identiques ².

Comparée à la simplicité des groupes arithmétiques, dont l’élément est + n ou × n, cette complexité des éléments logiques et de leurs groupements dénote une différence [p. 292] essentielle de nature. Cette opposition s’explique tout entière au moyen des raisons développées au cours du chapitre XII. La mobilité des éléments-nombres tient à leur caractère rigoureusement homogène, puisqu’ils sont tous formés par les compositions successives de la même unité itérante. Leur mobilité provient ainsi de leur caractère de classes et de relations réunies. Au contraire, une classe ou une relation particulière est donnée en ses qualités propres et n’est comme telle réductible à aucune autre. Lorsque l’on compose deux ou plusieurs classes et deux ou plusieurs relations entre elles, il est donc toujours nécessaire de savoir de quelles classes ou de quelles relations il s’agit. D’où les répartitions en A et en A’ ou en a et en a’, et si l’on parle simplement d’une cl. A quelconque ou d’une relation a quelconque (notations des sections 2 des chapitres III, V, VIII et IX), la nécessité de spécifier par des indices (A₁ ou A₂ etc.) la différence et l’hétérogénéité qualitative de ces termes. Il s’ensuit que tout groupement purement logique doit exprimer les connexions entre les termes dont on parle et ceux qui les englobent, et alors, faute de sériation interne, les classes restent figées dans leurs emboîtements, et, faute d’équivalence entre elles, les relations asymétriques demeurent enrobées dans leurs séries, tandis qu’un nombre, étant formé d’unités égales et sériées à la fois, est indéfiniment mobile et peut constituer comme tel un élément de groupe. Par contre, les unités complexes que constituent les égalités logiques, c’est-à-dire les jugements ou raisonnements proprement dits, acquièrent une mobilité relative, parce qu’elles désarticulent les hiérarchies et les séries linéaires selon leur anatomie vraie, qui est celle de l’opération entière : c’est pourquoi elles parviennent à constituer des groupements.

Nous pouvons donc maintenant retourner la question de tout à l’heure et exprimer l’alternative comme suit : si l’on déclare par définition que seuls les groupes mathématiques sont des totalités opératoires véritables, alors les groupements logiques ne peuvent avoir de parenté avec eux. Mais s’il peut y avoir d’autres totalités fonctionnant à la manière des groupes mathématiques, alors les groupements logiques en constituent d’authentiques. Ces groupements logiques participent des groupes mathématiques par une commune unité de système. Mais ils ne les fondent en aucune manière. Il faut au contraire concevoir les groupes arithmétiques, les groupements de classes et les [p. 293] groupements de relations comme un seul grand système, qui exprime le mécanisme de l’intelligence en général. Les groupes mathématiques constitueraient le tronc principal de cet arbre généalogique unique, mais seraient doublés de deux troncs secondaires puisant aux mêmes racines : séries de relations, hiérarchie de classes et suites de nombres se développeraient ainsi, différenciés dès le début, mais tirant du sol la même sève et croissant parallèlement, jusqu’à mêler enfin leurs branches en des ramifications de plus en plus enchevêtrées.

Nous avons introduit cette étude en définissant l’intelligence par la réversibilité, et les états d’équilibre de la pensée par la notion de groupement. Les groupements logiques une fois construits, on doit pouvoir, en retour, faire correspondre à leurs propriétés générales et à leurs rapports mutuels un certain nombre de faits psychologiques : c’est ce que nous aimerions montrer brièvement pour conclure.

Une remarque préliminaire s’impose. Parmi les groupements qu’il est possible de développer au moyen des opérations élémentaires de la logique, la division la plus profonde n’est pas sans doute celle, tout extérieure, des séries de classes et des séries de relations, mais celle qu’exprime la dualité réelle des séries hiérarchiques et des séries linéaires et qui oppose ainsi les groupements II, IV, VI, et VIII aux groupements I, III, V, et VII. Cette répartition ne correspond donc pas immédiatement au dualisme des classes et des relations, mais aux fonctions plus générales qui les ont probablement engendrées et qui sont celle de la classification généalogique ou hiérarchique et celle de la sériation linéaire ou de la gradation qualitative.

Nous constatons, en effet, que l’addition complète des classes secondaires (II) est l’expression de toutes les opérations additives que l’on peut effectuer sur un système de classes hiérarchiques multiples (par opposition aux classes d’une énumération simple ou des termes d’une série linéaire de relations), construit sur le modèle des classifications zoologiques, botaniques ou de toute classification généalogique. La multiplication co-univoque des classes (IV) [p. 294] est, d’autre part, le résultat de la multiplication de toute suite d’emboîtements du type précédent avec une suite simple. Quant à l’addition secondaire des relations symétriques (VI) et aux multiplications co-univoques de relations (VIII), il s’agit précisément d’opérations portant sur ce que nous avons appelé des « relations de classes » (chap. VII, Rem. II), c’est-à-dire des relations entre individus définis par leur appartenance à un système défini de classes : à cet égard les groupements VI et VIII constituent la réplique sous forme de relations des groupements II et IV. Les quatre groupements pairs II, IV, VI et VIII sont donc solidaires et expriment, bien la structure hiérarchique d’ordre classificatoire.

Quant aux groupements impairs (I, III, V et VII), il faut noter d’abord que les additions de relations asymétriques (V) et les multiplications bi-univoques de relations (VII) expriment la gradation en (+) ou en (−) ou la correspondance entre deux gradations. Quant à l’addition simple des classes (I), elle se borne à réunir les classes selon leur position dans la hiérarchie et sans tenir compte de leur composition interne (à l’opposition de II). Le groupement I peut donc s’appliquer sans plus aux termes d’une série linéaire de relations ou d’une énumération simple. C’est ce que l’on observe en toute classification linéaire (comme celle des périodes géologiques) et non généalogique. Quant à la multiplication biunivoque des classes (III) il va de soi que la correspondance terme à terme entre deux ou plusieurs suites de classes suppose que les termes de ces suites puissent être simplement énumérés ou distribués en séries linéaires : c’est le cas de la plupart des tables à double entrée.

En bref, il existe une opposition générale d’ordre fonctionnel entre les groupements de classification généalogique et ceux de sériation linéaire ou de gradation, on pourrait presque dire entre les groupements de « genres » et les groupements de « lois », s’il est entendu que la logique pure ne dépasse pas le champ des lois qualitatives. On voit d’emblée l’importance concrète de cette distinction, puisque la classification et la sériation sont bien les deux pôles de toute activité rationnelle dans les domaines non directement accessibles à la mesure numérique.

On pourrait développer la chose en analysant le fonctionnement psychologique de la pensée dans les sciences d’observation ou d’expérience qualitative non encore [p. 295] parvenues à l’analyse mathématique. Mais il est bien plus intéressant de chercher si, dans la construction même des notions et des raisonnements, au cours du développement mental, on peut mettre en correspondance les processus génétiques avec cette analyse logistique des groupements. Si la chose est possible, ce serait une première vérification de l’hypothèse, énoncée au début de notre recherche, d’un parallélisme entre les lois de la formation génétique et les connexions mises en lumière par la construction axiomatique. Nous avons consacré tout cet ouvrage à essayer de démontrer que les opérations logiques constituent des groupements. Mais à quoi cet effort peut-il bien servir ? Lorsque les mathématiciens établissent qu’un système de transformations obéit au principe des groupes, c’est pour appliquer à ce système les propriétés inhérentes à tout « groupe » mathématique. Si l’on n’a guère cherché à retrouver des groupements en logique c’est évidemment que, tout en estimant sans doute que leur existence allait de soi, on discernait mal leur application possible.

Or, si le groupe est bien à concevoir comme la forme d’équilibre que prend la pensée au terme de son élaboration génétique, on peut se demander quel rôle il joue au cours du développement lui-même. De ce point de vue, l’analyse des groupements logiques peut servir d’instrument de dissection pour l’étude de l’évolution de l’intelligence entière. Si l’on se refuse, en effet, à considérer les êtres logiques comme des Idées subsistant en soi, vers lesquelles la pensée en sa genèse devrait tendre par une finalité externe et d’autant plus mystérieuse, il ne reste qu’à envisager les formes d’équilibre comme l’achèvement d’une organisation vivante dont le fonctionnement interne déterminerait précisément la structure des groupements. Toute l’étude génétique de la logique, c’est-à-dire principalement l’analyse du développement de la pensée de l’enfant, nous paraît vérifier cette hypothèse, et c’est ce que nous aimerions indiquer maintenant en quelques notations rapides, nous permettant, pour ce qui est du détail de la démonstration, de renvoyer le lecteur à d’autres ouvrages.

Commençons par établir que les deux fonctions fondamentales dont il a été question à l’instant, de la classification hiérarchique et de la sériation linéaire correspondent précisément dans le développement de la pensée, aux deux conditions essentielles de l’élaboration psychologique des classes et des relations. Il y a là un premier résultat à souligner [p. 296] et qui commande toute la question de parallélisme entre la construction axiomatique et la construction génétique.

Pour ce qui est des classes, il peut sembler au premier abord que l’enfant doive être à tout âge capable d’élaborer des concepts. En particulier, dès, l’emploi du langage, chaque substantif et chaque adjectif paraît devoir correspondre en son esprit à une classe, indépendamment des schèmes sensori-moteurs antérieurs à la parole et qui sont les concepts pratiques. Cela est bien exact, si l’on désigne du nom de classe n’importe quel schème s’appliquant à une collection d’objets semblables. Mais si l’on appelle classe une collection susceptible de généralité vraie, c’est-à-dire comportant la détermination tous eu égard aux objets qu’elle subsume, alors précisément les schèmes de l’enfant n’atteignent le niveau des classes logiques qu’à partir du moment où ils constituent des schèmes hiérarchiques, c’est-à-dire où ils remplissent les conditions des groupements I et II.

Nous présentons, par exemple, à des sujets de 4 à 7 ans une collection de perles en bois dont une vingtaine de brunes et deux blanches. L’enfant est alors parfaitement capable de former le concept des perles en bois et de dire : « Elles sont toutes en bois », ainsi que celui des perles brunes ou des perles blanches, en déclarant que « toutes ne sont pas brunes », « il y a seulement, deux blanches », etc. À nous en tenir à ces premières données, nous pourrions donc avoir l’illusion de classes correctement construites et prêtes à fonctionner en un raisonnement quelconque. Mais ce n’est qu’une apparence et il suffit de poser la question « y a-t-il là davantage de perles en bois ou de perles brunes ? », ou « pourrait-on faire un collier plus long avec les perles en bois ou avec les perles brunes ? », etc., pour que l’enfant se révèle incapable d’une telle inclusion : il pense que les perles brunes sont plus nombreuses que les perles en bois, celles-ci étant alors réduites aux perles blanches seulement. Il ne sert de rien de rappeler au sujet que les brunes sont aussi en bois. Il le sait bien, mais il ne parvient pas à penser au tout et à la partie à la fois : ou bien il considère la totalité des perles en bois, mais il néglige alors les sous-classes des brunes et des blanches, ou bien il cherche à comparer la classe des brunes à celle des perles en bois, mais alors il ne parvient pas à faire autre chose que de les situer au même niveau hiérarchique et ne [p. 297] retrouve donc plus les perles en bois que dans les deux blanches. On voit ainsi que, faute de classification hiérarchique A (= les brunes) + A’ (= les blanches) = B (= les perles en bois), les trois ensembles constitués par l’enfant ne sont pas de vraies classes, mais de simples schèmes dénués de détermination précise quant à leurs généralités respectives ³.

Il est permis de généraliser ce premier exemple, car tout le raisonnement propre à la petite enfance a pu être appelé « transduction », par opposition à la déduction rigoureuse, et cela à cause précisément de cette absence de détermination quant à l’extension des jugements. La transduction est une fusion directe de schèmes semi-généraux et une fusion irréversible puisqu’il lui manque le mécanisme des emboîtements hiérarchiques et des déboîtements corrélatifs. La chose peut ne pas apparaître lors d’un raisonnement spontané, parce qu’alors le langage masque l’insuffisance de généralité des propositions. Mais il suffit de demander au sujet la preuve ou la justification de ce qu’il avance pour voir en toute clarté le défaut de détermination.

On constate ainsi, que la condition essentielle de formation des groupements de classes, c’est-à-dire la sériation hiérarchique des emboîtements, ou, plus brièvement, la classification elle-même, se trouve correspondre à la condition première de la formation psychologique des classes : à la construction des totalités et des parties, celles-là étant considérées comme la somme de celles-ci. Toutes les opérations que nous avons réunies sous le nom de « colligation » logique (chap. XII) prennent de ce point de vue une signification psychologique fondamentale, puisqu’elles trouvent leur parallèle dans le mécanisme génétique dont l’élaboration occupe toute la petite enfance.

Quant à la condition de formation des groupements de relations asymétriques, il est tout aussi clair que, sur le terrain psychologique, la sériation linéaire est la condition même de la constitution de ces relations. Une expérience très simple permet de mettre la chose en lumière. On donne à l’enfant trois ou quatre cailloux A, B, C et D, de poids différents, mais sans que la perception du volume suffise à leur évaluation, et l’on demande soit lequel de tous est le plus lourd ou le plus léger, soit une simple sériation, mais à [p. 298] la condition de ne comparer les objets que deux à deux. Or, il est facile de le constater en parallèle exact avec ce que nous venons de dire des classes, le sujet ne parvient à construire de vraies relations qu’en fonction d’une sériation d’ensemble et, dans le cas où il n’arrive pas à effectuer correctement une sériation de trois termes au moins, les rapports isolés qu’il établit ne sont des relations qu’en apparence seulement. En effet, au cours du premier des stades psychologiques que cette expérience permet d’observer, l’enfant pose, par exemple, A < C (soit < = plus léger et > = plus lourd) et place A et C l’un à côté de l’autre, puis il prend B et le met d’emblée après C en déclarant qu’il est le plus lourd. Il est clair, en une telle solution, que la comparaison A < C n’est pas une relation, puisque l’enfant se croit autorisé à considérer B comme étant le plus lourd des trois en vertu d’un raisonnement purement prédicatif (tel que « A est plus léger que C, alors A et C sont légers et B lourd » ou « A est plus lourd que C, alors B est léger »). Au cours d’un stade un peu supérieur, l’enfant renonce à ce genre de raisonnements par qualités absolues et ne pèse plus les cailloux isolément. Mais la vraie relation n’est pas encore construite pour autant : si, par exemple, le hasard des pesées conduit l’enfant à poser A < B et A < C, il conclura à (A < C < B) aussi bien qu’à (A < B < C) sans comprendre que de (A < C) et de (A < B) il ne peut rien tirer pour ce qui est de la relation entre B et C. S’il doit sérier quatre cailloux, le sujet, après avoir pesé, par exemple, A < D et B < C, posera (A <D <B < C), ou même il lui arrivera de conclure (A < B < D < C), parce que « A et B sont tous les deux les plus légers » dans les couples d’objets comparés deux à deux. Il y a donc « prérelation » et non pas encore relation, car une relation non composable n’est assurément qu’à demi-relative (sauf naturellement si le sujet énonce des raisons légitimes de ne pas composer). Enfin, au dernier stade, l’enfant parvient à poser (A < B) + (B < C) = (A < C) et à sérier (A <B < C) ⁴. Il convient de distinguer deux facteurs différents dans la découverte de cette solution : 1^° la capacité de conclure (A < C) après avoir pesé (A < B) et (B < C) ; 2° la compréhension du fait que, pour construire une série, chaque terme doit être comparé à la fois au précédent et au suivant, [p. 299] et qu’ainsi on ne peut rien tirer de (A < B) et de (A < C) si l’on n’a pas comparé B et C entre eux. Or, l’expérience montre précisément que ces deux découvertes, qui sont psychologiquement distinctes l’une de l’autre, sont néanmoins solidaires : avant d’atteindre le niveau où il sait se refuser à sérier (A < C < B) lorsqu’il a seulement pesé (A < B) et (A < C), l’enfant n’est jamais sûr que (A < C) si (A < B) et (B < C) et a besoin d’un contrôle expérimental pour se convaincre. La sériation linéaire est donc bien une condition de l’élaboration des relations transitives asymétriques elles-mêmes, et réciproquement, dans le même sens que la sériation hiérarchique est condition de l’élaboration des classes et réciproquement.

Ce double résultat montre d’emblée que les conditions préalables du groupement des opérations logiques correspondent à des constructions psychologiques effectives et ne constituent pas de simples artifices du calcul logistique. Cette constatation préliminaire va nous permettre maintenant d’aborder le problème central qu’est celui de la signification génétique des groupements eux-mêmes.

Aucun auteur n’a jamais douté de l’importance que présentent, pour le raisonnement réel ou le fonctionnement psychologique de la pensée, les propriétés de transitivité (composition simple) et d’associativité des opérations logiques sous leur aspect positif ou thétique (opérations directes par opposition aux inverses), puisque ce sont les deux caractères qui assurent à ces opérations leur vertu constructive, c’est-à-dire qui expliquent la possibilité de la déduction elle-même. D’autre part, les opérations identiques, soit la tautologie ou l’absorption, sans présenter d’intérêt spécial pour la pensée productive, sont reconnues de tous comme caractéristiques des opérations logiques par opposition aux opérations mathématiques. Par contre, on est loin d’avoir insisté autant sur les opérations inverses que sur les opérations directes, sauf naturellement en ce qui concerne l’inverse des relations asymétriques, qui sont aussi visiblement importantes que les relations directes, et sauf le cas de la négation en général. Mais précisément, au lieu d’envisager les opérations négatives binaires, d’ordre (B − A) ou (C − B), etc., ou (AB : B = A, etc.), on a surtout considéré la négation comme une opération unitaire, se bornant à définir −A par rapport à l’Univers du Discours, et à poser ainsi (− A = non A). On n’a donc guère cherché à codifier les opérations inverses correspondant aux mots [p. 300] « sauf », « excepté », « abstraction faite », etc., conçues comme binaires, en établissant un parallèle entre (−A) ou ( : A) et les relations inverses. A fortiori, il peut sembler que l’effort tenté dans cet ouvrage pour constituer une systématisation des opérations inverses et une construction de groupements formels soit dénué de toute signification psychologique et de toute importance concrète si l’on compare ces opérations inverses aux compositions directes et l’associativité générale à celle des seules opérations positives. C’est donc là qu’est le principal problème de la signification génétique des groupements.

Or, l’observation psychologique montre, au contraire, que les compositions directes, y compris la transitivité des relations et l’associativité des opérations positives en général, loin d’être naturelles à l’esprit en formation, et encore moins innées, ne se construisent que peu à peu, et qu’elles ne deviennent possibles et rigoureuses qu’à partir du moment où précisément elles prennent une signification opératoire et cela grâce à l’élaboration des opérations inverses, la condition sine qua non de la construction psychologique d’une opération étant la découverte ou plus précisément la constitution de sa réversibilité.

Dans les deux exemples que nous venons de citer, on constate, en effet, que les compositions directes (A + A’ = B) (= les perles brunes + les perles blanches = toutes les perles en bois) et (A < B) + (B < C) = (A < C) ne sont pas accessibles d’emblée au sujet. D’une manière générale, il ne saurait y avoir de composition des inclusions (syllogisme) ni de transitivité des relations (déduction relative) tant qu’il n’y a pas de sériation hiérarchique ou linéaire des termes en présence. Or, la mise en séries hiérarchiques ou linéaires suppose précisément, du point de vue de la construction génétique, la découverte des opérations inverses, et cela de la façon suivante.

Pour ce qui est des inclusions de classes, certains des sujets interrogés déclarent qu’il ne saurait y avoir plus de perles en bois que de perles brunes parce que, si l’on fait un collier avec les brunes pour en mesurer la longueur, on ne peut pas situer en même temps ces perles brunes dans le collier des perles en bois ; les brunes étant donc déjà utilisées par ailleurs : le collier des perles en bois ne contiendra donc que les deux blanches. Un tel raisonnement, qui témoigne du réalisme naïf des « expériences mentales » primitives, est remarquable à deux points de vue. Quant [p. 301] au mécanisme de la pensée en général, il montre clairement la différence existant entre une perception ou même une représentation irréversibles et un raisonnement logique : dans la représentation d’ordre perceptif, la réalité spatio-temporelle d’un même lot de perles ne peut être située dans deux colliers à la fois, tandis que le raisonnement consiste à construire et à défaire successivement ces deux mêmes colliers tout en considérant les résultats de ces transformations comme simultanés, celles-ci n’étant qu’hypothèses ou assomptions, c’est-à-dire opérations indépendantes du déroulement physique dans le temps. En second lieu, du point de vue de la construction de l’inclusion elle-même, on voit que pour inclure A en B il faut nécessairement soustraire A’ à B et poser le rapport A = B − A’. En effet, pour comprendre que les perles brunes appartiennent à la collection des perles en bois ou sont en bois, il faut saisir que les perles brunes ne sont rien de plus que « toutes les perles en bois sauf ou exceptées les blanches » : sans cette soustraction, la notion que les perles en bois sont constituées par la réunion des blanches et des brunes, demeure inopérante, le tout s’évanouissant dès que l’attention est dirigée sur une partie séparée de lui. Et, pour effectuer ces opérations, il faut comprendre également que les perles brunes sont à la fois brunes et en bois, soit (A × B = A B), et que, si l’on parle de perles brunes, c’est seulement « abstraction faite » de leur matière, soit (AB : B = A). L’opération inverse est donc psychologiquement nécessaire à la construction de l’inclusion, et cela, non seulement sous la forme de la négation en général, mais encore et surtout sous la forme des soustractions (exclusions) et divisions (abstractions) logiques particulières. C’est pourquoi le raisonnement de l’enfant met si longtemps à devenir réellement déductif, la généralité vraie et l’inclusion véritable se distinguant précisément de la généralité apparente et de la fausse inclusion par une régulation des exclusions et des dissociations autant que par systématisation de l’opération directe, dont elles constituent la condition nécessaire.

Quant à la composition, ou transitivité, des relations (A < B) et (B < C), pourquoi l’enfant pose-t-il (A < C < B) après avoir pesé (A < B) et (A < C) ? Simplement parce qu’il ignore que la série (A < B < C), comme toute série linéaire, implique que chaque terme M soit à la fois M < N et M > L : il n’y a donc pas de sériation possible sans l’intervention [p. 302] de l’opération inverse, et, tant que le sujet ne cherche pas, dans l’ensemble A, B et C, un moyen terme qui satisfasse simultanément à (B < C) et à (B > A), il ne peut attribuer de transitivité vraie aux rapports qu’il établit (même si par hasard il a mesuré d’emblée A < B et B < C, auquel cas la transitivité qu’il établira sera, quoique vraie en fait, de valeur aussi illusoire que celle de la fausse généralité des classes non composables entre elles).

On comprend maintenant quelle est, du point de vue de la construction génétique de la pensée, la signification des « groupes » et spécialement celle des opérations inverses. Le « groupement » est la condition sine qua non de la mobilité de la pensée, qui distingue le raisonnement légitime, c’est-à-dire l’intelligence elle-même, de l’intuition ou de la perception. Le critère de l’intelligence par rapport à la perception est assurément l’intervention des « opérations ». Or, on pourrait conclure en un mot : une transformation ne devient opératoire, c’est-à-dire logique, qu’à partir du moment où elle comporte une inverse. Tant que ne sont pas constituées les inverses, au sens où nous les avons définies, la pensée demeure limitée par les lois de la perception : les classes apparentes ne sont que des collections perçues en un tout, ou perceptibles comme telles, c’est-à-dire des totalités intuitives, dont la nature a été précisée par les psychologues de l’école dite de la « Gestalttheorie », et les relations apparentes ne sont que des rapports pratiques et rigides. Les « perles brunes » ou les « perles en bois » perçues alternativement dans la boîte sont ainsi des totalités fermées et donc irréversibles comme toute perception. Leur caractère de bloc peut donner l’illusion de la totalité conceptuelle, mais ce n’est qu’une apparence, car, pour atteindre le niveau des éléments de jugements on de raisonnements abstraits, il faut précisément que ces totalités, sans être brisées, soient articulées et rendues mobiles par leur subordination à des opérations réversibles. C’est ici qu’apparaît le rôle des inverses : le « groupe » est une totalité devenue mobile et dont le dynamisme dissout les structures statiques de la perception. M. Wertheimer a tenté d’expliquer le syllogisme par une restructuration comparable à celle de la perception : « tous les hommes sont mortels » serait une première « structure » dont la totalité commande les parties, « Socrate est un homme » une seconde structure du même type, et le raisonnement consisterait à [p. 304] fondre ces deux ensembles rigides en un tout tel que l’élément de la seconde structure soit pour ainsi dire décentré pour être absorbé par la première. Sans doute, mais cette restructuration, lorsqu’elle s’opère par raisonnement et non pas seulement par une imagerie d’ordre représentatif ou perceptif, ne consiste pas à remplacer deux structures rigides par une nouvelle totalité immobile : elle consiste au contraire à subordonner ces unités à des opérations mobiles et réversibles qui transcendent précisément les lois de la perception. Toute construction de classes et de relations suppose ce même processus de dissolution des « Gestalt » et d’élaboration opératoire qui constitue les groupements. Si l’élément de la perception est la totalité structurée, l’élément du jugement et du raisonnement est l’opération réversible, c’est-à-dire un acte et non plus une forme. C’est pourquoi, bien que la logistique contemporaine soit engagée surtout dans le calcul des propositions, avons-nous tenu à vérifier l’existence du mécanisme des groupements sur le terrain même de la logique des classes et des relations, qui est celui sur lequel l’enfant élabore les premières notions logiques, au moyen d’opérations réversibles qui dissolvent l’intuition perceptive ou représentative pour constituer le système mobile du jugement.

Un exemple fera comprendre l’importance de ce processus : c’est celui des raisonnements utilisés par l’enfant pour construire les premiers principes de conservation de son univers. Durant toute la petite enfance, c’est-à-dire précisément la période durant laquelle il n’y a ni déduction hiérarchique ni déduction relative possibles, il n’y a pas de conservation parce que la perception prime tout raisonnement. Il suffit ainsi de déformer une boulette d’argile pour que l’enfant admette que son poids augmente ou diminue et que sa matière même change de quantité. Il suffit qu’un morceau de sucre fonde pour que sa substance et son poids s’évanouissent ou qu’un grain de maïs se gonfle par la chaleur pour que sa substance et son poids s’accroissent aux yeux du sujet, etc. Or, entre 7 et 11 ans environ, l’enfant construit une série d’invariants successifs, tels que la conservation de la quantité de substance, celle du poids et même celle du volume (dans le cas des déformations de la boulette d’argile). Bien plus, il affirme cette conservation indépendamment de tout contrôle empirique de détail et y croit comme à une vérité nécessaire ou a priori. Comment donc parvient-il à vaincre aussi complètement les apparences perceptives pour élaborer des rapports purement rationnels ? L’identification simple (« vous n’avez rien enlevé ni ajouté ») n’explique pas le processus, puisqu’elle pourrait être invoquée à tout âge et ne sert de rien aux petits. De telles notions supposent en réalité toute une construction réversible et même une double composition : celle des rapports de tout et de partie, d’abord, qui permettent au sujet de déclarer, par exemple, que chaque grain de sucre fondu pèse un petit peu et que « tous les grains ensemble, ça fait le poids du morceau ⁵ » et celle des relations de longueur, largeur et épaisseur (« quand la boulette s’allonge, elle devient plus mince », etc.). Ces deux sortes de compositions constituent de véritables groupements logiques, dont les notions de conservation sont les invariants, et des groupes tels que l’enfant lui-même prenne conscience de la réversibilité : on peut retrouver, dit-il, la forme initiale, refaire le tout avec les parties, compenser chaque déformation par une transformation inverse, etc.

Bien plus, si l’on se place sur ce terrain de l’intelligence concrète et de la causalité physique, les groupements logiques y jouent un tel rôle que c’est jusqu’au niveau de l’intelligence sensori-motrice antérieure au langage qu’il faut remonter pour en trouver la source. Au reste, l’explication célèbre qu’Henri Poincaré a donnée de la construction de l’espace au moyen du groupe expérimental des déplacements revient précisément à attribuer l’organisation groupale aux systèmes sensori-moteurs élémentaires, et si l’élaboration psychologique de ce groupe est peut-être plus complexe que ne l’a pensé le grand mathématicien, nous avons pu vérifier le bien fondé de cette hypothèse générale en ce qui concerne non seulement la géométrie de la première année, mais encore la constitution de la notion d’objet elle-même ⁶.

D’une manière générale, nous pouvons donc admettre que le mécanisme des groupes commande bien l’élaboration de la pensée logique, et cela dès sa forme d’intelligence pratique. Le groupement est ainsi, non seulement la loi d’équilibre à laquelle obéit la pensée achevée, mais encore, en tant que processus conduisant à une réversibilité progressive, il est loi d’évolution ou raison de la direction suivie [p. 305] par la pensée en son développement génétique. Quant à savoir alors d’où provient le groupement comme tel, du point de vue psychologique, on peut tenter d’en rendre compte par les conditions de toute organisation psycho-motrice, c’est-à-dire par l’équilibre de l’assimilation et de l’accommodation, qui d’antagonistes au début se coordonnent au cours de leur évolution et engendrent ainsi ces cycles dont la réversibilité se traduit réflexivement par la structure groupale ⁷.

Si nous poursuivons maintenant ce parallèle entre la construction logistique et le développement génétique, nous pourrions entrer dans le détail des groupements logiques étudiés au cours des chapitres précédents. Mais nous nous bornerons à quelques indications seulement, car cela dépasserait par trop les cadres de cet ouvrage d’y insister, comme il conviendrait pour convaincre un lecteur méfiant à l’égard de la psychologie.

Pour ce qui est du groupement préliminaire des équivalences pures, tout d’abord, il est important de noter que ce groupement ainsi, au même titre que les autres, suppose une élaboration génétique complexe, dans laquelle le rôle des inverses est, il est vrai, masqué par le caractère symétrique de la relation d’égalité, mais qui ne l’implique pas moins. Nous présentons à cet égard à des enfants de 4 à 7 ans trois barres semblables de même métal, soit non colorées, soit vernies de différentes couleurs, ainsi qu’un morceau de plomb de même poids que chacune des barres. Nous les faisons alors peser deux à deux, pour étudier les inférences qui s’ensuivent ⁸. Lorsque les barres ne sont pas colorées, l’enfant le plus jeune conclut facilement que (A = B) + (B = C) = (A = C). Mais il n’y a là aucun raisonnement, ces barres étant indiscernables à la perception : il ne s’agit donc que d’une fusion immédiate et non discursive. Par contre, il suffit que les barres soient colorées pour que les sujets les moins évolués hésitent à conclure que A = C. C’est là, peut-être, l’exemple le plus direct et le plus simple que l’on puisse donner de la prélogique enfantine, c’est-à-dire du caractère non inné, mais construit de la logique. Lorsque l’enfant réussit à résoudre ce problème il [p. 306] suffit alors, après qu’il ait constaté l’identité de poids du plomb avec A et l’égalité A = B, de lui demander si le poids du plomb sera égal à B pour que tout soit à recommencer, tant est faible la logique lorsqu’elle est aux prises avec une apparence perceptive contraire. Or, comment l’enfant parvient-il à la solution juste ? Sans que l’on puisse parler encore d’inverses faute d’opérations proprement dites, il est néanmoins clair que la réversibilité s’annonce déjà dans la mobilité de l’équivalence : la solution correcte apparaît lorsque la rigidité qualitative de la perception est dissoute par le jeu réversible des substitutions, c’est-à-dire lorsque l’enfant comprend que si A = B = C… alors B et C peuvent être mis en toute circonstance à la place de A, même lorsque A équilibre, contre toute attente, la poids du morceau de plomb sur la balance.

Pour ce qui est des additions simples de classes, nous avons déjà, donné l’exemple des perles en bois : si les difficultés d’inclure sont ce que nous avons vu dans le cas de ces trois classes, il est inutile de revenir sur l’addition complète qui augmente simplement le nombre des emboîtements. L’étude de toute classification chez l’enfant, fournit, à cet égard, les vérifications voulues, ainsi que pour la multiplication co-univoque des classes.

La multiplication simple des classes conduit à une notion essentielle pour le développement de la logique, celle qui s’exprime par les mots « à la fois ». Or, si toute inclusion suppose précisément ce rapport, il n’en présente pas moins une difficulté systématique pour l’enfant. Nous en avons vu tout à l’heure, un exemple, toujours à propos des perles, dans l’incapacité des petits à comprendre que les perles brunes sont « à la fois » brunes et en bois, et l’on en pourrait fournir autant qu’on le voudra. Mais le problème intéressant est de savoir comment l’enfant parvient à l’utilisation correcte de cette opération. Or, une fois de plus, c’est à l’occasion des négations et des inverses que s’effectue la régulation des compositions directes. Il y a tout d’abord à considérer le cas de la multiplication à produit nul, ou disjonction, qui est fondamental à ce point de vue : (A × A’ = 0). De même que dans la multiplication arithmétique, (cf. o × n et o/n), la multiplication nulle des classes ne se confond pas avec l’opération inverse (x : y = x/y ou AB : B = A) mais signifie l’impossibilité d’opérer réellement. Le langage marque la chose au moyen des alternatives, c’est-à-dire des mots « ou… ou ». Or chacun sait précisément [p. 307] la difficulté éprouvée par le petit enfant à manier ces termes en un raisonnement, et, en retour, la fréquence des fausses oppositions implicites qui dominent ses jugements (telle l’opposition des qualités « brunes » et « en bois » dans le raisonnement déjà cité). Le réglage des alternatives ou disjonctions est donc un facteur essentiel de celui des multiplications. Mais surtout, l’opération inverse joue en un tel domaine un rôle dont on se doute trop peu, parce qu’il est masqué par le langage qui l’exprime presque toujours en termes positifs. La division des classes (AB : B = A) se traduit en effet, non seulement par les mots « abstraction faite » (ou « indépendamment » de leur matière (B) ces perles (AB) sont brunes (A) », mais en tant que brunes (c’est-à-dire AB dissocié de B) », ou « comme telles » etc. Or, ainsi formulée l’opération inverse intervient sans cesse dans l’élaboration des multiplications. Pour résoudre correctement le problème des perles et découvrir que les perles en bois sont plus nombreuses que les brunes l’enfant doit, en effet, comprendre que B = AB + A’B ( les perles en bois sont les perles brunes en bois plus les perles blanches en bois »), mais il ne saisira jamais la chose s’il n’est pas capable des deux sortes d’inverses suivantes : 1° (AB : B = A) et (A’B : B = A’), c’est-à-dire « c’est indépendamment de leur matière que ces perles sont classées brunes ou blanches » et surtout 2° (AB : A = B) et (A’ B : A’ = B), c’est-à-dire « c’est en tant que caractérisées par leur matière… » ou « indépendamment de leur couleur… que les perles brunes rentrent dans l’ensemble des perles en bois et peuvent être réunies aux blanches ». Présentée ainsi, l’opération inverse de la multiplication des classes intervient nécessairement, comme on le voit, dans n’importe quel raisonnement : elle est aussi essentielle à la pensée vivante que la multiplication elle-même, puisqu’elle exprime l’abstraction et la multiplication la généralisation.

Voici encore un exemple. Nous avons jadis présenté aux enfants le problème suivant : « Il ne reste que trois couteaux dans un magasin. Deux de ces couteaux ont deux lames ce sont ceux qui coûtent 8 francs et 10 francs. Deux de ces mêmes couteaux ont un tire-bouchon : ce sont ceux qui coûtent 10 francs et 12 francs. Je choisis celui qui a à la fois deux lames et un tire-bouchon : Combien coûte-t-il ? » Or, jusqu’en plein âge scolaire, une tendance invincible pousse l’enfant à croire à l’existence de quatre couteaux, malgré les données, ou à additionner 8 ou [p. 308] 10 francs à 10 ou à 12 francs. Si nous désignons les deux couteaux à deux lames (B₁) par les symboles A₁ et A’₁ et les deux couteaux à tire-bouchon (B₂) par les symboles A₂ et A’₂, le sujet n’arrive donc pas à faire la multiplication (B₁ × B₂ = B₁B₂ = A’₁A₂) donc à comprendre que A’₁ = A₂. Or, comprendre cette intersection ; c’est comprendre : que (A₁ × A₂ = 0), (A₁ × A’₂ = 0), etc., donc qu’un seul couteau est dans les deux classes à la fois ; et 2° que (A’₁A₂ : A₂ = A’₁) et (A’₁A₂ : A’₁ = A’₂), c’est-à-dire « c’est en tant seulement qu’il a deux lames que le couteau à 10 francs est dans le premier ensemble », ou « c’est indépendamment de son tire-bouchon que le couteau à 10 francs est dans le premier ensemble », etc. Ici de nouveau, la compréhension de l’opération inverse est donc entièrement corrélative de celle de l’opération directe.

Pour ce qui est maintenant de l’addition des relations nous avons déjà cité l’exemple des cailloux à sérier selon leur poids, et n’y revenons donc pas. Par contre, il est utile de mentionner le caractère effectif du groupement et le rôle des inverses dans le cas de la multiplication des relations. Soient par exemple, deux volumes égaux de matières de densité différente, telles une boule de cire et une boule d’argile. Après les avoir soupesées, l’enfant est prié de confectionner une boule d’argile de même poids que celle de cire. La multiplication des relations (plus dense) × (plus petit) = (même poids) suppose ainsi une coordination inverse, dont la difficulté mais, d’autre part, l’importance pour la constitution de la pensée logique sont d’observation courante ⁹.

Enfin, l’addition complète des relations symétriques ainsi que la multiplication co-univoque des relations de famille sont d’un intérêt spécial pour le développement de la logique de l’enfant, et montrent une fois de plus le rôle fondamental des inverses. En effet, si, du point de vue formel, l’inverse d’une relation symétrique est identique à l’opération directe, cette réciprocité suppose toute une construction psychologique pour se constituer. C’est ainsi que le simple problème de savoir combien de frères et de sœurs ont leurs propres frères et sœurs met la plupart des petits enfants dans un grand embarras tel qui n’a qu’un frère ; déclare que ce frère n’a pas de frère, car il n’y a que [p. 309] lui-même et son frère dans la famille, etc. ¹⁰ Il en est d’ailleurs de même pour bien d’autres relations symétriques, même intransitives comme « voisin », « étranger », etc. En de tels cas l’élaboration de la relation inverse est la condition nécessaire et suffisante de celle de la relation directe. On ne saurait, en effet, considérer la notion de frère comme comprise si elle n’est pas symétrique : du reste la définition même que donne le sujet en fait foi (« un frère est un garçon qui vient après », etc.).

En bref, toutes les transformations que nous avons étudiées en cet ouvrage et classées en huit groupements se trouvent être essentielles pour le développement génétique de la logique. Le caractère de groupement de ces opérations apparaît donc non pas comme une abstraction formelle mais comme une réalité concrète et vivante. On peut même aller jusqu’à dire que toutes les lois du groupement sont nécessairement reconnues à un moment donné par l’esprit comme des normes de la pensée, y compris, et nous dirions même surtout, la règle de réversibilité : de la réciprocité propre aux relations symétriques qui commandent à toute la logique des classes, jusqu’à l’abstraction inverse des opérations de multiplication, les inverses apparaissent comme les conditions de la rigueur, tandis que les opérations directes sont sources de productivité.

Il nous reste enfin à savoir si les conclusions obtenues sur les rapports des classes et des relations avec le nombre sont également justifiées par un parallèle psycho-génétique.

Précisons d’abord, à cet égard, le rapport mutuel des classes et des relations dans le développement génétique de la pensée de l’enfant. Aux niveaux élémentaires, on pourrait croire au primat des jugements prédicatifs, donc des classes sur les relations. En effet, les relations symétriques commencent, ainsi qu’on vient de le voir par n’être pas réciproques. Quant aux relations asymétriques, elles demeurent à l’état de « prérelations » et conduisent donc elles aussi à de faux absolus : la droite et la gauche en soi, le lourd et le léger etc. Mais si les relations semblent ainsi subordonnées aux classes, celles-ci ne sont pas non plus constituées, dès le début, puisqu’elles demeurent à l’état de simples schèmes à rapports internes rigides. L’état initial ne peut donc être caractérisé que par une sorte d’indifférenciation ou de compromis entre les deux, mais de [p. 310] compromis entre tendances antagonistes : la pseudo-généralisation de la qualité empêche la généralité vraie. De là le progrès consiste en une dissociation, et avec complémentarité : la généralité appuie la relativité et réciproquement. Par exemple, c’est en concevant la réciprocité de la relation de frère que l’enfant parvient à construire correctement la classe des frères à une même famille, ou c’est en généralisant l’explication de la flottaison des solides par le poids qu’il découvre la relation du poids au volume des corps immergés, etc. ¹¹

Cela posé, comment se construit le nombre ? L’observation psychologique montre en premier lieu que la condition nécessaire de sa constitution, à savoir la correspondance bi-univoque entre deux collections, n’est pas suffisante malgré l’opinion généralement répandue. Il est, en effet, un niveau mental au cours duquel l’enfant peut échanger terme à terme deux ensembles sans croire à leur équivalence durable, cette équivalence pouvant être altérée dès que l’on change la disposition des parties ¹². Cette réaction initiale, dont nous avons multiplié les occasions de contrôle est essentielle du point de vue de la théorie des groupements logiques : elle montre qu’il existe une correspondance intuitive avant toute constitution du nombre, et que cette correspondance est une opération d’ordre logique autant que mathématique. Pour que la correspondance se quantifie et engendre le nombre, une seconde condition est donc nécessaire : que les ensembles correspondants deviennent invariants et soient ainsi doués de conservation. Or cette constance des collections, que la correspondance ne suffit point à assurer, requiert elle-même deux conditions qui procèdent précisément de la logique des classes et de celle des relations : l’inclusion des parties dans le tout et la coordination des relations.

Voici, par exemple, une collection de perles que l’enfant verse lui-même d’un verre bas et large dans un tube allongé et mince, ou une collection de 8 jetons disposés en deux séries parallèles de 4 dont on détache la rangée supérieure pour la mettre à la suite de la rangée inférieure. Dans les deux cas l’enfant croit à l’augmentation du nombre des éléments, dans le cas des perles parce que le niveau est [p. 311] devenu plus haut et dans celui des jetons parce que la rangée totale s’est allongée. Que lui faudra-t-il comprendre pour renoncer à cette double illusion ? 1° qu’un tout demeure identique à lui-même indépendamment de l’arrangement des parties : par exemple, que la rangée inférieure des jetons (A’) jointe à la rangée supérieure (A) donne le même ensemble B selon que l’on compte B = A + A’ ou B = A’ + A. 2° Que les relations en jeu qui déterminent la configuration d’ensemble de la collection se coordonnent et en particulier se compensent : ainsi la colonne des perles dans le tube a perdu en largeur ce qu’elle a gagné en hauteur ; ou encore les rangées de jetons ont gagné en longueur ce qu’elles ont perdu en largeur, de telle sorte que la sériation linéaire correspond à la sériation sur deux rangs, etc.

Or, si l’on procède des collections spatiales d’objets discontinus, dénombrables mais point encore dénombrés, aux nombres eux-mêmes, on constate que ces deux aspects parallèles d’inclusion et de relation subsistent jusque dans la structure intime du nombre, où l’on retrouve alors la double nature de classe et de série ainsi que nous avons essayé de l’établir au cours des chapitres XI et XII.

Contentons-nous d’un exemple très simple. Une fois que l’enfant a réussi à comprendre l’équivalence de poids du morceau de plomb et des trois barres dont il a été question tout à l’heure à propos du groupe des équivalences pures, nous mettons sur un plateau de la balance deux barres et sur l’autre une barre et le plomb. Deux réactions peuvent alors se produire, l’une qualitative ou conceptuelle, l’autre quantitative ou arithmétique. Pour les plus jeunes, en effet, le plateau contenant le plomb pèsera plus, parce que le plomb est lourd en soi et surtout parce qu’il y a deux sortes différentes d’objets tandis que sur l’autre plateau les objets sont de même espèce. Il suffit ainsi que l’on compare les objets couples à couples pour que l’équivalence des termes isolés soit oubliée : ce raisonnement redevient alors purement conceptuel. Soient A = la barre blanche, A’ = la rouge, B’ = la bleue ; C = les barres et C’ = le plomb. L’enfant raisonne donc comme suit : A + A’ ≠ B’ + C’ parce que C’ est d’une autre classe que C (que A + A’ + B’) tandis que A et A’ sont de la même classe C. Au stade suivant, au contraire, le sujet déclare que le poids est le même puisque tous les objets sont équivalents et qu’on a deux objets sur chaque plateau. En quoi le raisonnement s’est-il modifié ? D’abord en ce que les qualités envisagées sont [p. 312] subordonnées à une équivalence plus générale A = A’ = B’ = C’ est qu’ainsi les classes initiales perdent leurs cadres particuliers pour être fusionnées en une seule classe D = les objets équivalents par leur poids. Cependant il est un cadre que le sujet n’abolit pas : c’est celui des couples comme tels. Ces couples peuvent être quelconques en leur contenu (A + A’) = (A + B’) = (A + C’) = (A’ + B’) = … etc. Comment donc de tels cadres peuvent-ils subsister puisque les objets qui les forment sont devenus homogènes ? C’est ici qu’intervient le second aspect du nombre, la sériation : les objets réunis en un couple étant équivalents, leur seule différence, c’est-à-dire la condition sine qua non qui leur permet d’être « deux » tout en étant semblables entre eux, est qu’ils constituent les deux termes de la relation asymétriques : « après » dans le sens de « A’ est un autre A posé après ». En effet, pour que l’enfant puisse établir une correspondance entre les deux objets situés sur le premier plateau de la balance et les deux objets situés sur le second, il faut bien qu’il les série dans un ordre quelconque, car il ne saurait y avoir de correspondance sans une sériation des termes correspondants. Dès lors, la collection, même réduite à un couple, constitue une suite asymétrique sans cesser d’être une collection de termes substituables

A « vient après » A’, si c’est A’ qui est d’abord mis en correspondance avec B’ ou avec C’ ; ou A’« vient après » A si l’ordre est autre, etc. Mais il y a toujours un ordre choisi de sériation, et, relativement à cet ordre, le « second » est différent du « premier » parce qu’il est l’autre terme de la relation asymétrique inhérente à l’acte de sérier ; de plus, si toute différence qualitative, est éliminée entre les termes au profit de l’équivalence pure, seuls ces rangs de sériation différencient encore les objets. C’est pourquoi les couples ainsi construits ne sont plus des classes, mais des nombres, c’est-à-dire des collections d’objets à la fois équivalents et sériés. Le raisonnement a naturellement été le même pour des ensembles de 6 ou 8 objets à comparer en deux collections. Bref, dans toute expérience de ce genre, l’addition logique « et » devient addition arithmétique dans la mesure où chaque objet est conçu à la fois comme équivalent ou substituable aux autres, et comme cependant différent d’eux parce que sériables.

D’une manière générale, le nombre apparaît bien ainsi comme une fusion des caractères de la classe, soit l’équivalence des termes réunis en chaque classe et l’emboîtement [p. 313] des classes les unes dans les autres, avec les caractères de la relation, soit la non-équivalence des termes en tant que distingués par leur rang dans une sériation quelconque. C’est la réunion de ces deux sortes de caractères qui distingue, en dernière analyse, la correspondance qualitative et la correspondance numérique caractérisée par l’équivalence durable des collections correspondantes.

Or, l’intérêt de l’étude génétique est de permettre de vérifier cette hypothèse non pas seulement par l’analyse directe des exemples de quantification analogues à celui que nous venons de citer, mais au moyen de la contre-épreuve suivante. Si le nombre est un système de classes et de relations réunies, il ne saurait donc se généraliser qu’une fois les classes et les relations élaborées et c’est pourquoi il faut attendre la fin de la petite enfance pour constituer une arithmétique proprement dite. Mais inversement, les classes et les relations étant ainsi conçues comme des aspects dissociés du nombre, elles seront non seulement complémentaires entre elles, comme on l’a vu plus haut, mais encore solidaires du nombre lui-même, en tant que comportant une arithmétique implicite. C’est bien ce que nous enseigne précisément l’exemple des perles brunes à inclure dans les perles en bois : une telle inclusion n’est possible que si la classe des perles en bois est conçue comme plus « nombreuses » d’un terme au moins que celle des perles brunes. Sans un réseau de nombres virtuels tendu entre les objets, les concepts ne sauraient comporter d’extension définie ni les propositions atteindre de généralité précise, pas plus que la sériation ne pourrait parvenir à l’ordre effectif c’est en quoi les classes, les relations et les nombres sont psychologiquement dépendants les uns des autres tout en s’engageant en des directions différentes.

Il est facile, enfin, d’établir par les mêmes méthodes les rapports existant entre la multiplication et la mise en correspondance bi-univoque. Lorsqu’en effet, l’enfant parvient à mettre en correspondance deux collections avec équivalence durable, il arrive aussitôt à étendre la correspondance à plusieurs ensembles à la fois et à comprendre ainsi l’opération multiplicative : la frontière naturelle des stades de construction des notions est donc à situer entre la correspondance intuitive sans équivalence et la correspondance bi-univoque vraie, et celle-ci, cette fois conquise, entraîne d’emblée la multiplication (logique et arithmétique simultanément).

[p. 314] Au total, on voit l’utilité de poursuivre parallèlement l’analyse génétique et la construction logistique des notions : à chaque problème soulevé par l’emploi de l’une de ces méthodes correspond une question féconde pour le développement de l’autre et seule leur comparaison permanente libère l’esprit du double réalisme de l’empirisme et de la déduction absolue.