Chapitre II.
Le groupement préliminaire des équivalences pures ^a 🔗

[p. 33]

Il est évident qu’une suite d’égalités simples A = B = C = … etc. constitue un groupement dont l’élément serait (= A) ¹.

(1) Composition (A = B) (B = C) = (A = C)

(2) Associativité [(A = B) (B = C)] [C = D] = [A = B] [(B = C) (C = D)] = (A = D)

(3) Inverse B = A

(4) Identiques (A = A), (B = B)

… etc.

On constate ainsi que chaque élément joue le rôle, d’identique par rapport à lui-même. Le groupe des égalités est donc déjà un groupement.

Mais il reste à déterminer les relations de ce groupement avec les autres. Or, si l’on peut le concevoir comme la condition de chacun des groupements suivants, puisque le signe (=) intervient partout, il peut aussi bien être considéré comme un cas particulier de chacun des groupements [p. 34] logiques fondamentaux (nous bornerons notre discussion aux groupes I, III, V et VII).

Il est clair, tout d’abord, que dans une suite d’additions de classes (chap. III, propos. 1), il suffit d’annuler les classes secondaires (A’, B’, C’…), c’est-à-dire les B non-A, les C non-B, etc. pour avoir :

(5) Si A = A’ ; B = B’ …alors A = B = C …etc.

parce que

(A + A = B) = (A = B), etc.

en vertu de la tautologie

(A + A = A).

D’autre part, si la classe A est formée des mêmes individus que les classes B, C… etc., la multiplication de ces classes conduit naturellement aussi à une suite d’égalités :

(6) (A × B = AB) = (AA = BB) = (A = B)

On peut concevoir également le groupement des équivalences pures comme un cas particulier de l’addition des relations asymétriques :

(7) (A = B) + (B = C) = (A = C)

si (A o→ B) = (A o→ B) = (B o→ C)

Il en est de même de la multiplication des relations :

(8) (A o↓ o→ B) × (B o↓ o→ C) = (A = B = C)

Le groupement des équivalences pures apparaît donc aussi bien comme le produit de tous les autres, dont il constitue un cas particulier, que comme la condition de leur construction. C’est pourquoi l’opération qui caractérise ce groupement est indéterminée et peut prendre tour à tour la forme de chacune des huit sortes d’opérations dont nous nous servirons dans la suite.

Cette circonstance est importante pour la théorie des groupements logiques. En effet, on ne saurait, avec les auteurs pour lesquels l’identification est l’opération fondamentale de l’esprit, considérer ce groupement des égalités comme embrassant tous les autres à titre de sous-groupes, [p. 35] car il est impossible de composer l’addition ou la soustraction, la multiplication ou la division des classes et des relations avec des égalités seules. C’est au contraire le groupement des égalités qui constitue un sous-groupement commun à tous les autres.

Sans doute, il est bien à leur point de départ à tous, puisque la mise en équivalences pures est indispensable pour constituer n’importe quel élément des autres groupements. Mais il est un point de départ équivoque, si l’on se place, comme nous venons de le faire, au point de vue de l’opération même qui réunit les égalités (A = B) et (B = C). Cette opération est-elle une addition et de quelle sorte, ou une multiplication et de quelle sorte ? Est-elle une opération de classes ou de relations ? On peut même se demander si elle est une opération logique ou mathématique, puisque la substitution intervient aussi bien dans l’un de ces domaines que dans l’autre. Il s’ensuit que les équivalences reliant les différentes opérations à leurs résultats n’ont pas nécessairement la même signification. Par exemple, dans (A + A’ = B) l’équivalence de B et de (A + A’) n’est pas du même ordre que, dans (A > B) + (B > C) = (A > C), celle qui relie (A > C) à (A > B) + (B > C). Dans le premier cas, il s’agit en effet de définir la classe B comme étant la réunion de A et de A’, tandis que l’autre équivalence revient à additionner deux différences en une différence totale. C’est donc seulement en tant que condition commune de fonctionnement que l’on peut considérer la substitution ou l’égalité pure comme un facteur général de tous les groupements, mais c’est un facteur inséparable de ceux qui seuls lui donnent une signification déterminée, c’est-à-dire des opérations particulières elles-mêmes. Il n’est donc aucune raison de considérer l’opération indéterminée de la substitution (=) comme plus essentielle à l’esprit que les opérations de réunion (+) ou de correspondance (×), etc. Mais peut-être dira-t-on que ces dernières opérations résultent de la diversité du réel et la substitution de l’esprit seul ? Elles en résultent, si l’on veut, mais en ce sens précis que la diversité des choses nécessite en retour une coordination de l’intelligence ; il faut alors en dire autant de la substitution elle-même. On peut donc supposer — et c’est le but de cet ouvrage que de le démontrer — que l’œuvre de l’esprit consiste, non pas seulement à identifier, mais à effectuer n’importe quelles coordinations [p. 36] pourvu qu’elles soient réversibles. À cet égard, l’égalité n’est pas l’explication de la réversibilité, mais son résultat, puisque l’on ne peut pas tirer de la seule opération de la substitution les divers groupements que nous allons étudier, tandis que celui des égalités peut se déduire de chacun des autres ².