Chapitre III.
Le groupement des additions de classes (Groupement I) ^a 🔗

Partons du syllogisme classique : « Tous les Mammifères sont des Vertébrés ; tous les Vertébrés sont des Animaux, donc tous les Mammifères sont des Animaux ». Si nous appelons, conformément à l’exemple choisi E les Mammifères, F les Vertébrés et G les Animaux, et si nous désignons pour un instant l’inclusion par le signe <, nous pouvons écrire ce syllogisme sous la forme : (E < F) + (F < G) = (E < G). Une telle écriture reviendrait à opérer sans plus sur les relations d’inclusions et rentrerait ainsi dans les mécanismes du groupement VIII (chap. X). Mais, traduit dans le symbolisme des opérations (1) à (6) du présent groupement, au contraire, nous avons :

E = F − E’ (= tous les Mammifères sont tous les Vertébrés, sauf les Vertébrés non-Mammifères).

[p. 40] F = G − F’ (= tous les Vertébrés sont tous les Animaux moins les non-Vertébrés).

D’où E + F = F + G − E’ − F’.

Soit (par simplification des F) :

E = G − E’ − F’ (= les Mammifères sont les Animaux moins les Invertébrés et moins les Vertébrés non-Mammifères).

Un tel résultat est assurément correct. Mais cette manière d’opérer est-elle « naturelle », c’est-à-dire correspond-elle à quelque mode concret de pensée ? Et pourquoi faire intervenir des opérations négatives et des classes secondaires pour traduire une suite aussi simple de propositions positives que celle du syllogisme cité ?

Nous répondrons d’abord qu’aucune logique n’est possible sans opérations négatives. « Tous les Mammifères sont des Vertébrés » signifie : « Aucun Mammifère n’est Invertébré » et cette proposition contient deux négations : « Aucun Mammifère » et « Invertébré ». Mais la question n’est pas là. Tout le monde admet la négation, seulement on considère fréquemment cette opération comme « unitaire », c’est-à-dire comme niant en bloc un jugement ou excluant entièrement une classe (soit −E ou −F de manière absolue). Les classes secondaires que l’on construit ordinairement sont donc simplement des classes primaires négatives. Par exemple E’ signifierait « non-Mammifère » en général et serait synonyme de (−E) ; F’ serait synonyme de −F, etc. Pourquoi donc ne pas suivre cet usage ? Et si la construction du groupement des additions de classes exige comme opération inverse la soustraction binaire, puisque l’addition est elle-même binaire, n’est-ce pas alors que le « groupement » ne correspond pas au travail réel de la pensée ?

Nous croyons au contraire que les exigences du groupement rejoignent précisément la marche concrète de la construction des notions. Il existe, en effet, les transitions les plus insensibles entre la simple exclusion pratique (par exemple « tous les jours sauf le lundi ») ou théorique (« un nombre premier n’est divisible par aucun autre, excepté par lui-même »), la négation partielle (« quelques hommes seulement vivent au delà de cent ans ») ou totale (« aucun homme n’est immortel »). II n’y a donc pas de négation en soi, mais la négation est toujours binaire, [p. 41] c’est-à-dire relative à un terme donné : c’est pourquoi nous l’appelons soustraction. Si F = tous les Vertébrés, alors E’ = les Vertébrés non-Mammifères, mais si F = tous les Animaux, alors E’ = les Animaux non-Mammifères ; …etc. Mais si F = l’Univers (relatif) du Discours, c’est-à-dire la totalité des classes actuellement construites, alors seulement E’ = les non-Mammifères en général. La négation soi-disant uninaire n’est donc qu’un cas particulier de la soustraction binaire, et le terme −E ne peut pas être identifié au terme E’.

En effet, le terme (−E) signifie « les Mammifères en tant qu’exclus de… » ou « si j’exclus les Mammifères de … ». C’est ainsi que (−E − E’ = −F) signifie « si j’exclus les Mammifères et les Vertébrés non-Mammifères, j’exclus tous les Vertébrés ». Par exemple G − F (= −E − E’) = F’, c’est-à-dire que ni les Mammifères ni les autres Vertébrés ne rentrent dans les Invertébrés. Un tel mode de raisonnement qui est dénué de valeur pour qui connaît la classification zoologique, est au contraire plein de signification concrète pour qui est en voie de l’apprendre ou d’en construire une nouvelle ².

Quant aux classes secondaires A’ B’ C’… etc., on en comprend dès lors l’importance essentielle pour la construction des groupements. Mais nous voudrions encore souligner celle qu’elle présente sans cesse dans la pensée concrète. Cette signification peut échapper à l’observation superficielle, parce qu’elle demeure souvent implicite : elle n’en est que plus profonde dans le réglage de tout raisonnement. S’il est, en effet, facile, et conforme aux besoins de toute pensée, de généraliser, la difficulté est de s’en tenir aux généralisations légitime : c’est ici qu’intervient la quantification nécessaire des classes, en négatif comme en positif, en dehors de laquelle aucune proposition ne peut être rigoureuse. C’est pourquoi Hamilton déjà proposait de préciser toujours l’extension des prédicats, et de dire, par exemple, « tous les hommes sont [p. 42] quelques mortels ». Or, partout où intervient dans le discours, la notion de « quelques », explicitement ou implicitement, il y a intervention de ce que nous appelons les classes secondaires (A’ B’, C’… etc.).

Une classe secondaire est, en effet, et c’est ce qui motive un symbolisme spécial, une fraction de classe. Une classe ne comportant comme telle point de nombre, un système de classes ne saurait définir d’unité absolue, c’est-à-dire composable avec elle-même, telle que le nombre 1, ni par conséquent de fractions définies une fois pour toutes telles que les nombres fractionnaires ½, ¼, etc. Il n’existe pas de demi-classe ni de quarts de classe. L’unité logique est donc toujours relative : c’est la classe A d’où l’on part dans une sériation ou une classification quelconques. Cette unité fait partie d’autres classes B, C, D…, etc., dont elle est donc en un sens une fraction, mais relative, de même que chacune d’entre elles peut être considérée comme une fraction, mais relative, des classes qui l’emboîtent : A = quelques B ; B = quelques C…, etc. Seulement, les classes A, les B, les C…, etc., peuvent être également considérées en elles-mêmes, et alors elles constituent des totalités de divers ordres. Au contraire, les classes secondaires A’, B’, C’…, etc. — et c’est là leur raison d’être — ne sont jamais définies que comme des fractions des classes primaires qui l’emboîtent : les A’ sont quelques B (= tous les B non-A) ; les B’ sont quelques C (= tous les C non-B) ; etc. Elles sont ainsi, par définition, les fractions complémentaires des classes primaires de même rang ³ (A pour A’ ; B pour B’ ; … etc.), en tant que celles-ci font elles-mêmes parties des classes primaires immédiatement supérieures. C’est en ce sens que les classes secondaires interviennent implicitement en tout syllogisme.

Par son caractère additif, d’une part, et l’usage des substitutions et simplifications, ce groupement est parent du groupe de l’addition des nombres entiers. Mais à cause de la tautologie (4), de la résorption (5) et de la nature des identiques qui en découle (6), il ignore l’itération mathématique (A + A = 2A), [p. 43] et ne constitue qu’un « groupement ». Comment donc concilier ces deux caractères, en apparence irréductibles, en un système de calcul exempt de contradiction ?

Le sens concret des deux opérations (4) et (5) est bien clair. La tautologie (A + A = A) signifie que si l’on réunit les uns aux autres tous les individus formant la classe A, on ne saurait ensuite les réunir à nouveau, la seconde addition n’ajoutant rien à la première. La résorption, d’autre part (A + B = B) signifie que si la classe A est déjà emboîtée dans la classe B, cela ne change rien de l’y emboîter à nouveau. Les additions (A + A) et (A + B) sont donc des opérations fictives ⁴, mais qui se rencontrent, sans cesse dans les calculs, à cause du jeu des substitutions ou du passage possible des termes d’un membre à l’autre des égalités. Or, ces opérations, quoique fictives, posent un problème qui dépasse de beaucoup les limites de la technique du calcul, par le fait qu’elles mettent en cause l’existence même de la réversibilité logique. En effet, on devrait pouvoir tirer de (4) et de (5), en transférant d’un membre à l’autre les termes + A ou + B, les propositions suivantes :

A = A − A et A = B − B ou B = B − A

Or, elles sont absurdes, puisque A − A = 0 (= si je réunis les individus A pour les enlever d’un ensemble quelconque, il n’y a plus de A dans cette classe) ; et que (B − B = 0) et (B − A = A’).

De même, si l’on admet la proposition (4) il semble qu’on ne puisse plus égaliser les deux membres de l’égalité :

(A + A) − A = A + (A − A)

dont le sens est pourtant A = A.

On pourrait tourner ces difficultés d’une manière toute formelle en posant (A + A = A + A) et (A + B = A + B), d’où (A = A + A − A) et (B = A − A + B), etc. Mais cet artifice de calcul ne supprimerait en rien les problèmes logiques eux-mêmes, qui sont les suivants ⁵. Peut-on [p. 44] légitimement transférer un terme tel que +A de l’un des membres d’une égalité dans l’autre, pour qu’il prenne alors la forme −A, et les deux termes +A et −A demeurent-ils alors un seul et même terme ? S’ils ne peuvent être transférés sans conditions et qu’il soit nécessaire de préciser celles-ci comme nous allons le faire, quel est le sens de ces limitations et peut-on encore parler de « groupements » ? D’une manière générale, la question est donc : l’emboîtement +A comporte-t-il légitimement comme opération inverse le déboîtement −A et l’opération comme telle, lorsqu’elle n’est pas fictive, est-elle rigoureusement réversible ?

En un mot, on peut donc dire que, dans les suites de même signe, les règles de tautologie et de résorption peuvent toujours s’appliquer à condition que ce soit avant toute simplification, et que dans les suites mixtes la simplification est permise à condition que ce soit avant toute résorption ou tautification et que la composition n’ait porté sur aucune égalité hétérogène. Si de telles règles de calcul peuvent paraître compliquées, leur signification est par contre parfaitement claire et intéressante pour la structure des groupements logiques.

Une suite de même signe représente, en effet, une série d’emboîtements nécessaires (en positif ou en négatif, peu importe, c’est-à-dire d’emboîtements que l’on conserve ou que l’on exclut en bloc). Ainsi, l’égalité (7 bis), A + A’ + B’ = C signifie que tous les termes réunis dans le premier membre doivent s’emboîter dans le terme unique du second membre. Dès lors, il est évident que toute application des règles de tautologie et de résorption est permise en de telles suites, puisque ces règles ne font qu’exprimer la nécessité des emboîtements continus, de A à B, de B à C…, etc. Pour la même raison, toute substitution est permise [p. 48] puisqu’elle manifeste simplement l’existence de nouveaux emboîtements. Par contre, la simplification est illégitime avant que les tautifications et résorptions soient poussées au maximum, et cela pour la raison très claire que la simplification suppose la réciprocité complète de l’opération + A dans un membre de l’égalité et de l’opération + A dans l’autre membre, c’est-à-dire la réversibilité entière du passage de + A dans un membre à — A dans l’autre : or, toute égalité du type (A + A = A) ou (A + B = B), non encore tautifiée ou résorbée, signifie un emboîtement non achevé, et, si j’en tire (A = A − A) ou (B = B − A), le déboîtement de A sous la forme −A est illégitime parce que A ne saurait être dissocié en cours de route d’une suite d’emboîtements encore incomplets. Par contre, une fois les emboîtements terminés, toute simplification est permise.

D’autre part, une suite mixte signifie la rupture des emboîtements précédents et un mélange d’emboîtements et de déboîtements. Dès lors, si la suite est homogène, c’est-à-dire si l’on n’a déboîté aucun terme avant que les emboîtements aient été entièrement achevés auparavant, chaque terme + A peut être annulé en même temps que son inverse −A, puisqu’ils ne sont plus relatifs aux ensembles dans lesquels ils sont encastrés. Par contre, on ne saurait pratiquer la résorption ou la tautologie avant de telles simplifications, parce que cela consisterait à emboîter certains termes en empêchant le libre jeu de leurs déboîtements — ce qui serait contraire à la définition des suites mixtes. En effet, la simplification est un procédé de calcul intéressant les deux membres à la fois d’une égalité donnée, tandis que chaque tautification et chaque résorption demeure limitée au membre de l’équation dans lequel elle a lieu : c’est pourquoi ce dernier procédé de calcul prime dans les suites de même signe, dans lesquels il n’y a qu’emboîtements, tandis que la simplification prime dans les suites mixtes dans lesquelles les déboîtements et emboîtements sont mêlés et doivent se compenser.

Quant aux « hétérogénéités », elles s’opposent à nouveau au primat de la simplification, mais exactement, pour la même raison, puisqu’une hétérogénéité signifie un emboîtement non achevé.

On voit donc, et c’est là le grand intérêt de ces difficultés du groupement des additions et soustractions de classes, [p. 49] que les tautologies et résorptions, par le fait même qu’elles attestent la réalité des emboîtements, n’excluent en rien leur réversibilité complète, mais au contraire la confirment par les précautions de calcul qu’elles imposent. Le groupement tout entier des additions de classes apparaît ainsi comme un vaste emboîtement des termes inférieurs ou initiaux dans les termes de rang supérieur, ce mouvement pouvant être inversé en déboîtements systématiques, à condition de distinguer — ce qui est le sens des règles précédentes — les opérations fictives des opérations réelles, c’est-à-dire de ne jamais dissocier une opération de déboîtement de l’opération réciproque d’inclusion dont elle est la manifestation. Ces précautions prises, le groupement est entièrement rigoureux et réversible.

La signification des règles précédentes ainsi établie, il suffira de les appliquer sous la forme suivante pour être à l’abri de toute contradiction :

1° Les suites hétérogènes doivent, avant toute composition, être rendues homogènes. Il suffit pour cela : a) d’égaliser les signes (tous + ou tous −) et b) de résorber ensuite les termes au maximum ;

2° Les suites homogènes, de signes mélangés comme de même signe, admettent la résorption et la tautologie aussi bien que les simplifications, le passage d’un terme d’un membre à l’autre en changeant de signe, etc., et cela quel que soit l’ordre dans lequel on effectue ces diverses opérations, pourvu que les termes résorbés ou tautifiés soient chaque fois de même valeur dans les deux membres de la suite ⁶.

En appliquant ces deux règles qui équivalent exactement à celles de la Rem. II, on ne fait donc plus porter les tautifications et résorptions que sur ⁷ les équations comme telles, et non plus sur des termes isolés : en ce cas les compositions demeurent toujours homogènes et le groupement rigoureusement associatif et réversible.

Pour appliquer les compositions de cette section 2 à des réalités concrètes, ii faut naturellement que les suites additives que l’on réunit ou que l’on dissocie, puissent être juxtaposées les unes aux autres en une suite totale. Le meilleur exemple est à cet égard, celui de l’énumération simple.

D’une manière générale, le groupement des additions de classes (le groupement I) s’applique à toute suite d’emboîtements. Quels rapports soutient-il donc avec une suite de termes ⁹ simplement énumérés, c’est-à-dire précisément juxtaposés ?

Nous allons montrer qu’une telle suite rentre dans ce groupement, car ou bien les termes énumérés sont considérés comme non équivalents et ordonnés en une série selon un système de relations déterminées, et alors il ne s’agit plus d’une composition de classes, mais de relations, ou bien les termes énumérés sont considérés comme équivalents et l’énumération aboutit alors à une suite d’emboîtements (selon le mode 1 à 14 ou 15 à 18 peu importe).

Soit, par exemple, une énumération simple, que nous choisissons conventionnellement : « Les sciences exactes et naturelles sont les Mathématiques, la Mécanique, la Physique, la Chimie et la Biologie ». Par convention, cette énumération définit exhaustivement la classe initiale (les Sciences exactes et naturelles). Il est inutile de préciser qu’il s’agit là d’une opération purement logique, dans laquelle la numération n’intervient pas, car sans avoir compté que la classe totale est composée de cinq termes, je puis les énumérer un à un qualitativement. De plus, si nous n’établissons aucune relation particulière entre ces termes et nous bornons à les considérer équivalents, il n’est pas douteux qu’ils constituent simplement une classe. Comment donc représenter leur énumération ?

[p. 53] En premier lieu, nous avons naturellement le droit de constituer les classes partielles que nous voulons. Soient B₁ = les Sciences mathématiques (où A₁ = Mathématiques pures et A’₁ = Mécanique) et B₂ = les Sciences physiques (où A₂ = Physique et A’₂ = Chimie). Nous avons alors comme dans l’opération citée précédemment (15), l’addition B₁ + B₂ = D₃ ; et si A₄ = la Biologie, alors D₃ + A₄ = E. Ou bien si A1 = les Mathématiques pures et C₂ = les Sciences mécaniques (A₂ = Mécanique) et physiques (A’₂ Physique et B’₂ = Chimie), alors A₁ + C₂ + A₄ = E ; etc. D’une manière générale, si chacune des sciences énumérées est représentée par une classe A, on aura :

A₁ + A₂ + A₃ + A₄ + A₅ = E

Mais alors, si ces classes d’ordre A sont distinctes les unes des autres et ne peuvent pas être tautifiées, l’énumération complète revient nécessairement à une série d’emboîtements :

(19) A (les Mathématiques pures) + A’ (la Mécanique) = B (Mathématiques et Mécanique).

B + B’ (Physique) = C (Mathématiques, Mécanique et Physique).

C + C’ (Chimie) = D (Mathématiques, Mécanique, Physique et Chimie).

D + D’ (Biologie) = E (les Sciences exactes et naturelles)

Il va sans dire que cette énumération n’est pas la seule possible et que tout autre ordre est concevable :

(19 bis)

…etc.

Mais n’importe quelle énumération de ces mêmes termes aboutit à la même classe E.

Cela revient à dire que, du point de vue de la classe E, les termes énumérés sont équivalents (symbole E=, voir chap. I), soit :

(20) E = (A₁ E= A₂ E= A₃ E= A₄ E= A₅)

ou

E = (A E= A’ E= B’ E= C’ E= D’)

[p. 54] Et si nous désignons par E₁ E₂ E₃… etc. les classes totales d’ordre E qui résultent de l’addition des séries (19 bis) selon les différents modes d’énumération, on a :

(21) E₁ = E₂ = E₃ … etc.

D’où la nécessité de les tautifier, E₁ + E₂ = E.

Par contre, les différentes classes primaires A, B, C et D que l’on peut construire au moyen d’un seul terme A ; ou de la réunion d’un A et d’un A’ ; d’un A, d’un A’ et d’un B’…, etc., sont seulement équivalentes, mais non point égales (M= et non =. Voir chap. I) :

(22) B₁ E= B₂ E= B₃… etc.

C₁ E= C₂ E= C₃ … etc.

D₁ E= D₂ E= D₃… etc.

C’est en cela que l’énumération se distingue de la numération (voir chap. XI, prop. 3, 4, 6 et 7) : il y aurait en effet numération si les équivalences (20) et (22) pouvaient être transformées en égalités sans être tautifiées, tandis que, faute de cette mobilité, nous demeurons dans un système de classes et n’engendrons aucun nombre.

Il est donc clair que toute énumération peut se traduire sans plus sous la forme d’une suite de classes. Aussi quelconques que soient les termes énumérés, X, Y et Z, on a toujours A = X ; A’ = Y ; B = X + Y ; B’ = Z ; C = X + Y + Z ; … etc.

La question des rapports entre la classification hiérarchique et l’énumération simple n’est ainsi qu’une question d’échelle. Si j’appelle A une classe contenant un certain nombre de termes que je n’énumère pas en fait mais que je pourrais énumérer, alors l’énumération est distincte de la classification parce que, située à une échelle inférieure au seuil de cette classification. Mais dès que j’énumère ces termes, je les classe par cela même en une suite additive que l’on peut mettre sous une forme analogue à celle du tableau (19), et alors la classe A devient le premier terme de cette suite et la classe complexe primitivement appelée A devient la dernière classe primaire de la même suite.

Mais cette première manière de concevoir l’énumération [p. 55] n’est que l’une des deux possibles : la seconde consiste à sérier par relations asymétriques les termes différents. Cette éventualité, toujours légitime, soulève la question du rapport entre les deux espèces de séries :

Soit à énumérer les mêmes termes que précédemment, A + A’ + B’ + C’ + D’ = E et choisissons la disposition de (19). Après les avoir classés en A + A’ = B ; B + B’ = C ; …etc., nous pouvons aussi bien, et indépendamment de ces classes, les sérier selon une relation quelconque, pourvu qu’elle soit asymétrique (sinon il n’y a pas de sériation linéaire possible) :

(23) (A) a→ (A’) a’→ (B’) b’→ (C’) c’→ D’

Cette relation sera, par exemple, « A’ est plus complexe que A ; B’ est plus complexe que B ; … etc. » Ou simplement « A’ vient après A ; B’ vient après B ; … etc. ». Ou « A et ensuite A’, et ensuite B’ ; … etc. ».

La différence entre les deux méthodes est évidente : la série des relations est intangible dans le détail même des successions, sous peine d’altérer la signification de la série totale, tandis que l’ordre de succession d’une suite de classes peut être changé sans modifier la classe totale. En effet, les termes de chaque classe primaire sont, par définition, équivalents entre eux, tandis que ceux des relations asymétriques ne le sont pas.

La sériation comme telle est commune au groupement des classes et à celui des relations, puisqu’une classe ne peut entrer en rapport avec d’autres que moyennant un système hiérarchique, qui implique donc une sériation des rangs d’extension de l’ordre inférieur à l’ordre supérieur. Mais, comme on vient de le voir (propos. 19 à 21) n’importe quelle sériation des termes A… D’ conduit à la même classe E, puisque cette classe n’est pas autre chose que leur réunion et qu’une addition est indépendante de l’ordre suivi (est « commutative »). L’ordre choisi sera plus ou moins naturel et la classification plus ou moins simple, mais le résultat sera toujours la classe E : elle sera donc subdivisée autrement, puisque la signification des A, A’, B’… pouvant changer, celle des B, C, D …. changera naturellement [p. 56]aussi (prop. 22), mais le total (la classe E) sera toujours le même (prop. 21). Au contraire, si j’intervertis deux ou plusieurs termes A, A’… dans une série de relations asymétriques (23), les relations nouvelles seront différentes des premières et la série totale sera également différente en tant que série (par opposition à la réunion des termes comme tels, qui est une classe).

Par exemple, si je dis « La Physique est plus complexe que la Mécanique », (A’ a’→ B’), je dis le contraire que si j’appelle A’ la Physique et B’ la Mécanique, soit « La Mécanique est plus complexe que la Physique ». D’une manière générale, si la signification des termes provient de leur position dans la série, il en est exactement de même : la relation, « La Physique vient après la Mécanique » exprime le contraire de la relation, « La Mécanique vient après la Physique ».

En bref, dans la série « A, et ensuite A’, et ensuite B’… etc. », de deux choses l’une : ou bien « et ensuite » signifie la simple réunion de ces termes (A + A’…) par opposition à l’addition de leurs relations, et alors il y a addition de classes, c’est-à-dire que chaque classe primaire reste invariante quel que soit l’ordre d’énumération de ses composants ; ou bien « et ensuite » signifie une relation asymétrique impliquant un avant et un après, et alors les relations seules peuvent être additionnées (a + a’ = b), ces relations présentant un ordre fixe et les termes cessant d’être équivalents. Dans ce dernier cas, toute altération dans la succession des termes (ou des relations secondaires) transforme la série totale (c’est-à-dire les relations primaires a, b, c…). Nous appellerons donc séries hiérarchiques les suites de classes et séries linéaires les suites de relations asymétriques (lorsque celles-ci obéissent aux règles du groupement V).

Cette opposition résulte de la définition même que nous avons adoptée des classes et des relations (à l’exception des relations symétriques qui sont précisément des relations de classes). Nous avons donc pour les séries hiérarchiques :

(24) A = A

B = (A B= A’)

C = (A C= A’ C= B’)

D = (A D= A’ D= B’ D= C’)

[p. 57] et pour les séries linéaires ¹⁰ :

(25) (A → A’) M≠ (A’ → A)

Encore une remarque. Les compositions de cette section 2 ne peuvent avoir de signification concrète que si les classes A, A’, B’…, comme c’est le cas dans l’énumération simple, ne contiennent qu’un seul terme (une seule classe). Mais dans une classification quelconque, il arrive naturellement que les classes secondaires soient de plus en plus complexes. Par exemple, si A = une espèce animale (cf. section 1), A’ = les autres espèces de même genre ; B = le genre A + A’ ; B’ = les autres genres de même famille ; C = la famille B + B’ ; C’ = les autres familles de même ordre ; … etc., alors il est clair que A’ contient plusieurs termes d’ordre A, que B’, C’, D’ toujours davantage, etc. ; que B’ contient plusieurs termes d’ordre B ; que C’ contient plusieurs C, B et A ; etc.

D’une manière générale, nous pouvons donc dire que le rapport entre A et A’, ou encore B et B’, etc., est un rapport de « vicariance » (Voir chap. I).

Nous avons distingué, en effet, l’égalité (A = A, ou A + A’ = B) qui a pour critère la tautification possible des termes égaux, et l’équivalence qualitative (prop. 24), qui a pour critère la co-inclusion, c’est-à-dire la possibilité de résorption des termes dans la classe du point de vue de laquelle ils sont équivalents : A B= A’ signifie ainsi A + B = B et A’ + B = B. Il s’ensuit, toujours par définition, que seuls les termes égaux sont substituables, les termes équivalents étant réciproquement substituables ou vicariants, c’est-à-dire que si A B= A’, alors on, peut trouver en A’ au moins une classe d’ordre A (que nous appellerons A₂), et que, par rapport à celle-ci, la classe A se trouve comprise en A’₂ (soit dans une classe A’ définie en fonction de A₂ et non plus de A). De même, si B C= B’, alors on peut trouver en B’ une classe au moins d’ordre B (que nous appellerons B₃), par rapport à laquelle B se [p. 58] trouve compris en B’₃ ; … etc. D’où :

(26) [A B= A’] = [(A + A’) = (A₂ + A’₂) = B]

[B C= B’] = [(B + B’) = (B₃ + B’₃) = C]

………………

[M N= M’] = [(M + M’) = (M_n + M’_n) = N]

C’est cette situation qui entraîne la nécessité des opérations nouvelles dont nous allons maintenant aborder l’étude sous le nom d’« additions secondaires ».