Chapitre VII.
Le groupement de l’addition des relations asymétriques (Groupement V) ^a 🔗

Nous désignerons par le symbole (A → B) une relation asymétrique et transitive quelconque, étant entendu seulement que (A → B) marque une inégalité en faveur de B, et signifiera donc que « B est plus… (lourd, ou grand, ou vertueux, etc.) que A ». La relation inverse sera (B ← A), soit « A est moins… que B ».

Si nous posons (A → B) pour exprimer ainsi une différence donnée entre A et B, nous pouvons concevoir des relations analogues entre B et C, etc., soit B → C ; C → D ; D → E ; … etc. Autrement dit, nous pouvons sérier les termes A, B, C, D… selon leurs différences ordonnées. Comment donc « grouper » les relations qui expriment cette série ?

Comparons d’abord entre eux les trois premiers termes, c’est-à-dire dans l’exemple du poids, les trois termes « les plus légers » de la série, à savoir A, B et C. Si l’on peut poser (A → B) + (B → C) = (A → C), soit « A est plus léger que B, et B est plus léger que C, alors A est plus léger que C », il est légitime d’en conclure immédiatement, même sans connaître les valeurs respectives des poids absolus ni celles de leurs différences, que la différence entre A et C est plus grande qu’entre A et B, puisque B est lui-même plus léger que C. Nous appellerons donc a la relation entre A et B, soit (A [?] B) et b la relation entre A et C, soit (A [?] C), étant entendu que, par définition, la rela-

tion [?] est comprise ou incluse dans la relation [?]. Or, si la relation (A [?] B) est incluse dans la relation (A [?] C), sans lui être égale, on peut dès lors concevoir la relation entre B et C comme constituée par la différence entre a et b, soit (b — a = a’) : nous désignerons donc la relation B → C par le symbole (B [?] C). D’où l’élément du groupement :

a a’ b

(1) (A → B) + (B → C) = (A → C)

On voit ainsi la signification de la sériation, en dehors de laquelle le « groupement » ne serait pas possible. En effet, si l’on pose sans autre convention (A → B) et (X → B), il est impossible de savoir si (A → X) ou (A ← X) ou encore (A = X). Autrement dit (A → B) + (X → B) = (A ⇆ X) ou (A = X) ?, qui peut s’écrire également (A → B) — (X ← B) = (A ⇆ X) ou (A = X) ? C’est comme si, dans le champ des additions de classes, nous incluons une classe quelconque A dans une classe plus étendue B, et qu’ensuite, nous dissocions de B une autre classe quelconque X : on ne saura pas alors si (B — X = A) ou si (B — X ≠ A). Par contre, de même que l’on peut sérier les classes en une suite (A + A’ = B ; B + B’ = C ; C + C’ = D ; … etc.), simplement définie par le fait que chaque classe primaire A, B, C… est incluse dans la suivante, de même on peut concevoir une série de relations primaires incluses chacune dans la suivante : A [?] B ; A [?] C ; A [?] D ; A [?] E ; …etc. ; et définir les relations secondaires par la différence entre chacune de ces relations primaires et celle dans laquelle elle est incluse. D’où la série :

a a’ b

(1 bis) (A → B) + (B → C) = (A → C)

b b’ c

(A → C) + (C → D) = (A → D)

c c’ d

(A → D) + (D → E) = (A → E)

d d’ e

(A → E) + (E → F) = (A → F)

laquelle, contrairement à un ensemble quelconque de

relations non sériées, permet de définir un système d’opérations inverses à résultats bien déterminés :

b a’ a

(2) (A → C) — (B → C) = (A → B)

c b’ b

(A → D) — (C → D) = (A → C)

…etc.

b a a’

ou (A → C) — (A → B) = (B → C)

c b b’

(A → D) — (A → C) = (C → D)

…etc.

Avant de poursuivre, précisons encore qu’une telle sériation doit être « linéaire » (Chap. III, Rem. V), notion qu’il nous faut maintenant définir avec plus de précision que nous n’avons pu le faire au chapitre III. Une sériation sera dite linéaire si les relations qui la composent sont asymétriques, transitives et connexes. Une relation est connexe si pour deux termes distincts de son champ elle existe entre le premier et le second, entre le second et le premier ou les deux à la fois. La connexion exclut donc l’égalité entre deux termes quelconques de la série et si nous prenons comme exemple les relations de poids, etc., qui ne sont pas connexes en elles-mêmes, il faut donc convenir au préalable de ne sérier que des termes différents les uns des autres₁.

Notons encore qu’en vertu même de son caractère linéaire, l’addition des relations ne sera pas commutative (a + a’ ≠ a’ + a), mais devra suivre l’ordre b = a + a’. On appelle en général « multiplication relative » l’opération en question, mais nous en limitons ici l’usage à la réunion des segments d’une même relation, et préférons donc le terme d’addition, ce groupement étant au reste parallèle (sauf justement en ce qui concerne la commutativité) à celui de l’addition des classes.

Les relations ainsi ordonnées constituent donc un groupement dont l’élément est l’égalité (1). L’élément ne

saurait être la relation (A [?] B) elle-même, car on ne saurait poser (a + a) — a = a + (a — a), à cause de la loi de tautologie qui s’applique aux relations comme aux classes. On a dès lors :

(3) Compositions :

a a’ b

(A → B) + (B → C) = (A → C)

b’ c’ b’+c’

+ (C → D) + (D → E) = (C → E)

a a’ b’ c’ d

(A → B) + (B → C) + (C → D) + (D → E) = (A → E)

d c’ c

(A → E) — (D → E) = (A → D)

c c’ d

+ (A → D) + (D → E) = (A → E)

d c’ c c’

(A → E) — (D → E) + (A → D) + (D → E)

c d d c c’

= (A → D) + (A → E) = (A → E) + (A → D) + (D → E)

c c’ d

= (A → D) + (D → E) + (A → E)

d d

soit (A → E) = ( A → E)

Dans le cas où les segments de séries à additionner entre eux ne se touchent pas, on procède par substitutions :

a b’

(A → B) + (C → D) = ?

b’ a’+b’ a’

(C → D) = (B → D) — (B → C)

d’où :

a b’ a a’+b’ a’

(A → B) + (C → D) = (A → B) + (B → D) — (B → C)

et :

a b’ c a’

(A → B) + (C → D) = (A → D) — (B → C)

Les relations a et a’ ne sont pas vicariantes, donc pas équivalentes comme les classes A et A’ puisque la relation

b a’ a

totale → suppose que ses éléments → et → se suivent dans un certain ordre.

(4) Compositions inverses :

b a’ a

(A → C) — (B → C) = (A → B)

b a a’

(A → C) — (A → B) = (B → C)

b b a a’ a’ a

(A → C) + (A → C) = (A → B) + (B → C) + (B → C) +(A → B)

b b

d’où : (A → C) = (A → C)

c a’+b’ a

(A → D) — (B → D) = (A → B)

c’ c’

(D → E) — (D → E) = 0

c c’ a a’+b’ c’

(A → D) + (D → E) = (A → B) + (B → D) + (D → E)

d d

d’où : (A → E) = (A → E)

Il est à noter que l’opération inverse est égale à l’opération directe portant sur la relation inverse, c’est-à-dire sur la « converse » :

b a’ b a’ a

(4 bis) (A → C) — (B → C) = (A → C) + (C ← B) = A → B

(5) Associativité :

b b’+c’ c’

[A → C] + [(C → E) + (E → D)] =

b b’+c’ c’

[(A → C) + (C → E)] + [E → D)

(6) Tautologie :

a a a

(A → B)+(A → B)=(A → B) …etc.

(6 bis) Résorption :

a b b

(A → B) + (A → C) = (A → C)

(7) Identique générale :

a a a a o

(A → B) — (A → B) [ou (A → B) + (B ← A)]  = (A → A)₁

Enfin, si l’opération inverse est égale à l’opération directe portant sur la converse, il va de soi que l’on peut parler de relations négatives, dans le sens des « classes négatives » du Chapitre IV. Il faut seulement comprendre que les rapports de classes étant de simples rapports d’emboîtement, ou d’inclusion, les classes négatives expriment les opérations de déboîtements et sont proprement des classes déboîtées ou « excluses », tandis que les relations consistant en différences et non pas en équivalences, les emboîtements ou inclusions de relations expriment des variations ou déplacements d’un terme à un autre : l’addition de deux relations marque ainsi la somme de deux déplacements, l’inclusion d’une relation dans une autre marque le fait qu’un déplacement est compris dans un autre, la soustraction signifie un déplacement en sens inverse et la relation négative est ainsi simplement un déplacement qui dépasse en sens inverse le déplacement direct auquel il est réuni. D’où :

(8) Relations négatives :

a a

+ a — a = 0 parce que → + ← = 0

a a’ b

— a — a’ = — b « ← + ← = ←

a’ a+a’ a

+ a’— b = — a « → +  ←  = ←

a a+a’ a’

+ a — b = — a’« → +  ←  = ←

…etc. …etc.

Quant aux règles de calcul, l’addition des relations connaissant donc la tautologie (6) et la résorption (6 bis) comme l’addition des classes, il s’ensuit que ces règles seront les mêmes et comportent la même signification (voir Chap. III, Sect. 1, Rem. II et III) ; à la seule dif-

férence qu’il s’agit de réunir ou d’exclure des inégalités ou déplacements et non plus des équivalences.

Remarque I. Légitimité de la sériation. — On constate, au total, que les relations ne peuvent être « groupées » qu’à la condition d’être sériées, la sériation linéaire et le groupement constituant ainsi une seule et même coordination de ces relations. Mais alors, on peut se demander si la sériation linéaire n’est pas une opération extérieure et surajoutée à la mise en relation, et si vraiment elle en résulte sans plus, c’est-à-dire sans l’adjonction du nombre ou de notions proprement arithmétiques.

Remarquons d’abord que si le langage qualitatif ne connaît point d’expressions particulières pour la sériation de la plupart des relations, il est cependant certaines

désignations verbales qui impliquent déjà la série. Par exem-

a b c

ple, si → = père, on a alors →  = grand-père ; → = arrière-

a b c

grand-père ; …etc. et ← = fils ; ← = petit-fils et ← = arrière-petit-fils. Par conséquent, lorsque l’on dit, sans rien préciser de plus, que « A est plus grand que C » et que « B est plus petit que C », et que l’on ne peut donc pas conclure si A > B ; A < B ou A = B, cette absence de sériation tient à l’imprécision du langage, c’est-à-dire à nos habitudes verbales et non pas à la nature de ces relations. C’est comme si l’on disait simplement « A est ascendant de C » et « C est descendant de B », sans déterminer de quel ordre de relations il

s’agit. Ce n’est donc pas transformer la relation > et < que

a a’

d’écrire A → C et B ← C : c’est simplement convenir de quoi l’on parle et préciser de quelles relations il s’agit dans une série donnée.

Il n’y a rien de plus, en effet, dans la série (a + a’ = b) que les relations qui la composent, et l’on n’a nullement besoin de compter les termes numériquement pour ordonner ces relations. Dira-t-on que la notion de l’ordre lui-même est déjà une notion mathématique ? Mais l’ordre est donné dans les relations comme telles : si A est à gauche de B, ou plus vertueux que B et si B est à gauche de C ou plus vertueux que C, etc., cela implique une différence entre A et B et une nouvelle différence entre B et C et il n’y a rien de plus dans l’ordination de A, B et C que dans celle de A et B prise à part, puisque la relation B et C est de même nature qu’entre A et B, mais cela n’implique ni que

l’on ait besoin de dénombrer ces relations ou ces termes, ni que ces deux différences soient quantitativement égales, car la mesure des distances, physiques ou morales, entre A et B et entre B et C n’entre pas en ligne de compte : il suffit, pour « grouper » les relations données entre A, B et C, de savoir que le terme B est situé « entre » les deux autres ; l’itération de la relation conserve donc un sens simplement qualitatif et logique, tout comme la relation elle-même, et l’itération mathématique n’intervient pas, puisque a + a = a.

Il est d’ailleurs possible de retourner les choses, et de dire, comme nous le ferons dans les conclusions psychologiques de cette étude, que l’on ne pourrait définir une relation isolée sans une sériation implicite, puisque les expressions relatives « à gauche », « plus vertueux », etc., supposent tout un système de comparaisons, c’est-à-dire de sériations antérieures. Une relation n’est donc jamais qu’un segment plus ou moins défini (ou imprécis) de série, de même qu’une classe n’est jamais qu’un terme plus ou moins défini par rapport à une hiérarchie d’inclusions.

En bref, la sériation des relations est aussi légitime que celle des classes, la seule différence consistant dans le fait que les classes sériées sont désignées par des mots, puisque le jeu des emboîtements correspond à celui des concepts verbaux, tandis que la plupart des sériations de relations dépassent par leur symbolisme le champ des signes de la langue. Mais ces deux sortes de séries reposent sur des principes communs, et en particulier les conventions qui permettent de les symboliser peuvent être définies en exact parallèle les unes avec les autres : de même que la classe B inclut la classe A parce qu’elle présente une extension plus grande et que la classe C inclut la classe B parce que l’extension de C est encore plus grande, de même la relation b inclut la rela-

tion a parce qu’elle exprime une différence plus grande entre

a

A et C que la relation A → B etc. Dès lors, de même que l’on peut poser (A’ = B — A) ; (B’ = C — B) ; …etc., de même on peut définir (a’ = b — a) ; (b’ = c — b) ; …etc.

Remarque II. Relations de classes et classes de termes de relations. — Comme nous l’avons vu au Chapitre I, les relations et les classes diffèrent entre elles quant à leur groupement en ce que les premières relient les uns aux

autres des termes non équivalents et les secondes des termes équivalents. D’où le fait que, considérées comme des fonc-

tions propositionnelles, les premières supposent au moins

a

deux valences (x → y) tandis que les secondes n’en impliquent qu’une seule (x est A). Mais il se peut que, par leur contenu, les termes de certaines relations se trouvent être équivalents et ceux de certaines classes non-équivalents. C’est précisément le cas lorsque l’on dispose sous forme de relations, le contenu d’un système de classes et sous forme de classes les termes d’une suite de relations asymétriques : d’où les notions de relations de classes et de classes de termes de relations.

Les relations d’une classe sont, par définition, les relations qui unissent entre eux les termes de cette classe (individus ou classes incluses de même rang), relations qui expriment la co-appartenance ou la co-inclusion de ces termes dans cette classe. Telles sont les relations symétriques et transitives. Par exemple « X est frère de Y » signifie que X et Y appartiennent tous deux à la classe des fils du même père. A = B = C… etc. signifie que A, B, C… sont des valeurs également substituables d’une même classe. D’une manière générale, toute égalité ou équivalence définit une « relation de classe ». Il ne faut pas confondre de telles relations avec les relations quelconques que l’on peut construire à l’intérieur ou au moyen de classes, telles que A < B < C… etc.

D’autre part, nous appellerons « classes de termes de relations » les classes qui réunissent les termes (individus ou classes) d’une suite de relations asymétriques. Par exemple, si une collection d’objets A₁ A₂ A₃ …. etc., tous distincts les uns des autres, sont sériés selon leur grandeur et que l’on ait A₁ < A₂ < A₃… etc., alors les termes entre lesquels on établit la série de ces relations constituent les classes suivantes :

Classe A = A₁ = « le terme plus petit que A₂ ».

Classe A’ (= B — A) = A₂ = « les termes plus petits que A₃ » sauf A₁.

Classe B (= A + A’) = A₁ + A₂ = « les termes plus petits que A₃ ».

Classe B’ (= C — B) = A₃ = « les termes plus petits que A₄ » sauf les B.

Classe C (= B + B’) = A₁ + A₂ + A₃ = « les termes plus petits que A₄ ».

Classe C’ (D — C) = A₄ = « les termes plus petits que A₅ » sauf les C.

Classe D = (C + C’) = A₁ + A₃ + A₃ + A₄ = « les termes plus petits que A₅ ».

…etc.

D’où la série des classes habituelles, que l’on trouve dans l’énumération simple (Chap. III, prop. 19), soit A + A’ = B ; B + B’ = C ; …etc. dans laquelle chaque classe ne contient qu’un seul terme. On peut exprimer cette correspondance entre les classes et les relations de la manière suivante :

a a’ b’ c’ d’ e’

(9) A₁ → A₂ → A₃ → A₄ → A₅ → A⁶ → A, … etc.

Cl.A Cl. A’ Cl. B’ Cl. C’ Cl. D’ Cl. E’ Cl. F’

Cl. B

Cl. C

rel. a Cl. D

rel. b Cl. E

rel. c Cl. F

rel. d Cl. G

…etc.

On peut construire un tel tableau avec n’importe quelle suite de relations asymétriques. Du point de vue formel, les classes qui en résultent présentent naturellement le même jeu d’équivalences que celles de toute série hiérarchique de classes (Chap. III, Rem. V) c’est-à-dire que l’on a comme d’habitude A [?]A’ ; A [?] A’[?] B’ ; …etc. Mais il va de soi que cette équivalence et la « vicariance » ou substitution réciproque qui la constitue, ne présen-tent de signification que si l’on fait abstraction des relations

elles-mêmes. Par exemple, si A, A’, B’ sont trois boules de

a a’

poids croissant, sériées selon les relations A → A’ → B’, nous pouvons constituer la classe C au moyen de ces trois

boules : C (= A + A’ + B’, chacune de ces sous-classes étant donc singulière). Mais si nous posons A [?]A’[?] B’, nous faisons alors abstraction des différences de poids. Si nous vicarions sous la forme (C = A₂ (= A’) + A’₂ (= A) + B’₂), nous suivons ainsi un ordre d’inclusion contraire à celui des relations données, etc. Par contre, si nous déclarons les classes A, A’ et B’ non-équivalentes entre elles parce que classes de termes de relations, et par conséquent non vicariantes, nous renonçons par cela même à en faire des classes susceptibles d’être « groupées » et nous nous bornons à traduire les relations en un langage emprunté à celui des classes.

Donc, de deux choses l’une (et il est essentiel de retenir cette remarque pour les discussions ultérieures concernant le nombre) ou bien les « champs », « domaines » ou « domaines réciproques » des relations asymétriques (donc les classes constituées par la réunion de leurs termes, de leurs antécédents seuls ou de leurs conséquents seuls) seront « groupés » sur le modèle des classes, et alors c’est à la condition de faire abstraction des relations elles-mêmes, ou bien ils seront groupés selon les relations qui les unissent, mais alors on ne pourra pas leur appliquer les lois du groupement II (additions secondaires des classes) et ce ne seront pas de véritables classes (au sens du groupement) puisqu’elles ne seront susceptibles que d’un groupement de modèle I.

Notons enfin que dans une suite additive de classes quelconques, groupées selon le modèle I, les classes primaires (A, B, C… etc.) peuvent toujours être sériées selon le principe des relations asymétriques, puisque les classes primaires d’une même suite ne sont pas équivalentes entre elles (A [?] B, parce que A + B = B, voir Chap. VIII, Rem. II), et soutiennent donc les unes avec les autres des relations asymétriques, telles que A → B → C → D… etc. Par conséquent, ces classes primaires A, B, C… etc. constituent, en tant que reliées par ces relations, un système de « classes des termes de relation », dont la fonction ne contredit en rien celle de classes primaires d’une suite hiérarchique quelconque. Par exemple, appelons A₁, B₁, C₁… etc. la suite dont nous nous sommes servis aux Chapitres III et IV (A₁ = l’espèce Chat domestique ; B₁ = le genre Chat ; C₁ = la famille des Félidés ; D₁ = l’ordre des Carnassiers, etc.) ; on a, si l’on met ces classes en

relations asymétriques d’« inclusion » ou « de plus grande extension », la série suivante de « classes de termes de relations » A^r, B^r, C^r … etc.

a a’ b’

A₁ → B₁ → C₁ → D₁…etc

Cl. A^r Cl. A’^r Cl. B’^r Cl. C’^r

Cl. B^r

Cl. C^r

Cl. D^r …etc.

Mais il va de soi que si ces classes A^r, A’^r, B’^r …. etc. sont considérées comme équivalentes et vicariantes, c’est en tant que classes d’ordre K^r et non pas en tant que classes d’ordre K₁. On pourrait s’amuser ici à construire l’une de ces antinomies factices que Poincaré a reproché aux logisticiens. Par exemple, A₁ + B₁ = B₁ puisque « l’espèce Chat domestique réunie au genre Chat n’ajoute rien au genre Chat », mais A^r + A’^r = B^r, c’est-à-dire « la classe de l’espèce Chat domestique en tant que classe d’un système donné d’inclusions et la classe du genre Chat en tant également que classe du même système donné d’inclusions constituent par leur réunion la classe nouvelle B^r = la classe des classes de l’espèce Chat domestique et du genre Chat ». En réalité A₁ et B₁ sont donc les extensions de deux concepts subsumés l’un par l’autre et A₁ se résorbe ainsi en B₁ puisqu’il y est inclus, tandis que A^r et A’^r » sont les extensions des concepts de ces deux concepts et ainsi ils peuvent être additionnés l’un à l’autre sans tautologie ni résorption. Dès lors A^r et les K^r secondaires sont équivalentes et vicariantes tout en connotant A₁ et les K₁ qui ne sont ni équivalentes entre elles ni vicariantes. Il va de soi que si l’on se met à grouper non seulement les classes, mais les classes des concepts que l’on se fait de ces classes, on peut poursuivre ainsi jusqu’à l’infini… On y trouvera sans doute la réfutation du réalisme des classes, et du même coup la justification des groupes d’opérations, puisqu’alors celles-là apparaîtront comme les produits de celles-ci et comme des produits vivants tant qu’ils demeurent en liaison avec leur source mais incapables d’une existence séparée.

De même qu’il est toujours possible de réunir en une même suite deux séries d’additions de classes (Chap. III, Sect. 2), de même il est facile de réunir en une seule deux ou plusieurs suites d’additions de relations, lorsque leurs définitions permettent de les juxtaposer (avec ou sans interférence).

Si, par exemple, nous définissons a = père, b = grand-père ; c = arrière-grand-père, etc., il est évident que (A ↓ c₁ B) + (B ↓ b₂ C) = (A ↓ e C) si les deux suites c₁ et b₂ peuvent constituer une suite unique. D’où la formule :

(10) (a₁ …m₁) + (a₂ … m₂) = a₁ … m₁ + m’ (= a₂) + n’ (= a’₂) +… + x’ (= l’₂)

C’est-à-dire que dans l’exemple choisi a₂ devient c’₁ et a’₂ devient d’₂, d’où c₁ + b₂ = e.

Il va de soi que de telles opérations sont indéfiniment composables entre elles, associatives et réversibles. Elles ne constituent ainsi qu’une autre notation pour exprimer les compositions du groupement. L’opération inverse s’écrira dès lors :

e b c

(10 bis) e — b = c ou (→) + (←) = (→)

On a par exemple :

(a₁ + a₂ = b) d’où (b — a₁ = a₂)

(b₁ + b₂ = d) (d — b₂ = b₁)

(c₁ + a₂ = d) (d — c₁ = a₂) …etc.

Il est clair, en outre, que si les deux suites à associer interfèrent par une ou deux ou plusieurs relations, celles-ci se tautifient sans plus, et l’on a, par exemple :

(11) [b₁ +c₂ (si a₂ = a’₁)] = [a (=a₁) + a’ (= a’₁ = a₂) +

b’ (= a’₂) + c’ (= b’₂)] = (d)

tandis que, sans interférence, b₁ + c₂ donneraient e.

Ce genre de notations permet ainsi de composer entre elles des relations de forme a, b, c … considérées comme

des structures qualitatives de divers ordres (ou comme des « types d’ordre » qualitatifs), c’est-à-dire comme les segments mobiles et non plus rigides d’une même suite. Dès lors leur addition est commutative, contrairement à celle des relations exprimées selon la notation de la Section 1. Mais cette commutativité n’est qu’apparente parce qu’en fait, il ne s’agit pas, lorsque l’on permute les addendes, des mêmes relations :

(12) a₁ + b₂ = b₃ + a₄ (où b = a₁ + a₂ et où a₄ = a’₂)

Cette commutativité apparente n’élimine donc nullement l’ordre et ne contredit pas la non-commutativité réelle de l’addition a + a’ = b.

Rappelons enfin que si toutes les compositions de ce groupement (prop. 1 à 12) supposent une sériation linéaire, il est facile de les appliquer aussi à des relations asymétriques et transitives non-connexes en considérant alors les termes A, B, C… de ces relations comme des classes comprenant les individus semblables, et sans s’occuper des relations internes de ces classes : ce sont les relations entre ces classes comme telles qui deviennent dès lors connexes et qui constituent la série linéaire. C’est le cas, en particulier, entre les classes primaires d’une suite du groupement I, abstraction faite, cela va sans dire, des classes secondaires.

Remarque III. Additions de classes et additions de relations (groupements I et V). — Etant donnés les rapports étroits que l’on a constatés (Remarque II) entre les groupements I et V, la question se pose de savoir si ces deux groupements n’en constituent pas un seul, la seule différence consistant en ceci que les opérations du groupement I additionnent entre eux les termes comme tels et celles du groupement V leurs relations, c’est-à-dire que l’élément (A + A’ = B) du groupe I réunit les deux termes A₁ et A₂ du tableau (9) en une classe B et que l’élément (a + a’ = b) du groupe V réunit les trois termes (A₁, A₂ et A₃) en une même relation.

En réalité, les différences qui opposent les deux groupes sont plus profondes et sont essentielles, tant pour la théorie des groupements logiques que pour l’analyse des rapports entre le nombre et le concept (Chap. XI et XII).

La différence fondamentale est celle-ci : l’addition des classes est commutative et celle des relations ne l’est pas. Cela revient à dire qu’une série de relations asymétriques étant linéaire et une série d’additions de classes étant hiérarchique (voir Chap. III, Rem. V et prop. 24 et 25), la composition des relations asymétriques ne comporte pas comme telle la possibilité d’« additions secondaires ».

En effet, les termes d’une série hiérarchique étant équivalents du point de vue des différentes classes qui les emboîtent et ceux des séries linéaires ne l’étant pas, toute série de classes suppose des séries réciproques ou corrélatives se rejoignant tôt ou tard les unes les autres en une pyramide dont la forme figure précisément la possibilité des additions secondaires (Chap. IV, tabl. 1), tandis qu’une série de relations asymétriques constitue un simple déplacement rectiligne sans séries réciproques. Ce n’est qu’en extrayant d’une suite de relations asymétriques un système de relations symétriques (Rem. IV) que l’on peut grouper celles-ci en un système d’additions secondaires. Mais comme telles, les relations asymétriques ignorent toute composition secondaire.

Par exemple, dans les suites dont il a été question dans les propositions (1) à (9), il est clair que l’on ne saurait retrouver de relations d’ordre a, b, c… etc. dans les relations secondai-

res a’, b’, c’… etc. puisque la relation a se définit par l’inégalité

a a’

(A → B) et la relation a’ par (B → C), etc. Même si, en se référant aux notations de la Section 2 (prop. 10-11), nous posons a = a₁ ; a’ = a₂ ; b’ = a₃ ; …etc., il va de soi que nous ne pouvons pas intervertir l’ordre et poser a = a’₂… etc. puisque les

relations a et a’ ne sont pas vicariantes. Supposons maintenant

a a’

que nous segmentions les relations A → B ; B → C, etc. en introduisant de nouveaux termes entre B et C, entre C et D, etc. : cela ne signifiera pas que nous retrouvions en a’ de nouvelles relations d’ordre a, ni en b’ des a et des b, etc., mais simplement que nous distribuons autrement le contenu de ces relations, c’est-à-dire que nous les définissons différemment.

On peut exprimer la même opposition de la manière suivante. Dans une suite de classes quelconque, on peut choisir n’importe quelle classe de départ et aboutir à la même classe totale : c’est précisément cette possibilité qui explique l’existence des groupements réciproques secon-

daires. Au contraire, dans une série de relations asymétriques, je puis bien reconstruire une suite en partant d’une relation a₂ ou a₃ qui serait la relation a’, ou b’, primitive, mais alors la relation a₁ initiale n’est plus englobée nulle part, et l’on n’aboutit pas à la même série totale (voir également Chap. III, Rem. IV-V).

La chose est encore plus claire, enfin, si on l’exprime en termes de compréhension. Les classes d’une suite hiérarchique quelconque sont, en effet, de compréhension inversement proportionnelle à leur extension, parce que B, comparé à A et A’ ne comprend pas les caractères propres à A et A’, tandis que ces classes comprennent tous les caractères de B

plus les leurs respectivement. Au contraire, les caractères qui

b

définissent la série (A → C) comprennent nécessairement

a’ a

aussi ceux de la relation (B → C) et de la relation (A → B), la compréhension étant ainsi proportionnelle à l’extension. La vraie opposition entre une hiérarchie de classes et une série de relations tient donc aux rapports du tout et de ses composants, rapports de simple inclusion dans le cas des classes et de connexion mutuelle dans celui des relations.

Remarque IV. Le passage de l’addition simple des relations asymétriques à l’addition secondaire des relations symétriques. — Nous venons de voir (Rem. III) qu’il n’est pas possible de tirer sans plus d’une série quelconque d’additions de relations asymétriques une suite d’additions secondaires, puisque les relations asymétriques sont linéaires et que les groupements réciproques de l’addition secondaire supposent une pyramide hiérarchique. Mais le problème est autre si l’on demande à quelles conditions on peut extraire d’une suite de relations asymétriques les relations symétriques correspondantes, et nous allons voir maintenant qu’une telle correspondance existe réellement et qu’elle engendre dès lors un système d’additions secondaires : les relations symétriques nous apparaîtront ainsi par rapport aux suites asymétriques ce que sont les suites secondaires de classes par rapport à la série initiale (voir Chap. IV, Rem. II).

Nous avons vu, en effet (Chap. IV, Rem. II), que les relations symétriques sont des « relations » de clas-ses. Or, si l’on peut traduire, comme on vient de le faire

Rem. II), une suite de relations asymétriques en un système de « classes de termes de relation », on doit par cela même pouvoir tirer de ces classes un système de relations symétriques.

De plus, et indépendamment même de telles classes, il est un théorème, bien connu des logisticiens, dont l’emploi peut permettre d’effectuer directement la dérivation des relations asymétriques en relations symétriques. On sait qu’une relation co-univoque (par exemple : ↑ a = fils d’un même père)

multipliée par sa converse ( ↓ a = père) engendre une relation

a

symétrique et transitive (↔ = co-fils)₁. Soit (A ↑ a B) × (B ↓ a C)

a

= (A ↔ C). Il suffit donc, dans une suite de relations asymé-

triques quelconques, telle que celle de la Remarque II (A₁ < A₂ < A₃ < A₄… etc.), d’introduire un nombre indéfini de termes nouveaux obéissant aux conditions posées dans cette suite, celle-ci cessant donc seulement d’être « connexe », puis de multiplier chaque relation asymétrique par sa converse, pour qu’en fonction de chaque intervalle de A₁ à A₂, de A₂ à A₃… etc., l’ensemble des termes en présence soutiennent entre eux un système de relations symétriques bien déterminées, susceptibles d’additions secondaires.

Soit une suite de termes N₁, N₂, N₃… etc. sériés par ordre

a

de grandeurs (N₁ → N₂ = N₁ est plus petit que N₂), donc

a a’ b’

N₁ → N₂ → N₃ → N₄… etc. Le principe même qui a permis de tirer de cette suite un système de classes (Rem. II) nous autorise également à introduire la notion d’« intervalles » et à situer dans ces intervalles un nombre indéfini d’autres termes. Nous appellerons ainsi « intervalle » de N₁ ou intervalle a la différence comprise entre N₁ inclusivement et N₂ exclusivement ; « intervalle » de N₂ ou intervalle a’ la différence comprise entre N₂ inclusivement et N₃ exclusivement ; … etc. D’où, si les signes marquent ces intervalles, la série :

a a’ b’ c’ d’

|N₁ → | N₂ → |N₃ → |N₄ → |N₅ → |…etc.

Admettons maintenant l’existence d’ensembles de termes nouveaux situés dans les intervalles a, a’, b’ … etc. Par définition les termes situés dans l’intervalle a seront donc

« plus petits que N₂ » et égaux à N₁ ou appartenant au même intervalle que lui ; … etc. On a donc la série de classes suivantes (cf. Rem. II) :

Classe A = les termes situés dans l’intervalle a, donc plus petits que N₂.

Classe A’ (= B — A) = les termes situés dans l’intervalle a’, donc plus petits que N₃ et plus grands que les A (y compris N₂⁾.

Classe B (= A + A’) = les termes plus petits que N₃, donc compris entre N₁ inclusivement et N₃ exclusivement.

Classe B’ (= C — B) = les termes situés dans l’intervalle b’ (y compris N₃).

…etc.

a

Par rapport à ces termes, chaque relation asymétrique →

b a’

(« plus petit que N₂ »), → (« plus petit que N₃ »), → (« plus petit

petit que N₃ mais non pas plus petit que N₂ ») etc. devient ainsi co-univoque. Il suffit donc de multiplier ces relations co-univoques par leurs converses pour engendrer les relations symétriques suivantes, lesquelles peuvent également être déduites sans plus des classes précédentes, à titre de « relations de classes » (voir Rem. II et voir voir Chap. IV, Rem. II) :

a a a

(X → N₂) × (Y ← N₂) = X ↔ Y = « X et Y appartiennent à

la même classe A » ou « sont compris dans le même

intervalle a ».

b b b

(X → N₃) × (Y ← N₃) = (X ↔ Y) = « X appartient à la même classe B que Y » ou « X est compris dans le même intervalle b que Y ».

c c c

(X ↔ N₄) × (Y ← N₄) = (X ↔ Y) = « X appartient à la même classe C que Y » ou « X est compris dans le même intervalle c que Y ».

…etc.

D’autre part, il suffit de soustraire chacune de ces relations symétriques primaires de la suivante pour obtenir les relations symétriques secondaires, qui ne sont pas transitives. En effet, X et Y peuvent être unis par la

b a

relation ↔ mais non pas par la relation ↔, c’est-à-dire que X

sera situé dans l’intervalle a (la classe A) et Y dans l’intervalle

a’

a’ (la classe A’) ou l’inverse ; d’où la relation ↔ et, d’une manière générale :

a’

(b — a) = (X ↔ Y) = « X appartient à une classe A et Y à la classe A’ correspondante » ou « X est compris dans un intervalle a et Y dans l’intervalle a’ correspondant ».

b’

(c — b) = (X ↔ Y) = « X appartient à une classe B (ou est compris dans un intervalle b) et Y à la classe B’ correspondante (ou est compris dans l’intervalle b’ correspondant) ».

c’

(d — c) = (X ↔ Y) = …etc.

De même que les suites secondaires de classes étudiées au Chapitre IV constituent les groupements réciproques de celui de l’addition simple des classes (Chap. III) ; de même les compositions auxquelles nous allons soumettre ces relations symétriques (primaires et secondaires) au cours du Chapitre suivant, représentent les groupements réciproques de celui de l’addition des relations asymétriques.

Il convient seulement de noter, pour conclure, que cette dérivation des relations symétriques à partir de relations asymétriques rendues co-univoques peut n’être pas aussi simple que dans l’exemple choisi des inégalités de taille ou de poids. Cet exemple représente, en effet, l’un seulement des deux types extrêmes entre lesquels s’échelonnent les diverses possibilités₁ : celui dans lequel chaque intervalle élémentaire a, a’, b’, c’… etc. demeure indivisé et ne représente ainsi qu’un seul intervalle d’ordre a, soit a = a₁ ; a’ = a₂ ; b’ = a₃ (= b₃) ; c’ = a₄ (b₄ = c₄) ; …etc. Mais il va de soi qu’à l’autre extrémité, on trouve un type de dérivation tel qu’une relation asymétrique rendue co-univoque et multipliée par sa converse engendre des relations symétriques selon un jeu d’intervalles qui comporte toutes les hiérarchies possibles d’un système complet d’additions secondaires. Par exemple, si la relation asymétrique « fils » multipliée par sa converse « père » n’en-

gendre qu’une relation symétrique correspondant à un seul

a’

intervalle ↔ = fils du même père, par contre les petits-fils du même grand-père supposent déjà la possibilité de

plusieurs classes différentes de frères, soit plusieurs rela-

a a’

tions ↔ et plusieurs relations ↔ (cousins germains) … etc.

Entre ces deux formes extrêmes, on peut concevoir tous les intermédiaires, puisqu’il est toujours possible de réunir les intervalles simples en classes de complexités diverses. Par exemple, la série asymétrique des moments successifs du temps peut donner lieu à un système de relations symétriques bien déterminées et fondées sur la notion de synchronisme. Si les intervalles sont rapportés à une unité itérable comme l’heure ou l’année, la division est alors de nature mathématique et ne nous intéresse pas ici. Mais si l’unité demeure qualitative, comme dans la classification des périodes

géologiques ou stratigraphiques, on retrouve un système de

a

relations symétrique d’ordre logique, telles que ↔ = apparte-

b c

nant au même « niveau » ↔ = à la même « période » ↔ = à la même « ère », etc., de complexité intermédiaire entre celle des relations symétriques que nous avons extraites de la série (N₁ < N₂ < N₃…) et celle des relations symétriques d’ordre généalogique.

Nous voici donc en mesure d’étudier ces divers types de composition à titre de groupements réciproques de celui des additions de relations asymétriques.