Chapitre V.
Le groupement de la multiplication bi-univoque des classes (Groupement III) ^a 🔗

Les opérations étudiées jusqu’ici sont d’ordre additif, c’est-à-dire qu’elles réunissent en emboîtements successifs des termes juxtaposés et que, en cas d’intersection ou d’identité des classes additionnées, elles se bornent à prendre acte de leurs emboîtements déjà réalisés : (A + A’ = B) et (A + B = B). Mais, si A et A’ font ainsi partie de B, les termes contenus en A appartiennent donc à deux classes à la fois A et B ; puis à trois (A, B et C) si (B + B’ = C) ; … etc. D’où un second type d’opérations, la « multiplication des classes », que l’on a coutume de définir simplement comme déterminant la plus grande classe contenue à la fois dans les deux ou les n classes multipliées entre elles. Dans le cas particulier, on a A × B = AB (= A) ; A × C = AC (= A) ; AB × C = ABC (= A) ; … etc., ou B × C = BC (= B) ; … etc., ou A × A’ = 0 ; B × B’ = 0 ; A’ × B’ = 0 ; … etc.

Mais, de même que l’addition de deux classes, déterminant la plus petite classe qui contient ces deux classes, nous est apparue comme un cas particulier de l’opération plus générale de la sériation hiérarchique, de même la multiplication des classes, selon la définition que nous venons de rappeler, peut être conçue comme résultant d’une opération plus générale, qui serait la multiplication de deux ou plusieurs suites de classes et qui repose sur la notion de correspondance bi-univoque. Multiplier la classe B₁ (= A₁ + A’₁) par la classe C₂ (A₂ + A’₂ + B’₂)

consistera alors à établir entre les classes élémentaires de B₁ une correspondance bi-univoque définie par la structure de C₂ et entre les classes élémentaires de C₂ une correspondance bi-univoque définie par la structure de B₁. Soit :

B₁ × C₂ = (A₁ A₂+ A₁ A’₂ + A₁ B’₂) + (A’₁ A₂ + A’₁ A’₂ + A’₁ B’₂)

qui est égal à :

C₂ × B₁ = (A₂ A₁ + A₂ A’₁) + (A’₂ A₁ + A’₂ A’₁)+ (B’₂ A₁ + B’₂ A₁’)

Multiplier deux suites de classes (B₁ et C₂), c’est donc retrouver la première suite en chaque classe de la seconde et réciproquement. On voit que l’opération habituellement appelée multiplication des classes, soit A₁ × A₂ = A₁A₂ répond à cette définition élargie, puisque l’on retrouve A₁ en A₂ et réciproquement.

D’autre part, on sait que le produit de deux ensembles M et N est l’ensemble que l’on obtient en associant de toutes les manières un élément m du premier avec un élément n du second. C’est ainsi que la multiplication de deux nombres cardinaux 4 × 5 = 20 s’obtient en associant chaque unité de 4 à chaque unité de 5, d’où 20 associations. C’est ce principe de l’association des éléments de deux ensembles que nous appliquons ici à la multiplication des classes, en associant, par exemple, chaque classe de B₁ à chaque classe de C₂, ou si l’on se borne à multiplier A₁ et A₂, en les associant sans plus l’une à l’autre. Or, il est clair que d’associer les 4 unités de l’ensemble 4 à chacune des unités de l’ensemble 5 consiste à mettre en correspondance terme à terme 4 suites de 5 unités (ou 5 suites de 4) : plus précisément, les associations de l’une des unités de 4 avec les unités de 5 correspondront nécessairement terme à terme aux associations de chacune des autres unités de 4 avec les unités de 5. C’est pourquoi nous préférons partir de la notion de correspondance, quitte à la définir ultérieurement (Chap. IX, Rem. III), par la multiplication elle-même, en définissant alors celle-ci par les associations.

Il va de soi que le produit de la multiplication des classes est d’extension égale (même nombre d’individus) à celle des facteurs (des classes multiplées) si la multipli-

cation est complète, ou inférieur s’il y a simplement intersection (voir Section 2 de ce Chapitre). Seul le nombre des classes augmente par la multiplication, et cela dans des proportions définies par les combinaisons logiques elles-mêmes (par les associations).

La multiplication des classes implique donc, en plus de la sériation propre à l’addition, celle de la correspondance terme à terme. Il est clair que cette notion de correspondance, qui apparaît ainsi comme la source des opérations multiplicatives, peut être conçue indépendamment du nombre. Lorsqu’un anatomiste déclare que les ailes des Oiseaux correspondent aux pattes de devant des Mammifères, ou aux nageoires antérieures des Poissons, ou lorsqu’il retrouve l’os hyoïde des Poissons dans l’un des osselets de l’oreille interne des Mammifères, il se livre à des correspondances toutes qualitatives : il ne construit pas un nombre mais effectue une multiplication de classes. D’une manière générale, la notion de correspondance ne devient, en effet, numérique qu’à partir du moment où les termes correspondants sont considérés comme étant à la fois substituables et sériables, c’est-à-dire précisément où ils sont des nombres (voir Chap. XI) : tant que la correspondance, même univoque et réciproque, a lieu entre des termes qualitativement distincts et simplement équivalents (voir Chap. III, prop. 24 et 26) ou non-équivalents mais simplement sériables (prop. 25), la correspondance demeure d’ordre logique (voir Rem. II). Toute discipline « comparée » est une utilisation de ce genre d’opérations de multiplication par correspondance logique (de classes ou de relations). On pourrait presque dire que, si la zoologie et la botanique systématiques sont des sciences de l’addition des classes et des relations, l’anatomie comparée est une science de la multiplication logique. Bien plus, les opérations dont nous allons étudier maintenant le groupement interviennent dans toute généralisation qui n’est pas simplement une extension à une dimension (l’application d’une même classe ou d’une même relation à des objets nouveaux), mais une combinaison à deux ou plusieurs dimensions (précisément par mise en correspondance).

Soit, par exemple, à multiplier une classe E₁ définie par les pièces du squelette à comparer d’un groupe zoologique à l’autre : A₁ = le crâne ; A’₁ = la colonne vertébrale ; B’₁ = les membres antérieurs ; C’₁ = les membres

postérieurs ; D’₁ la cage thoracique, le bassin, etc. ; et E₂ une classe définie par les organes squelettiques de : A₂ = des Poissons ; A’₂ = des Batraciens ; B’₂ des Reptiles ; C’₂ des Oiseaux et D’₂ = des Mammifères. On a donc :

A₁A₂ + A₁A’₂ +A₁B’₂ + A₁C’₂ + A₁D’₂

A’₁A₂ + A’₁A’₂ + A’₁B’₂ + A’₁C’₂ + A’₁D’₂

(1) E₁ × E₂ =  B’₁A₂ + B’₁A’₂ + B’₁B’₂ + B’₁C’₂ + B’₁D’₂

C’₁A₂ + C’₁A’₂ + C’₁B’₂ + C’₁C’₂+ C’₁D’₂

D’₁A₂ + D’₁A’₂ + D’₁B’₂ + D’₁C’₂ + D’₁D’₂

Cela étant, on peut effectuer les compositions suivantes. En premier lieu, on peut continuer à multiplier les mêmes classes par d’autres facteurs encore. Supposons, par exemple, que nous introduisions en plus des facteurs précédents, une classification géologique et répartissions les ossements en E₃ (soit A₃ primaires ; A’₃ secondaires ; B’₃ tertiaires ; C’₃ quaternaires et D’₃ contemporains), nous pourrons alors écrire E₁E₂ × E₃ = E₁E₂E₃ et retrouver ainsi chacune des classes de E₃ en chacune des classes du tableau précédent.

La forme générale de la multiplication bi-univoque sera donc :

(2) M₁ × M₂ =A₂ (A₁ … L’₁) +A’₂ (A₁ … L’₁) +

B’₂ (A₁ … L’₁) + … + L’₂ (A₁ … L’₁)

ou M₁ × M₂ = A₁M₂ + A’₁M₂ + B’₁M₂ +… + L’₁M₂

puis M₁M₂ × N₃ = A₃ (M₁M₂) + A’₃ (M₁M₂) + … + M’₃ (M₁M₂)

et M₁M₂N₃ × R₄ = A₄ (M₁M₂N₃) + A’₄ (M₁M₂N₃) + … +

Q’₄ (M₁M₂N₃)

Quant à l’opération inverse, nous l’appellerons division, ou dissociation des classes, ou encore « abstraction », et l’écrirons comme suit :

(3) B₁C₂ : C₂ = B₁ et B₁C₂ : B₁ = C₂

Cette opération consiste à dissocier C₂ de B₁C₂, c’est-à-dire à supprimer entre les classes de B₁ toute correspondance définie par C₂ ; ou à dissocier B₁ de B₁C₂, c’est-à-dire à ne plus retrouver les classes de B₁ dans celles de C₂.

Cela signifie concrètement que, si la multiplication aboutit à qualifier une classe ou une série de classes au moyen d’une autre classe ou d’une autre série de classes, la division revient au contraire à faire abstraction de telles qualifications. Si, par exemple, les Genevois (A) sont tous des Suisses (B), alors leur double qualité se marque par la multiplication A × B = AB. Mais si l’on fait abstraction de leur emboîtement dans l’ensemble des Suisses, on ne les considère qu’en tant que Genevois, soit AB : B = A ; par contre, si l’on fait abstraction des caractères définissant la classe des Genevois, rien ne les distingue des Suisses en général, d’où AB : A = B.

Il va de soi qu’ainsi définie, la division des classes n’a de sens réel que si l’on divise un produit par l’un de ses facteurs. Par contre, on peut toujours poser formellement :

(3 bis) (B₁ : C₂) = (B₁C₂ : C₂ : C₂) puisque (B₁ = B₁C₂ : C₂)

Cette opération est l’équivalent en négatif de la tautologie positive (voir 5, soit B₁ × B₁ = B₁).

(4) Composition :

(A₁A₂A₃ + A₁A’₂A₃ +A₁B’₂A₃

(B₁ × C₂ = B₁C₂) A₃ (A’₁A₂A₃ + A’₁A’₂A₃ + A’₁B’₂A₃

× (C₂ × D₃ = C₂D₃) (A₁A₂A’₃ +A₁A’₂A’₃ + A₁B’₂A’₃

A’₃ (A’₁A₂A’₃ + A’₁A’₂A’₃ + A’₁B’₂A’₃

B₁ × C₂ × D₃ = B₁C₂D₃ =  (A₁A₂B’₃+ A₁A’₂B’₃ + A₁B’₂B’₃

B’₃ (A’₁A₂B’₃ + A’₁A’₂B’₃ + A’₁B’₂B’₃

(A₁A₂C’₃ +A₁A’₂C’₃ +A₁B’₂C’₃

C’₃ (A’₁A₂C’₃ + A’₁A’₂C’₃ + A’₁B’₂C’₃

(B₁ × C₂ × D₃ = B₁C₂D₃)

× (D₃ × B₄ = D₃B₄)

A₄ | B₁C₂D₃

B₁ × C₂ × D₃ × B₄ = B₁C₂D₃B₄ =

… etc. A’₄ | B₁C₂D₃

(5) Identiques spéciales :

(B₁ × B₁ = B₁) ; (C₂ × C₂ = C₂) ; … etc. ; (A₁A₂ × A₁A₂ = A₁A₂)… etc.

Quant à la résorption, si l’on multiplie une classe donnée par, une de ses parties, d’extension inférieure, soit B₁B₂ par A₁A₂, les seuls éléments communs à ces deux classes étant A₁A₂, il ne saurait alors y avoir de résorption de la

partie dans le tout : il y a au contraire « absorption » de la classe totale dans la classe partielle :

(6) A₁A₂ × B₁B₂ = A₁A₂   ou   B₁B₂ × B₁C₂ = B₁B₂ ; …etc

En effet (A₁A₂ × B₁B₂) = [A₁A₂ × (A₁A₂ + A’₁A₂)] = [A₁A₂ + 0]
puisque (A₁A₂ × A’₁A₂) = 0 et que A₁A₂ × A₁A₂ = A₁A₂

Par contre, si l’on multiplie B₁C₂D₃ par B₁C₂, les deux termes étant de même extension, il y a simplement tautologie ₁ :

(6 bis) B₁C₂D₃ × B₁C₂ = B₁C₂D₃ puisque B₁C₂ × D₃ = B₁C₂D₃

On peut également considérer l’absorption commune équivalente à une soustraction (voir 9 bis).

(7) Identique générale :

A₁ : A₁= Z ; B₂ : B₂ = Z ; A₁B₂ : A₁B₂ = Z ; etc.

et Z × Z = Z

où Z = la classe la plus générale du système envisagé. En pratique Z = l’Univers du Discours conçu comme une classe positive et non nulle plus générale que toute autre classe arbitrairement désignée.

En effet abstraire une classe d’elle-même (A : A) revient à faire abstraction de cet emboîtement particulier et comme toute classe fait partie de Z et que l’on a ainsi A₁ = ZA₁, diviser A₁ par A₁ revient à l’opération ZA₁ : A₁ = Z.

(8) Associativité :

(a) B₁ × C₂ = B₁C₂ (a) B₁ × C₂ = B₁C₂

(b) B₁C₂ × D₃ = B₁C₂D₃ (bc) B₁C₂ × D₃ : D₃ × B₁C₂D₃ =

B₁C₂D₃ × B₁C₂

(ab) B₁ × C₂ × D₃ =B₁C₂D₃

(c) B₁C₂D₃ : D₃ = B₁C₂ a(bc) B₁C₂D₃ = B₁C₂D₃

(ab)c B₁C₂D₃ = B₁C₂D₃

Il est naturellement toujours possible, en outre, lorsque le produit de deux classes ou de plusieurs est nul, c’est-à-dire lorsqu’ils n’ont pas d’éléments communs, de multi-

plier ces classes par leur somme, le produit étant alors positif.

Ce procédé permet de multiplier un ensemble quelconque B₁B₂ (voir tableau 1) par des classes adjacentes B’₁ ou B’₂, à condition de les additionner préalablement à B₁ ou B₂. Soit :

(9) (B₁ + B’₁ = C₁) × B₂ = C₁B₂

ou B₁ × (B₂ + B’₂ = C₂) = B₁C₂

De ce point de vue, l’absorption (6) peut être considérée comme formée des soustractions suivantes :

(9 bis) [A₁A₂ × B₁B₂ = A₁A₂] = [(B₁ — A’₁) × (B₂ — A’₂) = A₁A₂

Si maintenant on multiplie un segment de la suite de classes E₂ (voir 1) tel que (B’₂ + C’₂) par un segment de la suite E₁ tel que (C’₁ + D’₁), on trouve :

(10) (B’₂ + C’₂) × (C’₁ + D’₁) = (D2E₁ — B₂E₁ — C₁E₂) =

(C’₁B’₂ + C’₁C’₂ + D’₁B’₂ + D’₁C’₂)

c’est-à-dire les éléments qui résultent de l’intersection de la colonne verticale (B’₂ + C’₂) avec les rangées horizontales (C’₁ + D’₁).

De même, si l’on multiplie une seule classe, telle que A’₂ par un autre terme unique tel que B’₁, on trouve B’₁ A’₂ parce que :

(11) (A’₂ × B’₁) = (B₂C₁ — A₃C₁ — B₁B₂) = (B’₁A’₂)

ou A₁ × A₂ = B₁B₂ — A’₁B₂ — B₁A’₂

Ces dernières compositions dont la forme générale peut s’écrire :

(12) M’₁M’₂ = N₁N₂ — L₁N₂ — L₂N₁

et           M₁ × M₂ = N₁N₂ — M’₁N₂ — N₁M’₂

sont importantes puisqu’elles définissent la multiplication incomplète, c’est-à-dire l’intersection de deux suites de classes en général (voir Sect. 2).

Les classes dont il a été question dans la Section 1 se multiplient entièrement les unes les autres, c’est-à-dire que les deux ou n suites multipliées se recouvrent dans leur totalité et ont tous leurs éléments en commun. Peut-on maintenant effectuer les mêmes opérations sur deux ou plusieurs classes quelconques, lorsque leurs éléments communs ne représentent qu’une partie de leur extension ?

Ce problème de la généralisation de la multiplication est ainsi le même, mutatis mutandis, que celui de l’addition de deux ou plusieurs classes quelconques (Chap. III, Sect. 2).

Soit deux classes A₁ et A₂ et, pour fixer les idées, soit A₁ = les Mammifères et A₂ = les Animaux aquatiques. Nous définirons A’₁ et A’₂ comme d’habitude « les B non-A », soit A’₁ = B₁ — A₁ et (A’₂ = B₂ — A₂). Seulement, comme nous avons l’intention de considérer ici A₁ et A₂ en eux-mêmes et non pas en tant que termes d’une suite donnée de classes, nous éviterons simplement de choisir B dans les emboîtements proches de A₁ et de A₂ et poserons B₁ = B₂ = l’Univers du Discours ou l’ensemble de toutes les classes actuellement construites. D’où A’₁ = les Non-Mammifères en général et A’₂ = les Non-aquatiques en général. Nous aurons ainsi A₁A₂ =les Mammifères aquatiques ; A₁A’₂ = les Mammifères non-aquatiques ; A’₁A₂ = les êtres aquatiques non-Mammifères et A’₁A’₂ = les êtres non-aquatiques non-Mammifères. On peut donc écrire :

(20) A₁ × A₂ = A₁A₂ et A₁ × A’₂ = A₁A’₂

A’₁ × A₂ = A’₁A₂ A’₁ × A’₂ = A’₁A’₂

Or, si limitée que soit l’intersection A^lA₂ on peut, à l’intérieur, même de cette zone commune, effectuer une suite d’intersections successives, qui se groupent de la manière suivante :

(21) (A₁ × A₂ =A₁A₂) (A₁A₂ :A₁ =A₂)

× (A₁ × A,= A₁A₃)  × (A₁A₂ A₃ : A₃ = A₁A₂)

A₁ × A₂ × A₃ = A₁A₂A₃ A₁A₂ × A₁A₂A₃ . A₁ : A₃ =A₂ × A₁A₂

 = (A₁A₂ × A₁A₂ A₃ = A₂ × A₁ × A₃ × A₁A₂)

(A₁ × A₂ = A₁A₂)  = (A₁A₂ A₃ = A₁ × A₂ × A₃)

× (A₁A₂ A₃ : A₃ = A₁A₂)

A₁A₂ A₃ = A₁A₂ × A₃

       …etc.

et sont associatives :

(22) (A₁ × A₂ = A₁A₂) A₁ × A₂ = A₁A₂

(A₂ × A₃ = A₂A₃)  × (A₂ × A₃ = A₂ A₃) × (A₃ × A₄ = A₃A₄)

 =   = A₂A₃A₄

                   A₁A₂ A₃

 × (A₃ × A₄ = A₃A₄) (A₁A₂) × (A₂A₃A₄) = A₁A₂A₃A₄

A₁A₂A₃ × A₃A₄ = A₁A₂A₃A₄

Quant aux inverses, elles consistent donc à retourner des classes de moindre extension aux classes qui les englobent, puisque la division ou abstraction des classes consiste en général à dissocier les uns des autres, non pas des individus (comme la soustraction), mais les emboîtements que la multiplication introduit. Soit :

(23) A₁A₂A₃A₄ : A₄ = A₁A₂A₃ et A₁ : A₂ = A₁A₂ : A₂

A₁A₂A₃ : A₃ = A₁A₂

A₁A₂ : A₂ = A₁

Enfin on retrouve l’absorption :

(24) A₁A₂ × A₁A₂A₃ = A₁A₂

On voit, au total, que ces compositions diverses constituent un simple cas particulier des opérations (1) à (12). Pour traduire ces intersections sous la forme de multiplications bi-univoques entières, il suffit en effet de multi-

plier B₁, c’est-à-dire l’ensemble des classes construites actuellement mais réparties en A₁ et A’₁, par B₂, c’est-à-dire le même ensemble de toutes les classes mais réparties en A₂ et A’₂. Nous avons alors :

(25) B₁ × B₂ = A₁A₂ + A₁A’₂ + A’₁A₂ + A’₁A’₂

Et si nous multiplions B₁B₂ par B₃ nous avons :

(25 bis) B₁B₂ × B₃ = (A₁A₂A₃ + A₁A’₂A₃ + A’₁A₂A₃ + A’₁A’₂A₃)
 + (A₁A₂A’₃ + A₁A’₂A’₃ + A’₁A₂A’₃ + A’₁A’₂A’₃)

Puis B₁B₂B₃ × B₄ donnera encore le double de classes, et ainsi de suite.

Remarque III. — II est également possible de traduire cette composition des intersections sous une forme additive, en additionnant les uns aux autres ou en soustrayant les uns des autres les produits des multiplications préalables. Soit par exemple :

(26) A₁ (= E) = A₁A₂ (= D) + A₁A’₂ (= D’)

A₁A₂ (= D) = A₁A₂A₃ ( = C) + A₁A₂A’₃ (= C’)

A₁A₂A₃ (= C) = A₁A₂A₃A₄ (= B) + A₁A₂A₃A’₄ (= B’)

A₁A₂A₃A₄ (= B) = A₁A₂A₃A₄A₅ (= A) + A₁A₂A₃A₄A’₅ (= A’)

On a alors :

(26 bis) A + A’ = B ; B + B’ = C ; C + C’ = D et D + D’ = E.

Cette suite additive représente l’ensemble des classes résultant des intersections successives des classes A₁ A₂ A₃ A₄ et A₅. Ces produits étant tous emboîtés en A, il est donc possible de les composer additivement. D’une manière générale, on peut concevoir l’intersection comme résultant de l’addition des classes multipliées, avec soustraction des parties qui n’interfèrent pas. Soit :

(27) A₁ × A₂ = A₁ + A₂ — A₁A’₂ — A’₁A₂

d’où A₁ = A₁ + A₂ — A’₂ et A₂ = A₁ + A₂ — A’₁

et il suffit de poursuivre cette traduction en termes additifs pour reconstituer à nouveau le groupement entier.

Notons enfin que nous avons une fois de plus défini l’Univers du Discours en fonction de la répétition d’une opération, sans faire intervenir l’infini et en évitant ainsi les antinomies connues dues au réalisme d’un ordre de la classe de toutes les classes.

Remarque IV. La multiplication des classes et des relations, l’« éduction des corrélats » et les proportions. — On sait que le psychologue Spearman a cherché à réduire à trois les démarches essentielles de l’intelligence : l’« appréhension de l’expérience », l’« éduction des relations » et l’« éduction des corrélats », cette dernière opération constituant la caractéristique de l’invention elle-même. L’éduction des corrélats consiste à établir un double rapport sur le modèle des proportions mathématiques, tel que la relation existant entre un premier couple de termes se retrouve dans le cas d’un second couple et détermine ainsi le choix du quatrième terme. Par exemple, l’oreille est à l’ouïe comme l’oeil à la vue, ou la nourriture est à la faim comme la boisson à la soif, etc. Une telle opération est donc l’équivalent, en logique qualitative, de ce qu’est le calcul de la quatrième proportionnelle en arithmétique : 2/4 = 3/6, ou 6 = (4 × 3) : 2.

Or, il est clair, que cette « éduction des corrélats » est précisément une opération de multiplication logique de classes ou de relations. Dire que a est à a’ comme b est à b’, c’est dire que a correspond à a’ comme b à b’, et par conséquent que ces quatre termes sont les produits des multiplications suivantes. Premier cas : α = A₁A₂ ; β = A₁A’₂ ; α’ = A’₁A₂ et β’ = A’₁A’₂ (par exemple le crâne des Poissons est à leur colonne vertébrale comme le crâne des Batraciens est à leur colonne vertébrale). Deuxième cas : α [?]β et α’[?]β’, par exemple α = lundi et β = mardi ; α’ = lundi et β’= mardi ; les termes α et α’ et β et β’ étant reliés eux-mêmes par la relation α ↓a α’ où ↓a signifie « la semaine suivante ».

Cela étant, il peut être intéressant de préciser en quoi la double correspondance logique propre aux « corrélats » se distingue d’une proportion mathématique, ce qui fera comprendre dès maintenant, à propos de ce cas particulier, les différences entre la multiplication logique et la multiplication (ou division) arithmétique.

En premier lieu, une proportion mathématique est une

égalité (par exemple 2/4 = 3/6). Au contraire, les termes corrélatifs d’une double correspondance logique ne sont reliés entre eux que par une relation d’équivalence. Si A₁A₂ est à A’₁A₂ comme A₁A’₂ est à A’₁A’₂ on a (A₁A₂ + A’₁A₂) [?](A₁A’₂ + A’₁A’₂) où [?] est une équivalence du point de vue de la classe multiplicative B₁B₂ et non pas une égalité.

En second lieu, et par conséquent, il existe entre α et α’ ainsi qu’entre β et β’ un même rapport numérique, c’est-à-dire fondé sur la notion d’unité, tel que si β = n β’, alors α = n α’, dans lequel n = un nombre quelconque (pouvant être n = 1 si α = α’, ou irrationnel si le rapport est « incommensurable », etc.). C’est ainsi que, dans 2/4 = 3/6, n = 2. C’est ce facteur n qui détermine la nature de la correspondance existant entre les termes α et α’ et entre β et β’. Au contraire, dans une correspondance d’ordre logique, qu’il s’agisse de multiplication de classes ou de relations, les termes α et α’ (ou β et β’) ne peuvent être reliés par un tel rapport et sont simplement soit équivalents du point de vue de la classe qui engendre la correspondance (par exemple A₁A₂ [?] A’₁A₂), soit inclus en cette classe (si a = A₁A₂ et a’ = B₁A₂, ou l’inverse).

En troisième lieu, grâce à cette commune mesure extensive que permet l’introduction de la notion d’unité (α = n α’), on peut tirer de la proportion mathématique la relation dite « règle de trois » : αβ’ = α’β. En effet, si α’ = nα et si il existe entre α et β une relation quelconque α = m β (d’où β’ = m α’), alors β’ = m n α, d’où αβ’ = α × m n α et α’β = n α × m α, c’est-à-dire que αβ’ = α’β. Au contraire, dans une corrélation logique, si l’on réunit α et β’ on ne peut égaler cette réunion à α’ + β, sinon par équivalence qualitative au sein de la même classe multiplicative, faute de composition fondée sur la notion d’unité itérante.

En bref, la différence essentielle entre une proportion mathématique de forme α/α’ = β/β’ et une double correspondance logique de forme « α est à α’ comme β est à β’ » est que dans le premier cas les termes α et α’ et α et β sont reliés par un double rapport α’ = n α et β = m α, impliquant la notion d’unité itérante. Au contraire, si je dis : « le chat est au tigre comme le chien est au loup » je ne puis pas considérer le tigre α’ comme un chat α multiplié par un coefficient n, ni le chien comme un chat multiplié par m. Dès lors, la règle αβ’ = α’β n’a point de sens en

logique, les rapports, intervenant entre les quatre termes correspondants ne pouvant être que des rapports d’équivalence qualitative (ou d’inclusion dans le cas de α et α’ et de β et β’) et la règle de trois se réduisant ainsi à la multiplication B₁ × B₂ si α = A₁A₂ ; α’ = A’₁A₂ ; …etc. Quant à la multiplication des relations, nous verrons au Chapitre IX qu’il en est de même et que la proportion entre 4 termes s’y réduit à la « similitude qualitative » de leurs relations. En effet, si A ↓b [?]C se décompose en A ↓a [?] B et en B ↓a’ [?] C, on peut dire que ↓a’ est à ↓a comme [?] est à [?], mais on ne peut pas poser a = a’ ni b = a + a = 2a, ni a’ = na, etc., faute d’unités itérantes. La multiplication des relations ne connaît en effet que la composition des égalités comme telles, des différences (relations asymétriques) comme telles ou la réunion de deux différences en une égalité ([?] + [?] = [?]), mais elle ignore l’égalisation des différences qui serait nécessaire à la constitution de l’unité itérante [?] = [?], d’où [?]+ [?] = [?].