Chapitre premier.
Les illusions primaires et la loi des centrations relatives ^a 🔗

Les deux caractères fondamentaux des illusions primaires sont que leurs propriétés qualitatives (situations du maximum positif, du maximum négatif et de l’erreur nulle médiane, par rapport aux proportions de la figure)¹ ne varient pas avec l’âge,

1 Nous prenons donc dans ce qui suit le terme qualitatif dans un sens encore quantitatif mais relatif aux proportions de la figure.

mais que leur valeur quantitative absolue (force de l’illusion) diminue avec le développement (ou reste occasionnellement constante mais n’augmente pas avec l’âge). Un autre caractère essentiel des illusions primaires, mais allant sans doute de pair avec leur invariabilité qualitative à tout âge, est qu’elles s’observent déjà en durées très courtes de présentation (au tachistoscope), durées excluant l’intervention des mouvements oculaires et par conséquent des activités « secondaires » d’exploration, de transports, etc. On peut donc considérer ces illusions primaires comme résultant de simples « effets de champ », c’est-à-dire de l’interaction quasi-simultanée des éléments perçus ensemble en un même « champ de centration » (= le champ déterminé par une fixation du regard, avant tout déplacement sur un autre point de fixation). C’est pourquoi nous les appelons « primaires », ce qui ne préjuge en rien de leur niveau physiologique. Binet les appelait « innées », mais c’est là se référer à une hypothèse non nécessaire, car elles pourraient résulter de simples mécanismes d’équilibre (voir le chap. Il), généraux quoique non héréditaires.

Ainsi caractérisées, les illusions primaires constituent les phénomènes perceptifs les plus élémentaires dont nous aurons à nous occuper. C’est donc bien par leur examen qu’il convient de commencer notre analyse et elles soulèvent d’emblée un problème capital pour notre propos : exemples classiques du caractère déformant des enregistrements perceptifs dans le domaine de l’espace (qui constitue cependant celui des relations figurâtes les plus simples et les plus rationnelles), les illusions primaires obéissent-elles à une loi générale qui pourrait nous renseigner sur la nature de ces « déformations », peut-être consubstantielles de la perception ?

Or, chose extraordinaire, depuis plus d’un siècle qu’on étudie les illusions optico-géométriques, on ne s’est jamais appliqué à en trouver une loi commune et l’on s’est borné, jusqu’aux recherches récentes de Motokawa sur l’induction rétinienne, à une série d’explications qualitatives et disparates. En son beau Traité de psychologie, Woodworth mettait encore au défi tout psychologue de dégager au sujet de ces illusions quelque relation générale conduisant à des prévisions. Nous avons pour notre part, en demeurant sur le terrain purement relationnel, tenté de relever le défi, non pas par ambition de reprendre pour /lui-même le problème sans cesse discuté, mais par intérêt pour le problème de la déformation perceptive en général, ce qui nous a alors conduit à la recherche d’une loi.

Mais il reste d’abord à se demander pourquoi on y a si peu songé. La psychophysique a sans doute été trop ambitieuse en voulant mesurer directement les sensations, comme si elles constituaient des éléments absolus à partir duquel la reconstitution des perceptions serait possible sur le modèle de la composition atomistique. Elle s’est alors heurtée au problème des « erreurs systématiques » de tous genres (spatiales, temporelles, etc.), mais elle les a conçues simplement comme des obstacles s’opposant aux mesures absolues imaginées à titre d’idéal à poursuivre. Dans la suite, et notamment à partir de la théorie de la Gestalt, on a au contraire compris que 1’« erreur » n’était pas un obstacle gênant mais le phénomène même à étudier, non seulement parce qu’il est de règle, mais surtout parce qu’il manifeste cette sorte d’interaction immédiate dont la perception exprime l’équilibre en fonction de la totalité du champ. Mais la théorie de la forme s’est alors engagée dans une voie paradoxale en voulant expliquer par le même principe de totalité les « bonnes formes » (le cercle, le carré, etc.), dans lesquelles les déformations sont précisément minimales, et les « illusions » envisagées en tant que révélant la subordination des parties au tout. Elle n’a alors considéré les déformations qu’à ce point de vue particulier, ce qui l’a rendue trop peu ambitieuse et l’a poussée à substituer aux essais de formulation métrique une simple description qualitative (ce qui ne signifie pas, bien entendu, que les gestaltistes n’aient pas mesuré un grand nombre d’effets de déformation, mais ils n’ont tiré de ces mesures qu’une justification des « lois d’organisation » et non pas une expression mathématique des déformations systématiques propres aux structures perceptives ¹).

La méthode relationnelle nous oblige au contraire à poser (le problème de la « déformation » comme telle : pourquoi si A < B, alors B comparé à A est-il perçu comme plus grand que B isolé, soit B(A) > B ? Telle est notre question centrale. Pour la résoudre nous avons donc repris « illusion » après « illusion », en déterminant chaque fois la courbe des erreurs en tant qu’indépendante de l’âge et en cherchant, empiriquement et par tâtonnements successifs, à formuler cette courbe en une expression mathématique élémentaire par référence exclusive aux données objectives de la figure perçue². Nous avons alors essayé, toujours empiriquement, de trouver la forme commune à ces

1 Sauf, cela va de soi, en ce qui concerne les phénomènes considérés comme relevant directement du champ, tels les « after-effects » de W. Kôhler : et sauf certains travaux isolés comme ceux de E. Rausch.

2 Voir l’Introduction, sous VI.

différentes expressions et avons enfin abouti à la formulation d’une loi qui semble jusqu’ici s’appliquer assez bien aux données expérimentales. Mais cette loi n’ayant pour nous d’intérêt qu’en fonction de son explication, laquelle est donc censée fournir quelque lumière sur les raisons des déformations perceptives en général, nous avons, d’autre part, constamment cherché au cours de son élaboration à trouver un modèle explicatif susceptible de rendre compte de ces déformations et croyons l’avoir trouvé dans la direction des effets de centration dont il sera question au chap. II. C’est pourquoi nous appellerons cette expression « loi des centrations relatives », en référence à son hypothèse explicative. Mais à supposer que cette hypothèse soit fausse, la formule générale subsisterait sans doute, puisque son établissement et l’essai tenté pour l’expliquer ont été en fait indépendants, bien que naturellement la loi ait été cherchée avec l’espoir d’une explication.

Cette loi ne fournira évidemment pas le montant quantitatif absolu des erreurs, valeur non constante qui diminue avec l’âge et avec l’exercice (pas plus d’ailleurs que la loi de Weber, tout en affirmant que le seuil différentiel est proportionnel aux grandeurs comparées, ne nous indique la valeur absolue de ce seuil). Mais elle nous apprendra, dans la mesure où elle se vérifiera, la valeur quantitative relative des caractères qualitatifs de la courbe des erreurs : l’allure générale de cette courbe et la situation des maxima spatiaux ¹ positifs et négatifs ainsi que de l’illusion nulle médiane.

Le plan que nous suivrons consistera d’abord (a) à exposer la loi (§ 2) sans chercher aucune hypothèse explicative, puis (b) à la vérifier par l’expérience sur toutes les illusions primaires jusqu’ici analysées (§ 3 à 13). Après quoi seulement (chap. II § 2-4) nous chercherons (c) à en donner une interprétation probabiliste et à exposer les faits (actions de centration, maxima temporels¹, etc.) susceptibles de justifier cette interprétation elle-même (chap. II § 1 et 6). Il y a donc là trois étapes à distinguer soigneusement quant au bien fondé des arguments expérimentaux ou théoriques invoqués.

1 Nous appelons « maximum spatial » d’une illusion optico-géométrique le maximum d’illusion correspondant à certaines proportions spatiales de la figure, pour des temps égaux de présentation, et « maximum temporel » le maximum d’illusion correspondant à une certaine durée optimale de présentation, pour des proportions spatiales maintenues constantes.

Le problème particulier que nous avons cherché à résoudre par la recherche d’une loi (indépendamment du problème général énoncé au § 1) est donc d’établir pour quelles valeurs la figure utilisée donnera lieu à un maximum positif d’illusion, etc. Cette figure comportant un élément objectivement constant, dont on mesure l’estimation subjective (par exemple le grand côté d’un rectangle), et un élément que l’on fait varier pour étudier l’effet de ces variations sur l’estimation subjective du premier (par exemple le petit côté du rectangle dont les variations modifient l’estimation du grand), nous supposerons d’abord que ces éléments constants et variables peuvent toujours s’exprimer sous forme de longueurs L. Dans le cas des rectangles et des figures simplement linéaires (Oppel, etc.) cela ne fait pas de difficultés. Dans celui des cercles concentriques de Delbœuf il est également aisé de traduire les variations de la figure en termes de longueur L : diamètres des cercles et largeur de la bande qui les sépare, parce que c’est bien ainsi que le sujet semble évaluer les figures présentées. Dans le cas des angles, par contre, le problème se posera d’établir comment la perception enregistre les valeurs angulaires et il s’agira d’oublier la trigonométrie mathématique pour atteindre une trigonométrie perceptive : or, nous verrons qu’elle aussi se fonde sur des longueurs.

Cela admis, nous appellerons L₁ la plus grande des deux longueurs comparées et L₂ la plus petite. L’expérience montre alors que la valeur objective principale qui détermine les variations (subjectives) de l’illusion est, non pas simplement la différence absolue L₁-L₂, mais cette différence multipliée par L₂et divisée par un produit que nous appellerons provisoirement la suface S, et qui est fonction de L₁ et de L₂ à la fois. Cette première constatation montre d’emblée que si la différence L₁ — L₂ joue un rôle essentiel dans les surestimations et sous- estimations subjectives, c’est seulement dans la mesure où elle est mise en relation avec L₂, soif (L₁ — L₂) L₂ et où elle est rapportée par ailleurs à l’ensemble du champ des comparaisons S, soit :

₍₁₎ (L ₁ -L ₂ )L ₈

S

Mais cette expression (1), quoique correspondant au facteur le plus important de l’illusion, ne suffit pas toujours à lui seul

et il faut y ajouter un facteur régulateur, qui n’intervient d’ailleurs pas dans les cas généraux (auxquels cas il est de valeur 1), mais qui est nécessaire pour rendre compte des effets de certaines configurations. Ce facteur comprend les trois éléments suivants : (1) Le nombre n des comparaisons distinctes entre (L₁— L₂) et L₂, nombre qui est de 1 si L₂ est comparé à un seul L₁, mais qui est de n = 2 si L₁ est inséré entre deux segments L₂ ; etc. (2) La longueur maximale L_mnx de la figure, car autre chose est de comparer un L₁ à un L₂ perpendiculaire, comme dans le cas du rectangle (auquel cas L_max = Lι) et autre chose est de comparer un L₁ à un L₂ qui le prolonge (auquel cas L_max = L₁+L₂). (3) Cette longueur maximale ne saurait elle-même intervenir sous une forme absolue, puisque jusqu’ici tout est relatif dans les valeurs considérées : elle se présentera donc au sein d’un rapport dont l’autre terme sera la longueur de référence L (où L — L₁ ou L₂). Le second facteur à considérer sera donc au total :

nL

<²> —  ^lumax

Si nous appelons P la valeur quantitative relative de l’illusion (P se définissant donc comme une « transformation non compensée » ou « déformation »), l’expression complète de la loi sera :

(Lj — L₂) L₂ ∏L ∏L(L₁ — L₂) L₂

(3) p = × =

S L _max SL _max

où :

P = la déformation (surestimation ou sous-estimation) mesurée sur l’une des longueurs de la figure, maintenue constante et choisie comme unité.

(P est positif si l’élément constant est L_i et négatif si cet élément est L₂).

L_i = la plus grande des deux longueurs comparées (par exemple le grand côté du rectangle, la hauteur ¹ de l’angle aigu, etc.).

L₂ = la plus petite des deux longueurs comparées.

1 Nous appellerons hauteur d’un angle (pour les besoins de la description perceptive) la longueur de la bissectrice lorsque cette dernière est placée verticalement et que les côtés de l’angle sont égaux (la bissectrice et la ligne d’ouverture, qui lui est alors perpendiculaire, demeurant toutes deux virtuelles).

^max= la plus grande longueur de la figure (par exemple L_maι⁼ Li ou L₁ + L₂ ou, si L₁ est inséré entre deux L₂, ^1 + 2 L₂ , etC.)

S = la surface du champ des comparaisons entre L₁ et L₂. Si L₁ et L₂ sont les deux côtés d’un rectangle, on aura S = L₁ L₂. Si la figure est linéaire, l’expérience montre que la surface à considérer est S = (L_max)², ce qui semble arbitraire. Mais comme nous le verrons au chap. Il, la surface choisie correspond alors (comme dans tous les cas) à l’ensemble des couplages possibles entre les segments de L₁ et ceux de L₂ : par exemple (L₁+L₂)² = £2 + L² + 2L_χL₂ = l’ensemble des couplages provenant du rabattement de L₁ sur L₂ et de L₂ sur L₁. Cette remarque anticipée montre d’emblée que S n’est en réalité pas une surface, mais l’ensemble du champ des comparaisons entre L₁ et L₂.

n = le nombre des comparaisons distinctes entre L₁ et L₂. Par exemple, dans la ligne hachurée d’Oppel-Kundt, L_x = la longueur totale, L₂ = celle d’un intervalle entre deux hachures et n = le nombre des L₂. Dans les cercles concentriques de Del- bœuf, L_x = le diamètre du cercle intérieur, L₂ = la largeur de la bande entre les deux cercles et n = 2 puisque L₁ est comparé à L₂ sur la gauche et la droite.

L = la longueur de référence considérée. La présence de L dans la formulation de la loi est nécessaire pour qu’il y ait autant de longueurs au numérateur et au dénominateur (n n’étant qu’un coefficient numérique). Sans cette précaution nous aurions deux longueurs au numérateur et trois au dénominateur, d’où il résulterait que la formule exprimerait 1’« inverse d’une longueur » ¹ et perdrait ainsi la valeur de simple relation entre longueurs qu’il s’agit de lui conférer.

Ainsi conçue la loi proposée exprime donc un rapport entre longueurs et non pas une longueur absolue ou l’inverse d’une longueur. En tant que rapport, l’illusion P est donc proportionnelle aux longueurs en jeu et implique ainsi la loi de Weber.

Cela dit, nous proposons donc cette formulation de la loi des illusions primaires à titre d’hypothèse et allons chercher à la vérifier à propos des différents types d’illusions optico- géométriques diminuant avec l’âge, en la confrontant dans

1 Au sens mathématique du terme, c’est-à-dire que si l’on multipliait l’unité par 10 (soit Lx = 10 au lieu de 1), le rapport total P serait 10 fols moins élevé au lieu de demeurer constant.

chaque cas aux données expérimentales que nous avons pu recueillir après avoir fait varier les proportions de la figure.

Soit un rectangle de côté constant B, dont on fait varier le côté A de la plus petite largeur représentable par le dessin jusqu’à A = B et au-delà (A > B). En ces cas, le côté B est surestimé lorsque B > A et sous-estimé lorsque B < A. On voit d’emblée que l’illusion nulle médiane correspondra à B = A, c’est-à-dire aux côtés d’un carré. Soit dit en passant, nous ne dirons pas alors, avec la théorie de la Gestalt, que les côtés du carré sont jugés équivalents parce que le carré est une « bonne forme » : nous dirons que les déformations B(A) > B et B(A) < B) se compensent en ce cas exactement ¹, ce qui produit une « bonne forme ». Cela dit, il reste en toutes les autres situations que le grand côté est surestimé et le petit sous-estimé, ce qui soulève deux questions de maximum.

Théoriquement, la loi des centrations relatives donne pour un rectangle dont un côté A varie entre A = 0, A = B et A > B (l’autre côté B étant constant et égal à 1) l’expression suivante :

1B(B— A)A B— A

(4) P = — — = si B > A

^{v ,} AB X B B

où B = L₁ = L_max et A = L₂

En ce cas la courbe des erreurs positives consiste en une droite et son maximum est situé à A = 0,

Quant aux erreurs négatives sur B (si B < A), on aura :

1 A (A— B) B A— B „

^v AB X A A

où A = L₁ = L_m&x et B = L₂

La courbe des erreurs négatives (B restant constant et égal à 1 tandis que A augmente de valeur) est alors une hyperbole équilatère, de telle sorte que l’erreur ne croît pas indéfiniment

1 Car les déformations restent possibles en cas de fixation obligée sur l’un des côtés mais ces déformations momentanées s’annulent les unes les autres si l’on a B = A objectivement.

Les Mécanismes perceptifs 3

comme en positif, mais tend vers une droite au fur et à mesure de l’allongement de A.

Pour vérifier ces hypothèses, nous avons fait les recherches suivantes avec Marianne Denis-Prinzhorn (Rech. XVI). Il s’agissait en premier lieu de confronter la forme de la courbe théorique (droite en positif et hyperbolique en négatif) avec celle de la courbe expérimentale : pour ce faire, nous avons cherché à savoir si la répartition des erreurs était effectivement symétrique en positif et asymétrique en négatif, à partir d’erreurs arbitrairement choisies dans les deux régions + et — de la courbe. Dans la première série d’épreuves (surestimation de B), nous avons présenté deux étalons, I = 6X2,5 cm et II = 6X1,5 cm et une série de variables de 5 = 4,5 à 7,5 et A = 2 cm. Dans la seconde série (sous-estimation de 4), les deux étalons ont été de III = 7,5X2 cm et IV = 4,5X2 cm et les variables de A = 1,6 à 2,4 cm et B = 6 cm. La question était de comparer les premières variables à I puis à II avec estimation du grand côté B et de comparer les secondes variables à III puis à IV avec jugement sur le petit côté A. Les résultats ont été (pour 41 sujets) :

Tabl. 1. Comparaisoni de rectangles du point de vue du grand côté (L₁) ou du petit (L_i) :

Ages

5-7 ans (Ordre I-IV)

5 ans (Ordre IV-I)

9-11 ans

Adultes

Moyennes

I(i_j)

— 7,41

— 6,98

— 6,25

— 3,33

— 6,0

II (L₁)

+ 9,26

+ 7,82

+ 6,00

+ 2,82

+ 6,4

III (LP

— 3,61

— 5,47

— 4,00

— 2,62

— 3,9

IV (L_t)

+ 6,67

+ 8,44

+ 4,91

+ 4,12

+ 6,0

Les signes + et — ne signifient pas ici (contrairement à la règle) des erreurs positives ou négatives (par rapport à 0), mais des surestimations ou sous-estimations par rapport au rectangle étalon présenté, lequel comporte aussi lui-même, soit une erreur positive sur le grand côté L₁ (I et II) soit une erreur négative sur le petit L₂ (III et IV). Or, ces étalons étant répartis de façon symétrique deux à deux, du point de vue des valeurs objectives, on voit alors que cette symétrie se retrouve dans les estimations subjectives sur le grand côté (— 6,0 et 6,4), mais

1 Erreurs systématiques en % de l’étalon.

que les erreurs sur le petit côté sont asymétriques : l’erreur sur IV (4,5X2 cm) est de + 6,0, c’est-à-dire éloignée de 6 % du point médian objectif en IV et III, tandis que l’erreur sur III est presque partout sensiblement plus faible par rapport à ce médian entre IV et III, parce que située en un point où la courbe s’incurve dans la direction de l’asymptote (voir la fig. i).

Cette première expérience contrôlant ainsi l’allure générale de la courbe ¹, il s’agissait ensuite et surtout de vérifier que le maximum positif se trouve bien situé pour la plus petite largeur L₂ figurale du rectangle.

Une seconde expérience a alors consisté à faire comparer une simple droite de 6 cm (qui est un rectangle très mince, puisqu’une droite figurée par le dessin comporte une largeur) au côté inférieur d’un carré de 36 cm² (puisque le carré correspond sur la courbe théorique à l’illusion nulle médiane, située entre

1 Ainsi que le caractère « primaire » de l’illusion, qui diminue effectivement avec l’âge.

B > A et B > A). Sur 25 adultes, les résultats ont été les suivants :

Tabl. 2. Comparaison d’une droite (=rectangle allongé) au côté d’un carré :

Un troisième contrôle a consisté à faire comparer par les 25 mêmes adultes les longueurs (6 cm) de rectangles de 15 ; 10 ; 5 ; 4 ; 3 ; 2 ; 1 et 0,5 mm de largeurs ainsi qu’une droite de 6 cm et de 0,3 mm d’épaisseur (trait plein).

Tabl. 3. Choix du rectangle le plus allongé subjectivement :

On voit que le maximum de surestimation de L₁ coïncide bien avec la plus petite valeur de L₂, mais à une réserve près : les espaces pleins et les espaces vides n’ayant pas la même valeur perceptive, les choix ont été plus nombreux sur 0,5 que sur 0,3 tandis que, si nous avions pu dessiner un rectangle à traits de 0,1 mm avec un intervalle vide entre eux de 0,1 mm également, il l’eût sans doute emporté » Pour calculer les illusions avec rigueur, il faudrait donc toujours défalquer l’épaisseur des traits. Dans la plupart des cas cela ne changerait rien aux résultats. Mais il faut tenir compte de ce fait dans le cas particulier, et, bien plus encore, comme nous le verrons au § 13, dans celui de l’illusion d’Oppel-Kundt.

Il resterait à parler des diagonales du rectangle, qui, lorsque l’une d’entre elles est figurée par le dessin, sont fortement dévalorisées, ce qui est en contradiction complète avec les illusions précédentes¹ (voir plus loin § 8, tableau 11). Mais ce renversement des relations en jeu lorsqu’intervient une diagonale figurée, relève d’un effet bien différent de ceux des prop. 4 et 4 bis, et

1 Puisque la surestimation du grand côté d’un rectangle et la sous- estimation de son petit côté entraînent à eux deux une sous-estimation implicite de la diagonale virtuelle.

qui constitue, en opposition avec ces derniers, l’effet générateur de l’illusion des angles. C’est donc à propos de ceux-ci (§ 5, cf. les fig. 4 et 7) et à propos des parallélogrammes (§ 8) que nous en traiterons systématiquement.

La figure en question est formée au départ d’une verticale rejoignant en son milieu une horizontale de même longueur. Elle comporte deux sortes de facteurs déformants, l’un de verticalité opposée à l’horizontalité et l’autre de surestimation de la droite divisante sous l’effet de son inégalité avec chacun des deux segments de la droite divisée. Le facteur de verticalité ne nous intéresse pas ici, car il relève des illusions « secondaires » et nous le retrouverons à ce propos (chap. III, § 3). Mais il n’est pas prépondérant dans la plupart des variations de cette figure, sauf lorsqu’elle est transformée en équerre (L) : c’est donc à tort que l’on baptise souvent la figure en T « illusion verticale-horizontale », car lorsqu’elle est disposée en ├ c’est ordinairement l’horizontale qui est surestimée sous l’influence du deuxième des facteurs indiqués.

, C’est donc ce deuxième facteur que nous étudierons exclusivement ici. Nous le baptiserons effet de « semi-rectangle ». Son analyse ne semble d’ailleurs pas intéressante sous sa forme générale (du moins ne l’avons-nous pas tentée, bien qu’on puisse toujours découvrir de l’inattendu…) : la comparaison d’une droite A avec une droite plus longue B formant avec la première un angle de 90° ne provoque sans doute qu’un effet affaibli de rectangle. Mais l’originalité de la figure en T est que les deux droites en présence sont égales et que leurs variations consistent simplement en déplacements selon toutes les combinaisons possibles (pourvu que ces droites demeurent perpendiculaires) : voir la fig. 2.

Le problème est alors comme d’habitude de déterminer la position des maxima et des illusions nulles médianes s’il en existe.

Appelons dans ce qui suit¹ A la ligne divisée (qu’elle soit horizontale comme en 2-4 et 10-12 sur la fig. 2 ou verticale comme en 6-8 et 14-16) et B la ligne divisante (verticale ou horizontale). Appelons, d’autre part, A,₁ et A,₂ les deux segments, égaux ou inégaux, de la ligne divisée, soit A,₁+A,₂ = A. On a alors pour chacun de ces deux segments, un effet de dévalorisation provenant de ce que chacun d’eux forme avec la droite B un semi-rectangle dont il constitue le petit côté (le grand côté étant donc B lui-même). Si nous appelons P_x et P₂ces deux effets correspondant à A’₁ et A’₂, on aura donc, en calculant la surestimation de B, la formule suivante, directement tirée de la prop. 4 (§ 3), mais en prenant naturellement comme surface S celle de l’ensemble de la figure ² :

(B— A’₁) A’₁×B

(5) P₁ = = A’₂A’₁

ABXB

(B— A’-) A,₂×B

et P., = — = A’₁ A’.,

ABXB

Les valeurs de P₁ et de P₂ sont alors toujours identiques pour un A^’₁ et un A’₂ complémentaires³.

Les figures dont nous nous sommes servi avec A. Morf ont A = B = 5 cm et A,₁ = de 0 à 50 mm (par 5 mm d’écart). On aura donc, pour ces figures, les valeurs théoriques suivantes, tirées de la prop. 5 et calculées en termes d’unité (5 mm = 0,1 etc.) :

A’j (entre parenthèses A’₂) :

0(50) 5(45) 10(40) 15(35) 20(30) 25(25) 30(20)35(15) 40(10) 45(5) 50(0) p₁(= P₂) :

0 0,09 0,16 0,21 0,24 0,25 0,24 0,21 0,16 0,09 0

Le maximum théorique est situé ainsi à A,₁ = A’₂ = A/2 (donc à 25) et la courbe décroît systématiquement des deux côtés. Ces onze valeurs correspondant aux positions 1 à 5 de

1 Sans nous occuper du symbolisme de la Rech. XXV11I.

2 Et étant entendu que A=B puisque leurs longueurs sont constantes et égales, et que A = B = 1.

3 En effet, si B-A∖ = A\ et si B-A∖ = A\, alors IB-A’JA’, = A∖A’₁ et (B-A’,)A’₂ = A,A∖ également.’

la fig. 2, on retrouvera ensuite la même courbe pour les positions 5 à 9, puis 9 à 13 et enfin 13 à 16 et à 1. Par contre, si l’on exprime les erreurs sur la seule verticale (jouant donc tantôt le rôle de A tantôt celui de B) on trouvera théoriquement une erreur alternativement positive (1-5 et 9-13) et négative (6-8 et 14-16), correspondant au trait plein de la figure 3.

Examinons maintenant les données de l’expérience, dont nous possédons deux groupes, les unes réunies avec A. Morf et les autres établies par T.M. Künnapas ¹ indépendamment de nous. Il convient seulement de nous rappeler que le facteur de « semi-rectangle » analysé dans la prop. 5 ne constitue que l’une des deux composantes de l’illusion, l’autre facteur étant celui de la surestimation de la verticale comme telle, facteur « secondaire » qui se combine avec le précédent sans relever comme lui de la loi des centrations relatives. Or, malgré cette combinaison de deux facteurs, tantôt cumulatifs, tantôt antagonistes suivant les positions 1 à 16 (fig. 2) les deux groupes de résultats convergent pleinement et mettent en évidence le rôle du premier facteur, que Künnapas appelle simplement surestimation de la droite divisante (B) et que nous venons de décrire comme un effet de semi-rectangle : (1) le maximum expérimental s’observe effectivement lorsque B divise A en deux parties égales (A,₁ = 4’₂) ; (2) on observe en fait une surestimation de la ligne divisante B, même lorsqu’elle est horizontale, du moins aux environs du maximum (d’autres expériences ont, il est vrai, montré le contraire, mais dans le cas de figures beaucoup plus grandes, où il est possible d’évaluer A indépendamment de B et réciproquement et où la verticalité prime alors l’effet de semi-rectangle) ; (3) il y a par contre

1 T.M. Künnapas, An analysis of the Vertical-Horizontal Illusion, J. of exp. Psych., 1955, pp. 134-140.

conflit avec la verticalité aux positions extrêmes de la courbe, où l’effet de semi-rectangle est de valeur faible ou nulle (= équerre) et où la verticalité l’emporte. Au total la courbe expérimentale correspond donc à la courbe en pointillé de la fig. 3.

Encore une remarque : la courbe de la fig. 3 (positions 2-4 et 10-12) s’obtient en faisant comparer les figures deux à deux et en demandant sur laquelle des deux on perçoit la plus grande différence entre A et B. Si l’on fait simplement comparer A a B à l’intérieur d’une seule figure, selon la technique adoptée par T.M. Künnapas, la courbe est plus rectiligne (en forme de toit et non plus de dôme), c’est-à-dire plus proche de celle des rectangles (fig. 1, partie positive) comme si le sujet n’était influencé que par l’un des deux semi-rectangles au lieu de considérer l’ensemble de la figure sans aucune centration privilégiée comme c’est le cas avec notre technique.

Une des plus classiques des illusions primaires est la surestimation des angles aigus et la sous-estimation des obtus, avec dévalorisation des côtés des premiers et surestimation des côtés des seconds. Si nous appelons médiane la perpendiculaire coupant la bissectrice en son milieu pour joindre les côtés de l’angle (dessinés égaux), nous y ajouterons une illusion de la médiane, qui consiste à la percevoir (quand elle est dessinée) comme située trop haut (= entre le milieu des côtés et le sommet de l’angle) dans le cas des angles aigus et trop bas dans celui des obtus.

Or, l’illusion complexe des angles n’est qu’une illusion des rectangles renversée, en ce sens que dans un rectangle, le petit côté est sous-estimé et le grand surestimé, tandis que le rectangle virtuel dans lequel est inscrit un angle aigu ou obtus (fig. 5 et 6) a un petit côté surestimé et un grand sous-estimé et qu’il en est déjà de même d’un simple rectangle dont on dessine sans plus une diagonale (fig. 4). Le facteur principal de l’illusion d’un rectangle de petit côté A et de grand côté B est, on s’en souvient (prop. 4), le couplage (ou relation) de différences (B— A)A. Dans le cas des angles à côtés égaux les longueurs L₁ et L₂ qui dirigent l’estimation du sujet sont (même lorsqu’elles demeurent virtuelles, c’est-à-dire ne correspondent à aucun trait dessiné) : (1) la hauteur H ou bissectrice de l’angle et (2) sa médiane M (voir la fig. 8). En effet, la grandeur de

l’angle est jugée (cette hypothèse étant naturellement à vérifier par les coïncidences des résultats expérimentaux avec les calculs fondés sur elle) sur le rapport entre la hauteur de l’angle et l’écart entre les côtés : seulement cet écart n’est pas estimé en fonction de la seule ligne d’ouverture, mais de toutes les distances entre les côtés évaluées aux différents étages de la hauteur, ce qui donne une probabilité préférentielle en faveur de l’écart moyen ou médiane M. On constate d’autre part, que, en valeurs objectives les relations entre la hauteur H et la médiane M sont H > M pour les angles aigus, H = M pour les angles droits et H < M pour les angles obtus. Ces deux circonstances d’estimation subjective préférentielle et de relations objectives conduisent donc à supposer que le facteur principal de l’illusion des angles sera le couplage¹ de différences suivant, correspondant à (B— A)A pour les rectangles :

(6) (H— M)M si H > M (angles aigus) et (M— H)H si M > H (angles obtus).

(étant entendu que, dans la composition qui suivra aux prop. 9 et 10, ce facteur 6 est à rapporter à S = HM et à L_max = la plus grande droite figurée = le côté C de l’angle. D’autre part, l’élément L égale H, maintenu constant = 1).

Seulement, et c’est en cela que l’illusion des angles est une illusion des rectangles renversée, il se trouve que, contrairement à toutes les règles habituelles, H est dévalorisé et M surestimé dans le cas des angles aigus, où le facteur de différences est cependant (H— M)M, tandis que H est surestimé et M sous- estimé dans le cas des obtus, où 1e couplage des différences est (M-H)H !

Il faut donc, avant tout, expliquer ce renversement, ce qui nous fournira par le fait même les instruments de formulation de l’illusion. Or, la solution de ce problème est fort simple, à condition de partir de l’élément commun à l’illusion des angles aigus et à celle des obtus et de comparer cet élément commun à l’illusion des rectangles. Il existe, en effet, un élément commun à la surestimation des angles aigus et à la sous-estimation des obtus : c’est la tendance (dont nous allons vérifier à l’instant l’existence) à renforcer l’inclinaison d’une oblique (fig. 4) ².

1 Nous parlons (par anticipation) d’un « couplage de différences » entre B et A pour désigner la relation (B-A)A. Cette notion donnera lieu à un développement systématique aux 5Î 2 à 4 du chap. II.

2 Ce renforcement étant défini comme la, tendance à rejoindre l’inclinaison de 45° (= diagonale du carré).

On pourrait objecter que ce renforcement de l’inclinaison est dû lui-même à un effet d’angle, ce qui empêcherait de le considérer comme une condition

Si l’on effectue alors la jonction de deux obliques selon les deux formes possibles de symétrie, on obtient (pour le même renforcement d’inclinaison) la surestimation de l’angle aigu (fig. 5) et la sous-estimation de l’obtus (fig. 6). Or, il se trouve que cette oblique de départ (fig. 4) constitue en même temps la diagonale d’un rectangle de référence (on ne peut, en effet, juger perceptivement de l’inclinaison d’une droite qu’en référence avec des verticales et des horizontales, ce qui aboutit à la constitution d’un rectangle de référence), et que, si son inclinaison est renforcée, cela aboutit par le fait même à augmenter subjectivement la largeur du rectangle de référence et à diminuer sa longueur : l’élément commun à la surestimation des angles aigus et à la sous-estimation des obtus se trouve ainsi constituer par ailleurs un effet de dévalorisation de la diagonale des rectangles, qui a pour résultat de renverser exactement l’effet habituel de surestimation de leur grand côté et de sous-estimation du petit !

En bref, avec le renforcement de l’inclinaison d’une oblique (fig. 4) nous tenons à la fois l’élément commun aux deux illusions classiques des angles (fig. 5 et 6) et le principe explicatif du renversement de l’illusion des rectangles. Il importe donc, avant tout essai de formulation de l’illusion des angles de vérifier si le renforcement de l’inclinaison d’une oblique, ou, ce qui revient par hypothèse au même, cette dévalorisation de la diagonale des rectangles existent réellement. Or, sur ces deux points, nous avons deux groupes de résultats expérimentaux à invoquer, qui semblent l’un et l’autre décisifs.

A commencer par la diagonale des rectangles, nous verrons plus loin (§ 8), à propos des parallélogrammes, qu’en mesurant ¹ la sous-estimation de leur grande diagonale en fonction de la variation de leurs angles, on trouve un maximum lorsque ces angles sont de 90", c’est-à-dire précisément dans le cas particulier où le parallélogramme est un rectangle. Il suffit donc, en un rectangle, de dessiner l’une de ses diagonales au lieu de la laisser virtuelle, pour modifier l’illusion habituelle du rectangle, car évidemment une dévalorisation de la diagonale ne peut qu’aller de pair ou avec une dévalorisation du grand côté, accompagnée ou non d’une surestimation du petit, ou avec une forte sous-estimation du petit côté, laissant ou non inchangée l’estimation du grand. La première de ces deux éventualités (dévalorisation du grand côté) serait réalisée si l’inclinaison de la diagonale sous-estimée était renforcée par rapport au grand côté du rectangle et la seconde (forte dévalorisation du petit côté) le serait si la diagonale dévalorisée était au contraire redressée. Or, c’est le premier terme de cette alternative qui se vérifie.

Sur ce point, qui est central pour le problème des angles, nous avons en effet poursuivi, avec A. Morf (Rech. XXIV), une recherche sur l’inclinaison des obliques en les insérant, soit dans un rectangle à titre de diagonales, soit entre deux verticales parallèles (et coïncidant respectivement avec les extrémités de l’oblique) qui représentent alors les deux grands côtés d’un rectangle auquel il manquerait les petits. Appelons AF un rectangle fermé de 2×5 cm sans diagonale, BF le même rectangle avec une médiane longitudinale et CF le même rectangle avec une diagonale et appelons AO, BO et CO les trois mêmes figures, mais ouvertes (sans petits côtés). On trouve alors en faisant comparer trois de ces figures (dressées) deux à deux du point de vue de la largeur du rectangle :

1 En collaboration avec Mme Tuât Vinh-Bang.

AD>

CF

AF = CF

AF<CF

AF>

BF

AF = BF

AF<BF

BF > CF

BF = CF

BF<CF

0

4

36

9

16

15

1 7

13

27

AO >

CO

AO = CO

AO < CO

|AO>

BO

AO = BO

AO < BO

1 BO > CO

BO = CO

BO < CO

0

2

38

⁷

12

21

1 1

12

27

Tλbi.. 4. Comparaison des petits côtés du rectangle avec ou sans diagonale (40 adultes) :

H est donc effectif que la largeur du rectangle avec diagonale (CF ou CO) est surestimée par rapport à celle du rectangle sans diagonale (AF ou AO) et qu’il ne s’agit pas là simplement d’un effet d’espace divisé (BF ou BO).

Les faits étant ainsi établis, il suffit alors, pour formuler l’illusion des angles, de reprendre la prop. 6 en y adjoignant l’effet du renforcement des inclinaisons (fig. 4) après avoir au préalable expliqué et formulé celui-ci.

Or, cet effet s’explique de la manière la plus directe si on le considère précisément comme un effet de diagonale des rectangles ou du moins comme un effet relatif au rectangle de référence au moyen duquel on évalue l’inclinaison. D’un tel point de vue, l’inclinaison est repérée grâce aux distances ou

lignes virtuelles dessinées en pointillé sur la fig. 7 et comportant chacune les segments A et A’ : quand A < A’, A’ est surestimé, A dévalorisé et l’oblique est donc légèrement rejetée du côté de A. Quand A > A’, c’est l’inverse et l’oblique est rejetée du côté de A’, ce qui contribue également à accentuer son inclinaison. On pourrait demander pourquoi les mêmes effets ne se produisent pas alors verticalement (tandis que nous avons raisonné sur des droites A+A’ foutes horizontales), ce qui diminuerait au contraire l’inclinaison au lieu de la renforcer : il se peut qu’il en soit aussi ainsi, mais comme les comparaisons verticales distinctes sont alors moins nombreu

ses que les comparaisons horizontales distinctes, celles-ci l’emportent. A 45°, par contre (ce qui pour deux obliques réunies comme dans la fig. 5 donnerait un angle de 90°), les deux sortes de comparaisons sont également probables et leur résultante est donc en principe nulle ¹.

1 U en résulte que la diagonale d’un carré ne donne pas d’erreurs d’inclinaison ; elle n’en est pas moins sous-estimée en tant que côté des deux angles de 45° qu’elle fait avec les côtés du carré (voir la Remarque II en fin de ce § 5).

Cela dit, il est alors facile de formuler l’effet de la fig. 7 puis de le composer multiplicativement avec celui de la prop. 6 pour en tirer la loi de l’illusion des angles. Si nous appelons B la largeur du rectangle de la fig. 7, soit B = A+A’ et H son grand côté (qui deviendra la hauteur de l’angle par réunion de deux rectangles : fig. 5), nous aurons, par application de la loi générale (prop. 3, § 1) :

H (A’— A)A H (A— A’)A*

(7) P = et P’ = — 

HBXC HBXC

où L_l = A’ (en P) ou A (en P’) ; L₂ = A ou A’ ; L_max = C (longueur de la diagonale¹) ; S = H B et ∏L = H puisque le nombre des comparaisons distinctes entre A et A’ est proportionnel à H.

Si nous calculons maintenant ces expressions en écrivant A et A’ en fractions de B (par exemple 0,1 et 0,9 ; etc.) nous trouvons alors naturellement pour (A’— A)A et (A— A,)A, toujours les mêmes valeurs relatives pour un H constant, seule la valeur de B se modifiant d’un rectangle à l’autre. Appelons donc KB l’ensemble des relations (A’— A)A et (A— A’)Â’ dont la valeur relative est constante (K) en fonction de B. La prop. 7 se réduira alors à :

HBK K

(8) P =  = -

BHXC C

Il suffit maintenant de combiner (par simple multiplication) cette expression avec le facteur (6), mais en nous rappelant que cette prop. 8 ne concerne que la moitié de la figure totale : celle-ci est la fig. 5 ou la fig. 6 (selon les deux symétries), par opposition à la figure élémentaire (4 ou 7). Nous aurons donc, pour les angles aigus :

2 K (H— M)M

(9) P = si H > M

C²

et pour les obtus :

2 K (M— H)H

(10) P = si M > H

C²

1 La diagonale étant la plus grande longueur dessinée tandis que dans un rectangle sans diagonale on a L = le grand côté.

Il est inutile de faire intervenir à nouveau la surface BH (= MH car B = M) ¹, puisqu’elle est déjà comprise (et annulée) dans la prop. 8. A faire le calcul des prop. 9 et 10 qui donnent les mêmes résultats (signe à part) pour les angles aigus ou obtus correspondants, on trouve (pour H= 1) :

Valeurs théoriques de l’illusion des angles (prop. 9 et 10) :

Le maximum théorique est donc situé à 45° en positif (surestimation des aigus) et à 135° en négatif (sous-estimation des obtus), suivant l’opinion communément admise. Mais comment le prouver expérimentalement, sans mesurer un angle au moyen d’un autre angle comportant sa propre erreur systématique ? Nous disposons à cet égard de deux méthodes distinctes, qui ont fourni des résultats convergents. La première est presque directe, et consiste à étudier les dévalorisations et valorisations de la grande et de la petite diagonales du losange en fonction des variations des angles : c’est ce que nous ferons au § suivant (§ 6), d’après les résultats de S. Ghoneim. La seconde est plus indirecte et consiste à analyser l’illusion de ce que nous appelons la médiane de l’angle, c’est-à-dire la droite reliant le milieu de l’un des côtés au milieu de l’autre côté (égal au pre-

1 Il est, en effet, évident que B = M puisque M (voir la fig. 8) vaut 2A au point où A = A’ (milieu de la fig. 7) et que, en ce point médian, on a A + A = 2 A = B.

H

Il est à noter, en outre, que — = sin _α, où _α est l’angle que fait le C

côté C avec la ligne horizontale de base (ce qui correspond à l’estimation M B’

perceptive de son inclinaison). D’autre part, — =— = sin R, où β est l’angle C C

H-M
complémentaire de _a. L’expression est donc la différence entre les

C

M(H-M) H(M-H)

sin _a et sin R et les expressions et — correspondent alors à

C : C²

l’un de ces sinus multiplié par la différence entre les deux. On retrouve ainsi, en termes de sinus (relatifs à l’inclinaison des côtés C perceptive- ment déformée) le facteur général de la loi, habituellement exprimé en termes de longueurs (L₂-L₂)L₂.

mier). En un angle et un triangle comme celui de la fig. 8, on mesurera la position (subjective) de la médiane M en faisant égaliser les deux segments C₁ et C₂. Cette position dépendra alors des deux angles 1 et 2 : Si l’angle 1 est aigu, il dévalorise le segment C₁ et l’angle 2, étant obtus, valorise le segment C₂, deux raisons cumulatives pour repousser la médiane vers le sommet de l’angle 1. Si l’angle 1 est obtus, il valorise C_i, ce qui repousse la médiane vers le bas, mais avec action contraire de l’angle 2. Quant aux angles 3 et 4, ils sont égaux et d’actions contraires, et sont donc négligeables.

10°

20"

30°

40°

45°

50°

55°

60°

70°

80°

0,12

0,22

0,29

0,34

0,360

0,368

0,370

0,366

0,33

0,28

90°

100°

110°

120°

130°

140°

150°

160°

170°

180°

0,20

0,12

0,05

0

— 0,04

— 0,06

— 0,07

— 0,06

— 0,3

0

10° 20° 30° 40°

45° 50° 55°

60°

65° 70°

80°

Adultes .

1,07 1,5 1,6 1,8

1,8 2,03 1,8

2,02

— 1,5

1,3

6-8

. 0,99 1,5 1,8 2,3

2,8 3,0 3,15

3,13

2,9 2,4

2,3

90“ 100° 110°

120° 130°

140“

150“

160“

Adultes

… 0,8 0,6 0,15

0,02 — 0,3

— 0,65

— 0,2

+0,3

6-8

… 1,0 0,2 0,03

— 0,3 — 1,16

+0,9

— 

— 

ILLUSIONS PRIMAIRES £

On aura donc, comme formule de l’illusion de la médiane : (11) P = P₁ + P₂si H>M et P = P₁-P₂si H<M où P₁ et P₂ sont les déformations 9 ou 10 appliquées aux angles 1 et 2.

En faisant alors le calcul au moyen des valeurs théoriques des prop. 9 et 10, on trouve la courbe théorique suivante pour l’illusion de la médiane :

Or, sur 68 adultes et 29 enfants de 6-8 ans nous avons trouvé, avec Florence Pêne les résultats suivants :

TABL. 5. Illusion de la médiane des angles (en mm) :

La concordance entre l’expérience et le calcul théorique est donc relativement bonne étant donné que l’illusion de la

médiane est une illusion composée (prop. 11), correspondant donc à un calcul d’autant plus approximatif : on retrouve le maximum positif aux environ de 55° et l’illusion nulle médiane aux environs de 120°, suivie d’illusions négatives. Quant au maximum de ces dernières, les trop grandes figures rendent la mesure assez imprécise.

Cette convergence relative entre le tabl. 5 et les valeurs théoriques des prop. 11, 10 et 9 semble justifier, si elle se confirme, le bien fondé de ces prop. 10 et 9, donc de la formule de l’illusion des angles. Et, comme déjà annoncé, nous en examinerons une autre vérification, à propos des illusions du losange.

Mais auparavant, il convient de rappeler que l’illusion des angles engendre un grand nombre d’illusions dérivées. L’une des plus connues sans doute est celle de Poggen- dorf : une oblique coupée en son milieu par

de deux segments qui ne se prolongent pas l’un l’autre, parce que l’angle a rejette le segment 1 sur la gauche et l’angle β le segment 2 sur la droite. Une autre illusion célèbre est celle de Zôllner dans laquelle le parallélisme objectif de droites n’est plus perçu subjectivement sous l’influence de lignes obliques qui font angle avec ces droites.

Il existe en outre une illusion bien connue, dont on n’avait pas montré avec précision sa parenté avec celle des angles. Nous l’avons appelée illusion des « quadrilatères partiellement superposés » et avons pu vérifier avec M. Denis-Prinzhorn (Rech. XXI) qu’elle tenait à l’action des angles a et β jointe à

la valorisation par les segments AB, etc., des côtés BC et EF des carrés surplombants. En effet, l’angle a tend à dévaloriser ses côtés AD et BD, ainsi qu’à agrandir sa ligne d’ouverture AB, pendant que le côté BC

est valorisé par le même segment AB : il en résulte alors, par cumulation de ces effets et des effets symétriques relatifs à l’angle β, une déviation de la ligne médiane à laquelle sont attachés les quadrilatères ¹. On peut vérifier ces hypothèses en modifiant les angles a et β : en remplaçant, par exemple, les carrés par des rectangles dressés on renforce l’illusion, tandis qu’une figure formée de rectangles couchés sur la droite médiane affaiblit l’illusion par combinaison de l’effet des angles et de celui du décalage AB.

Cette illusion des quadrilatères partiellement superposés est surtout intéressante par l’évolution avec l’âge de ses diverses variantes. Tandis que les simples effets d’angles et de rectangles diminuent avec l’âge en tant que primaires (cf. tabl. 1 et 5), il intervient en outre, selon les cadres, etc., un facteur secondaire de mise en référence qui augmente d’importance avec l’âge et sur lequel nous reviendrons (chap. III, § 4).

Remarque I. — Si l’interprétation de l’illusion des angles par les prop. 7-10 est justifiée, il faut s’attendre à ce que cette illusion varie avec la position de l’angle et avec l’égalité ou l’inégalité de longueur de ses côtés. En effet, les fig. 4-7 sont

1 II s’y ajoute des effets de brillance ou de coloration renforçant l’action des contours et que nous avons analysés dans la Rech. XXI (§   4).

dessinées de façon à ce que les côtés des rectangles de référence soient horizontaux et verticaux, ce qui revient à dire que la bissectrice de l’angle inscrit sera verticale. Mais si l’on présente les mêmes angles avec bissectrices inclinées (les rectangles virtuels de références n’étant donc plus posés sur l’un de leurs côtés) et surtout si l’on donne à ces angles des côtés inégaux, l’illusion doit s’affaiblir puisque, d’une part, le sujet ne pourra plus évaluer les inclinaisons des côtés de l’angle qu’en se référant à des parallèles virtuelles et que, d’autre part, le calcul fondé sur la fig. 7 (prop. 7-8) sera modifié par l’inégalité des côtés. Nous avons donc fait avec S. Menillo un bref sondage sur ces deux points, qui a confirmé ces prévisions. Pour un angle de 45° à côtés égaux (10 cm) l’erreur systématique moyenne a été de — 7,7 % pour l’évaluation de la longueur de l’un de ses côtés en position normale (bissectrice verticale), tandis qu’en plaçant ce côté en position verticale (bissectrice inclinée) l’erreur n’a été que de — 4,8 %. D’autre part, en faisant porter les mesures sur ce côté constant en position normale mais avec variations de longueurs de l’autre côté de 1 cm à 17,5 cm (1 ; 2 ; 2,5 ; 5 ; 7,5 ; 10 ; 12,5 ; 15 et 17 cm) on trouve des erreurs de 4,5 ; 5,1 ; 7,0 ; 7,5 ; 7,9 ; 7,7 ; 6,0 ; 6,0 et 6,3 % c’est-à-dire un maximum compris entre les côtés de 7,5 et 10 cm donc proche de l’égalité des côtés.

Chacun sait d’ailleurs, et E. Rausch y a particulièrement insisté, que les illusions du parallélogramme varient selon la position de la figure, ce qui implique les deux mêmes phénomènes.

Remarque II. — Nous avons soutenu (en note à propos de la fig. 7) que la diagonale du carré est sous-estimée en sa longueur, bien que son inclinaison ne donne pas lieu à déformations. Mme Bang a bien voulu vérifier cette affirmation sur 20 adultes et a trouvé effectivement une sous-estimation de — 9,0 % si on mesure la longueur de cette diagonale ¹ (le carré étant posé sur un de ses côtés) au moyen de droites variables inclinées à 45°. Les côtés horizontaux et verticaux du carré ne donnant par contre lieu (avec des droites variables horizontales et verticales) qu’à des erreurs de 1,7 à 3,4 % (avec ou sans diagonale dessinée). La sous-estimation de la diagonale dessinée tient évidemment au fait qu’elle forme un angle de 45° avec les côtés du carré : les côtés d’un angle de 45° étant dévalorisés, la diagonale est donc sous-estimée. Quant aux côtés du carré, lorsque la diagonale est dessinée, ils constituent égale-

1 De 70 mm pour un carré de 50 mm de côtés

ment les côtés de ces angles de 45" ; mais comme ils forment, par ailleurs, entre eux des angles de 90" (sans déformation des côtés) et qu’ils sont insérés dans une « bonne forme » (à côtés égaux entre eux et à angles de 90°), ils résistent alors en partie à la déformation.

Un autre moyen pour vérifier la loi de l’illusion des angles avec maximum positif à 45° et négatif à 135° est d’étudier les déformations du losange, ce que S. Ghoneim a bien voulu faire à notre demande ¹. Le losange comporte, en effet, deux angles aigus égaux et répartis symétriquement, ainsi que deux obtus égaux et symétriques et ne présente que ces deux facteurs de déformation. S’il en est ainsi, on pourra d’abord s’attendre à ce que sa grande diagonale, reliant les sommets des deux angles aigus, soit sous-estimée. Elle le sera d’abord parce que la hauteur H des aigus est dévaluée et que cette grande diagonale est égale à. 2 H. Elle le sera ensuite parce que la ligne d’ouverture des deux angles aigus (dont les deux bissectrices 2 H constituent donc cette grande diagonale) représente par ailleurs les deux hauteurs des deux angles obtus du losange, qui sont surestimées : or, si ces deux bissectrices des angles obtus (qui constituent donc à elles deux la petite diagonale du losange), sont surestimées, cela signifie d’une part, que la petite diagonale du losange est surévaluée, mais cela entraîne aussi, et par le fait même, une sous-estimation de la grande diagonale, sous-estimation ainsi renforcée par cette seconde action également. En bref, les quatre angles du losange concourent cumulativement à déformer le losange dans la direction d’un carré, ce qui raccourcit subjectivement la grande diagonale et allonge subjectivement la petite.

C’est bien ce que les faits ont montré, et S. Ghoneim a pu établir une courbe des erreurs comportant les deux maxima de 45° et 135°. Mais notons d’abord que les erreurs du losange résultant en chaque cas d’un couple d’angles symétriques, et se trouvant par conséquent renforcées par rapport à celles des angles simples, on peut alors formuler l’illusion relative aux deux diagonales en doublant le numérateur des expressions 9 et 10, ce qui donne (si D₁ = la grande diagonale et D₂ = la petite) :

2 K(2 H— 2 M)2 M 2 K(D₁-D₂)D 2

(12) P = = ±

C² C²

1 Rech. XXXVII.

En effet, 2H = D₁ et 2 M = D₂. Quant à la prop. 10 on retrouve en la doublant la même expression puisque si M > H alors 2 M = D_l et 2 H — D₂. D’autre part, comme il s’agit à nouveau ici d’un renversement de l’illusion du rectangle, le signe de P sera (— ) quand il s’agira de calculer l’erreur sur la grande diagonale et (+) quand il s’agira de la petite. Quant aux valeurs théoriques calculées au moyen de cette prop. 12, elles sont simplement le double de celles des prop. 9 et 10.

S’il est intéressant de traduire ainsi en termes de différence entre les diagonales les illusions du losange, c’est que nous retrouverons à propos des parallélogrammes (§ 7) ces relations entre les diagonales, mais en remplaçant le terme C² par une relation plus complexe entre les côtés et la surface.

Voici maintenant la vérification expérimentale de ces suppositions, selon les données réunies par S. Ghoneim :

Tabl. 6. Sous-estimation de la grande diagonale (10 à 90°) et surestimation de la petite diagonale (90 à 170°) du losange¹ (en % de 50 mm) :

Angles

10° 20° 30° 40° 45° 50° 60° 70° 80°

90°

5-6 ans

— 7,1 — 8,7 — 9,9 — 10,4 — 9,8 — 8,7 — 7,8 — 7,2 — 6,9

— 7,2

7-8

— 4,8 — 6,7 — 7,7 — 8,2 — 8,9 — 7,9 — 7,1 — 7,2 — 6,7

— 6,3

9-10

— 4,4 — 5,9 — 7,2 — 7,8 — 8,2 — 6,4 — 5,8 — 5,7 — 5,0

— 4,6

11-12

— 3,0 — 4,4 — 5,9 — 6,9 — 7,8 — 6,3 — 5,6 — 4,9 — 4,7

— 4,6

Adultes

— 4,1 — 4,8 — 5,6 — 6,0 — 6,9 — 5,3 — 5,7 — 5,2 — 4,9

— 3,9

Angles

100“ 110“ 120° 130° 135° 140° 150° 160°

170°

5-6 ans

— 7,4 — 7,3 — 7,1 — 7,4 — 5,9 — 5,3 — 5,3 — 5,7

— 6,2

7-8

— 5,7 — 5,8 — 5,8 — 5,0 — 5,0 — 5,4 — 5,4 — 5,1

— 5,3

9-10

— 5,3 — 5,3 — 5,0 — 4,5 — 3,9 — 3,7 -4,6 — 5,1

— 5,7

11-12

— 4,7 — 6,1 — 4,8 — 4,4 — 3,2 — 2,7 — 3,1 -^,4

— 4,9

Adultes

— 4,2 — 4,0 — 3,2 — 3,0 — 3,1 — 1,5 — 2,2 — 3,4

— 3,0

On constate alors qu’à tous les âges le maximum négatif se trouve à 45° (sauf à 5-6 ans où il est à 40°), ce qui correspond bien au maximum de surestimation des angles aigus. Il existe, d’autre part, à tous les âges un point de sous-esti-

1 Présentation verticale de la diagonale évaluée (50 mm) et en ordre ascendant des figures présentées. Des contrôles ont été faits sur les présentations horizontale ou oblique et en ordre décroissant : les courbes demeurent qualitativement les mêmes en toutes ces variantes.

mation minimum aux environs de 135" (ou 140). Mais comme les mesures sont prises au moyen de simples droites comparées à la diagonale à évaluer, et que ces mesurants sont eux- mêmes surestimés en tant que rectangles très minces à extrémités non fermées (cf. § 2), par opposition aux diagonales fermées aux deux extrémités, il va de soi que la position de l’abcisse ou du zéro est elle-même relative à cette erreur inévitable sur le mesurant. Si nous prenons donc pour chaque âge comme abcisse le niveau souvent commun (à peu de choses près) aux erreurs sur 10”, 90" et 170” (ou le niveau correspondant à leur moyenne), alors ce qui est en dessous de ce niveau est à considérer comme erreurs authentiquement négatives et ce qui est en dessus comme erreurs positives. D’un tel point de vue le minimum de sous-estimation observé vers 135-140" est donc en réalité un maximum de surestimation de la petite diagonale : par exemple, si le zéro adulte est à situer aux environs de — 3,5 cela donnerait à peu près — 3,4 de sous- estimation de la grande diagonale à 45” et +2,0 de surestimation de la petite à 140”.

Pour démontrer le rôle des angles dans les illusions de ce tableau 6, Ghoneim a pris les mêmes mesures de la grande et de la petite diagonale sur des figures identiques aux précédentes mais avec suppression du sommet des angles divisés : en ce cas l’erreur tombe, chez 10 adultes, entre — 0,8 et +0,4 de 20 à 90° et entre +0,6 et + 2,2 de 100 à 180”, ce qui revient à dire que l’illusion est annulée. D’autre part, S. Ghoneim a étudié également¹ la dévalorisation des côtés du losange, qui est générale (ce qui prouve le primat des angles aigus) et présente une distribution analogue à celle du tableau 6 avec maximum négatif vers 40 ou 45°.

Avant de passer aux illusions des parallélogrammes (qui inversent, comme celles des angles, les déformations du rectangle), puis, de là, aux illusions du trapèze conduisant à celles de Müller-Lyer, mentionnons encore le problème des courbures, qui se rattache à certains égards à celui des angles. Nous n’avons nullement épuisé cette nouvelle question, plus vaste qu’il ne semble (illusion de Bourdon, contrastes de courbures

1 Au moyen de mesurants carrés.

de K. Bühler, etc.) et nous sommes bornés à étudier avec E. Vur- pillot le renforcement de la courbure de certains petits arcs de cercle, conduisant à une dévaluation de la corde, ainsi que la surestimation de la corde pour certains arcs plus longs. Ces deux phénomènes rappellent (sans leur être nullement identiques) la sous-estimation des angles obtus et la surestimation des aigus, mais ils méritent une analyse et une formulation particulières d’autant plus qu’ils nous semblent par ailleurs suffire à faire comprendre la plupart des autres illusions des courbures.

Soit un cercle (fig. 12) dont on masque une bande (sur le modèle de l’illusion de Poggendorf) : on aperçoit d’emblée que la courbure de l’arc inférieur ne paraît pas alors correspondre entièrement à celle de l’arc supérieur, autrement dit que la courbure du petit arc semble renforcée. En nous inspirant de notre essai d’explication des angles (fig. 7) nous pouvons en ce cas utiliser le schéma sui

vant. Si nous appelons médiane de rare la perpendiculaire à la flèche F la coupant en son milieu (fig. 13), nous évaluerons en chaque point la courbure de l’arc en comparant la distance A qui sépare ce point de la corde Co à la distance A’ séparant ce même point du côté supérieur du rectangle de référence (donc de la tangente au sommet de la flèche) : ce n’est alors qu’aux points où l’arc coupe la médiane qu’il n’y a pas de déformation, tandis qu’au-dessous de la

médiane on a A > A’, donc déformation dans le sens d’une accentuation de la courbure (voir la ligne en traits interrompus bordant l’arc au-dessus de M) ; au-dessous de la médiane, par contre, on a A < A’, d’où un rétrécissement de la corde,, qui sera dévaluée.

Tabl. 7. Erreurs systématiques (gn %) mesurées sur la corde (20 sujets) :

F (sur 32)1

1

3

5

8

10

12

16

5-6 ans (20)

1,4

0,8

— 6,4

— 1,8

— 8,4

— 2,2

— 4,0

7-8

(30)

— 1,8

— 3,6

— 2,8

— 2,6

— 3,8

— 4,6

— 5,0

9-10

(20)

— 2,4

— 2,6

— 3,8

— 4,8

— 4,0

— 6,0

— 6,8

Adultes (20)

— 2,4

— 3,2

— 4,4

— 4,8

— 5,2

— 5,6

— 4,8

Moy génér.

— 1,4

— 2,4

— 4,2

— 3,4

— 5,2

— 4,6

— 5,2

F (sur 32)

20

22

24

27

29

30

31

5-6 ans (20)

— 1,2

+ 1,2

3,8

10,6

17,2

15,8

13,0

7-8

(30)

— 1,0

+0,6

4,4

10,8

13,4

11,0

9.6

9-10

(20)

— 1,2

+0,4

3,2

10,6

13,0

8,6

9,2

Adultes (20)

— 1,6

+0,2

3,0

6,6

7,8

6,0

5.2

Moy. génér.

— 1,2

+0,6

+4,1

+9,8

+ 13,0

+ 8,4

+ 9,4

On observe ainsi une erreur négative qui augmente en moyenne jusqu’à la corde correspondant à la flèche 16, puis diminue, aboutit à l’erreur nulle médiane vers F = 29 pour diminuer enfin.

Pour expliquer le détail de ces faits, essayons de raisonner par analogie avec les angles, en développant le schéma esquissé à propos de la fig. 13. Nous constatons d’abord que deux sortes de couplages de différences peuvent intervenir en ce cas : (1) les relations entre A et A’ (fig. 13) ; (2) les relations entre

la corde Co et la hauteur de l’arc (F). Mais nous constatons aussi qu’un troisième couplage possible peut intervenir ici, qui n’a pas son équivalent dans le domaine des angles : la relation entre la partie Ar de l’arc située au-dessus de la médiane et la partie Ar’ située au- dessous (par exemple pour la corde Co₁ de la fig. 14, coïncidant avec le diamètre du cercle, Ar_l situé au- dessus de Λf, vaut 2,09 et lès deux

moitiés réunies dl4r∖ valent 1,05 seulement²). Or, cette rétà-

1 La lettre F représente la flèche (ou hauteur) de l’arc dont la corde Co est évaluée perceptivement. Nous avons, d’autre part, exprimé les valeurs de F (soit 1, 2, 3, … 21) en trente-deuxièmes du diamètre dû cercle, ’parce que les quarts, huitièmes et même seizièmes ne nous ont pas suffi (le maximum étant à.?’= 29). …. . . … .. ..

- 2 Ên unités de rayon-dans ⅛r(⅛09 +• 1,06 = 8⅛4 = si r = 1>.∙ •

tion entre Ar et Ar’ est fonction de Co et de F et détermine à son tour les relations entre A et A’. Cherchons donc ce que donnerait l’application de la loi générale (prop. 3 § 2) en utilisant le seul couplage entre Ar et Ar’ en tant que représentatif des deux autres.

On aura alors L₁ = Ar et L₂ = Ar’ (ou l’inverse) ; L_max = Ar + Ar’ (où Ar’ est compté avec ses deux moitiés, de même qu’Ar dans le cas Ar₂) ; nL = F car les différences entre A et A’ sont fonction de F ; et S = CoF (avec le cadre de référence). On obtiendra ainsi pour l’illusion des courbures :

F(Ar— Ar,)Ar, Ar’(Ar— Ar’)

(13) P = = si Ar > Ar’

C∩F×(Ar+Ar,) Co (Ar + Ar’)

donc jusqu’à F = 3/4 du diamètre (F = 24 ; soit jusqu’à Co = M₂dans la fig. 14)

F(Ar,— Ar)Ar Ar(Ar,— Ar)

et (13 bis) P = + — = si Ar’ > Ar

CoF×(Ar + Ar,) Co (Ar+Ar’)

donc entre F = 24 et F = 32 (= diamètre vertical entier).

Le calcul (dont on trouvera le détail p. 228 de la Rech. XXVII) donne alors, (ce dont nous avouons avoir été les premiers surpris 1) une courbe correspondant remarquablement à la courbe expérimentale (voir la fig. 15). Les valeurs théoriques des prop. 13 et 13 bis sont en effet :

On retrouve donc le maximum négatif à F = 16 et le maximum positif à F = 29. Le passage à zéro s’effectue théoriquement à F = 24 et le tabl. 7 l’indique déjà aux environs de F = 21 ; mais lorsqu’on effectue les mesures avec la corde au- dessus de la courbure ou verticalement (tabl. 4 de la Rech. XXVII), l’illusion nulle médiane s’observe entre F = 23 et 25.

Quant aux illusions sur la hauteur F elles suivent en gros la même loi (mais avec naturellement surestimation de F jus-

qu’à F = 24 puis sous-estimation), à une exception remarquable près : la dévaluation de cette hauteur augmente encore après F = 29 pour trouver son maximum à F = 32, c’est-à-dire avec la dévaluation du diamètre du cercle ! La raison en est sans doute que, dès F = 24 (= Λf₂ sur la fig. 14) et surtout après F = 29, la forme circulaire devient assez perceptible et pré- gnente pour que l’évaluation de F s’effectue en fonction des diamètres vertical et horizontal à la fois : en ce cas la dévaluation du dernier (= de Co₁ sur la fig. 12, correspondant au maximum négatif (théorique) entraîne une sous-estimation de tous les diamètres à la fois. On voit ainsi, que même la « meilleure » des formes perceptives n’est pas à l’abri des déformations systématiques !

Néanmoins et bien que nous n’ayons sans doute pas épuisé l’analyse de cette figure du point de vue de la loi générale des illusions primaires, il peut être intéressant de montrer comment les erreurs qu’elles comportent se rattachent à celles du losange et du rectangle, à commencer par la sous-estimation des grandes diagonales qui inverse, comme dans le cas des angles, des losanges et du rectangle lui-même, le principe de départ des déformations du rectangle (allongement de la figure sous l’influence de la surestimation de son grand côté). Sander et Rausch, qui sont gestaltistes, voient dans les illusions du parallélogramme la manifestation d’une tendance à redresser cette figure², ce qui lui donnerait cette forme « meilleure » parce que plus voisine d’un rectangle (et cette tendance aboutirait entre autres à la dévalorisation de la grande diagonale). On pourrait dire, de même, que la tendance en jeu dans les illusions du losange est de la rapprocher du carré et que les surestimations ou sous-estimations des angles aigus ou obtus tendent à les réduire à des angles droits. Mais ces tendances, si elles existent, demandent une explication et c’est pourquoi il convient de partir des relations élémentaires en jeu au sein desquelles on découvre simplement une « tendance » à accentuer les inégalités. D’autre part, un rectangle sans diagonale figurée, ne tend nullement à se rapprocher du carré et lorsqu’il inverse sa tendance à l’allongement, sous l’effet d’une diagonale figurée, c’est encore sous l’influence d’un renforcement des inégalités (voir au § 5 l’explicatron du renforcement des inclinaisons : fig. 4). Le problème de. la.dévalorisation des grandes’ diagonales du parallélogramme est ainsi d⅛n intérêt

1 E. Rausch, Struktur und Metrik ftgural-optischer Wahrnehmung, Frankfurt 1952. . •’ ■ ■ ■ ’

• 2 La • tendance--« -eidotropique- » • de- Sander.• • . :•

assez général, qui se rattache aux questions angulaires et à toutes celles qui ont été examinées aux § § 3 à 5.

Nous avons donc d’une part, cherché à comparer la grande diagonale du parallélogramme à celle du losange en conservant constants cette diagonale (50 mm) ainsi que les petits angles (45°, maximum de déformation de l’angle aigu et du petit angle du losange) et en faisant varier les quatre côtés du parallélogramme (les uns passant de 5 mm à 45 par dix échelons et les autres de 46 à 7,5 mm) ainsi que la petite diagonale (42,5 mm à 21 et de là à 40 mm), les grands angles restant naturellement constants ’. L’une des dix variations considérées est alors un losange de 27,5 mm de côtés et de 21 mm de petite diagonale.

Une seconde expérience a consisté à comparer la grande diagonale du parallélogramme à la diagonale du rectangle en présentant neuf parallélogrammes comportant un petit côté constant (50 mm) et une diagonale constante (100 mm) qui est la grande pour les cinq premiers (angles de 10 à 75° et petite diagonale de 8 à 76 mm) et la petite pour les trois derniers (l’angle dont elle part étant de 100, 110 et 118° et la grande diagonale de 115, 128 et 140 mm). Le sixième terme de la série est alors un rectangle de 50X85 mm dont une seule des deux diagonales est dessinée.

Une troisième expérience a consisté à laisser constantes la grande et la petite diagonales (10 et 5 cm) et à mesurer cette dernière en faisant varier la longueur des côtés, pour mettre en évidence ce dernier facteur.

Quant à la mesure des côtés eux-mêmes, il nous a paru plus intéressant d’étudier sur eux les illusions attachées aux points médians plutôt que les surestimations ou sous-estimations des longueurs totales. En effet chacun des côtés du parallélogramme est à la fois dévalorisé en tant que côté d’un angle aigu et valorisé en tant que côté d’un obtus, ces deux effets étant antagonistes. Par contre le point médian paraît subjectivement à la fois trop près du sommet de l’angle aigu et trop éloigné de celui de l’angle obtus pour les mêmes raisons mais maintenant cumulatives. Nous avons donc mesuré la position apparente (subjective) du point médian des grands côtés constants (9 cm) de parallélogrammes dont nous faisons varier tantôt les angles aigus (de 5° à 60°) en laissant constant le petit côté (série I), tantôt en laissant constants les angles et en faisant varier le petit côté de 2 à 9 cm (série 11).

1 Cette expérience a été conduite à. notre demande par. S. Ghoneim, dans son travail sur-le lôsange (Recħ, XXXVtR-.. c - -.r . .. . ∙, . .-.

I. A commencer par cette dernière expérience (avec P. Dadsetan), les résultats en ont été d’abord nettement que la déformation des côtés (= erreur systématique par déplacement du point médian dans la direction de l’angle obtus) est d’autant plus forte que les angles aigus du parallélogramme sont plus petits (sans maximum à 45") (tabl. 8) :

Tabl. 8. Erreurs systématiques sur le point médian en fonction des angles (pour tous les petits côtés réunis)¹ :

Côté sup. Série 1

(25 adultes)

5,95

4,70

4,42

3,62

3,09

2,00

10 adultes

3,95

3,62

2,44

1,95

1,74

1,07

Série 11

(25 adultes)

6,72

5,48

4,77

3,71

3,05

2,18

10 adultes

3,45

3,35

2,71

1,92

1,76

0.80

Moy. sup.

5,01

4,28

3,58

2,80

2,41

1,51

Côté infér. Série 1

(25 adultes)

6,81

5,47

4,55

3,96

3,31

2,27

7 adultes

4,07

3,47

3,32

3,04

2,80

1,54

Série 11

(25 adultes)

7,10

6,03

4,63

3,82

3,18

2,00

7 adultes

4,02

3,80

2,88

2,65

2,37

1,31

Moy. inf.

5,50

4,69

3,84

3,36

2,91

1,78

Côté sup. Série I

3,94

4,32

4,24

4,20

4,00 3,30

3,57 3,45

(25 adultes)

10 adultes

2,21

2,46

2,57

2,12

2,06 1,75

1,36 1,68

Série II

(25 adultes)

4,57

4,76

4,57

4,47

4,70 4,09

3,74 3,51

10 adultes

2,01

2,26

2,26

2,27

1,83 1,92

1,72 1,51

Moy. sup.

3,64

3,91

3,83

3,72

3,66 3,16

3,05 2,94

Côté infér. Série I

(25 adultes)

2,74

3,07

3,02

2,81

2,79 2,45

2,34 2,22

7 adultes

3,10

3,53

3,65

3,36

3,28 3,65

2,93 3,10

Série II

(25 adultes)

5,02

5,43

5,22

5,08

4,32 3,70

3,48 3.44

7 adultes

3,06

3,31

3,23

3,55

3,33 3,31

2,66 2,20

Moy. inf.

3,65

4,01

3,92

3,80

3,48 3,10

2,87 2J7

Tabl. 9. Erreurs systématiques sur le point médian en fonction des côtés (pour tous les angles réunis) :

1 L’expérience a été faite une première fois avec des groupes de 25 adultes, une seconde fois avec des groupes de 10 ou 7 adultes. Les deux séries de résultats (en valeur absolue) sont reportées dans les tableaux 8 et 9.

Quant au rôle des côtés, on trouve, pour un grand côté constant de 9 cm et des petits côtés variant de 2 à 9 cm, les résultats du tabl. 9 ci-avant.

Il semble alors possible de réduire ces faits à la formule suivante qui rend compte à la fois de l’augmentation de l’illusion avec la diminution de l’angle aigu et du maximum observé pour un petit côté de 3 cm (4 = B/3) :

(D₁-D₂)D₂ × (B— A)A

(14) P=

S

où D₁ = la grande diagonale, D₂ = la petite, B = le grand côté, A = le petit et S = la surface.

En effet, le calcul tiré de cette prop. 14 donne ¹ :

On retrouve ainsi l’affaiblissement de l’illusion avec l’augmentation de l’angle, de même que le maximum pour le côté 3.

II. L’expérience sur les déformations de la petite diagonale² (habituellement surestimée) a fourni sur 20 adultes les résultats suivants (avec présentation verticale de la petite diagonale) :

Tabl. 10. Erreurs systématiques sur la petite diagonale (5 cm) avec grande diagonale constante (10 cm) mais angles et côtés variables (20 sujets) :

1 Pour le petit côté 9 le facteur (B-A)A étant égal à O, l’expression (D₁-D₂)D₂∕S reste donc seule en jeu.

2 Avec Mme T. Vinh-Bang.

La prop. 14 donne en ce cas les valeurs théoriques suivantes qui concordent relativement avec ces résultats (fig. 16) :

Angles

P (théor.)

160”

4,30

145”

2,25

138”

1,67

129”

0,95

128”

0,67

Angles

126°

127”

127”

131”

P (théor.)

0,21

0,35

1,50

1,67

Le renversement de la courbe à partir de 54 X 60 est dû à celui des valeurs relatives des côtés.

III. Quant à la mesure des grandes diagonales (avec Mme T. Vinh-Bang), pour des figures passant progressivement d’un quasi-losange à un rectangle et à des parallélogrammes non rectangulaires orientés dans l’autre sens (diagonale mesurée : 10 cm constante, seconde diagonale passant de 0,28 à 10 et à 14 cm), Mme Vinh-Bang a trouvé en présentation verticale :

Tabl. 11. Erreurs systématiques sur la grande diagonale (10 à 90°) puis sur la petite (100 à 118°) :

II suffit alors d’ajuster le 0 au point expérimental correspondant au rectangle de 90" (soit — 8,6 ou — 5,5) pour obtenir une courbe théorique correspondant dans les grandes lignes aux courbes exoérimen-

- taies, mais avec remontée dès 90° et non pas à 100° seulement com- ¹ me sur le tab. 11 (voir ’ la fig. 17).

A cet égard, il est peut-être utile de signaler que, sans maintenir verticales les diagonales et avec une présentation sur petits côtés horizontaux, le maximum observé a été de — 9,4 à 80° (contre — 8,6 à 90° et — 8,8 à — 8,9 entre 38 et 75°).

IV. Quant à la comparaison à angles maintenus constants (45°) de la grande diagonale du losange avec celles des parallélogrammes à côtés inégaux (de 5X46 cm à 45×7,5 en passant

par le losange de côtés 27,5X27,5), les résultats obtenus par S. Ghoneim ont été les suivants :

Tabl. 12. Erreurs systématiques sur la grande diagonale avec angle constant (45°) et côtés variables :

Angles

5" 10°

15 »

20 »

25 » 27,5 »

30 »

35 »

40 »

50 »

5- 6 ans

— 7,7 — 9,4

— 11,5

— 12,3

— 13,5 — 14,5

— 13,9

— 10,6

— 8,6

— 6,9

7- 8 ans

— 6,4 — 9,1

— 10,9

— 11,8

— 13,2 — 14,1

— 12,0

— 10,4

— 8,2

— 6,1

9-10 ans

— 6,1 — 8,2

— 10,6

— 11,2

— 12,8 — 13,3

— 11,9

— 9,7

— 7,3

— 5,1

11-12 ans

— 4,5 — 7,5

— 9,5

— 10,6

— 11,4 — 12,6

— 10,3

— 8,6

— 7,0

-Λ0

Adultes

— 2,8 — 4,5

— 7,2

— 7,8

— 9,3 — 10,0

— 8,6

— 6,4

— 3,5

— 2,9

On voit alors qu’en ce cas la grande diagonale du losange est plus sous-estimée que celle des autres parallélogrammes, ce qui ne se retrouve pas lorsque l’on compare un losange à des parallélogrammes d’angles différents. Dans la présente situation, l’angle restant constant (45°), il convient en ce cas,

pour calculer théoriquement les résultats du tableau 12 de ne retenir que le facteur (B— /1)4 en faisant abstraction du facteur (D₁-D₂)D₂ qui figure dans la prop, 14 à titre de représentant des variations angulaires. On aura donc, pour un angle constant :

(B— A)A

(14 bis) P =

S

Cp oui donne •

11 suffit alors de situer le 0 au niveau de la valeur correspondant à 27,5, calculable par la formule du losange, pour trouver uen courbe concordant relativement avec les courbes empiriques (fig. 18).

V. Quant à l’illusion de Sander (fig. 19), elle consiste comme on sait en la sous-estimation d’une grande diagonale D_l mais comparée à la surestimation d’une petite diagonale D,₂, ces diagonales D_l et D,₂ appartenant respectivement à deux parallélogrammes accolés de mêmes angles (ici 55 et 125°) résultant de la division, au moyen de la droite M, d’un grand parallélogramme total : en déplaçant M sur la gauche ou sur la droite (et en conservant son inclinaison égale à celle des petits côtés

1 En effet, en un parallélogramme dont D₁ est la grande diagonale et B le grand côté, et dont O₂ est la petite diagonale et A le petit côté, on a les relations (si _a est l’angle compris entre A et B) :

D₁ = A² + B² + 2 AB cos _αD_j = A² + B⁸ — 2 AB cos _a

Il en résulte que, pour un angle constant _a, les diagonales et leur couplage de différence (D,-P₂)D₂ sont univoquement déterminés par les valeurs de A et de B.

du grand parallélogramme), on modifie les longueurs de D₁ et de D,₂ ; jusqu’à égalisation subjective. En s’inspirant de la technique de Ipsen ¹, mais en vision libre, notre collaborateur Vinh-Bang a étudié cette illusion sur 10 enfants par âges de 5 à 12 ans, et sur 20 adultes au moyen de 22 figures de 125X61 mm de côtés², dont les diagonales D₁ et D,₂ ont les valeurs suivantes, auxquelles nous faisons correspondre la valeur de l’illusion (en cas d’égalisation subjective) d’après la 100Xu

formule de Wirth (utilisée par Ipsen) P = 100 (où

Xm

Xu = le rapport estimé par le sujet entre les deux diagonales jugées égales et Xm = le rapport objectif entre ces mêmes diagonales) :

Les résultats obtenus ont été les suivants :

Tabl. 13. Illusion de Sander de 5 à 12 ans et chez l’adulte (selon le mode de calcul de Wirth-Ipsen) :

Cette distribution des erreurs soulève alors deux problèmes : (1) pourquoi l’erreur moyenne est-elle comprise entre 15 et 25 %, donc autour de la carte VII et entre les cartes V à IX ; et (2) pourquoi augmente-t-elle de 5 à 7 ans pour atteindre un plateau entre 7 et 9 ans et diminuer chez l’adulte ?

1 Neue Psychol. Stud. (1926).

2 Présentées 10 secondes au maximum.

Pour répondre à la première question, il convient d’appliquer à l’illusion de Sander nos formules précédentes (prop. 14 et 14 bis), mais cela sans faire intervenir le facteur (D₁-D₂’)D₂puisque les angles des parallélogrammes en jeu sont constants. En effet, à calculer les actions (D₁— D₂)D₂ sur les deux parallélogrammes de la fig. 19, on voit qu’elles sont proportionnelles aux surfaces qui interviennent dans la formule suivante. Comme sous IV, nous nous en tiendrons donc au calcul de P = (B— Λ)4∕S et l’appliquerons alors aux deux diagonales D₁et D,₂ dans l’hypothèse que l’illusion de Sander sera maximale lorsque la sous-estimation de D₁ et la surestimation de D,₂seront à peu près égales parce que, si la sous-estimation de D₁est plus forte que la surestimation de D,₂ ou l’inverse, le sujet ne percevra plus l’égalité subjective D₁ = D,₂. Le calcul donne alors, en valeurs relatives de (B-A)A∕S par rapport aux longueurs ¹ de D₁ et de D,₂ :

Figures

I

11

111

IV

V

VI

VII

VIII

p D₁

10,32

8,13

7,06

6,08

5,67

5,22

4,80

4,44

P d,₂

5,58

5,62

5,34

5,24

5,19

5,02

4,88

4,77

Différence

+4,74

+2,51

+ 1,72

+0,84 +0,48

+ 0,20

— 0,08

— 0,33

Figures

X

X

XI

XII

XIII

XIV

XV

p D₁

4,02

3,65

3,29

2,93

2,59

2,25

1,91

P d,₂

4,58

4,42

4,22

4,01

3,80

3,54

3,29

Différence

— 0,56

— 0,77

— 0,93

— 1,08

— 1,21

— 1,29

— 1,38

On voit alors que l’égalité des déformations sur D₁ et D,₂est précisément centrée autour de la figure VII, avec différences s’étageant entre +0,48 pour la fig. V et — 0,56 pour la fig. IX, tandis que les différences pour les fig. I à IV sont plus consi-

(B₁-A,)A, (B₂-A₂)A₂

1 Sous la forme P D, =  D, et P D,₂ =  D’₂ où B₁,A₁

s, S ₂

et S, sont les côtés et la surface du parallélogramme de droite et B₂, A, et S₂ ceux du parallélogramme de gauche (de la fig. 19).

Il est à noter que cette mise en relation de (B-AÏA/S avec D₁ et avec D₂ne consiste naturellement pas en une réintroduction du facteur (D₁-D₂)D₂ mais revient simplement, étant donné le fait que D₁ et D₂ n’appartiennent pas au même parallélogramme (D₁ étant la grande diagonale du parallélogramme de droite et O’₂ la petite diagonale du parallélogramme de gauche), de calculer les valeurs (B-AïA/S relativement aux longueurs des éléments déformés D₁ et D’₂ et non pas absolument comme s’il s’agissait de la grande et de la petite diagonale du même parallélogramme.

dérables et le redeviennent au-delà de la fig. [X. Les égalisations subjectives mesurées par Vinh-Bang sont ainsi entièrement cohérentes avec les illusions précédentes, puisque les distributions du tabl. 13 coïncident avec celles que permet de prévoir le présent calcul fondé sur les mêmes formules.

Quant à savoir pourquoi l’illusion augmente de 5 à 7 ans, il va de soi que la comparaison des diagonales D↑ et D,₂appartenant à deux parallélogrammes différents ne saurait être influencée par tous les éléments en jeu (côtés, etc.) que dans la mesure où la figure est bien structurée. Comme il s’agit d’une figure complexe comprenant neuf éléments distincts, il est donc naturel que cette structuration ne soit pas immédiate mais qu’elle progresse jusqu’à 7 ans, d’où l’augmentation initiale de l’illusion. Après quoi elle reste stable jusqu’au niveau où l’exploration analytique de l’adulte conduit à certaines compensations, les deux moyennes d’erreurs extrêmes (15,3 % à 5 ans et 15,1 % chez l’adulte) étant donc convergentes mais non pas comparables.

Le trapèze isocèle comporte deux paires d’angles égaux, mais non pas quatre angles égaux, deux côtés égaux mais non parallèles, et deux autres parallèles mais inégaux. Du point de vue des éléments en jeu, c’est donc une figure plus complexe que le parallélogramme dont il ne possède plus le parallélisme des côtés deux à deux, mais il présente par contre une symétrie entière du point de vue de sa médiane transversale c’est-à-dire de l’axe de coordonnée vertical si le trapèze est posé sur l’un de ses côtés parallèles. Aussi comporte-t-il des erreurs systématiques beaucoup plus simples que celles du parallélogramme.

Par contre, il nous met en présence d’un problème nouveau par rapport à ceux des § § 3 à 8 et d’un problème que nous retrouverons à l’occasion des illusions de Müller-Lyer et de Delbœuf : pourquoi le petit côté du trapèze est-il surestimé et le grand sous-estimé alors que la relation qui les unit est une inégalité qui devrait, si elle était seule en jeu, conduire à l’effet contraire ? Or, les inversions de sens que nous avons rencontrées jusqu’ici (élargissement du rectangle sous l’influence de sa diagonale figurée, sous-estimation de la hauteur de l’angle aigu et élargissement apparent de sa ligne

d’ouverture sous l’influence de l’inclinaison des côtés, etc.) étaient fous dus à des effets d’inclinaison dont le type élémentaire est celui de la fig. 4 du § 5). Dans le cas du trapèze, on pourrait dire de même que l’inversion dans l’estimation de la longueur des côtés parallèles est due aux angles aigus et obtus qu’ils font avec les côtés non parallèles et dont les surestimations et sous-estimations respectives redressent ces derniers côtés et inversent les longueurs apparentes des côtés parallèles. Mais cette explication ne vaudra plus pour l’illusion de Miiller-Lyer lorsqu’elle sera présentée sans pennures et au moyen de seules droites parallèles et inégales ¹. Elle vaudra encore moins pour les cercles concentriques de Delbœuf dont le petit (intérieur) est surestimé sous l’influence du grand et 1e grand (extérieur) dévalué sous l’influence du petit.

Dire qu’en de tels cas il y a assimilation (= égalisation) et non plus contraste n’est qu’une explication verbale, car il resterait à montrer pour quelles raisons l’égalisation se substitue au contraste. Tout notre effort a au contraire consisté jusqu’ici à nous passer de cette opposition facile et à tout réduire à des renforcements d’inégalités (contrastes), même quand le résultat en est une égalisation subjective sous l’effet d’une inversion due elle-même à des renforcements d’inégalité (comme dans le cas des inclinaisons). Mais alors, quelle est la raison de cette inversion dans l’exemple du trapèze et dans la catégorie d’illusions dont nous abordons l’étude (trapèze, Müller-Lyer et Delbœuf), si l’on ne fait par directement appel aux angles puisqu’ils n’interviendront pas en chacun de ces cas ?

La nouveauté des relations perceptives du trapèze par rapport à celles du rectangle est simplement celle-ci. Dans le cas du rectangle un grand côté B est comparé à un petit A et la différence entre eux B-A, tout en jouant un rôle essentiel dans le mécanisme de la surestimation du premier et de la sous- estimation du second, ne constitue pas un élément proprement dit de la figure, c’est-à-dire un élément isolable et perceptible de façon indépendante. Dans le cas du trapèze, au contraire, la différence entre le plus grand des côtés parallèles B et le plus petit A est une ligne virtuelle A’, donc un intervalle vide, mais immédiatement perceptible puisqu’il correspond à l’écart marqué par les côtés obliques non parallèles, c’est-à-dire à la ligne d’ouverture de l’angle formé par ces côtés, et à une ligne d’ouverture prolongeant à ses deux extrémités le plus petit des côtés

1 Voir plus loin la fig. 22, n° 3 (I 3 et II 3).

1 Les mesurants étant des droites échelonnées par 2 mm.

Cela dit, l’originalité du groupe de figures dont nous abordons l’étude est de faire intervenir la différence A’ à titre de facteur au même titre que les éléments A et B : lorsque A’ est plus petit que A (et il ne l’est pas toujours) et plus petit que B (et il l’est toujours), A’ est alors dévalorisé simultanément par A et par B, ce qui a pour effet de valoriser A et de dévaluer B. Le renversement de la situation créée par la relation A < B est donc, en ces cas, dû à la dévaluation de leur différence par les deux termes de la relation, et pas seulement aux effets angulaires. Mais comme, en de tels cas, la dévalorisation de la différence peut se traduire aussi en langage angulaire (puisque la différence A’ est fonction des angles a et β (voir la fig. 20), il conviendra donc que nous cherchions la relation qui existe entre ces deux interprétations.

Nous avons fait (avec E. Deutsch) deux expériences sur le trapèze, la première consistant à mesurer la petite base A constante (60 mm) avec variation de la grande (de 65 à 500 mm), la hauteur de 35 mm restant inchangée, et la seconde à mesurer une grande base B constante (60 mm également) avec variations de la petite (5, 10, 20, 30, 40, 50 et 55 mm) et une hauteur de 35 mm inchangée ¹. Les résultats ont été les suivants (sur les adultes) :

Tabl. 14. Erreur systématique (en % de l’élément constant) sur la petite base avec variation de la grande :

non parallèles. En d’autres termes, la différence A’ (voir la fig. 20) est bien un élément, non pas de la figure géométrique (ou opératoire) mais de la figure perçue, et cela en tant que les obliques sont toujours appréhendées en référence avec des verticales et des horizontales.

figures dont nous abor-

B

65

70

75

90

100

110

120

130

140

150

160

E. syst.

1,9

3,3

6,0

11,0

11,3

13,9

15,9

16,0

15,2

14,8

10,5

B

170

180

190

200

210

220

300

350

400

500

mm

E. syst.

10,1

10,3

9,1

8,9

7,5

7,8

8,9

8,3

4,4

5,2

Tabl. 15. Erreur systématique sur la grande base avec variation de la petite :

On constate ainsi la présence d’un maximum positif net pour l’expérience I, aux environs de 120-130 mm donc de B = 2A, et d’un maximum négatif moins bien dégagé pour l’expérience II, aux environs de 5-20 mm.

I. Pour expliquer la surestimation de la petite base A indépendamment des effets d’angles, sur lesquels nous reviendrons, nous pouvons invoquer trois ou cinq sortes de relations :

(1) La relation entre A et B (voir la fig. 20)

(2) La relation entre B et A’ ; ou (2 bis) entre B et 2A’

(3) La relation entre A et A’ ; ou (3 bis) entre A et 2A’

Notons d’abord que les relations (1) et (2 bis) sont équivalentes du point de vue du calcul des différences puisque B— A = 2A’ et B— 2A’ = A. D’où une seconde remarque : si B varie, tandis que A reste constant, B est à mettre en relation avec 2A’ (2 bis) et non pas avec A’ seul (2) puisque les variations de B et de 2A’ sont concomitantes. Au contraire, A constant est à mettre en relation avec les variations de A’ seul, sous la forme 2(A— A’) et non pas A— 2A’, puisque ces variations de A’ sont indépendantes de A. Il ne reste donc que trois relations possibles : (1), (2 bis) et (3), dont deux équivalentes. Or, il est clair que les relations (1) et (2 bis) ne peuvent pas agir simultanément, puisque B = A+2A’ et que si B dévalue A il ne peut pas dévaluer 2A’ simultanément, et réciproquement, sous peine de se dévaluer lui-même directement. Or, comme A est surestimé, c’est donc la relation (2 bis) qui est la bonne, puisque la dévaluation de 2A’ différence entre A et B) aura pour effet de valoriser A et de dévaloriser B (mais cette fois indirectement), ce qui est conforme aux faits. Nous écrirons donc comme suit le facteur principal de la surestimation de A, que nous appellerons P₁ :

(B— 2A,)2A, A (B— 2A,)2A,

(15) P₁ =  × — = ■ si A = 1

BH B B²H

En assignant à A constant la valeur 1 et à H la valeur 0,58, nous obtenons alors pour P_l les valeurs théoriques suivantes :

B =

65 70

75 80 90 100

110

120

130

140

150

Pi =

0,12 0,21

0,27 0,32 0,37 0,41

0,427 0,431

0,428 0,422 0,41

B =

160 170

180 190 200 210

220

300

350

400

500

p₁ =

0,40 0,39 0,38 0,37 0,36 0,34 0,33

0,27

0,24

0,21

0,19

On voit qu’il existe une convergence relativement bonne entre ces valeurs théoriques (qui sont, rappelons-le, exclusivement relatives et nullement absolues ¹) et les valeurs expérimentales du tableau 14 : maximum aux environs de B=2A (120) et montée rapide de la courbe entre 65 et 120, puis descente lente entre 120 et 500.

Quant à la relation entre A et A’ (rel. 3), elle passe par un maximum à B = 90 et par une valeur nulle pour B = 180 (A’ = A = 60), puis présente un nouvel accroissement. Ou bien donc cette relation n’intervient pas, ou bien elle compose avec la relation précédente² (prop. 15), auquel cas on a toujours un maximum pour B — 2A (soit 120) mais un nouvel accroissement vers β=200-250, ce qui pourrait correspondre à certaines irrégularités dans les courbes empiriques (mais rien ne prouve naturellement que cette seconde relation se compose en fait à coefficient égal avec la première).

Notons maintenant que ce maximum pour B = 2A correspond à des angles de 45° entre les côtés non parallèles du trapèze et la grande base, et de 135° entre ces mêmes côtés et la petite base (pour la hauteur considérée). On pourrait donc interpréter l’illusion comme si elle ne dérivait que des angles, ceux-ci ayant pour effet cumulatif (par surestimation des aigus et sous-estimation des obtus) de redresser les côtés non parallèles, donc de valoriser A et de dévaloriser B. Or, ces deux sortes de facteurs ne coïncident pas en théorie, car si, dans les valeurs calculées d’après la prop. 15, on remplace les hauteurs de 0,58 par des hauteurs de 1, de 0,2 ou de 0,1, on trouve encore un maximum pour B = 2A, qui ne coïncide plus alors avec des angles de 45 à 135°. Les deux interprétations ne convergent ainsi pas entièrement et nous laisserons donc le problème ouvert pour le reprendre à propos des doubles trapèzes.

1 D’où le droit de les réduire à 1, c’est-à-dire de les exprimer en dixièmes.

2 En multipliant le numérateur par (A-A’)A’ si A > A’ ou par (A’-AtA si A’ < A mais sans rediviser par B²H.

IL En ce qui concerne maintenant la sous-estimation de la grande base B, la dévalorisation de A’ en rend compte également, puisque dévaluer la différence entre A et B, c’est aussi bien sous-estimer B que surestimer A. Mais comme, dans cette expérience II, la petite base A seule varie, nous ne pouvons plus, en vertu de nos règles de calcul, mettre B en relation avec 2A’, mais seulement avec A’ seul. Nous aurons alors d’abord :

(B— A,)A, 2B 2(B— A’)A’

(|₆₎ P₁ = ×- = _■

BH B B²H

2(B— A’)A’
d’où, pour B - 1,

H

ce qui donne, pour B — 1 et H = 0,58 (35 mm sur 60 pour B) :

A 0 5 10 15 20 30 40 45 50 55 mm

P J — 0,86 — 0,85 — 0,83 — 0,80 — 0,76 — 0,64 — 0,47 — 0,37 — 0,27 — 0,13

On voit que si ces valeurs théoriques se distribuent d’une manière assez convergente avec celles du tableau 15, elles ne fournissent par contre pas de maximum à 15 (c’est-à-dire A = B/A) comme les valeurs expérimentales de ce tableau 15 semblent l’indiquer, mais à A = 0, c’est-à-dire lorsque la figure prend la forme d’un triangle. Notons d’ailleurs d’emblée que dans l’expérience faite avec des doubles trapèzes (voir plus loin § 9, tableau 16), on trouve effectivement ce maximum pour A = 0. Mais dans le cas où il s’agit d’un trapèze unique, et où la figure pour A = 0 a la forme d’un triangle et non pas d’un losange (avec deux triangles accolés et symétriques), il se peut que la relation (2) en jeu dans la prop. 16, ne soit pas seule à l’œuvre et que les autres relations distinguées plus haut interviennent également, c’est-à-dire la relation (3 bis) (entre A et 2 A’ puisque A et A’ varient simultanément) et la relation (1) (entre B et A). La relation (3 bis) donne alors pour B = 1 :

(A— 2A,)2A,×B (A— 2A,)2A,

(17) P₂ = = — si A > 2A’

BHXB H

(2A’~A)A

et si A < 2A’

H

Or, cette relation fournit bien un maximum à A — 15 (= B/4), mais une erreur nulle pour A = 30 (= B/2) et un nouveau maximum pour A = 45 {=3B∕4). Par contre, si l’on compose entre elles les prop. 16 et 17 (en multipliant leurs numérateurs et en ne divisant qu’une fois par H = 0,58) on trouve :

Ce qui correspond cette fois à un maximum unique et pour A = B/4 comme dans la courbe expérimentale du tableau 15.

Quant à la relation (1), on a

(B— A)A B (B— A)A

(18) P₃ = X — = si B = 1

BH B H

qui équivaut à la prop. 15 et donne comme elle un maximum à A = B/2.

Mais si l’on compose cette relation avec les deux autres (soit les prop. 16, 17 et 18), on retrouve le maximum à A=B∕4.

Notons maintenant que si le maximum expérimental du tableau 15 se confirme pour A=B∕4, il ne correspond plus à un angle de 45°. Par contre, pour  = 0, le maximum trouvé pour les doubles trapèzes (H = B/2) correspond à l’angle de 45°, mais soulève alors une question sur laquelle nous reviendrons.

Au total, on voit que si les deux illusions du trapèze s’expliquent bien par les relations entre les deux bases A et B et leur différence A’ considérée comme un élément de la figure (cf. fig. 20), cela signifie que trois relations peuvent intervenir concurremment. En ce cas, l’une d’entre elles peut dominer les deux autres, c’est-à-dire s’imposer avec une probabilité plus grande (et 1a plus probable est alors 1a relation entre B et A’ : prop. 15 et 16, puisque B est 1a longueur totale et A’ sa différence avec la longueur de 1a petite base) ; ou les trois agir ensemble. Dans les deux éventualités 1e calcul s’accorde suffisamment avec l’expérience, puisque le maximum très accusé du tableau 14 correspond aussi bien à la prop. 15 qu’à sa composition éventuelle avec l’autre facteur possible et puisque le maximum peu net du tableau 15 s’accorde avec les compositions éventuelles des prop. 16 à 18, tandis que le maximum

très net des doubles trapèzes correspond, comme nous allons le voir maintenant, à la prop. 16.

La célèbre illusion de Müller-Lyer n’est pas autre chose qu’un effet de double trapèze, la figure à pennures externes représentant deux trapèzes accolés par le plus petit des deux côtés parallèles et la figure à pennures inverses deux trapèzes accolés par le plus grand de ces côtés (fig. 21). Nous le vérifierons d’ailleurs à l’instant en contrôlant que la courbe des erreurs est la même avec cette configuration de double trapèze et avec la configuration habituelle. Il est donc étrange que l’on ait souvent cherché tant d’explications de l’illusion de Müller- Lyer sans recourir à une analyse de sa composante élémentaire, c’est-à-dire du trapèze lui-même¹.

On pourrait ainsi penser que notre travail est achevé avec l’établissement, au § 9, des lois du trapèze. Mais il reste, d’une part, à contrôler l’explication donnée en étudiant les variantes de la figure de Müller-Lyer, avec ou sans pennures (donc avec ou sans figuration de l’élément angulaire). Il reste, d’autre part, a chercher les relations entre le schéma proposé et l’explication par les angles.

Nous avons donc, avec la collaboration de Monique Müller, repris l’analyse de la figure de Müller-Lyer, d’une part pour compléter les résultats anciens de la Rech. XI, et d’autre part, pour faire la liaison avec les problèmes du trapèze. Nous avons à cet égard étudié concurremment les six sortes de figures suivantes (voir la fig. 22) : 11 des doubles trapèzes accolés par la petite base ; I 2 la figure classique à pennures externes ; 13 la même structure mais composée de droites parallèles ; III des doubles trapèzes accolés par la grande base ; 112

1 Cf. les explications de Wundt et de Delbœuf par les mouvements oculaires parcourant la longueur et soit disant favorisés ou défavorisés à cause des pennures externes ou internes.

la figure classique à pennures internes et II 3 la même structure en linéaire.

Pour simplifier nous emploierons le même symbolisme qu’au § 8 (voir la fig. 23) : B pour la grande base du trapèze ou ce qui lui correspond en (2) et en (3), A pour la petite base et 2A’ pour la différence entre les deux. Dans toutes les figures utilisées, A est de 60 mm en I ainsi que B en II et la hauteur H de 60 mm, (c’est-à-dire de 30 mm pour un seul trapèze et non plus de 35 comme au § 9).

Tabi.. 16. Erreurs systématiques positives de Miiller-Lyer sur les trois figures I 1, 1 2 et I 3 ¹ :

B

70

80

90

100

110

115

I 1 (doubles trapèzes)

4,9

9,2

12,2

15,3

16,0

16,6

I 2 (class.)

5,4

10,5

13,8

14,4

11,6

15,5

1 3 (parall. inégales)

0,9

1,0

1,6

2,9

3,2

2,6

B

120

125

150

200

250

300

1 1 (doubles trapèzes)

17,6

15,7

15,7

11,2

8,8

6,8

I 2 (class.)

16,1

15,0

13,8

7,5

5,6

5,3

1 3 (parall. inégales)

3,5

2,6

2,3

2,6

1,6

1,5

Du point de vue de la formulation, ces distributions ne nous posent pas de nouveau problème : elles coïncident remarquablement avec la prop. 15 du § 9 : croissance rapide de 70 à 110, maximum à B = 2A (= 120), puis décroissance très lente². Par contre, elles nous apportent deux sortes d’informations précieuses sur les problèmes encore en suspens.

En premier lieu, elles confirment à l’évidence l’identité de l’illusion du trapèze et de celle de Müller-Lyer : d’une part, en

1 20 adultes par groupe.

2 II est vrai que H vaut ici 1 et a été calculé sur 0,58 de A dans les valeurs données pour la prop. 15, mais le maximum calculé reste ainsi à B = 24

effet, la distribution des erreurs est la même en 1 1 (doubles trapèzes) que sur le tableau 14 (§ 9 : trapèze simple), presque sans différence de force moyenne (les maxima sont de 17,6 % et de 16 %) ; d’autre part, cette distribution se retrouve, à peine affaiblie, pour la figure classique (II 1), la courbe correspondant à cette dernière figure étant remarquablement semblable à celle du trapèze simple (tabl. 14 : maxima 15,9-16,0 et 16,1 en 120).

En second lieu, ces données du tableau 16 nous permettent enfin de résoudre le problème du rôle respectif des angles et des relations B>2A,. En effet, les trois figures I 1, 12 et 13 sont fort différentes au point de vue des angles tout en présentant les mêmes relations entre B et 2A’ :

(1) La figure I 1 présente, au maximum de l’illusion, deux sortes d’angles représentés par le dessin : les angles de 45° compris entre la grande base des trapèzes et leurs côtés non parallèles et les angles de 135° compris entre la petite base et ces mêmes côtés. En ce cas, l’action des angles peut être importante, en plus des effets B > 2A’, et c’est ce qui explique sans doute pourquoi cette figure I 1 donne les erreurs systématiques les plus fortes.

(2) La figure classique 12 comporte seulement une espèce d’angle déformant représentée par le dessin : ceux de 135° (pour l’illusion maximale) situés entre la droite A et les pennures externes. Par contre, les pennures elles-mêmes ne forment entre elles que des angles de 90°, perçus comme droits et n’étant donc comme tels source d’aucune déformation.

(3) Le figure 1 3, formée de parallèles inégales ne comporte aucun angle représenté par le dessin. A regarder ce dessin (pour la valeur maximale de 120) on perçoit à la rigueur l’angle virtuel de 90° compris entre l’extrémité des traits extérieurs les plus longs et celle du trait intérieur plus court, mais on ne perçoit nullement sous une forme virtuelle les angles de 45° et de 135° correspondant à ceux de la figure I 1.

Si les illusions sont les plus grandes sur les figures 1 1, un peu plus faibles sur I 2 (mais entre A = 70 à 90), et très faibles sur les figures I 3, c’est donc sans doute que les angles jouent un rôle dans la force de l’illusion. Encore faut-il n’être pas trop affirmatif, car la figuration des côtés non parallèles du trapèze en I 1 et des pennures en 12 renforce également l’inégalité B > 2A’. Mais ce rôle des angles, que nous ne nions pas pour autant n’est qu’un rôle de renforcement, puisqu’il n’explique en rien les erreurs systématiques de la figure 13, si

faibles soient-elles (car leur faiblesse ne les empêche pas d’exister) ni la position du maximum à B = 2A pour ces dernières figures également.

Nous avons néanmoins tenu à faire avec M. Millier les deux contrôles suivants pour vérifier la prédominance de la relation B > 2A’ sur le facteur constitué par les angles de 45° et 135" dans la configuration I 1 (doubles trapèzes) : (1) en laissant les angles de 45 à 135° constants (et la hauteur constante H = 6 cm) nous avons fait varier simultanément A (3 ; 6 ; 9 et 12 cm) et B (9 ; 12 ; 15 et 18 cm), la différence B — A = 2A’ demeurant ainsi invariante (6 cm) ; (2) en laissant les mêmes angles de 45 à 135° constants, nous avons fait varier la longueur de leurs côtés (donc des côtés non parallèles des trapèzes), ainsi que les valeurs de B (8 ; 10 ; 12 ; 14 et 16 cm), de 2A’ (2 ; 4 ; 6 ; 8 et 10 cm) et de H (2 ; 4 ; 6 ; 8 et 10 cm), la valeur de A demeurant par contre inchangée (6 cm).

Nous avons obtenu les résultats suivants (21 sujets adultes) :

Tλbl. 16 bis. Erreurs systématiques positives (en %) sur la petite base des doubles trapèzes (Müller-Lyer), les angles étant constants (45° et 135°) et le rapport entre B et 2N variable :

On constate alors que l’erreur varie fortement dans l’expérience (1), en fonction du rapport entre 2A’ et B (plus du simple au double entre A = 12 et A = 6), et encore très appréciable- ment dans l’expérience (2) en fonction du même rapport. Dans les deux cas le maximum demeure situé à 2A’ = B∕2 comme au tableau 16. Comme les angles sont maintenus constants, ces résultats semblent donc prouver que le facteur d’angle ne joue ainsi qu’un rôle secondaire, de simple renforcement.

Pour ce qui est de l’évolution génétique de l’illusion de Müller-Lyer, on sait assez depuis Binet, que celle-ci s’affaiblit avec l’âge. La Rech. XI fournit de nouveaux faits à cet égard, et montre une diminution assez régulière en fonction du développement, qui correspond à une diminution parallèle en fonction de la répétition (voir chap. III § 2).

11. Quant aux figures H 1, 112 et II 3 (voir la fig. 23), elles ont également donné lieu à des résultats instructifs :

Tabl. 17. Erreurs systématiques négatives de Müller-Lyer sur les figures II 1, II 2 et II 3 ¹ :

Λ

O

10

20

30

40

50

11 1 (doubles trapèzes)

— 12,5

— 10,3

— 9,8

— 9,4

— 7,0

-4,25

11 2 (figure class.)

— 

— 6,3

— 3,6

— 1,6

— 0,58 — 0,20

II 3 (parall. inégales)

— 

— 1,6

— 1,3

— 1,0

— 1,1

— 1,5

Du point de vue de la loi de l’illusion, on constate alors un fait intéressant : c’est que pour les doubles trapèzes le maximum se trouve à A = 0, c’est-à-dire pour un losange (consistant lui-même en un carré sur pointe puisque H = 4). Cette distribution des erreurs de 11 1 correspond donc à la déformation P_l(prop. 16 du § 9), c’est-à-dire à la dévalorisation de A’ par B. On ne trouve donc plus ici d’influence des déformations P₂ et P₃, du moins pour le maximum puisqu’alors 4 = 0, mais le peu de différence entre les erreurs pour 10 et pour 20 rappelle le maximum de A = 15 du tableau 15.

Quant au rôle des angles, on pourrait dire que l’erreur très affaiblie sur 113 montre leur intervention en II 1 et II 2. Seulement si les angles obtus en II 1 (entre les côtés non parallèles du trapèze et la petite base) exercent, en effet, sans doute une action puisque les erreurs en II 1 sont bien plus fortes qu’en II2 (contrairement aux rapports de 1 1 et de I 2 au tabl. 16), les angles de 45° en II 1 sont par contre accolés l’un à l’autre en un angle total de 90° (pour le maximum) qui rend par ailleurs douteuse une influence forte au point où précisément l’erreur est maximale. Ces figures confirment donc les conclusions tirées des figures 1 : que les angles jouent un rôle de renforcement, mais n’excluent pas l’action de la relation entre B et A’ comme semble l’indiquer la bonne convergence entre les distributions de II 1 et la prop. 16 du § 9.

Il resterait à parler des modifications des figures en hauteur, mais il est inutile de les discuter en détail : il suffit pour les formuler de faire intervenir les couplages (H— A,)A,, etc.

1 20 adultes par groupe.

La figure complète de Delbœuf (fig. 25) comporte deux paires de cercles concentriques, le cercle intérieur A₁ du premier couple (dont B₁ est le cercle extérieur) étant de diamètre égal à celui du cercle extérieur B₂ du second couple (dont A₂est le cercle intérieur). Au lieu de percevoir A₁ = B₂, on surestime au contraire A₁ sous l’influence de B₁ et on sous-estime B₂ sous l’influence de A₂. On constate donc à nouveau qu’il s’agit d’un soi-disant effet d’assimilation (= égalisation) et le problème se pose donc pour nous au sujet de cette illusion, comme de celles de Müller-Lyer et du trapèze, d’établir s’il en est bien ainsi ou s’il n’y a pas simplement dévaluation de la différence A’ existant entre A₁ et B₁ ou entre B₂ et A₂ (largeur de l’anneau compris entre les deux cercles). Le fait que cette configuration soit isomorphe à celle de Müller-Lyer, lorsque l’on élimine la figuration angulaire (pennure) pour ne retenir que la variante composée de simples droites (fig. 25), montre assez que l’on peut s’attendre une fois de plus à un effet d’inégalité entre les éléments de la figure (cercles) et la différence également figurale qui les sépare (largeur de l’anneau).

Mais la figure entière de Delbœuf est complexe et il convient, pour l’analyser, de distinguer deux situations qui ne conduisent pas exactement aux mêmes relations : (I) le cercle intérieur A₁ restant constant, on fait varier le diamètre du cercle extérieur B₁ et, par le fait même, la largeur de la bande A’ qui les sépare ; (II) le cercle extérieur B₂ restant constant, on fait varier le diamètre du cercle intérieur A₂ et, par le fait même, la valeur de l’intervalle A’ compris entre eux. Ce sont ces deux situations que nous étudierons tour à tour, sans plus nous référer à la figure complète du psychologue belge qui a baptisé cette illusion.

I. Nous avons jadis (Rech. I, 1942) étudié la situation I avec M. Lambercier, E. Boesch et B. v. Albertini, sur des cercles A₁ de 18, 24, 30, 36 et 72 mm de diamètre (variations de la grandeur absolue de la figure) et en faisant en chaque cas varier le cercle extérieur B₁ dans les mêmes proportions (19, 20, 22 mm, etc., pour A₁ = 18, 38, 40, etc. pour A₁ = 36, etc.). Nous avons mesuré la grandeur apparente de A₁ en ces multiples figures sur une centaine d’enfants de 5-12 ans et une trentaine d’adultes. On trouvera dans la Rech. I (p. 19) le détail de ces résultats qu’il serait trop long de transcrire ici pour chacune des cinq grandeurs absolues de figures analysées. Bornons- nous donc à fournir les moyennes générales obtenues ¹ en les rapportant aux variations de l’anneau de largeur A’ qui sépare les deux cercles concentriques A_i et B₁ et en comptant poui chaque figure le diamètre de A₁ pour 1 :

Tabl. 18. Illusion I de Delbœuf en fonction des variations de A’ (en % de .4) :

A’

0,02— 0,04

0,05— 0,08

0,1

0,16

0,2

0,3

0,5

P

+4,1

5,6

9,2

11,7

11,4

8,0

2.3

A’

0,8

1

1,5

2

2,5

3

3,5

P

0,7

— 1,0

— 2,1

— 1,9

— 2,0

— 0,6

0

Pour rendre compte de cette courbe des erreurs, il suffit alors d’appliquer la loi générale (prop. 3 du § 2) en distinguant les deux cas A’ < A et A’ > A. (1) Si A’ < A, L₁ = A et L₂ = A’, L_max ⁼ A+2A’ ; nL = 2A et S = (A + 2A,)². On pourrait aussi

1 Pour tous les âges, de 5-6 ans à l’adulte.

considérer S = τr [0,5(A+A,)]², ce qui donne d’ailleurs le même maximum, mais comme nous le verrons plus tard (chap. II) le sens de S est moins celui d’une surface géométrique que celui de tous les couplages possibles, ce qui rend acceptable la formule (A+2A,)² proposée pour S. (2) En négatif on aura L₁ = A’ et L₂ = A, les autres termes restant inchangés. La loi de l’illusion I sera donc :

2A(A-A’)A’ 2A’— 2A’²

(19) P = = si A > A’ et A = 1

(A + 2A,)²×(A+2A,) (A+2A,)³

et (19 bis)

2A(A’— A)A 2(A’— A)

P = = — — si A < A’ et A = 1

(A + 2A,)²×(A + 2A,) (A+2A,)≡

Les valeurs théoriques de l’illusion sont alors ¹ (en les multipliant par 10, puisqu’elles sont relatives) :

1 La formule de la p. 107 de la Rech. IV est équivalente à la prop. 19, 1

mais elle contient pour 19bis un correctif — qui nous paraît aujourd’hui A’

On voit ainsi que l’allure générale et le détail des courbes théoriques et expérimentales convergent de façon satisfaisante : erreur positive 6 à 7 fois plus forte que la négative ; maximum positif à A’ = 4/6 (donc 4’= 0,166), c’est-à-dire quand les rayons des cercles A et B sont dans le rapport de 3 à 4 ; erreur nulle médiane pour 4’ = 4 et maximum négatif entre 4’ = 1,54 et 4’= 24 (voir la fig. 26).

Ce maximum négatif est d’ailleurs assez flou du point de vue expérimental, parce que sa mesure suppose de grandes figures (puisque 4’ > 4) et qu’il est alors facile au sujet d’isoler A de B et de ne plus éprouver d’illusion. Aussi bien les illusions négatives sont-elles surtout fréquentes chez l’enfant, qui ne perçoit en général pas deux cercles concentriques, mais une sorte d’anneau solide dont les deux cercles marquent les bords : sa vision globale et concrète rend alors A plus solidaire de B et surtout de A’, d’où l’illusion négative plus forte. Néanmoins nous avons obtenu chez l’adulte des illusions négatives en moyennes pour les 4 = 18 ; 36 et 72 mm de diamètre, mais pas ou presque pas pour les 4 = 24 et 30 mm.

La question se pose maintenant de comprendre pourquoi la relation déformante de l’illusion I de Delbœuf est la relation 2(4— A,)A, et non pas (B— 2A,)2A, comme pour le trapèze (prop. 15) et l’illusion de Müller-Lyer (cas dans lesquels cette dernière relation peut d’ailleurs se combiner avec la première sans que cela modifie le maximum). En effet, la relation (B— 2A,)2A’ combinée avec 2(4— A,)A, donnerait ici un maximum à 4’=0,4 A et non pas 4’ = 0,166. Or, la raison en est simple : dans le cas du trapèze (ou du double trapèze constitutif de l’erreur de Müller-Lyer), la valeur B correspond à la grande base du trapèze, donc à une ligne figurée à part sur le dessin et bien distincte de la valeur A (= petite base). Dans le présent cas, au contraire, B est le diamètre du grand cercle qui contient le petit cercle A : la relation qui frappe perceptivement n’est donc pas celle qui unit le tout B à ses parties 24’ mais celle qui unit la partie centrale A aux parties latérales 4’. Et comme A est constant il faut compter 2(4— A,)A, et non pas (4— 2A,)2A,. En bref, dans les deux cas (Müller-Lyer et Delbœuf), l’illusion provient d’une mise en relation entre le tout B et sa partie A et d’un effet d’inégalité entre A ou B et leur différence A’, mais, lorsque B constitue un élément figurai distinct de 4+24’, la relation choisie est celle qui unit B à 24’ (prop. 15), tandis que, quand B n’est pas distinct figuralement de 4+24’, alors la relation choisie est celle qui unit (doublement) 4 à 4’ (et cela

d’autant plus que dans cette illusion de Delbœuf I, le jugement porte sur A et non pas sur B). Par contre, dans le cas de l’illusion de Delbœuf II (où le jugement porte sur B), la situation est un peu différente comme nous allons le voir maintenant.

II. L’illusion II de Delbœuf porte sur le cercle extérieurB de deux cercles concentriques ¹, en tant que ce cercle B est modifié perceptivement par le cercle intérieur A. On laisse alors constant ce cercle extérieur B en faisant varier le diamètre de A et en mesurant les effets produits sur B. Notre élève Koshro- pour a effectué ces mesures sur 20 sujets par année de 6 à 15 ans et sur 20 adultes. Mais avant d’indiquer ses résultats voyons ce que devient la formule théorique de l’erreur, étant donné maintenant qu’un cercle intérieur A variable doit être suivant la règle composé avec 2A’ et non plus avec un seul A’ comme lorsque le cercle A était constant (prop. 19). On aura donc :

B(A— 2A,)2A,

(20) P = si A > 2A’

B³

B(2A’— A)A

et (20 bis) P = — * si A < 2A’

B³

Il en résulte pour B —   1, les valeurs théoriques suivantes,² sans nous occuper pour l’instant des signes + ou — :

Voici maintenant les premiers résultats expérimentaux obtenus par Koshropour avec des cercles A variant de 4 en 4 mm : ³

1 B. dans la fig. 25 II.

2 Si 2 1’ = 0.25 de B — 1 alors A’ = 0.125 et A = 0.75. donc A’ = A/6 c’est-i-dire que ce premier maximum converge avec celui de la prop. 19.

3 Sur un cercle B de 36 mm de diamètre. Les A correspondant aux 2 A’ du tabl. 19 ont donc respectivement : 34, 30, 26, 22, 18, 14, 10, 6 et 2 mm de diamètre.

Tabi.. 19. Illusion II de Delbœuf (mesurée sur B) en fonction des variantes de 2A’ :

2A’

0,055

0,166

0,277

0,388

0,50

0,611

6-7 ans

— 0,46

— 0,16

— 0,69

0,27

0,74

0,80

8-9

0,52

0,32

0

0,52

1,24

0,80

10-12

0,90

0,47

— 0,29

— 0,06

0,96

0,82

13-15

1,44

0,74

— 0,32

0,55

1,24

0,69

Adultes

0,66

0,83

0

0,55

1,55

1,44

2A,

0,722

0,833

0,944

6-7 ans

0,46

0,60

0,58

(40 sujets)

8-9

0,88

1,17

0,55

(40)

10-12

0,29

0,27

0,20

(60)

13-15

0,49

0,38

0,46

(60)

Adultes

LU

1,11

0,61

(20)

A comparer ces résultats empiriques à la courbe théorique, on constate une convergence nette sur deux points et une absence de convergence sur le troisième :

(1) Le maximum théorique à 0,25 auquel nous n’avons pas conféré jusqu’ici de signe correspond à un maximum négatif net au tableau 19, et ce maximum négatif (dévalorisation de B) correspond au maximum positif de l’illusion I (surestimation de A), puisque si 2 A’ = 0,25B alors A’ = 0,166 A (car, en ce cas, A = 0,75 et A’ = 0,125).

(2) L’illusion 0 médiane des valeurs théoriques (pour 2A’ = 0,5) correspond à un maximum positif, bien net également à tous les âges (mais situé entre 0,5 et 0,61 à 6-7 ans), et il va de soi qu’il doit se trouver en ce point un maximum orienté dans le sens positif¹ si le maximum qui correspond à 2A’ = 0,25 est négatif.

3) Par contre le second maximum négatif que l’on attendrait alors à 2A’ = 0,75 ne se retrouve pas dans ces premières données d’expérience : on observe bien une légère déclivité de la courbe à certains âges entre le maximum positif de 0,5 et les valeurs finales, mais rien d’aussi net qu’à 0,25 (en fait 0,277 faute de mesures sur 0,25 même).

1 Maximum qui pourrait être un minimum d’illusion négative, situé à 0 ou même en dessous.

Trois problèmes demeurent donc en suspens : (a) celui du sens positif ou négatif des erreurs ; (b) celui d’établir pourquoi l’illusion médiane à 0,5 est positive et ne constitue pas une illusion négative minimum ou une illusion nulle ; (c) celui de comprendre pourquoi la courbe théorique, qui correspond bien aux résultats expérimentaux pour 2A’ = 0,25 et 0,5 n’y correspond plus pour 2A’ = 0,75. Il s’y ajoute une quatrième question (d) : pourquoi ces illusions sont-elles toutes si faibles, comparées à l’illusion I (tabl. 18)?

(a) Si nous n’avons pas posé d’emblée la déformation P de la prop. 20 comme étant négative (ce qui eût été légitime, puisque, si 2A’ est dévalorisé par A ou A par 2A’, cela peut conduire à une dévalorisation de B), c’est que la situation est plus complexe et beaucoup plus intéressante. Il se trouve, en effet, que si les cercles B_u et B_b correspondent à 2A’ = 0,277 et à 2A’ = 0,50 sont mesurés au moyen de cercles libres (non concentriques) que nous appellerons B_m, alors on a ordinairement, pour un B_m de 36 mm objectivement égal à B_& et à B_b, les jugements B_a<B_m et B_b > B_m, puisque B_& donne en moyenne une erreur nulle ou négative et B_b une erreur positive maximale avec ce genre de mesures. Par contre, si l’on compare B_λ à B_b, directement et sans mesurants du type B_m on trouve alors, sur 20 adultes, que 10 perçoivent B_λ> B_b (parmi lesquels les sujets les plus exercés, dont nous-même), 8 l’égalité B_λ= B_b et 2 seulement B_λ< B_b ! On a donc, pour la majorité des sujets :

(21) B_λ< B_m ; B_b > B_m et B_a > B_b

Avant de chercher à expliquer cette belle contradiction perceptive, fournissons encore, d’après Koshropour, le tableau des comparaisons de chacune des figures du tableau 19 avec chacune des autres, sur les mêmes 20 adultes.

Tabl. 20. Comparaisons directes (sans mesurants) de chacune des figures du tableau 19 avec chacune des autres (totaux en >, < et =) :

2A’ 0,055

0,166

0,277

0,388

0,50

0,611

0,722

0,833

0,944

> 70

70

71

51

35

37

37

34

35

= 54

55

56

64

70

68

69

63

61

< 36

35

33

45

55

55

54

63

64

A comparer ces jugements à ceux des adultes du tableau 19, on constate que les quatre premières figures qui donnent les surestimations de B les plus faibles avec mesurants B_m sont ici jugées plus grandes que toutes les autres, tandis qu’à partir du maximum du tableau 19 (à 0,5) c’est le jugement inverse qui l’emporte !

La contradiction exprimée par la prop. 21 étant ainsi vérifiée, il est facile de l’expliquer. L’illusion de Delbœuf II est essentiellement instable, si la prop. 20 est vraie, puisque la dévalorisation ou la surestimation du tout B reposent simplement sur celles de l’une de ses propres parties 2A’ ou A, dont l’une est valorisée sous l’influence de l’autre : en effet, si B = A+2A’, et si A est valorisé par la dévalorisation de 2A’ ou l’inverse, le tout B peut alors aussi bien être dévalorisé que surestimé puisqu’il n’est rien de plus que la réunion A+2A’ ! Dès lors, si l’on compare B_a (caractérisé par 2 A’ = 0,25 ou 0,277) au cercle vide B_m, ce qui frappe est que B_λ est distinct de son cercle concentrique A : la différence 2A’ entre A et B, qui est dévalorisé par A, dévalorise alors B_a, d’où l’illusion négative. Au contraire, si l’on compare directement B_a à B_b(contenant un cercle A de 0,5), ce qui frappe est que, tous deux contenant un cercle concentrique, celui de B_& est plus grand que celui de B_b. Or, comme A_a est valorisé par 2A’ aussi bien que 2A’ est dévalorisé par A_o, en ce cas A_a, remarqué plus que 2A’, valorise alors B_λ !

Bref, la prop. 20 et ses valeurs théoriques peuvent se lire aussi bien en négatif qu’en positif, puisque les cercles B sont composés de deux parties A et 2A’ dont l’une est surestimée et l’autre sous-estimée : c’est alors suivant le contexte, c’est-à- dire l’élément auquel est comparé B (un cercle vide ou une autre paire de cercles concentriques) que les mêmes relations composantes agissent en négatif ou en positif.

(b) Mais pourquoi en ce cas l’erreur médiane (2A’ = 0,5) n’est-elle pas nulle ? La raison en est que quand le jugement est porté sur B et non pas sur A, la figure formée de cercles concentriques constitue un espace divisé au sens d’Oppel-Kundt (voir § 13). Preuve en soit (Koshropour l’a fournie à notre demande) qu’en augmentant le nombre des cercles étroits de 1 à 2 et à 3 le cercle B paraît d’autant plus grand. Du point de vue de la prop. 20, l’erreur sur 2A’ = 0,5 constitue donc bien un zéro, mais dont la position est relative, et il s’y ajoute un autre facteur (espaces divisés) qui situe ce zéro relatif à un certain niveau à partir duquel se distribuent les erreurs

dépendant de cette prop. 20, et cela, comme on vient de le voir, dans un sens soit positif, soit négatif selon le mode des comparaisons.

(c) Venons-en au problème en apparence le plus délicat : pourquoi la prop. 20, qui s’applique bien au maximum négatif (avec mesures au moyen de B_m) de 2A’ = 0,25 et au maximum positif de 2A’ = 0,5, ne joue-t-elle plus pour le second maximum négatif de 2A’ = 0,75 ? Nous nous sommes demandé si, pour des erreurs aussi faibles, il ne s’agirait pas d’une question d’échelle et avons suggéré à Koshropour de reprendre des expériences sur adultes, mais avec un échelon de 2 mm entre les cercles intérieurs et non plus de 4 mm. Pour ce qui concerne le calcul théorique, nous nous sommes aussi demandé si, en plus de la relation fondamentale (4— 2A,)2A, ou (2A,-A)A de la prop. (20), il n’interviendrait pas la relation (B— 4)4 (comme dans les illusions du trapèze et de Müller-Lyer), étant donné le fait que, dans cette illusion II de Delbœuf, le jugement porte sur B et non pas sur A comme dans l’illusion I.

Nous avons alors composé le facteur (B— 4)4 avec la prop. 20, sous la forme suivante :

[B(A— 2A,)2A,] X [(B— A)A]

(22) P_comp =

B^s

[B(2A,-A)A] X [(B— A)A] e :

B³

dont les valeurs théoriques sont :

2A’ = 0,1 0,2 0,25 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,75 0,8 0,9

^p<w₁∣₁ = 0.072 0,192 0,234 0,252 0,192 0 0,192 0.252 0,234 0,192 0,072

Quant aux mesures à 2 mm d’intervalle entre les A, elles ont donné :

Tabl. 21. Illusion H de Delbœuf en fonction des variations de 24’ les cercles A étant de 34, 32, 30, … 4 et 2 mm de diamètre pour un B de 36 mm :

2A’

0,055

0,111

0,166

0,222

0,277

0,333

0,388

0,444

0,5

P

1,06

1,46

1,33

1,00

1,00

0,80

— 0,40

0,86

1,00

2A’

0,555

0,611

0,666

0,722

0,777

0,833

0,888

0,944

P

1,46

0,86

0,40

0,66 -

-0,53

0,40

0,40

0

On constate qu’il existe cette fois un second maximum négatif, aussi net que le premier, et que la courbe expérimentale est donc sensiblement plus voisine de la courbe théorique (fig. 27). Quant à savoir si les valeurs de ce tableau 21 correspondent davantage à la prop. 20 ou à la prop. 22, il est difficile de le dire, car si l’un des nouveaux maxima négatifs est plus proche de 0,3 que de 0,25 l’autre l’est davantage de 0,75 que de 0,7 et le maximum positif est décalé de 0,5 à 0,55. Il semble donc y avoir là un décalage général dû à un effet temporel renforcé par le plus grand nombre de variables et non pas un accord supérieur avec la prop. 22 par opposition à la prop. 20. Par contre, ce qui subsiste, et là est l’essentiel, c’est la présence, maintenant vérifiée, de deux maxima négatifs et d’un positif.

(d) Enfin, dernière question : pourquoi les illusions II (tabl. 19 et 21) sont-elles environ dix fois plus faibles que les illusions I (tabl. 18) ? La raison en est évidemment la même que celle invoquée sous (a) pour expliquer le caractère, tantôt positif, tantôt négatif, des erreurs : l’illusion étant instable, puisque le tout B peut être à tour de rôle valorisé par l’une de ses parties (A ou 2A’) ou dévalorisé par l’autre (2A’ ou A), elle ne peut être que très faible en tant que résultant de composantes antagonistes.

Nous avons quelque peu insisté sur cette belle illusion II et nous en excusons auprès du lecteur, mais il nous semble qu’elle en valait la peine, tant du point de vue des précautions à prendre pour la vérification expérimentale que de celui des difficultés de l’élaboration théorique.

I. La meilleure vérification du bien fondé de l’interprétation que nous venons de proposer de l’illusion de Delbœuf est qu’on peut lui assigner une forme simplement linéaire en remplaçant le cercle intérieur par un segment de droite A et la largeur A’ de l’anneau compris entre ce cercle et le cercle extérieur par deux segments variables A’ entre lesquels est inséré le premier (fig. 28). En ce cas, on ne se trouve plus en présence de deux éléments figuraux distincts 4 et B et d’une différence A’ qui n’est pas figurée à titre d’élément mais qui est perçue comme telle dans l’ensemble de la figure : au contraire, la différence A’ devient l’un des éléments explicitement figurés, tandis que le grand élément B comprenant le petit (A), et correspondant au grand cercle extérieur, ne représente plus que la ligne totale (B = A+2A,) qui n’est plus perçue à titre d’élément distinct. Or, l’intérêt de cette transformation des cercles de Delbœuf en une figure linéaire est que la loi demeure sensiblement la même,

ce qui légitime, nous semble-t-il, l’hypothèse sur laquelle était fondé notre calcul : que le facteur principal est la différence A’ dont les re- la+ions avec la longueur A déterminent la position des maxima observés.

maximum positif, et l’autre consistant à faire comparer chacune des figures (avec variations de A’ sur la figure 28) à la précédente dans la série ordonnée (en fonction de 4’), avec simple comparaison des A entre eux et sans mesurants extérieurs à ces figures.

La première méthode, appliquée par Mme Vinh-Bang à vingt adultes avec des A de 30 mm et des A’ de 1, 2, 3, 4, 5, 10, 20, 30, 40, 50, 60 et 70 mm, a donné les résultats suivants :

Tabi.. 22. Déformation d’un segment de droite A compris entre deux segments égaux A’ (en % de la longueur de A) :

On retrouve ainsi le maximum positif aux environs de A’ = A/6 (5 mm sur 30), tandis que, pour A = A’ (30 mm) et pour A < A’, on ne retrouve ni illusions nulles médianes nî négatives pour les raisons qu’on a vues. Par contre, la seconde méthode (comparaison deux à deux de figures comportant un A de 50 mm et des A’ de 2 à 100 mm) a donné sur 20 adultes les résultats suivants (Rech. IV, tabl. V) :

Tabl. 23. Comparaison de proche en proche entre les figures (en excès de 4- et de — ) :

Ces nombres signifient : (a) que la figure à A’ = 5 a donné lieu à une majorité (de 12)¹ de jugements surestimant A par rapport au segment A inséré entre deux A’ de 2 mm ; (b) que la figure à A’ = 8 a donné lieu à son tour à une majorité (de + 9) de jugements surestimant A par rapport au segment A inséré entre deux A’ de 5 mm ; (c) que la figure à A’ = 10 a,

1 Les jugements d’égalité sont répartis en 1/2 + et 1/2 — . Une majorité de 12 équivaut donc à 16 (+) et 4 (— ) et une majorité de — 13 équivaut à 3 1/2 (+) et 16 1/2 (— ).

par contre, donné lieu à une minorité (de — 4) de tels jugements par rapport à la figure précédente, etc. En d’autres termes, le segment A semble croître jusqu’à A’ = 8 (donc aux environs de A’ = 4/6), puis il décroît subjectivement jusqu’à A’ = 80 (donc aux environs de A’ = 1,7 4) pour croître enfin à nouveau. Ces comparaisons confirment donc l’existence du maximum positif du tableau 22, mais indiquent en outre la présence d’un maximum négatif conforme à celui qui a été observé et calculé pour la figure de Delbœuf en cercles concentriques (§ 11 sous I). Quant à l’illusion nulle médiane probable, on remarque la forte minorité de — 13 entre 4’ = 4 et 4’ = 60.

II. Il convient maintenant d’examiner le cas d’un segment A

A’ = 0,05

0,1

0,2

0,25

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

P = 0,40

0,66

0,92

0,96

0,95

0,87

0,74

0,58

0,42

0,27

A’ = 0,9

1

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

P = 0,13

0

-0,09-

-0,15-

-0,18— 0,20-

-0,21 -

-0,21 -

-0.20-

-0,16

constant accolé à un segment 4’ variable (fig. 29). En ce cas, il va de soi que les prop. 19 et 19 bis, qui régissent l’illusion de Delbœuf ne s’appliquent plus ici comme à la droite 4 insérée entre deux segments égaux A’. On aura par contre :

A(A— A’)A’

(23) P = si A > A’

(A +A,)²×(A +A’)

A(A’— A)A

et (23 bis) P = si A < A’

(A + A,)³

Si 4 = 1, les valeurs théoriques de l’illusion seront donc :

Pour contrôler cette distribution théorique, nous avons fait à nouveau deux sortes de recherches, l’une consistant à faire comparer les unes aux autres les différentes figures avec jugement sur 4 (4 = 50 mm et 4’ = de 2 à 100 mm), l’autre à prendre des mesures sur A (4 = 30 mm et 4’ = 1 à 70 mm), mais avec cet inconvénient qu’en ce cas le segment A est surestimé non pas seulement par contraste avec 4’ mais aussi en tant

que faisant partie d’un espace divisé (A+A,), ce qui a empêché d’obtenir des illusions négatives (quand A < A’) sur A par rapport aux variables. Voici d’abord les résultats de la première technique, obtenus sur 50 adultes, puis, quant à la région comprise entre A’ = 8 et A’ = 25 mm (nous ne savions pas alors que le maximum théorique serait donné pour A, = A∕4), sur 10 sujets exercés (avec introduction de A’ = 12,5 mm) :

Tabl. 24. Comparaisons de proche en proche entre les figures A + A’ (en excès de + et de ■— ) :

Les maxima positif et négatif semblent ainsi se trouver dans les régions correspondant à la courbe théorique (passage des + aux — ■ vers A’ = 12,5 et des — aux + vers A’ = 75-100.) Quant aux mesures (prises par Mme Vinh-Bang), elles ont donné, sur 20 et 15 sujets adultes :

Tabl. 25. Déformations d’un segment A constant (30 mm) suivi d’un segment A’ variable¹ :

Ici à nouveau le maximum positif semble situé dans la région prévue théoriquement, donc entre A’ = Ai A et A’ = Ai3 (soit 0,96 pour A’ = 0,25 et 0,95 pour A’ = 0,3). Il est en tous cas décalé par rapport au maximum de A’ = ∠4∕6 correspondant à

1 Erreurs systématiques en % de 30 mm.

la situation où le segment A est inséré entre deux A’ égaux et non pas suivi d’un seul A (voir sous I, tabl. 22).

III. Avant de passer de ces figures 28 et 29 à celle d’Oppel- Kundt (espaces divisés) qui en est la généralisation (§ 13), il reste à nous demander ce que fournit l’interaction de deux droites inégales A et B (où A < B) si elles ne se prolongent pas l’une l’autre mais sont au contraire parallèles (fig. 30) : observerons-nous, en ce cas, une simple dévaluation de A par B, comme dans la situation de prolongement, ou au contraire les résultats expérimentaux imposeront-ils un calcul fondé sur les relations entre A et A’, où A’ est la différence entre B et A (<znii∙ 4’ = R— 4λ mais nnp diffprpnrp

perçue comme un élément figurai (quoique vide de tout trait) ainsi que nous avons été conduits à l’admettre dans les cas du trapèze et des figures de Müller- Lyer et de Delbœuf ? Théoriquement, c’est à cette dernière éventualité que l’on devrait s’attendre, puisque les figures 30 constituent en fait des demi-trapèzes (dans lesquels le côté oblique réunissant les extrémités non congruentes de B et dp A dpmpnrp gimn1pmp∏f vir+np1λ

Nous avons donné ce problème à étudier à notre élève M. Mansour et ses résultats ont été relativement nets. En choisissant un élément S de 7 cm et des A de 1, 2, 3 … 6 cm (distants de B de 4 mm), et en mesurant les dévaluations ou surestimations de A au moyen de variables carrées (avec comparaison de A et du côté du carré) ¹, il a obtenu ce qui suit en situations verticales, horizontales et obliques (à 45°) :

1 Les variables sent situées à 9 cm de A, lui-même séparé de B par 4 mm. Il est à noter que les résultats du tabl. 26, qui montrent la mise en relation entre A et la différence A’ ne s’obtiennent que si les variables V sont carrées ou d’une forme différente de celle des éléments linéaires A : en ce cas, en effet, la figure composée de B et de A forme un tout à part et A est perçu dans se relations avec A’ autant qu’avec B. Par contre, si l’on utilise des variables linéaires VI, semblables à A, il s’établit une sorte de configuration d’ensemble entre B, A et VI, les éléments A et VI étant reliés par deux horizontales virtuelles tirées respectivement entre- leurs bases et entre leurs sommets : il en résulte que l’élément B est ainsi opposé aux éléments A = VI et que la comparaison se fait surtout entre B et A et non plus entre A et A’. Sur 20 adultes, Mansour a, en effet, trouvé les résultats suivants avec des variables linéaires VI :

A = 10 20 30 40 50 60 mm

Err. syst. — 2,2 — 2,75 — 3,7 — 2,6 — 2 — 1,3

On voit que ces résultats sont conformes à ceux de la prop. 25 (mais en négatif, puisqu’il s’agit de la dévalorisation de A par B et non pas de la

Tabl. 26. Erreurs systématiques sur A (en % de l’étalon) avec- variables carrées :

On voit ainsi que le segment A n’est nullement dévalorisé par B pour toutes ses valeurs mais qu’il est de plus en plus surestimé (avec peut-être un maximum vers /1 = 5) lorsqu’il dépasse la valeur objective A = B/2. 11 semble donc clair que l’estimation de la longueur de A dépend surtout de ses relations avec Æ(= B— /1) et non pas avec B. Examinons donc ce que donnent les calculs théoriques pour ces deux éventualités.

Les seules relations en jeu dans les figures 30 sont, en effet, celles entre A et A’ et entre B et A (identiques à celles entre B et 4’) ou leur composition. Les premières donnent :

(A— A’)A’ B

(24) P₁ = X — si A > A’

BH B

(A’— A)A B

et P₁ = X — si A’ > A

BH B

ce qui correspond dans le cas particulier (pour B = 7 et H = 0,4) à :

A = 1 1,75 2 3 3,5 4 5 5,26 6

P₁ = — 1,78 — 2,18 — 2,14 — 1,07 0 +1,07 +2,14 +2,18 +2,78

Les secondes donnent :

(B— A)A B

(25) P.. = • X — 

BH B

valorisation de B par A) et non pas à ceux de la prop. 24 (ou des prop. 24 et 25 combinées), comme c’est le cas des erreurs du tabl. 26.

Il est d’un certain Intérêt de constater ainsi que la forme de la variable suffit à modifier les résultats obtenus, selon que cette forme conduit à accentuer le rôle figurai de la différence A’ (variables carrées) ou à atténuer ce rôle figurai et à rétablir la relation simple entre les éléments A et B.

soit :

A =

1 2 3

3,5

4

5,25

6

P₂ =

+2,14 +3,57 +4,28

+ 4,37

+ 4,28

+ 3,57

+2,14

A

=

1

2

3

3,5

4

5

6

p

— 10,7

— 2,14

— 1,28

0

+ 1,28

+2,14

+ 1,07

F.f 1e nr∩dnif des deux fsans modifier donne :

Il est donc évident que les valeurs les plus proches (du point de vue relatif et non pas absolu) des données expérimentales sont, soit celles de la prop. 24 (relation entre A et A’), soit celles de la déformation composée (P_comp) qui comprennent cette même relation entre A et A’. On remarque au tableau 26 que la courbe en présentation oblique présente ses maxima pour A = 2 et 5 et non pas 1 à 6, ce qui correspondrait au calcul de la prop. 24, si le fait se montrait général.

Notons encore (autres résultats de Mansour) que si l’on fait porter les mesures sur l’élément B on trouve une courbe à peu près inverse des précédentes : B est en principe surestimé si A’ > A et sous-estimé si A’ < A, parce que la différence A’ est valorisée par A’ > A et dévalorisée par A’ < A. Si, d’autre part, on augmente l’intervalle entre les parallèles B et A la relation entre A et A’ domine encore jusque vers 12 mm (pour B = 70 mm), mais elle n’exerce plus guère d’action à 20-28 mm. Enfin, si l’on relie les extrémités de A et de B pour construire un demi trapèze et que l’on déplace progressivement A en le centrant par rapport au milieu de B (ce qui donne un trapèze entier et isocèle), on trouve tous les intermédiaires entre les propriétés perceptives des figures 30 et celles du trapèze (§ 9). Cette recherche jointe aux données exposées sous I, prouve donc à nouveau le rôle figurai de la différence A’ dans les configurations des types trapèze, Müller-Lyer et Delbœuf.

En transformant l’illusion de Delbœuf en une configuration linéaire et en lui adjoignant une autre illusion linéaire (un segment constant suivi d’un segment variable), nous avons admis que la longueur totale B ne jouait pas de rôle essentiel (sinon à titre de L_max au dénominateur de la formule) et que

ce rôle était dévolu aux relations d’inégalité entre les segments A et A’ (ou 2A’). Mais que se produit-il alors lorsqu’on égalise A et A’ et que l’on multiplie les segments ainsi égalisés ? On sait assez, depuis Oppel et depuis Kundt que la droite divisée ainsi construite est surestimée par rapport à une droite de même longueur non divisée. Or, les segments de la droite divisée étant tous égaux, il est évident qu’il ne saurait résulter aucune déformation de leur comparaison en tant que segments (ou parties) : puisque déformation il y a, et sous la forme d’une surestimation assez coercitive, c’est donc assurément que chacun des segments A est comparé, soit au tout lui-même B soit à l’ensemble des autres parties (B— A ou nA— A). Nous nous trouvons donc de ce fait en présence d’un nouveau type d’illusion, où le seul facteur déformant est la relation entre la partie et le tout lui-même (inutile de distinguer dans ce qui suit le tout B et l’ensemble des parties restantes n-l(A), car cette

i Mais il faut à cet égard indiquer d’emblée que l’illusion J d’Oppel-Kundt n’est plus entièrement « primaire » comme les i précédentes (§ § 3 à 12) : elle comporte déjà un facteur « secon- * daire » d’activité perceptive, sous la forme d’une activité d’exploration qui, circonstance très intéressante, renforce dans le cas particulier l’erreur au lieu de la diminuer comme dans les illusions précédentes. En effet, l’illusion d’Oppel-Kundt augmente avec l’âge, ce que nous n’avions pas aperçu dans la Rech. X à cause d’un mode de mesure par superposition (favorisant les mises en référence), mais ce qu’une nouvelle étude avec Vinh-Bang² et les recherches de E. Vurpillot ont mis en évidence depuis. En second lieu, chez l’adulte, cette illusion augmente en moyenne avec la répétition (Vurpillot) ou reste stable, mais ne diminue que rarement, tandis que les illusions de Müller-Lyer et du losange diminuent nettement avec l’exercice. Ces deux groupes de faits joints à l’analyse des points de centration, sur laquelle nous reviendrons (chap. II, § 2), montrent alors que si le principe de cette illusion est la valorisation de la longueur totale B sous l’influence de chaque intervalle (A), comme va nous le montrer le calcul, l’illusion est d’autant

1 Cf. Introd. sous VIII.

2 Recherche à paraître prochainement.

plus forte que ces intervalles sont mieux explorés. Dans une illusion purement primaire quelconque, comme celle du trapèze (composante de celle de Müller-Lyer), où la raison de l’illusion est l’inégalité des côtés parallèles A et B et la dévalorisation de leur différence A’, le premier coup d’œil exagère les inégalités et une exploration plus poussée tend à rétablir les relations exactes entre le mesuré (A ou B) et le mesurant extérieur. Au contraire, en comparant la ligne hachurée (mesurée) et la ligne non hachurée servant de mesurant, l’estimation est d’autant plus exacte que l’on néglige le détail des hachures et intervalles et que la comparaison reste plus globale (comme chez l’enfant), tandis qu’à explorer de plus près les intervalles on renforce l’effet déformant en multipliant les relations A < B dont chacune à elle seule valorise déjà le tout B. Il s’y ajoute sans doute une activité de transposition assurant l’égalité des intervalles A et qui augmente aussi avec l’âge : or cette transposition ne diminue pas non plus l’illusion puisque tous les A sont égaux, et la renforce dans la mesure où l’action exercée sur quelques A est transférée à tous les autres.

Mais ces considérations montrent que si des activités perceptives d’exploration et de transposition peuvent renforcer l’illusion d’Oppel ce n’est pas en introduisant de nouveaux facteurs de déformation (comme ce pourrait être le cas de cer- • tains transports à distance ¹) : c’est simplement en favorisant l’action des facteurs primaires relatifs aux proportions entre l’intervalle A et la longueur totale B. C’est pourquoi cette illusion, quoique faisant transition avec les illusions secondaires, reste primaire en son principe et relève encore de la loi des centrations relatives, comme nous allons le montrer maintenant.

Soit une horizontale de 50 mm munie de hachures verticales (dont une à chaque extrémité) au nombre de 2 (ce qui signifie aucune hachure ne coupant la ligne elle-même), 3 (= une hachure intérieure), 4, etc. jusqu’à 20 ou 50. Les illusions moyennes, sur deux groupes d’adultes séparés, ont été les suivantes (voir la Rech. X, avec P. Osterrieth) :

Tabl. 27. Illusions moyennes d’Oppel-Kundt (en %) en fonction du nombre des hachures :

Hachures

2

5

10

15

20

30

40

50

20 adultes

1,86

4,58

6,39

6,59

6,31

6,24

4,40

4,02

Hachures

2

3

4

5

6

8

10

15

20

10 adultes

θ,4

1,6

5,6

6,4

6,2

7,4

8,4

8,2

8,0

1 Pour la discussion de ce problème, voir chap. III, § 5.

L’illusion semble donc augmenter jusque vers 10-15 hachures pour diminuer ensuite. Cherchons d’abord à la formuler, et ensuite à l’expliquer.

Pour ce qui est de sa formulation, nous n’avons donc aucun choix : tous les intervalles étant égaux entre eux et les hachures de même hauteur, nous avons vu qu’il ne reste, comme facteur d’inégalité susceptible de rendre compte de la surestimation, que l’inégalité entre l’intervalle A et le tout B lui-même. On aura alors, comme formule L₁ = B ; L₂ = A ; nL = nB, si n = le nombre des intervalles, puisque B est comparé n fois à A ; S = B² et L_mnx = B. D’où, si B = 1 :

nB(B— A)A

(26) P = = B— A (puisque nA = B)

B²×B

Mais alors si A passe (en termes de fraction de B = 1), de 1 à 0,5 ; 0,33 ; 0,25 ; etc., on aura pour P : 0 ; 0,5 ; 0,666 ; 0,75 ; 0,80 ; … ; 0,99 ; … etc. selon une progression indéfinie sans maximum mais avec asymptote. Il intervient donc un second facteur, et qui va de soi pour la raison suivante : l’épaisseur des hachures doit être défalquée, sinon, avec leur accroissement, les intervalles seraient de moins en moins perceptibles. Vérifions qu’un tel facteur intervient en réalité et faisons comparer deux droites égales B (=50 mm) avec le même nombre de hachures (11 ou 21) mais les unes épaisses (0,5 mm pour 11 hachures et 0,8 à 0,9 mm pour 21), les autres minces (0,25 mm pour 11 hachures et 0,1 à 0,2 pour 21. Voici les résultats, en % des sujets (20 adultes) :

Tabl. 28. Fréquence des illusions pour 11 ou 21 hachures, plus épaisses (F) ou plus minces (F’)¹ :

Hachures 11 21

F > F’ F = F’ F < F’ F > F’ F = F’ F < F’

Résultats (%) 65 25 10 85 10 5

Tenant compte de ce facteur, dont l’action est ainsi contrôlée, on aura alors, si x = l’épaisseur d’une hachure et B = 1 :

nB(B— A)A— (n— 1) x

(27) P = = B— A— (n— 1) x

B²×B

1 Les expressions F > F’ signifient que la ligne coupée par les F paraît plus longue que coupée par les F’, etc.

D’où les valeurs théoriques suivantes, si x —   0,3 mm (valeur de l’épaisseur des hachures pour les dessins utilisés au tabl. 27), donc x = 0,006 en termes de B = 1 :

On voit alors que le maximum théorique correspond approximativement au maximum expérimental situé (tabl. 27) entre 10 et 15, mais en négligeant le facteur constitué par la longueur des hachures comparées à B, qui donnerait naturellement lieu à d’autres variations (sur le mode des erreurs du rectangle).

Le sens de cette formule est donc que le tout B est surestimé par inégalité avec ses propres parties A. Que peut alors signifier une telle supposition ? Si l’on s’en tient à nos interprétations habituelles, elle peut avoir deux sens (par analogie avec ce que nous avons vu de l’illusion de Delbœuf n° II) : (1) une dévaluation de chaque A sous l’influence de B, ce qui entraînerait une dévaluation de B lui-même, en tant que réunion de tous les A ; (2) une surestimation de B sous l’influence de chaque A, ce qui entraînerait une surestimation des A eux- mêmes. Or, comme l’expression n(B-A)A signifie simplement que chaque A est mis en relation avec B avec renforcement de la différence A < B, les deux interprétations (1) et (2) restent logiquement possibles. Il est alors intéressant de vérifier qu’elles le sont également du point de vue perceptif et de chercher pour quelles raisons la seconde (surestimation de B} domine en général.

En ce qui concerne l’interprétation 1 (sous-estimation des A sous l’influence de la relation A < B), il faut d’abord noter que l’on rencontre parfois des erreurs négatives, surtout chez l’enfant, en plus de celles qui peuvent être entraînées par une simple erreur de l’étalon (surestimation de l’élément fixe par opposition aux variables : voir chap. II § 1). Pour en comprendre la raison, nous avons alors essayé, avec quelques bons observateurs adultes, de présenter des lignes hachurées de 9 à 12 cm, dont les intervalles A étaient de 12,5 ou 25 mm, en priant de comparer l’un quelconque de ces intervalles à un segment A isolé de même longueur et borné à chaque extrémité par un trait vertical de mêmes dimensions que les hachures : en ce cas l’élément A isolé peut paraître plus grand qu’un

intervalle A quelconque de la ligne hachurée, celui-ci étant donc dévalorisé par B !

On voit donc que la relation B > A reste perceptivement ambiguë : si la consigne est de comparer le tout B à des variables du même ordre de grandeur, l’attention est centrée sur le tout et celui-ci est surestimé par les petits intervalles A. Si au contraire l’attention est centrée sur un A, comme dans notre contrôle, il peut être dévalué par le tout qui est perçu simultanément mais sans jouer alors de rôle prédominant.¹

En bref, dans la situation expérimentale habituelle, la longueur totale B est, dans la très grande majorité des cas, surestimée parce que l’estimation demandée porte sur ce tout B et qu’alors chaque relation {B— A)A le valorise. Avec la multiplication des intervalles nA, la probabilité des centrations distinctes augmente (et avec elle celle des « rencontres » comme nous le verrons au chap. II), d’où le renforcement de l’illusion par multiplication des relations déformantes A < B, d’ou n(B— A)A. Mais, à ce facteur primaire s’ajoutent deux facteurs secondaires : (a) l’activité d’exploration renforce encore ce processus, au lieu d’aboutir à des compensations comme dans les figures à éléments plus hétérogènes ; (b) la transposition des égalités A = a = A, etc. fait rejaillir sur tous les A les surestimations de certains d’entre eux.

L’intervention du facteur primaire de centrations et de rencontres est vérifiée par l’analyse tachistoscopique : dans nos recherches avec Vinh-Bang sur ce sujet, nous avons trouvé chez les mêmes adultes (avec une figure où la ligne hachurée est prolongée par une droite de longueur variable non hachurée), une illusion de +6,9 avec centration entre les deux lignes, de — 4,8 avec centration sur la variable et de +20,1 % avec centration sur la droite hachurée. Quant aux facteurs secondaires, nous y reviendrons au chap. III.

Au terme de ce long chapitre (et cependant bien schématique eu égard à la complexité des faits), nous constatons que ’ la même loi générale (prop. 3, § 2) s’applique à l’ensemble des illusions étudiées, avec une concordance assez encourageante entre l’allure qualitative des courbes expérimentales et la distribution des valeurs théoriques.

1 La situation est donc à cet égard comparable à ce que nous avons constaté à propos de l’illusion de Delbœuf n° II (§ 11 sous II).

Chaque catégorie de figures comportant une, deux ou plusieurs relations constitutives, il reste à trouver en chaque cas laquelle ou lesquelles sont dominantes, et ce sont à elles que s’applique la loi, de façon simple ou en composition (en ce cas sans répéter les termes S, nL et L_max). En passant d’une figure à l’autre, on a pu avoir l’impression d’une diversité de relations composantes parfois inquiétante. Mais à jeter maintenant un coup d’œil rétrospectif, on voit que ces relations constitutives se réduisent à six variétés :

(1) Les liaisons de type (B— A)A ou réciproque entre une droite B et une perpendiculaire A qui rejoint B à une extrémité : rectangle (§ 3) et semi-rectangle (§ 4).

(2) Les liaisons entre deux perpendiculaires qui se croisent : (H— H)M ou réciproque pour les angles (§ 5) et (D₁— D₂)D₂ pour les losanges (§ 6). Il s’agit alors d’un effet (1) renversé. Les liaisons des parallélogrammes (§ 8) semblent constituer une combinaison de (2) et de (1).

(3) Les liaisons entre parties d’un arc (Ar— Ar,)Ar, qui caractérisent les courbures (§ 7).

(4) Les liaisons (B— 2A)2A, ou {B— A’)A’ entre une longueur totale B et la différence figurée A’ qui la sépare d’une longueur partielle A : trapèze (§ 9) et Müller-Lyer (§ 10).

(5) Les liaisons 2(A— Æ)Æ ou (A— 2A,)2A, et réciproque entre la longueur partielle A et la différence A’ qui la sépare de la longueur totale B : cercles de Delbœuf I et 11 (§ 11). A ce même type se rattachent, mais sous une forme (B— 4)4, les illusions des segments de droite (§ 12).

(6) Les liaisons n(B-— 4)4 (prolongeant ces dernières) entre un tout B et ses parties A : espaces divisés (§ 13).

Mais il est facile de voir que ces six sortes de liaisons, tout en se différenciant selon la structure des figures, se réduisent toutes à la forme (L₁— L₂)L₂. Il en résulte ainsi que la même loi exprimée en termes numériques (prop. 3 du § 2) s’applique à au moins vingt « illusions » distinctes : côtés du rectangle, semi-rectangle, diagonale du rectangle, angles aigus et obtus, médiane des angles, diagonales du losange, courbures, grande et petite diagonale des parallélogrammes simples, figure de Sander, grand et petit côtés parallèles du trapèze, figure de Müller-Lyer sous trois formes différentes, figures de Delbœuf sous deux formes, segment de droite compris entre deux autres

segments égaux ou suivi d’un second segment et espaces divisés. On ne peut donc qu’être satisfait de la réduction d’une telle diversité à une formule générale unique, malgré tous les problèmes de détail non encore résolus.

Il reste maintenant à expliquer la loi et principalement ce couplage de différences de forme (L₁— L₂)L₂ qui constitue ainsi l’élément commun aux différentes variétés de liaisons. Le principe en est, on l’a vu constamment, que l’un des termes de la liaison est valorisé aux dépens de l’autre : en général le plus grand, sauf en cas de renversement dû aux angles (2) ou de valorisation commune du tout et des parties (6 et, partiellement, l’illusion II de Delbœuf : 5). Ce principe revient donc à n’utiliser que les effets d’inégalité (contrastes) et à y ramener les i égalisations (« assimilations ») apparentes. Le problème sera donc de comprendre ce renforcement si général des inégalités, ■ caractéristiques des surestimations et dévaluations.

Mais avant d’en venir là (chap. II), remarquons encore la généralité des déformations perceptives : il n’est pas une figure qui échappe à ces déformations, même les « bonnes formes » (diamètre sous-estimé du cercle et diagonale du carré). Nous entrevoyons ainsi, dès maintenant, que ces « bonnes formes » ne constituent pas le cas type de l’organisation perceptive, dont les déformations seraient les dérivés dégénérés. La règle est, au contraire, la déformation des inégalités, les égalités ou équivalences n’en constituant que des cas limites, avec compen- ; sation plus ou moins approchée des déformations ; et les ■ « bonnes formes » ne sont alors que des figures à équivalences I nombreuses, où ces compensations sont plus fréquentes ou plus probables que dans les cas .généraux. Dès le départ, nous apercevons donc que la hiérarchie perceptive obéit à des lois distinctes, et à certains égards inverses, de celles qui régissent les structures opératoires.