Chapitre II.
Les déplacements au sein d’une structure d’arbre ^{1 a} 🔗

Voici des exemples du niveau IA (quatre-cinq ans):

SAB (4 ;7) commence par ouvrir tous les G jusqu’à trouver le bon et, sur demande, montre le chemin qui y a abouti : « Ouvre seulement les F utiles pour trouver. - (Elle ouvre Al) Oui. - Qu’est-ce que ça veut dire ? - Que le R colle à la voiture. - Où arrive-t-elle ? - Ici (Gl). Non (elle est en G2). - Dans un autre ? - Non. - Essaie. - (G2 juste). - C’est mieux de commencer par ouvrir les F en A, en B ou en Cl - En C. - Et ouvrir avant, ça aide ? - Non. - En B ? - Non, ça sert à rien. - Et en Cl - Oui. - Pourquoi ? - … ». On met V en G5 : « essaie avec peu de fenêtres. - (Elle ouvre en Al) Non. (En A2,l)^m Oui ». Elle ouvre ensuite A2,2, ce qui est inutile puisque c’est le même segment, puis fait de même en B4,I puis B4,2t « Non ». Elle ouvre néanmoins C7 et C8, contradictoires avec le vide de B4. Elle passe à B3,l’. « Oui », mais ouvre quand même B3,2 (inutile). « Dans quel G elle est ? »: elle montre C4, C3, C2 puis Cl, qui dépendent de Al et sont donc contradictoires avec A2. Puis montre C5, juste par hasard, mais montré parce que situé à la suite de C1-C4 qui sont faux. « Et quand il n’y a pas de ruban ? - Ça ne veut rien dire. - Si le ruban est dans Bl, où sera K ? - (Elle montre de G1 à G5 alors que seuls G1-G2 sont justes) ». S’il est donc facile à Sab de remonter des G en T, elle ne parvient à aucun emboîtement dans le sens A vers G : « Ouvrir en A, c’est utile ? - Non. - Et en Bl - Non, ça sert à rien ».

XIS (4 ;11): « A c’est utile ? - Non, là (C). - Et là (B)l - Non ».

[p. 34]ERI (5 ;8) ouvre au hasard les G. « C’est plus facile en ouvrant d’abord un Al - Non, parce que ça ne va pas en haut ». « Si on ouvrait A ou B, ça irait ? - On pourrait ouvrir les autres, mais les C c’est mieux parce qu’ils sont plus près du garage ».

DA V (5 ;0) débute en C et ouvre sept G avant de trouver le bon (Gl). Sur question, il montre du doigt le chemin suivi, ce qui ne l’empêche pas pour G6 de procéder de même par C successifs : « Et ces bouts là (A), ils sont utiles ? - Non. - Montre en haut par où a passé la voiture. - (Il ouvre B4 alors que l’arrivée en G6 implique B3). - Elle a passé par là ? - Oui. ici (montre A2 et B4 (G8) et s’étonne du résultat ; il corrige en A2. B3, G6 juste). - Essaie de ne pas ouvrir beaucoup de portes : c’est bien ou non d’ouvrir en Al - Oui (Il fait Al en l et en 2 inutile et continue en Bl). - Où peut arriver la voiture ? - Là (de Gl à G4 alors que G3 et G4 sont exclus). - Et par là (G5 à G8)2 - Non, parce que le ruban n’est pas en A2 ». Mais pour G8 il recommence à ne montrer que des C.

Il est clair que si les éléments C, B et A étaient des objets directs à emboîter par inclusions, le problème présenterait moins de difficulté. Mais mis en forme infralogique (spatiale) d’arbre où les C procèdent par subdivision des B et ceux-ci des A, le « groupement » a beau être isomorphe à une classification, le fait que les positions résultent de trajets complique les questions pour le sujet qui se centre sur les positions finales sans déduire les trajets à partir de leurs sources, ce qui les prive de toute nécessité sinon de compréhension. D’où la pauvreté des implications, qui ne portent guère que sur la reconstitution facile du chemin parcouru, une fois connu son terme en G, et non pas sur l’anticipation du chemin à partir de T aux G. Cette anticipation ne repose, en effet, pas sur des implications simples du type A → B (ou Al → Bl), mais sur une implication telle que l’antécédent Al entraîne comme conséquence une dichotomie Bl ou B2 dont les termes s’excluent réciproquement (symbole w), donc Al → (Bl w B2), etc. Il y a ainsi là un « groupement » de forme habituelle A + A, = B’, B + B’ = C, etc., mais dont la lecture ou même la construction se faisait en sens inverse B → (A w A’); C → (B w B’) et non pas dans le sens direct A, B, C comme dans le cas de la déduction du chemin parcouru à partir de son terme. Il en résulte l’opinion générale que de partir de T, de A et de B « ne sert à rien » (Sab), est « inutile » (Xis et Dav) et cela parce « la voiture ne va pas en [p. 35] haut » (Eri). En un mot, la caractéristique de ce niveau I est l’absence d’emboîtements dans le sens des trajets à construire malgré leur facilité quand ils ne sont qu’à reconstituer.

Entre ce niveau I et le niveau IIA où débutent les emboîtements systématiques, on trouve une collection de cas intermédiaires avec un mélange d’implications correctes de type Al → (B1 \/ B2) et d’inférences encore non valables, autrement dit le passage d’une méthode purement empirique (examen plus ou moins exhaustif des C en négligeant les chemins) à des procédés semi-empiriques et semi-déductifs. En un mot, ce niveau IB est caractérisé par des emboîtements partiels.

HAD (5 ;6) débute par des C, mais au second essai il part de B1 et B3 et, comme ils sont vides, passe à A2 où il voit le ruban, mais il en conclut à C7 et C8 sans passer par les B et trouve la V en G8. « Est-ce que B3 était utile à ouvrir ? ». Il répond que non au vu de son succès entre A2 et G8 (tous deux en une ligne droite au bas du dipositif). Pour n’essayer qu’avec trois fenêtres, il ne montre que B2 et B3, donc un B sur chaque côté A.

RAC (6 ;6) débute par B2, puis Bl : « Ah elle est là », puis C2 (juste). Au second essai elle part de A2, puis B4 et C8, ce qui est à nouveau juste, mais au troisième essai, de l’absence de Al (ouvert deux fois comme si la deuxième fenêtre allait corriger l’absence de ruban en Al,l), elle conclut directement à C4 et C5 qui sont incompatibles. Puis elle conclut directement de l’absence de Al à B2 qui ne dérive pas de A2, mais justement de Al. « Ça veut dire quoi que V n’est pas en B11 - Ah ! J’ai tout compris maintenant : elle sera en B2 parce qu’elle est en Al et, après, peut-être qu’elle tourne (c’est-à-dire s’oriente) en B2 ». Mais, de B2. elle conclut faussement à G8 qui dépend de B4. Etc. « C’est mieux d’ouvrir en Al - Non, n’importe où. - C’est mieux où ? - En A, B et C ». Elle suit correctement cet ordre au coup suivant, mais ensuite revient (comme au niveau IA) aux énumérations des C (avec mélange d’un B). Rac témoigne ainsi d’alternances bizarres entre déductions exactes et rechutes périodiques aux fausses inférences du niveau IA.

G AB (6 ;0) de même, à côté d’implications exactes, en donne d’aussi fausses que Al → B3 → C4, C3, C2 et Cl.

[p. 36]DAN (6 ;0) débute brillamment par A2, B3, C6 : « J’ai trouvé. - Tu aurais pu en ouvrir moins ? - Non ». Il recommence jusqu’à B3 et montre à nouveau C6 : « Il aurait pu être dans un autre G (en fait C5)? - Non. - Tu es sûr ? - Oui (il ouvre C5 et trouve la F) ». « C’est utile de commencer par Al - Des fois on peut commencer par C parce qu’on trouve toujours. - Et par Al - Des fois on trouve, des fois on trouve pas. - C’est mieux en A ou en Cl - Des fois au milieu ».

LA U (6 ; 1 ) ne donne que des inférences correctes mais faciles en débutant par A, B, C et il justifie l’arrivée prévue en C5 ou C6 « parce quelle a passé en B3 et comme elle ne peut pas traverser les routes de B3 vers B4 alors elle peut seulement être en C5 et C6 ». Par contre, il se résume en disant : « Pour voir où elle a sûrement passé, il faut commencer par B parce qu’avec A elle peut aller là (par le haut) ou là (par le bas). - Alors ce n’est pas nécessaire d’ouvrir en Al - En A on ne sait plus après dans quelle direction elle va : il faut commencer par B. - Et en Cl - Oui, parce qu’on voit tout de suite. Comme le jeu est fait, ça ne sert à rien de commencer par A et B ». Lau néglige donc ainsi totalement le « pourquoi » des positions finales, donc la nécessité.

MIC (6 ;2) va même plus loin : « Pour trouver la voiture, les C ça aide beaucoup, les B ça aide un peu et les A pas du tout ». C’est la négation même des emboîtements.

J AN (6 ;6), qui est presque du niveau lia, débute par A, puis B et C et compare Al à A2 ou les B par couples, etc., « parce que tu mets toujours de l’autre côté » et que « si elle n’a pas passé par là, elle a passé dans l’autre », « et si le ruban n’est pas là, on sait qu’il est dans l’autre ». Mais cela ne l’empêche pas de conclure à la fin que « pour ouvrir le moins de fenêtres, il faut partir des C », sans voir qu’en ce cas il y a huit fenêtres tandis qu’en partant de A trois suffisent.

On constate ainsi que certaines de ces réactions témoignent d’emboîtements partiels, tandis que d’autres contiennent de fausses inférences. Le résultat en est qu’au fond les positions en G finissent par être toutes trouvées, mais à titre de situations statiques et non pas de résultats nécessaires des trajets.

Ce n’est que vers sept-huit ans (niveau II) que le réseau est considéré dans son ensemble et tend ainsi à constituer un « groupement » opératoire. Mais les sujets de ce niveau ne [p. 37] sont pas encore fixés sur le nombre nécessaire minimum des fenêtres à ouvrir, ni sur la possibilité de réussir le tout en ne constatant que des absences de ruban, le système étant dichotomique en chacune des subdivisions. Il subsiste encore quelques inférences fausses parfois mais vite corrigées :

SEB (7 ; 10). « Pour trouver plus vite, il faut commencer en A ou en Cl - En A ». Il donne A2, B3, C5 justes. « On peut savoir combien il faut en ouvrir pour trouver ? - Non, ça dépend des fois ».

BRI (8 ;6) fait A2, B4, C7 (justes). « Tu pourrais trouver en ouvrant moins de fenêtres ? - Je ne sais pas ». Il fait ensuite A2 (vide), Al, B2 (vide), Bl, G2 (vide), G1 (juste). « Si tu ouvres Al et que tu ne vois pas le ruban, c’est utile ? - Oui, ça veut dire qu’il a passé par l’autre ».

DID (8 ;2) passe de Al (vide) à B3 : « Dans quel G peut-elle être ? - En G5. - Ou un autre. - G6. - Et un autre ? - Non, parce qu’elle a passé par B3 et qu’elle ne peut pas revenir en arrière ». « On peut trouver avec combien de Fl - Trois. - Et avec moins ? - Peut-être. - Trois, ça suffit toujours ? - Des fois plus. - C’est possible sans voir le ruban ? - C’est pas possible car s’il n’y a pas de ruban en Al, alors il est en A2. S’il n’est pas en B3, alors il est en B4, et pas en C8, alors dans l’autre (C7). - Alors c’est possible sans voir le ruban ? - Non, car je ne vois pas où il est : il faut voir le ruban. - On ne peut pas savoir à l’avance ? -Non. - Combien en plus si pas trois ? - Cinq. - Montre encore. - Si pas Bl, alors B3. Si pas B3, alors C7. - Tu peux être sûr avec quatre ou cinq fenêtres ? - Oui ».

A un niveau légèrement supérieur, les sujets affirment la nécessité de commencer dans tous les cas par A et la suffisance de trois fenêtres vides pour trouver la voiture :

YVA (8 ;11) fait A2, B4 (échec), B3, C6 : « Non, alors elle est en C5 parce que j’ai vu le ruban en A2 et pas là (B4, etc.); alors la voiture ne peut pas être en G7 et G8. Mais j’ai ouvert une porte de trop parce que si le ruban n’était pas en B4, elle a passé par B3. - On peut arriver avec moins de portes ? - Oui, une de moins. - Encore moins ? - Non, je dois voir si Al ou A2 ».

SAD (8 ;3): « Elle est en G3 parce qu’elle a passé en Al et en B2 et pas en C4. - Il faut commencer par Al - Oui, toujours, parce que quand on ouvre en A on sait déjà de quel côté il est. - Et si on ne voit pas le ruban quelque part ? - Ça aide assez ; si on le voit, ça aide autant. - Et si on ne le voit pas depuis A, on peut le trouver ? - Non, pas possible, il faudra la voir au moins une fois ou deux ».

[p. 38] Ces sujets atteignent ainsi une nécessité presque complète, mais à laquelle manque encore celle qui caractérise le niveau III : la possibilité de déterminer le chemin nécessaire en n’ouvrant que des fenêtres qui se trouvent en fait vides :

VER (9 ;9) débute par le niveau II comme c’est normal à son âge, mais suit continuellement l’ordre A, B, C. Mais à partir de la question : « Elle aurait pu prendre un autre chemin pour arriver là ? », elle ne donne que des réactions du niveau III : « Non, elle était obligée. - Avec combien de fenêtres on le sait ? - Avec trois. - Pourquoi ? - Parce qu’un chemin c’est ça (A2), un autre c’est ces deux (B3 ou B4) et un autre c’est ça (un Q. - On est obligé d’en ouvrir trois ? - Oui, trois est obligatoire. - L’ordre est important ? - (Elle montre les A) On est obligé de commencer par A. - Et quand il n’y a pas de ruban ? - C’est qu’elle est passé dans l’autre ».

CAT (10 ;3): « Si on ouvre Al et qu’on ne voit rien, elle a passé par A2. Si on ouvre B3 et qu’on ne voit rien, alors elle a passé par B4 et s’il n’y a rien en C7, alors elle a passé par C8. Trois c’est toujours suffisant. - Si on voit, ça aide ? - Oui. - Et si on ne voit rien ? - Oui ».

CRI (11 ;1): « Quand on voit le ruban, ça aide ? - Oui. - Et si pas ? - Oui, ça veut dire que s’il n’est pas dans ce côté, il est dans l’autre. - Ça aide autant ? - Oui ».

STE (11 ;8). Dans le cas où on ne voit pas le ruban : « Si on saute un trou ici (un B), ça n’aide pas. Si on va dans l’ordre, ça aide. - C’est possible de trouver G sans jamais voir le ruban ? - Oui. - C’est curieux, non ? - Non, il faut (c’est-à-dire il suffit de) être logique. - Tout à fait sûr ? - Oui ».

DAC (12 ;11): Trois fenêtres sont nécessaires « parce qu’il y a trois segments » et « c’est toujours une sorte de contraire (c’est-à-dire une dichotomie). - Et si on ne voit pas le ruban ? - C’est comme si on laissait une trace blanche ».

PHA (12 ;2): « Si on ne voit jamais le ruban ? - Oui, on peut trouver en ouvrant trois F ».

Cette nécessité en quelque sorte négative est donc ce qu’il est le plus difficile d’admettre pour les sujets, mais c’est le critère selon lequel ils sont parvenus à concevoir la totalité du système comme un ensemble de dichotomies fournissant les raisons des points d’arrivée en C et G sans se contenter de constats inférentiels ou semi-inférentiels et semi-empiriques. Or, ce système est un « groupement », quoique spatial (infra- logique) et ne portant pas sur une classification d’objets discrets [p. 39] mais sur des filiations de trajets. Mais en tant que « groupement », il soulève un problème : la construction des classifications est opératoirement achevée vers sept-huit ans avec la compréhension des inclusions et leur quantification (B > A et B > A’ si B = A + A,), tandis que, dans le présent cas, le groupement n’est opératoirement achevé que vers dix-douze ans. Or, la raison en est claire autant qu’instructive : les classifications réussies vers sept-huit ans sont construites par le sujet selon un ordre ascendant, du particulier au plus général, autrement dit sous la forme A + A, = B ; B + B’ = C ; C + C, = D, etc., où les symboles « + » désignent des conjonctions obligées. Par contre, dans le présent cas, les opérations demandées au sujet consistent en reconstructions d’ordres descendants : D = C ou C ; C = B ou B,∙, B = A ou A,, ce qui consiste à remplacer les conjonctions « + » (« et ») par les disjonctions successives « ou ». La raison de ce grand décalage entre les « ou » et les « et » est alors, semble-t-il, qu’en la construction d’un groupement on se borne à rajouter de nouveaux éléments, soit dans les classes déjà établies, soit en une plus générale qui englobe les précédentes, tandis que dans la marche descendante reposant sur les « ou … ou » il s’agit constamment de raisonner sur des « possibles » en considérant chaque étage du système.

Il est clair que bien avant la compréhension du système total de nos trajets les sujets sont capables de certaines disjonctions locales, donc de l’emploi du « ou » en quelques situations particulières. De même dans les épreuves du chapitre I, l’enfant, ayant sorti le chien de sa boîte, peut aussi bien le diriger à gauche qu’à droite avant de l’attirer à lui. Ce sont alors les combinaisons éventuelles et limitées entre des « et » et des « ou » ³ qui peuvent prendre des formes isomorphes [p. 40] aux seize opérations binaires de la logique des propositions d’un système d’ensemble. Il ne s’agit en fait que de coordinations momentanées d’actions, faisant intervenir à la fois des « et » et des « ou » avec naturellement la possibilité d’exclusions aussi bien que d’implications positives. De telles coordinations locales, d’apparitions précoces, se multiplient, cela va de soi, au niveau des « groupements » où, selon la direction des inférences on a, si B = A + A,, l’implication : si x est un B, il est forcément « ou » un A, « ou » un A’.

Cela dit, donnons quelques exemples :

- Il va d’abord de soi que nos trajets reposent sur des implications du type Bl → Al, où la flèche → (symbole d’implication) exprime le fait que le passage par Al est une condition préalable de sa continuation en Bl, tandis que l’implication réciproque Al <- Bl indique que le passage en Bl est l’une des conséquences de Al.

- Par contre, il n’y a pas d’implication (p . q pour p → q et p . q pour q → p) dans les relations entre Bl et C5, etc.

- Les liaisons binaires les plus fréquentes sont les conjonctions « et » en ordre ascendant et les disjonctions exclusives « ou » (si p w q) en ordre descendant.

- Les disjonctions non exclusives (p. q N p. q V p. q) s’observent, par exemple, dans le cas où un sujet a sérié trois éléments A < B < C (triplets qui peuvent être très précoces) et où il voit bien que si A est seul à être plus petit que les autres et C seul à être plus grand, le « moyen » B est à la fois < et >.

- Il y a incompatibilité (p. q M p. q V p. q) entre les couples de garages G5, G6 et les couples G7, G8 pouvant s’écrire p. q \/ p. q, les G 1 à 4 étant en ce cas ni p ni q (= p . q).

- La négation conjointe peut donc se présenter très tôt : dans le cas des instruments du chapitre I, lorsque le sujet comprend comment tirer à soi l’animal désiré, il exclut par cela même les deux actions de pousser et de déplacer latéralement, donc p . q.

- Il faut parler d’« équivalence » (p. q w p. q) lorsque le sujet comprend que la situation de dichotomie (« tu mets toujours de l’autre côté », dit Jan à six ans) se retrouve [p. 41] identique lors de toutes les subdivisions.

- On peut parler de « tautologie » lorsque le sujet considère comme évident (sans avoir besoin de l’exprimer) que le ruban est en Bl mais pas dans les autres, ou en B2 mais pas dans les autres, ou en B3, etc., ou en B4, etc.

- Par contre, la liaison « zéro » = « toujours faux » ne consiste qu’en contradictions à éviter, ce à quoi l’enfant n’échappe pas toujours (par exemple, dans les conduites préinstrumentales, quand les plus jeunes sujets n’effectuent que des déplacements erronés sans encore tirer à soi).

- Restent les liaisons « affirmations » ou « négations » de p indépendamment de q (donc p. q V p. q, etc.) ou de q indépendamment de p : mais elles vont de soi à tout âge et il est inutile d’en parler.

On voit ainsi qu’indépendamment des systèmes d’ensemble tels qu’ils ne deviennent possibles qu’au niveau des opérations formelles propres à la pensée hypothético-déductive et au groupe INRC, on trouve dès les niveaux élémentaires des coordinations partielles et parfois seulement momentanées qui présentent des formes comparables aux seize opérations binaires de la logique classique. Or, ce fait est important du point de vue d’une logique des significations en montrant que dès les départs les « formes » sont en partie dépendantes des contenus tout en étant nécessaires à leur assimilation.

Le second enseignement important de cette recherche est de nous montrer que l’une des conditions essentielles et même constitutives de la pensée formelle (niveau III) est le pouvoir tardivement acquis de coordonner de façon systématique et permanente les « et » et les « ou », donc les deux démarches ascendante et descendante susceptibles de parcourir un système donné.