Chapitre XI.
Logique extensionnelle et logique intensionnelle ^a 🔗

Avec la tradition inaugurée par les Principia Mathematica (même si elle fut précédée par Frege et en un certain sens par Peirce et Schrôder), la logique formelle est devenue dans une large mesure une logique extensionnelle. Cette version de la logique et un certain nombre de ses variations ont dominé la discipline pendant près d’un demi siècle. Ceux d’entre nous qui, vers le milieu de ce siècle, eurent à enseigner la « logique moderne » montrèrent à leurs étudiants que la logique aristotélicienne, malgré les efforts de la philosophie traditionnelle pour la sauver, était incapable de rendre compte du raisonnement (un raisonnement logique) que les mathématiques élémentaires exigent. Cette première bataille fut facile à gagner car nous pouvions présenter des exemples qui indiquaient clairement les limitations extrêmes de la logique « traditionnelle » aristotélicienne.

La seconde bataille à livrer - l’introduction de la logique des valeurs de vérité - ne fut pas exempte de difficultés. Il était fort élégant d’enseigner « le schème de raisonnement que [p. 170] déploient les tables de vérité » ¹ en toutes leurs variétés et de souligner le fait que la « table » des connectifs logiques de « conjonction » et de « disjonction » donne ce qui est « réellement signifié » lorsque nous disons « et » et lorsque nous disons « ou ». Les problèmes commençaient avec [’« implication » (⊃). Nous rencontrions les mêmes difficultés que nous avions perçues dans nos années d’études, chez nos professeurs de logique. Comment aborder les paradoxes dits de l’« implication matérielle »? La valeur de vérité de q ⊃ p est vraie si p est vrai, même si q est faux et n’a « rien à faire » avec p.   Ainsi, nous devions admettre et enseigner qu’un énoncé du type « si tous les Suisses sont des musulmans, alors les Français sont des Européens » est un énoncé « acceptable », et plus encore un énoncé vrai. Il s’ensuit que p ⊃ (q ⊃ p) est une tautologie. Bien entendu, personne ne parle ainsi dans la vie courante, pas même un « logicien extensionnel » lorsqu’il s’adresse à sa femme. Nous apprîmes bien vite à convaincre les étudiants que, malgré l’étrangeté apparente des résultats obtenus par une définition de « 3 » par les tables de vérité, il n’y avait là pas de quoi s’inquiéter. A cet égard, nous procédions par étapes successives. Nous évitions tout d’abord d’employer le mot « implication » afin d’écarter ses connotations habituelles, et nous le remplacions par le mot « conditionnelle ». Puis nous dissociions la conditionnelle « => » de sa lecture courante « si … alors ». Nous évitions ensuite d’utiliser une table de vérité pour introduire « ⊃ », et disions que « p ⊃ q » était simplement une abréviation pour p . q, qui permettait d’utiliser les tables de vérité plus rassurantes pour « . » et « ( ) ». Nous avertissions les étudiants de ne jamais considérer comme synonymes « z> » et « si… alors », car un scientifique véritable n’a pas besoin de cette dernière expression pour réaliser son travail. Un éminent logicien de notre temps, W.V.O. Quine, a décrit cette situation avec une admirable clarté :

[p. 171] « Commençons par décrire la logique formelle comme une phase de l’activité d’un individu hypothétique qui soit à la fois physicien, mathématicien et al. Supposons maintenant que cet individu dont nous avons fait un portrait un peu chargé s’intéresse au langage ordinaire simplement comme moyen d’aller de l’avant en physique, en mathématiques et dans les autres sciences ; supposons encore qu’il se sépare volontiers du langage ordinaire chaque fois qu’il trouve l’artifice commode d’un langage extraordinaire qui soit approprié à son besoin du moment lorsqu’il formule et développe sa physique, sa mathématique ou une autre science. Il abandonne « si-alors » en faveur de « r> » sans même entretenir l’idée fausse qu’ils sont synonymes ; il procède au changement pour la seule raison que les objectifs qui exigeaient le recours à « si-alors » dans le contexte de son travail scientifique particulier sont réalisables de façon satisfaisante par l’usage différent de « o » et d’autres outils. Il opère ce déplacement et d’autres encore dans l’idée d’affiner son travail scientifique, d’optimaliser son aisance algorithmique et sa compréhension de ce qu’il fait. Il ne se soucie pas du degré d’inadéquation de sa notation logique en tant qu’elle réfléchit le langage vernaculaire aussi longtemps qu’elle sert tous les besoins particuliers qui, dans son programme scientifique, dépendraient en d’autres circonstances de cette partie du langage vernaculaire. Il n’a pas même besoin de paraphraser le vernaculaire dans sa notation logique, car il a appris à penser directement en elle, ou même (et c’est la beauté de la chose) à la laisser penser pour lui » ².

Il y a trente ans, les mots de Quine rassuraient les professeurs de logique. Mais ceux d’entre nous qui étaient issus des sciences empiriques ne s’en satisfaisaient pas vraiment. Seul un « pur » logicien (ou mathématicien) pourrait « laisser la notation logique penser pour lui ». Aucune physique réelle ne pourrait jamais naître d’une telle forme de « pensée ». Le sentiment de gêne en resta là, mais d’autres difficultés survinrent : [p. 172] certaines des conséquences de l’usage de la définition de « ⊃ » par les valeurs de vérité ne correspondaient pas à la construction effective des théories scientifiques. La validité selon les tables de vérité de la formule p. p ⊃ q en est l’exemple le plus frappant : la formule indique en effet qu’en énonçant une contradiction, la logique devient triviale, c’est-à-dire que tout énoncé peut être affirmé.

Ce résultat n’est pas seulement étrange, il est tout simplement intenable. En physique par exemple, il n’est pas vrai que, si une théorie entraîne une contradiction, toute assertion peut être affirmée dans la théorie. Un logicien formel « pur » peut bien sûr répondre : « Mais vous utilisez l’expression’si … alors’, alors que vous étiez d’accord de dissocier ,⊃, de ’si … alors’; votre conclusion est donc erronée ». Quine parle toutefois bien de « physiciens, mathématiciens et al. (sic) » qui n’ont besoin que de « ⊃ » dans leur travail scientifique. Quel sens accorder alors à la validité de p. p q, quel que soit q »? A propos de cette « anomalie », Anderson et Belnap renvoient à une remarque de Kleene signalant que dans la première version de la Logique mathématique de Quine, B. Rosser fut capable de déduire le paradoxe de Burali-Forti, mais non le paradoxe de Cantor. Cela signifie simplement que Rosser et Kleene acceptent tous deux le fait qu’une théorie logique entraînant une contradiction (celle de Burali-Forti) n’implique pas n’importe quel énoncé (le paradoxe de Cantor par exemple). Nous ne sommes pourtant pas ici dans le cadre d’une théorie physique « impure », mais dans la théorie logique en ce qu’elle a de plus pur.

Des considérations de ce genre ont conduit certains logiciens à remettre en question l’idée que la logique des valeurs de vérité soit appropriée au travail du théoricien scientifique. Les efforts pour réintroduire les « intensions » en logique commencèrent à la fin des années cinquante, et se développèrent jusqu’à faire naître une théorie logique qui fût une claire alternative à la logique des valeurs de vérité. Dans la vingtaine d’années qui a suivi l’article d’Ackermann intitulé Begrundung einer Strengen Implikation (1956) ³, la présentation la plus [p. 173] complète de ces développements est celle d’Anderson et Belnap ⁴.

Nous tenterons de donner un bref résumé - en tant que tel, il sera très partiel - de certaines idées fondamentales de ce que ces auteurs appellent en leur livre une « logique de la pertinence et de la nécessité » (désignée ci-après par LE). Cette présentation a pour but de montrer la convergence entre ces idées et l’approche de Piaget en logique. Nous soulignons le mot « convergence » car nous ne soutenons pas que LE, en toutes ses variétés possibles présentées par Anderson et Belnap, représente en quoi que ce soit une formalisation de la logique piagétienne. Comme nous l’avons signalé au chapitre IX, nous ne savons même pas quel sens attribuer à l’expression « formalisation de la logique piagétienne ». Cela dit, la convergence entre LE et la logique opératoire (LO) n’est pas une simple coïncidence dans la manière d’approcher la théorie logique.

Commençons par LE. Anderson et Belnap avaient adhéré au groupe de logiciens qui voulaient restaurer en tous ses droits le « si … alors » dans la théorie logique. Ils souhaitent donc disposer d’un système logique où la signification de l’« implication » et de la « conditionnelle » soit très proche de ce que ces mots signifient dans le langage ordinaire (tout en reconnaissant que ce dernier est loin d’être consistant et précis). A cet effet, ils introduisent un concept d’entailment qui couvre la notion d’implication « exprimée en des locutions logiques comme ’si… alors’, ’implique’, ’entraîne’, etc., et répondant aux phrases logiques signalant une conclusion, telles que ’donc’, ’il s’ensuit que’, ’de là’, ’par conséquent’, et d’autres phrases semblables » ⁵. Le signe « → » est adopté [p. 174] pour désigner cette forme d’implication, et l’on interprète « A → B » comme signifiant « A entails B » (« A implique 5 ») ⁶.

Deux conditions sont requises pour affirmer que « A → B »; la pertinence et la nécessité. Les auteurs présentent un « calcul pur E→ de l’implication » qui « saisit vraiment les concepts de nécessité et de pertinence en certains sens mathématiquement définis ».La « nécessité » requise pour l’implication « A → B » est plus forte que la notion de « validité » utilisée dans la logique des valeurs de vérité. La « nécessité » correspond, si l’on veut, à une « validité nécessaire ». Une implication nécessaire exige donc de A et B qu’ils aient « quelque chose en commun ». Ils ne peuvent être entièrement indépendants l’un de l’autre, comme c’est le cas avec la conditionnelle. On exige que B soit pertinent par rapport à A.

Il est important de relever que l’on peut définir la « pertinence » indépendamment de la « nécessité », alors qu’une définition de l’« implication nécessaire » n’incluant pas la pertinence n’est pas acceptable si l’on cherche à formaliser « l’implication naturelle ». Nous nous référerons donc toujours à une « nécessité cum pertinence » chaque fois que nous parlerons d’une relation nécessaire du type « → ».

L’idée de joindre une exigence de « nécessité » à une relation de ce type fut proposée en 1932 déjà par Lewis et amena le développement des logiques modales. A cette fin, Lewis appliqua un opérateur monadique « □ » à une relation définie par les valeurs de vérité. De la sorte, « A → B » (signifiant que A implique nécessairement B) était interprété comme « □ F(AB) », ou F(AB) est une relation entre A et B définie par les valeurs de vérité. Un opérateur du genre « □ » ne peut toutefois assurer l’exigence d’une pertinence entre A et 5 ⁷.

[p. 175] LE laisse de côté les opérateurs modaux et suit un autre chemin pour parvenir à une relation d’implication préservant la « nécessité cum pertinence ». La voie choisie consiste à définir « → » sur la base d’un système d’inférences acceptables. Le point de départ sera un système de la déduction naturelle, et l’inférence deviendra ainsi l’élément central de la logique.

Anderson et Belnap ont montré de façon convaincante que, moyennant de légères modifications, le système de la déduction naturelle de Gentzen : a) est « acceptable » en ce sens qu’il donne une représentation adéquate du type de raisonnement réellement à l’oeuvre dans le travail scientifique ; b) permet de construire un système formel qui donne les moyens de définir « l’implication naturelle » comme tous les autres connectifs logiques qui doivent être à la fois pertinents et nécessaires.

La construction proposée revient à affirmer que A → B si et seulement si il existe un chemin possible qui nous mène déductivement de A à B. Prise en ce sens, l’implication devient converse de la déduction.

La méthode est fondée sur une règle d’« introduction de l’implication »: nous pouvons affirmer A → B chaque fois qu’il existe une déduction de B à partir de A ou, en d’autre termes, une preuve de B à partir de l’hypothèse A. La preuve devrait être un schème du type :

A hypothèse

B conclusion

où les vides seront remplis en obéissant à des règles très strictes. Un système de déduction naturelle est en fait défini par l’ensemble des règles qui nous permettent de remplir ces vides.

[p. 176] Comme exemple d’un tel système, mentionnons celui qu’Anderson et Belnap nomment FH→, et qui comporte les cinq règles suivantes ⁸ :

1) « - »! »: si un schème du type précédent est une déduction valide de B à partir de A, cette déduction entraine A → B.

2) « →E »: chaque fois que A → B est affirmé, nous serons en droit d’inférer B à partir de A.

3) « hyp »: au cours d’une déduction commençant par une hypothèse A, nous pouvons commencer une nouvelle déduction avec une nouvelle hypothèse B, cette déduction étant alors une sous-preuve.

4) « reit »: une étape déduite de A (dans le cas des sous- preuves définies par la règle 3) peut être répétée sous l’assomption B.

Donnons comme exemple une preuve de la loi de transitivité (les lignes verticales correspondent aux sous-preuves) ⁹ :

La preuve est satisfaisante, mais le système comme tel ne l’est pas, parce qu’il donne lieu à des « preuves » alors que les implications finales ne répondent pas à l’exigence d’être à la fois nécessaires et pertinentes. Des conditions restrictives [p. 177] seront donc imposées à la règle ’reit’ (réitération), et l’on aura besoin en outre d’une technique permettant d’introduire un A seulement quand A est pertinent pour B au sens où A est utilisé pour arriver à B.

La méthode consiste à utiliser des numéros comme sous- indices des formules. On insérera autant de sous-preuves qu’il est nécessaire, mais chacune doit comporter un numéro distinct attaché à ses hypothèses, et les différentes étapes doivent suivre la succession de ces numéros. On parvient à un système qui présente les règles pré-citées sous une forme révisée ¹⁰ :

1) Hyp.: Une étape est introduite comme hypothèse d’une nouvelle sous-preuve, et chaque hypothèse nouvelle reçoit une classe unitaire {k} de sous-indices numéraux, où k est nouveau.

2) Rep. : A est répétable et retient les indices de pertinence a.

3) Reit.: (A → B) peut être réitéré et retient a.

4) →E : A partir de A_a et (A → B)^, inférer B_a U b.

5) →L A partir d’une preuve de B dans l’hypothèse A {k}, inférer (A → B) — {k }, à la condition que k soit un a.

L’application de ces règles est assez malaisée mais il est prouvé qu’un tel système de déduction naturelle (que ses auteurs nomment FE→) équivaut à un calcul pur de l’implication (E→) fondé sur les lois suivantes ¹¹ :

E→l. A → B (identité)

E→2. (A → B) → ((A → C) → (A → Q) (transitivité)

E→3. (A → B) → (A → (B → C) → C) (assertion restreinte) E→4. (A → (B → Q) → ((ri → B) → (B → Q) (auto-distribution)

Ce fragment de la logique une fois élaboré, la construction de LE procède par étapes. En premier lieu, on ajoute la négation à l’implication, et on montre qu’un calcul de l’implication et de la négation est possible indépendamment [p. 178] des autres connectifs de la logique des valeurs de vérité. En second lieu, ces derniers sont introduits en prenant en considération des « implications du premier degré », c’est-à- dire des formules A → B où A et B sont des valeurs de vérité de n’importe quel degré qui ne comportent pas d’implications. En dernier lieu, tous les fragments du système sont combinés en un calcul unique de l’implication (E) qui préserve les exigences de nécessité et de pertinence et évite par là les paradoxes de la logique extensionnelle.

La seconde étape nous intéresse tout particulièrement. Les auteurs nomment « implications tautologiques » les implications du premier degré qui sont valides. Leur souci majeur est ici de tenir compte de la pertinence de l’antécédent par rapport au conséquent quand tous deux sont purement définis par les valeurs de vérité. On procède en faisant ré férence au contenu de l’antécédent et du conséquent. Voyons brièvement comment est appliquée une telle méthode.

Prenons un ensemble fini de variables propositionnelles p, q, r… Puis introduisons les définitions suivantes :

Atome : une variable propositionnelle ou sa négation (par exemple p, q, r, …).

Conjonction primitive : une expression du type Al .A2….Am, où chaque Ai est un atome.

Disjonction primitive : une expression du type B1 V B2 V … V Bn, où chaque Bj est un atome.

Implication primitive : une implication A → B, où A est une conjonction primitive et B une disjonction primitive.

Implication de forme normale : une implication A → B de la forme Al V … V AM → B1 Bm, où chaque Ai est une conjonction primitive, et chaque Bj une disjonction primitive.

Implication primitive explicitement tautologique : une implication primitive A → B, telle qu’un atome (conjoint) quelconque de A est identique à un atome (disjoint) quelconque de B.

Implication explicitement tautologique de forme normale : une implication Al V … V Am → B1 Bn, où tout Ai, Bj et Ai → Bj est explicitement tautologique.

[p. 179] Les implications de forme normale sont considérées comme valides si et seulement si elles sont explicitement tautologiques. Pour déterminer la validité des implications de premier degré, la procédure à suivre est tout d’abord de les convertir en forme normale. La validité est ensuite établie par application des règles suivantes :

Règle I : A → B, où A et B sont des atomes, est valide si et seulement si A et B sont les mêmes atomes.

Règle II : A → B, où A est une conjonction primitive et B une disjonction primitive, est valide si et seulement si un atome quelconque Ai de A coïncide avec un atome quelconque Bj de B.

Exemple :

p . q → q V r est valide

p → q V p V r n’est pas valide

p . p → q n’est pas valide

Règle III : une implication A → B est valide s’il existe une forme normale Al V … V AM → B1 Bn, telle que pour chaque couple Ai et Bj l’implication Ai → Bj est valide conformément à la règle IL

Exemple :

p . p . q → p . q est valide

(p V q) . (q V r) → (p V r) n’est pas valide, parce que la forme normale

(p . q) V (p .r) V (q . q) V (q . r) → (p V r) n’est pas valide q . q → p V r n’étant pas valide.

Voyons plus en détail comment les règles sont appliquées.

a) Exemples d’implications valides :

i) (p . q) V p → (p V p) . (p V q) est valide, parce que les implications suivantes sont valides :

p . q → p V p

P • q → P V q

P → P P

p → p V q

ii) p . q → q . (r M p) est valide, parce que les implications suivantes sont valides.

p . q → q

p . q → r V p

[p. 180] b) Exemples d’implications qui ne sont pas valides :

i) (p . p) ∖∕ q → q n’est pas valide, parce que

q → q est valide, mais

p . p → q n’est pas valide

ii) p → p . (q V q) n’est pas valide, parce que

p → p est valide, mais

p → q V q n’est pas valide.

Il est important de relever que ces règles ont pour résultat que toutes les implications valides sont des tautologies, alors que les tautologies du calcul des valeurs de vérité extensionnelles ne sont pas toutes des implications valides. A cet égard, l’exemple suivant est fort instructif :

p~~q → (p . q) V (p . q) V (p . q)

n’est pas valide bien qu’il représente la table de vérité de « V » appliquée p V q (qui est l’équivalent de p”. q). Pour le montrer, il suffît de réduire l’expression ci-dessus à sa forme normale et de vérifier que chaque atome de l’antécédent p V q n’implique pas chaque terme conjonctif du conséquent.

Malgré cela, l’implication suivante est valide :

(p^q) . (p * q) → (p . q) V (p . q) V (p . q) où p * q est l’affirmation complète :

p * q = df (p . q) V (p . q) V (p . q) V (p . q).

Les implications tautologiques du type décrit plus haut (implications du premier degré) peuvent être formalisées comme suit ¹² :

Implication :

Règle : à partir de A → B et de B → C, inférer A → C.

Conjonction :

Axiomes : A . B → A

A . B → B

Règle : à partir de A → B et A → C, inférer A → B . C Disjonction :

Axiomes : A → A V B

B → A V B

Règle : à partir de A → C et B → C, inférer A V B → C.

[p. 181] Distribution ;

Axiome ; A . (B V Q → (A . B) V C

Négation :

Axiomes : A → Â

A → Â

Règle : à partir de A → B, inférer B → A.

Cette formalisation des implications tautologiques n’est qu’un fragment d’un calcul complet des implications. Elle présente ce caractère intéressant d’utiliser les foncteurs de la logique des valeurs de vérité, mais à travers une relation d’implication intensionnelle qui évite les paradoxes bien connus des logiques purement extensionnelles.

Il est possible de construire un système qui inclut les divers fragment que nous venons de mentionner. Anderson et Belnap ¹³ proposent un système E comportant quatorze postulats et seulement deux règles :

→E : A → B étant donné, inférer B à partir de A

&I : à partir de A et B, inférer A & B (où le signe ’&’ désigne la conjonction ’.’ employée ci-dessus).

Les auteurs expliquent de la manière suivante la nécessité d’avoir recours aux deux règles : « Le système E est conçu pour englober deux branches de la logique formelle qui sont radicalement distinctes (comme nous l’avons soutenu lorsque nous avons traité intégralement cette question). Dans l’histoire de la logique, la première de ces branches s’est occupée à propos des implications de la question de la pertinence et de la question de la nécessité qui, dès les temps les plus reculés, ont toutes deux été à l’origine des études logiques. La seconde, la logique extensionnelle, est un développement plus récent auquel on a en partie prêté attention, croyons- nous, parce que la première était plus récalcitrante : on peut développer la logique purement extensionnelle d’une manière intéressante d’un point de vue mathématique en ignorant tout [p. 182] simplement les problèmes de la pertinence et de la nécessité qui à l’origine ont fait naître la logique. Comme E couvre les deux genres de territoire, le fait que deux règles primitives soient requises n’est pas surprenant : la première, →E, qui se rapporte aux connexions entre significations considérées d’un point de vue intensionnel, et la seconde, &I, qui se rapporte aux connexions entre valeurs de vérité, où la pertinence n’est pas en jeu » ¹⁴.

Outre qu’elle combine les traits caractéristiques des logiques intensionnelle et extensionnelle, cette manière d’élaborer un formalisme logique permet d’introduire d’autres types de foncteurs, qui ont certaines propriétés, mais pas toutes, des foncteurs de la logique des valeurs de vérité. Les foncteurs intensionnels ont donc pour lieu naturel des systèmes logiques dont les droits à la « légitimité » sont aussi réels que ceux des traités courants de logique extensionnelle.

Considérons un de ces systèmes possibles. Chacun sait que le syllogisme disjonctif, exprimé par la relation entre valeurs de vérité :

A . (A V B) → B

présente de sérieuses difficultés s’il est censé représenter la manière dont un scientifique (sans même parler d’une personne « ordinaire ») raisonne. Accepter le syllogisme disjonctif aurait en particulier pour conséquence :

A . A → B

pour tout B, une conséquence que nous avons rejetée car elle ne peut représenter la structure logique des théories scientifiques. Toutefois, ces difficultés disparaissent si, au lieu d’utiliser un ’V’ extensionnel reliant des propositions A et B complètement indépendantes l’une de l’autre, nous définissons un autre « ou » (que l’on représentera par ’Y’) d’une façon telle que :

(A . (A Y 5)) → B

a le sens de :

(A . (A → B)) → B

[p. 183] où ,→, est l’implication intensionnelle. D’où la définition de ’Y’:

A Y B = df A → B

D’un autre côté, si nous acceptons la loi de de Morgan entre la conjonction et la disjonction, cette définition de ’Y’ a pour contre-partie une conjonction intensionnelle (représentée par ’O’) obtenue de la façon suivante :

4OS = 4YB = 4→β

Lewis, Goodman et d’autres avaient déjà fait référence à ce type de foncteur. Anderson et Belnap lui donnent le nom de « cotenabilité ». Il a manifestement certaines propriétés de la conjonction extensionnelle : la commutativité, l’associativité et la transitivité. D’autres propriétés sont par contre absentes. En particulier :

A O B → A n’est pas valide.

Nous reviendrons sur ce point dans la section suivante.

Cette brève esquisse de fragments de LE avait uniquement pour but de présenter certains éléments fondamentaux d’une riche méthode de construction des systèmes logiques. Une telle méthodologie est purement formelle. Ses auteurs la présentent comme des collections de règles qui sont soit des instruments ad hoc pour atteindre certains buts, soit des hypothèses de travail pour voir « où l’on arrive » avec telle ou telle règle. La souplesse considérable de cette approche de la logique est un outil précieux pour l’« épistémologue généticien » qui recherche les sources de la « logique naturelle » d’un adulte non affecté par la théorie.

Dans la section précédente, nous avons évoqué une « convergence » entre LE et la logique opératoire. A propos de cette dernière, il nous faut faire la distinction entre ce qui est écrit dans l’Essai de logique opératoire ¹⁵ (LO) et le [p. 184] renouvellement de cette logique sur la base d’une logique de la signification. Ce « renouvellement » devrait consister au premier chef à récrire la partie de LO qui se rapporte à la logique propositionnelle, en y incorporant une logique de la signification à partir des données présentées dans ce livre. Le travail reste à faire, mais nous croyons que la voie à suivre est clairement tracée. Nous désignerons par LO’ cette nouvelle version issue d’une fusion entre LO et la logique de la signification.

La convergence entre LE et LO (et a fortiori LO’) tient à la manière dont la théorie logique est construite. La logique des Principia Mathematica est née à une époque où l’atomisme logique dominait la philosophie de Bertrand Russell. Cette position philosophique était elle-même une expression du paradigme dominant dans les sciences physiques à la fin du XIX’ siècle. Dès lors, on ne s’étonne pas que l’on ait pris comme éléments de base de la théorie logique les propositions élémentaires et leurs combinaisons par de simples « fondeurs », ni que ces propositions aient été appelées « atomiques » et leur combinaisons, « moléculaires ». Avec un tel point de départ, la logique des Principia Mathematica était vouée à rechercher ses fondements dans des considérations purement linguistiques. A cet égard, l’empirisme logique fut tout à fait consistant, et ne fit qu’énoncer les conséquences épistémologiques naturelles de cette approche de la logique en explicitant sa propre philosophie de la logique : pour cette école, les fondeurs logiques n’exprimaient rien d’autre que la structure interne de notre langage. Ce point de vue épistémologique eut une autre conséquence : la logique propositionnelle qui en était issue devait être extensionnelle. La logique extensionnelle ne résulta donc pas d’une décision arbitraire des fondateurs de la logique moderne, mais découla naturellement de leur position épistémologique.

Le premier rapprochement entre LE et LO’ est qu’elles se posent en réaction à cette présentation de la logique. Les raisons de cette réaction sont toutefois bien différentes. Des considérations épistémologiques guident la construction de la logique en LO’, alors que la construction est purement formelle [p. 185] en LE. Malgré cette différence, toutes deux choisissent l’inférence comme processus initial de la construction.

Du point de vue de Vépistémologie génétique, la logique commence dès qu’un enfant est capable d’anticiper une relation entre actions (c’est à la psychologie génétique de déterminer où et comment se produit une telle anticipation). L’anticipation d’actions implique la présence d’inférences. Lorsque Piaget affirme qu’« à tous les niveaux, si bas que l’on descende, toute connaissance comporte une dimension inférentielle si explicite ou si élémentaire soit-elle », il énonce un aspect fondamental de sa théorie épistémologique. Nous avons insisté au chapitre X sur le fait qu’il s’agit là d’une assertion épistémologique fondée sur les recherches de la psychologie génétique.

Dans la perspective du développement, la logique commence donc avant les propositions, les relations logiques ne sont pas fondées sur des relations linguistiques, et le calcul propositionnel ne saurait prétendre figurer en tête d’un livre de logique.

Toute inférence prend d’emblée la forme d’une relation logique : l’implication. Le présent livre montre que les implications sont d’abord découvertes au niveau des actions (une relation entre actions est en fait une implication entre actions), alors que les implications entre énoncés sont beaucoup plus tardives. Toutefois, il s’agit dans les deux cas d’implications signifiantes au sens exposé dans les divers chapitres du livre. L’extensionalité « pure » se trouve exclue dès le début.

LE procède d’une manière semblable mais pour des raisons différentes. L’idée directrice est ici d’écarter de l’extensionalité afin d’éviter ses conséquences gênantes, c’est-à-dire les paradoxes de l’implication matérielle, les difficultés propres au syllogisme disjonctif, etc… On trouve une porte de sortie en partant des inférences pour définir des implications acceptables ou entail- ments. Mais le travail est réalisé sur les bases purement formelles de règles très précises. Si ces règles paraissent quelque peu artificielles, c’est qu’elles le sont réellement : ce sont des règles ad hoc qui ont pour but d’atteindre des objectifs définis.

Nous reviendrons sur ce point, mais deux remarques préalables nous sont nécessaires. Tout d’abord, l’introduction en LE de la relation d’implication à partir d’inférences « acceptables » élargit considérablement l’éventail des foncteurs [p. 186] logiques susceptibles d’être introduits ultérieurement et correspond à un nombre important d’implications possibles entre énoncés. Cette procédure s’accorde avec ce que l’on observe au niveau psychogénétique pour en faire une caractéristique essentielle de LO’. Une seconde remarque, d’une égale importance, est que cette procédure permet d’insérer les foncteurs extensionnels, sans entraîner les paradoxes connus du calcul propositionnel.

Ces traits communs de LE et LO’ étaient déjà présents dans VEssai de logique opératoire (LO). Cette affirmation paraîtra erronée à ceux qui, ouvrant VEssai de Piaget, voient que le calcul propositionnel est présenté extensionnellement et que la structure du calcul est dégagée par une analyse des fonctions et valeurs de vérité. Il y a là une combinaison un peu étrange d’éléments appartenant à la logique extensionnelle et d’éléments qui n’en relèvent pas. A cet égard, nous n’hésiterons pas à dire que cette partie de LO, telle qu’elle est écrite, ne découle pas naturellement des chapitres qui la précèdent. Nous estimons même qu’une telle présentation de la logique propositionnelle fut à l’époque une concession aux présentations qui avaient cours depuis Whitehead et Russel, et que Piaget ne se satisfit jamais de cette solution.

Pour notre part, nous nous rappelons les mots de Piaget quand les recherches rapportées dans ce livre étaient sur le point de commencer au Centre International d’Epistémologie Génétique : « il faut nettoyer ma logique ». Ils confirment ce que nous disions plus haut. La combinaison d’éléments dont témoigne le traitement du calcul propositionnel en LO montre que Piaget s’entourait de précautions pour aborder la logique extensionnelle. C’est un fait qu’il introduit des définitions extensionnelles des foncteurs logiques et qu’il définit en particulier la relation d’implication à travers sa table de vérité. Mais son interprétation de la logique propositionnelle, fondée sur la relation d’inclusion entre classes, est libre des paradoxes de l’implication matérielle. On peut aller plus loin et la considérer comme une interprétation de l’implication au sens de LE.

[p. 187] Dans ce contexte, la convergence entre LE et LO (et a fortiori LO’) n’est pas simple affaire de coïncidence. L’interprétation de LO que nous venons de proposer donne un sens clair aux « règles » de la logique de l’implication qui sont présentées en LE seulement comme des interdictions ad hoc ayant pour but de parvenir à des résultats pré-établis. Si elle n’est pas d’une évidence immédiate en LO, cette interprétation est aujourd’hui plus explicite en LO’.

Les règles citées dans la section précédente et qui permettent de définir une implication « acceptable » expriment le type de relation visée par Piaget lorsqu’il parle de « l’emboîtement de la partie dans le tout, ou de la partie dans elle-même ». Dans le cas de la règle I, la correspondance est triviale dans la mesure où elle ne fait qu’exprimer l’emboîtement d’une classe dans elle-même.

Dans le cas de la règle II, il suffit de prendre l’exemple typique de la forme P . Q → R V Q, dont l’interprétation en termes de classes serait :

correspondant à l’emboîtement de P ∩ Q dans Q U R.

La règle III est simplement une extension de la règle II et est réductible à des applications successives de cette dernière.

Dans cette interprétation, les règles de l’implication ne sont plus simplement ad hoc et acquièrent un sens clair.

Un problème surgit lorsque l’on introduit d’autres foncteurs à travers des implications et que l’on tente d’analyser la structure du calcul propositionnel qui en résulte. Il est évident que l’on pourrait construire de nombreux systèmes axiomatiques à partir de l’implication intensionnelle. Anderson et Belnap analysent certains des systèmes proposés au cours des vingt- cinq dernières années. Ils en font une étude systématique qui montre les relations qui les unissent et le type de calcul qu’ils [p. 188] produisent. Nous avons déjà évoqué deux conséquences importantes pour LO’. En premier lieu, Ventailment ou implication intensionnelle n’exclut pas un calcul comportant une interprétation extensionnelle de la négation et de la conjonction. En second lieu, il existe de multiples calculs intensionnels possibles, ce qui pose la question de savoir comment décider qu’un foncteur est véritablement une « conjonction » ou une « disjonction ». Anderson et Belnap n’acceptent pas le foncteur de « cotenabilité » comme une conjonction, car on ne peut pas inférer A à partir itAOB(AOB→A n’est pas valide). Nous croyons toutefois que l’on pourrait considérer « O » comme la seule manière légitime d’exprimer une conjonction entre A et B lorsqu’ils appartiennent à un système où les parties ne peuvent être affirmées indépendamment de la totalité. A cet égard, les recherches psychogénétiques conduisant à une formulation de la logique du type LO’ sont fort utiles. Elles montrent que ce type de conjonction est effectivement utilisé par les sujets et révèlent la complexité des situations d’où émergent des relations logiques susceptibles d’une certaine formalisation.

Enfin, il nous faut insister une fois encore sur la nécessité d’une formulation explicite de LO’, tâche qui reste largement à réaliser.