Chapitre XIV.
La force centrifuge et les compensations 1 a 🔗

§ 1. Le stade I : interprétations préopératoires🔗

Les sujets antérieurs à 7 ans invoquent toutes les raisons pour expliquer l’ordre de succession des départs, y compris la grosseur et la distance, mais pas exclusivement :

Coq (6 ; 11) : « L’une part d’un côté, l’autre de l’autre parce qu’elles ne veulent pas aller du même côté. »

Pav (6 ; 2) : « La bille qui est sur le troisième cercle partira la première parce qu’elle est plus près du bord. — (Grande et moyenne sur le même cercle) — Ensemble. Ça ne fait rien quand elles sont plus grosses. — (Expérience). La grosse est partie la première parce qu’elle est plus lourde. Les lourdes sont toujours les premières. »

Cum (6 ans) : « Ils ont roulé parce que ça tourne. Je veux mettre les petites, parce que les grosses elles roulent. (Expérience). La grosse part plus vite. »

Le sujet est donc capable dès ce niveau de tenir compte des deux facteurs en présence, avec la docilité du phénoménisme jointe à l’absence de toute prudence opératoire (cf. Pav qui passe du jamais au « toujours » au vu d’un seul cas !). Plus précisément, l’enfant de ce stade observe bien les faits, mais ne dispose pas d’un schématisme suffisant de l’inclusion ou du « tous » et de « quelques » pour établir des lois. Il s’y ajoute la tendance à croire que tout ce qui est doit être tel qu’il est, ce qui constitue à la fois le principe de la généralisation et d’une certaine indifférenciation entre le moral et le physique.

§ 2. Le sous-stade II A : correspondances partielles🔗

Dès le début des opérations concrètes il y a sériation correcte des grosseurs (ou poids) des billes et correspondance avec leur ordre de départ, mais seulement dans le cas où les distances se trouvent égales (indépendamment de la volonté du sujet). De même il y a correspondance exacte entre les départs et les distances lorsque les poids sont égaux. Mais la multiplication des deux relations n’est qu’exceptionnelle et ne se présente que dans les cas où les deux facteurs agissent dans le même sens et jamais encore dans les cas de compensations.

Gui (7 ; 4) : « Elles sont toutes parties… Les grosses sont parties et ont poussé les petites. (Prévision) : Elles ne vont pas partir parce que j’ai mis une grosse (il tourne). Elles sont quand même parties. (Nouvel essai). Celle-là est restée parce qu’elle est trop légère. — Pourquoi ? — Les billes qui sont légères restent ; des fois elles partent parce que ça tourne fort. — (On met des grosses de poids égal aux distances D 3 et D 2) 2. — (D 3) était la première (D 2) la seconde. — Pourquoi ? — Parce qu’elle est toujours la première quand elle est à (1). — Pourquoi ? — Elle a un tout petit bout (de chemin) à faire. — (On met P 2 à D 3 et P 1 à D 2). — C’est (P 2) qui sera la première. (Il tourne). Les deux en même temps ; la petite (P 2) un petit peu avant. — Ça t’étonne ? — Non. Les grosses vont plus vite (on refait). La petite (P 2) était la première et la grosse (P 1) ensuite, mais elles sont arrivées en même temps. C’était d’abord la grande et elle a poussé la petite (en fait les départs étaient à peu près simultanés et sur des côtés opposés). La grosse était la première parce qu’elle est plus grosse (on refait : à peu près simultanés). C’est la petite la première parce qu’elle a un petit chemin à faire. »

Mon (8 ; 0) Prévision : « Elles partent n’importe où si je tourne : c’est pour toutes la même chose. (Expérience.) Celles qui sont plus près s’en vont les premières… ce sont celles qui sont là (près du bord : D 3) qui partent les premières. » On donne deux poids différents : « Les moyennes partiront d’abord parce qu’elles sont plus légères. (Expérience.) Non, c’est le contraire. — Tu peux refaire ? — Si c’est une fois comme ça, ce sera toujours comme ça! — (On met P 1 en D 3 et P 2 en D 1). — Non je suis bête : elle (P 3) est partie avant parce que (P 2) est plus près du pivot. »

Mon (8 ; 0) après des constatations de ce genre va jusqu’à la multiplication logique suivante : « Comment vas-tu poser les billes (PI, P 2 et P 3) pour qu’elles partent l’une après l’autre ? — (Il met P 3 en D 3, P 2 en D 2 et P 1 en D 1). Parce que la grosse est plus lourde et plus en avant, la deuxième moins grosse et plus loin et la troisième petite et encore plus loin. »

Ces faits sont d’un certain intérêt du point de vue du problème de la compensation qui nous occupe en ce chapitre. Lorsque l’on dissocie les facteurs pour faciliter la tâche de l’enfant, il découvre correctement leur rôle : les billes partent en fonction de leur poids et les plus proches de la périphérie partent avant les plus éloignées. Mais, d’une part, le sujet n’aurait pas pu établir de lui-même ces deux lois si l’on avait mêlé les situations, faute de la méthode « toutes choses égales d’ailleurs » qui ne se constitue qu’au niveau III. D’autre part, lorsqu’après ses deux découvertes préalables on prie le sujet de comparer des billes de poids différents à des distances distinctes, il se trouve encore en présence des difficultés suivantes.

La première tient à la fois aux imprécisions de la perception de la simultanéité quand les billes partent de côtés opposés et aux légères fluctuations de l’appareil, c’est-à-dire à deux sortes d’écarts fortuits que le sujet ne sait pas encore éliminer.

La seconde tient aux insuffisances de la multiplication logique. Les sujets de ce niveau connaissent une telle opération et l’emploient notamment quand les deux facteurs jouent ensemble dans le sens du renforcement (cf. Mor). Par contre, quand les deux facteurs interviennent à la fois, mais dans le sens de la compensation, l’enfant fait intervenir dans son explication soit l’un soit l’autre, sans comprendre la compensation ni, chose curieuse, sans plus chercher un produit multiplicatif. Un tel fait soulève un problème : faut-il admettre que la multiplication des relations demeure incomplète et joue seulement dans les cas intuitivement favorables ou faut-il considérer que l’enfant recule devant l’indétermination des produits de « plus lourd x plus près » et « plus léger x plus loin » ? Contre cette seconde interprétation on pourrait répondre que le sujet a les produits sous les yeux, puisqu’on fait il y a compensation. Mais, d’autre part, il se refuse à la constater (cf. Gui) parce qu’il ne la comprend pas, ou la constate sans comprendre qu’il s’agit d’une compensation. Il est donc probable que, dans le cas particulier, la multiplication des relations est déjà complète dans toutes les situations où le produit est déterminé, mais que ses mécanismes opératoires ne sont pas encore assez généralisés pour s’étendre aux produits comportant trois possibilités (plus lourd X plus près = la bille la plus lourde part après la plus légère ou avant ou en même temps par compensation).

§ 3. Le sous-stade II B : débuts de la compensation concrète🔗

Le sujet de ce niveau ne parvient toujours pas à expliquer le fait que deux billes de poids distincts partent ensemble à des distances différentes du centre, si on lui présente le phénomène sans analyse préalable parce qu’il ne parvient, ni à dissocier seul les facteurs, ni par conséquent à concevoir sur le plan des simples combinaisons possibles la compensation de deux facteurs agissant en sens contraire l’un de l’autre. Mais lorsque, grâce aux simplifications dues aux présentations successives de l’expérimentateur, l’enfant a pu découvrir séparément le rôle du poids et celui de la distance, alors il commence à comprendre la compensation et même dans certains cas à la prévoir :

Jol (9 ; 3). P 3 en D 2 et P 3 en D 3 : « Elles ne sont pas parties en même temps parce qu’il y en a une qui est à beaucoup de distance et l’autre à peu de distance. — Et comme ça (P 3 en D 1 et P 2 en D 3) ? — C’est celle-là (P 3) avant, parce qu’elle est plus grosse et l’autre est plus petite (Expérience : le contraire.) — C’est parce qu’elle (P 2) est plus près du bord. — Ça change avec quoi ? — Avec quelle grosseur et avec quel poids. — Et ça (P 1 en D 3 et P 2 en D 2) ? — Ensemble, parce que si on avait mis celle-ci (P 1) avec une grosse (P 3) c’est la grosse qui partirait la première, mais avec (P 2) elle part ensemble parce qu’elle est petite et elle a une petite distance et l’autre est grosse et elle a une plus grande distance. — Et (P 3 en D 3 ; P 2 en D 2 et P 1 en D 1) ? — Celle-là (P 3) part la première parce qu’elle est plus près du bord et elle est plus grosse ; (P 2) est moins près du bord et moins grosse et (P 1) est moins près (que P 2) et moins grosse. — Comment faire pour qu’elles partent ensemble ? — (Il met P 3 en D 1 ; P 2 en D 2 et P 1 en D 3) parce que la petite a une petite distance, la moyenne une moyenne distance et la grande une grande distance (à parcourir). »

Cro (10 ; 2). Expérience P 3 en D 2 et P 3 en D 2 : « Elles partiront ensemble parce qu’elles sont les deux de la même grosseur. — Et (P 3 en D 1 et P 3 en D 2) ? — La plus loin du centre est partie avant, parce qu’elle est plus près du bord. — (P 3 en D 1 et P 2 en D 1). Laquelle partira la première ? — (P 3) avant parce qu’elle est plus lourde. — (P 3 en D 2 et P 2 en D 3) ? — (P 2) avant parce qu’elle est plus près du bord (Expérience). Ensemble parce que celle-là est plus lourde que celle-ci, mais celle-ci est plus près du bord. — Et (P 3 en D 3 ; P 2 en D 2 et P 1 en D 1) ? — Celle-là (P 3) partira la première parce qu’elle est plus lourde et plus près du bord. — Et (P 3 en D 1 ; P 2 en D 2 et P 1 en D 3) ? — Toutes ensemble parce que celle-là est la plus petite, mais plus près du bord, celle-là moins petite mais moins près du bord et celle-là la plus grosse est la plus loin du bord. »

Le principal progrès accompli depuis le niveau II A est donc l’achèvement de la coordination (ou multiplication logique) des poids et des distances, une fois connus les rôles respectifs de ces deux facteurs. On retrouve naturellement la multiplication en cas d’effets cumulatifs (Pi X P₂ X D₂ et P₃ X D₃). Mais on observe aussi l’explication et parfois la prévision (Cro) du cas Pj D_s ; P₂ D₂ et P, D, où les trois boules partent ensemble parce que les deux facteurs se compensent. On a donc l’opération :

(1) (+P)x(+D)= avant ( = P)X( + D) = avant (=P)x( = D)=égalité

(—P)X(—D)= après (=P)x(—D)=après

(+P)X(—D) = (compensation (+P) x ( = D) = avant (—P)X( + D)= j possible (—P)x( = D) = après

où ± P = ± lourd, ± D = plus ou moins grande distance à partir du centre.

Nous retrouvons ainsi la même table à double entrée que pour les relations de travail (chap. XII, § 3) ou de densité, etc. au même niveau II B.

On pourrait donc être tenté de considérer comme acquise la notion de compensation multiplicative dès ce sous-stade. Mais deux circonstances empêchent de lui attribuer encore cette généralité. La première est que, rappelons-le, le sujet ne parvient pas encore de lui-même à dissocier les facteurs : il exécute donc correctement l’opération quand on lui en prépare les données, mais cela ne revient pas au même que d’organiser spontanément la déduction par une structuration préalable des éléments de cette déduction (démarche générale de la méthode expérimentale qui nécessite la combinatoire formelle). En second lieu l’opération de multiplication logique dont doit se contenter le sujet aux niveaux concrets demeure indéterminée dans les cas (+ P) X X (—D) et (—P) X (+ D) : il peut alors y avoir compensation, mais elle ne résulte pas nécessairement de ces produits. Pour qu’il y ait détermination complète, il faut alors recourir aux proportions, ce qui nécessite à nouveau la pensée formelle.

§ 4. Le stade III : dissociation spontanée des facteurs et compensation par proportionnalité🔗

Dès le niveau III A, le sujet est capable d’organiser de lui-même l’expérience et d’anticiper les compensations par un système d’opérations propositionnelles, sans pour autant parvenir à une déduction complète :

Cham (10 ; 7 avancé) met d’abord au hasard P 3 à D 3, P 2 à D 2 et PI à D 1 : « Elles sont parties l’une après l’autre. — Ça t’étonne ? — Non. La plus grande devait partir après parce qu’elle tourne moins vite… Ah ! non, c’est le contraire : plus elle est au bord plus elle tourne vite. (Il met pour le prouver P 3 en D 3, P 3 en D 2 et P 3 en D 1, puis lors d’un nouvel essai P 1 en D 3 et P 1 en D 2 variant donc les distances à poids égaux et faisant la contre-épreuve sur les poids extrêmes.) Celles-là (D 3) sont parties avant. Après ce sont celles du milieu (D 2). » Puis, après quelques nouveaux essais sur la distance, il découvre qu’en mettant P 3 à D 1 et PI à D 3 elles partent ensemble, mais que en mettant P 3 et P 2 à D 3 « la grosse part avant ». Il compare alors le rôle de la distance à une question d’équilibre : « C’est comme une balance, un peu (dans le sens des mouvements de balancement), c’est une question d’équilibre : si (P 3) et (P 1) sont en (D 3) ils n’ont pas d’équilibre ; s’ils sont en (D 2) un peu plus d’équilibre, si c’est en (D 1) c’est encore mieux en équilibre et si c’est au centre c’est tout à fait équilibré : plus c’est vers le milieu, moins ça va vite… Mais si (P 3) est en (D 1) et (PI) au centre, la grosse part avant. — Qu’est-ce qui joue ? — La grosseur et les trous un peu ; non la grosseur seulement, parce que les trous sont tous la même chose ; et l’élan, l’élancement. — Qu’est-ce qui fait équilibre ? — La grosseur des billes et les places : si on met la même grosseur (PI) en (D 3) part avant (P 1) au centre. Pour les faire partir en même temps, il faut mettre une grosse ici (en D 1 quand on a P 1 en D 3). »

Def (11 ; 2) découvre également le rôle du poids et de la distance. On lui demande de prévoir le résultat de P 3 en D 1 et P 2 en D 2 : « Elles partiront en même temps. La grande a un plus grand trajet à faire, mais est plus lourde et les choses plus lourdes vont plus vite. — Et (P 3 à D 1 ; P 2 h D 2 et P 1 h D 3) ? — Elles partiront en même temps. La grande est plus lourde, mais a un plus grand trajet à faire ; (P 2) est moins lourde que (P 3) mais plus lourde que (PI), mais elle a un plus long trajet à faire, alors ça revient au même. »

Vis (12 ; 9) après le même raisonnement : « Ça fait une compensation. »

Dub (13 ; 4) après qu’il ait découvert lui-même les deux facteurs : « Tu peux faire partir les billes en même temps ? — On doit faire une proportion : le poids puis la distance (il met P 3 en D 1 et P 2 en D 3). Elles ne sont pas parties ensemble à cause de la différence de poids et de la différence de distance : il faut que ça fasse exactement contrepoids. »

Il est remarquable que, au moment où le sujet devient capable de dissocier lui-même les facteurs et d’expérimenter spontanément, il adopte du même coup aussitôt une attitude nouvelle envers la compensation en la concevant simultanément comme le produit d’un équilibre et d’une proportion. En effet, au lieu de se représenter les distances comme jusqu’ici (des trajets plus ou moins longs à faire jusqu’au bord du disque), Cham les considère du point de vue cinématique par rapport au centre : plus la bille est loin du centre et plus elle fait de mouvement, tandis que plus elle en est proche et plus elle est en équilibre : d’où la proportion inverse entre les distances et les poids, qu’invoque explicitement Dub et que Vis appelle une compensation.

Or, cette convergence entre les méthodes d’expérimentation et les conceptions n’est pas fortuite, puisque les méthodes de dissociation sont dues à la combinatoire qui apparaît avec les débuts de la pensée formelle et que la structure d’ensemble de cette pensée implique le groupe INRC, source du schème de l’équilibre, ainsi que le schème de la proportionnalité, tous deux expliquant la notion de compensation.

Le schème de la compensation est donc d’une autre nature au niveau III A déjà qu’au stade II. Au niveau II B la compensation est encore de nature additive bien que résultant d’une multiplication de relations : c’est la relation « plus lourd » ou « plus de poids » (entendue dans le sens d’une différence additive) multipliée logiquement par la relation « plus près » (entendue à nouveau comme une différence additive) qui explique la compensation. Au contraire, au niveau III A, la compensation implique un sentiment net de proportionnalité et quand Dub dit que la « différence de poids » ne compense pas la « différence de distance » dans le cas P₃ D, P₃ D₃ et ne fait pas exactement « contrepoids », il prend le terme de « différence » dans le sens d’un rapport et « contrepoids » dans le sens de deux rapports propositionnels qui peuvent se compenser pour des valeurs bien déterminées.

Il est vrai que les sujets précédents ne fournissent précisément pas de proportions métriques. Mais, d’une part, on ne les leur a pas demandées et, d’autre part, ils témoignent visiblement d’un schème qualitatif de proportionnalité, qui se quantifiera métriquement de façon spontanée au niveau III B :

Vir (13 ; 0) réalise de lui-même les combinaisons P3D3etP3D2, puis P2D1 et P3D1 en disant : « C’est une loi : la plus légère part plus tard par rapport à la plus lourde. » Puis P3D1 et P3D2 et enfin PlDletPlD2 : » C’est celle qui était le plus loin (du centre) qui est partie la première. » Après quoi il place P2D3etP3D2 : » Elles vont partir en même temps parce que c’est un équivalent lourd et un équivalent d’élan : ça fait comme si je mettais (P 2) à (D 2) et (P 1) à (D 3). »

Cai (14 ans) : « Ça dépend comment on les place. Si nous voulons qu’elles partent ensemble, il faut que les poids diminuent proportionnellement à la longueur. — Comment le prouves-tu ? — Une bille de 1 /3, une autre de 2 /3 et la troisième de 1 (pour les distances D 3, D 2 et D 1). — Et si la distance est plus grande ? — Il faut faire la même combinaison proportionnelle. »

La proportion anticipée du niveau III A est donc devenue une proportion effective avec traduction numérique possible (Cai), les « équivalents » quantitatifs (Vir) assurant ainsi la compensation. Il nous est alors possible de reprendre le problème annoncé au début de ce chapitre et de nous demander si, psychologiquement, c’est l’idée de compensation qui entraîne celle de proportions ou si c’est l’inverse, à moins naturellement qu’il n’y ait interdépendance dès le départ.

§ 5. Proportions et compensation🔗

Les analyses précédentes (chap. XI à XIII) ont permis de constater que la proportionnalité constitue un schème général, lié au groupe de la double réversibilité des réciproques et des inverses (groupe INRC), tantôt avec la signification qu’il prend dans le cas d’un équilibre mécanique, tantôt avec d’autres significations (géométriques, etc.). Or, ce qui est commun à ces diverses significations du groupe INRC est l’intervention de processus de compensations, exprimés par la réciprocité R, à la différence des simples inversions N ; et ce qui est commun à toutes les formes de proportionnalité découvertes par le sujet est l’intervention de jugements de compensation. C’est lorsqu’il comprend, en présence de deux variables indépendantes, que l’accroissement de l’une produit un résultat identique à celui dû à la diminution de l’autre, que le sujet construit le schème qualitatif de la proportionnalité. La structure des proportions comporte, en effet, toujours un élément de compensation :

X x^z

lorsque l’on a - = —,, les produits xy’ = yx’ constituent un système de compensations tel que toute modification de valeur de x doit être compensée, si l’on conserve l’égalité, par une modification de l’un au moins des autres termes.

Seulement cette notion de compensation s’impose avec une évidence intuitive bien différente selon les cas. Elle est d’abord plus sensible lorsque la compensation assure la conservation d’un effet matériel (grandeur d’une ombre, etc.) que d’un simple rapport (conservation du parallélisme dans le théorème de Thalès). Elle est particulièrement significative lorsque les facteurs réciproques assurent l’équilibre d’un système mécanique, etc.

Il est vrai que la proportionnalité elle-même est plus ou moins facile à dégager, selon qu’il s’agit de proportions directes ou inverses et de facteurs plus ou moins aisés à comparer du point de vue de leurs unités. Aussi, dans le cas particulier de la force centrifuge où il s’agissait d’analyser des compensations perceptivement évidentes, avons-nous ramené les poids à trois différences d’unités seulement, PI, P2 et P3 et les distances D à trois également : la proportion P1/P3 = D1/D3 est alors d’une simplicité intuitive écartant toute nécessité de calcul.

Or, il est remarquable que même en ce cas, le schème de la compensation précède celui de la proportionnalité, ce qui revient à dire que le sujet a besoin de dégager au préalable la conservation possible d’un même résultat (simultanéité des départs) pour trouver les proportions, tandis qu’il aurait pu partir des rapports en jeu et de leurs proportions pour en tirer l’idée d’une compensation possible. Autrement dit, c’est quand le sujet découvre qu’une augmentation de poids entraîne le même résultat qu’une augmentation de distance, et peut donc être compensée par une diminution de distance, qu’il est en état de trouver la proportion inverse des poids et des distances, tandis qu’il aurait pu, après avoir constaté que les billes partent d’autant plus tôt qu’elles sont plus lourdes et d’autant plus tard qu’elles sont plus près du centre, établir la proportion inverse et en déduire les équivalences et compensations possibles.

Si nous désignons par p l’énoncé d’une augmentation de poids (d’où p sa diminution) et par q l’augmentation de distance à partir du centre (d’où q sa diminution si p, p, q et q se limitent aux changements), si nous appelons en outre r et f les propositions affirmant qu’une boule part avant ou après une autre et r₀ l’énoncé de la simultanéité, nous constatons que le sujet commence par poser :

(1) p 3 r et q 3 r

d’où :

(2) r₀ 3 (p. q) V (p. q)

ce qui est l’expression même de la compensation : pour qu’une bille parte en même temps qu’une autre, en cas de modification du poids ou de la distance, il faut qu’elle soit à la fois plus lourde et plus près du centre ou plus légère et plus loin du centre.

C’est alors de cette constatation qu’il tire la proportion :

(³) | | P »^1, exemple

ou

(⁴) 2 = R 3 par exemple

Mais il aurait pu de (1) tirer les proportions qualitatives :

(5) - = R - et (5 bis) - = R 3

‘ ‘ r p ^v ‘ r q

d’où il aurait tiré la proportion (4) par transitivité. De (4) il aurait alors tiré les produits :

(6) pq = Rpq

d’où la possibilité d’une compensation pour r₀ (prop. 2), vérifiable à l’expérience. Or, non seulement il ne procède pas ainsi, mais il découvre la compensation, par opérations concrètes, dès le niveau II B. De plus, ce n’est pas seulement dans le cas de la force centrifuge que le sujet débute par la compensation pour trouver ensuite les proportions, mais dans tous les cas étudiés jusqu’ici (chap. XI à XIII). Il est vrai que nous en sommes en général venus à donner la consigne de trouver des compensations ou des équivalences : mais c’est parce que, après expérience, nous avons trouvé que c’était la voie la plus facile pour l’adolescent et pour l’enfant, les compensations étant en chacune de ces expériences, découvertes concrètement dès le niveau II B.

Cela étant, nous devons donc chercher la raison de ce fait constant. Il faut d’abord rappeler les caractères généraux du schème de la compensation. Soient deux facteurs dont on énonce l’augmentation de valeur par p ou g et la diminution par p ou g et soit un résultat dont l’accroissement s’énonce par r, l’affaiblissement par r et la conservation par r₀. Il peut alors se présenter deux cas distincts :

I. — On peut avoir :

(7) p ) r et q ) f

(par exemple l’augmentation du diamètre des cercles implique l’augmentation de la grandeur de l’ombre, tandis que l’accroissement de distance diminue la grandeur de l’ombre : chap. XIII).

En ce cas, la compensation prend la forme :

(8) r₀ > (p. q) v (p. q)

et la proportion entre p et g est directe. Appelons p₂ et g, (ou px et gj les transformations apportées conjointement aux premiers éléments comparés et p₂ et g₂ (ou p₂ et g₂) les transformations apportées au second couple. On a alors, pour (8) :

(9) E-¹ = ÿ ou (9 bis) = R

41 Pa 41 4a

(par exemple le diamètre du plus grand des deux cercles est à sa distance par rapport à la source lumineuse, distance qui est aussi la plus grande, comme le diamètre du petit cercle est à sa distance).

II. — Mais on peut aussi avoir (comme dans le cas de la force centrifuge et de la balance) :

(10) p ) ret q) r (cf. prop. 1).

En ce cas, on a la compensation :

(H) r₀ 3 (p. q) V (p. q) (cf. prop. 2).

Mais alors la proportion est inverse, soit :

(12) = S-¹ ou = R

q₃ Pa Qa qi

(par exemple le poids de la grande boule est à la grande distance de la petite boule comme le poids de la petite boule est à la petite distance de la grande boule).

Cela dit, on comprend alors pourquoi le schème de la compensation est plus directement accessible que celui de la proportionnalité. La première raison en est que la compensation est directement fondée sur des rapports qualitatifs et logiques tels que (7-8) ou (10-11), tandis que les proportions n’acquièrent une structure expérimentalement vérifiable qu’avec leur quantification numérique. C’est pourquoi il y a toujours une sorte d’anticipation logique de la proportion (en tant qu’égalité respective de deux produits et de deux sommes), avant sa mise en forme métrique : nous saisissons maintenant la signification de ce schème anticipateur, puisqu’il est toujours dérivé de celui de la compensation. En second lieu la compensation peut être additive comme multiplicative, ce qui est également le cas des proportions logiques, mais non pas des proportions métriques (d’où la constante tendance initiale de l’enfant à chercher la proportionnalité dans l’égalité des différences additives). Enfin, la compensation dérive directement de l’idée de réciprocité, puisque (prop. 8) p. q est la R de p. q et que (prop. 11) p. q est la R de p. q.

Or, dans le cas des relations, c’est la réciprocité qui constitue le fondement de la réversibilité et elle ne devient composable avec l’inversion N que par l’intermédiaire du groupe INRC, fondement des proportions.