Chapitre XIII.
La projection des ombres 1 a 🔗

§ 1. Le stade II : découverte du rôle des grandeurs (II A) puis des distances (II B)🔗

L’enfant du niveau II A sait que la grandeur des ombres dépend de celle des objets considérés, mais il ne sait encore rien de plus :

Pel (7 ; 10) prévoit correctement qu’un cercle de 10 (cm de diamètre) donnera une ombre plus grande qu’un cercle de 5 ; etc. « Si je le déplace de ce côté où sera l’ombre ? — Là (juste). — Elle reste de la même grandeur ou devient plus grande ou plus petite ? — La même chose. »

Bar (8 ; 8) débute par les mêmes réactions. Puis il découvre à l’expérience que l’ombre d’un même cercle varie de grandeur avec la distance. On lui demande alors de former une même ombre avec 4 cercles inégaux : il met celui de 20 à 70 cm de distance, celui de 10 à 41 cm, celui de 5 à 23 cm et celui de 10 à 11 cm.

Il y a donc possibilité d’une sériation des grandeurs des cercles et des grandeurs des ombres et correspondance exacte à distance égale. Il y a d’autre part sériation exacte des distances, mais aucune relation avec la grandeur des ombres : le sujet part de la supposition que la distance ne modifie pas cette grandeur (Pel), puis, quand l’expérience le détrompe il s’attend à des transformations arbitraires sans trouver de correspondances régulières (Bar).

Au niveau II B, par contre, le sujet cesse de se représenter la lumière comme étant « partout » sans rayons à direction définie et commence à prévoir l’effet des rayons divergents : tout au moins établit-il en fait une correspondance entre les grandeurs décroissantes de l’ombre d’un même objet et les distances progressives à partir de la source lumineuse ; plus l’objet est près du plan de projection, comprend-il donc, plus l’ombre est petite.

Mand (9 ; 6) : « À mesure que ça avance (vers la bougie), ça (l’ombre) devient toujours plus grand, parce que quand c’est plus près (du plan de projection), ça devient plus petit et quand c’est plus loin (du plan) ça devient plus grand. »

Nov (10 ; 5) : « Il faut mettre le plus petit cercle devant (= du côté de la bougie), parce que ça va toujours en s’élargissant (cf. le cône des rayons lumineux). » Il met alors, pour obtenir des ombres égales, le cercle de 5 à 44 cm, celui de 10 à 55 cm ; celui de 15 à 56 cm et celui de 20 à 57 cm I

Oli (10 ; 2) met le cercle de 5 à 10 cm et celui de 10 à 19 cm, puis 15 à 38 cm et 20 à 50 cm. « Pourquoi mets-tu comme ça ? — Parce que ceux-là (5 et 10 de diamètre) c’est plus gros (parce que plus proches de la bougie) et ceux-là (15 et 20 de diamètre) deviennent plus petits. »

Chri (10 ; 0) met 5 à 2 cm, 10 à 15, 15 à 29 et 20 à 42 cm « parce que les plus petits doivent être plus en arrière pour jaire la même grandeur que les grands : il faut mettre à peu près des distances égales ».

Del (11 ; 11) met 5 à 11 cm, 10 à 21 cm, 15 à 32 et 20 à 43 cm. Puis 5 à 41 cm, 10 à 52, 15 à 63 et 20 à 74 cm.

Mau (11 ; 10) met 5 à 55 cm, 10 à 63, 15 à 71 et 20 à 80 cm.

Il y a donc nettement correspondance qualitative entre les grandeurs des ombres et les distances, mais avec deux particularités fort instructives en ce qui concerne l’opposition entre les compensations par multiplications logiques du niveau concret et les proportions proprement dites, avec compensations multiplicatives, du niveau formel.

La première de ces particularités est que les sujets de ce stade II B, tout en sachant construire des correspondances inverses, préfèrent spontanément les directes, et par conséquent ont tendance à calculer les distances à partir du plan de projection (de l’écran de papier sur lequel sont projetées les ombres) et non pas à partir de la source lumineuse (cf. « ça avance » chez Mand, « plus en arrière » chez Chri, ces expressions étant relatives à l’écran). Pourtant, il y a déjà chez certains une intuition du cône lumineux (cf. Nov « ça va toujours en s’élargissant »), mais quand ils mesurent les distances, c’est à partir du plan de projection, de telle sorte qu’il y a alors correspondance directe : plus la distance est grande (depuis l’écran), plus l’ombre s’agrandit (les cercles de 5 à 10 sont « plus gros » dit ainsi Oli, que ceux de 15 et de 20 cm de diamètre).

Néanmoins, la distance et la grandeur du cercle sont bien compris comme se compensant l’un l’autre. Seulement (et c’est là la seconde particularité de ces réactions, et la plus importante), les essais de quantification métrique auxquels cette compensation donne lieu ne témoignent nullement encore d’une proportionnalité proprement dite, c’est-à-dire de rapports multiplicatifs, mais bien de différences additives constantes mais quelconques dans les sériations et dans les correspondances. Par exemple Nov après un écart de 11 cm entre les deux premiers cercles place les suivants à 1 cm de distance (54, 55, 56, 57 cm) ! Mau met de même de 8 à 9 cm d’écart entre les cercles sur des distances de 55 à 80 cm et Chri calcule des différences constantes de 13 à 14 cm. Oli semble se rapprocher de la proportionnalité, mais fait simplement une dichotomie entre les petits et les grands : il y a alors différence additive de 9 et de 12 cm à l’intérieur de chaque ensemble, mais rapport du simple au double entre les deux ensembles ! Quant à Del, qui a l’âge du niveau III, il débute par une proportion à peu près exacte, puis, lors d’un nouvel essai, retombe dans une différence additive arbitraire de 11 cm en partant de 41 cm !

§ 2. Le stade III : proportionnalité des correspondances (iii a) puis généralisation et explication de la loi (III B)🔗

Les nouveautés du sous-stade III A sont la proportionnalité métrique inverse entre les distances et les diamètres des cercles, mais sans encore de généralisation possible à tous les cas. Le sujet mesure donc les diamètres et les distances et cherche une hypothèse métrique en s’appuyant sur la structure des rayons divergents de lumière, compte tenu de la distance entre la source lumineuse et le premier cercle placé (le plus petit ou le plus grand) :

Ghe (12 ; 8) mesure les cercles et trouve une différence de 5 cm entre leurs diamètres : il en conclut qu’il faut « trouver un écart qui sera un multiple de 5 », il les place correctement en proportion de leurs grandeurs.

Duc (12 ; 1) après avoir posé le cercle de 20 à 83 cm, dit : « Maintenant il faut compter depuis ici jusque-là (à la bougie) et diviser par 4. » Il met alors le cercle de 5 à 21 cm, celui de 15 à 61 cm, mais celui de 10 à 51 cm. « Et si je ne te donne que trois cercles (15,10 et 15) ? — Il faut compter depuis le plus grand et diviser par trois. »

Wal (12 ; 4) divise l’ombre du grand cercle par la distance, d’où 50 /40 = 1,25 et cherche des différences qui soient des multiples de 1,25 I Puis, il pose le cercle de 5 à 25 cm, celui de 10 à 50 : « C’est la moitié / » Il place alors celui de 15 à 75 cm et celui de 20 à 100 cm : « Ça joue, c’est toujours 5 cm de plus (dans les cercles) et les longueurs ont toujours 25 cm de plus : c’est la même échelle. — Veux-tu me trouver une autre distance pour que l’ombre soit aussi la même pour tous les cercles ? — (Il les place à 26 cm de distance et recule la bougie de 4 cm). — Mais sans bouger la bougie ? — D’après moi on ne peut pas : on ne peut pas grandir l’échelle. — (On place le cercle de 15 à 46 cm : il met alors celui de 10 à 23 cm ; puis celui de 5 à 7, celui de 10 à 30, de 15 à 53 et de 20 à 76 cm !) ».

Le sujet de ce niveau part donc nettement d’une hypothèse de proportionnalité. Mais la proportion n’est trouvée que dans un cas ou deux, et non encore généralisée à tous. Il y a bien coordination de toutes les relations concrètes antérieures de sériation et de correspondance sous l’effet d’une construction d’ensemble : tous les rapports sont subordonnés à la représentation géométrique des rayons divergents (expérimentalement le sujet procède par visée pour contrôler sa construction) et cette figure est correctement pourvue des propriétés de la proportionnalité.

En effet, le sujet calcule dorénavant ses distances à partir de la bougie et non plus du plan de projection et il fait entrer dans sa construction la distance entre la bougie et le premier cercle et non pas seulement les distances entre les cercles (deux nouveautés par rapport au stade II).

Mais il se contente de vérifier son hypothèse sur un cas et ne conçoit pas encore une telle construction comme mobile et susceptible de prendre diverses formes équivalentes. Autrement dit, il ne cherche pas encore la loi générale en tant que système de relations nécessaires et suffisantes pour rendre compte du résultat obtenu.

Ce sont alors la généralisation et l’explication de la loi qui caractérisent le niveau III B :

Wah (14 ; 1) : « On prend n’importe quelle distance pourvu qu’il y ait le même rapport. »

Mic (14 ; 6) : « Puisque les diamètres sont tous de différences régulières, il faut que les différences entre les distances soient les mêmes. » Il pose alors les cercles de 5,10,15 et 20 cm à des distances de 8,16, 24 et 32 cm, puis il prend une autre distance arbitraire et trouve également la proportion : « Ces distances doivent avoir le même rapport que ces cercles les uns avec les autres. »

Fau (15 ; 6) : « Pour que l’ombre soit égale, la même avec deux cercles, il faut que la fraction des axes (= distances) soit égale à la fraction des deux cercles. » Puis : « L’ombre ne sera jamais plus petite que le cercle lui-même. »

Hue (15 ; 6) : « L’angle fait avec (= par) les rayons de lumière s’écarte de plus en plus. Pour que la lumière arrive à faire grandeur double (de l’ombre), il faut une distance double », etc.

Mabt (16 ; 2) commence par examiner les cercles par un procédé de visée : « Il faut mettre le plus grand le plus loin possible et il faut qu’il y ait un (même) rapport entre les diamètres des cercles et les distances. » Il réussit la proportion.

Guy (16 ; 6) : « Ça devrait donner un rayon qui va comme ça (il montre une forme de cône) à partir du petit cercle. Je pense que le premier cercle donnera une ombre qui se profilera selon une sorte de rayon qui augmente de largeur… »

On voit la différence d’attitude entre ces sujets et ceux du niveau III A : la construction est d’emblée subordonnée à une hypothèse à la fois explicative et générale, et qui est cette fois, non plus seulement celle des rayons divergents de lumière, mais celle du cône proprement dit. La proportionnalité est alors impliquée par ce schéma explicatif lui-même et s’applique comme dit Wah, à « n’importe quelle distance ».

Mais rappelons-nous que la proportionnalité a été anticipée avant cette construction finale : c’est une fois l’explication trouvée que les proportions se déduisent de la figure d’ensemble, mais au niveau III A il y avait proportionnalité sans que cette figure soit posée au préalable (ce qui arrive d’ailleurs encore souvent au sous-stade III B). Quelle est donc la nature de cette proportionnalité, qui ne dérive pas d’un schéma mécanique comme celles des chapitres précédents, mais s’accompagne d’emblée de représentations géométriques (les rayons divergents de lumière, puis la figure du cône) ? En un sens, les sujets du stade III parviennent à la proportionnalité du fait même qu’ils accèdent à la logique des propositions et deviennent ainsi aptes à comprendre et à transformer l’égalité de deux produits : en fait, c’est lorsque l’énoncé d’une certaine augmentation du diamètre des cercles (nous désignerons par p cette augmentation et par p la diminution correspondante), jointe à une certaine augmentation de la distance (que nous appellerons q, en désignant par q la diminution correspondante) est liée au même résultat que deux autres augmentations ou diminutions conjointes. Mais il est clair, d’autre part, que cette égalité des produits n’est comprise qu’à titre d’instrument permettant d’exprimer une compensation multiplicative entre les transformations des diamètres et celles des distances.

Si nous désignons par r₀ la conservation de la grandeur de l’ombre et par r₀ sa modification, par r son accroissement et par r sa diminution (donc f₀ = r v f), le sujet constate, en effet, ce qui suit. D’abord, la conservation r₀ suppose, en cas de modification des diamètres et des distances, ou bien une augmentation des deux à la fois, ou bien une diminution des deux :

(1) r₀ 3 [(p. q) V(p. q)]

Ensuite les combinaisons p. q et p. q correspondent toujours à des modifications de l’ombre :

(2) [(p. q) V (p. q)] 3 f₀

Mais en deux sens opposés :

(3) (p. q) 3 r et (3 bis) (p. q) 3 f

Enfin les mêmes résultats peuvent être obtenus soit en augmentant le diamètre, soit en diminuant la distance et réciproquement :

(4) r 3 (p v q), c’est-à-dire r 3 [(p. q) v (p. q) v (p. q)] avec exclusion de p. q

et

(5) f 3 (p v q), c’est-à-dire f 3 [(p. q) v (p. q) v(p. q)] avec exclusion de p. q

En effet, si r₀ implique (p. q) ou (p. q), en cas de modification des diamètres et des distances, la réciproque n’est pas vraie et (p. q) ou (p. q) peuvent entraîner r ou f.

Le sujet en vient alors, à partir de ces implications montrant que les mêmes produits peuvent être dus à deux causes différentes, à découvrir le schème qualitatif de la proportionnalité. De (1), il tire :

(6) (p. q) = R (p. q)

D’où, par réciprocité des produits croisés :

(7) ? = R 5

‘ ⁷ p q

Et de (2), il tire :

(8) (p-q) = R (p-q)

D’où, par réciprocité des produits croisés :

(⁹)|=^Rf

Or, on se rappelle que c’est cette proportion (9) qui correspond à la proportion numérique — = .

^{r F 1} ny y :n

D’une manière générale, la découverte de la proportionnalité est due, dans le cas particulier, à la compréhension des compensations multiplicatives. On se rappelle que l’enfant du niveau II B s’aperçoit déjà du fait qu’une modification du diamètre des cercles peut être compensée par une modification des distances, mais il ne parvient à interpréter cette compensation que sous une forme additive (égalité des différences). Pour attribuer à la compensation sa vraie forme, qui est multiplicative, il est, en effet, indispensable de distinguer et de coordonner simultanément deux sortes de transformations générales : l’inversion qui annule la modification considérée et la réciprocité qui la compense sans l’annuler. Or, c’est précisément ce que les opérations propositionnelles permettent de faire aux sujets du stade III : en distinguant deux variables indépendantes dont les modifications de chacune peuvent être annulées (inversion), mais dont les modifications de l’une peuvent compenser celles de l’autre sans les annuler (réciprocité), ils en arrivent à utiliser effectivement (sans naturellement en prendre conscience) un groupe de 4 transformations, dont la découverte de la proportionnalité est la conséquence la plus directe.

Il est, en effet, frappant de constater que l’expression (p. q) dans la prop. (3) (augmentation du diamètre et diminution de la distance) est la corrélative de l’expression (p v q) dans la prop. (4), de même que l’expression (p. q) dans la prop. (3 bis) est la corrélative de l’expression (p v q) dans la prop. (5), chacun de ces couples de propositions (3 et 4 ou 3 bis et 5) étant lié à un résultat inverse de celui de l’autre (r ou r).

On a alors le groupe :

(10) I (pvq)

N (p. q)

R (p V q)

G (p. q)

D’où la proportion possible :

p v q pvq lx Rx

(11) —A = 4=— soit TT- = ou x est ici (p v q)

‘ ‘ p. q p. q Cx Nx

Mais il est peu probable que ces prop. (10) et (11) interviennent effectivement dans le raisonnement des sujets, bien qu’elles soient tirées sans plus des prop. (3), (3 bis), (4) et (5) qui, elles, sont l’expression directe des énoncés du stade III. On a donc ici l’exemple d’une structure demeurant sans doute simplement virtuelle, mais impliquée dans les raisonnements réels observés. Par contre, on peut admettre que le groupe INRC intervient dans la pensée des sujets sous une forme plus simple et demeurant « uninaire », qui explique alors les proportions (7) et (9) : si l’augmentation du diamètre est posée comme transformation identique (I — p), sa diminution est alors la transformation inverse (N = p), mais l’augmentation de la distance par rapport au foyer lumineux compense l’augmentation du diamètre sans l’annuler et joue donc le rôle de la transformation réciproque (R = q) ; enfin, la négation de la réciproque produit les mêmes effets que l’augmentation du diamètre et joue donc le rôle de la corrélative (C = q). D’où les proportions :

- = C ou - = R ? (prop. 9) q p q ÿ

Le groupe INRC remplit donc une fonction plus générale que celle d’expliquer l’équilibre mécanique. Il intervient aussi, comme nous le verrons dans la troisième Partie de cet ouvrage, lorsqu’il s’agit de coordonner deux systèmes distincts de référence (mouvements relatifs : voir chap. XVII, § 5, sous III). Il intervient même, comme nous le voyons ici, lorsqu’il s’agit de coordonner les transformations de deux variables indépendantes, mais avec compensation multiplicative possible des effets de ces transformations (par opposition aux compensations additives connues dès le niveau des opérations concrètes).

Remarque. — Il est à noter que la proportionnalité logique ne se relie pas seulement au groupe INRC, mais qu’on peut la dériver de la structure générale de proportionnalité propre au réseau (en un sens qui d’ailleurs nous paraît impliquer également le groupe INRC : voir Piaget, Essai sur les transformations des opérations logiques, p. 166-8). Un réseau est un système semi-ordonné d’inclusions (et en logique des propositions, d’implications), tel que deux éléments quelconques du système, x et y, aient toujours une borne supérieure BS (= le plus petit des majorants, c’est-à-dire le plus petit des éléments qui les comprenne tous deux) et une borne inférieure BI (= le plus grand des minorants, c’est-à-dire leur partie commune). Or, en tout réseau, il existe un rap-

BI v

port — = sa > qui constitue une proportionnalité. Par exemple, en X DO

logique ^3 _ _ 3 . gi du réseau de la logique des propositions, on passe à celui des nombres entiers, on sait que la BI — le plus grand commun diviseur (PGCD) et la BS = le plus petit commun multiple (PPCM). On a alors :

PGCD y .2613

— =PPCM’ P^areXemP^le 4 = Ï2 °^U 2Ô = 6Ô

Or, dans le cas du problème des ombres, le sujet pourrait parvenir directement à la proportion logique :

(12) LJ ₌ où p = (p. q V p. q) et q = (p. qV p. q)

(p, q et leurs négations ayant le même sens que dans les prop. 1 à 11).

Mais, d’une part, rien n’atteste que les sujets du stade III recourent à la structure du réseau, dans la solution du problème des ombres, car cette structure se manifeste psychologiquement dans les raisonnements qualitatifs par une intervention explicite des opérations combinatoires, ce qui n’est pas le cas ici. D’autre part, du point de vue formel, la proportion (12) est réductible à celles qui dérivent du groupe INRC, tandis que la réciproque n’est pas vraie 3.