Chapitre premier.
Les généralisations conduisant à l’« ensemble des parties » ¹ ^a

L’ensemble des parties est une classification de toutes les classifications possibles d’un ensemble ou d’une classe d’éléments et, comme telle, elle résulte d’une forme caractéristique de généralisation constructive : celle où une opération est élevée à la deuxième puissance. Nous avons donc parfois formulé l’hypothèse que la structure de l’ensemble des parties était préparée par celle des opérations de « vicariance » (Al + A’ 1 = A2 + A’ 2 = B), qui permettent de passer d’une classification ou d’une partition à une autre en conservant le même tout. Cela reste exact, mais comme la vicariance est acquise dès les débuts des opérations concrètes (7-8 ans et bien avant pour les cas intuitivement évidents), tandis que la combinatoire et l’ensemble des parties ne sont accessibles qu’au niveau de 11-12 ans (et encore…), il doit donc intervenir des difficultés systématiques entre deux et ce sont elles que l’on examinera ici. Le but de cette recherche n’est donc pas d’analyser la construction de la structure finale du « simplexe » 2ⁿ mais d’étudier les processus qui partent de vicariances, donc de doubles partitions, et s’orientent dans la direction de l’ensemble des parties.

En effet, pour passer de la vicariance à l’ensemble des parties, deux conditions au moins doivent être remplies et elles correspondent à de grandes difficultés pour le sujet. La première est que, si la vicariance est l’opération qui substitue la partition A2 4- A’ 2 à Al 4- A’ 1 tout en conservant constant le tout B, il est nécessaire pour aboutir au simplexe, de ne pas se borner à cette substitution ou à l’identification des totaux, mais de considérer les deux ou n partitions simultanément, de manière à pouvoir comparer les parties de l’une à celles de l’autre. Dans le cas de 4 classes, A et B et leurs complémentaires non-A et non-B, cela revient même à construire 16 combinaisons pour un simplexe total, mais le premier problème dont nous allons avoir à traiter est d’établir si, pour seulement deux partitions dichotomiques différentes les jeunes sujets capables de vicariance, parviennent à raisonner sur elles simultanément, c’est-à-dire à les intégrer déjà en un système d’ensemble analysable dans le détail des relations possibles : or, nous allons constater que ce n’est justement pas le cas.

En second lieu, il est évident que la comparaison des partitions comporte l’utilisation d’intersections. C’est ainsi que dans le cas des 16 « parties » de l’ensemble dont les éléments sont A, B, non-A et non-B, chacun de ces éléments se retrouve en 12 « parties » et, à faire la somme de leurs utilisations respectives, on en trouve 16 pour chacun (0 ; 1 ou 2 selon les « parties »). Mais comprendre une intersection entre deux classes ou deux « parties » revient à admettre que l’élément commun appartient aux deux à la fois, ce qui suppose à nouveau une comparaison simultanée entre deux systèmes ou sous-systèmes distincts (par exemple une double inclusion). Le problème se posera donc également d’établir si c’est là une conduite facile ou si elle comporte elle aussi un certain niveau de généralisation constructive. Or, on sait assez que la tendance des jeunes sujets est de ne raisonner que sur des classes disjointes et que les « groupements » additifs partent d’une telle structure. Quant aux groupements multiplicatifs, qui utilisent et généralisent même les intersections, l’enfant ne conçoit d’abord celles-ci qu’en compréhension, les éléments de chaque casier d’une table à double entrée étant simplement conçus comme porteurs de deux qualités à la fois et les casiers comme tels étant considérés comme disjoints. Le problème demeure donc entier du passage, en fait difficile, du maniement des classes disjointes à celui des intersections en extension ².

Pour ramener les deux problèmes à leurs formes les plus élémentaires, nous nous sommes servis de vicariances entièrement évidentes, par exemple de figures que l’on peut immédiatement classer en carrées (Al) et en rondes (A’ 1) ou encore en grandes (A2) et en petites (A’ 2), ces classes A2 et A’ 2 étant naturellement composées des mêmes éléments que Al et A’ 1 : l’une des questions étudiées est alors de choisir les figures à volonté (en nombres quelconques), mais de manière à avoir « autant de carrées (Al) que de grandes (A2) ».

On voit que, si élémentaire que paraisse cette tâche, elle suppose néanmoins l’utilisation simultanée des deux partitions. En outre, parmi les réponses justes possibles (et l’on cherche à les obtenir toutes) intervient naturellement l’intersection. Si nous appelons al, a’ 1, a2 et a’ 2 les qualités (prédicats) des classes précédentes Al, A’ 1, A2 et A’ 2, les réponses justes pourront présenter, en effet, les trois constructions suivantes de classes ³ X et Y :

1) nX (ala2) : il y aura en ce cas identité X = Y, donc égalité des carrés et des grands.

2) nX (ala’ 2) = nY (a2a’ 1) : ce sera la disjonction exclusive. 3) nX (ala’ 2) -|- nY (a2a 1) ri Z (ala2), d’où l’égalité X + Z = Y 4- Z si Z est l’intersection des classes totales XZ (ala’ 2 + ala2) et YZ (a2ri 1 + a2al).

Mais si nos problèmes se centrent ainsi que la simultanéité des partitions et des inclusions (intersections), quelles relations ont-ils avec la généralisation ? Il est d’abord clair que, même sans aboutir à l’ensemble des parties, les raisonnements demandés aux sujets supposent la construction d’opérations sur des opérations, donc de formes de formes. Or, il pourrait sembler que ce problème est résolu d’avance dès les débuts du niveau opératoire de 7-8 ans par l’élaboration des tables à double entrée ou classifications multiplicatives, puisque : a) celles-ci supposent déjà la considération simultanée de deux partitions et b) que chacun des casiers d’une telle table est déjà une intersection. En effet, les quatres classes précédentes Al, A’ 1, A2 et A’ 2 constituent une telle table ⁴ et les trois solutions indiquées (sous 1-3) reviennent simplement à utiliser un, deux ou trois des casiers de cette table (de même que les 16 combinaisons 2ⁿ reviennent à les grouper de toutes les manières possibles). Qu’y a-t-il alors de différent dans les questions que nous posons ? Rien de plus, au premier abord, que de réunir entre elles de diverses manières les casiers de la table, donc à construire des sous-systèmes au sein du système total, et l’on peut y voir une généralisation (avec différenciations et réintégrations successives) des opérations mêmes qui ont engendré ce système d’ensemble. Mais, en fait, ces réunions partielles posent une série de nouveaux problèmes pour les deux raisons suivantes.

La première est que, à considérer seulement les quatre casiers un à un, leur signification est simple et revient sans plus, comme déjà dit, à relier en compréhension deux prédicats (carré grand, carré petit, etc.), tandis qu’à réunir deux ou trois casiers la signification des réunions en extension est complexe et demande une généralisation des couples de prédicats selon des relations nouvelles : indépendamment même des nombres (qui sont là pour obliger à des comparaisons, sans aucune difficulté en eux-mêmes), comparer les « carrés » et les « grands » implique une relation entre un couple de casiers et un autre couple, ce qui comporte une autre signification que de caractériser et arranger les quatre casiers élémentaires sans s’occuper de leurs réunions possibles à deux ou à trois.

En second lieu, ces sous-systèmes de deux ou trois casiers demandent une coordination simultanée d’un plus grand nombre de négations que la construction du système total : comparer les « carrés » aux « grands » exige l’exclusion des non- carrés, d’un côté, et des non-grands de l’autre, casier par casier et toujours conjointement, tandis que dans le système total les négations restent globales et peuvent même en demeurer à l’état de simples « différences » (carré et rond, etc.).

En un mot, l’« ensemble des parties », dans la direction duquel nos questions orientent les sujets, suppose une construction engendrant de nouvelles relations à partir des liaisons élémentaires définissant les quatre casiers initiaux et c’est bien là un problème de généralisation.

La technique comporte plusieurs étapes et le matériel permet trois partitions (et non pas deux comme dans l’exemple simplifié précédent) : des carrés et des ronds, grands ou petits et rouges ou verts (8 classes de n éléments chacune). Une fois le matériel exploré, on dit à l’enfant « tu peux choisir les figures comme tu veux, mais j’aimerais qu’on ait autant (ou « la même chose beaucoup ») de carrés que de grands ». La réponse une fois obtenue, on demande au sujet les autres solutions possibles pour ce même problème : comme on vient de le voir, ce peuvent être, en effet, des identités (grands et carrés à la fois), des disjonctions exclusives ou des disjonctions non exclusives, d’où intersections. Pour faciliter les choses en cas d’échec ou pour mieux analyser le passage d’une solution à une autre, nous posons ensuite une seconde question en une situation qui suggère immédiatement la réponse : 4 grands carrés rouges et un grand rond vert étant déjà posés, on demande de trouver autant de ronds que de rouges. La solution une fois obtenue, on continue : « Est-ce qu’on peut ajouter encore un rond rouge sans détruire l’égalité ? » ou « Peut-on remplacer les grands ronds verts par autre chose (des petits) ? ». Etc. Dans une seconde partie de l’interrogation, on présente un grand carré vert en priant le sujet de trouver une figure qui soit son « contraire ». La réponse une fois donnée, on fait désigner d’autres « contraires » et l’on finit par demander ce qui est « le plus contraire », et s’il y a une gradation dans les contraires. Il s’agit alors d’un dénombrement des différences (une, deux ou trois par rapport à la figure modèle), d’où une série de questions possibles : construction de sous-classes selon le nombre des différences, indications sur leur extension et « pourquoi y a-t-il une seule figure qui soit le contraire ? » (si le sujet a désigné le petit rond rouge). On demande également de montrer tous les éléments qui ne sont pas « grands carrés verts », donc la complémentaire ou négation par opposition à la réciprocité désignée par le terme « contraire ».

Notons encore que ce terme de « contraire » (ou « le plus contraire ») est dû à des réponses d’enfants contenant spontanément cette expression. Quant au nombre des différences par rapport au grand carré vert, rappelons qu’il n’y en a qu’une dans les cas du petit carré vert, du grand rond vert ou du grand carré rouge, qu’il y en a deux dans ceux du petit carré rouge, du petit rond vert et du grand rond rouge. Enfin, le petit rond rouge comporte trois différences. Enfin il est important de préciser avec soin la manière dont l’enfant utilise ou comprend les termes « et » et « ou » (« grand et vert » et « grand ou vert »).

§ 1. Le niveau IA

Chez les sujets les plus primitifs, on ne trouve de comparaisons possibles qu’entre des classes de propriétés voisines :

Ela (5 ;8) décrit correctement 4 des 8 classes présentées : « Des ronds, des carrés, et aussi des grands ronds et des grands carrés, des petits ronds et des petits carrés », donc 4 des 8 casiers : « Et encore ? — J’ai tout dit. » Autant de grands que de carrés : il ne donne que « des grands ronds et des petits ronds » et il y a échec à toutes les questions semblables. Par contre : « La même chose de ronds rouges que de ronds verts » aboutit à deux collections adéquates, mais non quantifiées. Pour « le contraire » d’un grand carré vert, il donne un petit carré vert, puis un grand carré rouge puis un petit rond vert : « J’ai pas pris le grand rond vert parce que les deux sont verts. — Laquelle est la plus différente ? — (Elle montre le petit carré vert.) »

Avec les sujets suivants débutent les comparaisons entre classes non voisines :

Mur (5 ;11) énumère (en deux temps) les 8 classes : « J’aimerais que tu sortes les figures qu’il faut pour que tous les grands soient verts. — (Il dispose 6 grands carrés verts.) — Et autre chose ? — (Il ajoute de grands ronds verts.) — Et si j’ajoute ça (petit rond rouge) ? — Non, parce qu’il est rouge : ça ne ferait plus un tas vert et grand. » L’inclusion est manquée : pour 8 figures dont 5 carrés : « Il y a plus de carrés que de figures. » Autant de carrés que de grands : il pose 6 grands carrés, comme si l’on n’avait demandé que des grands carrés. « Il y a autant de grands que de carrés ? — (Il rajoute 6 petits carrés.) Oui (comme ça) il y a la même chose de grands que de carrés : six et six. — Et comme ça (4 grands carrés verts), on peut dire qu’il y a pareil de grands et de carrés ? — Il y a plus de carrés… (non) il n’y a que des grands. — Mais autant de carrés ? — Non, il n’y a que des grands. » Même chose de rouges et de ronds : il donne 4 ronds verts contre les 4 carrés rouges (disjonction correcte ⁵). « Et si on ajoute un petit rond rouge. — Ah bon, alors 5 rouges. — Et autant de ronds ? — Ah non, alors là il y a 4 (ne comprend pas l’intersection). »

Phi (5 ;6). Autant de carrés que de grands dessins : Il met 4 grands carrés (2 rouges et 2 verts) : « C’est la même chose, il ne faut pas en prendre 3 ou 4 (de l’une des couleurs). » Il met 4 grands carrés verts et 4 grands carrés rouges et compte. « Oui, j’ai compté. » Inclusion manquée : « Même chose de rouges et de ronds ? — 4 carrés rouges et 4 ronds verts (les 8 grands). — Et une autre manière ? — (Il remplace 3 des grands ronds verts par 3 petits.) Non, pas ça, c’est plus petit. — Et ça gêne ? — Ah non (mais il change aussi le 4^e). — Et avec ça (grand rond rouge au lieu d’un carré) ? — Oui (en met 3) sauf que ça (4^e carré) c’est vert. « Il en vient alors à 4 carrés rouges et 4 ronds rouges pour égaliser les rouges et les ronds : « On a mis la même couleur que tous les rouges… Oui c’est juste. — Mais… tous rouges et seulement 4 ronds ? (Il remplace les 4 ronds par 4 carrés verts.) »

Dom (6 ;8) montre bien les 8 classes, ainsi que « tous » les petits, etc. Mais à la question « Qu’est-ce qui est carré ou rouge ? » il prend un carré rouge. « Qu’est-ce que j’ai demandé ? — Quelque chose de carré et rouge. » De même il ne montre qu’un rond vert pour « quelque chose qui est rond ou vert ». « Et ça (rond rouge) ça peut aller ? — Non, ah oui. — Pourquoi ? — Non, ça ne va pas. On a dit vert. — Et rond ou carré ? — (Il montre un carré vert) parce que c’est carré, ou rond ou vert », puis il prend des carrés et des ronds : « C’est des carrés-ronds… On peut les appeler des carrés-ronds. » Même quantité de carrés et de grands : il montre 6 grands carrés verts, puis corrige en 6 grands et 6 petits carrés : « Regarde : une poupée (on la dessine) aime les carrés et celle-ci les grands. — Ah, c’est tous les grands carrés. — Il y a la même chose beaucoup ? — Il y a plus de carrés. — Que quoi ? — Et plus de grands. — Et autrement ? — Des ronds (grands). » Pour autant de rouges que de ronds, met bien (après tâtonnements) « 4 carrés (rouges) et 4 ronds (verts). — Il y a la même chose de rouges que de ronds ? — Non ».

Si nous appelons « partition homogène » une partition effectuée selon un seul et même critère (forme, grandeur ou couleur), on peut caractériser les réactions qui précèdent en disant que ces sujets ne savent pas encore raisonner en extension sur des partitions hétérogènes et que, pour pouvoir répondre, ou bien ils les remplacent par des partitions homogènes, ou bien ils suppriment momentanément toute partition en fusionnant en compréhension sur les mêmes objets les qualités qui devraient permettre de distinguer les deux classes. En outre et de ce fait même, ces sujets ne peuvent raisonner que sur des classes ou disjointes ou fusionnées, toute intersection leur demeurant étrangère.

Pour ce qui est, d’abord, des partitions homogènes substituées aux hétérogènes, ce qui revient donc à construire de fausses disjonctions exclusives (fausses en leur contenu), on voit ainsi Ela remplacer la partition « grands et carrés » par « grands et petits », avec négligence entière des carrés. Le sujet Mur oppose également à un moment donné des grands à des petits carrés. Dom de même et Phi introduit la dichotomie non pertinente des rouges et des verts.

En second lieu, on remarque comment Mur interprète « autant de carrés que de grands » dans le sens de « les grands carrés », ou comment Dom décode « carré ou rouge » en « carré et rouge », etc. Cette fusion pourrait paraître l’inverse d’une partition homogène, mais elle est due à la même cause : ne pouvant comparer en extension les classes « carrés » et « grands » ou « rouges », qui relèvent de partitions hétérogènes, ils les fusionnent en compréhension, ce qui est facile puisqu’un même objet peut avoir plusieurs qualités distinctes. Lorsque l’on essaie de traduire cette fusion en une identité en extension (voir les classes X et Y de l’introduction), il y a alors résistance complète : Mur, pour 4 grands carrés (sans rien d’autre) refuse d’admettre qu’il y a là autant (extension) de carrés que de grands : « Il y a plus de carrés… non il n’y a que des grands. » Réciproquement Dom qui a correctement réuni des carrés et des ronds pour répondre à « ronds ou carrés » les appelle des « carrés-ronds » en se servant d’un langage qui substitue une compréhension (même contradictoire) à l’extension pourtant facile (partition homogène selon la forme), de manière à remplacer le « ou » par un « et ».

Il va de soi qu’en ces conditions il ne saurait y avoir compréhension de l’intersection : pour autant de ronds que de rouges, Mur donne (suivant la suggestion du dispositif) 4 ronds verts pour 4 carrés rouges, mais refuse un rond rouge sans voir qu’il est à la fois rond et rouge et ne détruit donc pas l’égalité demandée. Le fait que chacun de ces sujets échoue par ailleurs aux questions d’inclusion (plus d’éléments dans le tout que dans la partie) rend d’ailleurs naturel ce défaut d’intersection. Enfin, dans les questions du « contraire », les sujets n’indiquent qu’une différence à la fois, donc sans hiérarchie (cf. Ela) et ne la décrivent qu’en termes positifs et même en certains cas en la liant à des ressemblances : « J’ai pris le grand rond vert (pour l’opposer au grand carré vert) parce que les deux sont verts. » Il est clair que cette difficulté à manier les négations joue un rôle dans l’incapacité initiale de construire des partitions hétérogènes, puisqu’elles comportent deux négations.

§ 2. Le niveau IB

Voici d’abord des faits :

Dm (6 ;4) commence comme en IA (pour n carrés = n grands) par poser 4 grands dont 2 carrés. « Qu’est-ce que j’ai demandé ? — A part d’un carré il faut tous des grands. — Non (on répète). — Alors c’est difficile (il remplace les 2 ronds par des grands carrés). Il y a tous des grands et tous des carrés (identité mais entre 2 verts et 2 rouges). — Bien. On peut faire autrement ? — (Il met 4 grands ronds.) Ça fait quand même comme des carrés (grandeur) mais c’est une autre forme. — Mais moi je voudrais…, etc. — (Il met 4 petits carrés.) Et si on met 3 grands carrés ? — (Hésitation.) Et 4 ? — Pareil : c’est tous des grands et tous des carrés. — Et 3 ? — Un peu pareil. — Le contraire (d’un grand carré vert) ? — Voilà (grand rond vert). — Une autre ? — (Grand carré rouge.) Le contraire c’est aussi de la couleur. — Une autre ? — (Petit carré vert.) Le contraire de la forme, non de la grandeur. — Autre chose encore ? — Ça (petit carré rouge), c’est le contraire de la couleur comme ça (grand carré rouge), puis c’est « le contraire de la grandeur (mais pas les deux à la fois) ». Il les montre tous, mais selon une seule qualité. « Est-ce qu’il y en a qui sont de plus contraires ? — Non (montre des couples). — Mais de plus contraires ? — C’est tous les contraires, les ronds n (par rapport au carré initial mais sans hiérarchie). On présente 4 carrés (2 petits rouges et 2 grands verts). « Tu peux sortir les figures ou bien petites ou bien carrées. — (Il sort une de chaque.) Un petit carré et un grand. »

Sar (6 ;6). Autant de grands que de carrés : elle met 15 grands carrés rouges. « Qu’est-ce que j’ai demandé ? — Autant de ronds que de carrés. — Non (etc.). — (Elle continue en opposant ces carrés à des ronds.) — Et comme ça (4 grands carrés), il y a plus de carrés ou plus de grands ou idem ? — La même chose… c’est tous des grands et tous des carrés. — Et pour avoir plus de carrés que de grands ? — (Elle met des petits.) — Bien, et autrement pour avoir idem ? — (Change les dispositions spatiales.) — Et en rajoutant ? — (Ajoute de grands carrés rouges.) Si on ne dit pas la couleur, on peut. — Et si on rajoute ça (grand rond vert), on aura la même chose de grands que de carrés ? — Oui parce que c’est aussi un grand, mais c’est pas un carré. — Alors ? — Oui, on a la même chose… mais on a plus de carrés que ronds ! (cf. le début). — Mais plus de grands ou plus de carrés ? — Plus de grands. » Pour autant de rouges que de ronds ⁶, elle donne 4 grands ronds verts contre 4 grands carrés rouges. « Et autrement ? — Mettre les petits. » Sur chacun des deux tas de 4, on rajoute un grand rond rouge : « C’est encore autant ? — Oui parce que là (sur les carrés rouges) il est rouge, on ne compte pas qu’il est rond et là (sur les ronds verts) il est rond, on ne compte pas qu’il est rouge. » Mais elle ne s’aperçoit pas du fait que cela donne encore 6 rouges et 6 ronds, car elle laisse disjointes les deux collections.

Gon (6 ;9) pour n rouges = n ronds complète naturellement le dispositif, en ajoutant 3 ronds verts, mais traduit le résultat en termes de ronds et de carrés. On lui propose de remplacer ses trois ronds verts par trois rouges et elle est d’accord sauf que « là (partie à compléter) ils n’ont pas la même couleur : il faut enlever le rond vert et mettre un rouge. — Et alors on a autant de rouges que de ronds ? — Oui, là il y a 4 ronds et là 4 carrés. — Où sont les rouges ? (Montre le tout.) — Alors plus de rouges ou plus de ronds ou la même chose ? — La même chose ».

Malgré le progrès intellectuel global qui caractérise ce niveau, ces sujets n’arrivent toujours pas à construire des partitions hétérogènes, donc à relier simultanément deux partitions homogènes. Par exemple Sar (l’enfant le plus doué que nous ayons vu à cet âge), traduit d’emblée la consigne « n carrés = n grands » en « n carrés = n ronds » et reste accrochée jusqu’à la fin à cette idée ; et Gon décode « n rouges = n ronds » en « n ronds = n carrés », ne parvenant même pas, et jusqu’à la fin, à une lecture correcte des résultats (8 rouges = autant que 4 ronds par indifférenciation de l’extension et de la compréhension).

Quant aux solutions d’identité (grands carrés à eux seuls), fréquentes à ce niveau, elles ne consistent plus comme au niveau IA à comprendre qu’on demande simplement tous « les grands carrés », mais elles ne reviennent pas encore à identifier deux choses ayant le même contenu : leur signification est que, parmi les grands carrés, les uns comptent comme grands et les autres comme carrés, d’où les deux carrés verts et les deux grands rouges que Did distingue en deux sous-collections et son hésitation à accepter un nombre impair (3).

Il n’y a donc pas de possibilité d’intersections intentionnelles et quand on en provoque, les éléments communs sont répartis dans les deux classes de la disjonction. Un bel exemple est celui de Sar, pour n ronds = n rouges : lorsqu’on lui propose d’ajouter deux ronds rouges, elle ne les place pas entre les 4 carrés rouges et les 4 ronds verts, comme pour une intersection, mais elle pose l’un au-dessus des carrés rouges en disant « là il est rouge, on ne compte pas qu’il est rond » et elle met l’autre au-dessus des ronds verts avec cette raison que « là il est rond, on ne compte pas qu’il est rouge ».

Quant à la question des « contraires » nous voyons Did ne donner jamais qu’une différence à la fois, même lorsqu’il en mentionne deux successivement (couleur puis grandeur). Il ne découvre donc pas que l’on puisse établir une hiérarchie selon le nombre des différences et il n’existe pas de « plus contraire », sauf au cas, mais de nature subjective, où l’enfant accorde une plus grande importance à un facteur qu’à un autre, par exemple à la forme par rapport à la grandeur : le grand rond rouge alors dit sera « plus contraire » que le petit carré rouge, comparés au grand carré vert. Par contre, même si le sujet désigne comme « contraires » des figures à 2 ou 3 différences, il répondra « la même chose » lorsqu’on demande les « plus contraires ».

Or, il est clair que les réactions à la question des différences sont d’une grande signification quant à la construction de l’ensemble des parties : l’absence, dont elles témoignent, d’un réglage et d’une hiérarchisation des négations empêche, en effet, la constitution de partitions hétérogènes en extension avec les sous-systèmes que celles-ci supposent. C’est pourquoi tout ce stade I, y compris le niveau IB, peut se caractériser par l’absence de solutions spontanées par disjonctions correctes, l’absence d’intersection et par des identités encore mal comprises.

§ 3. Le niveau IIA

Voici des exemples, à commencer par un cas interrogé seulement sur le « ou » et le « et », ainsi que sur le « contraire » et le complémentaire (négation) :

Cat (7 ;4) à qui l’on demande de prendre les figures rondes ou carrées, les montre toutes, « mais je t’ai seulement dit « carré ou rond »? — Mais ils sont tous ou bien carrés ou ronds. — Et si je demande « grandes ou bien petites »? — N’importe laquelle : ils sont tous ou bien grandes ou bien petites ». Par contre, pour « ou bien grandes ou bien vertes » (deux partitions), elle ne montre que les grands rouges : « C’est tout. — Pourquoi pas d’autres ? — Parce que les autres sont vertes et grandes (réflexion). Oui, parce que c’est aussi grand et vert. — Qu’est-ce qu’on avait demandé ? — Les grands ou bien les verts. — Et là (petits verts) ? — Oui, parce qu’ils sont verts. — Qu’est-ce qu’il est impossible de prendre ? — (Montre les grands verts acceptés auparavant mais après hésitation.) Parce qu’elles sont les deux choses (en même temps). — Et d’autres impossibles ? — (Elle montre les petits rouges.) C’est de nouveau les deux choses, parce qu’ils sont petits et pas verts (donc ni l’un ni l’autre). — Le contraire des grands carrés verts ? — (Montre le grand carré rouge.) Parce qu’il est rouge : c’est le contraire de vert. — Et d’autres ? — (Petit carré vert.) Parce que c’est le contraire de grand. — Et d’autres ? — Non c’est tout (puis il prend le petit carré rouge) parce que c’est le contraire de la grandeur et de la couleur (et le petit rond rouge) parce qu’il n’est pas grand, pas carré, pas vert. — Toutes les figures sont alors le contraire ? — Oui. — Et laquelle le plus ? — Celle-là (petit rond rouge) parce qu’elle est petite, pas verte et pas carrée. — Et le grand carré rouge ou le petit carré vert, lequel est le plus différent du grand carré vert ? — C’est la même chose : chacun une différence. » Par contre lorsqu’on lui demande de classer les 6 éléments compris entre le grand carré vert et le petit rond rouge, Cat ne parvient pas à construire les sous-classes adéquates et mélange les éléments à une ou deux différences. « Tu peux me montrer les figures qui ne sont pas « petits carrés ? » Elle montre les 6 autres mais ne peut pas définir la distinction entre le contraire et la négation.

Mais malgré les réactions relativement correctes aux problèmes d’emboîtements (en particulier la question habituelle d’inclusion est toujours réussie) et de différences, les sujets du niveau IIA continuent, comme en IB de recourir d’abord à de fausses disjonctions (une seule partition) pour ne se corriger qu’ensuite :

Ema (7 ;4) pour les grands et les carrés oppose 4 grands à 4 petits, mais choisit 2 carrés et 2 ronds de chaque : elle ne voit cependant pas que cette solution répond à la consigne, et répète celle-ci sous la forme : « Autant de grands que de petits. » Une fois réinformée, elle redistribue la même collection en carrés et en ronds toujours sans voir l’égalité déjà atteinte des grands et des carrés, puis enlève les grands ronds « parce que c’est pas des carrés ». Elle prend 4 carrés, avec à nouveau opposition des petits et des grands, puis juge que c’est faux parce qu’« ils sont tous des carrés » tandis qu’« on avait demandé des grands, puis des carrés ». Cela ne l’empêche pas de recommencer avec 4 grands carrés, de prendre un rond, puis de l’écarter, et de leur opposer à nouveau 4 petits carrés : « Ah ! non, je crois que j’ai compris : il faudrait mettre à la place (des grands carrés) des ronds grands. » D’où enfin la première solution juste qui est une disjonction adéquate : 4 grands ronds et 4 petits carrés. Priée de trouver d’autres solutions, elle remplace 2 grands ronds par 2 grands carrés puis constate que c’est faux et laisse 2 grands ronds et 2 petits carrés, en reconnaissant que « c’est la même solution que la première. J’essaie encore d’en trouver une (elle pose 4 grands carrés). Voilà : c’est des carrés et puis c’est grand (identité). — C’est juste ? — Oui… là (l^re ligne) c’est 2 carrés et là (2^e ligne) aussi. Là (l^re ligne), c’est des grands et là (2^e ligne) c’est des carrés (elle échoue donc ici à l’intersection au profit d’une disjonction artificielle)… Je vais changer parce que je trouve que c’est faux ». Elle revient alors à 2 petits carrés, puis les enlève et en remet 2 grands, « mais je ne suis pas très d’accord quand même, mais ça doit être juste ». Elle finit par se rassurer en disant « que là (l^re ligne) c’est des carrés et là (2^e) c’est des grands » mais n’arrive alors plus à comprendre qu’avec 4 grands carrés la solution est juste tandis qu’avec 2 grands et 2 petits elle ne l’est pas ! La preuve de cette difficulté à concevoir l’identité faute d’y voir une forme d’intersection est qu’elle accepte un grand rond vert et un petit carré rouge, « il y a 1 (grand) et 1 (carré) », mais qu’elle déclare d’elle-même : « Si on rajoutait un grand carré rouge (ce qui ferait justement une intersection correcte) ce serait faux » donc le contraire et les différences elle réagit comme Cat.

Sen (7 ;10) répète bien la consigne, autant « de grands que de carrés » mais ne prend que des grands carrés et ronds pour avoir « autant de grands carrés rouges et verts et de grands ronds rouges et verts ». Elle n’arrive à l’égalité voulue que très laborieusement.

Ole (7 ;5) par contre débute par 4 grands carrés mais justifie d’abord l’égalité n grands = n carrés en ne disant que « on voit, ils sont grands, ils sont rouges. — Et n grands = n carrés ? — Parce que j’ai mis des grands ». Mais cette compréhension est si fragile que, pour une autre solution, il ajoute 4 petits carrés verts ; puis il reconnaît qu’on doit les enlever et revient à l’identité avec 4 grands carrés verts, sans trouver d’autre combinaison. Pour les n rouges = n ronds, il complète naturellement le dispositif par 3 ronds verts, mais trouve (ce qui est un progrès) qu’on peut ajouter 2 ronds rouges et 2 carrés verts en conservant l’égalité (6 ronds et 6 rouges). Seulement avant de la dégager il retombe dans la description à une seule partition : « Il y a 6 ronds et 6 carrés. » Les inclusions, les « ou » et « et » et les contraires sont du niveau de Cat.

And (8 ;3) débute par une fausse disjonction : 4 grands carrés pour les « carrés » et 4 grands ronds pour les « grands » ; puis il aperçoit son erreur et enlève les grands ronds : en ce cas « il y aura 4 grands et puis en même temps c’est des carrés ». Cela paraît une compréhension complète, mais il se demande alors si l’on peut rajouter 4 petits carrés et il a besoin de le faire pour voir qu’alors 8 carrés > 4 grands. Il ne réussit pas non plus du premier coup la question facile des n ronds = n rouges, mais parvient ensuite par tâtonnements jusqu’à 8 ronds = 8 rouges dont 4 rouges et ronds (intersection non voulue comme telle). Même réussite par tâtonnements pour 12 = 12.

Bur (8 ;4) pour les carrés et les grands se propose de placer les carrés des deux côtés d’un alignement « et les grands au milieu », mais ce n’est pas une intersection et elle aboutit à un petit carré et deux grands, puis à un grand rond et deux grands carrés en appelant « les carrés » le premier trio et « les grands » le second. Mais, bien que la solution soit correcte, elle est gênée du fait que « les grands carrés sont aussi des carrés » et elle les remplace par des petits. Voyant sa faute elle passe à une simple disjonction : 3 grands ronds et 3 petits carrés. D’autre part, elle se refuse à l’adjonction d’un petit rond rouge « parce qu’il n’est pas grand et pas carré… ça ne change pas (n grands = n carrés) mais on n’a seulement pas le droit de le mettre ». Par contre, elle accepte un grand carré vert « parce qu’il est grand et carré », mais en prend 2 pour respecter la forme disjonctive. De même, pour n rouges = n ronds, Bur, à la suite de bonnes disjonctions refuse l’adjonction d’un carré vert puisqu’il n’est ni rouge ni rond, mais après un dénombrement elle reconnaît qu’« il ne compte pas, ça change rien », mais un rond rouge rajouté lui paraît entraîner « plus de rouges, parce que ce rond il est rouge », sans voir que de ce fait cela implique aussi plus de ronds.

Ce niveau du début des opérations concrètes ne marque pas le tournant décisif auquel on aurait pu s’attendre dans la construction des partitions hétérogènes, et l’on ne constate, à titre de progrès, que l’accession finale aux solutions par disjonctions correctes, mais après de nombreux tâtonnements et en partant de fausses oppositions. Il s’y ajoute une meilleure compréhension des solutions d’identités, mais non encore complète et restant insuffisante pour conduire aux intersections.

En ce qui concerne les solutions de disjonction exclusive, on voit ainsi Ema partir encore de l’opposition entre grands et petits (sans lecture suffisante du résultat obtenu fortuitement pour voir qu’il répondait en fait la consigne 1) et ne parvenir à n grands = n carrés qu’après de multiples tâtonnements. Sen part de son côté de la partition entre ronds et carrés, et And procède de même.

Quant aux identités, le sujet se rapproche de l’idée de deux classes comprenant le même contenu, mais avec le besoin de les considérer encore comme si elles étaient disjointes : Ema dit bien « c’est des carrés (4) et puis c’est grand », mais elle précise que 2 d’entre eux « c’est des grands » et les deux restants « c’est des carrés », comme si elle oubliait qu’ils sont tous l’un et l’autre. Ole et And hésitent tous deux malgré la bonne formule de ce dernier : « Il y a 4 grands et en même temps c’est des carrés. »

L’intersection demeure donc non réalisée sauf lorsqu’elle est involontaire (And) et Ema va jusqu’à dire « ce serait faux » ; de son côté Bur, pour un rond rouge, ne voit que cette seconde qualité jusqu’à soutenir cette affirmation contradictoire : cela ferait « plus de rouges (que de ronds) parce que ce rond il est rouge ». Quant aux adjonctions d’éléments que l’on propose en conservant l’égalité voulue, certaines sont acceptées, mais elles sont en général refusées : « Ça ne change pas, dit Bur, mais on n’a seulement pas le droit de les mettre », car cela rompt l’équilibre des dichotomies.

Quant aux différences et aux « contraires » (Cat), ils sont notés avec exactitude en compréhension, mais ne donnent pas encore en extension, le tableau des sous-systèmes correspondant aux partitions hétérogènes.

§ 4. Le niveau IIB

A ces âges de 8 1/2-9 ans, on retrouve, chose étonnante, les mêmes erreurs initiales que précédemment, mais aboutissement plus rapidement à des disjonctions correctes et surtout, ce qui est nouveau, à des intersections explicitement justifiées.

Eri (8 ;3) débute par 6 grands ronds et 6 carrés mais dont 3 grands, ce qui donne 9 > 6 : « Montre les carrés. — (Il le fait.) — Et les grands. — Il y a le groupe (6 ronds) et puis les 3 (grands carrés). On devrait les mettre au milieu (sentiment d’intersection, mais implicite). — Alors ? — Il y a plus de grands que de carrés. — Quoi faire ? — Enlever ceux-là (3 grands carrés) et mettre 3 petits carrés parce que ça (grands carrés) faisait partie des grands et des carrés. » Il arrive ainsi à une disjonction correcte 6 = 6 et, pour une autre solution, il en donne une semblable mais à 9 = 9. « Et une solution différente ? — Oui (4 petits carrés, deux grands et 4 grands ronds, d’où 6 grands = 6 carrés) parce que les 4 petits carrés avec les 2 grands ça fait 6 carrés, et on a aussi 6 grands parce que là (2 grands carrés) c’est aussi des grands. » L’intersection est donc explicite : « Là (solution I de disjonction) c’est séparé, tandis qu’ici il y en a 2 qui peuvent aller dans les deux ensembles. » Autre solution : 3 petits carrés, 1 grand et 3 grands ronds : « C’est une solution nouvelle ? — Il y a moins de chiffres. — Et une autre, très simple ? — Un petit carré, un grand carré et un grand rond… C’est la même chose mais les nombres sont différents. — Et avec une seule sorte de figures ? — … » Il ne trouve donc pas l’identité, mais est d’accord après question qu’à l’une de ces solutions on peut rajouter un grand carré. « Et tout le paquet ? — On aura autant parce qu’ils peuvent aller dans les grands et dans les carrés. — Et un million ? — Toujours la même chose. — Et si l’on met ensemble 2 solutions il y aura toujours autant de carrés et de grands ? — Oui (il le fait). »

Hen (8 ;9) donne encore de fausses disjonctions telles que 2 petits carrés et 2 grands (d’où 4 > 2), mais il arrive rapidement à 2 grands ronds et 2 petits carrés et surtout il leur ajoute ensuite 2 grands carrés « parce qu’ils sont carrés et en même temps grands ». Mais il retombe dans les fausses disjonctions jusqu’à 10 carrés dont 6 grands (!) en déviant sur l’opposition verts-rouges (4 grands et petits de chaque) et en mettant au milieu 2 grands rouges parce qu’à la fois « grands, rouges et carrés »). Il ne pense pas de lui-même à l’identité, mais quand on lui demande si la solution serait possible avec « un seul tas » il répond : « Ceux-là (grands carrés rouges) parce qu’ils sont grands et carrés. » Pour les n rouges = n ronds il varie toutes les solutions justes jusqu’à 8 carrés rouges, 8 ronds verts et entre-deux 8 ronds rouges qui « sont en même temps avec ceux-là parce qu’ils sont rouges et là parce qu’ils sont ronds ».

Lau (9 ;0) pour n grands = n carrés commence par la fausse disjonction grands ronds et grands carrés, puis remplace ceux-ci par des petits. Il accepte d’emblée un petit carré, un grand rond et un grand carré parce que ce dernier « peut aller aux deux endroits, là parce qu’il est carré et là parce qu’il est grand ». Pour varier les solutions, il ne trouve que des changements de couleurs, par généralisations simplement extensionnelles puis, lorsqu’on lui propose 3 grands carrés il en rajoute 1 pour faire disjonction 2 contre 2 mais découvre alors qu’ils valent à la fois pour les grands et les carrés.

Bon (9 ;1) débute par ce qu’il croit être une disjonction (deux grands carrés face à deux autres) mais découvre alors l’identité : « C’est rien que des carrés… et ils sont tous grands. » Mais s’il exploite cette solution par variations diverses de couleurs (2 verts, 2 rouges en positions distinctes), il retombe ensuite dans de fausses disjonctions. Pour « le contraire » d’un grand carré vert il montre d’emblée le petit rond rouge en justifiant les trois différences. De plus, contrairement aux sujets du niveau HA (cf. Cat) qui ne raisonnent encore que sur les compréhensions, Bor précise les extensions : trois figures à une différence (il dit d’abord deux puis indique la troisième) et trois à deux différences (il les montre d’emblée). Quant à ce petit rond à trois différences, il est seul parce que « c’est moins près du carré ».

Ces réactions préparent enfin, mais nettement, l’« ensemble des parties ». Les partitions hétérogènes demandées conduisent rapidement à des disjonctions correctes, les identités sont comprises pour ce qu’elles sont (« ils sont grands et carrés » dit Hen, sans dichotomie entre sous-ensembles) et surtout les intersections sont atteintes spontanément et fréquemment, d’où l’inutilité et la faible fréquence des solutions spontanées d’identités. Enfin le sujet déduit avant de le vérifier que deux solutions justes distinctes peuvent être réunies avec conservation des égalités n = n et il commence à traduire en extension les relations « différent » et « contraire ». Il suffira donc d’une diminution des tâtonnements pour aboutir aux réussites rapides du stade III.

§ 5. Le stade III

Voici d’abord un exemple de réaction intermédiaire entre les niveaux IIB et III :

Pat (10 ;0) débute encore par une fausse disjonction (grands et petits carrés) mais le corrige vite avec deux grands ronds à la place des grands carrés. « Ce qui est ennuyeux c’est ces deux-là (grands carrés du début qu’elle voudrait placer) : ils sont grands et carrés. — Ça n’irait pas ? — Il faut les mettre au milieu (intersection). — Les deux solutions sont aussi bonnes ? — Celle-ci (intersection) est meilleure parce qu’on peut mettre ces deux-là. — Quelle est la différence entre les deux solutions ? — Ça (disjonction) c’est grand OU carré et ça (intersection) c’est grand ET carré. — Y a-t-il encore une solution ? — Ah oui (deux grands carrés) : c’est grand et carré. — Et il y en a autant ? — Oui… enfin… oui puisqu’ils sont grands et carrés. » Les contraires : cf. Bor.

Et enfin un cas franc :

Bla (10 ;10), après malentendu sur la question (il pensait à une équivalence de surfaces), trouve d’emblée deux bonnes disjonctions (deux grands ronds et deux petits carrés ou l’inverse des grandeurs), puis découvre que deux grands carrés suffisent, puis un grand rond et un petit carré, puis « on peut aussi mettre un seul grand carré ». Si on adjoint un petit rond rouge à ce carré unique « ça ne joue pas… oui je crois que ça joue quand même », etc. « On peut aussi changer les couleurs, mais ça reste les mêmes solutions. » Quant aux négations et aux contraires : « Tu peux me montrer tout ce qui n’est pas un grand carré vert ? — (Enumération) (juste). — Et le contraire (du même). — (Il montre le petit carré rouge.) Ah non, ce qui est juste c’est le petit rond rouge parce qu’il est rond. — Quelle est la différence entre « le contraire » et « quelque chose qui n’est pas »? — Je vais vous expliquer. » Pour la négation il montre les 7 figures (non grand carré vert) en indiquant les différences. Quant au contraire, il n’y en a « qu’un parce qu’il faut faire exactement : rouge, c’est pas la couleur, petit c’est pas la grandeur et rond c’est pas la forme ». Il donne donc ainsi la définition de la réciproque (chaque propriété niée) par opposition à la complémentaire ou négation du groupe INRC.

On voit que, parvenu à ce niveau, le sujet devient capable d’accéder à la combinatoire source de l’ensemble des parties, et il pourrait en tirer le groupe INRC puisqu’il distingue les inversions et réciprocités. On peut d’ailleurs considérer nos 8 éléments comme constituant une structure de groupe à 8 opérations dont l’identique et 7 involutions : changements de forme F, de grandeur G, de couleur C, de F G à la fois, de FC, de CG et de FCG. Seulement il ne s’agit pas là d’un groupe INRC, mais de l’un de ces groupes de simple ou double quater- nalité permettant de passer d’un casier à un autre au sein d’une table multiplicative à 4 ou 8 éléments. Par contre, si notre table ne contenait que 4 éléments, l’ensemble des 16 parties et la distinction des inverses et des réciproques donneraient facilement lieu à des inférences conformes au groupe INRC.

§ 6. Conclusion

Partant d’une classification additive quelconque, la vicariance consiste à changer de partition. A réunir ces deux (ou n) partitions on obtient une table à double (1 2\ L’ensemble des parties revient à 3 4 J considérer, non seulement ces quatre parties, mais encore celles qui résultent de leurs combinaisons (1, 2) ; (1, 3) ; (1, 4) etc., ou (1, 2, 3) ; (1, 3, 4), etc., y compris 0 ; 1 et les 4 à la fois (donc 16 en tout). Les questions que nous avons posées aux sujets consistent en particulier à faire comparer deux parties telles que (1, 2) et (1, 3) en demandant d’égaliser le nombre de leurs éléments, soit n(l + 2) — n(l 3). S’il y a effectivement là une démarche orientée dans la direction de l’ensemble des parties, le problème est maintenant de comprendre par quelles généralisations s’effectue cette construction, la difficulté principale étant, nous l’avons vu sans cesse, de raisonner sur deux partitions à la fois, autrement dit sur des partitions hétérogènes et non pas simplement sur des dichotomies.

Les solutions trouvées par les sujets pour égaliser n(l -|- 2) à n(l -j- 3) ont été de trois sortes : l’identité, consistant à n’utiliser que la sous-classe ou partie 1 en négligeant 2 et 3 ; la disjonction exclusive n2 = n3 en écartant la partie commune 1 ; et la disjonction non exclusive avec intersection (1 -j- 2 + 3) ou n(l + 2) = n(l 4- 3). Mais ces solutions ne se sont pas présentées dans un ordre quelconque et c’est d’abord leur ordre de construction qui va nous renseigner sur le mécanisme de celle-ci.

I) Cet ordre de succession débute par une phase très instructive, propre au niveau IA : la question étant de trouver « autant » de « carrés » n(l 2) que de « grands » n(l + 3) » le sujet néglige entièrement l’extension « autant » (donc n) et ne retient que les significations en compréhension « carré » et « grand » : il se borne donc à rassembler quelques « grands carrés », ce qui ne présente aucune difficulté, puisqu’en compréhension un objet peut se voir attribuer plusieurs qualités sans recourir à des partitions ni à des négations, tandis qu’en extension leur délimitation suppose des partitions forcément hétérogènes (du fait qu’on invoque plus qu’une seule qualité) avec les extensions et les négations qu’elles comportent.

La seconde phase (niveau IB) est celle où les solutions justes se bornent encore à des identités (partie 1), sans réussite des disjonctions (n2 = n3), mais avec un début d’extension appliquée à cette partie 1. Seulement il s’agit d’une forme particulière d’extension qui ne se réfère pas encore à l’intersection (= ceux qui sont « à la fois » grands et carrés), mais qui reste tributaire des classes disjointes propres aux partitions dichotomiques homogènes : le sujet choisit un nombre pair de grands carrés, par exemple 4 (et la préférence pour un tel nombre pair dure même assez longtemps) et il en considère la moitié comme « carrés » et l’autre moitié comme « grands ». Il y a donc là un début de partition hétérogène, mais rendue facile du fait qu’elle s’applique à de mêmes éléments (les carrés grands) et ne comporte donc aucune négation explicite.

La troisième phase est celle d’une généralisation de ce début de partition hétérogène en extention, alors appliquée à de nouveaux éléments (en plus de 1) soit carrés, soit ronds, mais cela non sans de très laborieux tâtonnements. Cette généralisation entraîne une constitution de négations (différents ou « contraires ») mais encore en compréhension, sans réglage immédiat des extensions. Seulement s’il y a ainsi construction finale des disjonctions exclusives (n2 = n3), l’identité, quoiqu’on progrès, reste liée au besoin de ne raisonner que sur des classes disjointes (comme le sont les classes 2 et 3) et les grands carrés de la classe 1 demeurent en nombres pairs (ordinairement à nouveau 4) comme s’il s’agissait encore d’une moitié de « carrés » et de l’autre des « grands », d’où l’échec à l’intersection.

La quatrième phase marque enfin la généralisation de l’extension, qui s’applique non seulement aux négations (classes à une, deux ou trois différences), mais à l’identification : les « grands carrés » 1 ne forment plus que deux classes de même contenu, donc identiques en extension quoique de qualités doubles en compréhension. La disjonction non exclusive avec intersection (1 — |— 2 -|— 3) devient alors possible grâce à une synthèse généralisatrice de l’identité (1) et de la disjonction (2 3), donc par généralisation de la partition hétérogène.

La cinquième phase, non étudiée ici, sera alors celle de la construction combinatoire de toutes les parties possibles, d’où le simplexe 2ⁿ, mais qui se borne à réunir de toutes les manières les solutions fondées sur les classes 1 ; 2 4~ 3 ; et 14-24-3, avec naturellement en plus l’intervention de la classe 4.

II) Pour ce qui est maintenant des processus des généralisations elles-mêmes, il est clair que l’on trouve, dans les faits qui précèdent, quelques généralisations inductives, mais surtout une élaboration continue de généralisations constructives. Les premières se rencontrent lorsque le sujet ayant découvert une solution (fausse ou correcte) l’applique sans plus à de nouveaux contenus (couleurs, etc.), déjà présents dans les données, mais non utilisés jusque-là : en ce cas il n’y a pas création de nouvelles formes ni a fortiori construction de nouveaux contenus, mais une simple application du schème résolutoire précédent. Par contre, dans le cas du passage progressif entre les classes disjointes propres aux partitions homogènes (ou aux groupements additifs) et les liaisons nouvelles qu’exigent les partitions hétérogènes ou finalement l’ensemble des parties, il y a constamment généralisation constructive au sens de la production de nouvelles formes, dont celles de rang inférieur sont les contenus de celle de rang supérieur (1 classe dans les réunions de 2, réunions de 2 dans celles de 3, etc.), de telle sorte qu’on peut parler de la création simultanée de formes et de contenus.

Avant de chercher à dégager ce que comporte cette construction du point de vue des différenciations et intégrations ou de celui des rapports entre la compréhension et l’extension, revenons aux processus qui conduisent de chacune de nos cinq étapes à la suivante.

La première est caractérisée, comme on l’a vu, par de simples significations élémentaires en compréhension : carré et grand, ou rouge et rond, et le problème est alors d’expliquer le début de mise en extension propre à la seconde étape. Or, le choix des « grands carrés » propre à l’identité qui caractérise la première suppose déjà deux partitions implicites consistant à opposer les carrés aux ronds et les grands aux petits, et cela dans les deux cas, en deux classes disjointes. Ce serait donc ce schème de dichotomie qui serait généralisé à l’intérieur de la classe 1 des « grands carrés », sans que le sujet ait à remarquer la nature hétérogène de la partition demandée, puisque la réunion des « grands carrés » ne s’effectue encore qu’en compréhension : la partition ainsi généralisée aboutit en ce cas à la seconde étape, c’est-à-dire que, sur ces grands carrés, la moitié sera considérée comme des « carrés » et l’autre moitié comme des « grands ».

Vient alors la troisième phase. La partition précédente étant une généralisation des partitions dichotomiques, la suite des généralisations conduira donc le sujet : a) à chercher de nouvelles dichotomies en considérant les autres éléments qu’en 1, et b) à les chercher en s’inspirant d’abord, comme précédemment, des partitions homogènes qui ont permis d’opposer les carrés aux ronds et les grands aux petits. De a) et de b) résultent ainsi les fausses disjonctions (ou simplement non pertinentes) qui apparaissent déjà au cours des phases précédentes mais durent plus ou moins longtemps au cours des premiers tâtonnements des sujets de la troisième. Seulement, comme les éléments de la classe 1 sont déjà répartis en « grands » et « carrés », en compréhension et avec un début d’extension, un autre facteur c) de généralisation intervient en plus, qui consiste à concilier les nouvelles partitions avec la partition interne en « grands » et en « carrés » s’imposant à l’intérieur de la classe 1 : d’où finalement les disjonctions correctes du niveau IIA où la partition hétérogène s’étend aux classes 2 et 3 par un réglage combiné des extensions et des négations.

Mais il reste encore en ce cas à effectuer une nouvelle généralisation pour relier les « grands » de la classe 1 aux « grands, mais non carrés » de la classe 2, ainsi que les « carrés » de la classe 1 aux « carrés mais non grands » de la classe 3 : d’où la solution de disjonction non exclusive avec intersection, dont il a été déjà dit qu’elle constitue une synthèse de l’identification et de la disjonction simple. Ce dépassement généralisateur, qui permet enfin au sujet de se libérer des classes disjointes pour procéder à des partitions hétérogènes quelconques, conduit alors dès 11-12 ans à cette généralisation terminale constitutive de l’ensemble des parties.

III) Ces généralisations successives présentent en outre deux caractères remarquables qui tiennent aux rapports entre les différenciations et les intégrations, ainsi qu’entre les compréhensions et les extensions.

Il va de soi, en effet, que les généralisations décrites (sous II) ne consistent pas simplement à ajouter de nouvelles relations aux précédentes, mais exigent une différenciation continuelle de sous-systèmes qu’il s’agit ensuite de coordonner. Le schème lui- même de partition hétérogène, si difficile jusqu’aux niveaux IIB et III (cas intermédiaires) à dissocier des partitions homogènes, est le produit d’une différenciation laborieuse entre les différentes réunions que l’on peut effectuer selon les deux dimensions | et -> de la table à double entrée (laquelle constitue le produit des vicariances initiales elles-mêmes déjà différenciatrices).

Mais il convient de distinguer deux sortes de différenciations selon qu’il s’agit de variations extrinsèques, c’est-à-dire données dans les objets dont les différences imposent les négations comme du dehors (mais à condition de traduire les compréhensions en extensions) et les variations intrinsèques, c’est-à-dire liées aux implications que l’on peut tirer des significations. Les premières se présentent, par exemple, lorsque le sujet applique une même forme à différents contenus, d’où des généralisations simplement extensionnelles. Les secondes interviennent par contre lorsqu’il s’agit de distinguer des formes et d’en construire de nouvelles, ce qui suppose alors une construction des négations par le sujet lui-même. Par exemple, les sujets commencent par confondre le « et » et le « ou », donc xy et x vy, puis les différencient et distinguent dans la suite le « ou » exclusif xy ∨ xy et non exclusif xy y xy V xy, ce qui implique que la qualité x soit affirmée en xy et niée en xy. Or, ces variations intrinsèques constituent la source même des généralisations constructives, en tant que chaque signification nouvelle ouvre à son tour de nouvelles possibilités.

Chaque couple (1, 2), (2, 3), etc., ou trio (1, 2, 3) etc., de parties, distingués en un simplexe comporte en effet, chacun une signification particulière en tant que réunion, et bien distincte de la réunion totale (1, 2, 3, 4), simple arrangement multiplicatif des données en jeu.

Les différenciations exigent ensuite des intégrations en structures plus riches, mais ce qui est remarquable est que cette richesse augmente à la fois quant aux propriétés des formes (compréhension) et au nombre des contenus (extension). Il existe à cet égard deux grandes différences entre l’ensemble des parties et les simples groupements. Pour un groupement multiplicatif à 4 éléments, on a 16 « parties », et, s’il y a 8 classes élémentaires, on a 256 « parties » (donc 2”), ce qui constitue un accroissement considérable des remaniements de contenus. Quant à la forme, les structures de cette combinatoire et du groupe INRC montrent assez l’enrichissement en compréhension, l’intégration étant en ce cas « complétive » et non pas simplement « coordinatrice », puisqu’elle ajoute des propriétés structurales nouvelles et ne se borne pas à multiplier les emboîtements (comme lorsqu’on intègre une classification pauvre en une autre plus détaillée). Ce double enrichissement en formes et en contenus ne signifie pas qu’au point de vue statique des propriétés déjà construites il y ait exception à la loi de rapport inverse de la compréhension et de l’extension, mais que, du point de vue des transformations ou variations intrinsèques, il y a construction corrélative (successive ou simultanée) de formes et de contenus (ceux-ci en leurs réarrangements avec leurs significations différenciées).

Au total, la construction de l’ensemble des parties constitue un exemple type de généralisation constructive, tant dans le détail des raisonnements conduisant d’une étape à la suivante grâce au progrès des extensions et des négations que dans la comparaison structurale des points de départ et d’arrivée.