Chapitre VI.
L’allongement des périmètres ^{1 a} 🔗

Au niveau de départ habituel IA l’expérience n’a pas de signification parce que les sujets n’ont pas la conservation des longueurs suffisante pour accepter qu’un fil (la couronne) conserve sa mesure selon qu’il est droit ou courbé :

Ana (6 ;2) : « Non, ils ne sont pas la même chose (grands). — Ce ne sont pas les mêmes ? — Oui les mêmes. —  Pourquoi ? — Ils sont tous les deux petits. »

Par contre dès le niveau IB la non-conservation probable (ou réelle lorsqu’on pose la question) ne semble pas faire [p. 95] obstacle. Le sujet s’attend naturellement à des ajouts de plus en plus grands, mais lorsqu’il voit qu’il n’en est rien, il se plie plus ou moins à l’observable faute de toute généralisation constructive :

Car (6 ;6). Jardins carrés : dit à chaque agrandissement de la surface : « Ce (la barrière) sera trop petit parce que c’est beaucoup plus grand qu’avant », puis « elle sera trop petite parce qu’on a ajouté tout le chemin », etc. Mais face aux faits : « Il va tout juste ! — Pourquoi le même bout qui manquait ? — Peut-être qu’il faut le même bout (plus d’étonnement). » On passe aux jardins ronds : « Il faut rajouter un bout, toujours rajouter des bouts. » On fait comparer les ajouts égaux : « Oui, il est la même chose je crois. —  Comment tu sais ? — Je pense (que c’est) toujours ! Non, je crois qu’il est plus grand pour le grand rond. »

Mie (6 ;3), mêmes réactions, mais après essais : « Ils sont de la même grandeur. » Prévision suivante : « Ce sera peut-être trop petit, mais je ne suis pas sûre… parce que ce qu’on avait avant c’était la même grandeur. Maintenant ce sera presque. — Essaie d’expliquer. — Je comprends seulement quand on entoure… On rajoute toujours la même grandeur parce que c’est la même grandeur de fil. »

Isa (6 ;9) prévoit sans discontinuer des ajouts grandissants puis après constats : « Non c’est la même chose. — Pourquoi toujours le même petit bout ? — Parce qu’il va partout ! »

Ced (7 ;4) de même, après les prévisions fausses : « Toujours le même bout parce que ça fait juste la longueur pour venir jusqu’à l’autre (ancien et nouveau périmètres). »

Ce n’est pas le fait que le sujet s’attende à des ajouts croissants qui constitue l’originalité de ces réponses, puisque cette prévision se retrouve jusqu’en IIB : c’est la rapidité avec laquelle le sujet s’incline devant les faits sans étonnement, comme si cette invariance des ajouts allait de soi quand on a trouvé un bout qui, comme dit Isa, « va partout ». Mais cette soumission aux observables a pourtant ses limites, car si Mic passe de deux ou trois constatations prudemment circonscrites (« je comprends seulement quand on entoure ») à « toujours » par une généralisation extensionnelle ignorant manifestement la fragilité logique de l’induction, Cor, par contre, ne généralise l’invariance des ajouts qu’aux périmètres carrés, pense le contraire pour les ronds et au moment de dire « toujours » se ravise et déforme l’observable. Quant à l’explication elle reste admirablement circulaire, comme en toute généralisation purement [p. 96] extensionnelle où la compréhension se borne à la lecture d’observables non construits, mais simplement classés ou reliés : c’est le même ajout parce que c’est « la même grandeur de fil » (Mic) ou le même intervalle à combler (Ced).

Alors que les réponses du niveau IB expriment globalement les interactions entre le sujet et les objets, autrement dit s’en tiennent au résultat des actes (voir les paliers de la prise de conscience aux chapitres précédents), le niveau IIA, comme d’habitude, est caractérisé par une centration sur les étapes ou manipulations successives de l’action, avec leurs résultats, mais sans atteindre les coordinations internes, donc les raisons nécessaires. Il en résulte deux attitudes lors des démentis à la prévision générale selon laquelle toute augmentation de surface entraîne celle du périmètre et donc celle de l’ajout : ou bien les sujets très surpris renoncent à comprendre l’invariance de celui-ci, ou bien ils l’expliquent par cet autre invariant qu’est l’« épaisseur » du cordon (« largeur de la route »). Voici des exemples du 1^er type que l’on peut donc considérer comme intermédiaires entre les niveaux IB et IIA :

Iva (6 ;10), en passant du disque 7 au 3 : « Il faut un bout plus grand que le bout d’avant parce que le rond est plus grand. — (Exp. ²) Tu peux expliquer ? — Je pense que c’est la même chose parce que les deux grands fils sont de la même grandeur, alors les petits bouts seront pareils… Non on ne peut pas dire : ils sont les mêmes, c’est vraiment drôle parce que le cercle est plus grand ; on ne peut pas expliquer. » On passe au disque 1 et Iva est stupéfaite de retrouver le même ajout : « Non je ne comprends pas, je trouve ça drôle. » Carrés : elle généralise : « C’est toujours le même qu’on doit ajouter. — Pourquoi ? — C’est ce que je ne sais pas. » Par contre si « les bouts du carré sont plus grands, (c’est) parce que les ronds ne sont pas aussi grands », donc il y a alors retour à l’indice non pertinent de surface.

Pie (7 ;9). Ronds 2 à 3 : tout en déclarant spontanément que les couronnes ou chemins « ils ont la même épaisseur », ce qui annonce le type II, Pie n’en prévoit pas moins un ajout plus long parce que « celui-là (rond 3) est plus grand. — (Exp.) Pourquoi ? — Je ne sais pas ». Rond 1. Après fausse prévision : « C’est pareil ! —  Pourquoi ? — Je ne sais pas. — Les 3 routes ont la même largeur ? — C’est peut-être vrai, mais il ne faut pas regarder l’épaisseur : c’est la longueur qui compte. —  Alors pourquoi le même bout ? — On ne peut pas dire, je ne sais pas. »

[p. 97] Jos (8 ;7) : « Il y en a (des ronds) des grands, des moyens et des petits et ils (les ajouts) sont toujours les mêmes… je ne comprends pas. »

Nad (8 ;5). Carrés 2 à 3 : « Il faut un bout plus grand. » Etc. « Ils sont pareils. — Pourquoi ? — Je ne sais pas : un (carré) est plus grand, Vautre plus petit, alors… Je ne saurais pas tellement expliquer. — Un garçon m’a dit que c’est à cause de la même largeur des routes. — Oui, mais il y a un grand, un moyen et un petit ! Ce qui est important c’est le fil qu’on met avant (périmètre initial) : pour le grand on met plus (périmètre final) et pour le petit moins. » Mais cela n’explique pas la constance des ajouts !

Her (9 ;8), malgré son âge dit encore : « Je ne sais pas… C’était de la chance. —  Il n’y a pas de règle ? — Non. »

Quant aux cas francs du niveau IIA, ils invoquent tous la largeur de la couronne. Seulement ce n’est pas une explication, mais simplement la mise en relation de l’invariant « ajout » à cet autre invariant d’« épaisseur », constaté au cours des séquences d’actions et demeurant lié à celles-ci, d’où l’absence de la généralisation pour les objets non manipulables qui se manifestera au niveau IIB :

PAC (7 ;0). Ronds 1 à 2 puis 2 à 3 : « Il en faut une plus grande (barrière : périmètre 2), 2 fois plus grande », puis : « Il faut un petit (2) et un grand bout (3) pour rajouter. » Puis il constate l’invariance. « Pourquoi ? — Parce que c’est le même bout qui manque, parce que c’est la même épaisseur là et là. »

etPat (7 ;2) : prévisions fondées sur les surfaces (il montre le diamètre des cercles), puis est étonné de l’invariance : « Oh ! ils (ajouts) sont pareils. C’est drôle, on a rajouté un grand (périmètre final) et ici un petit. — Alors ? — Les deux fils (périmètres initiaux) sont les mêmes (comparaison). Non, ils sont pas pareils. — Alors ? — C’est parce que c’est la même épaisseur. Ça marche toujours pareil parce que c’est la même épaisseur. » Par contre : « Avec un tout grand rond ça irait ? — Non pas avec un tout grand. —  Avec un grand jardin qu’est-ce qu’il faudrait rajouter si on l’agrandit de la même largeur ? — Un grand bout. »

Den (8 ;9), mêmes réactions et acceptation finale de l’invariance des ajouts « parce que c’est la même largeur de route » mais « ça ne suffira pas » pour un très grand rond par terre avec la même « largeur de route ».

Cri (8 ;6) décrit minutieusement toutes les étapes des actions déjà effectuées et conclut : « On a remarqué avec les fers que le petit rond avait le plus petit fer et le plus grand rond le plus grand fer ; (mais) on a vu que les bords c’est les mêmes », et la raison est « que l’épaisseur (il montre la largeur du cadre) c’est toujours la même chose ».

[p. 98] Jos (9 ;2) fait comprendre pourquoi cette articulation des actions conduit à accepter l’invariance des ajouts en reliant les périmètres successifs : « On a mis un plus grand ici que là (ronds moyen et petit) et puis on a rajouté la même route, alors c’est le même bout. — Pourquoi le même ? — C’est la même route, il a fallu le même fil pour celui-là que pour le tout petit, alors ici (différence des deux) ça sera le même bout. » Essai sur le carré de 10 X 10 après bonne prévision : « C’est le même bout ! —  Mais comment ça se fait ? — La route est toujours la même. —  La même quoi ? — Elles n’ont pas les mêmes jardins. — Alors les mêmes quoi ? — Les mêmes largeurs. Ça fait qu’on a toujours les mêmes bouts. »

Cel (9 ;6) réagit comme les deux précédents et est donc proche du niveau IIB caractérisé par la prévision correcte des ajouts pour les très grands ronds ou carrés, mais ses hésitations instructives le situent encore en IIA : « Ce sera toujours le même bout, parce que c’est la même largeur de route. — Elle a quelque chose à voir ? — Oui, elle est toujours la même, c’est important. — Et pourquoi le bout n’est pas le même pour le carré et pour le rond (où il y a la même largeur) ? — A cause des pointes, des coins. — ’Et si j’ai un carré grand comme la table, il faudra un bout comme les autres¹ ? — Ah ! non. — Mais je me sers de l’ancien fil (cf. Jos). — Alors ça va, oui… Oh ! non il faut un bout plus long ! — A cause de quoi ? — … — Parce que la table est plus grande ? — Non. — Alors ? — … »

Rie (10 ;0) de même : « Tous les morceaux rajoutés sont pareils ? — Oui. — Et si on prend un grand champ rond ? — Il faut ajouter 7 fois la largeur de la couronne. — Et pour un très grand champ ? — Il faut beaucoup plus : il faut un bout 100 fois plus grand que notre rajouté. »

Ces réactions présentent toutes un certain intérêt pour la question des formes inductives et constructives de généralisation. On constate d’abord que, dès les cas intermédiaires, il y a, contrairement au niveau IB, prise de conscience des séquences successives de l’action : Iva note déjà que « les deux grands fils sont de la même grandeur », donc qu’il intervient une sorte d’itération dans les périmètres, ce que Nad précise : « Ce qui est important c’est le fil qu’on met avant. » Mais la contradiction qu’ils ressentent vivement entre l’accroissement des surfaces (qui devrait, dans leur idée, provoquer une augmentation corrélative de la longueur des périmètres) et l’invariance des ajouts les laisse sans aucune explication, d’où le caractère purement extensionnel de leurs généralisations.

Quant aux cas francs de ce niveau, ils insistent de même de plus en plus clairement sur l’emboîtement des périmètres, qui rend acceptable l’égalité des ajouts puisque alors comme [p. 99] on en trouve la formule de Pac (7 ;0) à Jos et Cel (9 ans) « c’est le même bout qui manque ». Mais ce n’est là qu’un déplacement du problème, qui aboutit certes à ce progrès notable de dissocier les accroissements respectifs de la surface et du périmètre et de centrer le sujet sur les différences entre périmètres successifs. Seulement il reste à justifier l’égalité de ces différences, autrement dit une constance pour chacune des deux classes d’objets, ronds ou carrés. C’est ici qu’intervient la largeur, en tant que restant également toujours la même, et jouant par conséquent un rôle « important » dit Cel avec finesse (comme s’il y voyait une condition nécessaire, mais non encore suffisante).

Effectivement cette causalité attribuée à la largeur demeure à ce niveau d’une nature difficile à interpréter, puisque le sujet ne précise pas lui-même quelles relations il établit entre cette « épaisseur » et la longueur de l’ajout qui relève donc d’une autre dimension. Le sujet Cel est le plus proche de cette seconde étape de la solution, lorsqu’il dit que l’ajout nécessaire aux carrés est plus long « à cause des coins », mais la meilleure preuve que cela ne suffit pas encore est que ce sujet, comme tous ceux de ce niveau, ne comprend pas que si la largeur constante rend vraiment compte de l’invariance des ajouts, un grand carré « comme la table » ou un « très grand rond par terre » comporteront les mêmes ajouts si (et on le précise) on les entoure de la même « largeur de route ». Cette absence de généralisation lorsqu’on ne procède pas par actions matérielles successives, avec itération de la même différence ou au moins emboîtements de périmètres voisins, montre assez que l’« explication » par la largeur de la couronne n’est encore en fait qu’une corrélation entre deux régularités constatées, donc une liaison entre invariances observables, mais en tant qu’observables dus à la succession des actions et non pas encore en tant que coordinations nécessaires, puisque l’apparente nécessité (« parce que ») s’évanouit dès qu’on sort du domaine des objets manipulables. Il s’agit donc encore d’une généralisation essentiellement inductive avec effort dans la direction de la forme constructive, mais sans la dernière étape de prise de conscience des coordinations qui serait indispensable à cet égard.

Le grand progrès accompli par les sujets de 9-10 ans en moyenne (mais certains jusqu’à 11-12 ans, [p. 100] comme le niveau IIA peut s’étendre jusqu’à des cas de 10-11 ans) est la généralisation aux objets non manipulables :

Rin (8 ;2) reste intermédiaire entre les niveaux IIA et IIB. Elle s’attend à un plus grand ajout pour un « grand jardin » rond. Après constatation : « Ils sont la même chose parce que c’est la même largeur de route. —  Mais la route est plus longue, alors pourquoi le même bout ? — … — Explique un peu. — C’est la même largeur. » — Dans la suite : « Si on prenait un très grand jardin il faudrait un bout comme ça (plus long) ? — Non. — Comment ? — Comme ça (le même qu’auparavant). — Même pour un tout grand jardin ? — Oui. » Par contre avec les carrés elle prévoit une variation des ajouts, puis constate l’invariance « parce que c’est la même largeur. —  Pourquoi pas le même bout qu’avec les ronds ? — Ce n’est pas la même espèce : des ronds et des carrés. — Et autour d’un terrain de football ? — Deux fois ça, parce que c’est un peu grand (elle revient donc à la surface, par opposition à la forme) ».

Col (9 ;3) constate après fausses prévisions l’égalité des ajouts : « Parce que là il fallait rajouter 3. — Et si on fait le tour d’un carrousel ? — Il faut rajouter 3. —  Et le tour de la lune ? — 3, il faut en rajouter. — Et avec un très petit rond ? — 3. » Mais chose curieuse lorsqu’on revient à des ronds dont on construit les périmètres avec le sujet, Col s’attend à un plus long ajout pour le plus grand, puis explique son erreur : les bouts sont les mêmes « parce qu’ils étaient pliés, avant je croyais qu’on avait ouvert plus », ce qui est un début de passage de la largeur à la longueur. « Et pour la lune ? — Plus, non ce sera la même chose. »

Rat (10 ;6) après fausses prévisions : « C’est le même bout parce que c’est la même épaisseur. — Et avec un très grand carré ? — Il manque le même bout. — Et autour de la table ? — Le même bout. — N’importe quel carré, ça va ? — Oui. — Et si on place 2 routes à la fois ? — Autant de bouts que de routes. » Ronds : il s’attend au même ajout, puis : « C’est parce qu’il n’y a plus d’angles. Il n’y a plus les 4 côtés : avant on faisait toutes les fois des virages. — Et un triangle ? — Plus grand que le rond et plus petit que le carré. »

Seb (ll ;0) : « C’est la même grandeur parce que c’est la même largeur qu’on a réunis. — Sur un grand pré rond ? — Le même bout car il y a déjà tout le fil qui fait le tour : il faut rajouter un même petit bout. — Autour de la lune ? — Un bout pareil. » Carrés : « Un peu plus grand parce qu’il y a 4 côtés et au rond 1 seul. »

Iso (12 ;2), 2^e carré : « C’est les mêmes, c’est toujours 1 cm de large. — Mais ce carré à 4 X 4 et plus 1 X 1 ? — Oui, mais c’est la même largeur. Avant on avait un fil qui faisait le périmètre et après on rajoute 1 cm de large, donc ça devient pareil. — Et autour de la table ? — Toujours 1 cm. »

Avec ces sujets on est très près du passage de la largeur constante à la longueur de l’ajout, cette largeur se traduisant [p. 101] en longueur des côtés lorsque la route fait un tournant à angle droit. Rin n’en est pas encore là et reste en partie dominée par l’idée de surface mais Col en parlant des bouts « pliés », Rat avec les « virages » et Ser comme Iso avec les « côtés » du carré sont proches de l’explication, qu’ils atteignent de façon implicite : leur prise de conscience des actions rejoint donc presque les coordinations intrinsèques nécessaires, mais, une fois de plus, il faut attendre le niveau des opérations « formelles » de 11-12 ans pour obtenir ces explications et cette nécessité, avec même des anticipations correctes dès le début.

Voici des exemples :

Fra (11 ;5), 1^er carré présenté (4 X 4) : « Tu peux savoir le morceau qui manque ? — Heu… environ 8 cm et pour un côté 2 cm de plus puisqu’on a 1 cm de chaque côté et il y a 4 côtés : alors 4x2 = 8. — Sûr ? — Oui. — Et celui-là (carré de 1 X 1 cm) ? — Il faut aussi ajouter 8 cm, c’est pareil, on a ajouté 1 cm tout autour. — Un grand carré ? — Même bout. —  Autour de la grande table ? — Toujours 2 cm à tous les coins. C’est pour tous les carrés et les rectangles. » Pour les ronds : « Là, c’est difficile, il y a 1 cm de plus, il faudra faire 3,14 c’est le rapport 7t : ça fait 2 fois 3,14 alors 6,28. — Pourquoi cette différence ? — Les angles ça prend de la place, les courbes c’est plus court. » Triangles : « Il y a quelque chose qui cloche, ça dépend des angles : si c’est un droit ça fait 2 cm, si c’est un aigu ça fera plus et un obtus moins. »

Phi (11 ;9) commence par anticiper « un bout qui soit 4 fois comme ça (1 cm) parce que c’est la grandeur de là (largeur du cadre) et il y a 4 côtés. (Essai.) Non ça va pas il faut prendre 8 fois la largeur. Il (le côté) a grandi comme ça et comme ça (les deux extrémités). — Je prends un grand fil et je fais le tour de la table. Je veux l’éloigner de 1 cm tout autour. Je dois rajouter un bout comment ? — De 8 fois comme l’autre. Non, oui ça suffira, c’est la même chose ». Ronds : « La même chose. (Essai.) Non, c’est qu’au carré il y a les angles qui prennent de la place alors ça prend du fil. — Autour de la lune, ce bout suffira ? — Oui. »

Ala (12 ;3), 1^er carré présenté (4 X 4) : « Ça a grandi, les côtés ont augmenté de 1 cm, alors il manque 4 cm. (Essai.) Ah non… 1 cm là et 1 cm là (les 2 extrémités). » Carré de 1 X 1 cm : « Il faut rajouter 8 cm. — (Carré de 10 X 10 ?) — Ça fait toujours 1 cm, il faut rajouter 8 aussi. » Cercles : il prévoit un ajout plus grand « parce que le cercle a plus de surface. (Essai.) Ah moins, parce que le carré a 4 angles et on ajoute 1 cm sur tous les côtés. Le cercle si on déplie ça fait une ligne droite, le carré aussi mais c’est plus long avec les angles ». Grand rond : hésitations puis « on rajoute toujours le même. — Et si je mets une 2^e couronne ? — Ce sera le même bout (pour la seconde que pour la première). — Et autour de la lune ce petit bout suffirait ? — Oui (sans hésitation) mais c’est un peu bizarre ».

[p. 102]Den (12 ;9). « Et pour une grande table ronde, ce serait pareil ? — Oui, évidemment. — Et pour la lune ? — C’est la même chose, oui, c’est pareil pour n’importe quelle grandeur. »

Ces sujets prévoient donc avant tout essai l’invariance des ajouts et la généralisent « pour n’importe quelle grandeur » dit Den, si « bizarre » que cela paraisse comme le pense Ala avec tous les adultes non géomètres ! Cette anticipation immédiate tient naturellement à une intériorisation des actions qui ne se borne plus à en retracer les séquences temporelles, mais atteint les coordinations nécessaires dont elles dépendent : d’où enfin l’explication correcte du rôle de la « largeur » de la route, qui se traduit par un allongement de 1 cm à chaque extrémité des 4 côtés du carré, d’où 8 cm.

Cette généralisation fondée sur la « raison » de la régularité est alors d’un type résolument « constructif » avec tous ses caractères distinctifs. En premier lieu, il ne s’agit plus d’une répétition d’observables, puisque l’ajout est calculé avant la constatation et que son invariance est déduite : les figures en jeu, avec leurs périmètres initiaux et finals, etc., sont ainsi promues au rang d’objets conceptuels, et par cela même (deuxième caractère) de formes engendrant leurs propres contenus possibles, bien au-delà des contenus matériels fournis par l’expérience. D’où, en troisième lieu, une modification complète du rôle des extensions. En effet, la généralisation des niveaux précédents demeure avant tout extensionnelle, au sens d’un passage probable ou même très probable du « quelque » au « tous », mais selon une régularité restant en quelque sorte putative tenant à la simple reproduction possible des mêmes conditions constatives. Au contraire, la généralisation en extension de la forme « pareil pour n’importe quelle grandeur » (Den) ne constitue plus une « induction » fondée sur l’expérience, mais bien la conséquence nécessaire de la démonstration préalable, qui est en compréhension. L’extension ne fait alors plus qu’un avec la généralisation des contenus par les formes, ce qui est tout autre chose.

Nous voici ramenés à nos problèmes de départ, quant aux rapports entre l’extension et la compréhension. A commencer par cette dernière, on constate une évolution [p. 103] significative dans le choix des indices, selon qu’ils orientent d’abord les prévisions et ensuite les réactions à cet observable imprévu (jusqu’au niveau IIB, y compris) qui est l’invariance des ajouts. Pour ce qui est des prévisions l’indice initial est la « grandeur » de l’objet, sans différenciation entre le périmètre et la surface, donc un observable global conduisant à anticiper un ajout corrélativement croissant. Au stade II (et IIB comme HA), c’est la longueur du périmètre, ce qui est encore un observable, mais conçu à tort (par un facteur constructif incomplet) comme proportionnelle à la surface du rond ou du carré, et donnant donc lieu de nouveau à de fausses prévisions. Au stade III par contre l’indice servant aux anticipations est d’emblée le périmètre, dissocié de la surface, mais un indice dépassant les observables ou les enrichissant en ce qu’il s’agit de le calculer, donc de le construire déductivement et non plus seulement de l’enregistrer perceptivement.

Quant aux facteurs ou indices invoqués à titre explicatif après les constatations, on retrouve la même évolution d’une « compréhension » tirée des seules propriétés observables à une compréhension déduite par construction. Au stade I, le nouvel observable est accepté mais « drôle » et inexplicable. Par contre, au stade II, un indice pertinent est découvert et constamment invoqué : la « largeur » de la route, qui elle aussi reste constante et apparaît de ce fait comme explicative. Seulement, comme on l’a vu, il n’y a là qu’une mise en relation légale, et non encore causale malgré les apparences, entre deux invariances observables, sans l’explication du passage de la largeur en longueur : d’où à nouveau une généralisation demeurant essentiellement inductive ou extensionnelle, limitée aux objets manipulables en HA, s’étendant aux autres en IIB, mais, même alors sans que le mécanisme soit explicité. Au contraire au stade III cette largeur constante de la route qui sert aux prévisions comme aux explications, devient explicative parce que d’emblée intégrée en une déduction de la longueur des côtés : en ce cas les propriétés en compréhension dépassent les observables en devenant ainsi produits de construction ou de reconstruction, ce qui modifie leur statut en y introduisant la part de nécessité qui leur manquait jusque-là.

On comprend alors la dualité fondamentale qui intervient dans l’évolution des extensions. Jusqu’au niveau HA y compris, [p. 104] celles-ci sont indépendantes des constructions sous-jacentes : elles demeurent inductives et, dans la mesure où le sujet les croit nécessaires, cette pseudo-nécessité putative n’est qu’un produit de la généralisation extensionnelle pour autant qu’elle est confirmée. Avec le niveau IIB, elle est étendue aux objets non manipulables, ce qui constitue un tournant important et significatif annonçant le stade III. A cette étape finale, en effet, la situation est renversée : c’est désormais la signification en compréhension qui, en introduisant une nécessité authentique, commande l’extension, le caractère nécessairement invariant des ajouts devenant ipso facto « toujours » constant (Fra) ou « pareil pour n’importe quelle grandeur » (Den).

Il n’est donc pas exagéré de se refuser à considérer l’extension des généralisations constructives comme dérivant structuralement des généralisations inductives ou purement extensionnelles antérieures : si continues soient-elles du point de vue fonctionnel (comme le montre le niveau IIB), elles témoignent quant à leur structure logique, de toute la différence qui oppose l’endogène à l’exogène. Autrement dit, le développement en jeu ne consiste pas en une intériorisation de l’exogène en endogène, mais (et cela en vertu de l’intériorisation propre à la prise de conscience dans la direction des coordinations intrinsèques de l’action, ce qui n’est nullement pareil) il constitue un remplacement progressif de l’exogène par l’endogène, ce dont témoigne d’ailleurs toute l’histoire de la géométrie et même en bonne partie de la physique.