Chapitre VII.
Le plus court chemin entre deux plans perpendiculaires ^{1 a} 🔗

Les notions initiales (niveau IA) du plus court chemin comportent deux aspects dont ni l’un ni l’autre ne sont encore quantitatifs : celui du schème de l’action, qui est directionnel et correctement orienté vers le but, et celui de la représentation où « le plus court » se confond avec le plus simple perceptivement (suivre les bords du champ) ou topolo- giquement (voisinages). Aussi voyons-nous pour la situation I des courbes aussi bien que des droites, etc. En outre, quand on demande de raccourcir ces trajets, le sujet rapproche sans plus la salade de l’escargot, etc.

LÉO (5 ;5) pour la situation II indique ² un trajet V vertical de J à p, suivant ensuite en H le bord du carton en prolongement de V puis tournant à angle droit pour suivre l’autre bord jusqu’à la salade y. Mais elle avoue que ce chemin (1) « il est long ». Pour le raccourcir elle dessine le chemin (2) : de x en suivant horizontalement le bord supérieur jusqu’en face de y et en descendant K le long de cet autre côté pour continuer ainsi en H : c’est donc l’exact symétrique de (1). Un chemin (3) passe par les médianes entre (1) et (2), toujours à angles droits et donc par le milieu des deux plans vertical et horizontal. « Et un autre plus court ? — (Elle dessine 4, à peu près juste.) Je ferais comme ça (geste oblique). — Lequel est le plus court ? — Celui- là (3). — Et si on ne compte pas le 3 ? — Celui-là (1). » Le rabattement ne modifie rien. Situations III et IV : mêmes réactions.

Lor (5 ;11) est en progrès sur deux points. En I il commence par une courbe, puis déclare qu’« il faut faire un chemin tout droit ». En II il passe comme Léo de x en x’ mais de là H suit la diagonale de x’ à y. « Il va comment ce chemin ? — Tout droit et un peu rond (l’angle au passage de F à H). —  On peut faire un autre tout droit ? — (Il donne un dessin identique au (3) de Léo). — Une mouche irait comment de x à y ? — (Il montre un trajet droit qui traverse l’air.) — Et l’escargot ? — (Il dessine une oblique à peu près juste : cf. le (4) de Léo.) — Lequel est le plus droit ? — Celui-là (le [p. 107] dernier). — Et le plus court ? — Là (dessin (1)). » Situation III : même dessin.

Yvo (6 ;3) : III : de x à x’ et de la diagonale sur y (cf. le début de Lor).

Voici encore des exemples du niveau IB, où le sujet oscille entre le trajet juste et les solutions précédentes :

Rie (5 ;6) débute par un trajet correct : « Il est tout droit, pas courbé. » On demande d’autres chemins et Rie dessine un (2) avec courbure d’un côté et un (3) avec légère courbure de l’autre mais très voisin des dessins x — x’ — y du niveau précédent, mais chose curieuse il est alors séduit par cette solution et quand on lui demande « le chemin pour marcher le moins possible » il désigne le dernier. « Et il y en a combien qui vont droit ? — Celui-là et celui-là (1 et 3) ». Lors du rabattement il montre le bon trajet mais ne le croit pas pareil lors du redressement.

Val (6 ;6) de même, débute par la solution juste (1), puis dessine comme autre chemin possible le trajet xx’ y (2), ainsi qu’un compromis entre les deux (3). Elle maintient que (1) « c’est le plus droit » en particulier lorsqu’on lui demande de viser le but en se plaçant au point de vue de l’escargot. Avec le mur rabattu, c’est toujours (1) le plus droit, mais avec le mur redressé c’est alors (2) qui est « le plus court ».

Kar (6 ;7) énonce en situation I deux critères solidaires pour le chemin le plus court : « On n’a pas besoin de faire une pointe (ou) un coin » et « il n’y a pas besoin d’avoir deux lignes ». Par contre en situation II : « Je ne peux pas décider si c’est deux traits ou un seul trait » de telle sorte qu’entre les deux possibilités du trait unique ou de xx’ y, on ne sait lequel est le « plus court » ? « Aucun ! ». (Elle dit aussi : « C’est les deux les plus courts chemins : ils vont tous les deux bien ensemble.) Elle penche ensuite pour la solution juste : « C’est un seul trait. — Tu peux le prouver ? — On ne doit même pas s’arrêter. »

Pac (7 ;0) donne en II une solution intermédiaire entre le trajet correct et le chemin xx’ y. En III même réaction, mais il ajoute : « C’est peut-être celui-là (xx’ y). » Avec rabattement pas de problème, mais le mur une fois redressé il en revient à sa solution de compromis.

Cor (7 ;0) débute encore par la V = xx’ et le H — x’ y puis trace un trajet plus direct xy mais un peu ondulé, et il désigne comme le plus court le premier à cause de sa montée xx’, puis le second « parce qu’il va d’un seul trait ». Pour le mur rabattu, il est évident, mais redressé « fa change quand il faut monter en haut. —  Tout plat ça ne serait pas toujours le même trait ? — Non, ça change ». Situation III : « Il faut quand même aller dans le coin (yx’) pour pouvoir monter (x’ x) et ça fait plus long. »

Mar (7 ;7) : mêmes hésitations et, lors du rabattement, « ça change un petit peu. — Quoi ? — Les traits (qui sont deux ou ramenés à un). — Alors ? — Quand le mur était couché, ce chemin était un peu plus court. — Et redressé il reste le plus court ? — Non ».

[p. 108] Ces réactions du stade I montrent clairement la nature des difficultés rencontrées par le sujet pour trouver le plus court chemin et lui conserver la généralité d’une ligne « droite » : il s’agirait pour résoudre ce problème d’assurer deux sortes de coordinations, l’une entre les parties du trajet, qui sont dissociées du fait de la dualité des deux plans de V et H, l’autre entre les points de vue possibles sur le trajet total.

Au niveau IA, c’est la première de ces coordinations qui est manquée, le sujet ne se souciant pas de ce trajet total et ne cherchant « le plus court » que pour chaque segment à part. Dans cette optique il va alors de soi que sur le plan vertical le segment le plus court consiste à passer de x à sa projection en x’ et non pas à tracer une oblique. L’escargot une fois descendu verticalement de x en x’ le chemin le plus simple revient à continuer à suivre les bords (Léo) et le plus court à adopter la diagonale x’ y (Lor et Yvo). Chacun de ces sujets est cependant capable d’imaginer un seul trajet oblique de x à.y (solution juste), mais s’ils reconnaissent, avec Lor, que ce dernier chemin est le plus « droit » ils n’en maintiennent pas moins que le trajet à angles xx’ y est le plus court (ou le chemin (3) chez Léo, à angles droits comme (1) et (2)), à cause évidemment du gain de raccourcissement qu’il assure sur le segment vertical et en négligeant H.

Quant aux réactions IB le progrès est que les sujets ne perdent pas de vue le trajet total, de telle sorte que chacun d’eux est capable de dessiner parmi d’autres un chemin direct à peu près correct. Mais la coordination qu’ils ne parviennent pas à assurer est celle des points de vue possibles, qu’ils n’arrivent pas à différencier avec système et qui restent simplement dissociés, avec passages involontaires de l’un à l’autre sans coordination d’ensemble. Ces points de vue différents sont au nombre de 3 ou de 4. 1) Il y a d’abord ce que Fré au niveau IIB appellera celui de « la ligne qu’on suit avec un objet », donc le point de vue de l’escargot qui peut avancer droit devant lui-même s’il passe d’un plan K à un plan H. 2) Il y a ensuite le chemin que Fré appellera « de vue » et qui est donc le point de vue projectif du sujet regardant les trajets éventuels. Mais il faut encore distinguer ici une forme 2A avec visée à une extrémité (d’où la coïncidence possible avec 1) et une forme 2B [p. 109] avec inspection latérale qui met en évidence la cassure ou angle de 90° entre K et H et donc l’existence de deux segments et non plus d’un seul trait comme en 2A. 3) Il y a enfin le point de vue métrique de la géométrie (euclidienne) permettant de considérer le trajet total comme la somme des segments, et par conséquent de juger la droite obtenue par rabattement du mur comme égale à la somme des deux segments H et V une fois le mur redressé : au contraire, dans le cas des seuls points de vue 1) et 2), le rabattement ne prouve rien et, comme le disent les sujets précédents, « ça change quand il faut monter » (Cor et Mar encore à 7 ans).

Il est alors clair que les hésitations de ces sujets tiennent sans plus à de continuelles confusions de points de vue. Même quand la conclusion finale paraît juste comme chez Kar : « On ne doit même pas s’arrêter » (à l’angle de 90° entre V et H), ce n’est que l’expression du point de vue 1), sans la métrique n° 3). D’autre part, la distinction de Val entre « plus droit » et « plus court » (voir aussi Rie, etc.) témoigne des mêmes dissociations sans coordination.

A 7-8 ans on assiste à un phénomène intéressant si l’on compare ce niveau au suivant IIB, de 9 à 10 ou 11 ans : c’est un équilibre momentané qui semble témoigner à la fois d’une coordination des segments en un tout métriquement égal à leur somme, et d’une coordination des points de vue distingués à l’instant. Mais la suite montrera que cet équilibre n’est pas stable et qu’en se posant de nouveaux problèmes les sujets de 9-10 ans présenteront une sorte de régression apparente, mais due, comme cela est si fréquent à ce niveau IIB, à la plus grande complexité des analyses du sujet.

Bea (7 ;0) donne d’emblée en II le trajet correct et en dessine deux autres, l’un ondulé et le 3^e de forme xx’ y avec trajet xx’ vertical et coupure à angle droit : « Entre les 3 lequel est le plus court ? — Le premier (juste) parce que le 3^e il va là (angle) et il faut un plus long chemin jusque-là. Le l^a croise plus loin. » Elle trouve cette question « plus difficile » qu’en situation I (le plan) parce qu’il y a « le pli ». On baisse le mur : « Le chemin 1 il est droit. — Et le chemin change quand c’est plié ou déplié ? — Non. — Ça reste comment ? — Toujours pareil. — Et la ligne ? — Elle est droite. » Situation III : mêmes réactions.

[p. 110]Amé (8 ;6) donne les mêmes trajets possibles, le plus court étant le « petit et droit », qu’il retrouve quand le mur est abattu. « Et si l’on redresse le mur, lequel est le plus court ? Celui-là (juste) parce qu’il est droit. Quand le mur est renversé on peut dire qu’il est droit ? — Non, il y a le mur, ça fait que ça monte. —  Et alors ? — Si on mesure (le chemin) le mur debout et le mur couché, c’est toujours la même longueur, ça ne change pas de longueur. »

Nad (8 ;7) dessine un chemin presque correct et deux autres faisant des angles de 90° à gauche ou à droite : le plus court est le 1^er parce qu’« il est toujours (= tout le long) direct ». On suggère la comparaison entre les situations I et II et elle fait alors elle-même le rabattement de mur et constate que sa ligne était un peu courbe, et le corrige. On redresse : elle retient alors le trajet corrigé en précisant que, debout ou couché « c’est toujours la même ». Idem en III.

Jan (8 ;8). Même légère courbure corrigée lors du rabattement en retenant le chemin droit une fois le mur redressé parce qu’« on ne peut pas avoir deux chemins (différents) qui sont droits ! » et parce que « ça n’a pas changé évidemment ! ».

On voit que ces sujets commencent à différencier et à coordonner les points de vue, et, ce qui est surtout nouveau, à les subordonner à une métrique : « si on mesure » le chemin avec mur rabattu ou redressé, « c’est toujours la même longueur » dit ainsi Amé. Il semble ainsi qu’il n’y ait plus de problème. Mais le postulat distinctif de ce niveau IIA est énoncé par Jan et sera précisément mis en doute au niveau suivant : c’est qu’« on ne peut pas avoir deux chemins différents qui sont droits ». Cela semble le bon sens même et c’est en tout cas l’idée la plus simple, mais elle ne tient pas compte d’une possibilité que les sujets de 9-10 ans, avec leur besoin de soulever de nouveaux problèmes, dégageront en fonction des multiples points de vue distincts qu’ils chercheront précisément à expliciter : c’est que pour des trajets différents formés de segments successifs, il pourrait y avoir éventuellement compensation entre les variations de ces derniers. C’est cette supposition au premier abord curieuse dont nous allons voir qu’elle n’est pas le fait d’un ou deux sujets exceptionnels mais qu’elle caractérise tout un sous-stade.

[p. 111] Voici des exemples progressifs :

Lai (8 ;8) dessine des variantes autour du trajet correct et, considère celui-ci comme « pas tout à fait droit, mais si on baissait la feuille ça ferait le chemin le plus droit. — Et quand le mur est debout, ça change ? — La différence est que ça pourrait jamais être la même chose quand quelque chose est plat ou est debout. — Alors ? — Il faut s’imaginer comme si le mur n’était pas là. —  Et quand il est couché, c’est la même longueur ? — On pourrait dire oui, mais on ne peut pas tellement mesurer parce que si on ajoute tous (elle montre les divers segments) ça fait la même chose ». Autrement dit il pourrait y avoir des compensations, mais sans préciser lesquelles.

Col (9 ;3) va plus loin : parmi ses 5 chemins possibles, dont 1 presque droit (légère courbure) et 5 tout droit. « Le plus court ? — Le 5 (mur baissé) parce qu’il va tout droit. — (On relève le mur.) Ça ne change pas ? — Un peu oui, puisqu’on a levé, alors ça fait penché, ça plie. — Mais pour être sûr que c’est plus court ? — On baisse le mur. — (On le fait.) Et le 1 est comment ? — Il est aussi droit une fois qu’on a baissé. — Il est plus ou moins long que le 5 ? — La même chose. » On lui dit alors de mieux regarder et il rit de son erreur, mais recommence identiquement dans la situation III : « Si on le mettait droit ça (2 chemins peu différents) ça ferait la même chose ! »

Ste (9 ;6). Situation II : « Comment on peut savoir si un des chemins est droit ? — Si la feuille était plate, si on la mettait droit, on verra que le numéro (1) fait pas des virages. » Les chemins (1) et (3) sont proches l’un de l’autre. Après redressement du mur : « Lequel est le plus court ? — C’est le (3)… — L’escargot il va prendre lequel ? — Il va prendre le (3) ou le (1). — Pourquoi les deux ? — Il y a égalité. — Ils sont les deux égaux ? — Oui, si on mesurait la partie ici (montre les segments sur le plan horizontal) et les parties de chaque en montant (segments verticaux) ils sont les deux égaux (compensation). — Ça nous a aidé de coucher le mur ? — Pas tellement (…) c’est le (3) qui est plus court quand c’est couché et le (1) et le (3) quand il est debout… quand il est debout, ils sont égalité (nouvel argument de compensation sur les segments). — Et couché ? — C’est le (3) qui est plus penché et alors plus court. — Et quand le mur est debout ? — C’est le (1) qui est plus long. — Tout à l’heure, tu as dit qu’ils étaient les deux la même chose. — Mais non ! j’oubliais, ils sont les deux à égalité. » Même argument de compensation en situation III : « Le (2) il est plus court là, et le (1) est plus court là, ils sont à égalité, de nouveau. » Mêmes oscillations consécutives.

Fré (10 ;5) en situation III commence par xx’ y en disant : « On prend toujours le chemin qu’est le plus droit, en face. » Puis il donne un chemin approximativement juste, qu’il juge plus court : « Là (1^er chemin) on doit tout traverser et puis après on doit monter, tandis que là on va jusqu’au milieu puis on monte de biais. » Mais il se met à douter : « Il faudrait un centimètre », puis : « Quel est le chemin le plus court ? — Il y en a deux (…) ils sont les deux la même chose. » On reprend le plan (I), on fait tracer le plus court chemin (= le droit) puis on plie la feuille. Fré propose l’équivalent de « diagonale -f- arête » : « Si on passe par là c’est plus court seulement quand elle est pliée. —  [p. 112] Les traits de crayon changent de longueur quand c’est plié ? — Ben oui ! c’est la même longueur, seulement ils changent de position. » On revient à la chambre (III) : « Il y en a deux qui sont égaux (xx y et le chemin approximativement juste) : (xx’ y) il a plus horizontal et moins vertical, et l’autre il a moins horizontal et plus vertical. » Puis il trace un 3^e chemin entre les deux autres, qu’il estime égal aux deux autres. — Après 20 minutes de récréation : « Si la feuille est comme ça (plane) le plus court est celui-là (droite) si on plie, c’est celui-là (angle de 130 à 150°). — Pourquoi ? — Quand la feuille est pliée, la forme, non pas la forme mais là où elles vont, la direction change. —  Et ici (autre dispositif avec ou sans rabattement) ? — Sur la feuille (plane) le trait (le plus court) est comme ça, si vous pliez c’est ça (avec angles). » Autre dispositif à 3 parois : « Quand on plie il (le trajet à angles) devient plus court que l’autre. » Puis : « Ils sont (la droite pliée ou dépliée) de la même longueur, quand vous pliez ça fait une autre forme. — Que veut dire « change de longueur »? — Je change de parcours. —  Combien de pas ce chemin si c’est une araignée qui le fait ? — 120. — Et celui-là ? — 110. —  Et si on plie (à 90°) ? — C’est tous 100 pas. —  Alors le trait raccourcit ? — Ben oui comme ça (plié) le trait devient plus long. » Enfin il trouve une solution : « La ligne est différente quand on la suit avec un objet… mais de vue ils sont tous égaux. —  Et lequel est le plus court (pliés) avec l’objet ? — Celui-là (juste) avec l’objet. »

Phi (11 ;4) donne le bon chemin dans la situation II : « Comment tu fais pour savoir ? — … comme s’il volait, le même trajet, mais par terre ; s’il pouvait voler ça serait en ligne droite, maintenant il fait un angle. » Il donne sur demande un autre chemin (xx’ y) : « Ils sont les mêmes : dans le n° 2, il prend plus de temps en montant (…), il gagne en montant ce qu’il a perdu par terre (n° !)(…). — C’est quoi, le chemin le plus court entre deux points ? — Une ligne droite. — L’escargot, il peut aller en ligne droite ? — Oui ; non. —  Y a-t-il un moyen pour voir si l’escargot fait une ligne droite ? — En couchant le mur. — C’est faisable ? — Oui. —  Et qu’est-ce que ça donne ? — On peut vérifier. » On couche le mur. Phi trace la vraie droite (n° 5), mais il échoue au problème de l’araignée (comme Fré ci-dessus) et conclut : « La ligne change de longueur quand c’est couché et quand c’est debout (…). —  Comment tu l’expliques ? — Quand c’est couché, (5) fait une ligne droite et (l)fait une ligne courbe ; quand c’est debout (l)fait une ligne droite et (5) fait une ligne courbe. — Et ça change ? — Ça change la sorte de ligne. —  Et ça change pour l’escargot ? — Il prendra le (5) quand c’est couché et le (1) quand c’est debout. — Est-ce qu’ils changent de longueur ? — Non, ça ne change pas de longueur. — Quelle est la différence entre les deux ? — Les deux sont la même chose (arguments de compensation). — Et pour l’escargot ? — Quand le mur est debout, (1) est plus long et (5) est plus court ; non ! c’est l’inverse… » Conclusion finale : « Ils sont tous les mêmes. »

Dia (11 ;8) lorsque y est face à x’, trace une horizontale et une verticale correctes. « Comment peut-on savoir que le chemin est vraiment droit ? — Si le mur se baisserait ça ferait tout droit. » Pour y de côté, Dia trace d’emblée une oblique également correcte. « Comment tu sais que c’est droit ? — Je peux baisser le mur. — Il est comment (baissé) ? — Plus court et droit. —   [p. 113] C’est la même longueur que si le mur est dressé ? — Non. —  Alors comment tu sais que c’est le plus court chemin ? — Je ne sais pas. » Mais tôt après, en n’ayant employé que cette même méthode (trajets obliques et vérification par rabattement), Dia conclut : « C’est l’angle qui change, mais c’est toujours le même chemin (dressé ou rabattu), qui est le plus court. » Dia parvient ainsi au stade III.

On voit assez par ces quelques exemples, dont on aurait pu encore allonger la liste, que l’idée d’égaliser des chemins différents par une compensation de leurs segments respectifs (si A l’emporte sur B en l’un des deux trajets, B l’emportera sur A dans l’autre, etc.) n’est pas l’idée exceptionnelle de quelques sujets cherchant l’originalité, mais caractérise bien un niveau distinct. En ces conditions l’interprétation la plus simple consiste à admettre que la différenciation des points de vue, insuffisamment poussée, et en tout cas peu explicitée au niveau IIA, d’où leur coordination relativement facile, devient le problème central pour les sujets de 9-10 ans, plus soucieux de précision : la raison en est qu’à l’analyse ils croient apercevoir des contradictions, notamment entre ce qui est observable quand le mur est rabattu ou dressé, mais aussi, ce qui est bien plus remarquable, entre ce que Fré appelle la ligne « suivie par un objet », donc métrisable de proche en proche, et la ligne « de vue », c’est-à-dire perçue projectivement. Ce serait alors un effort pour lever ces contradictions apparentes qui conduirait le sujet à l’idée de compensation : si un trajet Tl paraît plus court que T2 en une situation et plus long en une autre, et si les divers points de vue différenciés sont légitimes, il ne reste, en effet, qu’un procédé de coordination, qui est de les considérer comme égaux, mais alors moyennant une compensation dans les variations de leurs segments respectifs.

Si cette interprétation se justifie, on peut donc dire qu’il y a progrès de la différenciation des points de vue en passant du niveau IIA à IIB, mais que leur coordination demeure insuffisante. Ce n’est pas qu’elle soit en régression, puisque celle qui caractérise le niveau IIA était facilitée par une différenciation peu poussée ou peu explicite. Mais la coordination nécessaire à la nouvelle situation consistera non plus à invoquer des compensations invérifiables sans mesures, mais à comprendre ces deux vérités que l’espace projectif ne conserve pas les longueurs et surtout que celles-ci demeurent métriquement les [p. 114] mêmes en vertical et en horizontal, ce qui revient à dire que l’espace euclidien est isotrope, de telle sorte qu’une somme de segments droits demeure invariante indépendamment de leur orientation.

Voici des exemples :

Mar (11 ;4) : construit le chemin juste ; on lui propose xx’ y : « Quel est le plus court ? — Celui-là (juste). — Pourquoi ? — Il est en ligne droite. —  Comment tu le constates ? — Il n’y a pas d’autre détour, il n’y a pas d’angle droit. —  Comment en être sûr ? — Si on pouvait y replier. » On déplie. « Quand le mur est aplati ou en haut, ça ne change pas, c’est pareil, la ligne ne change pas. » On dessine un chemin voisin en déclarant que dans le sien le segment H est plus long. Elle répond qu’« alors ils sont peut-être égaux » mais garde sa conviction parce qu’avec le mur couché son chemin « est en ligne droite » et que, une fois redressé « ça ne change pas ».

Chr (12 ;0) indique le chemin le plus court « parce que la ligne n’est pas brisée ni courbe, elle est droite. Vne ligne droite est toujours plus courte. —  (On suggère xx’ y.) — C’est une ligne brisée. —  Comment on peut dire que (1) est droit et (2) brisé ? — (1) est brisé à cause du mur qui fait une perpendiculaire au sol ; (2) on pourrait dire que ça fait deux lignes brisées ; ça tourne et puis en plus le mur est perpendiculaire au sol ». On propose de déplier ; le sujet trace alors (3), en corrigeant une légère courbure qui subsistait en (1). On redresse le mur. « Lequel est le plus court, maintenant ? — Le (3) toujours. — Pourquoi ? — Parce qu’elle est droite. — (3) est droite ? — Elle est brisée à cause du mur perpendiculaire au sol. Mais elle est toujours droite, elle n’a pas changé de position, elle n’a pas dévié, elle est restée droite. » Situation III (la maison de carton) : « Elle (trajectoire juste) est droite, parce que si on mettait la maison à plat, il arriverait en premier lieu à la salade parce que ce serait tout droit. »

Lip (12 ;1) dessine d’emblée la droite « parce que le plus court chemin c’est la ligne droite. — Comment peut-on savoir que c’est une droite ? — En dépliant la feuille… Si on déplie ça fera une ligne droite. — On ne peut pas en imaginer d’autres qui soient plus courtes et plus droites ? — Il n’y a qu’un chemin qui est le plus court et le plus droit. —  Alors la règle est toujours la même ? — Oui, toujours ».

Oli (12 ;1) pour vérifier son chemin à la question « Comment peut-on savoir ? » propose des mesures au centimètre : « Y a-t-il autre chose qu’on peut faire ? — On peut coucher le mur, le chemin sera droit. — Les autres aussi ? — Pas tout à fait. »

Il semble ainsi qu’il n’y ait aucune différence entre ces réactions et celles du niveau HA où les sujets disaient déjà qu’en mesurant les trajets sur le mur couché ou dressé « c’est [p. 115] toujours la même longueur » (Amé) et surtout qu’« on ne peut pas avoir deux chemins (distincts) qui sont droits » (Jan). Les seules nuances, mais difficiles à évaluer, qui semblent caractériser ces sujets par rapport à ceux de 7-8 ans (indépendamment de toute l’étape IIB qui les a séparés) sont qu’en IIA le sujet est rapidement certain de sa solution et ne cherche pas de preuve, le rabattement du mur lui étant suggéré d’une manière ou d’une autre et lui fournissant simplement un indice de plus, tandis que les sujets du stade III sont sensibles aux objections et voient dans le rabattement une démonstration utile : c’est ainsi que Mar, Lip et Oli la proposent à la question « Comment être sûr ? ». Quoi qu’il en soit, il semble évident que la coordination des points de vue et l’intégration en un système total sont à un rang supérieur à ce niveau qu’en IIA, en tant qu’atteignant un palier qui reste définitif chez l’adulte moyen.

Les propos catégoriques de Lip suivant lesquels la droite reste « toujours » le plus court et l’unique plus court chemin nous ramène à notre problème de départ : en quoi consiste la généralisation constructive lorsqu’il s’agit moins d’accroître l’extension d’une loi considérée dès le début (du moins dès le niveau IB) comme universelle, que de la justifier, et de rendre compte de ses exceptions apparentes et surtout de l’appliquer en des situations où, au premier abord, on n’est plus en présence de droites mais seulement de segments de droites différemment orientés.

Le propre de la généralisation consiste dans de tels cas en différenciations et intégrations, mais il reste à préciser leur nature. Pour ce qui est des premières, elles peuvent être imposées du dehors et ne donner lieu qu’à de simples constatations (ou abstractions) empiriques à titre de variations « extrinsèques » imposées par l’expérience : par exemple les sujets du niveau IB sont capables (du point de vue de l’escargot) de tracer une droite à peu près correcte en visant le but à atteindre, mais en regardant ce chemin de côté ils le considèrent comme cessant d’être droit, d’où la dissociation de Val entre le plus droit et le plus court, l’opinion de Kar qu’« aucun » n’est plus court et son incapacité de décider « si c’est deux traits ou un seul ». D’autre part, selon que le mur est couché ou dressé « ça change », etc. En de tels cas les extensions admises par le sujet sont certes déterminées par les propriétés en compréhension, [p. 116] communes à certaines situations et différentes en d’autres, mais il ne s’agit que de caractères constatés et non construits, de telle sorte que les généralisations admises ou refusées sont dictées de l’extérieur, ce qui est le propre de celles que nous appelons inductives (et qui dans le cas particulier sont surtout remarquables par les limitations extrinsèques de leurs extensions). Il peut alors être préférable de ne pas parler encore de différenciations, celles-ci comportant un facteur actif, mais simplement de dissociations, faute en particulier d’intégrations.

Dès le niveau IIA interviennent, par contre, certaines différenciations d’un autre type, qui se fondent naturellement encore sur des observables, les relations spatiales étant communes à l’objet et au sujet, mais les enrichissent de propriétés construites par ce dernier. Lorsque celui-ci trace une droite xy malgré les deux plans V et H, il sait bien que vue de côté elle n’est pas droite, mais il sait aussi qu’en la regardant en visée de « bout » il la retrouve rectiligne. Quand le mur est couché il voit bien que le tableau est différent de celui du mur dressé, mais une mesure donnerait la même longueur (Amé) et malgré la différence « ça n’a pas changé évidemment » (Jan). En d’autres termes les différenciations en jeu présentent alors ce caractère remarquable (et opératoire) de comporter une composition de transformations et d’invariances, ce qui revient à dire qu’il s’agit cette fois de « variations intrinsèques » inhérentes à un système et comportant ainsi une part d’intégration. Il y a donc là, de ce fait, l’intervention d’un facteur de généralisation constructive même si le sujet ne dégage pas encore explicitement le jeu des variations qu’il comprend en ses actions.

Avec le niveau IIB, en revanche, nous nous trouvons en présence d’une situation paradoxale : un système de variations intrinsèques, entièrement construit par le sujet, à telle enseigne qu’il reste imaginé et ne correspond pas à la réalité : du fait que les segments varient selon les chemins proposés et qu’ils paraissent varier selon que le mur est vertical ou rabattu, ces sujets en viennent à l’idée, très opératoire et notamment indispensable dans les questions d’invariance, que les variations pourraient se compenser. Mais au lieu d’appliquer le schème à un problème de conservation (par exemple à l’isotropie de l’espace sans laquelle les solides se déformeraient sans cesse) ils [p. 117] cherchent à l’attribuer à des trajets différents dans l’hypothèse qu’on pourrait les démontrer égaux. Il y a là un bel exemple de généralisation constructive mais erronée, dont on sait d’ailleurs que l’histoire des sciences en donne bien des exemples. Dans le cas particulier l’erreur est néanmoins due à un progrès dans les différenciations qui, étant plus poussées et surtout plus explicites, donnent une impression de contradictions : le modèle des compensations est alors invoqué dans le but de les lever, mais aboutit, faute de justification, à une intégration inadéquate, en particulier quant aux rabattements.

L’intégration est au contraire réussie lorsque le sujet comprend (en actes ou en paroles) l’isotropie de l’espace. Il est remarquable à cet égard que les sujets du stade III ne se contentent pas de soutenir que le rabattement et le redressement du mur conservent la longueur de la ligne, comme le disent déjà ceux du niveau IIA, mais qu’il leur arrive de préciser que les changements de plan ne produisent aucune « déviation » : la ligne « est toujours droite, elle n’a pas changé de position (relative), elle n’a pas dévié » dit ainsi Chr. Or, c’est justement le propre d’un espace homogène et isotrope en opposition avec un espace centré (comme celui d’Aristote) que de conserver l’indéformabilité des systèmes indépendamment de leur orientation et c’est seulement une fois le principe admis que la métrique des chemins « suivis avec un objet » (comme disait Fré) est conciliable avec les modifications projectives, les divers points de vue devenant ainsi à la fois différenciables, mais par des compositions de variations « intrinsèques » et intégrables en un tout cohérent.