Chapitre XIII.
Un cas de généralisation constructive propre au stade III ^{1 a} 🔗

Seuls ont été interrogés des sujets de 12 à 15 ans. Les plus jeunes d’entre eux donnent des réactions du stade III avec des résidus d’opérations « concrètes » (stade II) :

Cla (12 ;6) pour une plaque rectangulaire : « Il faut trouver le milieu, le point d’équilibre. » Elle divise en 2 le grand côté et trace les deux médianes : « Là où ces deux lignes se rejoignent c’est le centre. —  Il y a combien de ces lignes en tout, possibles avec le rectangle ? — (Elle le place selon une diagonale [p. 214] sur le bord de la table.) — Alors ? — Ça fait 4 lignes (possibles). — C’est tout ? — Oui, je pense, on ne peut pas faire d’autres lignes. —  Et pour trouver le point d’équilibre ? — 4, non 2. Une, ça ne va pas, avec 2 c’est juste, avec plus (4) c’est toujours le même. » Avec un disque, par contre : « 2 lignes, il ne peut pas y en avoir 4 parce qu’il n’y a pas de coins. Il y en a 2 principales mais il y en a des tas d’autres, mais ça revient au même. —  C’est différent du rectangle ? — Le rectangle c’est où on ne peut pas aller à l’infini, il n’y a que 4 lignes. Sur le disque ça va jusqu’à l’infini. » Avec un disque irrégulier (avec 5 bosses) elle commence par croire que l’équilibre est impossible « parce qu’on ne peut faire qu’une seule ligne. — Dessine moi. — (Elle dessine deux axes perpendiculaires.) Non, il y a forcément une moitié. —  Mais 4 lignes ou 2 ? — C’est comme le rectangle, il y en aura 4, non 2, on ne peut pas en faire plus parce que ça tiendra en équilibre des deux côtés. — Essaie. — (Elle essaie sur le bord de la table.) Ça en fait 4 ». Rectangle irrégulier : « 2 lignes. On ne peut pas en faire plus. —  Pourquoi ? — C’est facile à observer : il y a un point (bosse) mais on ne peut pas faire plus de 2 lignes parce que les points ne sont pas pareils. Il n’y en a forcément que 2 car on ne peut diviser la figure qu’en 2. Là (rectangle régulier) il n’y a que des côtés égaux (et pas ici)… Il faut que les 2 parties aient le même poids. — (Rectangle à 1 angle tronqué.) — Il manque un bout d’un côté, on prend un peu plus de l’autre et ça revient au même. — Pourquoi certaines figures n’ont que 2 lignes et d’autres plus ? — Parce qu’on peut faire plus de choses avec des côtés égaux et des angles égaux. » Disque à poids irrégulier : « Ah oui c’est plus épais ici (un côté). » Elle le place au bord de la table en tournant jusqu’à l’équilibre : « Il n’y a qu’une ligne ! Ça fiche tout en l’air ce que j’ai dit avant… Mais c’est un truc pas normal ! —  On ne pourrait pas tracer une 2^e ligne ? — Non. » Elle essaie et découvre qu’on peut tourner le disque sur le bord de la table et que : « Ça donne chaque fois une ligne. —  Qu’est-ce qu’elles ont de commun ? — Elles se traversent toutes par le point milieu. Ah ! Là aussi (elle reprend toutes les formes précédentes y compris les rectangles) ! Oui, Monsieur, il y en a partout. Il y a une infinité partout parce qu’on peut tourner toujours. —  Finalement qu’est-ce que tu as découvert ? — Que partout il y a des lignes à l’infinité qui traversent le même point. — Et puis ? — Pour trouver l’équilibre il faut (et il suffit de) deux lignes, pas forcément au milieu (spatial) de la figure. » Par contre pour un volume épais (parallélépipède), elle hésite quant à l’unicité du centre de gravité : « S’il est là et puis qu’on tourne ça ne change rien. —  Mais tu m’en montres plusieurs ? — Ça peut en avoir plusieurs parce que ça a un volume. »

Amb (12 ;6) mêmes réactions. Après examen au bord de la table il conclut qu’il y a « 2 lignes pour le rectangle, 4 pour le carré et une infinité pour le disque ». Mais dans les disques comme dans les quadrilatères il y a « toujours 4 poids » et « ils seront toujours égaux mais pour les figures (irrégulières) ils auront une apparence irrégulière ». Pour les volumes il prévoit 2 centres de gravité, mais dont chacun aura « toujours 4 poids égaux ».

Wys (12 ;10) prévoit de même 4 parties et 4 poids égaux pour les quadrilatères, qui « seront exactement à la même distance du centre », mais pour les disques les poids « c’est que des points. Sans les points il n’y aurait rien rien. —   [p. 215] Combien de droites y a-t-il ? — Autant qu’il y a de points sur les bords du disque ». Pour le volume Wys généralise les poids par parties et par points : il n’y a qu’un centre de gravité « dans n’importe quelle position, parce qu’il y aura toujours les mêmes poids de chaque côté et le même nombre de points aussi ».

Rie (13 ;9) situe les poids des rectangles en ses quatre quarts, tandis que « sur le disque c’est le même poids partout » et les lignes d’équilibre peuvent être multipliées « parce qu’il n’y a pas de côté bien défini ».

Sop (13 ;2) situe le poids du rectangle « des quatre côtés ». Sur le bord de la table : « Il faut combien de lignes pour trouver le centre ? — 2. —  Pas moins ? — Non. — Et en tout ? — 4. — Je te demande toutes les possibilités qu’on a ? — Alors 4. —  Et avec le disque ? — Ça pourrait être infini. —  Pourquoi ? — Parce qu’il y a un nombre de points infini dans le cercle. » Par contre pour un disque à poids asymétriques « il y en a 2 (de lignes possibles), je crois. — Mais dans l’autre disque tu disais une infinité ? — Oui, mais le cercle était partout de même poids ».

Gab (14 ;1) évolue comme Cia au cours de l’interrogation. Au début le rectangle ne comporte que 4 lignes possibles d’équilibre au bord de la table « parce qu’on ne peut prendre que les 2 diagonales et les 2 lignes qui partent du milieu de chaque côté. — Pourquoi ? — Mais pourquoi, je ne vois pas, je ne sais pas », tandis que pour le disque régulier « ben ! une infinité ». Quant au disque irrégulier il y a 5 lignes possibles (à cause des 5 bosses) : « … Non là je crois aussi une infinité parce que c’est un bout de disque. —  Sûre ? — Non, mais tous les points de chaque côté de la figure devraient avoir une ligne qui passe par le centre. » Néanmoins, quand on reprend un rectangle (tronqué à un angle), elle ne voit que « 4 lignes » possibles bien que l’ayant tourné plusieurs fois. Enfin avec un rectangle à poids asymétriques, elle constate que les diagonales ne donnent pas le centre de gravité sur le support et conclut alors : « C’est la même chose qu’avec le rond. Il doit y en avoir beaucoup (de lignes d’équilibre au bord de la table). — Combien ? — Une infinité et (spontanément) dans l’autre rectangle aussi ! »

Nous avons multiplié ces citations pour que le lecteur ne nous accuse pas nous-mêmes de généralisations outran- cières. Avant de les commenter en comparaison avec ceux du niveau IIIB, bornons-nous à signaler le double saut brusque qui conduit de 2, 4 ou 5 lignes pour certaines figures à l’« infinité » pour le disque, ou de 2 et 4 pour le rectangle à la même infinité que découvrent finalement Cia et Gab. Or, en d’autres domaines, l’infini ne s’impose qu’après une lente progression. Lorsque nous avons demandé jadis, avec B. Inbelder, à des sujets préopératoires ou du niveau de 7 à 11-12 ans combien de points on peut trouver entre deux repères A et B (distants [p. 216] de quelques centimètres), nous avons trouvé un lent accroissement avec l’âge : 20 ou 30, puis 50, 100, 1 000, etc., et enfin seulement « autant qu’il y a de nombres ». Dans le présent cas, au contraire, le sujet passe sans transition de 2-5 à l’infini ². Il semble y avoir là l’indice de deux modes de raisonnement ou de généralisations, mais, pour le justifier, voyons d’abord les réactions du sous-stade suivant.

Voici des exemples, qui se situent tous à 14-15 ans :

Bad (14 ;10). Le centre « c’est le point qui réunit toutes les distances égales », voulant dire qui est au milieu de toutes les lignes possibles : « Il y a combien de ces droites (il en a dessiné 6 sur un rectangle) ? — Sur toute la surface… c’est infini. » Figures irrégulières : « On en trouve aussi sur toute la surface, mais il en faut toujours en tout cas deux pour trouver le point (le centre). » Volume en différentes positions : le centre « va rester au même point parce que la figure ne va pas changer déformé et de volume ».

Cre (14 ;8). Les poids du rectangle : « Il y en a partout. »

Dec (15 ;6). Lignes du rectangle : « Une là ou là (au hasard, sans débuter par les diagonales), enfin ça fait une infinité. »

Mil (15 ;6) commence par les diagonales. « Il y a combien de droites possibles ? — Une infinité. » Rectangle à poids décentrés : « S’il y a plus de poids d’un côté, le centre ne sera pas à l’intersection des diagonales. »

Pen (16 ;6) dit, du poids des rectangles, qu’« il y en a un seul… mettez deux, un entier » et toujours deux moitiés des côtés opposés du centre de gravité.

Le propre de ces réactions est donc de ne plus imaginer aucune opposition entre les quadrilatères et les figures circulaires quant au nombre des lignes d’équilibre possible au bord de la table ni quant à la répartition des poids. La question est donc de comprendre pourquoi cette réaction apparemment si naturelle est en fait si tardive et pourquoi les sujets du niveau IIIA de 12-13 ans s’accrochent, avec l’obstination que l’on a vue, à l’idée d’une différence aussi notable que celle de 2 à 4 ou 5 et d’une infinité de lignes, ou de poids massés par paquets en [p. 217] fonction des angles des quadrilatères ou répartis « partout » (Rie et Sop) et sur tous les « points » (Wys) des figures circulaires.

Les sujets du niveau IIIB ne nous renseignent pas sur les raisons qu’ils ont d’attribuer une infinité de lignes possibles aux quadrilatères parce qu’il va pour eux de soi, sans le dire et même sans avoir à y penser, qu’on peut les tourner en tous sens et donc trouver tous les sectionnements imaginables passant par le centre. Par contre les cas de Cia et de Gab nous apprennent avec précision comment le sujet a passé de 1-4 à l’infini. Chez Cia c’est en tournant un disque irrégulier sur le bord de la table que le sujet découvre la possibilité de faire de même de toutes les figures : « Oui, Monsieur (sans question de celui-ci)… on peut tourner toujours », d’où « partout des lignes à l’infinité » y compris les rectangles. Ce que le sujet généralise est donc son opération de tourner et non pas les propriétés figurales de l’objet, qui bien entendu doivent se soumettre à l’action, mais n’en sont pas la source. Chez Gab c’est réciproquement le fait qu’une propriété figurale (les diagonales du rectangle) ne s’appliquent pas à un rectangle à poids irréguliers qui l’amène à cette assertion surprenante « c’est la même chose qu’avec le rond… une infinité ». Autrement dit, il suffira de tourner ce rectangle pour que, de ce fait, il devienne assimilable à un cercle, car (et ceci semble évident pour Gab bien qu’il ne le dise pas) le propre d’un rond est précisément, ou bien de tourner, ou de comporter une infinité de diamètres indiscernables de proche en proche, le sujet étant alors contraint d’imprimer une rotation à son regard lui-même sur le pourtour de l’objet à analyser.

On comprend donc pourquoi la dualité de structures des quadrilatères et des figures circulaires conduit les sujets du niveau IIIA à deux formes aussi différentes de généralisations en s’appuyant, soit sur les observables spatiaux de l’objet, soit sur la géométrie du sujet en tant que système d’actions et d’opérations. Un quadrilatère n’est pas une figure suggérant la rotation et, pour y voir une infinité de passages possibles selon les positions qu’on obtiendrait en le tournant, il faut, comme c’est le cas au sous-stade IIIB, se placer d’emblée dans la perspective des opérations du sujet, bien qu’il s’agisse d’un problème de physique avec nécessité de contrôles expérimentaux. Au niveau IIIA, au contraire, le sujet ne cherche en [p. 218] l’objet que ses caractères spatiaux spécifiques, d’où le rôle des côtés et des angles, qui suggèrent 4 lignes privilégiées et rien de plus si l’on en reste aux données objectives en tant que figuratives, tandis que le cercle, n’ayant pas les limitations, comporte une infinité de diamètres possibles. S’appuyant ainsi sur les seuls observables le sujet ne raisonne alors que par généralisations inductives et locales, donc par catégories d’objets, comme si les opérations réalisables ne dépassaient pas les frontières de ces propriétés extérieures. En ce qui concerne les poids, ils sont également conçus comme distribués en fonction de ces propriétés figurâtes objectives. Dès que domine, au contraire, la géométrie du sujet soit à propos des rectangles, soit favorisée plus rapidement dans le cas des cercles (et on a vu pourquoi), la généralisation devient constructive et elle l’est même d’emblée à un degré tel qu’elle engendre ce nouveau contenu qu’est l’« infinité », radicalement inobservable sur les objets en tant que tels, c’est-à-dire qu’observés perceptivement.

Nous avons cru utile de terminer l’exposé des faits réunis en cet ouvrage, par cette brève analyse d’une situation, à la fois assez spectaculaire et à bien des égards paradigmatique, où les sujets d’un niveau ordinairement caractérisé par ses pouvoirs hypothético-déductifs (et qui en font usage en ce qui concerne les cercles) présentent deux sortes de généralisations en ce cas remarquablement différentes, selon que le point de vue adopté pour interpréter des phénomènes physiques est celui de la géométrie figurative et statique de l’objet ou celui de la géométrie opératoire du sujet. Cette dernière n’oublie naturellement pas l’objet mais, pour le comprendre, elle le plonge dans le monde des transformations possibles sans s’en tenir aux observables. Cet élargissement fondamental du secteur considéré conduit alors la généralisation constructive à remplir le double rôle que nous lui avons constamment reconnu : celui d’élaborer non seulement des formes nouvelles (logico-mathématiques ou attribuées aux objets de façon causale), mais encore des contenus non donnés au départ et engendrés par ces formes, et cela même sur le terrain physique sans se limiter aux domaines exclusivement déductifs.