Chapitre IX.
Un problème de mouvements relatifs ^{1 a} 🔗

Les sujets de 4 à 6 ans en moyenne admettent tous que la planchette va toujours plus loin que le rouleau mais il ne s’agit encore que de la généralisation inductive d’une relation qualitative, car ce « plus loin » n’est pas encore quantifié en termes de moitié ou de double. En outre, il est intéressant de distinguer un niveau IA où le sujet, ne tenant [p. 139] pas encore compte des références extérieures, s’imagine que le rouleau recule pendant que la planche avance :

Rob (4 ;6) : « Si je pousse la planche sur le rouleau (octogonal) jusque-là (60 cm), qu’est-ce qui va arriver ? — Je crois qu’après la route va faire ça (il avance le rouleau jusqu’à l’arrivée de la planche). — Exp. — (Le rouleau est) là et (la planche) là. — Et si je retourne en arrière ? — (Plus long chemin du rouleau.) — Regarde (nouvelle exp.) : qui a fait le plus long chemin ? — La planche. —  Et le plus court ? — Le rouleau. » Il arrive alors à d’assez bonnes généralisations, non loin du milieu jusqu’au moment où elles le conduisent aux reculs du rouleau : « Si je pousse la planche par là, où va le rouleau ? — Par là (direction inverse). — Regarde (exp.), qu’est-ce qui s’est passé ? — Montre juste. » On prend un autre rouleau, cette fois rond : « Il roule bien ! — Si je pousse la planche là où va le rouleau ? — (Direction inverse.) — Regarde tu t’es trompé ? — Il doit aller comme ça (il essaie de faire aller la planche dans un sens et le rouleau dans l’autre). »

Mir (6 ;0). On fait une démonstration de mouvement de la planche de 35 cm, puis on met un bout rose sur la ligne d’un nouveau départ de 35 cm en demandant où ira le rouleau : Mir indique un recul de 20 cm et le montre même sur le tapis. On fait l’exp. : « C’est comme tu pensais ? — Oui. — Mais il n’est pas allé là (recul) ? — Non là. — Et tu peux me montrer où il était d’abord ? — (Elle recule de 10 cm son point de départ). » Dans la suite et malgré les indices, elle montre comme trajet de la planche l’extrémité arrière au départ et l’extrémité avant à l’arrivée, ce qui double son chemin mais montre le peu de capacité du sujet de s’appuyer sur des références significatives.

Cat (7 ;0), malgré son âge, se borne, après une prévision d’égalité, à dire que « la planche a fait plus, elle est allée beaucoup plus loin que le plot » ; ensuite elle a avancé « d’un petit pas » (avec mêmes évaluations sur la table qu’entre les mobiles, sans aucune composition des mouvements). On lui fait pousser un autre rouleau sans la planche : « Et maintenant si on met la planche dessus : « Si on tourne comme ça, la planche va se reculer, elle va avancer en arrière… non en avant. »

Le premier point à noter est qu’il n’y a pas prévision (Rob et Cat) de l’avance de la planche sur le rouleau. Mais une fois les constatations faites, la généralisation est facile mais reste toute qualitative, entre un gain d’« un petit pas » et de « beaucoup plus loin ». En outre, comme ces sujets n’utilisent aucune référence (voir Mir malgré les rubans roses) autre que la distance entre les deux mobiles, ils en viennent à supposer un recul du rouleau et l’idée dure jusque chez Cat, malgré ses 7 ans, d’une direction éventuellement inverse entre les mouvements de la planche et du rouleau. On voit combien, en ces réactions [p. 140] initiales et d’autant plus instructives, le sujet reste loin de la relation selon laquelle la marche du rouleau entraîne celle de la planche, puisqu’à ce niveau IA, leurs trajets sont même conçus comme de sens opposé.

Le niveau IB est intermédiaire entre le précédent (sauf ces reculs) et le niveau IIA où l’avance de la planche est quantifiée systématiquement :

Cri (5 ;6) prévoit que le rouleau arrivera au même point que la planche, puis constatant l’avance de celle-ci, il l’explique : « Parce que la planche est plus grande et le rouleau on voit comme ça qu’il est plus petit (il compare les longueurs). » Il prédit dans la suite à peu près le milieu, puis lorsqu’on prend un gros rouleau un peu plus loin que le milieu : « (Exp.) C’est juste ? — Non parce que le rouleau est trop grand. »

Ste (6 ;3), après constatation, montre à peu près au milieu pour des trajets de 20 à 50 cm, mais pour 70 indique les 3/4.

Jel (6 ;6) est prudent dans ses prévisions : « Je ne sais pas encore », puis il prévoit que la planche arrivera au « milieu parce qu’il y a plusieurs plats là (faces d’octogone) et quand il y a (roulant au-dessus) quelque chose de grand (la planche) ça va toujours au milieu ». Un cylindre de 6 cm de diamètre « roulera plus vite », mais cela restera au milieu « parce qu’il est rond et puis c’est la même planche ». Pour un cylindre de 4 cm, par contre, il indique les 2/3 sans raison, mais avec difficultés de repérage. Le dépassement de la planche est dû à ce qu’« elle roule pas, elle avance, tandis que le rond il va en arrière. —  Il n’avance pas ? — Non… oui (mais) la planche va plus vite parce qu’elle est plate et le rond est rond. — Qu’est-ce que ça fait ? — Parce que la planche est plus longue et le rond plus court. —  Et si l’on coupait la planche ? — Le rond viendrait ici (un peu moins loin) ». Exp. : « On dirait qu’il (le rond) va en arrière. — On ne peut pas faire que ça reste ensemble ? — Non, parce que la planche va plus vite. Si elle allait moins vite, alors ça resterait ensemble. » Jel en vient à des prévisions exactes de moitiés et passe ainsi au stade II.

Ces réponses sont intéressantes à deux points de vue. En premier lieu les sujets croient encore (sans plus parler de recul du rouleau, mais le principe reste le même) que les deux mouvements de la planche et du rouleau sont indépendants l’un de l’autre, ce qui ne sera plus le cas au niveau IIA : la planche va plus vite « parce qu’elle est plus grande » (Cri) ou « parce qu’elle est plus longue » (Jel) et si on diminuait sa vitesse tous deux « resteraient ensemble » (Jel). En second lieu, et ceci durera au cours du stade II, le retard du rouleau est dû au fait qu’étant « rond » sa circonférence s’oriente vers le dessous, de [p. 141] telle sorte qu’il « va en arrière » (Jel), ce qui rappelle les reculs de IA, mais exprime désormais simplement la difficulté à traduire ce mouvement circulaire en un trajet linéaire. Et cela dure même lors de la constatation : « On dirait qu’il va en arrière » (Jel).

Dès le niveau IIA les mouvements des deux mobiles sont solidaires, ce qui ne signifie encore en rien la compréhension du mouvement rotatif, mais simplement celle d’une dépendance. D’autre part les progrès se marquant aussi quant aux repérages (bien qu’en IIA il y ait encore souvent indifférenciation entre le dépassement et le trajet), les sujets en arrivent à une quantification généralisable fondée sur la moitié :

Fab (7 ;") prévoit encore que le rouleau ira aussi loin que la planche et, malgré constatation, elle revient à cette fausse anticipation « parce qu’ils roulent ensemble », ce qui en soi est un progrès sur l’idée d’indépendance. Néanmoins elle trouve ensuite que « c’est normal » de retrouver toujours que « le rouleau va venir au milieu », mais ne découvre aucune explication.

Pic (7 ;8), après constatations, indique chaque fois « la moitié », mais sans explication. On lui présente alors le prisme suspendu, dont elle dit « on peut le tourner, et puis il ne bouge pas, mais ça fait aussi avancer la planche », ce qui est à nouveau la reconnaissance d’une dépendance. Mais l’intérêt est que, ne retrouvant plus la règle de la moitié (car la planche fait « 2 pas » ou « 4 pas » quand le rouleau octogonal en fait aussi 2 ou 4), elle y renonce allègrement lorsqu’on revient sur la table sans suspension : « 4 pas et 4 pas. —  Ils sont arrivés au même endroit ? — Oui. — Mais regarde. — La planche est allée plus loin. —  Elle est allée plus vite ou la même chose ? — C’est la même chose. » On voit combien ces généralisations demeurent extensionnelles, dans l’erreur comme dans l’adéquation.

Vad (8 ;9) prévoit que la planche ira « un peu plus loin », puis après constatations, qu’« elle fait toujours le double du rouleau. — Pourquoi ? — Je ne sais pas ». Le dispositif de suspension ne l’éclaire en rien mais il maintient la différence avec ce qui se passe sur la table où la planche « fait le double ». On cherche à l’aider en évoquant un escargot qui marche sur une planche elle-même en mouvement et il reconnaît que pour aller plus vite il doit « prendre la planche et en même temps marcher. — Alors quand les deux avancent en même temps on va plus vite ? — Oui. — Est-ce que ça (suspension) ressemble à ce qu’on a fait avec le tapis ? — Oui, un petit peu, parce que pendant que la planche marche le rouleau marche aussi ». Il y a donc dépendance mais sans préciser le sens.

Syl (8 ;3) : « La planche fait toujours un pas de plus que le rouleau. —  Pour 2 ? — 4 pas (après prévision d’égalité). — Pour 3 ? — 6 pas. » Explication : [p. 142] « Parce que le rouleau il est rond alors il tourne… et la planche elle reste dessus », donc le rouleau revient (en partie) sur lui-même en tournant, d’où son retard. Avec la suspension, Syl, comme Pic, trouve une loi d’égalité et veut ensuite la généraliser aux situations ordinaires.

Fer (8 ;11) : même explication : « La planche est dessus, le rouleau est en bas et comme la planche est longue (et pas ronde) elle va plus loin. »

Bir (8 ;11), par contre, commence par ce qui semble être un parfait modèle de mouvement rotatif : « Le rouleau est allé moins loin que la planche, parce que la planche avance sur le rouleau et le rouleau avance sur la table… Le rouleau fait avancer la planche : elle va arriver là. » Mais ce n’est qu’une apparence et Bir précise sa pensée de la manière la plus claire en disant que si la planche fait ainsi « le double du rouleau », c’est parce que celui-ci « fait des tours sur place » (d’où le rapport 1 à 2), tandis que la planche « elle est plate et le rouleau est rond, la planche avance comme ça (geste de translation) et le rouleau avance en tournant (geste clair d’épicycloïde avec boucles et non pas de cycloïde, ce qui, effectivement, ralentirait la « marche ») ».

Lur (9 ;1) prévoit encore l’égalité des trajets. Très étonné du contraire il l’explique immédiatement par le fait que « le rouleau a tourné et la planche a avancé », cette opposition ayant nettement le sens de celles de Bir, etc., quant au dispositif de suspension il n’introduit aucun changement dans la compréhension.

Examinons encore pour comparaison des sujets du niveau IIB. En règle générale ce niveau est celui où les sujets, sans atteindre pour autant les notions de mouvements ou vitesses relatifs, commencent à tenir compte dans les repérages spatiaux de deux systèmes de référence à la fois. Cette acquisition se manifeste dans le présent cas (entre autres) par le fait que les indications sur le trajet des deux mobiles deviennent précises et ne se contentent plus, comme souvent au niveau IIA, d’utiliser le seul dépassement pour montrer le trajet de la planche. En outre, la généralisation inductive de la loi de la double longueur du chemin de cette planche devient plus complète sans que le sujet cède aux contre-suggestions ou hésite en présence de trop grandes différences entre les formes ou diamètres des rouleaux. Par contre, en ce qui concerne la raison de cette loi, les explications ne sont guère supérieures à ce que l’on vient de voir au niveau IIA :

Ast (10 ;7) trouve rapidement la loi « Ah ! c’est la moitié » mais ne peut d’abord rien en dire de plus que « le rouleau ne peut pas toujours suivre ». Par contre avec le bâton carré : « Quand on tourne c’est normal que la planche avance… (mais) quand on avance d’un quart (un côté du bâton) ce côté va [p. 143] dessous (contre le tapis), ça décale tout et la planche a le temps de faire un quart de plus. » La planche fait donc un quart de plus par rapport au plot et deux par rapport au tapis.

Rod (10 ;2) débute par des propos assez primitifs : « La planche avance plus parce qu’on doit la pousser, le rouleau va plus lentement parce qu’il va presque de lui-même », mais l’explication s’oriente ensuite vers le modèle du « rond » et du « plat » : « Parce que le rouleau il doit tourner et la planche doit avancer, alors comme ça glisse un peu ça va tout seul… parce que le rouleau n’est pas plat : si on avait deux planches l’une sur l’autre ça ne ferait pas la même chose. »

Odi (10 ;10), par contre, semble proche du mouvement rotatif : « Quand ce rouleau roule, ça fait actionner la planche mais elle peut aller plus vite. —  Et pour que le rouleau n’arrive qu’au tiers, on pourrait ? — Il faudrait une planche très grande : la planche va plus loin et ça empêche le rouleau de continuer. » Bâton carré : « Ça fera toujours la moitié, je crois que c’est certrain. — Pourquoi ? — C’est toujours la même chose : le bâton va moins vite parce qu’il pousse la planche (le mouvement rotatif se réduit ici à une perte de vitesse pour le mobile actif, mais il voit alors que tous deux sont actifs) : Non, la planche pousse le bâton mais c’est (celui-ci) le soutien de la planche. —  Alors ? — Le carré avancera et ça fait avancer la planche. — Et si on pousse la planche ? — Alors la planche fait avancer le carré. » Le dispositif de suspension ne l’aide en rien à comprendre : « Non ! » Enfin il semble dominé : « S’il y a une roue qui fait avancer la planche, elle (celle-ci) fait le double, parce que le rouleau la fait aller plus vite quand il bouge. —  … Mais pourquoi 2 fois plus et pas 3 ou 4 fois ? — (Réfléchi.) Ça je ne sais pas. »

Gil (11 ;11) en reste au modèle du cyclique et du linéaire : « Le rouleau a tourné et la planche a glissé : quand on tourne, la planche va droite et en même temps (= par conséquent) elle fait 2. La planche fait le double parce qu’elle est droite. » On lui décrit l’escargot marchant sur une planchette qui avance dans le même sens : « La planche sur le rouleau ne ressemble pas un peu ? — Oui, un peu (après avoir dit aucune » « ressemblance), la planche avance aussi sur le rouleau. » Mais il ne voit pas plus que Odi d’explication du « double ».

La nouveauté du stade II est donc la découverte de la solidarité des deux mouvements, tandis qu’au niveau IB encore le rouleau et la planche sont deux mobiles indépendants dont l’un est simplement plus grand, plus long, etc., et va donc plus vite, mais qu’il suffirait de raccourcir ou de ralentir pour que tous deux restent ensemble. La première conséquence de cette dépendance est que la loi du rapport simple à double est alors généralisée de façon complète (sauf quelques effets de contre- suggestion), puisque même sans pouvoir être expliquée en tant [p. 144] que rapport numérique, sa régularité trouve une raison d’être dans la liaison cinétique des deux mobiles.

A commencer par cette liaison, Fab (en IIA) se borne à constater qu’« ils roulent ensemble », mais en conclut d’abord qu’ils devraient arriver de même. Pic est plus précise et constate que, suspendu ou non, le rouleau « fait avancer la planche », mais elle aussi en conclurait volontiers à l’égalité des arrivées, ce qu’elle voudrait faire après utilisation du dispositif en suspension. La plupart des sujets, dès le niveau IIA, voient également que, comme le dit le plus explicitement Bir, « la planche avance sur le rouleau et le rouleau sur la table ». Seul Vad ne précise pas le sens : « Pendant que la planche marche le rouleau marche aussi » et Rod en IIB invoque même comme facteur le fait qu’on pousse la planche et que celle-ci agit peu sur le rouleau. Mais à part ce dernier sujet (qui change d’ailleurs ensuite d’explication), tous les autres pourraient donc trouver la raison de la loi du double dans l’action du rouleau sur la planche et Odi semble à deux pas de cette compréhension lorsqu’il dit « le rouleau fait actionner la planche, mais elle peut aller plus vite », sauf que précisément il dissocie cette liaison entrevue en disant « mais elle peut » au lieu de « donc elle doit ». Et pourtant il analyse ensuite correctement l’action réciproque des deux mobiles, au point de vue cinétique, tandis qu’au point de vue dynamique il invoque curieusement une perte de vitesse du mobile actif.

Quel est donc, au stade II, l’obstacle empêchant ces sujets de comprendre, malgré leur acceptation unanime de l’action du rouleau sur la planche, qu’en ce cas celle-ci bénéficie de la rotation du rouleau en même temps que cette rotation engendre un trajet de même valeur sur la table (d’où le rapport 2/1) ? C’est essentiellement un défaut de généralisation constructive, retardant doublement la mise en équivalence de la circonférence du rouleau avec un trajet linéaire de celui-ci sur la table et de cette même circonférence avec la translation qu’elle impose en tournant à la planche.

A cet égard, le modèle si fréquent (de Jel au niveau IB à Syl, Fer, Bir et Lur en IIA et à Ast, Rod et Gil en IIB) de l’opposition entre le droit et la courbe (ou le plat et le rond, etc.) est hautement significatif. Lorsque l’extrémité antérieure de la planche soit Al se trouve au sommet de la circonférence ou [p. 145] du diamètre du rouleau, soit A2, la planche en avançant fait le trajet A1B1, pendant que le point A2 du sommet du rouleau « va dessous » comme dit Ast, c’est-à-dire descend vers le tapis : d’où l’impression que la planche avance quand le rouleau recule (Jel), « tourne (Syl), « fait des tours sur places » (Bir) et « décale tout » (Ast). Or, ce qu’oublient complètement ces sujets est que, face au point A2 au sommet du rouleau, il y a un symétrique A’ 2 à sa base et que quand le point A2 descend d’un arc A2B2 le symétrique monte de la même longueur A’ 2B’ 2 qui s’est inscrite sur la table sous la forme d’une droite égale à A1B1 : d’où une marche en avant pour le rouleau, qui est de A’ 2B’ 2 = A1B1. Bien plus, ces sujets oublient que si la planche a avancé de A1B1 c’est précisément parce que le rouleau a tourné de A2B2, longueur égale à A’ 2B’ 2, de telle sorte que la planche bénéficie à la fois de la rotation du rouleau sur la table et de sa propre avance due à la même rotation : d’où la loi du rapport de 2 à 1. Et pourtant ces enfants disent bien que c’est le rouleau qui fait avancer la planche, mais sans traduire en termes de longueurs égales la rotation A2B2 (= A’ 2B’ 2) et la translation A1B1, il en résulte que, tout en affirmant le rôle causal du rouleau sur le mouvement de la planche, ils ne peuvent comprendre ni pourquoi il y a dépassement, ni surtout pourquoi il est de 2 à 1. Ces deux faits centraux demeurent ainsi affaire de simples observables constatés et de généralisation inductive, alors que la clef du problème, c’est-à- dire l’équivalence des longueurs en rotation et en translation, demanderait une généralisation constructive précisant le mécanisme selon lequel « quand le rouleau roule ça fait actionner la planche » comme dit si bien Odi en le comprenant si mal !

Ce n’est donc qu’au stade de 11- 12 ans où les opérations hypothético-déductives permettent en d’autres domaines la compréhension des mouvements relatifs que le problème précédent est résolu par les sujets et il est intéressant de chercher à voir de près comment ils s’y prennent. Voici d’abord deux cas intermédiaires entre les niveaux IIB et III :

Nar (11 ;11) commence par préciser que « le rouleau avance grâce à la planche », elle-même poussée par le sujet, d’où une explication du niveau IIB : « Le rouleau tourne sur lui-même (tandis que) la planche avance toujours. » [p. 146] Mais comme il reconnaît que cela n’explique pas le rapport 2 à 1 on lui montre la suspension, d’où la lumière : « Quand le rouleau avance sur le sol, alors ça fait 2 : j’additionne le pas du rouleau (sur le sol) plus le pas de la planche (sur le rouleau)… Et puis là (dispositif) le rouleau n’avance pas sur le tapis, pour ça la planche avance (seulement) de 1. Ah oui, dès qu’on a trouvé ça paraît bête ! »

Fri (12 ;3) énonce la loi et l’explique en termes tautologiques. « Oui, mais comment ça se fait ? La planche avance par rapport à quoi ? — Par rapport à chaque côté (de l’octogone), tandis que le rouleau revient sur lui-même, la planche va tout droit, mais le rouleau revient, ça fait un trajet plus court. » C’est donc l’explication type du niveau IIB, mais le dispositif de suspension l’éclaire parce qu’alors l’octogone « tourne sans avancer » tandis que « la planche peut avancer » quand le prisme n’agit qu’« en tournant, — Et quand c’est sur la table ? — Le rouleau avance et en même temps il pousse la planche… Ah ! j’ai compris, la planche elle n’avance pas plus que le rouleau (en tant que celui-ci la pousse), mais le rouleau, comme il avance (sur la table et de son côté), ça double la longueur ».

Sur les quatre sujets suivants, par contre, seul le premier a vu le dispositif de rotation en suspension, mais son raisonnement va plus loin dans l’analyse et rappelle de près ce que nous exposions symboliquement à la fin du § 2 :

Lam (12 ;4) énonce la loi sans en voir la nécessité, en présence du dispositif de suspension se borne à décrire les différences avec la situation au sol. Par contre lors d’une estimation de la valeur d’un double il s’écrie : « Ah ! j’ai comprisse crois. Quand la planche fait un cran en avant, ça (rouleau)/ait aussi un cran, ça fait que ça le double automatiquement : quand la planche avance sur le point là (A2 dans notre symbolisme) en même temps le point avance (A2 — > B2), alors ça double. La planche avance là de 2 cm (A1B1) et en bas (le rouleau en A’ 2B’ 2) aussi… quand l’octogone avance sur le tapis, la planche avance aussi, 2 cm sur le tapis et 2 cm là (A1B1). — Et avec ça (prisme carré et planche) ? — C’est le même phénomène : le point d’appui (A2) il avance aussi, ça double automatiquement. »

Fra (12 ;3) (technique I) constate rapidement que le rouleau « s’arrête au milieu » de l’avance de la planche et qu’« il faut toujours prendre la moitié ». Mais sa seule explication est que « la planche va plus vite. — Pourquoi 2 fois ? — Je ne sais pas ». Avec le bâton carré : « Quand je tourne la planche dépasse le bâton. Elle avancera (de plus en plus)… chaque fois qu’on tourne le bâton… La planche avance de la largeur du bâton : elle fait toujours un tour de plus. —  Et après 4 pas ? — La planche sera à peu près là et le bâton à la moitié. — Pourquoi la moitié ? — Quand on tourne (le rouleau) la planche avance le long du bâton… Ils font chacun la même distance : quand le bâton avance de un la planche avance de… deux. — Comment ça se fait ? — Parce que le bâton tourne, il amène la planche ici, elle arrive toujours 2 cm après (= au- delà) le bâton. — Toujours ? — Oui, quand le bâton sera à 4, la planche sera [p. 147] à 8. — Comment ça se fait ? — Quand je pars de là ça fait ça : le bâton fait un tour et la planche 2 parce que le bâton l’emmène… ça fait un tour de plus. » Mêmes réactions avec les autres rouleaux : « Pourquoi pas 3 fois plus vite ? — Ça dépend des grosseurs ? — (Hésitations, puis) C’est pareil que les autres, ça va toujours deux fois plus loin. — Même un gros ? — Trois, ce n’est pas possible ? — Non, la planche avance toujours d’un tour de plus, toujours. »

Ina (13 ;3) prévoit « à la moitié » mais hésite pour d’autres longueurs. Dès la première vérification : « Je crois que c’est toujours la moitié parce que le rouleau avance de ça (un côté) chaque fois qu’on le tourne, alors la planche avance toujours le double. » Prisme carré : « Si le bâton tourne, forcément la planche est plus loin parce que le bâton tourne (= avance !) aussi, alors la planche sera à 2 et le bâton à 1. (Exp.) Oui, parce que toujours (la planche) reste là (sommet A2 du rouleau en tant que se déplaçant vers B2), alors ça fait toujours le double. »

Sta (13 ;4) : « C’est toujours le double ? — Oui, c’est de la logique : si je pousse le rouleau là la planche fera le double : chaque plat (côtés de l’octogone) pousse de tant de longueur. Le rouleau fait avancer la planche et la planche fait avancer le rouleau. — Fais un seul pas. — Voilà : j’ai fait pousser le rouleau d’une longueur plate et ça a fait avancer la planche deux fois : une fois c’est moi qui fait avancer le rouleau et la deuxième fois c’est le rouleau qui fait avancer la planche. »

On voit clairement en quoi consiste la généralisation constructive dont témoignent enfin ces sujets et on le voit d’autant mieux que Nar et Fri y sont conduits par la différenciation que leur impose (à condition de la comprendre !) le dispositif de l’octogone suspendu, tandis que, de Lam à Sta, il y a intégration immédiate des deux processus que le dispositif dissocie. Or ces deux processus, qui ne consistent en rien de plus que « tourner » et « avancer », semblent si évidemment solidaires qu’il faut toutes les difficultés signalées en notre introduction pour expliquer leur liaison tardive (par exemple le fait que pour Ina « le bâton tourne aussi » signifie qu’il avance de son côté, tandis qu’au niveau IIB « tourner » s’opposait à « avancer » !).

En fait, Nar et Fri ont besoin de voir le dispositif de suspension pour comprendre : 1) que le rouleau peut faire avancer la planche en tournant sans avancer lui-même s’il n’est pas sur la table ; et 2) que par conséquent une fois remis sur le tapis, il effectuera simultanément en tournant les deux actions distinctes de pousser la planche en avant et d’avancer lui- même d’une longueur égale. Chez Lam, Fra, Ina et Sta les [p. 148] choses paraissent plus simples et, comme dit Sta, « c’est de la logique » que d’additionner le déplacement du rouleau lui- même à celui qu’il imprime à la planche. Mais comme le montre l’analyse de Lam, et en partie d’Ina (si proches du schéma symbolique de la fin du § 2), les choses sont plus compliquées, car c’est sur deux points à la fois qu’il faut traduire la rotation du rouleau en termes de translations par rapport au référentiel externe en y intégrant le mouvement de la planche sur le rouleau lui-même : d’une part, c’est la rotation du point A2 au sommet du rouleau qui engendre la translation A1B1 de la planche, mais en même temps et de façon indissociable c’est la rotation du point symétrique A’ 2 à la base du rouleau qui engendre son avance linéaire sur la table et dont la valeur est la même que A2B2 et A1B1. Or, les sujets du niveau IIB voyaient bien que le rouleau pousse la planche en A2 et qu’il avance lui-même en A’ 2, mais ils n’arrivaient pas à comprendre qu’il y a là deux processus distincts à additionner, parce qu’ils voyaient le passage de A2 à A’ 2 comme une sorte de recul ou de « tour sur place » (Bir en IIA). En d’autres termes, ils ne voient pas que la rotation du rouleau s’inscrit de façon linéaire, mais de façon à la fois séparée et solidaire sur les deux plans entre lesquels il tourne : sous la planche en A, B, et sur le sol en A’ nB’ n, l’avance de la planche étant donc de A, B + AnBn donc de 2A’ nB’ n quand celle du rouleau n’est que de A’ nB’ n.

Que cette intégration de deux processus distincts en un seul tout constitue une généralisation, cela est bien clair comme en toute composition de mouvement relatif, puisqu’elle consiste à appliquer à deux déplacements ce qui est admis de l’un, à savoir en ce cas la relation entre une rotation et une translation ainsi que l’évaluation de celle-ci par rapport à un référentiel commun. Mais la difficulté de cette généralisation tardive et son caractère constructif par opposition aux simples généralisations inductives de la loi 2 à 1, sans compréhension de ses raisons, tiennent à la nécessité d’effectuer des différenciations et réintégrations en un mécanisme complexe dont l’apparence perceptive est celle d’un simple entraînement réciproque qui devrait donner deux vitesses égales comme celles d’un cycliste et de sa machine (cf. Fab et Pic en IIA lorsqu’elles découvrent la relation de dépendance). En fait c’est la différenciation qui semble être ici l’opération la plus difficile à exécuter puisqu’il [p. 149] s’agit de dissocier les deux effets distincts de la rotation du rouleau, son effet sur la planche et son déplacement sur le sol et l’on pourrait donc dire qu’il s’agit là d’abstraction plus que de généralisation. Mais sans nier le rôle de l’abstraction, nécessaire à toute généralisation, il convient cependant d’insister sur le caractère généralisateur d’une telle différenciation. Il consiste, en effet, à comprendre que l’action de la rotation s’exerce sur tous les points de la circonférence du rouleau, alors qu’au stade II cela reste incompris : il y a encore pour les sujets des niveaux IIA et IIB, les points où le rouleau avance, mais il y a aussi ceux qui marquent simplement une descente ou un « sur place » comme dit Bit qui indique d’ailleurs comme trajet une épicycloïde et non pas une cycloïde, donc un déplacement avec boucles, c’est-à-dire retour en arrière. Or, généraliser l’avance d’une rotation sur un plan n’est pas si simple puisque, sans l’intuition de la cycloïde (ordinairement retardée jusqu’au stade III précisément), une partie des points d’un cercle en mouvement paraît effectivement reculer pendant que les autres avancent. En un mot l’apparition tardive de la généralisation constructive au stade III et le fait que seulement alors elle ajoute au « toujours » de la généralisation inductive la propriété nouvelle d’une nécessité intrinsèque (« automatiquement » dit Lam, « c’est de la logique » pense Sta ou même « ça paraît bête » reconnaît finalement Nar comme c’est le cas de toutes les évidences) se révèlent à l’analyse comme assez naturels en ce problème difficile.