Chapitre VIII.
Différenciations et intégrations en des effets mobiles de superpositions (moirés) ¹ ^a

Lors de déplacements même très légers d’une trame sur une autre, on obtient de multiples combinaisons animant tout le système et qui dans le tissage des soieries donnent les ondulations ou chatoiements qui caractérisent les « moirés » (connus de tout temps en Orient et imités en Europe). En laboratoire le principe de ces amplifications spectaculaires lors du moindre mouvement est appliqué en de nombreux domaines (cristallographie, optique, microscopie biologique, etc.) et dès le siècle dernier Lord Rayleigh s’en est servi pour vérifier la précision des grilles de diffraction ².

Dans ce qui suit (voir la figure), on utilisera seulement des trames formées de deux ensembles de droites parallèles, l’un immobile et l’autre (sur transparent) coulissant sur le premier selon des positions angulaires variées. On peut obtenir ainsi des effets nuis ou statiques (production de carrés ou losanges) ou encore cinétiques (mouvements globaux à formes d’« ondes » dirigés à la fois vers le haut ou le bas et d’un côté ou de l’autre). Pour faciliter les prévisions ou la compréhension et pour mieux analyser les processus de généralisation on a habituellement présenté en divers ordres possibles, des ensembles de deux, quatre ou un nombre plus élevé de parallèles.

Les problèmes soulevés à cet égard par la présente recherche sont à nouveau avant tout ceux de différenciation et d’intégration. Du premier de ces deux points de vue on assistera au passage des variations « extrinsèques » simplement constatées, aux variations « intrinsèques » ou transformation déductible construisant et expliquant les relations entre un état et le suivant (avec toutes les difficultés qu’il y a pour le sujet à réduire un changement continu à une succession d’états). Quant à l’intégration, également inhérente à la généralisation constructive, elle pourra se présenter sous trois formes : produit cartésien (même s’il reste implicite) de toutes les variations intrinsèques ; ensembles quotients ou classes d’équivalence avec leurs relations ; et structure abstraite dégageant l’algèbre des opérations en jeu, autrement dit la « raison » (« croiser » ou « glisser sur » dira par exemple un sujet) des transformations en jeu. Il s’agira donc pour le sujet de trouver à la fois des lois distinctes selon les situations et des les intégrer en système coordonnant les différenciations.

Matériel et technique. — Afin de simplifier les types de compositions obtenues dans les moirés classiques, nous nous sommes bornés à étudier d’abord les effets de trames très simples : la situation de base est faite d’un dessin carré, composé de lignes verticales noires, équidistantes, reproduit de manière identique : a) sur un transparent carré (T) et b) sur un bristol carré (B) de manière à ce que les deux dessins soient superposables.

En plus de cette situation de base, nous avons souvent introduit deux situations encore plus simples qui sont une décomposition de la première. Elles permettent de voir comment l’enfant entrevoit le mouvement apparent du croisement quand (T) déplace une seule ligne par rapport à une autre ou deux lignes parallèles par rapport à deux autres (ce dessin est reproduit sur le (T) et sur le (B). L’intersection de ces deux couples de lignes forme un losange.

Ensuite on passe à des situations plus complexes, mais par un dispositif particulier nous avons limité le type de mouvements possibles. En effet, dans les moirés classiques, on promène le (T) comme on veut sur le (B), ce qui entraîne des effets très compliqués (changements d’angles, etc.). Dans notre cas, nous avons fixé une seule direction du mouvement, à l’aide de deux rails sur lesquels on fait coulisser le (T). Auparavant on a placé sous ces rails le (B) dans l’orientation désirée.

En faisant ainsi varier : 1) l’orientation du bristol (mouvement rotatif) et 2) le sens dans lequel le transparent coulisse (direction — > ou ) ainsi que son orientation (deux possibilités : parallèle ou perpendiculaire au sens du mouvement), nous obtenons une série de situations différentes qui seront désignées comme suit :

1. Dans les situations I n’interviennent que des ensembles de lignes horizontales H ou verticales V, tant sur la grille immobile B que sur le transparent mobile T. Si nous désignons par Pa le cas où le mouvement de T est dans le prolongement de l’orientation des barres de cette grille mobile et par Per le cas où le mouvement est perpendiculaire à l’orientation, nous aurons les 3 (ou 6) combinaisons :

I Pa H (sens — > ou <-) : comme il ne s’agit que d’horizontales ajustées identiquement sur les deux grilles, leur recouvrement ne modifie rien.

I Pa V (sens — > ou <— ) : le passage des verticales V en T sur les P en B donnera une alternance noir, blanc, noir, blanc.

I Per (sens — > ou <— ) : l’effet produit sera un ensemble de carrés immobiles.

Nous appellerons d’autre part situations II celles où interviennent des obliques sur la grille immobile B. Dans les cas où l’on a des K sur le T on obtient alors des effets de mouvements apparents ou sortes d’ondes entraînant les losanges vers le haut ou le bas avec déviations à gauche ou à droite.

Les obliques seront désignées par D quand leur sommet est orienté à droite et par G quand il l’est à gauche. D’où les 4 situations : II V-+D (montée), II V— > G (descente), II D 4-V (descente) et II G-e— V (montée).

Si par contre les traits du transparent I sont horizontaux les losanges produits demeurent immobiles, d’où les 4 situations : II H → D, II H → G, II D ← H, II G ← H

Ces situations servent en particulier de contrôle pour voir si, dans les précédentes (II V) le sujet ne tient compte que du mouvement de T ou également de l’orientation des barres. Il est aussi utile, à titre de contrôle ou complément, de présenter en disposition verticale telle ou telle de ces situations IL

Dans chaque situation, l’expérimentateur demande à l’enfant : 1) d’anticiper ce qui va se produire quand le transparent (T) va passer par-dessus le bristol (B) : « Tu vois ces lignes (T) et ces lignes (B), que va-t-on voir quand ces lignes (T) vont passer par-dessus les autres ? Qu’est-ce que ça fera comme dessin au milieu pendant que T passe ? Qu’est-ce qu’on verra au milieu ? » 2) D’expliquer son anticipation : « Comment ça se fait que ça se passe comme tu as dit ? » 3) Après une lecture, de réexpliquer ce qui s’est passé : pourquoi ? Quelquefois on demande à l’enfant d’exécuter lui-même un certain effet exigé par l’expérimentateur. On lui présente les deux plaques (B) et (T) et on lui demande de les placer de manière à obtenir par exemple des vagues qui montent. On demande ordinairement à l’enfant de dessiner ce qu’il anticipe. Cette représentation est intéressante, car elle donne des indications sur la manière dont l’enfant compose entre eux les deux cartons.

Quant aux situations simplifiées portant sur 2 ou 4 lignes seulement, elles donnent des indications plus précises sur le type d’explications que peuvent donner les sujets sur le mouvement apparent dans les situations complexes. La décomposition du problème oblige l’enfant à se centrer, dans le cas de 2 lignes, sur ce qui se produit quand l’une d’entre elles passe sur une autre. Ceci permet de vérifier : a) s’il perçoit le déplacement du point d’intersection et b) s’il considère ce mouvement (dans le cas où il le voit) comme une partie de l’onde du matériel de base (c’est-à-dire s’il peut généraliser ce mouvement à la somme des lignes. La situation de 4 lignes (1 couple passant sur un autre) est un intermédiaire entre les situations de 2 et de n lignes, dans lequel les intersections entre les lignes délimitent une surface (losange) très prégnante perceptivement. Il est intéressant de voir ici si l’enfant est capable de considérer ce losange comme délimité par les intersections ou s’il présente pour l’enfant une identité propre.

Dans les deux cas on demande à l’enfant : 1) d’anticiper ce qui va se produire quand le (T) passe sur le (B) : quand le (T) commence à toucher le (B), quand il sera au milieu, quand il sera à la fin :

— par un dessin bande dessinée : | | /| | /| |

— par une description verbale.

En effet, souvent le mouvement apparent de l’intersection est représenté sur le dessin mais pas mentionné dans la description verbale. 2) D’expliquer cette anticipation. 3) Après une lecture, de réexpliquer le phénomène.

§ 1. Le niveau IA

Comme à l’ordinaire, il est utile de chercher à comprendre la raison des difficultés ou échecs primitifs :

Mag (5 ;2). I Pa V : « Si je pousse, qu’est-ce qu’on va voir ? — La même chose, des traits, un peu d’une autre couleur. — Comment ? — Gris. — Et quand un trait ici va être sur un autre là, ça va faire quoi ? — Sais pas. — (Exp.) — Ça fait une autre couleur, tout noir. — Et si je fais dans l’autre sens ? — Ça fait la même chose : noir au milieu. — Raconte ce que tu as vu. — Sais pas, des traits qui bougent en bas et puis en haut (en réalité latéralement). — (Exp.) C’est comment ? — Blanc noir, un peu noir. — Et comme ça (I Per) ? — Les traits sont de l’autre côté, il y aura de nouveau trois couleurs (elle n’a donc pas compris I Pa V). — (Exp.) — Non, c’est de l’autre côté qu’il faut faire. — (On inverse le sens.) — Non, ça va pas non plus, il faut faire comme avant (elle se trompe et met I Pa H. Exp.) Ça fait les deux la même chose ! — Et comme ça (sens inverse) ? — Peut-être que ça va faire la même chose, mais je ne sais pas. — Et pour que ça fasse comme avant ? — (Elle remet I Pa F.) » On passe à IID <— F) : « Qu’est-ce que ça va faire ? — Sais pas. — (Exp.) — Un petit blanc en haut et noir. Ça fait comme un bolet : ça bouge pas. — (Nov. exp.) Il n’y a rien qui bouge ? — Non, ça bouge pas. — (Nov. exp.) Rien qui monte et puis qui descend ? — Oui, fa monte et ça redescend. C’est de bizingue (= de travers), ça va en haut puis en bas. — Plus en haut ou en bas ? — Les deux (or il y a descente apparente). — Et (T) de l’autre côté (->) ? — On peut pas savoir. — (Exp.) — Ça descend et puis ça monte, c’est pareil. »

Fra (5 ;6) est un peu supérieur à Mag. Pour I Pa F : il prévoit : « Les barres qui se mettent en haut des autres barres. On va voir toute la forme : des barres, plus des barres. Tu vas voir celles-là sur les autres barres. — (Exp.) On voit quoi ? — Celles-là sont sur les autres, quand elles ne sont pas juste dessus on voit des petits trous blancs entre les barres (c’est le contraire). — (/ Per.) — Ça va faire des traits penchés et des autres debout, des traits tout droits et les autres très penchés (dessin juste). — (Exp.) — C’est comme j’avais dit. — (Autre sens.) — Ce sera la même chose. — (/ Pa H.) — On verra l’un sur l’autre. — (II G— > H.) — Des traits couchés et des traits penchés (il donne d’abord deux dessins séparés pour H et G puis les réunit en un tout et à l’intérieur d’un quadrilatère lui-même inversé, puis regardant son dessin). Ça fait des étoiles (losanges). — (II G V). — (Mêmes dessins penchés mais avec orientations inverses des cadres.) — (Exp.) Tu vois quoi ? — Des choses blanches qui montent, qui montent toujours : le noir il fait monter le blanc. — (II V->D.) — Ça fera la même chose (Exp.) Ah non, ils descendent. — (Sens contraire.) — Alors il est penché dans ce sens (à nouveau sens inverse de la réalité). »

Duc (6 ;0) commence par les compositions à une seule ligne : pour 2 parallèles « cette ligne ira sur celle-là » mais pour 2 perpendiculaires « je ne peux pas dessiner l’un sur l’autre » : la verticale étant tracée l’horizontale s’en rapproche peu à peu et finit par donner « une croix, elle avance toujours ». Avec une oblique : juste mais cadre inversé. I Pa V : « Il y aura 2 barrières. — (Exp.) — Ça bouche les petits trous. — Pourquoi ? — Il y a 2 barrières. Ça fait comme un store : ti-ti-ti. » I Pa H : « Ça fera plus ti-ti-ti, ça fera noir, le noir prend la place du blanc (fausse généralisation de I Pa V). — (I Per.) Ça fera ti-ti-ti parce que celui-là (H) est comme ça (direction de V mais ne remarque pas la perpendicularité). — (Exp.) — Non ça fait des carrés. — (II D ■<— V.) — Comme ça (dessin correct mais sans cadre). — (Exp.) — Des petits carrés qui s’en vont. — Où ? — Vers le haut. — Et comme ça (inverse) ? — Ça montera (Exp.). Non ça descend. »

Ose (5 ;6) est intéressant par le contraste entre ses difficultés par la composition de 2 ou 4 traits et les compositions d’ensemble : pour 2 verticales et 2 obliques il dessine les deux T avec cadres et dit : « Je peux pas faire l’autre dessus » (finalement il les juxtapose dans le même cadre). Pour 1 verticale et 1 oblique même difficulté, mais pour n et n (IID <— V) le dessin est possible : « Ce sont des barrières et il y a les autres dessous. »

Trois caractères de ce niveau sont spécialement notables : la difficulté à se représenter un état (superposition de T et B) comme le résultat du mouvement (faute d’images cinétiques suffisantes comme nous l’avons montré ailleurs ³), l’indifférenciation, lors du mouvement de T, entre la direction de ce mouvement et l’orientation des barres et surtout le manque de compréhension du mécanisme, reconnaissable aux tâtonnements bien plus durables lors des compositions de 2 ou 4 traits, tandis qu’il semble plus aisé de se représenter la superposition des deux figures d’ensemble T et B.

Sur le premier point, nous voyons Mag confondre I Pa V et 1 Pa H, Fra croire que le blanc entre les barres est dû à leur mauvaise superposition, Duc croire que le blanc et le noir se retrouvent en I Pa H comme en I Pa V, etc. Quant aux confusions d’orientation et de direction Mag pense que I Per agira comme I Pa V parce que « les traits vont de l’autre côté », Duc de même, etc. Mais le plus curieux est la réaction de Duc et de Ose qui ne peuvent pas « dessiner l’un sur l’autre » deux ou quatre traits, tandis que pour l’ensemble des droites c’est possible puisque « ce sont des barrières et il y a les autres dessous ». Autrement dit la superposition de deux figures collectives est réalisable parce que chacune a ses structures propres qu’on peut dessiner à part tout en les superposant (comme si on dessinait un carré dans un rond, etc.) tandis que la liaison de deux traits différemment orientés pose un problème de relation, dans la mesure où il faut décider de la position de l’une par rapport à celle de l’autre et non pas simplement dessiner l’un après l’autre deux ensembles tels qu’on les voit (en tant que bonnes formes) en les mettant simplement dans le même cadre. C’est par contre sur la position de ce cadre commun lui-même que se retrouve la difficulté et Fra en inverse l’inclinaison.

§ 2. Le niveau IB

Chez les sujets de 5 1/2 à 7 ans, il y a progrès quant au premier des trois points indiqués à l’instant, mais peu sur les deux autres :

Arn (5 ;5), I Pa V : « Ça va faire ligne sur ligne, on verra noir et noir. — (Exp.) — On voit noir et blanc, quand on bouge la ligne qui est à côté de Vautre, ça bouche le blanc. (Autre sens.) — Ça fait la même chose, mais dans Vautre sens. — (I Per.) — Ça va faire des petits carreaux. » II G-e- V : dessin correct (Exp.) « Oh ! ça bouge, on dirait que ça monte. — Pourquoi ? — Parce que Vautre reste droit et celui-là passe, passe et puis ça monte. — (Sens ->.) — Ça monterait… non plutôt ça descendrait. — Pourquoi ? — Parce que tout à l’heure ça montait. Je ne sais pas pourquoi alors maintenant ça va descendre. » Prévisions suivantes arbitraires ; constatant qu’en (II H-+D) cela reste immobile alors qu’il prévoit un mouvement dans le sens — > il explique : « parce que T est tourné à l’envers (= H) et Vautre est penché alors ça ne bouge pas » donc description pure. Avec deux traits, vertical et oblique, il prévoit d’abord un départ de ce dernier vers le haut, puis un croisement, mais sans déplacement du point de croisement : « Parce que celle-ci (oblique) va pas bouger (= ne change pas de forme) alors cet endroit ne bougera pas ! »

Pit (6 ;6) pour cette dernière question échoue comme Arn. L’expérimentateur pousse alors très lentement la verticale sur l’oblique : la montée du croisement est en ce cas très visible. « Est-ce que ça t’aide à comprendre ça (II H-s-D)? — Non, parce que c’est pas la même chose : là (II H D) ça bouge et là (2 traits) ça bouge pas. » Elle ne voit donc aucune analogie.

Ziv (6 ;6) pour ce même problème des deux traits, vertical et oblique, Ziv prévoit que leur position ne sera pas progressive (comme la croix pour un vertical et un horizontal, mais elle voit cela comme l’agrandissement progressif de l’un d’eux). Après l’expérience elle dessine correctement le point de croisement initial, au bas de la verticale, puis l’élève, mais jusqu’au centre puis demeure alors fixe comme chez Arn. Pour 4 traits elle prévoit par contre le losange et pour II G <— V elle en conclut : « Beaucoup de petits carrés penchés » mais qui sont censés partir sur la gauche (-<— ), etc.

Lul (6 ;7) prévoit correctement I Pa V ; et « des petits carreaux » pour I Per, ainsi que « des losanges » pour II D <— V, mais devant partir sur la gauche. « Les traits du losange sont faits de quoi ? — Ceux qui sont droits sont faits avec la vitre (T) et ceux qui sont penchés viennent du carton (B). — Tu peux dessiner ? — (Il fait un losange agrandi puis dit que) les 2 coins ici (en haut et à gauche) viennent du carton et les 2 autres de la vitre. — Et les côtés ? — Ceux-là (les 2 de droite) viennent du carton et les autres (les 2 de droite) de la vitre. » On reprend alors les carrés de I Per, et Lul pense que leur moitié gauche vient de T et la moitié droite de B ! Ce n’est qu’en faisant passer T sur B au ralenti qu’il reconnaît le rôle des traits verticaux et horizontaux. Dans les quatre questions de mouvements apparents II V G et D, la prévision est dictée par le mouvement de T indépendamment des orientations.

Ces exemples suffisent pour nous montrer le paradoxe propre aux réactions de ce niveau. D’une part, le sujet fait des progrès notables quant à l’anticipation de ce que donnera la superposition des deux ensembles T et B, autrement dit la reproduction de deux images statiques simplement posées l’une sur l’autre. Par contre, quant à l’image cinétique, c’est-à- dire au mouvement donc à la transformation comme telle qu’il s’agira d’évoquer pour expliquer le résultat de cette superposition, ces sujets sont à peine en progrès sur ceux du niveau IA. Lul comprend bien que les carrés et même les losanges prévus sont le résultat de la combinaison des traits verticaux avec les horizontaux ou obliques, mais il comprend si peu cette composition comme telle que, pour lui, l’une des moitiés, gauche ou droite, du losange et même du carré, est due à la « vitre », donc à la grille mobile T et l’autre moitié à la grille immobile B. Arn et Ziv témoignent d’incompréhensions analogues pour le croisement de deux traits isolés (pas de mouvement ou de mouvement continu). Enfin on retrouve à propos des mouvements apparents l’indifférenciation entre le sens du mouvement et l’orientation des traits. Lors des constatations le sujet parvient bien comme Arn à prévoir l’effet des inversions de sens mais à titre de supposition empirique en précisant : « je ne sais pas pourquoi ».

En revanche, il est frappant de voir que la « lecture » des observables est en général très correcte indépendamment de ce manque de compréhension, sans que cela conduise d’ailleurs à une reproduction des situations ni surtout à une amélioration des anticipations. Il en résulte qu’il subsiste une dissociation remarquable entre les mouvements ou intersections perçus et les interprétations : tous les premiers sont attribués aux seules grilles mobiles T et si l’on demande au sujet de suivre avec la pointe d’un crayon l’intersection de deux lignes il n’y parvient pas parce qu’il suit avec son crayon la direction de T.

§ 3. Le niveau IIA

Ce début des opérations concrètes (7-8 ans) correspond ici à une recherche d’explication pour rendre compte (dès l’anticipation) des mouvements apparents : il s’agit d’une composition entre le mouvement de la grille mobile T et l’orientation des traits sur la grille immobile B, le tout en utilisant désormais la continuité de signification entre les relations de deux ou quatre traits et celles des deux ensembles de n traits :

Cor (7 ;1) donnait 7 mois plus tôt (à 6 ;4) des réactions typiques du niveau IB. A 7 ;1 il se rappelle : « On passait des lignes, des fois c’était tout bouché, ça bouchait tous les trous, des fois c’était tout de travers. — Ça bougeait ? — Non. » On lui présente 2 traits verticaux avançant vers 2 obliques : il montre correctement que le point de croisement débute en bas et s’élève jusqu’en haut « parce qu’ils (les traits verticaux) avancent tout le temps ». Quant au croisement « ce serait un rectangle (il dessine un losange). — Qu’est-ce qu’il fait quand on pousse ? — Il disparaît tout le temps. — Dans quel sens ? — Comme ça (— >). — Suis avec ton crayon ? — Ça monte ». On inverse et il prévoit juste. On passe à II F<— D : « Ça bougera dans quel sens ? — Comme ça (*— ). — (Exp.) — Ça fait ça(/). Je peux dessiner (dessin correct avec losanges inclinés). »

Ste (8 ;6). Epreuves I toutes réussies. II G-e— H : « Ça fera quoi ? — Des triangles. — (Exp.) — Des losanges. — Et ça (II G<— F) ça donne quoi ? — Avant ils étaient comme ça, maintenant comme ça (redressement des losanges). On dirait qu’ils montent. — Pourquoi ? — Parce que la carte dessous (= B) elle est pas droite. — Et ça (II D ■*— V) (Exp.). Comment on pourrait savoir quand ça monte ou ça descend ? — Ils doivent être comme ça (G) et on pousse comme ça pour que ça monte (ici ça descend) parce que vous avez changé (D). » On place le dispositif en vertical : il est d’abord perdu puis après constatations reconstitue correctement les losanges.

Ver (8 ;9) dessine correctement les croisements d’une verticale et d’une oblique. « Le point de croisement bouge ou pas pendant qu’on pousse ? — Il va plus haut (juste). » On inverse : « La même chose mais de la fin au début comme un V à l’envers. Le croisement il descendra. » II G<— V : « Ça fera des losanges (dessin correct). — Ils vont rester au même endroit ? — Non, bouger comme ça (<— ). » Elle montre avec justesse les côtés opposés du losange qui proviennent de T et ceux qui appartiennent à B. Pour II D H) : « Ils vont monter. (Exp.) Ça fait rien : ils ne bougent pas. — Et ça (II D <— V)? — Des croix elles vont monter. — Si tu réfléchis à ce qui se passait avec les 2 traits, ça t’aide ? — (Oui), ça faisait une croix et ça montait ou ça se croisait (en horizontal). — Et là (une droite contre une oblique) ? — Ça descend. — Et ça (II D -e-V)1 — Ça fera la même chose : là où ça se croise, ça va aussi descendre. — (On inverse.) — Elles monteront. — Comment tu sais ? — … — (On inverse à nouveau.) — Ça monte, non ça descendra parce que c’est dans l’autre sens. »

Cri (8 ;7) prévoit pour II H f D que « ça ira en bas » et pour j. « en haut » puis elle cherche à expliquer le mouvement apparent de montée des losanges en II G V en regardant un lent déplacement : « C’est parce que ce carré dépasse celui-là et celui-là dépasse celui-là. — Où il dépasse ? — Au début du croisement. »

Peh(9 ;5) explique la montée en II V— >D parce que le T « va vers la droite pendant que (les traits en B) ils vont vers le haut (de G à D !). Il en conclut que le dispositif II H— + D donnera également une montée. Par contre pour | et f prévoit d’abord l’inverse, comme Cri, et cela paradoxalement parce que toutes deux se centrent sur l’orientation des traits en B et non pas sur le mouvement de T. A noter encore que, pour Per, la surface des losanges, qu’elle appelle « le blanc » et leurs côtés, qu’elle appelle « les traits qui se croisent » ou « les croix » sont bien remarqués comme donnant lieu à une impression perceptive distincte, mais faute de compréhension du rôle des intersections, elle en arrive à dire : « C’est le blanc qui descend et le noir qui monte : les blancs c’est les losanges et le noir les croix, c’est deux trucs différents. »

Le progrès notable accompli par ces sujets est la composition des relations entre 2 ou 4 traits d’orientations différentes dont l’un passe sur l’autre avec déplacement progressif du point de croisement (voir Cor et Ver) et surtout la compréhension du fait que ces relations élémentaires se retrouvent identiquement dans les rapports entre les ensembles de n traits : « Ça fera la même chose, dit Ver, ça se croise », etc.). Il est en particulier remarquable que dans ces relations complexes entre n éléments le sujet parvienne à dissocier dans les losanges apparents les côtés opposés qui appartiennent à la grille mobile T et les autres qui relèvent de B (voir Ver). En outre, lorsque dans les épreuves II il s’agit de prévoir les mouvements apparents, ils ne se contentent plus comme au niveau IB d’invoquer simplement la direction de T, mais cherchent à tenir compte de l’orientation des traits. Seulement, en ce cas, ils en restent à celle des droites présentées en B (grille immobile), sans tenir compte des orientations en T : il en résulte, en particulier, que dans les dispositifs II H où les traits en T sont horizontaux, les prévisions sont les mêmes que s’ils étaient verticaux (II V). Les compositions ainsi construites demeurent donc d’un type additif ou plus précisément multiplicatif incomplet (mouvement T X orientation S) puisqu’il manque les orientations T. Or ce défaut de composition entre les orientations T et S au cours du mouvement de T a pour effet que le sujet ne comprend pas encore que le losange en tant que surface est le produit des intersections déterminant ses côtés : d’où cette conséquence que si, en présence d’un losange pour ainsi dire extrait de sa trame, le sujet comprend bien à quelle grille T ou S appartiennent ses côtés opposés, il continue d’attribuer à sa surface l’identité d’un objet mobile, d’où la curieuse affirmation de Per selon laquelle cette surface objectivée descend (« le blanc ») pendant que ses côtés (« le noir » ou « la croix ») montent.

§ 4. Le niveau IIB et le stade III

Les sujets de 9-10 ans s’essayent à la composition complète des orientations en T et S et du mouvement de T, mais ne comprenant pas encore le rôle exclusif et vicariant des intersections, leur progrès s’accompagne de difficultés sur certains points :

Rol (9 ;6) après réussites avec 2 et 4 traits dit à propos de II D <- V : « Ça va mieux avec les petits (4 traits). Là il y en a très beaucoup on ne peut pas voir, — Qu’est-ce qu’il y a de pareil ? — Là les 2 droites et les uns (= les 2 autres) sont penchés. — Alors ? — Le droit (traits verticaux du T) arrive sur les autres et ça fait monter. — Et là (II G *— H) ? — Il y aura des losanges qui iront là (e— ) parce que ça fait en arrière (il montre la position des losanges). — Tu peux expliquer pourquoi avec ça ( V) ils montent et pas avec ça (H) ? — Non. — Et avec ça (4 barres) ? — Oui, comme ça (F) ils montent et comme ça (H) les losanges ils bougent pas. »

Tin (10 ;9) montre bien les croisements se déplaçant à la montée ou à la descente avec 2 ou 4 traits, d’où sans doute sa bonne anticipation pour II V — > G : « Toutes les lignes se croiseront au milieu. — Et le croisement aura l’air d’aller ? — Il descendra. » Elle indique correctement les côtés T et B des losanges. « Et ça (II G-e— H)? — Ça fera des carrés penchés. — Qui bougeront ou pas ? — Il semble qu’ils ne vont pas bouger… ou comme ça (-« — ). — Et ça (II G<— V)? — Ça va descendre (oublie d’inverser). — Et ça (II H ) D) 1 — Ça va comme ça (« — ), non dans le sens de la ligne. — Et les points (croisements) ? — Comme ça (jZ), pas dans le même sens (que les losanges). — Pourquoi ? — Les points c’est deux lignes qui se croisent, les carrés (losanges) c’est ce qu’il y a au milieu. »

Lab (11 ;8). « Les lignes du T en passant sur le carré (B) forment des petits losanges… et puis les losanges… — Ils font quoi ? — Ils resteront toujours les mêmes, mais… — Mais quoi ? — Le transparent (T) croise les lignes (l’une après l’autre). » Le dessin représente le début du croisement : « D’abord la partie d’en bas… » et dans le sens inverse « d’abord ici (le haut) et donc ça ira vers le côté opposé de cet angle ».

Et voici pour comparaison des exemples du stade III :

Axa (10 ;3). II D <— H : « Ça fera des carrés de travers. — Ils vont bouger ? — Ils vont aller en montant, non ça ne bougera pas. — (Sens inverse.) — La même chose, mais dans l’autre sens. » II G V : « Ça bougera parce que comme ça (<— ) ça croise et comme ça (j) ça glisse. — (Exp.) Ça fait quoi ? — Des lignes comme ça qui montent (elle fait monter un de ses index le long de l’autre). — Comment ça ? — Parce que la suivante arrive où était l’autre. — II V^rD ? — C’est difficile. Ça descend parce que c’est le contraire de tout à l’heure. — Tu peux trouver un truc sans te rappeler ? — Oui, c’est comment les lignes se croisent. » En vertical, juste : « Ça ira ici, ça pousse (celui-là index droit sur index gauche) alors l’angle disparaît de plus en plus (= se déplace), alors ça monte. »

Fai (10 ;6). II G<- V : « On a l’impression que ça bouge et si on penche de l’autre côté ça ira en bas. » Il explique par une succession de croisements. En particulier : « Ils viennent d’où tous les blancs (surfaces des losanges) ? — Ils viennent du croisement. »

Geb (11 ;5). II V^-D : « Les traits du T vont monter, c’est comme si ce n’était qu’une barre (il a passé par l’épreuve des 2 barres), ils monteront tous en même temps sur les traits (de B). On aura l’impression qu’il y a un croisement qui monte, ça va tout monter en même temps. (Exp.) Ça fait des espèces de losanges qui montent. — C’est toujours des nouveaux ou les mêmes ? — Des nouveaux parce que c’est pas toujours les mêmes lignes qui passent. — Que préfères-tu comme explication, les losanges (qu’il n’avait pas prévus) ou les croisements ? — Les deux vont bien… peut-être un qui est meilleur » (II H D)? — Ça fera de nouveau des losanges. Ils vont se déplacer comme ça (Z)… Non ils vont suivre le T(^). » II G-e— P ou II V — > H : « Ça change. Il ne faut pas tourner les traits si on veut que ce soit pareil. »

On voit que les sujets du niveau IIB sont près de la solution. Ils tiennent compte des deux orientations en T et en B et non plus seulement de la première, d’où leurs réussites aux situations II H <- G, où comme dit l’un « les losanges ne descendent pas parce que le T il coupe ». Mais ils ne voient pas encore que le mouvement apparent n’est qu’une « impression », comme diront Tin et Ger au stade III résultant du déplacement de l’ensemble des intersections et ne s’identifie pas à un mouvement matériel des points de T. La distinction peut paraître subtile, puisque cette apparence est la conséquence du mouvement réel de T, mais les hésitations de Lar et les commentaires de Tin semblent bien montrer que pour eux il s’agit toujours du déplacement objectif de points ou de surfaces, tandis qu’au stade III le mouvement perçu n’est plus une entité matérielle mais l’« impression » produite à chaque instant par les nouvelles intersections.

§ 5. Conclusions

Les résultats qui précèdent constituent un bel exemple de construction logico-géométrique de structures de plus en plus complexes par généralisations successives d’une seule et même action ou opération : le passage de 1 ou n droites en mouvement sur 1 ou n autres immobiles avec les trois possibilités solidaires de superpositions, juxtapositions, croisements (intersections).

1) La superposition (I Pa H) ne modifie rien, mais, si évidente que paraisse cette assertion, elle n’est d’abord que le produit de constatations sans même de généralisation à la situation inverse H -> H entraînant H H (voir Mag en IA : « Peut-être que ça va faire la même chose, mais je ne sais pas »). Quant à l’alternance de superpositions et juxtapositions (I Pa V), la même Mag ne prévoit que la superposition, de même que Fra qui, constatant la différence entre elle et la juxtaposition, en donne une fausse explication. Quant à la forme la plus simple d’intersection, avec perpendicularité (I Per) donnant des figures de carrés, Mag ne la prévoit pas, tout en disant que « les traits vont de l’autre côté », mais Fra (encore IA) parvient à la prévision en s’appuyant sur le résultat empiriquement constaté des actions successives (dessin des traits « penchés » puis des autres « debout »). Par contre, Duc s’appuyant sur le sens du mouvement de T (indépendamment de l’orientation des traits) prévoit pour I Per le même résultat que pour I Pa V.

La méthode des dessins successifs avec lecture du résultat de ces actions permet ensuite à Fra une nouvelle généralisation importante, mais demeurant également inductive (fondée sur les seuls observables) : la combinaison des horizontales et des obliques (« des traits couchés et des traits penchés ») donnant des losanges (en II G *- H), ce que Duc atteint aussi pour II D <- V. Mais, pour ce qui est de la nature de ces généralisations, une réaction propre au stade I (en IB comme en IA) est très éclairante : comme on l’a vu, l’enfant parvient plus facilement à des prévisions justes pour les ensembles de n et n traits que pour 2 ou 4 parce que, dans le premier cas, il ne s’agit que de superposer deux images statiques ne consistant qu’en copies des figures sur T et B, tandis qu’avec 2 ou 4 éléments il faut trouver leurs relations et préciser la composition comme telle. La généralisation constructive ne débutant qu’avec celle-ci, nous ne sommes donc encore en présence que d’inductions empiriques et extensionnelles (voir en particulier les incompréhensions de Lui quant aux deux « moitiés » des losanges).

Le progrès suivant, réalisé au niveau IIA, consiste alors en une généralisation complétive ne portant plus seulement sur les caractères statiques des figures présentées, mais sur l’action même de passer l’une sur l’autre, autrement dit sur le mouvement comme tel, ce qui permet notamment la composition de 2 ou 4 éléments et sa généralisation à n et n. Mais comme le mouvement de T agit sur les traits de B, c’est d’abord le couple mobile-immobile qui devient prégnant, c’est-à-dire la mise en relation entre la direction de T et l’orientation des droites en B, sans considération de l’orientation en T (d’où les erreurs du niveau IIA sur II H -> confondu avec II V ->). Il n’en résulte pas moins une sérieuse amélioration dans la compréhension des croisements.

L’étape ultérieure consiste alors à distinguer dans les mouvements de la grille mobile T ceux qui prolongent l’orientation des traits en ce T et ceux qui sont perpendiculaires à cette orientation. C’est là l’acquis du niveau IIB et le sujet est alors en possession des différenciations nécessaires pour rendre compte au stade III des diverses formes d’intersection et y réduire les différents mouvements apparents.

2) On retrouve en cette évolution l’un des caractères essentiels de la généralisation constructive (laquelle ne fournit au début que des cadres conceptuels à l’inductive, puis prend son essor autonome dès les compositions du niveau IIA) : la différenciation et l’intégration des actions. La première consiste en une suppression de proche en proche des limitations précédentes ou, si l’on préfère, en une négation de l’unicité (exclusivité) de la possibilité antérieure au profit de la plus voisine : pas seulement superposition mais aussi juxtaposition ; pas seulement ces deux liaisons, mais aussi croisements entre perpendiculaires ; pas seulement entre celles-ci, mais intersections avec des obliques ; pas seulement l’orientation des traits en B mais la direction de T, puis l’orientation en T et enfin la différenciation des mouvements apparents et réels, par composition générale des intersections. Or ces négations ou suppressions des limitations précédentes ⁴ ne sont d’abord qu’imposées du dehors, les nouveaux dispositifs infirmant ou modifiant les prévisions tirées des précédents mais elles sont ensuite construites par le sujet, par simple déduction ou lorsqu’il s’agit de comprendre des résultats imprévus.

Quant aux intégrations répondant à ces différenciations, on retrouve en petit les variétés logico-mathématiques usuelles de la construction des structures : sous une forme implicite le produit cartésien de toutes les « variations intrinsèques » du système, donc de celles que le sujet a peu à peu différenciées ; sous une forme un peu moins implicite les ensembles quotients ou classes d’équivalence, en fonction des analogies ou morphismes peu à peu découverts ; et sous une forme un peu plus explicite l’« algèbre des opérations », c’est-à-dire l’ensemble des raisons qui, aux yeux des sujets des stades II et III, rendent nécessaires les liaisons demeurant jusque-là de simples observables.

Pour ce qui est du produit cartésien dont le tableau est donné ci-dessous, on pourrait objecter, comme en plusieurs de nos structures, qu’il ne constitue pas un objet réflexif de la pensée de l’enfant (encore qu’il serait possible de le faire construire par les sujets du stade III). Mais ce qui nous importe est qu’il correspond à ce que sait faire le sujet lorsqu’il s’agit de prévoir ou d’expliquer les relations possibles entre les variables de T et celles de B : il s’agit donc bien d’une structure inhérente au sujet, mais, comme d’habitude, d’une structure non réfléchie parce que c’est celle de ses opérations et que si leur utilisation lui suffit il n’est pas besoin de les thématiser. Quant aux classes d’équivalence 1, 2 et 3, c’est la distinction des classes 2 et 3 qui caractérise les réactions du niveau IIB alors qu’elles restent indifférenciées en IIA.

Grille [ mo- ( T bile |

Mouvement prolongeant l’orientation des barres

VÏ V^H

Mouvements perpendiculaires à l’orientation des barres

K K Ht Hl

Grille i tt . i

immo- J

C c

C C

Cl. 1

BN BN C C

C C BN BN

Cl. 1

bile B ) OD

LD LD LD LD

LG LG LG LG

Cl. 2

TX XT 1 Ÿ XX

Cl. 3

Légende :

C = carré ; L1 apparents ; V OG = obliques

— effet nul (superpositions) ; BN = alternance de blanc et noir ; ) = losange droit ; LG = losange gauche ; f, etc. = mouvements = vertical ; H = horizontal ; OD = obliques sommets à droite ; sommets à gauche.

Au total, cette recherche nous montre comment un ensemble de variations d’abord simplement extrinsèques, c’est-à-dire constatées sans être comprises, sont transformées en variations intrinsèques, autrement dit en compositions réglées par des liens de nécessité à l’intérieur d’un système de constructions déductives. Or c’est là l’œuvre de généralisations constructives remplaçant les inductions empiriques initiales en fonction d’un double processus. Il y a d’abord celui de la différenciation, qui ne consiste pas seulement en un jeu de dissociations ou d’abstractions, mais aussi comme on vient de le souligner, en une suppression de limitations, donc en une ouverture sur de nouvelles possibilités par négation de l’unicité ou exclusivité des précédentes. D’où le processus complémentaire de l’intégration qui relie ces possibilités entre elles par un lien de nécessité en déterminant chaque variation intrinsèque (intersections, etc.) comme une résultante déductive impliquée par l’ensemble des autres. On constate ainsi que la généralisation constructive est telle, c’est-à-dire engendre formes et contenus nouveaux, en tant qu’organe de différenciations aussi bien que d’intégrations, la notion de « variation intrinsèque » unissant en un même tout les deux aspects complémentaires.