Chapitre X.
Les observables et les « raisons » en des problèmes de possibilités ^{1 a} 🔗

Au cours du stade préopératoire I, les sujets ne s’attendent pas, au début du jeu, à ce que la distribution des gains se fasse selon une règle et c’est parce qu’on le leur demande qu’ils cherchent à en trouver. Mais au niveau IA, à côté de quelques hypothèses motivées (s’attendre à gagner 4 jetons parce qu’on a misé sur 4 ; ou si c’est pair, gagner un nombre pair et si c’est impair gagner un impair) on en trouve d’un type particulier dont voici quelques exemples :

A 7 ans encore Dec ayant misé sur 1, 4 et 3 sans qu’ils sortent et sans que l’on ait encore donné de jetons en reçoit trois lorsqu’il joue 2 et que 2 sort, d’où il conclut : 3, parce que j’en ai perdu 3 » pour un impair il reçoit 1 et interprète « parce que tous les impairs (= la courte série qui lui est présentée) commencent par 1 ». Eli de même ayant reçu 3 en tombant sur le 3 puis constatant que le gain de 3 se répète : « Ah ! oui, parce qu’au commencement on est tombé sur le 3, alors on gagne toujours 3 » et dans la suite elle ne trouve plus de motivations.

[p. 154] Le problème qui se pose ainsi dès le départ est de savoir si les débuts les plus hésitants de la généralisation inductive comportent déjà la recherche de raisons et en quoi elles consistent comparées à celles qu’élaborera la généralisation constructive des niveaux supérieurs. On pourrait d’abord imaginer qu’en ces cas une telle recherche s’impose du fait qu’il s’agit non pas d’une loi physique, mais d’une règle de jeu inconnue et conçue comme arbitraire. Seulement en certaines situations physiques étudiées à propos de la contradiction (une roue qui tourne d’elle-même vers le haut, etc.), les relations à découvrir sont tout aussi cachées et ne sont accessibles également que par comparaisons successives et non pas directement en des observables isolables. La situation n’est donc pas spéciale à ces règles de jeu.

En ces conditions nous pouvons supposer que la recherche initiale de régularités non immédiatement constatables implique, dans la mesure où elle conduira au succès, les deux facteurs indissociables suivants : 1) une activité de mise en relations due à des généralisations constructives antérieures (parfois sensori-motrices) et non élaborée à l’occasion du problème actuel ; 2) la détermination des relations en jeu et cela par comparaison d’observables successifs, donnés et non construits, donc inhérents à la situation objective, considérés en ses caractères indépendants du sujet.

Si telle est la marche qui sera suivie, nous pouvons supposer que la recherche des raisons de ces régularités comportera en plus l’élaboration de relations non « découvertes » dans le sens précédent, mais construites de manière à insérer les régularités dans une structure déductive qui leur confère une nécessité, non donnée dans les faits mais due à cette construction en partie « inventée » (par opposition à la découverte de ce qui existait avant la constatation). Or, certaines des hypothèses citées du niveau IA ne rentrent ni dans l’une ni dans l’autre de ces deux catégories. D’une part, il ne s’agit pas d’une utilisation des caractères objectifs de la situation : gagner 3 pour avoir perdu 3 fois ou parce qu’au commencement on est tombé sur le 3, ou gagner 1 parce que c’est le premier des exemples présentés constituent des références au sujet qui joue ou au sujet imaginant des règles. Mais, d’autre part, ce sujet n’est pas le sujet épistémique qui construira plus tard des « structures [p. 155] déductives » : c’est le sujet individuel (donc égocentrique), inséré dans les péripéties du seul « vécu ».

Au cours du sous-stade IB, ces motivations « subjectives » (au sens courant du terme et qui n’ont donc rien à voir avec les « raisons » déductives des niveaux supérieurs) disparaissent, bien que le sujet croie encore au début que les règles à trouver sont arbitraires (voir Ben ci-dessous) ; dès les premières constatations il cherche alors à dégager les relations sous-jacentes dans le but d’en trouver des généralisations contrôlables. Il est d’un certain intérêt de constater que ces conduites débutent dès ce niveau, donc dès les environs de 6 ans :

Ser (6 ;1) prévoit (carton I) un gain de 4 si son choix du 4 est confirmé, de 2 pour 2 et de 1 pour 1. Le n° 4 sort et on lui donne 3 : « Pourquoi ? — Je sais pas. » On continue : « Toujours 3 ! — Et si tu joues 3 tu gagnes combien ? — 6, parce que 2x3 ça fait 6… Seulement c’est peut-être toujours 3 ! » On continue : « A chaque coup qu’on fait on gagne 3 jetons ! Et ici (N.R.-P.I.) ² ? — Je vais essayer rouge. — Tu gagneras ? — Peut-être 3 jetons (Exp.). 1 ! —  Pourquoi ? — Je ne sais pas. — Je vais essayer pair. — Et tu gagneras ? — 1 jeton. En haut (nombre 1-4) on gagne 3 et en bas (N.R.-P.I.) on gagne 1 jeton. — Tu es sûre ? — Oui, oui. —  C’est le hasard ou il y a une explication ? — Je crois qu’il y a une explication. —  Tu la connais ? — Non… Parce que c’est pas pareil : là c’est des nombres et là c’est des couleurs (et elle précise que P.I. ne sont pas « écrits en nombres »). » On passe au carton II (6 nombres) et elle prévoit un gain de 6 jetons : « C’est plus facile de gagner que tout à l’heure ? — Non plus difficile parce qu’il y en a 6 au lieu de 4. —  Elle mise sur le 5 et le 5 sort. On lui donne 5 jetons : « Ah ! parce que c’est sur le 5. —  Et tu veux jouer ? — Le n° 6. —  Tu gagneras ? — 5 jetons ! Parce que là on a déjà gagné 5. — Pourquoi ? — Parce qu’on rajoute 2 (au gain du carton I) et là (les 6 numéros) on a rajouté 2 aussi. — Avec 4 nombres on gagne ? — 3. — Avec 6 ? — 5. — Et là (carton III) ? — 8 parce qu’il y a 8 numéros, ah ! non on gagne 7 jetons. —  Pourquoi ? — Ici et ici on enlevait 1. » On revient sur la facilité de gagner et elle confirme que c’est plus facile de gagner sur les nombres en I qu’en II « parce qu’il y a moins de nombres ». De même gagner sur un nombre pair est « plus facile là (carton I) que là (carton II), parce qu’il y a moins de nombres. — Regarde bien, quand on joue pair ici (I) il faut que la bille s’arrête où pour qu’on gagne ? — Là (2, 4). — Et ici (carton II) ? — Là (2, 4 ou 6). — Et où c’est le plus facile quand on joue pair ? — Là (carton I) parce qu’il y a moins de nombres. — Comment expliquer qu’ici (carton I) on gagne 3 jetons ici (P.I.-N.R.) 1 jeton, là (carton II) 5 jetons ? — Parce qu’on rajoute 2 (aux nombres du carton [p. 156] précédent) et on enlève toujours 1 pour donner les jetons. — Est-ce que tu crois que les jetons que je te donne ça a quelque chose à voir avec la facilité de gagner ? — Non. — Est-ce qu’on peut dire « plus c’est facile et plus je gagne de jetons ? — Non. — Ou plus c’est facile moins on gagne ? — Non plus. —  Facile ou difficile on gagne toujours pareil ? — Oui c’est vrai. — Avec ce carton (36) ? — Il y a beaucoup de numéros, je gagnerai 35. — Et si tu jouais « pair » tu gagnerais combien ? — Je ne sais pas. — Un ou plus ? — Plus parce qu’il y a plus de nombres ».

Ben (6 ;2) commence comme Ser par des généralisations locales : « On gagne 3 parce que déjà deux fois j’ai eu 3 jetons », mais quand on passe à 1 pour les impairs, elle a une impression d’arbitraire : « Je crois que tu fais un peu à ta fantaisie. » Mais après plusieurs comparaisons : « Si tu joues pair ? — 1 jeton. — Le n° 4 ? — 3 jetons. —  Un noir ? — 1 jeton. — Comment ça se fait ? — Parce que là (P.I. et N.R.), il y a moins de carreaux que là (carton I). Oui quand il y a 4 carreaux on gagne 3 jetons… et là il y en a moins on gagne 1 jeton. — Et là (carton II) qu’en penses-tu ? — Là on gagnerait 4 jetons et là (P.I., etc.) toujours 1 jeton. — Pourquoi 4 ? — Naturellement le carré est un peu plus grand, alors on gagne 4 et pas 3. — (Exp.) — J’ai compris on gagne 5 parce qu’il y a 6 numéros. — Et si 8 (carton III) ? — 7 jetons ! » Quant à la facilité de gagner : « Si tu gagnes sur le 3 ici (carton I) tu reçois ? — 3 jetons. — Et ici (carton II) ? — 5 jetons. — Qu’est-ce qui est le plus facile de gagner, ici ou là ? — Avec ici (carton I) il y a moins de numéros et on est quand même un peu plus sûr. — Les jetons que je te donne ça a à voir avec la facilité de gagner ? — Oui, parce que tu me donnes 3 jetons pour ça et 5 pour ça et là c’est plus facile. — Et pair et impair où est-ce le plus facile de gagner ? — Là (carton I) parce qu’il y a moins de numéros. »

Bal (7 ;3). Mêmes réactions. Présente encore comme à ce niveau des difficultés pour les relations multiplicatives : « Si on mettait 2 jetons à la fois, on gagnerait pareil ? — Pas pareil. — Combien ? — Je ne sais pas. » On fait plusieurs tirages de nombres en doublant chaque fois le gain. » Et si on joue 2 jetons sur pair ? — On ne peut pas : il faudrait 2 billes pour qu’il y en ait une sur le 2 et une sur le 4. — Mais avec un jeton on gagnait si la bille s’arrêtait sur le 2 ou le 4 ? — Oui. — Et maintenant ? — Avec 2 jetons on peut pas faire : la bille peut pas être à la fois sur le 2 et le 4 ! » Pour les facilités de gagner, tirer le 3 sur le carton I et sur le II « les deux sont aussi faciles parce que c’est le même nombre. — Mais la bille s’arrête plus facilement devant le 3 ici (carton I) ou là (II) ? — Ici (I) parce qu’il y a moins de nombres : là (I) il en reste que 3 et là (II) plus que 5 ». Par contre pour gagner sur les pairs, c’est plus facile en II : « Ici (2, 6, 4) parce qu’il y a plus de nombres pairs, il y en a 3 : s’il y avait pas le 5 et le 6 ce serait pareil que là (I) tandis qu’ici la bille peut s’arrêter au 6, et le 2 et le 4. —  Et pour les noirs et les rouges ? — Ça n’a pas changé, c’est aussi facile. —  Où c’est le plus facile de gagner avec le noir ? — Ici (II) il y a plus de noirs que de rouges. Non, il y a autant. —  Alors c’est la même chance de gagner ? — Oui. — Et pour les pairs et impairs ? — … — Il y a ici (I) 2 impairs et 2 pairs et là (II) 3 impairs et 3 pairs. Où c’est le plus facile de gagner ? — Ici (II) ! »

[p. 157] Ces faits nous ramènent de façon suggestive au problème soulevé plus haut : quelle est la différence entre les « relations » objectives constitutives des généralisations inductives et les « raisons » que fournira à des niveaux ultérieurs la généralisation constructive ? Ce beau cas de Ser nous montre avec clarté en quoi consistent les premières : constatant un gain de 3 elle le généralise avec prudence jusqu’au moment où il est de 1 et elle relève une différence entre les deux cas où les données sont « écrites en nombre » ou décrites en couleurs ou en lettres. Passant au carton II, elle prévoit un gain plus grand, en relation avec les dimensions nouvelles, puis constatant 5 elle s’en tient d’abord à une simple répétition, puis découvre la relation selon laquelle le gain = n — 1 si n = le nombre des chiffres donnés en I-III (nombre qui augmente lui-même chaque fois de 2 comme elle le remarque spontanément). Enfin il y a même généralisation à 35 = 36 — 1. Or, si nombreuses que soient ces étapes entre les inductions locales du début (répétitions de 3 ou de 1, etc.) et les généralisations plus larges, et si remarquables que soient les formes atteintes à 6 ans par ces dernières (voir aussi Ben), on voit que les relations en jeu consistent toutes en produits de constatations portant sur des observables matériels et donnés.

Par contre, lorsqu’il s’agit de la facilité de gagner, question qui conduira (aux niveaux ultérieurs) à celle de la raison des différences de gains, la situation est tout autre, car cette facilité se réfère non plus à des observables, mais à un système de possibilités (et si celles-ci sont réalisables le réalisable ne devient observable qu’une fois réalisé !). En effet, même sans fournir un rapport quantitatif entre les cas favorables et les cas possibles, il est clair que l’évaluation de la facilité des gains suppose au minimum une mise en relation entre ceux-ci et les non-gains. Or les gains ne sont déjà que des possibles, en tant que coïncidences éventuelles entre les arrêts de la bille et les points ou éléments choisis par le sujet, et les non-gains le sont a fortiori en tant que non-coïncidences et généralement plus fréquentes. Quelle est alors l’attitude des sujets de ce niveau quant à ces relations complexes ?

Au premier abord, il y a chez les trois sujets précédents une intuition précoce du rapport entre les cas favorables et les cas possibles, puisqu’ils admettent sans hésiter qu’il est plus facile [p. 158] de gagner, par exemple sur le 3, si ce nombre fait partie d’un petit ensemble (de 4 comme en I) que d’un plus grand (de 6 ou 8 comme en II et III). Mais il faut distinguer avec soin le cas où un objet unique X caractérisé en compréhension est opposé aux autres (non-X) et celui où une classe A est opposée à sa complémentaire A’ en un tout B. Dans le premier cas, en effet, l’action elle-même impose certaines intuitions du facile et du possible : il est, par exemple, plus facile de retrouver un objet (ou de le discerner, etc.) parmi 4 que parmi 8 et c’est ce genre d’intuitions qui semble être celles de nos sujets. Par contre une composition plus précise des relations de possibilité exige un jeu de classes avec leurs inclusions et leurs complémentarités : or, tout en sachant et disant qu’il y a autant de nombres pairs que d’impairs (ou de noirs que de rouges) ces sujets disent, ou bien qu’il est plus facile de gagner sur « pairs » avec 4 éléments qu’avec 6 ou 8 « parce qu’il y a moins de nombres », ou bien le contraire parce qu’il y a plus de pairs dans les 6 ou 8 que dans les 4. Rappelons, pour illustrer ce manque de relations quantitatives, qu’à ce même niveau on trouve encore des sujets pour admettre qu’en tirant 1 objet d’une urne qui en contient 1 blanc et 2 rouges on a plus de chances de tomber sur le blanc puisqu’il représente précisément le nombre 1 recherché !

Il est donc normal que ni Ser, ni Bal ne voient aucun rapport entre les gains et leur facilité. Si Ben semble l’admettre un instant c’est que l’ordre des questions précédentes suggérait un rapport, mais elle se contredit dès la référence aux pairs et impairs.

A ce début des opérations concrètes, les généralisations inductives déjà aisées au niveau IB ne présentent plus de nouveautés quant aux cartons I-III, les progrès se marquant lors de la généralisation multiplicative et là à propos des relations dans l’ensemble de 36 qui ne sont pas toutes dominées. Par contre la « facilité » variable de gagner pose encore toutes sortes de problèmes :

Gau (8 ;1) trouve rapidement à partir de II qu’on gagne n — 1 jetons : « Et avec le carton (III) ? — On me donnerait S jetons parce qu’il y a 9 cases, ah non, il y en a 8 : on gagnerait 7 jetons. —  Et si 100 jetons ? — On gagnerait 99 jetons. — Et si tu joues P.I. ou N.R. avec ça (III) ? — 2 jetons. —  Pourquoi ? [p. 159] — Je vais voir (Exp.). Non c’est pareil que là (en I). — Si tu joues un numéro ou si tu joues pair où c’est plus facile de gagner (en I) ? — Pair, non pour le numéro je gagne 3 jetons. — Mais où est-ce le plus facile pour que la bille s’arrête ? — C’est le numéro, parce que… non impair parce qu’il y en a 2. —  Et le plus facile de gagner quand on joue pair ou impair ? — C’est pareil parce que ça a une chance de tomber là ou là (2 ou 4). — Et impair ? — Ah je ne sais pas trop. —  Alors plus facile de jouer pair ou impair ? — Je ne sais pas où. — Mais que crois-tu ? — C’est à peu près la même chose… quand la bille s’arrête devant 2 ou 4… (ou) 1 ou 3… Les deux c’est pareil. —  Et avec le carton (II) ? — C’est pareil : celui-là (5) avec les impairs et celui- là (6) avec les pairs. » On a donc tout fait pour amener Gau à l’idée de la relation I = I indépendamment des nombres absolus. Néanmoins : « C’est plus facile de gagner pair ici (I) ou là (II) ? — Ici (I) parce qu’il y a moins de pairs, ah ! non ici (II) parce qu’il y en a plus. Là (I) il y en a que 2 au lieu d’y en avoir 3, plus de chances ici (II). — Et pour impair ? — C’est pareil : 3 (II) et là 2 (I). » Et pourtant les généralisations multiplicatives ne font plus problème : « Si tu mets 2 jetons à la fois sur un n en I ? Je gagnerais 6 parce que c’est le double. — Et 3 ? — 9 jetons. — Et 5 sur pair ? — Je gagnerais 5 jetons. » On revient aux facilités : « C’est plus facile de gagner ici (I) ou là (36 : il vient de dire qu’on gagnerait 35 jetons) ? — Ici (I) il y a 4 nombres, alors il y a plus de chances de gagner. —  Comment tu dirais ? — 1 chance sur 4 de gagner. — Comment ça ? — J’ai 1 (bonne) chance sur 4 mauvaises. —  Explique-moi bien. — Les 4 parce que quand on joue (un des) 4 on peut jouer (la bille peut aboutir à) plus ou moins que (ce) 4 ! — Mais le 4 c’est une bonne ou une mauvaise ? — Ah je comprends, il faut dire qu’il y al chance sur 3 :1 bonne chance sur le n°4et3 mauvaises. — Mais en tout 1 — 4 chances. »

Mag (8 ;10) trouve rapidement la loi des gains, ainsi que le produit multiplicatif en I : « Si on joue 2 jetons ? — On gagnerait G et là (P.I.-N.I.) 2 jetons », etc. Par contre, s’il est plus facile de gagner sur un numéro en I qu’en II « parce qu’il y a moins de chiffres », le gain sur les pairs « c’est la même chose… (Non) on peut mieux gagner là (II) parce qu’il y a plus de pairs ». Quant aux noirs, on gagne de même plus facilement en II qu’en I parce que « là, là et là (3 casiers noirs) on gagne mieux (que sur 2 casiers en I). — Est-ce qu’on peut dire le nombre de jetons qu’on gagne a quelque chose à voir avec la chance de gagner ? — Non ! ».

Gen (8 ;0) et Had (8 ;2) : mêmes réactions. Cependant Had suppose qu’on gagne plus en II qu’en I « parce qu’il y a 2 nombres de plus », ce qui n’est encore que la loi des gains, mais en ajoutant « c’est plus dur de gagner que tout à l’heure ».

Van (9 ;5) trouve rapidement que pour chaque ensemble « j’en gagne 1 (jeton) de moins. —  Et pour 12 ? •— -Je gagnerais 11 jetons. —  Et pour le reste ? — Ça ne change pas, parce que pour pair-impair ça ne peut pas changer. — Et pour 100 ? — 99 jetons ». Cela ne l’empêche pas, un instant après de trouver que jouer pair est plus facile avec III qu’avec I « parce que là (III) il y a 4 pairs et là (I) il n’y en a que 2 ». Et surtout, après avoir dit qu’un numéro est plus facile à gagner sur I que sur III « parce que là (I) les parties (secteurs spatiaux) sont plus grandes et là (III) c’est plus petit parce qu’il y a [p. 160] plu » d » nombres », elle conclut par une fausse analogie qu’en I il est « peut- être » plus facile d’atteindre le n° 3 qu’un nombre pair : « peut-être parce que fa s’arrête sur une (seule) case : quand la bille s’arrête à pair il y en a 2 et 2 impairs, c’est plus difficile. — Regarde et explique moi mieux. — Ah, pour pair, la bille peut s’arrêter sur 2 ou sur 4 alors que pour le 3 il n’y en a pas d’autres. —  Alors plus facile ? — C’est pair, parce que pour pair, si la bille peut pas s’arrêter à 2 elle a encore la possibilité (spontané) de s’arrêter à 4. — Si on parle de possibilités, combien il y en a s’il y a 4 nombres ? — Il y a 3 possibilités. — Pour la bille qui tourne ? — Elle peut s’arrêter au 2 : si c’est 1, 3 ou 4 c’est perdu ». La généralisation multiplicative est aisée pour I-III, mais pour 36 jetons : « Si on jouait 2 jetons sur le 26 ? — On gagnerait 35 aussi (comme pour 1), on n’aurait pas assez de jetons (dans la réserve). — Mais avec un gros sac ? — Ce serait difficile quand même, ce serait un nombre plus grand que 36 ! »

Arn (9 ;2) pense encore qu’il est plus facile que la bille s’arrête devant le n° 2 (sur les 4 de I) que devant un impair, puis à l’examen détaillé : « C’est impair parce qu’il y a 2 chiffres pour gagner. —  Et pair ou impair ? — C’est pareil toujours 2 chiffres. — Et impair en II ou en III ? — C’est pareil, toujours 2 et 3 chiffres, c’est pareil… non là (III plus facile) parce qu’il y a 3 chiffres. — Sûre ? — Oui, oui. — Et en jouant le 3 avec I ou II ? — Plus facile là (II) non c’est pareil. — Montre (les secteurs). — (Elle le fait.) C’est pareil, non là (I) côté (secteur 3) est plus large parce qu’il n’y a que 4 chiffres. —  Tu crois que le nombre de jetons que tu gagnes a quelque chose à voir avec facile ou difficile ? — Oui, on donne plus (en III qu’en I) parce qu’il y a plus de cases. » Multiplication de n jetons : justes, mais il n’y a pas encore généralisation même additive à 36 : « C’est différent, parce qu’il y a plus de chiffres. »

Bag, à encore 10 ;6, dit encore que « la chance de gagner » un chiffre sur les 4 du carton I c’est « une chance sur 3, parce qu’on a joué sur une seule case ».

Les sujets de ce niveau IIA ne rencontrent plus de difficulté dans la généralisation inductive de la distribution des gains pour les petits ensembles (I-III et P.I. + N.R.) et résolvent d’emblée les questions de gains multiplicatifs. Par contre, pour le problème des 36 jetons (qu’au niveau IB déjà Ser paraissait comprendre en partie, réserve faire des pairs-impairs en ce cas), Van perd pied quant à la multiplication par 2 et Arn trouve la situation « différente » à cause du nombre d’éléments, ce qui montre d’emblée qu’il manque encore à ce sous-stade quelque structure générale permettant d’interpréter les lois extentionnelles.

C’est ce qui devient évident dans les questions de la « facilité » variable des gains et par conséquent des « possibilités » de rencontres ou de non-rencontres entre la bille et les éléments [p. 161] choisis. Notons d’abord un certain progrès entre ces sujets et ceux du niveau IB qui considéraient déjà la gain d’un numéro comme plus facile en I qu’en II ou III « parce qu’il y a moins de nombres ». Or, ce nombre inférieur qui était alors pratiquement synonyme de facilité à s’y retrouver (on est « plus sûr » disait un enfant) prend désormais un sens spatio-arithmétique que précisent Gan, Van et Arn : à moins d’éléments correspondent des secteurs « plus grands », « plus larges », d’où plus de chances de rencontres avec la bille. Mais ne s’agit-il encore que d’objets individuels ou le sujet atteint-il des justifications procédant par classes avec leurs inclusions et leurs relations d’équivalence ? L’intérêt des cas cités est justement leur statut intermédiaire à cet égard, avec tous les tâtonnements que comporte cette situation.

D’une part, tous ces sujets, sauf Gan qui hésite un bon moment, admettent une égale facilité de gagner si l’on joue pair ou si l’on préfère impair, que si l’on joue P.I. ou N.R. De même presque tous reconnaissent d’emblée que jouer pair est plus rentable que miser sur un chiffre, car celui-ci est unique tandis qu’il y a 2 pairs en I. Seule Van commence par le curieux raisonnement de niveau préopératoire (cité à la fin du § 2) selon lequel il est « peut-être » plus facile d’atteindre un chiffre précisément parce qu’il est unique (comme si la bille n’avait alors pas à choisir !), mais à part ce cas tous les autres sujets se fondent sur les inégalités de nombres, ceux-ci restant alors absolus. Mais, d’autre part, c’est précisément cet attachement aux nombres absolus, donc proches des observables, qui marque les limites de ce niveau, par opposition à la construction de relations d’équivalences et d’emboîtements inclusifs. En effet, lorsqu’il s’agit de décider s’il est plus facile de gagner en jouant pair ou impair sur le carton I ou sur II et III, la réponse est quasi unanime : au lieu de voir que la chance est de 1 sur 2 quels que soient les nombres en jeu, le sujet admet que plus il y a d’éléments, plus il est facile de tomber sur pair, contre impair, ou l’inverse. Et pourtant Gan commence par dire qu’en II « c’est pareil » qu’en I, en ne pensant qu’à l’adjonction des éléments 5 et 6 mais sans voir qu’alors effectivement l’équivalence nP = ni n’est pas modifiée. De même Van va jusqu’à dire « pour pair-impair ça ne peut pas changer », puis se contredit en affirmant qu’en III « il y a 4 pairs et là (I) il [p. 162] n’y en a que 2 », d’où une chance considérée comme accrue. Mag fait le même raisonnement pour les 3 casiers noirs en II opposés aux 2 en I. Arn répond d’abord juste « c’est pareil » en précisant l’égalité nP = ni pour n = 3 comme pour 2 puis cède à la séduction des nombres absolus.

Or, cette incompréhension des classes d’équivalences par emboîtements récursifs conservant le même rapport (2 = 2) 5* (3 = 3) (4 = 4), etc., va de pair avec une autre réaction

instructive de ce niveau : la difficulté de traduire en inclusions les « chances » ou « possibilités », qui demeurent en situation de classes disjointes sans coordination en un système total. C’est ainsi que Van, très explicitement, affirme qu’« il y a 3 possibilités » pour 4 éléments, celles où « c’est perdu », tandis que le nombre gagné appartient au réel. Bag de même considère le chiffre gagné en I comme « une chance sur 3 » avec cette précision « parce qu’on a joué sur une seule case », celle-ci étant donc d’une autre nature que celles n’ayant pas connu de réalisation. Gan s’exprime de même. Tout se passe donc comme si l’enfant ne distinguait pas deux états : l’un antérieur caractérisé par la classe encore indivise B comportant n possibilités, toutes de même rang, l’autre ultérieur où la sous-classe Al (singulière ou plurale) est celle des événements réalisés et où la sous- classe A’ 1 est demeurée sans objet actuel. Or, pour juger de la facilité de gagner, autrement dit de sa probabilité en tant que rapport entre les cas favorables et les cas possibles, il s’agit précisément de considérer les possibilités préalables B et de voir dans les réussites escomptées une certaine sous-classe Ax de B, qui peut coïncider avec Al mais aussi avec une partie de A’ 1 et qui est dans le même rapport quantitatif (Ax < B) avec B que l’est A, quels qu’aient été les événements heureux ou malheureux qui se sont réalisés. Au contraire, ces sujets sont centrés sur le réel A et n’appellent possibles que l’ensemble des événements non réalisés non-A, donc la classe complémentaire A’. Ce n’est donc pas pour rien qu’à la question de la relation entre la grandeur des gains et la facilité de gagner, ces sujets ou bien nient tout rapport (Mag) ou bien y voient une simple corrélation entre l’augmentation des gains et l’extension croissante des ensembles de jetons (Had et Arn). Had ajoute bien qu’en ce cas ce sera « plus dur » de gagner mais sans y voir de raison explicative.

[p. 163] En conclusion nous voyons dès ces faits combien les relations à construire pour dominer les questions de facilité et de possibilité diffèrent des relations observables en jeu dans les généralisations inductives : c’est que par sa nature même le possible déborde le donné et exige une nécessité déductive irréductible aux simples constatations.

Les sujets du niveau IIB (10-11 ans) résolvent en partie ces problèmes. Voici des exemples à commencer par deux cas intermédiaires :

Fan (10 ;6), après avoir indiqué qu’un chiffre quelconque a plus de chances de sortir en I qu’en II ou III, dit que pour les nombres pairs « je pense que c’est pareil (en II et en I) parce que là (I) il y a 2 pairs (contre 2 impairs) et là 3 pairs (contre 3 I) ». Mais elle se ravise : « Non, là (I) il y a 2 nombres pairs c’est plus facile : c’est le même principe que là (un chiffre) : quand il y a moins c’est plus facile. » Dans la suite elle nie qu’une chance sur 2 équivale à 2 sur 4 : « Et le carton (II) ? — (ah !) C’est pareil, j’ai 3 chances de perdre et 3 de gagner. — C’est pareil ? — Oui… Non, c’est pas pareil, pour gagner il vaut mieux prendre celui-là (II) : il y a 3 chances de gagner… Mais c’est pareil. »

Jus (10 ;2) débute exactement de même et croit aussi le carton I plus favorable aux pairs que le II, puis le II que le I : « Il y en a plus, plus de chances. » Mais ensuite il les égalise parce qu’on a « une chance sur 2 de gagner. — Mais ici (II) il y a 6 chiffres ? — Oui, mais ça peut être pair ou impair ». Il n’en tire pas de lui-même la raison explicative des valeurs des gains, mais sur question il reconnaît que « si le numéro gagnait plus facilement (en I qu’en II ou III) on gagnerait moins de jetons ».

Alo (10 ;3) comparant III à I : « Pairs et impairs, je crois que c’est pareil. Enfin il y a plus de chances… », mais pour N.R. : « Là-bas (I) il y avait 2 rouges et 2 noirs, et là il y a 4 et 4, ça revient au même, 2 de chaque côté et 4 de chaque côté c’est pareil. » Quant à la relation gain X facilité, « non, je ne crois pas (qu’il y en ait)… Peut-être : si on joue 1 jeton (en III) il reste 7 cases de mauvaises on gagne 7 parce qu’il en reste 7. — Et si 1 jeton sur impair ? — Là ça ne va pas ». Mais ensuite, en 36 : « C’est partagé en 2 :18 pairs et 18 impairs… c’est 1 chance sur les 2, c’est divisé en 2, il y a 2 parties et on rien a qu’une. —  Et en 36 ? — Ah oui, oui et là (III) aussi c’est pareil. » Mais si elle admet 4/8 = 8/16, « oui, oui », elle refuse 2/8 = 1/4 : « non, non ».

Via (10 ;7). Pairs-impairs en I et III : « C’est pareil parce qu’il y a la même chance de gagner. » Mais pour N.R., hésitations : « Non, ici (III) il y a plus de chiffres noirs : 4 et là (I) 2, alors on a 1 chance sur 2 ici et 1 sur 4 là… Ah non 1 sur 2 aussi, c’est pareil : il y a le même nombre (N. = R.) ». Gain X facilité : « Gagner 8 (= 7) jetons c’est difficile sur 8 chiffres : il y en a 7 autres qui peuvent sortir, ça a un rapport avec 1 chance sur 8 ; il y a de plus en plus de difficultés à gagner. »

[p. 164]Cot (11 ;7) croit encore que gagner pair en I est plus facile qu’en II-III .< parce qu’il y a moins de chiffres : 2 P. et 2 I. — Et ici (III) ? — Là aussi il y a 4 et 4 : ah c’est pareil ! —  Quand je dis j’ai une chance sur 36 de gagner et puis je reçois 35 jetons, ça a quelque chose à voir ? — Oui, 36 — 1 ça fait 35. — Mais pourquoi 36 — 1 ? — Parce qu’on a une chance sur 36 de gagner. — Est-ce qu’on peut dire que sur 36 possibilités il y en a qu’une qui est bonne ? — Oui. — Il y en a de mauvaises ? — 35 mauvaises, ce qu’on gagne c’est le nombre de malchances. — Et s’il y avait 100 numéros ? — On aurait 1 chance sur 100 de gagner et on gagnerait 99 jetons parce qu’il y a 99 chances pas bonnes ».

Et voici des exemples du stade III où la « raison » de la valeur des gains est dégagée explicitement et où le sujet n’éprouve plus de difficultés à raisonner en termes de rapports entre possibilités, donc de « chances » :

Let (10 ;4) : « Ce que je voudrais que tu m’expliques bien c’est ce que je te donne chaque fois, qu’est-ce que ça a à voir avec la chance de gagner : avec le carton II comment peut-on expliquer ? — On gagne 1 case de moins qu’il y a dans le tableau, ici 5 au lieu de 6. — Est-ce qu’on ne pourrait pas dire autrement ? — … ce que tu as en tout en comptant le jeton que tu as mis, comment on pourrait dire ? — A la fin on a autant de jetons que de cases. — Si je joue 1 jeton à la fin j’ai combien de fois plus ? — Ben ! 5 fois plus. — 5 fois plus ? — Sans compter le premier. — Si on le compte ? — 6 fois plus. —  A la roulette ce que l’on joue on appelle ça une mise, si tu joues un jeton sur le n° 2, en tout tu as combien de fois la mise ? — 6 fois la mise. — Et pair-impair comment dire ? — 2 fois la mise. — On va regarder le vrai jeu (carton IV), tu as combien de numéros ? — 36. — Si tu joues le n° 20 avec 1 jeton combien vas-tu gagner ? — 36 fois la mise. — En tout tu en auras combien ? — 36 jetons. — Je t’en aurais donné combien ? — 35. —  La chance de gagner c’est combien ? — Elle est très petite…, 1 chance sur 36. — Ça veut dire quoi une chance sur 36 de gagner ? — Il y a 36 cases et c’est difficile d’en gagner 1, de tomber sur la bonne. On a 35 chances de perdre et 1 de gagner. »

Gol (10 ;7) : « Pourquoi a-t-on 1 chance sur 2 de gagner avec impair ici (carton I) ? — Sur les 2 cases on a… il y a 2 cases. Il y a 2 possibilités, je n’ai que 1 chance de gagner. —  Pourquoi 2 possibilités puisqu’il y a 4 numéros ? — Ça peut tomber sur pair ou impair, mais j’ai qu’une possibilité quand je joue. —  Mais il y a 4 numéros alors pourquoi il y a 1 chance sur 2 ? — Il y a 2 numéros impairs sur 4 nombres… si je mise impair j’ai 2 chances sur 4. —  2 chances sur 4 c’est pareil qu’une chance sur 2 ? — C’est pareil je pense. — Pourquoi là (I) c’est 3 jetons qu’on gagne, là 7 jetons (III) et P.I., N.R. 1 jeton ? — On a 1 chance sur 4 de gagner alors c’est 3 jetons… si on joue le n° 4, ça tombe sur le n° 4, alors on a évité les 3 autres cases, alors on gagne 3 jetons. — Tu voudrais dire que le nombre de jetons que je te donne ça a quelque chose à voir avec la chance de gagner en quelque sorte ? — Oui. —  Et là (carton III) ? — Si je joue le n° 4, on évite les 7 autres cases, [p. 165] on reçoit 7 jetons. —  Ça serait juste de dire « le nombre de jetons que je gagne, ça a quelque chose à voir avec la chance de gagner ? » — Je pense que oui. —  Et pour pair-impair ? — Sur pair-impair, j’ai 2 chances de gagner, 2 chances de perdre… alors donc si on gagne impair on gagne 1 point. — Comment ça se fait qu’on gagne 1 jeton puisqu’on a 2 chances de perdre ? — Parce que 2 chances de gagner, 2 chances de perdre ça revient au même ; on a autant de chance de gagner que de chance de perdre. —  Maintenant je voudrais que tu résumes bien tout, pourquoi là (I) on gagne 3 jetons, là (III) 7 jetons, là (IV) 35 jetons ? — On gagne 3 jetons parce qu’on a 1 chance sur 4, là 7 jetons parce qu’on a 1 chance sur 8, P.I., N.R., 1 chance sur 2… —  Tu me dis là, là, là ! Comment pourrait-on dire d’une manière générale ? — On gagne autant de pions qu’on a de chances de perdre. »

Encore au niveau IIB, les sujets n’arrivent donc qu’avec peine à l’égalisation 2/4 = 3/6 = 4/8 des chances sur les pairs et impairs ou noirs et rouges. Et ce qui est intéressant est qu’ils y parviennent par l’intermédiaire des classes d’équivalence bien plus que par les rapports numériques, ce qui est normal à un niveau où les proportions ne débutent qu’avec difficultés : Fan utilise l’égalité des chances de perdre et de gagner. Jos celle des pairs et impairs, Alo « 2 de chaque côté » pour N et R, puis 18 pairs et 18 impairs pour les 36 avec cet argument « il y a deux parties (égales) et on n’en a qu’une », Via et Cot de même : « Il y a le même nombre. » En d’autres termes ces sujets commencent à construire des inclusions et ainsi que des classes d’équivalence emboîtées et cela, notons-le expressément, non pas sur des observables simples (car ces nombres étaient aussi bien constatés par les sujets du niveau IIA qui n’en tiraient rien), mais sur des données interprétées en tant que « possibilités », c’est-à-dire de tirages possibles (en l’espèce de rencontres éventuelles avec la bille assurant ce tirage). Il y a donc là le début d’une structuration effective des relations de possibilités, déterminant le rapport entre les cas favorables et les cas possibles, mais avant la réalisation de certains de ces derniers.

Il n’est donc pas surprenant que les sujets commencent à donner une signification probabiliste à la notion de la « facilité » plus ou moins grande de gagner et en viennent donc à apercevoir une corrélation inverse entre la valeur du gain et cette facilité (Jos, Alo et surtout Via).

Au stade III ces questions sont enfin résolues de façon quasi immédiate, et sous des formes aussi bien explicitées que celle de Gol : « On gagne autant de pions qu’on a de chances de perdre. »

[p. 166] La réponse que les faits ont donnée à la question formulée en notre introduction est extrêmement simple et la différence entre les généralisations inductive et constructive s’est montrée aussi nette en ce chapitre que dans les précédents. Deux sortes de problèmes bien différents étaient, en effet, posés aux sujets : quelle est la règle fixant les gains dans le jeu adopté et quel est le rapport entre cette règle et la facilité de gagner ? Or, si les unes comme les autres des solutions à trouver supposent la coordination et la généralisation des relations, on a pu constater que celles-ci étaient de natures bien différentes. Dans le premier cas il s’agissait de constater puis de prévoir qu’en certaines conditions de fait certains gains étaient obtenus à titre également factuel et il ne s’agissait donc que d’établir les relations entre ces deux sortes d’observables et de vérifier leur régularité : d’où des généralisations inductives, obtenues non sans tâtonnements (dont nous avons abrégé les descriptions, là n’étant pas notre question centrale), mais atteintes en leur principe dès le niveau IB et parfois avec précision (« on enlève toujours un pour donner les jetons », Ser à 6 ;1 !).

S’agissant, par contre, de trouver la raison de cette règle, et, pour le faire, de la mettre en rapport avec la plus ou moins grande facilité ou difficulté de gagner, les solutions n’ont guère été entrevues qu’au niveau IIB et n’ont trouvé une formulation correcte qu’au stade III, celui des opérations propositionnelles et formelles. Or, l’explication de ce décalage s’est montrée bien facile : c’est tout simplement que les relations nécessaires pour résoudre le second problème impliquent une composition des possibilités et que les possibilités ne sont plus des observables, mais des entités déductives qu’il s’agit de construire. Il est vrai que toute généralisation constructive consiste à insérer le réel dans un système de transformations possibles et que le propre des « variations intrinsèques », dont il a été souvent question précédemment, est justement de constituer un ensemble de connexions nécessaires entre possibilités non encore réalisées. Mais la différence entre le possible probabiliste, en tant que rapportant les cas favorables à « l’ensemble des cas possibles », est d’être en quelque sorte vicariant, en ce sens que la réalisation de l’un ou plusieurs de ces cas possibles exclut celle des autres, tandis qu’en un modèle hypothético-déductif quelconque les [p. 167] possibilités, ainsi que leurs relations, s’ajoutent les unes aux autres. Or, sans avoir à préciser la notion discutée et d’ailleurs discutable d’équipossibilité, c’est cette exclusion mutuelle de réalisations (défavorables comme favorables) qui constitue le problème spécifique des possibilités probabilistes et l’on pouvait se demander si les sujets parviendraient à la compréhension des relations nécessaires entre possibilités vicariantes, de la même manière (généralisations constructives de relations entre termes non observables, formation de classes d’équivalences et de leurs emboîtements inclusifs, etc.) et aux mêmes niveaux que dans le cas des passages habituels du réel constaté aux transformations possibles qui l’englobent, mais sans incompatibilités dans les réalisations. Or, la réponse a été positive et nous avons retrouvé dans les présents faits la même subordination progressive des généralisations inductives aux généralisations constructives, et ces dernières jusqu’à un niveau où le sujet devient capable d’établir des connexions nécessaires entre des événements qui ne se réalisent pas. C’est d’ailleurs là le premier pas dans la direction de ce que nous enseigne en mathématiques l’histoire du calcul des probabilités : tout en servant d’auxiliaire indispensable aux généralisations inductives dans les domaines expérimentaux où leurs conclusions ne demeurent que « probables », ce calcul en lui-même constitue une théorie dont les caractères de cohérence formelle et de nécessité intrinsèque sont ceux de tout système logico-mathématique quel qu’en soit le contenu.