Chapitre XIV.
Conclusions générales ^a 🔗

Si nous partons des inductions, chacun sait que certains auteurs n’en veulent plus parler, comme si elles étaient dénuées de toute signification ; que d’autres n’y voient plus une forme de raisonnement opposée à la déduction, mais une méthode d’ensemble à procédés déductifs appuyés par ailleurs sur des systèmes de quantification probabilistes ; que les troisièmes, enfin, y cherchent toujours un type particulier d’inférences, fondées sur l’analogie, tout en reconnaissant que la déduction mathématique conduit elle aussi du moins au plus général, mais de façon nécessaire (l’induction « complète » de Poincaré) et non plus probabiliste. Pour notre part, nous avons parlé de « généralisation inductive » en nous plaçant au point de vue, non pas des questions de logique, non abordées en cet ouvrage, mais des frontières épistémologiques entre ce qui provient des objets et ce qui est fourni par les opérations ou actions du sujet.

[p. 220] Or, en une telle perspective l’étude de la psychogenèse semble imposer l’existence de généralisations extensionnelles fondées sur les seuls observables. Lorsque les jeunes sujets du chapitre V voient que les angles d’un quadrilatère donnent 360°, ils en concluent qu’il en sera de même du pentagone, etc., mais avec des « ronds » de plus en plus grands ; et lorsque ceux du chapitre IX constatent qu’une planche poussée sur un rouleau dépasse sans cesse celui-ci, ils en induisent qu’il en sera toujours de même : que ces inférences soient fausses ou correctes, elles se bornent à généraliser de « quelques » à « tous » les faits ou relations constatés, donc les observables à titre de contenus de ces constatations. Certes, et nous l’avons constamment répété ¹, l’enregistrement de ces contenus suppose une assimilation, donc des formes consistant en classes, relations ou nombres, etc., et ces formes résultent d’abstractions réfléchissantes et de généralisations constructives, mais antérieures au raisonnement actuel et ne jouant qu’un rôle de cadre assimilateur. Autrement dit elles se bornent à « permettre » l’assimilation des contenus, mais n’« engendrent » pas ceux-ci. Il s’y ajoute souvent des idées préconçues qui faussent la lecture des observables, mais dues en ce cas à des inductions antérieures sur d’autres contenus. Cela étant, il reste que, les observables une fois enregistrés sur les objets donnés, la généralisation ne consiste qu’à transférer ce contenu sur de nouveaux objets, sans que le cadre assimilateur produise le contenu même de cette généralisation. Tout autre est donc le passage du « quelque » au « tous » en une généralisation logico-mathématique, où les formes actuellement construites créent de nouveaux contenus (itération récurrentielle, etc.), tandis que les contenus des généralisations inductives ne sont fournis que par les observables attachés aux objets : le signataire de ces lignes a consacré des années à l’étude des mollusques, mais les généralisations qu’il a pu faire sur les observables ainsi analysés ne l’ont jamais conduit à engendrer le plus petit escargot, tandis que ses collègues mathématiciens avaient la chance de créer formes et contenus sans avoir à quitter leur table de travail. En un mot, si l’on s’en tient aux seuls observables constatés sur les objets, il existe déjà des généralisations possibles, mais, ne [p. 221] portant que sur des contenus, elles ne sauraient être qu’extensionnelles et en ce sens inductives.

En un exposé lumineux à notre symposium final, G. Henriques a commencé par se demander ce que signifie le prédicat « généralité » dans le cas des généralisations constructives : en effet, leur caractère spécifique de « construction » peut conduire à l’élaboration de structures plus riches, mais d’extension plus restreinte (par exemple les corps par rapport aux anneaux, puisque tous les corps sont aussi des anneaux sans que la réciproque soit vraie) et il y aurait paradoxe à parler en ce cas de « généralisation spécialisante » !

Il est donc clair que la question de la généralité ne saurait se poser, du point de vue constructiviste, en termes de présence ou absence d’un certain prédicat : c’est tout le système des rapports qui est plus ou moins général. En d’autres termes la généralisation constructive ne consiste pas à assimiler de nouveaux contenus à des formes déjà constituées, mais bien à engendrer de nouvelles formes et de nouveaux contenus, donc de nouvelles organisations structurales. L’assimilation en jeu en de tels processus n’est donc jamais une assimilation simple (c’est-à-dire à des schèmes préexistants), mais, soit une assimilation réciproque de schèmes d’abord conçus comme hétérogènes (cf. le chapitre XII sur la généralisation de l’idée de vitesse), soit une assimilation avec différenciations et réintégrations : en ce cas le point de départ est pour le sujet la difficulté d’une assimilation particulière (par exemple n — m si m > n le schème initial étant celui des entiers positifs, ou, au chapitre VII, la constance de la longueur lorsqu’elle est mesurée en vertical ou en horizontal). Au terme d’arrivée, au contraire, ce qui était perturbation ou obstacle à l’assimilation devient une transformation interne du schème élargi, mais avec différenciation du schème initial en sous-systèmes (selon qu’on a n > m ou m > n ou que les droites à mesurer ont diverses directions), et avec intégration de ceux-ci en un système total qui les coordonne (groupe additif des entiers positifs et négatifs ou isotropie de l’espace euclidien). Il y a donc toujours eu assimilation, mais d’un rang supérieur.

La généralité qui caractérise les généralisations constructives [p. 222] ne saurait donc demeurer purement extensionnelle, comme dans le cas des inductives où il y a simplement assimilation de nouveaux contenus observables à un schème préexistant qui n’en est pas modifié pour autant, mais elle doit être définie par la plus grande richesse (ou force, ce qui est synonyme) des systèmes qu’elle élabore. Cet accroissement peut alors se mesurer en extension, ce qui est évident dans le cas des assimilations réciproques entre schèmes de même rang, puisque l’idée générale aura en ce cas un contenu plus large que ceux de chaque sous-système. Mais il se manifeste surtout en compréhension, dans les cas de différenciations et de réintégrations, puisque les structures de rang supérieur présenteront alors des propriétés nouvelles. Seulement, nous nous trouvons alors en présence d’un grave problème de logique : l’enrichissement dû aux généralisations constructives ne se présente jamais, nous l’avons vu sans cesse, uniquement en compréhension ou en extension, mais avec exclusion de l’autre dimension, car les deux vont toujours de pair. Or, il est une loi bien établie selon laquelle l’extension (qui se mesure aux inclusions c) et la compréhension (donnée par les implications D) sont en raison inverse l’une de l’autre. En effet :

A C B seulement si Vx (x g A) D (x e B).

Mais la réciproque de cet énoncé, c’est-à-dire l’implication entraîne une inclusion, n’est vraie qu’à certaines conditions et, si l’on veut se servir de l’implication comme indice de la « compréhension », on retrouve les mêmes conditions : c’est que les implications en jeu doivent elles-mêmes être interprétées en compréhension (implications signifiantes : p D q si q fait partie de la signification de p) et non pas seulement en extension (tables de vérité : la classe des valeurs vraies de p correspond à une partie de la classe des vérités de q). Or, ces implications signifiantes présentent par ailleurs deux sortes d’avantages : d’une part, elles sont bien plus précoces au point de vue psychogénétique que les implications en extension (voir le chapitre V du volume sur l’Abstraction) et, d’autre part, elles ne comportent pas d’implications paradoxales.

Cela dit il reste que le rattachement de q à la signification de p peut se faire de deux manières rappelant la célèbre distinction de Frege entre la [p. 223] « signification » (SinnJ et la « dénotation » (Bedeutung), et cette différence sera importante dans la suite en ce qui concerne les variations intrinsèques et extrinsèques. D’une part, une classe comme celle des triangles euclidiens comporte nécessairement des sous-classes de triangles scalènes, isocèles et équilatéraux parce que, les triangles possédant trois côtés, il entre dans la « signification » de ceux-ci de présenter nécessairement des longueurs qui sont alors nécessairement inégales ou égales 2 à 2 ou 3 à 3. Par contre, la classe des tables (de jardin, etc.) peut englober des sous-classes selon qu’elles sont en bois, en fer, en pierre, etc. : ces caractères doivent néanmoins être rattachés à la « compréhension » des sous-classes, mais à titre de « dénotation », c’est-à-dire en référence aux propriétés des objets désignés. Dans le cas des systèmes taxonomiques (mais en insistant sur le fait qu’il ne s’agit là que de classifications fondées sur les observables et non pas des opérations que mettra et met déjà en jeu la biologie causale), la présence de mamelles dans une classe de vertébrés relève également de la « dénotation » car il n’y aurait rien de contradictoire à ce qu’on découvre un jour des céphalopodes présentant de telles glandes (de même qu’ils possèdent des yeux de vertébrés), ou qu’on trouve des mutations de souris les ayant perdues mais conservant les autres caractères des rongeurs.

Chacun de nos chapitres nous a montré que la généralisation constructive aboutit, simultanément ou après un court décalage, à un enrichissement complémentaire de l’extension et de la compréhension, comme si elles s’accroissaient en raison directe et non pas inverse l’une de l’autre. Il y a donc là une contradiction apparente avec ce que nous venons de voir. Pour la lever, il convient alors de distinguer les formes ou structures et les contenus, les premières comportant naturellement des propriétés en compréhension (que nous nommerons Cf) mais aussi des extensions (que nous appellerons Ef : par exemple il existe moins de groupes que de monoïdes, puisque les premiers sont inclus dans les seconds). Quant aux contenus, ils ont également des caractères en compréhension (Ce) distincts des Cf (par exemple d’être un nombre entier) et en extension (Ec). Or, nous allons montrer que, en comparant Cf et Ef, ainsi que Ce et Ec, on retrouve bien la relation inverse des extensions et des compréhensions, mais que si l’on compare Cf et Ec, donc Cf la richesse en compréhension des structures d’ensembles élaborées par généralisations constructives et Ec l’accroissement des contenus engendrés par ces formes ou par les opérations qui les caractérisent, on est au contraire en présence de relations directes.

[p. 224] Pour ce qui est des relations inverses, nous pouvons citer deux exemples dans le domaine de la pensée scientifique : ceux du nombre et de la taxonomie biologique. Les nombres peuvent être classés en naturels N, entiers Z, rationnels Q, et d’extensions croissantes, car on a NQZ, ZQQ, etc., et de compréhension décroissante puisque V x (x e N) D (x e Z), etc. Mais ces ensembles de nombres présentent des structures dont les opérations constitutives correspondent à celles qui ont engendré ces extensions (généralisation de la soustraction pour les N, etc.) : les naturels N ont ainsi pour forme un monoïde, les entiers un anneau, etc. Or, les anneaux sont plus riches en compréhension que les monoïdes, mais plus pauvres en extension, etc., et l’on retrouve ainsi la relation inverse.

Quant aux opérations de classification (groupements) qui constituent la taxonomie zoologique traditionnelle (mais répétons-le sans nous occuper des relations causales sous-jacentes en biologie théorique), on peut alors y distinguer des formes bien définies (embranchements E, classes K, ordres O, familles F, genres G et espèces S) et des contenus (les ensembles d’animaux). Pour ce qui est des formes, on retrouve la relation inverse compréhension- extension. En effet, la définition en compréhension d’un embranchement E est d’être subdivisé en classes K qui comprennent des ordres O, etc., jusqu’aux espèces ², donc n types, tandis que la définition en compréhension d’une classe K ou d’un ordre 0 est de ne comporter que n — 1 ou n — 2 de ces types hiérarchiques (direction j, ou f ). Quant aux extensions, il existe moins d’embranchements E que de classes K, moins de classes K que d’ordres 0, selon la dimension ↔ puisque la classification a la forme d’une pyramide. Quant aux contenus, il va de soi que l’on a la même relation inverse : poissons C vertébrés et (x G poissons) D (x e vertébrés).

Mais, si ces deux exemples des nombres et d’une classification non quantitative (à la différence de la table de Mendeleïev en chimie) vérifient l’un et l’autre la relation inverse de la compréhension et de l’extension à condition de distinguer les formes et les contenus, il importe, du point de vue de l’opposition entre les généralisations inductive et constructive, de relever combien sont distincts, en ces deux cas, les rapports entre les formes et les contenus : en effet, pour ce qui est des nombres, ces contenus sont engendrés par les opérations du sujet, de même que les formes ou structures (même si elles ont [p. 225] été découvertes bien plus tard par abstractions réfléchies, ce qui ne les empêchait pas d’« agir » auparavant), tandis que dans le cas de la taxonomie, les contenus sont donnés dans la réalité extérieure et explorés par généralisations inductives, les formes seules étant construites par le classificateur, mais avec cette exigence de se mouler adéquatement sur ces contenus préalables.

Il en résulte alors que les « formes » de la taxonomie ne se distinguent que par le nombre de leurs subdivisions et non pas par des caractères structuraux spécialisés, comme ceux qui opposent un groupe à un monoïde, etc. En effet, un embranchement E n’est qu’une réunion de classes K comme un genre G n’est qu’une réunion d’espèces S, mais rien n’empêcherait de décaler la hiérarchie d’un rang, de faire de chaque classe K un embranchement E ou d’une espèce S un genre G, etc., ni de multiplier les degrés intermédiaires (sous-embranchements, sous-classes entre les classes K et les ordres O), etc., et les taxonomistes ne s’en font pas faute. D’où cette conséquence que, si une structure est un groupe, elle est par cela même un monoïde (plus l’adjonction d’une opération), on ne saurait, par contre, dire que si un emboîtement est un embranchement, il est par cela même une classe K plus une adjonction opératoire de caractère général. La raison évidente de cette différence fondamentale est que si une classe K fait partie d’un embranchement E les caractères distinctifs de K (par exemple les glandes des mammifères) n’entrent pas dans la signification nécessaire de ceux de E (par exemple les vertébrés). Au contraire les caractères d’un monoïde (associativité et élément neutre) font partie également de ceux d’un groupe (qui y ajoutent seulement l’opération inverse). D’où corps D anneaux et non pas K D E en ce qui concerne la compréhension des formes.

Ces diverses remarques nous permettent alors de comprendre pourquoi, dans les multiples exemples de généralisations constructives que nous avons pu étudier, il y a enrichissement simultané de l’extension et de la compréhension : si, comme convenu, on appelle Cf la compréhension des formes et Ef leur extension, Ce la compréhension des contenus et Ec leur extension, les relations Cf <-> Ef et Ce <-> Ec donnent bien, respectivement, un rapport inverse entre ces extensions et ces compréhensions, mais, à comparer la compréhension Cf des formes à l’extension Ec des contenus, il y a, au contraire, lorsque [p. 226] ces contenus sont engendrés comme les formes par les opérations du sujet (voir les chapitres III-V, etc.), rapport direct entre deux : c’est même cette double constructivité qui constitue sans doute le caractère le plus essentiel de la généralisation constructive, et, lorsqu’il semble y avoir des exceptions, elles peuvent être levées sitôt introduite la distinction des différenciations par variations intrinsèques et extrinsèques (voir sous IV).

Il est à noter en outre que, sur le terrain de la pensée scientifique, ces interactions positives entre l’accroissement de la compréhension des formes et celui des contenus peuvent conduire à des situations apparemment paradoxales sur lesquelles a insisté Henriques en comparant Ce à Cf et Ec à Ef : par exemple en compréhension (x est un entier Z) 3 (x est un rationnel Q) mais (x est un corps) 3 (x est un anneau), et, en extension (entiers C rationnels) mais (ensemble des corps C ensemble des anneaux).

Autrement dit, tandis que l’ensemble des nombres considérés s’accroît en extension en passant des entiers Z aux rationnels Q, la compréhension de leur forme ou structure s’enrichit en passant de l’anneau au corps. De même le passage des naturels N aux entiers Z accompagne cet accroissement d’extension d’un enrichissement de forme en substituant le groupe ou anneau au monoïde, etc. Et si l’on dit qu’il n’y a pas de rapport entre ces structures (corps, etc.) et ces ensembles (Q, etc.), que nous appelons « formes » et « contenus », ce sont cependant des mêmes opérations de soustraction généralisée qui rendent compte à la fois du double progrès N — > Z et monoïde — > groupe et de division généralisée qui interviennent dans les processus Z-> Q et anneau — > corps, malgré le grand décalage historique entre les transformations des contenus et celles des formes ou structures. Aussi bien Henriques a-t-il d’abord recouru pour expliquer ce paradoxe à un processus de construction génétique. On se trouverait dans de tels cas en présence de deux paliers hiérarchiques : l’inférieur correspondant aux contenus et sur lequel il y aurait « extension croissante » de ceux-ci, puis le supérieur conduisant à une élaboration de la forme avec enrichissement de sa « compréhension ». En d’autres termes, à chaque niveau on retrouve les relations inverses entre la compréhension et l’extension, rendues nécessaires par la relation X C Y si x C y, mais, en comparant les deux niveaux (la thématisation du niveau supérieur étant plus tardive), l’accroissement en extension du premier entraîne un enrichissement de la compréhension du second.

Mais si éclairante que soit l’introduction de cette dimension génétique par un mathématicien ³ et si évident que soit le décalage historique, en ce cas particulier, entre l’accroissement des contenus, de Z à Q et l’élaboration de formes ou structures de plus en plus riches, il reste que la construction génético-historique se traduit par la construction de nouvelles opérations : ce sont donc celles-ci qu’il s’agit de caractériser épistémologiquement pour [p. 227] atteindre le mécanisme de la généralisation en termes de différenciations et intégrations. On ne saurait, en effet, considérer la genèse comme une source en quelque sorte infrarationnelle (ou transrationnelle) de créations intuitives, dont les pouvoirs suffiraient à expliquer les croisements paradoxaux Ce Cf ou Ef Ec signalés tout à l’heure et les interactions positives ou doubles enrichissements en Cf ou Ec dans le cas des nombres N, Z et Q. Tout d’abord il n’y a parfois aucun décalage historique entre les accroissements corrélatifs de l’extension et de la compréhension : lorsque Cantor a introduit le processus de correspondance 1 à 1 il a simultanément enrichi l’« extension » des nombres par l’adjonction des transfinis et leur « compréhension » par une nouvelle algèbre qui est celle des ensembles. De façon générale on peut même dire qu’en tout domaine mathématique l’introduction de l’infini engendre simultanément une double explosion en compréhension comme en extension.

En fait, deux conditions semblent suffire à expliquer cet enrichissement corrélatif des structures ou formes et des contenus. 1) Une opération nouvelle a engendré des contenus qui n’existaient pas encore, ou a été appliquée à des contenus qui ne la comportaient pas : exemple la soustraction n — m (si m > n) engendrant les nombres négatifs, la division engendrant les rationnels, la racine a/— n les nombres imaginaires, etc. 2) C’est la même opération, ou sa thématisation après abstraction réfléchie, qui permet de construire la structure correspondante : l’inverse de l’addition pour passer du monoïde des N au groupe additif des Z, etc. Au contraire, dans le cas des groupements, ce ne sont pas les opérations de classification qui engendrent les contenus à classer puisqu’il s’agit d’objets donnés de l’extérieur dont les propriétés en compréhension ne sont connues que par abstraction empirique.

En tant que construisant du neuf à partir du connu (et non pas en retrouvant le connu en de nouveaux objets, comme les démarches inductives), la généralisation constructive procède naturellement par différenciations et intégrations puisque les nouveautés ne se superposent pas simplement à ce qui précède, mais en dérivent en partie. Pour ce qui est des différenciations, étudiées en de nombreux chapitres (VI-VIII, etc.) nous avons constaté à plusieurs reprises qu’elles ne consistent pas seulement en abstractions, mais exigent des généralisations, tant pour relier entre elles les variations des facteurs à différencier (voir le chapitre VIII) que pour ouvrir de nouvelles possibilités.

Mais si les généralisations constructives comportent ainsi de continuelles différenciations, spontanées ou dues à des abstractions pseudo-empiriques (constatations du résultat des opérations), il en existe aussi au sein des généralisations inductives, [p. 228] sauf qu’elles sont alors imposées par les objets extérieurs et non pas endogènes. Il y a donc là une nouvelle opposition fondamentale entre les deux formes de généralisation, selon que les différenciations sont exogènes, et dues à de nouveaux observables non prévus, ou qu’au contraire elles soient liées aux transformations internes du système. Il importe d’analyser ces deux types de variations, dont on a vu des exemples aux chapitres I, VII, VIII, etc.

Notons d’abord que le problème de l’extension et de la compréhension, discuté sous III, se poserait tout autrement si, au lieu de ne considérer à titre de compréhension que les caractères en jeu dans la définition (statique) de la classe à considérer, on y faisait rentrer l’ensemble des variations que comporte (par implication signifiante), leur signification. Comme déjà dit, on devrait alors admettre que les propriétés des triangles euclidiens impliquent les transformations possibles des longueurs de leurs côtés, avec nécessité qu’elles soient égales ou inégales, de même que les grandeurs des angles : en ce cas la compréhension comme l’extension des triangles euclidiens quelconques seraient toutes deux supérieures à celles des sous- classes, puisqu’un triangle isocèle, par exemple, ne peut varier qu’en des conditions plus restreintes. Par contre, en une classification et si l’on s’en tient aux implications signifiantes et aux « significations » par opposition aux « dénotations », une sous-classe A de caractère distinctif a, comparée à sa classe emboîtante B de caractère général b présente une extension inférieure à celle des B (puisque A C B), mais une compréhension supérieure puisqu’elle bénéficie des variations possibles de a et de b, tandis que B ne connaît que celles de b à l’exclusion de a, si a n’est pas déductible de b.

Mais ce qui nous intéresse maintenant est seulement le problème des différenciations. Nous en distinguerons donc deux sortes à titre de variations d’une propriété considérée (un caractère de la compréhension) : les différenciations ou variations « intrinsèques » pouvant être déterminées par déductions nécessaires à partir de la signification de cette propriété, et les différenciations ou variations « extrinsèques » entraînées du dehors par des considérations de fait (constatations et abstractions empiriques). Les variations de longueurs et d’égalité ou d’inégalité des côtés d’un triangle euclidien sont ainsi intrinsèques, [p. 229] car un côté sans longueur est une notion contradictoire et que deux longueurs sont nécessairement égales ou inégales. Par contre que des montagnes aient 1 000, 2 000 ou 3 000 m d’altitude est affaire de variations extrinsèques, car, même à énumérer toutes les causes possibles d’érosion, il n’y a là que constatations et dénotations. De même la possibilité pour un vertébré d’avoir ou non des glandes mammaires en plus de sa colonne vertébrale demeure une différenciation extrinsèque tant que l’on ne connaît pas des raisons biochimiques pouvant permettre une liaison déductive unissant ces deux caractères.

Cela dit, nous considérons par définition qu’une classe est d’autant plus fortement structurée que ses sous-classes sont reliées au tout et entre elles par des variations intrinsèques. Par exemple un groupe et ses sous-groupes constituent une classe fortement structurée, tandis qu’un genre et ses espèces demeurent en général faiblement structurés faute de déductions des « différences spécifiques ». Mais tous les intermédiaires sont possibles entre ces deux formes de classes et une sériation A < B < C < …, par exemple, peut donner lieu à tous les degrés de structuration, à partir d’une relation quelconque sans régularité des différences, jusqu’à des lois de séries de plus en plus complexes. D’autre part, il est clair qu’on peut toujours concevoir une variation extrinsèque comme relevant d’un état provisoire en attendant que des informations plus poussées la transforment en différenciation intrinsèque, et l’on peut même supposer qu’une implication paradoxale, telle la célèbre conditionnelle « si le vinaigre est acide, alors il existe des barbus » pourrait être promue au rang d’implication signifiante moyennant un certain nombre (mais assez élevé !) de connaissances en plus sur les interactions de l’univers. Or, ce passage possible de l’extrinsèque mal structuré à l’intrinsèque fortement structuré, loin de compliquer nos hypothèses, nous achemine au contraire vers l’énoncé d’une loi psychogénétique peut-être importante et selon laquelle toute généralisation tendrait à s’orienter dans la direction des différenciations intrinsèques.

S’il en est ainsi, et de façon générale si l’on cherche, comme nous le suggérons, à subordonner les propriétés statiques en « compréhension » au système des variations intrinsèques qu’elles pourraient comporter, il n’existe qu’une différence de degrés entre les formes opératoires qui engendrent leurs [p. 230] contenus (telles que l’itération n -|- 1 pour la suite des nombres naturels, la soustraction pour les entiers négatifs, etc.) et celles qui, sans les créer à proprement parler, les « réengendrent » comme c’est le cas de la reconstruction déductive des êtres géométriques à partir des « groupes » fondamentaux invoqués par F. Klein : dans les deux situations il y a construction, partielle ou totale, du contenu par la forme, et c’est pourquoi, au plan des variations intrinsèques, l’enrichissement de la compréhension en tant que système des variations déducti- vement possibles s’accompagne d’un accroissement corrélatif de l’extension en tant qu’ensemble des contenus. Par contre, au plan des variations extrinsèques, les contenus sont des faits qui sont rencontrés ou assimilés par des formes construites à leur intention et non pas engendrés par elles mais cela en attendant des reconstructions éventuelles qui viendront un jour… ou jamais.

Inutile de signaler enfin la parenté entre les différenciations intrinsèques et l’abstraction réfléchissante ainsi qu’entre les variations extrinsèques et l’abstraction empirique.

Si toute différenciation comporte une part de généralisation dans la mesure où il s’agit de comparer des variations et non pas seulement les états auxquels elles aboutissent, toute intégration en implique également, car même lorsqu’elle conduit à des structures complexes dont le nombre des modèles est restreint, et où elle peut alors paraître « spécialisante », les structures sont elles-mêmes intégrées en des systèmes d’ensemble dont les lois rendent compte des spécialisations. Par exemple dès le niveau sensorimoteur, lorsque deux schèmes sont intégrés par assimilation réciproque, comme la préhension et la vision, les objets à la fois visibles et saisissables s’opposent alors aux objets visibles et insaisissables (comme la lune) et réciproquement (s’il y a écran manipulable), le cas spécial où les deux qualités positives sont réunies devenant alors solidaire de généralisations quant aux distances, aux masquages, aux déplacements, etc. De même, à tous les niveaux, l’intégration en systèmes d’ensemble comporte des généralisations, qu’elles soient constructives ou même inductives.

Mais il va de soi que, selon le caractère extrinsèque ou [p. 231] intrinsèque des différenciations auxquelles répondent les intégrations, celles-ci seront de types bien distincts, sans exclure les intermédiaires, et aboutiront ainsi à des classes ou systèmes plus ou moins fortement structurés. Nous introduirons donc deux dichotomies au sein des intégrations, ce qui les ramènera à trois types principaux : les intégrations totalisantes ou celles qui demeurent seulement coordinatrices et, parmi les premières, les totalisantes complétives et les totalisantes simples ou synthétisantes.

La première de ces distinctions repose sans plus sur celle des variations intrinsèques et extrinsèques : une intégration totalisante aboutit par définition à un système total dont les propriétés en tant que système sont autres que celles des sous- systèmes qu’il réunit, soit que ces derniers résultent des variations intrinsèques du système total, soit que celui-ci ajoute aux structures dont il procède certains caractères nouveaux qui les enrichissent (les structures précédentes ne pouvant alors être considérées comme sous-systèmes que dans la mesure où elles sont intégrées ou « plongées » dans les plus fortes, comme c’est le cas dans les relations entre un monoïde et un groupe). Les intégrations coordinatrices, au contraire, ne portent que sur des variations extrinsèques et ne consistent par conséquent qu’à réunir les sous-systèmes en une totalité qui n’ajoute rien à leurs propriétés et ne comporte que des caractères communs plus pauvres que ceux des sous-classes sauf le fait que le tout admet plus de subdivisions que les échelons qui lui sont inférieurs.

Comme exemple illustrant cette première distinction, nous pouvons d’abord citer les résultats obtenus sur les « moirés » (chapitre VIII) qui, de plus, montrent le passage psychogénétique possible d’un mode d’intégration à un autre. Tant que les sujets n’ont pas compris le mécanisme des superpositions et interférences, ils se bornent à classer des effets observés à titre de variations extrinsèques : figures statiques (carrés ou losanges) ou mouvements (différentes directions), etc. Il n’y a alors qu’intégrations coordinatrices plus ou moins poussées. Avec la compréhension des raisons, les variations deviennent au contraire déductibles, donc intrinsèques, et le système d’ensemble atteint au stade III relève de l’intégration totalisante.

Au plan scientifique un groupe et ses sous-groupes constituent [p. 232] une intégration totalisante, puisqu’on peut déduire ceux-ci des variations intrinsèques possibles de celui-là. Au contraire la taxinomie zoologique est un exemple type d’intégration coordinatrice, car des propriétés communes qui caractérisent un Embranchement on ne peut déduire ni les propriétés des Classes, ni celles des Ordres, ni a fortiori celles des Familles, des Genres ou des Espèces. Les seules marques distinctives de ces emboîtements sont, comme déjà vu, de comporter plus ou moins de subdivisions, mais aucune de celles-ci ne possède de structure sui generis (malgré les essais multiples concernant celle de l’Espèce) : en fait le Genre n’est qu’une Espèce élargie, la Famille un Genre élargi, etc., chacun comportant de moins en moins de caractères communs et de plus en plus de subdivisions, mais qui pourraient être modifiées (ce qui arrive constamment). La raison en est, à l’évidence, que le système en jeu ne porte que sur des variations extrinsèques en attendant que la biochimie les transforme en intrinsèques.

A en revenir aux intégrations totalisantes, une autre dichotomie s’impose : on peut appeler « complétives » les généralisations qui intègrent une structure plus pauvre en une structure plus riche, ce qui revient à construire celle-ci par l’adjonction d’opérations nouvelles, par exemple celles que décrit le chapitre I dans le passage des groupements de classes disjointes à l’« ensemble des parties ». Nous parlerons en revanche de totalisations simples ou d’intégrations « synthétisantes » dans les cas où il s’agit de dégager la structure ou le concept communs à plusieurs structures ou notions antérieurement conçues comme hétérogènes : exemple les déductions du chapitre XII visant à généraliser l’idée de vitesse.

Il est intéressant de comparer le système des intégrations complétives à celui des intégrations coordinatrices. Dans le cas des classifications, si nous suivons l’ordre des inclusions on peut partir d’une espèce A emboîtée en un genre B (donc A C B), mais le genre contient ordinairement d’autres espèces A’. B est lui-même inclus dans la famille C, mais qui comprend d’autres genres B’. De même la famille C fait partie d’un ordre D qui comprend d’autres familles, d’où D = C + C’. La classe E est enfin contenue dans l’embranchement F= E + E’. La forme générale du système est alors celle d’un arbre dont le tronc F se subdivise en plusieurs E, qui comprennent chacun plusieurs D, etc.

[p. 233] Tout autre est le système des inclusions en une suite d’intégrations complétives, telles que : corps A C anneaux B ou groupes C’ C monoïdes D C semi-groupes E C groupoïdes F. En effet, un anneau B n’est pas une réunion de corps comme un genre B est une réunion d’espèces A et A’ ; et un monoïde D n’est pas une réunion de groupes C comme l’ordre D est une réunion de familles. En d’autres termes, si les corps A sont des anneaux B et si les groupes C sont des monoïdes D, les complémentaires A’ sont des anneaux qui ne sont pas des corps et non pas d’autres corps que les A ; et C sont des monoïdes qui ne sont pas des groupes et non pas d’autres groupes que les C. Autrement dit encore, et là est l’essentiel, le système total n’a plus la forme d’un arbre dont le tronc F (qui serait la classe des groupoïdes) se subdiviserait jusqu’à aboutir à une multiplicité d’espèces A (qui seraient les corps), mais est une sorte de spire ou spirale à trois dimensions dont chaque tour : 1) prolonge le précédent (car un corps est lui-même un anneau, etc., jusqu’au groupoïde, tandis que l’embranchement n’est pas un genre ou une espèce puisqu’il n’est qu’une réunion de toutes ces unités), mais 2) en ajoutant une opération nouvelle lors de chaque élargissement. Sans revenir sur la création de nouveaux contenus engendrés par ces enrichissements de formes, on voit que cette sorte d’intégration constitue une construction continue d’opérations complétant les précédentes en systèmes successifs dont les articulations de nombres croissants (compositions larges pour les groupoïdes, associativité pour les semi- groupes, élément neutre pour les monoïdes, opérations inverses pour les groupes, etc.) sont de plus en plus fortes et solidaires en fonction de la multiplication des variations intrinsèques possibles, tandis que les intégrations coordinatrices se bornent à réunir des variations extrinsèques hétérogènes.

Entre deux se situent les intégrations totalisantes simplement « synthétisantes », réunissant en une nouvelle totalité des systèmes jusque-là sans rapports directs entre eux, comme l’ont fait les Bourbaki pour construire leurs structures en dégageant les isomorphismes entre des secteurs jusque-là très séparés au sein des mathématiques. Mais il s’agit alors de réunir des formes (en faisant totalement abstraction des contenus, comme disent les Bourbaki), donc des variations intrinsèques, et non plus des contenus comme dans les intégrations coordinatrices. [p. 234] Et surtout les totalités nouvelles auxquelles on aboutit comportent leurs lois propres en tant que totalités, comme on l’a bien vu lorsque l’étude des morphismes, utilisés par l’école bourbakiste pour la construction des « structures », a conduit à la découverte des « catégories ».

Le problème est alors celui des relations entre ces généralisations complétives et synthétisantes, dans le sens de l’irréductibilité ou de la complémentarité (ce qui n’est pas contradictoire). Il y a d’abord entre elles une différence d’intentions, les premières visant une plus grande compréhension, mais obtenant une plus large extension par surcroît (si l’on compare Cf à Ec au sens du § III), tandis que les secondes visent une plus grande extension, mais en devant passer par les compréhensions. Il y a ensuite une différence de plans ou paliers de conscience : les premières peuvent demeurer inconscientes, les opérations en jeu servant d’instruments bien avant de devenir objets de pensée, tandis que les secondes exigent à partir d’un certain niveau une abstraction, non seulement réfléchissante (ce qui est naturellement déjà le cas des premières), mais « réfléchie », c’est-à-dire avec thématisation des concepts et opérations et non plus seulement utilisation en actions.

Mais la nature même de ces différences montre assez que, si les deux sortes d’intégrations sont distinctes, elles sont complémentaires, en ce sens que les complétives, qui représentent évidemment le noyau central des généralisations constructives ⁴, constituent sans doute la condition préalable des synthétisantes, puisqu’il a fallu construire les structures qui sont ensuite à comparer et à synthétiser. De plus, la prise de conscience ou thématisation exige une reconstruction au plan réflexif de ce qui fonctionnait sans représentation au plan instrumental, de telle sorte que, tant les structures à comparer que la structure synthétique finale donnent lieu à des reconstructions et constructions en partie nouvelles sur le palier supérieur qui est celui de la réflexion. C’est ce que nous avons [p. 235] vu à propos de la vitesse (chapitre XII), où la définition finale « quelque chose (qui se passe) en un temps limité » ou « il y a toujours le temps » a exigé une élaboration laborieuse, bien que la référence à la durée ait été implicite bien antérieurement : mais c’est qu’il s’agissait de construire un rapport, en tant que tel, se retrouvant en tous les cas et non pas simplement de remarquer des variations occasionnelles. De façon générale l’abstraction réfléchissante et tout autant son stade final « réfléchi » sont des processus en partie constructifs, et si Kant a fait des « jugements réfléchissants » l’instrument particulier des « totalités organisées », il n’en reste pas moins que l’organisation est une forme de construction.

Il faut encore préciser que, si les formes supérieures d’intégration synthétisante se constituent au plan de la thématisation réflexive, où leur différence avec les intégrations complétives est alors la plus sensible, il en existe des formes plus élémentaires. Dès le niveau sensorimoteur on peut retrouver des représentants dans le cas des assimilations réciproques entre schèmes. Aux niveaux représentatifs, la construction des premiers nombres naturels s’effectue par le moyen d’une synthèse des inclusions (1 C 2 C 3…) et des relations d’ordre (1 — > 1 -> I sinon les unités équivalentes demeurent indiscernables) et il y a là l’exemple d’une intégration synthétisante dont le mécanisme demeure inconscient, car le sujet ne sait pas qu’il a réuni en un nouveau tout les structures de classes et relations dont il se sert par ailleurs isolément. Il est vrai qu’en ces cas il ne s’agit pas de dégager la structure commune aux deux composantes, mais de les réunir en un tout comprenant les éléments ou parties différents aussi bien que les communs d’où trois sous-systèmes AB, AB et AB, ce qui suppose une sorte de complètement mutuel et non pas hiérarchique. Mais comme les structures composantes sont de même rang, il s’agit sans doute de généralisation synthétisante plus que complétive, ou tout au moins d’une situation intermédiaire montrant la parenté des deux.

En un mot, si toute intégration totalisante est constructive, il en faut cependant distinguer deux formes complémentaires, selon que l’une vise à enrichir les structures de départ en leur ajoutant de nouvelles opérations et que l’autre tend à relier les structures de même rang, mais par un système d’ensemble qui rend compte de leur diversité à titre de différenciations intrinsèques. [p. 236] L’une est nécessaire comme l’autre au progrès de la connaissance et, si la première précède la seconde, celle-ci, lorsqu’une synthèse est acquise, prépare de ce fait de nouveaux dépassements possibles qui sont alors à leur tour « complétifs ». Si l’on ne limite pas les intégrations synthétisantes aux plans supérieurs de la thématisation, donc à l’aboutissement d’un long processus de prise de conscience de source bien antérieure, on peut ainsi concevoir les deux formes d’intégrations comme intervenant alternativement au cours du développement.

Toute l’évolution psychogénétique des généralisations retracée en cet ouvrage semble dominée par une tendance de plus en plus accentuée à remplacer ou à doubler les connaissances de nature exogène par une reconstruction endogène ; et cette tendance peut s’expliquer elle-même par les lois de la prise de conscience, procédant de la périphérie au centre, c’est-à-dire des observables (aux points d’interférence entre les objets et le résultat des actions) aux coordinations internes nécessaires au déroulement des actes.

Rappelons, en effet (voir les chapitres III et IV), les trois phases essentielles de la prise de conscience. Celle-ci débute à mi-chemin des interactions entre le sujet et les objets (donc à la périphérie par rapport à tous deux) et ne sont alors enregistrés que les observables des objets ainsi que des résultats extérieurs de l’action : d’où le primat des abstractions empiriques. Puis vient une seconde phase avec conscience du déroulement matériel de l’action et des variations de l’objet, donc encore d’observables, mais plus nombreux et commençant à se relier entre eux. Enfin, la troisième phase conduit à la prise de conscience des coordinations internes des actions, nécessaires à leur exécution et corrélativement à la prise de connaissance de propriétés moins immédiates de l’objet : d’où une part croissante d’abstraction réfléchissante avec ses conséquences causales en cas d’attribution des opérations à l’objet ⁵.

Si tel est le contexte psychologique au sein duquel se constituent les connaissances, il va de soi que celles-ci ne peuvent débuter que sous une forme exogène, centrée sur les [p. 237] observables, tandis qu’avec la saisie des coordinations internes de l’action, sources des opérations, une reconstruction endogène devient possible et s’impose même comme condition de la compréhension. Or, du point de vue de la généralisation, cela signifie que, ne portant d’abord que sur des observables, c’est-à- dire des contenus, elle ne saurait que rester plus ou moins longtemps essentiellement inductive. Certes ces contenus supposent un minimum de formes pour être appréhendés, donc une intervention de coordinations dues au fonctionnement de l’assimilation, ce qui suppose un préalable d’abstraction réfléchissante et de généralisation constructive, mais inconsciemment lié aux observables et résultant d’activités sensori-motrices antérieures sans faire l’objet de nouvelles constructions au sein même de l’induction représentative qui ne dissocie point encore les formes des contenus. Par contre, dans la mesure où le sujet prend conscience des coordinations de ses actions, il devient capable de construire de nouvelles formes, soit en vue de l’interprétation des contenus extérieurs, soit en engendrant grâce à elles de nouveaux contenus (nombres, etc.), ce qui caractérise la généralisation constructive en ses diverses variétés.

Or, ce primat progressif de la généralisation constructive ne constitue pas un simple remplacement. D’abord l’inductive ne disparaît nullement, mais demeure utilisable en cas de contenus non (ou non encore) déductibles. Mais surtout il y a transformation de l’une à l’autre dans les situations multiples où les variations d’abord extrinsèques (au sens du § IV) sont comprises en tant que transformations possibles du système et deviennent ainsi intrinsèques, et donc déductibles et généralisables constructivement.

Mais la question centrale du développement des généralisations constructives est celle de l’explication de leurs pouvoirs, autrement dit du mécanisme de la construction même des nouveautés. Nous retrouvons à cet égard notre problème permanent, rappelé dans l’introduction : si ces nouveautés ne consistent qu’en l’actualisation de virtualités préexistantes, à la manière de la puissance et l’acte d’Aristote, elles ne sont pas nouvelles, mais, si elles le sont réellement, comment expliquer qu’après coup elles apparaissent comme nécessaires et le sont effectivement devenues ? Les faits recueillis en cet ouvrage permettent à ce sujet les considérations suivantes.

[p. 238] La solution courante quant à la fécondité des mathématiques consiste à invoquer la possibilité indéfinie de construire de nouvelles opérations sur les opérations antérieures et en particulier d’élever celles-ci à la n-ième puissance. Au chapitre I nous avons vu ainsi les jeunes sujets capables d’admettre deux partitions possibles d’une même collection, mais incapables de les utiliser simultanément, parvenir ensuite à ces combinaisons et s’orienter alors vers l’« ensemble des parties », qui consiste à appliquer des opérations combinatoires aux opérations de classement initiales. Seulement cette notion d’« opérations sur des opérations » ne fait que déplacer notre problème : celui-ci subsiste entièrement d’établir si ces opérations de puissance supérieure étaient virtuellement contenues ou non dans les précédentes. La seule chose certaine est que celles-ci ont rendu possibles les opérations ultérieures, mais la question se centre alors sur la signification et la nature du processus consistant à « rendre possible » une réalité future, mais non encore réelle.

Bien entendu il ne s’agit pas du possible relatif à des sujets individuels, tels que ce qui n’est pas possible à 5 ans l’est devenu à 12 ans et ce qui ne l’est pas pour une intelligence moyenne pourrait l’être pour un intellect supérieur. Du point de vue épistémologique, qui seul nous intéresse ici, la question est autre et consiste à établir ce qu’il est possible de tirer d’un système donné. Depuis Gôdel et Gentzen on sait, par exemple, qu’il n’est pas possible d’obtenir la saturation du système de l’arithmétique élémentaire par ses seuls moyens et ceux de la logique, mais qu’on parvient à renforcer sa cohérence en recourant à l’arithmétique transfinie qui, cependant, est née de la généralisation des mises en correspondances déjà accessible au plan élémentaire. Or, deux aspects sont remarquables en ce cas particulier, si souvent invoqué. Le premier est que la construction d’un système s’appuie, non pas exclusivement sur ses bases antérieures (comme le voulaient Whitehead et Russell dans les Principia), mais nécessairement aussi sur l’étage supérieur fournissant la clef de voûte indispensable à la solidité du précédent, sauf qu’à son tour il aura besoin de l’intégrer dans le suivant. Mais, en second lieu, la possibilité de cet étage supérieur a été ouverte, dans le cas particulier, par le mécanisme de correspondance un à un qui, si banale soit-elle, pour établir que deux ensembles finis ont la même « puissance » a permis d’engendrer opératoirement lorsque Cantor s’est avisé de mettre en bijection les séries 1, 2, 3… ; 2, 4, 6,… ; etc., un nouveau nombre X’_o qui n’appartient à aucune de ces séries, mais qui exprime leur puissance commune, celle du « dénombrable ». En cette situation la question du possible se pose en toute son acuité. Ouvrir la possibilité de construire aleph-zéro comportait trois conditions : thématiser la notion d’ensembles, caractériser leurs puissances par la correspondance terme à terme et appliquer cette opération à des séries infinies au sens usuel du mot. Or l’enfant comme le « primitif » [p. 239] utilise déjà de telles correspondances « quelconques » (par opposition à qualifiées) qui sont sans doute constitutives des ensembles à la différence des classes et l’infini oo est une notion courant dès notre stade III : faut-il dire alors que la découverte de N_o était possible de tout temps et que seuls des facteurs psychologiques et historiques l’ont retardée jusqu’aux travaux d’un mathématicien contemporain de Frege ? Il n’en reste pas moins que le transfini constitue un nouveau type de nombre et que son utilisation est nécessaire, comme rappelé à l’instant pour renforcer la consistance de l’arithmétique élémentaire : ces deux circonstances témoignent donc d’un niveau de construction bien supérieur à ceux de départ.

De deux choses l’une, alors : ou bien les opérations préexistent de tout temps, situées en un « univers des possibles » indépendant du sujet épistémique et que celui-ci découvre au travers des tâtonnements des sujets individuels ou bien cet univers est lui-même en mouvement, consistant de ce fait en une suite d’ouvertures sur de nouvelles possibilités ; et ces ouvertures ne s’offriraient qu’une fois effectuées par un sujet les opérations et leurs mises en relation (dans l’exemple particulier ce serait la jonction des problèmes de l’infini et des correspondances qui auraient frayé la voie). Or, la seconde interprétation semble s’imposer pour deux raisons : d’une part le sujet existe en tant que source d’activités cognitives et de nouvelles connexions et, d’autre part, l’« ensemble de tous les possibles » est une notion antinomique, l’existence logique de ces « tous » n’étant elle-même qu’une possibilité et qui dépasse les limites de la prédicabilité combinatoire.

Si ces remarques sont justifiées, on voit donc mal comment conférer à un ensemble de possibilités un caractère statique donné une fois pour toutes, tandis que le propre d’une construction opératoire est non pas uniquement d’engendrer des relations actuelles, mais d’en « rendre possibles » une série d’autres, dont il s’agit d’établir comment elles sont déterminées. Or, les faits décrits dans les chapitres III-V à propos de la récurrence montrent assez comment c’est seulement en s’appuyant sur la suite de la construction que ce qui précède est compris. Rappelons à cet égard l’exemple plus simple étudié jadis avec B. Inhelder : mettant d’une main une perle en un récipient transparent et de l’autre une perle dans un bocal masqué, les jeunes sujets sont certains d’avoir constitué deux collections égales n = n, mais se refusent à l’affirmer pour ce qui est d’une continuation indéfinie. Dès le niveau IB on trouve par contre [p. 240] des sujets pour répondre comme un garçon de 5 ans 1/2 : « Quand on sait pour une fois, on sait pour toujours. » Autrement dit la considération des résultats de l’action jusqu’à n ne suffit pas à la thématisation des cas n + ri, bien que le sujet soit déjà en train de construire ces n + ⁿ’ au plan de son action elle-même, tandis que la prise de conscience des coordinations internes de l’action conduisant de n = n à n + 1 — n + 1, donc du passage des constructions achevées à celles qui sont ouvertes sur la suite des constructions possibles, donne rétroactivement la raison, jusque-là incomprise, de l’égalité n = n. Comme le dit Henriques, l’explication en mathématiques fait dépendre la thématisation à un niveau inférieur de ce qui est en voie de construction au niveau supérieur, mais par un processus de complètement opératoire non encore thématisé, quoique conduisant déjà implicitement à la structure supérieure non encore dégagée.

Un autre ensemble de faits à verser au dossier de la constructivité est la manière dont l’enfant découvre, non seulement l’existence conceptuelle des possibilités, si l’on peut s’exprimer ainsi, mais encore leur caractère opératoire du fait qu’elles sont liées les unes aux autres par des connexions nécessaires. Le principe général de cette formation des possibilités est le passage des variations extrinsèques, simples états de fait, aux différenciations intrinsèques, c’est-à-dire aux transformations possibles impliquées dans les significations de départ. Nous avons vu ainsi, au chapitre X, comment les sujets, en partie dès le niveau IIB et explicitement au stade III, en arrivent à établir des liens nécessaires entre événements qui ne se réalisent pas. Au chapitre VIII (conclusions) nous avons insisté sur le facteur essentiel de généralisation qu’est la suppression des limitations, ce qui revient identiquement à l’ouverture sur de nouvelles possibilités.

Il est en outre remarquable que cette continuelle ouverture sur les possibles ne se constate pas seulement dans les généralisations logico-mathématiques, mais intervienne aussi au plan physique, sitôt que les inductions formatrices de lois se complètent par la construction de modèles explicatifs, donc par la recherche d’une causalité consistant à attribuer aux objets eux-mêmes le correspondant de nos opérations. Le chapitre XI nous a montré à cet égard comment l’interprétation [p. 241] des états d’équilibre, avec la notion du virtuel qu’ils comportent, ou des actions et « réactions », du fait que ces dernières demeurent inobservables, entraîne la construction, non seulement de nouvelles formes de généralisation, mais encore de nouveaux contenus, qui se situent alors au palier des possibilités : tandis que la construction logico-mathématique consiste entre autres à engendrer un univers toujours plus riche de transformations possibles, c’est en y plongeant le réel lui-même que l’explication physique parvient à ses fins. De même le chapitre XIII nous a fait apercevoir, à propos du centre de gravité, comment les « lignes d’équilibre » observées en plaçant au bord d’une table des objets rectangulaires ou circulaires, passent pour les premiers de 2 ou 4 à une « infinité », sitôt qu’est imaginée la possibilité de rotations analogues à celles des seconds : ce nombre conçu d’un bond comme infini est et, ainsi affecté à de simples déplacements physiques virtuels, quoique en fait de nombre toujours fini et même très restreint si l’on s’en tient à des états discernables et à des durées limitées, montre assez ce que ce plongement du réel dans le possible comporte de nouveauté.

Inutile de rappeler, pour compléter ce tableau du passage général de l’exogène à l’endogène, que le moteur constant qui pousse le sujet à compléter ou remplacer les simples constatations de fait (si différenciées que puissent devenir sous la pression de l’expérience les relations ou lois ainsi établies) par des reconstitutions déductives et opératoires est la recherche de la « raison » des résultats obtenus par abstraction empirique ou pseudo-empirique. Or, comme la « raison » A (logique ou causale) d’une assertion ou d’un fait est par essence un terme vicariant, car A une fois dégagée il s’agit de découvrir la raison B de A, puis C de B, etc., nous retrouvons ainsi ce qui constitue sans doute le processus central de la généralisation constructive, à savoir que l’élaboration d’une structure s’appuie toujours sur les démarches déjà complétives mais encore inconscientes qui préparent la ou les suivantes.

Dans la mesure où elle est constructive, la généralisation exige un processus continuel d’équilibration : du fait qu’elle s’appuie sans cesse sur les constructions en devenir [p. 242] et non pas seulement sur les structures antérieures qui, seules, demeurent stables, et du fait qu’elle porte sur des « variations intrinsèques », dont le nombre s’accroît nécessairement, les éléments qu’elle a pour tâche de réunir, de compléter ou de dépasser constituent des systèmes essentiellement mouvants et il est alors évident que ses réussites doivent comporter ce caractère fondamental de substituer de meilleurs équilibres à ceux de départ, autrement dit de procéder à des « équilibrations majorantes ».

Mais l’équilibre ou plutôt les rééquilibrations continuelles que doit atteindre la généralisation constructive sont d’un type particulier et relèvent surtout de la troisième des formes d’équilibre que nous avons distinguées ailleurs sur le terrain des fonctions cognitives. La première caractérise l’ajustement nécessaire de l’assimilation et de l’accommodation dans les relations entre le sujet et les objets. La seconde est celle qui intervient dans les rapports entre les sous-systèmes, lorsque des perturbations internes ou des contradictions les obligent à des assimilations (partielles) et accommodations réciproques, ce qui soulève des questions d’équilibre. Mais la troisième, qui nous intéresse ici, est d’une autre nature et tient au caractère totalisant ou synthétisant des généralisations en leurs intégrations. Nous l’appellerons équilibre entre les différenciations et les intégrations, parce que, les sous-systèmes une fois constitués par différenciations, il reste que l’intégration conduit à la formation de structures totales qui les englobent, mais qui y ajoutent des lois de composition propres à ces totalités comme telles et dépassant les propriétés particulières des sous-systèmes. En ce cas un nouveau problème d’équilibre se pose nécessairement et se distingue de celui qui porte seulement sur les relations des sous-systèmes entre eux. En effet, une différenciation trop poussée, même s’il y a plus d’incompatibilités entre les sous-systèmes, peut empêcher la construction de systèmes totaux, de même qu’une intégration trop forte ou trop rapide peut nuire aux différenciations nécessaires. Il s’agit donc d’établir à quelles occasions et comment se constitue cet équilibre de troisième forme.

Un système cognitif est en équilibre lorsque les opérations qui le composent sont interdépendantes, et il se déséquilibre en cas de conflits ou de lacunes, celles-ci ne jouant d’ailleurs [p. 243] un rôle perturbateur que lorsqu’elles s’opposent à la solution d’un problème (l’ignorance de chacun en des domaines qui ne le concernent pas n’est point sentie comme lacunaire). La rééquilibration est alors l’effet de régulations procédant par compensations, négatives (neutralisation des perturbations) ou positives (renforcements en cas de déficits). Il est alors clair que les constructions donnant son nom à la généralisation constructive sont toujours compensatrices en même temps que productives : qu’il s’agisse d’intégrations complétives ou synthétisantes, elles répondent toujours à des besoins et ceux-ci sont l’expression d’un déséquilibre momentané. Ils peuvent être de renforcer une structure trop faible pour le problème actuel à résoudre, et la compensation consiste en ce cas à combler une lacune (comme en notre chapitre I lorsque le problème posé au sujet le conduit à s’orienter dans la direction de l’ensemble des parties). Ou bien encore il importe d’introduire de la cohérence en dégageant une structure commune en présence de sous-systèmes trop différenciés et conduisant à des contradictions : la compensation revient en ce cas à éliminer le conflit par un jeu combiné de différenciations et d’intégrations (comme en notre chapitre XII où le nombre de dents et celui des tours de roue obligent à distinguer deux vitesses tout en dégageant l’idée générale de vitesse). La nécessité d’une synthèse commune d’un rang supérieur à celui des sous-systèmes s’impose en particulier lorsqu’un problème soulevé par un sous-système ne peut être résolu que par le moyen d’opérations empruntées à un autre, comme c’est le cas dans la genèse des nombres, lorsque l’abstraction des qualités oblige à recourir à l’ordre pour distinguer les unités équivalentes et préserver les inclusions, ce qui aboutit à substituer l’itération (1 + 1) > 1 à la tautification A + A = A et engendre une structure beaucoup plus riche que celle des systèmes composants.

En un mot, la nécessité de constantes rééquilibrations avec compensations destinées à lever les obstacles ou à combler les lacunes s’impose du fait que chaque différenciation nouvelle est source de tels conflits ou de telles incomplétudes. Or, les différenciations, de leur côté, s’imposent du dedans pour ainsi dire, à la généralisation constructive et non pas seulement du dehors comme lors des inductions, du fait que celle-là procède essentiellement en compréhension, quitte à engendrer de nouveaux [p. 244] contenus en extension et ne demeure donc pas extensionnelle comme les processus inductifs. En effet, l’une des leçons des faits recueillis est qu’au plan de la compréhension, la pensée n’est jamais statique. A celui de l’extension il existe des individus et des classes A, B, etc. : celles-ci et leurs frontières d’avec les non-A, non-B, etc., sont alors données à titre d’états, quittes à être modifiées par de nouvelles découvertes empiriques. Au plan de la compréhension, par contre, la signification des caractères de A, B, etc., est inépuisable et, si on ne la limite pas artificiellement par des définitions décisoires, elle reste ouverte sur une série de possibilités, dont en particulier les « différenciations ou variations intrinsèques » que l’on peut en tirer. Ce sont alors ces variations qui entraînent les différenciations et obligent à des rééquilibrations par intégrations complémentaires.

Quant au mécanisme de ces équilibrations, il tient d’abord à la régulation, puis au réglage actif, des négations par rapport aux affirmations, les frontières entre elles deux étant sans cesse à déplacer selon les structures à construire. On le voit d’emblée dès l’examen des questions de limitations. D’une part, en effet, toute nouvelle variation intrinsèque (qu’elle soit spontanée ou ait débuté par des variations extrinsèques, ensuite comprises en tant que déductibles) consiste à supprimer des limitations. Par exemple, nous avons vu au chapitre VIII (conclusions) comment le sujet découvre, à propos des relations entre droites mobiles passant sur d’autres qui sont fixes, la possibilité de superpositions simples, puis « pas seulement » tels, mais aussi obliques, etc. : chaque « pas seulement » marque ainsi la suppression d’une limitation, donc un enrichissement par ouverture sur de nouveaux possibles. Mais, d’autre part, une structure étant construite, le fait de la compléter par une opération nouvelle ou un axiome plus fort revient du même coup à la limiter : ajouter à des groupes un caractère de commutativité consiste bien à créer la structure des groupes abéliens, mais en même temps à l’opposer à celle des groupes non commutatifs, etc.

Le réglage des négations constitue donc l’un des aspects du mécanisme central de l’équilibration et, comme nous l’avons vu ailleurs ⁶, en étudiant la contradiction, il est fort loin d’être [p. 245] simple. Les plus faciles à admettre, pour les jeunes sujets, sont celles qui sont imposées du dehors par un démenti que donnent les faits à une prévision se révélant ainsi fausse. Mais, même sous cette forme exogène, la négation n’est pas acceptée sans difficultés et comme l’ont montré Inhelder, Sinclair et Bovet en leurs belles expériences sur l’apprentissage, les sujets préopératoires demeurent souvent insensibles aux contre- exemples, préférant négliger ou déformer les observables non prévus ni désirés plutôt que se soumettre à ces négations pourtant obligées, et toujours reconnues dès le niveau II.

Lorsqu’il s’agit, d’autre part, de généralisations constructives avec élaboration de formes ou contenus nouveaux (à des degrés divers), les négations dépendent d’activités du sujet et jouent en ce cas un rôle fondamental. On peut tout d’abord parler d’une sorte de rôle fonctionnel général. La condition préalable d’une généralisation constructive, où il ne suffit donc pas de « retrouver » sans plus quelque observable, mais de transformer les instruments cognitifs utilisés (ou l’interprétation jusque-là acceptée d’un certain donné) est, en effet, de commencer par nier, explicitement ou implicitement, que l’état de départ de ces transformations soit définitif ou soit le seul possible. Par exemple, en débutant par des opérations de « groupement » telles que la réunion de classes disjointes pour s’orienter dans la direction des ensembles de parties, le sujet doit d’abord décider que ces réunions ne suffisent pas, donc que d’autres combinaisons sont nécessaires et que, par rapport à celles-ci, les premières sont à limiter, ce qui comporte d’emblée des négations partielles.

Quant aux négations solidaires des différenciations intrinsèques, elles peuvent s’imposer à propos de deux sortes de situations, qu’il nous faut distinguer. La première est celle de problèmes faisant déjà intervenir des variables : en ce cas le sujet peut subir les variations et ne les interprète qu’après coup, débutant ainsi par des différenciations extrinsèques et des négations imposées du dehors, ou bien il peut chercher à prévoir et expliquer les variations et leurs effets, d’où un système de variations intrinsèques, mais alors avec réglage obligé et endogène des négations comme des jugements positifs. En second lieu on doit considérer comme étant de niveau supérieur aux précédentes la situation où le sujet, en présence d’une structure [p. 246] ou d’un ensemble de faits, imagine et introduit de lui-même les variations possibles, d’où la recherche de leurs raisons et l’intervention de structures plus fortes lorsque les abstractions et thématisations réflexives en fournissent les raisons suffisantes. En ce cas les négations sont imposées par la logique interne du système et sont même souvent introduites à titre de méthode exploratrice et généralisatrice : géométries non euclidiennes, suites non archimédiennes, algèbres non commutatives, etc.

Seulement, si ce réglage des négations constitue ainsi l’un des deux pôles, pour ainsi dire, du mécanisme central de l’équilibration, c’est naturellement en fonction de l’autre, qui est la consolidation des affirmations, toutes deux assurant alors les compensations nécessaires au progrès de la réversibilité opératoire. A cet égard, le propre de l’équilibration majorante qui caractérise toute généralisation constructive réussie est l’accroissement de la nécessité interne du système. Or, cette nécessité qui, de façon générale, dépend du degré de fermeture des structures, résulte d’abord précisément de cet équilibre des négations et des affirmations : dégager la nécessité de a, c’est établir l’impossibilité de non-a, la fermeture pouvant ainsi être conçue comme l’ensemble des possibilités et impossibilités inhérentes au système.

Mais il y a plus, ou plutôt cette équilibration comporte un autre aspect fondamental : si les différenciations entraînent l’obligation d’une intégration pour les unir sous peine de déséquilibre, réciproquement l’équilibre n’est atteint que quand les différenciations sont comprises comme résultant nécessairement du mode d’intégration (principe des variations intrinsèques), sinon elles demeurent à l’état de réalités hétérogènes, ce qui s’oppose à l’effectuation d’une fermeture.

Or, dire que les intégrations et différenciations se nécessitent mutuellement, cela revient à soutenir qu’elles comportent les unes et les autres leurs « raisons » et c’est l’accès au niveau de ces raisons, donc de l’algèbre du système, qui caractérise finalement leur équilibration. En effet, dans la mesure où la forme supérieure de la généralisation constructive, c’est-à-dire sa forme « complétive », revient à combler des lacunes, ce qui constitue un processus équilibrateur, il en est une qui s’ouvre au terme de tout enchaînement généralisateur réussi : celle du [p. 247] pourquoi de sa nécessité elle-même, alors qu’il aboutit à des nouveautés réelles et ne résulte pas d’une préformation.

La réponse semble donc être que la généralisation constructive aboutit à une autre forme d’équilibre que celui des schèmes en rapport avec leur contenu empirique (donc des objets) ou que celui des sous-systèmes entre eux, et que cet équilibre des intégrations totalisantes et des différenciations intrinsèques comporte, une fois réalisé, des relations de mutuelle dépendance qui assurent la nécessité. Effectivement, dans la mesure où le système total implique, en tant que tel, ses lois propres de composition et que les lois des sous-systèmes s’en déduisent par le mécanisme des variations intrinsèques, la nécessité de ces divers rapports se trouve justifiée et susceptible de fournir ses raisons. Et comme, d’autre part, la question du pourquoi est de celles qui se déplacent ou se reposent, par itération continuelle, l’établissement d’une raison soulevant tôt ou tard le problème de la raison de cette raison, les fermetures obtenues n’excluent jamais l’ouverture sur de nouvelles totalisations. La thématisa- tion liée à chaque fermeture s’appuyant sur les constructions non encore thématisables, elle est déjà en devenir et assure ainsi une fécondité proactive non contradictoire avec la rigueur rétroactive.