Chapitre III.
Formation de couples, triplets, etc., entre nombres successifs ^{1 a} 🔗

[p. 49] Les sujets du niveau IA parviennent naturellement à construire les couples, mais moins les triplets (à cause d’une tendance à ne considérer alors que des ensembles disjoints). Par contre, ils ont quelque peine déjà à prendre connaissance du résultat de leurs actions et a fortiori à prendre conscience du mécanisme de celles-ci, donc du schème de construction qui serait seul explicatif :

Pat (4 ;6) avec 3 tiges prend un élastique et entoure 3-2. « On peut en faire d’autres ? — (Il fait 2-1.) — C’est tout ou encore d’autres ? — (Il veut entourer 1-2.) Non. — Combien de bâtons on a ? — (Il compte.) 1,2, 3 bâtons. — Et d’élastiques ? — 1, 2, 3. — Compte bien. — 1, 2, ah ! seulement 2. —  Alors pour 3 bâtons tu as mis combien d’élastiques ? — 1, 2, 3. — Quelles couleurs ? — Blanc et rouge. — Alors ? — 2. » Pour 4 tiges, il fait bien les couples : « Combien de bâtons ? — (Il compte.) 1, 2, 3, 4. — Et d’élastiques ? — (Il compte.) 1, 2, 3. — Alors pour 4 bâtons, de combien d’élastiques on a besoin ? — Comme ça, comme ça, comme ça, 1, 2, 3, 4 ! » Avec 5 tiges il compte bien 4 élastiques, mais conclut : « La même chose (le même nombre), quoi ! » On lui fait constater « plus de bâtons. —  Et si j’en rajoute encore un, il y aura plus de bâtons ou d’élastiques ? — Plus de bâtons et plus d’élastiques, comme on veut, non ? — (On reprend 5 tiges.) — 1, 2, 3, 4, 5. —  Et d’élastiques ? — 5 aussi. — Regarde. Plus de quoi ? — De bâtons. — Pourquoi moins d’élastiques ? — Parce que j’en ai pas trop mis ». Pour les triplets on fait constater sur 3 tiges qu’on met un seul élastique. « Et pour 1 bâton de plus ? — 1 (élastique) de plus. — Alors combien de bâtons ? — 4. —  Et d’élastiques ? — 4. » Etc. Après quoi on rappelle que pour les couples on reliait les bâtons « 2 par 2 ? — Oui 2 par 2. — Alors il fallait plus ou moins d’élastiques qu’avec 3 par 3 ? — Moins. — Essaie (on met 2 rangées de tiges à comparer, l’une à mettre par couples et l’autre par triplets). Tu vas prendre ici plus d’élastiques ou moins ou la même chose ? — La même chose. J’aurai les mêmes que là, vert, bleu et rouge. (Même nombre.) — Mais quelque chose est différent ? — Oui, c’est les deux qui sont différents » ². Il arrive même à montrer que dans les couples 1-2 il n’y « a pas de bâton là » (entre les deux) comme dans les triplets, mais il maintient que pour les élastiques « on prend la même chose ».

Sar (4 ;9) semble en progrès par rapport à Pat en ce que, après quelques constatations sur les couples, elle reconnaît qu’il faut « 5 élastiques pour 6 bâtons ». Mais ensuite : « Qu’est-ce qui se passe toujours ? La même chose d’élastiques que de bâtons ? — Non, plus de bâtons. — Combien de plus ? — Beaucoup plus. » Pour les triplets, elle en construit 2 de disjoints avec 6 bâtons, mais 2 corrects avec 4 tiges : « Combien d’élastiques as-tu pris ? — 2. —  Pour ? — 4 bâtons. — Et si j’en ajoute 1 ? — 1 élastique de plus. — Alors ça fera combien d’élastiques pour les S bâtons ? — 4. »

[p. 50]Nic (5 ;2) constate 2 élastiques pour 3 tiges, mais croit qu’il faut 4 élastiques pour 4 bâtons, puis, ayant compté 3, il dit encore que « pour 5 bâtons, il en faut 5 aussi ». Lorsqu’on lui demande pourquoi seulement 4, il répond « parce que les élastiques sont grands ». Et pourtant il a commencé par ne construire avec 4 tiges que des couples disjoints. Lorsqu’on passe de 6 à 8 en montrant les 2 tiges de plus il conclut qu’il faut 2 élastiques supplémentaires et, pour la suite, prévoit « encore 2, encore 2, encore 2 ». Mais il finit comme Sar par admettre 5 élastiques pour 6 tiges. On passe, pour voir ce qu’il a compris, à l’épreuve de contrôle (planche à intervalles inégaux) : tout recommence alors, soit 3 élastiques pour 3 bâtons, 4 pour 4, etc., avec nouvel apprentissage nécessaire jusqu’à 5 élastiques pour 6 bâtons « parce que les élastiques sont grands, on n’a pas besoin d’en mettre encore plus ». On revient à la planche initiale et on passe aux triplets : mêmes difficultés jusqu’à ce qu’il admette sur constatations qu’il faut 3 élastiques pour 5 bâtons. La relation semblant acceptée, on demande alors : « Qu’est-ce qu’on faisait tout à l’heure ? — Des groupes de 2. —  On avait besoin de plus ou moins d’élastiques que pour les groupes de 3 ? — Plus pour les groupes de 3. — Pourquoi ? — Parce que 3 ça fait plus que 2 ! »

Cal (5 ;11) et Ren (5 ;3) sont à citer encore parce qu’interrogés au moyen d’une technique initiale sans élastiques et où les couples, etc., étaient à construire au moyen de petits carrés et non pas de tiges fixées sur une planchette. L’intérêt est alors que le sujet marque une tendance plus forte à ne former que des couples ou ensembles disjoints, par exemple 1-2 et 3-4 pour 4 éléments : « D’autres couples encore ? — Non. » Néanmoins on retrouve l’idée tenace qu’il y aura autant de couples ou triplets que d’éléments : 3 couples pour 3 carrés, 4 et même « beaucoup » pour 4, 5 pour 5, etc. ; 3 triplets pour 3 éléments, etc. Après quelques constatations, le sujet arrive pourtant à la prévision n — 1. « Et pour les 5 ? — 5 non 4 » mais avec si peu de compréhension que l’un et l’autre de ces sujets anticipent 5 couples pour 4 carrés, donc n -|- 1 et pas n — 1.

Ces réactions sont remarquables du point de vue des débuts et des difficultés de la généralisation. Du fait que chaque tige est touchée par un élastique l’enfant part de l’idée préconçue qu’il doit y avoir correspondance terme à terme entre les uns et les autres : idée fausse, mais raisonnable puisque cette structure de correspondance constitue dès le niveau sensori-moteur l’une des formes principales de coordination des actions et que son importance s’accroît au niveau des représentations. Cette idée de correspondance qui s’impose à nos sujets relève donc, mais en tant que forme, d’abstractions réfléchissantes et de généralisations constructives, bien antérieures aux raisonnements qu’ils font à l’occasion de notre dispositif. En quoi consistent alors les raisonnements actuels ? Le paradoxe est qu’ils prétendent se fonder sur des constatations uniformes et [p. 51] généraliser les observables à toutes les situations présentées, ce qui constitue donc le type même de la généralisation inductive (bien que son cadre antérieur soit, comme d’habitude et comme on vient de le rappeler, de source constructive) ! Or ces observables sont, dans le cas particulier, fort mal observés, et cela parce qu’insérés dans un cadre préalable qui ne leur convient pas, mais le paradoxe est justement que le sujet ne prétend nullement raisonner a priori et qu’il croit se borner à dire ce qu’il voit et à généraliser à ce qu’il continue de voir ou à ce qu’il va encore voir, attitude qui demeure donc essentiellement inductive.

C’est ainsi que Pat et Nie passent leur temps à constater, mais seulement lors de leurs dénombrements explicites, qu’il suffit de 2 élastiques pour 3 tiges reliées par couples, 3 pour 4, etc., et à conclure immédiatement qu’il en faut un nombre égal, « la même chose, quoi ! » (Pat). La raison de cette obstination est évidemment qu’ils ne comprennent pas pourquoi il y a n — 1 élastique (au moment où ils les comptent) : « parce que j’en ai pas trop mis » (Pat) ou « parce que les élastiques sont trop grands » (Nie). Même Sar, qui pourtant reconnaît de façon qui semble stable qu’il faut moins d’élastiques que de bâtons, se borne à conclure que ceux-ci sont « beaucoup plus » nombreux, sans aucune régularité. Quant à la question des triplets, elle est encore moins comprise, d’autant plus que le sujet commence par n’en construire que disjoints (ce que Nie, Ren et Cal font encore pour les couples). Enfin, la comparaison du nombre des élastiques nécessaires pour les couples et pour les triplets conduit Nie à cette réponse si claire : il en faut « plus pour les groupes de 3, parce que 3 ça fait plus que 2 », autrement dit parce qu’il y a autant d’élastiques que de bâtons. En un mot, aucune de nos questions n’est encore résolue à ce niveau.

H ne s’agira chez les sujets suivants que d’un léger progrès par rapport aux précédents, en ce sens que pour n bâtons ils admettent n — x élastiques mais avec généralisation inductive jusqu’à un certain n seulement :

Dur (5 ;8) constate 2 élastiques pour 3 tiges et 3 pour 4 mais a encore besoin de compter 4 élastiques pour 5 bâtons : « Et si j’en ajoute 1 (donc 6) ? — 5. — Comment tu as su ? — J’ai deviné. — Et pour 7 ? — 7. — Pourquoi ? [p. 52] — Parce qu’il y a 7 bâtons. » Après avoir constaté 6, elle prédit bien 7 pour 8 tiges, mais pour 10 tiges elle flotte : « 8 élastiques. — Pourquoi ? — Parce qu’après le 9 il y a 8, non, après 7 il y a 8 », ce qui constitue sans doute une addition de 1 élastique à 7 pour une addition de 2 bâtons à 8. Elle eompte : « Non, 9. — Et pour 12 bâtons ? — 10 (elle le fait et constate 9). » On résume, avec constatations : 2 élastiques pour 3 ; 3 pour 4 ; 4 pour 5 ; 6 pour 7, mais (cette fois par anticipation) 10 pour 12 bâtons. Triplets : elle les construit bien et constate 2 élastiques pour 4 tiges et 3 pour 5, mais pour 6 et 7, etc., bâtons elle prévoit 5 et 6 élastiques, comme pour les couples. Après plusieurs essais et constatations on demande à Dup ce qu’il y a de différent 2 par 2 ou 3 par 3 : « C’est pas différent » et elle revient an — 1 pour les triplets.

San (6 ;4) constate n — 1 élastiques pour les couples jusqu’à 6. Pour 7 et 8 tiges, il répond juste en comptant les couples qu’il pourrait faire (mais ne construit pas). Par contre, pour 10 bâtons il en prévoit 12 : « Plus ou moins que 10 ? — Peut-être plus d’élastiques ou peut-être plus de bâtons. Non, je ne peux pas savoir. » Pour les triplets, bonnes constatations jusqu’à 7 tiges, mais ensuite « 9 élastiques pour 10 bâtons » et 12 pour 10 !

Flo (6 ;8) constate n — 1 jusqu’à 5 et en retient bien le souvenir, mais prévoit 6 pour 6 et 10 pour 10 : « Il faut que ce soit la même chose que de bâtons. » Elle redit les n — 1 du début lorsqu’on y revient plus tard, mais comme, pour 10 et 12, elle répète « le même nombre ». On demande pourquoi : « Je ne sais pas, c’est un peu compliqué. » De même, après constatations sur les triplets elle « ne sait pas » s’il faut plus ou moins d’élastiques par 3 ou par 2.

On voit que les progrès restent faibles des niveaux IA à IB. Le plus léger est celui de Flo qui après constatation de n — 1 élastiques pour n bâtons jusqu’à 4 pour 5 prévoit dans la suite la répétition de ces nombres, qu’elle n’a pas oubliés, tandis que les sujets du niveau IA s’empressent de les refouler, mais elle retombe dans la fausse bijection dès l’ensemble de 6 tiges. Dup et Xan, par contre, vont jusqu’à généraliser à 6 ou 8 bâtons la loi n — 1 observée pour les premiers nombres. Nous sommes donc cette fois en présence d’une généralisation inductive portant sur un observable correct et non plus faussé comme au niveau IA. Seulement cette extension à de nouveaux nombres reste très modeste, puisque Dup revient à la correspondance erronée dès 7 bâtons (et s’embrouille dans la suite) et Xan va jusqu’à 12 élastiques pour 10 tiges ! Ces sujets, d’autre part, ne trouvent « pas différent » le nombre d’élastiques pour les couples et les triplets, malgré les constatations, et Flo ne peut se décider.

[p. 53] Ce sous-stade marque les progrès de la généralisation inductive et le passage aux débuts de la généralisation constructive. Voici des exemples à commencer par un cas intermédiaire entre IB et HA :

Mil (7 ;8) construit d’emblée 2 couples avec 3 tiges et prévoit 3 élastiques pour 4 bâtons. « Comment tu sais ? — Parce que (il ajoute le couple 3-4 à 1-2 et 2-3 déjà faits). — Et si j’ajoute 1 bâton (5) ? — 4. — On aura 5 bâtons et 4 élastiques ? — Ah ! non (le manque de correspondance terme à terme l’effraie ainsi exprimé verbalement). — Combien ? — 5 (puis il compte mentalement). Non, 4. — Qu’est-ce que tu as compté ? — … Avec 7 bâtons (on cache) ? — 6. —  Comment tu sais ? — 4-5, 5-6, 6-7 et il y en avait 3 (jusqu’à 4). — Et avec 12 bâtons ? — 11. — Qu’est-ce que tu as compté ? — (Il montre les intervalles !) Là, au milieu. —  Et si au lieu de 12 on avait 15 (sans les tiges) ? — (Hésitation.) 15. —  Quand tu avais 3 bâtons ? — 2 élastiques. — Et 4 ? — 3. — Et avec 6 ? — Je ne sais plus (il compte), 5. — Et avec 8 ? — … — Tu peux trouver sans compter ? — Non. » Etc. « Et avec 10 ? — J’arrive pas… 8 ; non, 11 ; non, 9 ! —  Tu es sûr ? — Oui, j’ai voulu le chiffre avant 10. —  Et avec 15 ? — 14 ! » Il énonce alors la relation régulière : « Il y a (toujours) plus de bâtons », mais ne sait pas expliquer pourquoi. Cependant la référence de ses comptages aux intervalles lui fait comprendre qu’en une figure fermée comme un rectangle ou un rond il y aurait autant de couples que de tiges. Par contre, les triplets l’embrouillent malgré les constatations : « Je n’y comprends plus rien, »

Thy (7 ;9) trouve vite la loi n — 1 jusqu’à 5 tiges, mais pour 9, il suppose d’abord 6 puis compte mentalement 1-2, 2-3, …, 7-8, 8-9 : « Ça fait plus, ça fait 8. —  Et pour 12 ? — 11, parce qu’il y a toujours un de moins. —  Comment ça se fait ? — Parce qu’on met entre (il montre l’intervalle) et puis il y a plus de bâtons… je prends 2 bâtons pour mettre 1 élastique. » Par contre, pour les triplets, il constate 2 associations pour 4 éléments, mais généralise faussement à 2 pour 5 (négligence à la loi 2, bien que les lois 1 et 2 soient comprises pour les couples). « Encore 2 ? — Ou 3, je ne sais pas », puis il prévoit correctement 4 pour 6, mais ne généralise à nouveau pas et anticipe 8 élastiques pour 9 bâtons « parce qu’il y en a toujours 1 de moins (comme s’il s’agissait de couples). — Et 3 par 3, tu crois qu’il y en a 1 de moins ? — Oui (contrôle) Ah ! non 2 de moins ». Dans la suite il se rapproche du niveau IIB : « Toujours 2 de moins. — (Pourquoi ?) — Il y a plus de bâtons attachés, alors il y a moins d’élastiques. » Mais lorsqu’on aborde les quadruplets, Thy prévoit 4 pour 9 comme si des triplets aux quadruplets on passait de n — 2 à n — 5, « 2 par 2 cela ferait combien ? — (Il compte les intervalles.) 8 (juste). — Et 3 par 3 ? — 13 (en comptant au hasard). — Et par 4 ? — Moins d’élastiques, rien que 4, moins… ».

Xen (7 ;1) trouve aussi d’emblée la loi n — 1 jusqu’à 6. Quelque hésitation pour 8 tiges, puis : « 7. Je regardais comme ça, comme ça, comme ça (geste d’entourer chaque couple). » De même 11 pour 12 : « Parce que l’élastique s’accroche à les (2) bâtons. » Mais pour 15 (non donnés) « c’est un peu plus dur, [p. 54] parce qu’il n’y a pas les 15 bâtons (montre la planche) 14 ! ». (Elle a suivi les couples sur 12 puis compte mentalement les derniers.) Elle trouve alors 19 pour 20 et 29 pour 30 mais en suivant les nombres à haute voix. « Et pour 100 ? — Ça c’est dur, attendez, je peux pas… 49 ! — Et pour 25 ? — 14. » Pour les triplets elle s’adapte par tâtonnements multiples et trouve même un début d’explication : pour les couples on a entre les deux bâtons « un élastique tout seul », tandis que pour les triplets « c’est pas un élastique tout seul parce qu’il y a 1 bâton (entre les extrêmes) alors ça fait assez, beaucoup de plus ». Mais pour les quadruplets, elle dit : « Avec 12 bâtons tu as pu faire combien de couples ? — 11. Et pour les groupes de 3 ? — 11. — Comme pour les groupes de 2 ? — Non 10. —  Et pour les groupes de 4 ? — 8. —  Pourquoi ? — Euh ! 7 ! — Pourquoi 7 ? — Parce qu’il y a 12 bâtons. »

Mon (8 ;0) trouve la loi n — 1 « parce qu’on prend 2 bâtons à la fois, alors ça fait moins d’élastiques » et elle comprend qu’en rond cela ferait 12 = 12. Pour les triplets elle ne prévoit pas la règle : elle constate le fait pour 4 et généralise pour 5 mais prévoit aussi 3 pour 6 tiges et dans la suite elle sombrait tantôt n — 2, tantôt n — 3. Par contre, elle comprend que par couples il faut plus d’élastiques que par 3 « parce que 3 c’est plus que 2 ».

Ber (8 ;4) mêmes réactions pour les couples (avec centrations initiales sur les intervalles). Pour 23 tiges il y aura 22 élastiques « parce qu’il y a toujours 1 de moins ». Pour les triplets elle arrive, pour 4 éléments, à « 1, non 2 élastiques parce que je fais comme ça (montre ses actions) ». Mais pour 10 elle retombe à 9 (= n — 1) bien que regardant attentivement sa construction. Echec aux quadruplets.

Ces réactions du niveau IIA sont instructives quant au passage des formes inductives à constructives de la généralisation. D’un côté il semble en effet clair que les sujets accèdent déjà par moments à ces types supérieurs de raisonnements, et cela dans la mesure, non pas où ils découvrent des cas particuliers de la loi n — x, car ce début de généralisation peut demeurer inductif, mais où ils commencent à en trouver ou deviner la raison : lorsque Mil compte les intervalles pour juger des nombres d’élastiques dans le cas des couples ; lorsque Thy plus explicitement dit « il y a plus de bâtons (parce que) je prends 2 bâtons pour mettre 1 élastique », et, comprend même pour les triplets « il y a plus de bâtons attachés, alors moins d’élastiques » ; quand Xen dit des choses analogues (« l’élastique s’accroche à 2 bâtons ») ; et quand Men déclare « parce qu’on prend 2 bâtonnets à la fois », un propos justifiant déjà la loi n — x et ne se bornant pas à l’énoncer. En outre, on voit que les explications reviennent à dégager certains aspects de l’action propre, en sa construction matérielle des couples et [p. 55] des triplets, et l’on en peut déduire d’emblée que la formation de la généralisation constructive consistera précisément en une transposition de cette construction matérielle en une construction conceptuelle.

Mais d’un autre côté, et c’est là l’intérêt de ces cas, ces mêmes sujets ne se montrent pas capables d’exploiter ce beau début. Mil, qui sait faire correspondre les élastiques aux intervalles, est effrayé quand on conclut qu’ils ne correspondent plus alors aux bâtons et ne « comprend plus rien » aux triplets, quand même il sait les construire ; il s’embrouille même pour les couples, passé un certain nombre. Thy hésite déjà pour les couples à partir de 9 et tâtonne pour les triplets. Xen trouve difficile de raisonner quand on ne voit pas les bâtons et ses déductions finales sont de moins en moins bonnes. Mon et Ber de même pour les triplets, y compris lorsqu’ils ont réussi leurs constructions.

Il y a donc là un paradoxe puisque ces sujets atteignent par moments un début de généralisation constructive, tandis qu’à d’autres ils se bornent à des généralisations inductives, par simples utilisations des constatations et qui enfin échouent même à trouver les extensions correctes. Or, cette situation au premier abord étrange s’explique aisément par les lois de l’abstraction et de la prise de conscience. Il convient, en effet, de distinguer au moins trois paliers dans les données de l’action propre, et encore avec toutes les transitions entre eux. Il y a d’abord, en partant de la périphérie (mais la prise de conscience procède précisément de la périphérie au centre ³), les résultats extérieurs de l’action, qui peuvent être connus du sujet sans que celui-ci comprenne comment il y est parvenu : par exemple Mon, face aux triplets pour 10 tiges, regarde attentivement sa propre construction, mais ne voit pas comment il a procédé. En second lieu, il y a l’action en son déroulement matériel, et la prise de connaissance de celui-ci n’est encore, comme celle des résultats extérieurs, qu’affaire d’abstraction empirique (portant sur les déplacements, les manipulations comme telles, etc.). Il y a enfin la compréhension du mécanisme interne de l’action, donc de ses coordinations nécessaires (sources des opérations logico-mathématiques) et la prise de conscience de [p. 56] cette logique praxéologique relève alors de l’abstraction réfléchissante.

Il n’y a donc rien de contradictoire dans les réactions de nos sujets. Lorsque l’action se complique (nombre de tiges, grandeur des parties, etc.) ils parviennent bien à l’exécuter pas à pas, mais n’en aperçoivent clairement que le résultat, et encore déformé lorsque interviennent les facteurs décrits au stade I. Il ne saurait alors y avoir, à partir de ces constatations, correctes ou non, que des généralisations inductives, faute d’abstraction réfléchissante actuelle et faute de prise de conscience du mécanisme coordinateur interne qui a permis aux actions d’aboutir.

Dans la mesure où l’action est plus simple (premiers couples), par contre, le sujet parvient à en observer les étapes jusqu’à en retenir après coup les grandes lignes, mais en se bornant encore à suivre ses manipulations à titre de faits, de telles constatations (second palier) n’atteignant pas encore, sauf par lueurs momentanées, les coordinations internes (troisième palier), dont seule la nécessité intrinsèque aurait permis la généralisation constructive sous les formes non pas inchoactives et momentanées que l’on discerne à ce niveau IIA, mais générales et récurrentielles, permettant de retrouver la loi n — 1 pour tous les nombres et de passer de n — 1 à n — 2 (triplets), n — 3, etc. En un mot, les sujets de ce niveau parviennent déjà à prendre une conscience partielle de leurs constructions de proche en proche, mais n’en dégagent pas encore le schème généralisable en tant que système de coordinations nécessaires.

C’est la découverte progressive de ce schème qui caractérise ce nouveau sous-stade, mais elle n’est encore que progressive, car on y trouve encore de nombreux résidus de généralisation inductive fondée sur les observables et servant à étayer une généralisation constructive encore peu sûre d’elle-même. A cet égard le passage de la règle n — 1 des couples à la règle n — 2 des triplets est important, car si la loi des couples peut se fonder sur les seuls observables (intervalles, etc.) avec généralisations inductives, le schème de construction est plus essentiel à dégager dans le cas des triplets et a fortiori des ensembles suivants pour assurer leur régularité, puisque les intersections sont de plus en plus grandes :

[p. 57]Eri (8 ;7) trouve d’emblée la loi des couples et une explication : « Parce que celui-là vaut pour deux, alors on aura toujours un élastique de moins. » Pour les triplets il les construit pour 4 et 5 éléments puis conclut que si on ajoute 2 puis 10 bâtons il faudra rajouter 2 puis 10 élastiques (2^e loi) « parce que dès qu’on rajoute un bâton on peut faire un autre ensemble (de 3) ». Mais pour 7 il retombe dans la loi n — 1 et constate son erreur : « Non, c’est une autre loi parce que pour les ensembles de 2 on prenait toujours celui qui est après et maintenant on prend (son successeur). — Alors ? — Toujours (n) — 2. » On fait récapituler puis : « Avec les groupes de 4, quelle serait la loi ? — Il y aurait toujours 3 élastiques de moins : chaque fois qu’on augmente il y a 1 bâton pour les familles (ensembles de 2, 3, 4…), il y avait toujours 1 élastique de moins. — Qu’est-ce qu’il y a de moins ? — Un ensemble (l^re loi). — Et pour les groupes de 6 ? — 5 de moins (donc juste). » Pour les groupes de 10 il se trompe d’abord : « (Il compte) 10 de moins », puis après répétition pour 2 et 5 « 9, un nombre en dessous du groupe. — Et pour des groupes de 20 ? — 19 élastiques de moins ». Mais il ne parvient pas pour autant à dire combien de groupes de 20 on aura en 25 (donc 25 — 19 = 6) : « 2, non 3 », tout en comprenant bien qu’avec 8 tiges on aura 5 groupes de 4, etc.

Vin (8 ;7) mêmes réactions jusqu’à la dernière question de la 3^e loi : « Ça fait toujours 1 de moins. — Par exemple combien d’élastiques de moins pour des groupes de 5 ? — 4 de moins. —  Et un groupe de 25 ? — Attendez… 24 de moins. — De moins que quoi ? — D’élastiques que de bâtons, mais on ne sait pas combien il y a de bâtons. —  Pour faire des groupes de 25 tu aurais besoin de combien de tiges ? — Au moins 100 ou quelque chose comme ça. —  Pas moins ? — 50, oui, ça ferait 2 groupes. — 2 ? — Non plus. Ah ! on pourrait faire 26 ! — Et avec 26 bâtons, combien de groupes de 25 ? — Ça ferait 2 groupes. »

Kal (9 ;5) trouve de suite la loi des couples. « Pour 12 ? — 11 élastiques. —  Pourquoi 1 — Ça commence par un bâton et ça finit par un bâton et pas par un élastique. » Triplets : il constate n — 2 sur 3, 4 et 6, mais « je ne sais pas si ça marchera tous les coups ». Il vérifie pour 7 et conclut « c’est parce que les élastiques prennent maintenant un espace plus grand ». Pour les quadruplets il en fait 2 avec 5 éléments et conclut d’emblée qu’avec 8 tiges on en aura 5 : « Comment as-tu pensé ? — On ajoute 1 (groupe de 4) par bâton. — Et autrement ? — Il sujfirait de soustraire 3 parce que 3 est le nombre le plus grand en dessous… parce qu’il y a 3 bâtons de plus que d’élastiques. » On fait répéter les règles pour 2, 3 et 4 : « Chaque fois qu’on ajoute 1 dans un groupe, on soustrait 1 sur le nombre d’élastiques… — Et quand on avait chaque fois plus de bâtons ? — Ça ne change pas. — C’est seulement quand on change de groupe ? — Oui. — Et pour un groupe plus grand, on a plus ou moins d’élastiques ? — Moins. »

Dan (10 ;0) après les couples trouve aussitôt la loi n — 2 des triplets « parce qu’ils sont toujours en dedans » (élément du milieu) et cela en regardant, 4, 5 puis 6 tiges sans les manipuler, puis il trouve 6 pour 8 par simple représentation. Ensuite il déduit qu’il pourra faire 3 groupes de 4 avec 6 tiges : « Avant j’ôtais 2 puis maintenant 3 parce que c’est un groupe de 4. —  Et avec 7 bâtons, combien de groupes de 6 ? — 2. — Pourquoi ? — Avant on [p. 58] était à 3 (pour 4). Plus 2, ça fait 5 et 7 moins 5 égalent 2. » Après quoi il s’embrouille pour 25 bâtons en groupe de 20, il calcule au lieu de généraliser et trouve 16, puis seulement 2, puis 5. Mais en récapitulant de 2 à 5 il énonce la loi 3 : « Il faut toujours enlever 1 de plus. —  Alors pour les groupes de 15 ? — Eh bien 14. —  Et pour 20 bâtons combien de groupes de 15 ? — 19… non 6 groupes. »

Le progrès notable accompli par ces sujets par rapport à ceux du niveau IIA (avec divers cas intermédiaires qu’il est inutile de citer) est donc leur compréhension rapide et justifiée de la loi n — 2 des triplets après constructions et la facilité avec laquelle ils passent de là à la loi n — 1 des quadruplets et à de plus grands ensembles. Or, il est visible que cette amélioration de la généralisation constructive tient au fait qu’ils ne se bornent plus à une lecture des résultats de l’action ou des manipulations matérielles intervenant dans cette construction des triplets (K al commence encore de cette manière, et en conclut alors avec raison « je ne sais pas si ça marchera tous les coups »), mais qu’ils atteignent le schème même de cette construction, c’est-à-dire les coordinations fournissant les « raisons ». C’est déjà en partie le cas (et seulement finalement) de certains sujets du niveau IIA, comme Xen et Thy, mais la relation invoquée n’est pas encore quantifiée numériquement (« ça fait assez beaucoup de plus »), tandis qu’au niveau IIB l’enfant comprend pourquoi on passe de n — 1 à n — 2 (« c’est une autre loi » etc., dit Eri ; cf. aussi Kal et Dan) et surtout en tire immédiatement le passage récurrentiel aux quadruplets et au-delà, ce qui est bien le signe d’une nouvelle compréhension. Mais les limites de ce niveau tiennent à un certain flottement qui subsiste dans les déductions sur les nombres dépassant une vingtaine. Si nous appelons n le nombre des tiges considéré, par exemple 50, et N celui des éléments d’un ensemble, par exemple 25, le nombre x des élastiques à enlever (donc des ensembles en moins) est toujours de N — 1, donc ici de 24, et le nombre des ensembles possibles est alors de n — x, donc de 26. Or, nous voyons Eri, Vin (un moment) et Dan s’embrouiller par confusion de N et de n, donc ne pas savoir déduire n — x de la soustraction N — 1 pourtant bien comprise. Ce n’est là qu’un indice de coordinations insuffisamment dominées, mais il est utile de le signaler pour montrer qu’il y a tous les intermédiaires entre la représentation du schème complet de [p. 59] la construction (3^e palier de la prise de conscience : cf. § 3) et la simple lecture ou reconstitution des résultats de l’action (1^er palier) ou de ses manipulations matérielles (2^e palier).

Il va de soi qu’au niveau des opérations formelles où toutes les déductions s’améliorent, les sujets parviendront à fonder leurs raisonnements sur le schème des constructions en en dégageant les coordinations nécessaires. Il est en particulier remarquable que la loi n — 2 des triplets peut dorénavant être trouvée sans constatations préalables, donc par simple inférence à partir de la loi n — 1 des couples. Quant aux déductions sur TV et n, on trouve encore naturellement des cas de flottement, mais le problème est dominé :

Nat (11 ;2) : « Avec 12 bâtons tu peux me dire combien de groupes de 2, sans compter ? — 11, parce qu’on en met un de moins. —  Pourquoi ? — Parce qu’il y en a 12 et qu’on ne peut pas relier les deux bouts », d’où la compréhension qu’en cercle cela ferait 12. « Et avec 125 ? — Ça ferait 124. » Triplets pour 4 éléments (en cachant) : « 2. — Et avec 6 bâtons ? — 4. — Comment tu sais ? — Parce qu’avec 3 bâtons on fait comme ça (1, 2, 3, etc.). — Et avec 12 tiges ? — 10, j’enlève toujours 2. —  Et 7 ? — 5 parce qu’on en saute un (entre 1 et 3). » Quintuplets (sans passer par les quadruplets) : « Et des groupes de 5 avec ces 7 bâtons ? — 3 (par calcul mental). — On a fait des groupes de 2, de 3, de 5, on aurait pu de 4 ? — J’en aurais 4 (avec ces 7). — Comment tu pourrais expliquer ce qui se passe avec ces choses-là ? — Plus on a de grands groupes, plus ça fait, plus tu en as moins. — Combien de moins ? — Chaque fois que je fais un groupe plus grand d’un bâton (N) j’ai un groupe de moins (loi). — Alors si j’augmente de 1 dans les groupes je diminue dans quoi ? — Dans le nombre de groupes. »

Kin (11 ;5). Triplets : compréhension immédiate : « Avec 10 éléments combien de groupes de 3 ? — 8. —  Et avec 12 ? — Il y en aura 10. Chaque fois qu’on rajoute un bâton (en n) ça fait chaque fois un de plus de groupes (loi 2). — Mais pourquoi 2 groupes de 3 avec 4, etc. ? — Parce qu’on a utilisé le même bâton, c’est toujours 2 de moins. Quand tu feras des groupes de 4 (spontané !) ça fera 3 de moins. Je crois que chaque fois qu’on augmente le nombre des bâtons (en N pas en n)… j’arrive pas à expliquer… —  Combien de moins ? — Oui, chaque fois qu’on ajoute 1 bâton (en N) ça diminue de 1 (loi N — 1). —  Et pour des groupes de 25 sur n’importe quel nombre ? — 24. — Pourquoi ? — J’ai fait le même raisonnement. — Combien pourrait-on faire de groupes de 20 avec 25 bâtons ? — 15… non, c’est trop… ça fait 5, ah non G : ça fait (le premier) 20, ensuite 21, 22, 23, 24, 25, ça fait 6. »

Dia (12 ;2). Triplets : n — 2 « parce que je saute chaque fois un bâton, alors c’est 2 de moins ». Quadruplets : elle compte encore. « Et pour 20 bâtons ? — 19 de moins. —  Combien de groupes de 20 avec 28 bâtons ? — Je peux en faire 5, parce que chaque fois que je bouge d’un bâton il me faut un élastique [p. 60] (mais elle part de 21, puis corrige). Ça fait 6. —  Tu peux expliquer ? — Parce que chaque fois que je fais un groupe de plus (de N) je diminue d’un bâton. »

Flu (15 ;2) conclut spontanément (comme Kin) que si l’on enlève 2 pour les triplets « ben ça fera 3 de moins pour les groupes de 4. — Et de 5 ? — Ben, 4 de moins. — Pourquoi ? — On prend toujours (1 de plus) sur le groupe précédent : si c’est un couple on prend le dernier, si c’est un triplet on prend les 2 derniers et toujours comme ça… on augmente l’écart (n— x). — Avec 25 bâtons combien de groupes de 20 ? — 5 je crois. — Sûr ? — Si je fais un groupe de 20 il reste 5 possibilités (comme Kin)… — Réfléchis bien ? — Ah non il y a le l^ei groupe : ça fait 6. —  Quel serait l’« écart » ici ? — On n’a qu’à se baser sur ce qu’on a dit avant et après on déduit : je crois 19 ». Mais pour les groupes de 20 en 200 bâtons il flotte passablement : 101, puis 10 ou 12, puis 180 et enfin 181 (200 — 19).

Ces sujets s’appuient ainsi de façon continue sur le schème même de leurs actions, ce qui leur permet à la fois les anticipations par construction mentale ou représentative se substituant aux manipulations matérielles et l’explication des coordinations nécessaires fournissant les raisons. Il est seulement à remarquer que pour les nombres relativement grands, ils préfèrent calculer le nombre des ensembles possibles en procédant par la voie positive ascendante (20, ensuite 21, 22, etc.) que par la voie négative ou descendante de la soustraction comme y parvient Flu (et Dia implicitement à la fin). On pourrait à cet égard distinguer un niveau IIIA quand le sujet en reste au premier de ces procédés et un niveau IIIB quand il atteint le second.

Les résultats qui précèdent fournissent un bel exemple de transformation continue de la généralisation : d’abord inductive, très incomplète (et même déformée par des idées préconçues de source constructive antérieure), puis un peu plus complète et passant ensuite à la généralisation constructive dans la mesure où le sujet, partant des seules constatations fournies par les résultats de ses actions, remonte de là à la succession de ses manipulations matérielles et finalement à leur schème lui-même en tant que système de coordinations nécessaires. Le second de ces trois paliers intervient lorsque le sujet ne se borne pas à analyser après coup le résultat de ses actes, mais peut les reconstituer ou même les remplacer par un calcul mental, donc par une évocation représentative. Quant aux coordinations nécessaires, leur efficacité se manifeste [p. 61] par la découverte de « raisons » assignées aux rapports réguliers, celles-ci constituant le critère authentique des généralisations devenues constructives.

Mais il ne faut pas négliger un aspect important de cette évolution : c’est que les actions du sujet, dont la prise de conscience conditionne ainsi les progrès de la généralisation, évoluent elles-mêmes d’un niveau à un autre. Par exemple la formation des triplets et même des couples (Pen et Cal en IA) débute par des échecs dus au besoin de s’en tenir à des ensembles disjoints et les intersections ne s’améliorent que par étapes. Or, comme la prise de conscience de l’action consiste en une conceptualisation, il est normal que celle-ci réagisse ensuite sur celle-là, de telle sorte que si les actions sont d’abord en avance sur la pensée, celle-ci puisse ultérieurement servir à en programmer de nouvelles, dont la réalisation demeure néanmoins indispensable, durant une période intermédiaire, à titre de contrôle ou simplement de point d’appui (abstraction pseudo-empirique).

Cela dit, la question qu’il nous reste à examiner est de comprendre comment la généralisation constructive, ainsi née de la conceptualisation des schèmes de construction propres à l’action elle-même, en vient à prendre ces formes de récurrence si claires dès leurs débuts, au cours du stade II (et surtout IIB) et acquérant leurs formulations plus générales au cours du stade III. En fait, toute généralisation constructive s’appuie paradoxalement, non pas seulement sur les constructions opératoires actuelles, ou déjà réalisées, mais encore sur celles qui vont suivre et ne sont, au moment considéré, qu’en devenir et non encore effectuées. La raison en est que toute construction ouvre de nouvelles possibilités et que celles-ci interviennent sitôt réalisables, à la manière d’un travail virtuel non encore compensé et qui doit par conséquent l’être tôt ou tard. Or, le raisonnement récurrentiel (ou « induction complète » comme l’appelait Poincaré) constitue précisément le modèle par excellence de ces constructions s’appuyant sur leur suite. Si une propriété est vérifiée dans le cas du premier nombre et si, étant vraie de n elle l’est nécessairement de n -J- 1, alors elle l’est de tous les nombres : il est donc clair, en cette formulation, que le moment décisif n’est pas le contrôle sur 0 ou 1 ou sur n, mais bien le passage de n à n 4~ L fournissant, mais rétroactivement, [p. 62] la raison de ce qui précède. Or, en nos résultats, nous voyons qu’au niveau IIA la loi n — 1 des couples n’est guère encore comprise que par constatations, faute de passage possible à la loi n — 2 des triplets, tandis qu’au niveau IIB, cette dernière règle est assimilée et conduit immédiatement à la loi n — 3 des quadruplets : il semble ainsi que ce soit la possibilité de ce passage de n — 2 à n — 3 qui fournisse la compréhension de n — 2, conçue après coup comme la généralisation de n — 1, sans qu’il y ait eu une généralisation directe de n — 1 & n — 2 qui n’irait pas plus loin. En effet, le processus récurrentiel central qui conduit d’un nombre au suivant ne confère à la déduction un caractère de nécessité que dans la mesure où il en fournit la raison, et c’est précisément ce que nous commençons à voir au niveau IIB et qui apparaît explicitement au stade III.

En d’autres termes, on peut distinguer deux phases dans la formation des raisonnements récurrentiels. Au cours de la première la propriété en jeu est constatée pour un ou deux nombres N : n — 1 avec peine pour les couples au niveau IB, n — 2h nouveau avec peine, pour les triplets, en IIA. En ces cas la vérité en jeu n’est affaire que de constatations et la raison trouvée reste locale (intervalles pour les couples) ou incomplète (« plus de bâtons » sans quantification pour les triplets) ; la généralisation ne peut alors que demeurer inductive ⁴, c’est-à- dire sans nécessité : « Je ne sais pas si ça marchera tous les coups » dit ainsi très bien K al (comme déjà rappelé) malgré trois constatations pour des n distincts. La seconde phase débute au contraire lorsqu’on présence d’un n —  x le sujet ne raisonne plus simplement sur ce qu’il a constaté, mais éprouve le besoin de penser à la suite, comme si elle seule pouvait expliquer les constats antérieurs : par exemple Kin et Flu (stade III) en présence des triplets imaginent spontanément le cas des quadruplets. C’est alors le passage de TV à N -|- 1 qui devient explicatif et c’est cette nécessité liée aux constructions ultérieures, donc à un « tout » virtuel, qui caractérise la récurrence et une forme nouvelle de généralisation devenue ainsi constructive, parce que toujours ouverte sur les futurs possibles.