Chapitre II.
Combinaison de longueurs ^{1 a} 🔗

L’évaluation perceptive des éléments étant, dès ce niveau, très précise indépendamment des indications numériques, les sujets réussissent sans difficulté en action les questions dont la solution ne demande pas une déduction ou une anticipation représentative :

Hub (5 ;6) pour un but à 19, il place 7/9, 8/10 puis 3/6 : comme il manque 1 cm, il remplace 3/6 par 4/7. Pour 24, il met 7/8, 8/10 et 8/9, ce qui donne 23 : il enlève 8/9 et le remplace par le carré 8/8 qui lui paraît convenir puisque étant plus petit : retrouvant 23, il met 9/10. Pour un but à 8 il met 8/9. « Un autre ? — 8/10. — Comment tu fais ? — Je regarde les points (unités sur la planche). — Tu les comptes ? — Non. — D’autres iraient ? — (Il essaie 9/10 ; 7/10, puis 8/8.) — Et encore ? — (6/8) Non. — Ça pourrait aller quand même ? — (Il le tourne mais donc avec une part de suggestion.) Comme ça. — Et d’autres ? — (Il revient aux seules largeurs.) 7/8 ; 7/10 ; puis 7/9. Non. —  Point d’autres ? — (7/8) Non. — Comment le faire aller celui-là ? — (Il le tourne.) — D’autres ? — (Il se centre alors sur les seules longueurs 9/7 ; 7/5 ; 8/4.) — Et encore ? — (7/4 ; 9/4 ; 7/5 ; 8/5 (j.) ; puis 9/5 ; [p. 34] 1/6 ; 9/4 ; 9/5 ; 9/6… — Tu pourrais en mettre plusieurs ? — (Il essaie 3/7 + 3/6 puis les enlève, puis 4/7 et 3/6 et les enlève et réussit 3/7 et 5/9.) » Pour un but de 11, il met 10/9 puis le tourne, et le remplace par 6/8 complété par 5/9. Quant à parvenir à deux buts avec les mêmes éléments par le moyen des rotations Hub ne parvient naturellement qu’à atteindre l’un des deux sans s’occuper de l’autre et quand on rappelle ce second, il rajoute des éléments extérieurs au lieu d’en tourner de déjà placés : pour 8 et 10, par exemple, il obtient 10 par 3/7 + 3/5 + 4/8, mais pour 8 il garde 4/8 et ajoute du dehors 4/5. On présente 9/10 et 3/7 en demandant lequel fera monter selon la plus grande différence en les tournant : il commence par n’utiliser que 9/10 sans le tourner, après quoi il les compare et les tourne puis retourne 10/9 sans voir qu’il ramène 10 à 9 seulement. Pour la question captieuse des différences de 3, il conclut après essais « J’arrivera pas, ils sont trop petits », sans voir que leur différence est trop grande.

Ron (5 ;5) pour 5/9 -f- 3/6 : « On aimerait faire plus haut. — Il faut prendre des carrés. —  Mais avec les deux ? — On peut pas. —  Et si tu bouges un des deux ? — Non. —  (On tourne le 3/6.) — C’est plus haut ! — Et encore plus haut ? — (Il tourne l’autre.) — On peut faire une pile différente ? — (Il la fait avec d’autres éléments.) — Et avec ceux-là ? — Non. » On recommence avec 10/8 et 7/6 en demandant les différentes combinaisons : il arrive à les tourner, mais ne voit pas d’autre arrangement possible. Ensuite pour arriver plus haut que 5/9 + 5/4 il les tourne les deux, ce qui est juste pour 5/9 mais sans voir que 4/5 diminue 5/4.

Si l’on cherche à comparer ces réactions à la tendance observée chez les jeunes sujets du chapitre I qui ne savent manier que des classes disjointes selon des partitions homogènes, on doit relever d’abord les réactions initiales de Hub : il se borne systématiquement, en premier lieu, à n’additionner que des largeurs La sans recourir aux longueurs Lo, puis, après une suggestion de rotation, il se centre sur les seules longueurs (Lb) pour revenir aux largeurs quand on demande d’utiliser plusieurs éléments et non plus un seul. Ron, de son côté, n’arrive même pas à tourner de lui-même un rectangle et ne généralise que très partiellement ce procédé dans la suite, au point qu’il ne voit pas qu’en tournant 5/4 en 4/5 il diminue la hauteur de la série totale au lieu de l’augmenter comme désiré (cf. Hub pour 10/9). Cette incompréhension des rotations, sinon au vu des résultats, empêche naturellement le sujet de poursuivre deux buts à la fois avec les mêmes éléments : le second n’est considéré qu’à la suite et indépendamment du premier, et surtout en utilisant de nouveaux rectangles et non pas les mêmes.

[p. 35] Quant à la question centrale de trouver le plus d’arrangements possibles avec les Lo et les La de deux ou trois éléments, le sujet Ron montre combien sont lacunaires les solutions de ce niveau IA : ou bien le sujet recourt à d’autres éléments, ou il se borne à tourner ceux qui sont donnés ou il renonce. Il n’arrive donc même pas, pour deux éléments quelconques à trouver le moyen de faire la plus longue rangée des quatre possibles, faute de raisonner sur les différences comme telles.

En un mot, on constate qu’à ce niveau les réunions élémentaires dont se contente le sujet rappellent les partitions homogènes entre classes disjointes des jeunes sujets du chapitre I, encore qu’au début (comme lors des premières réactions de Hub) il n’y a même pas partition du tout (rien que des Lo, etc.). La raison de ce manque de différenciation entre combinaisons possibles est évidemment que les sujets ne dirigent encore nullement leurs actions successives par un jeu d’anticipations représentatives, donc par une conceptualisation : ils tâtonnent sans plus, en ne se fondant que sur leurs perceptions, d’ailleurs excellentes en moyenne, et sur les résultats des actions précédentes, améliorées par des régulations à feedbacks négatifs (correction des erreurs). Il en résulte de nombreuses réussites, mais par « essais et erreurs » et sans aucune compréhension des problèmes posés ni du pourquoi des succès ou des échecs.

Ce niveau ne marque qu’un progrès par rapport au précédent, mais qui a son importance : c’est la coordination naissante entre les conduites d’alignement (addition) et de rotation (passage de Lo à La ou l’inverse). Sinon les solutions continuent d’être obtenues par simples actions avec tâtonnements :

Fab (6 ;0) pour un but de 8 commence par 5/5 puis trouve 8/10, puis 6/9 et 8/9 : « Parce qu’ils sont grands jusqu’ici. » Lorsqu’on suggère plus qu’un élément, elle réussit avec 3/6 + 5/5, et, pour 13, avec 9/10 + 4/7. Pour aller plus loin, elle propose d’en rajouter, mais n’ose pas en retourner parce que certains chiffres marqués sur le rectangle seraient alors à l’envers : rassurée elle réussit l’allongement : « Eh bien je tournerais le grand. » Dans le cas des doubles buts elle utilise cette possibilité de retournement, mais seulement au vu des résultats antérieurs marqués et non pas encore par anticipation : pour 13 et 18, elle réussit 13, puis, pour 18, après avoir voulu [p. 36] rajouter un élément, elle en retourne un autre, mais sans succès : « On peut pas, c’est trop grand », etc. Par contre, après qu’elle a réussi rapidement 23 on lui demande de passer de là à 25 sans adjonctions : elle tourne alors spontanément en 10/7, 8/7 et 10/9, les éléments qui donnaient 23 et trouve ainsi 28, puis elle retient un 18/7, le 10/9 et tourne un 8/7, d’où 25. Elle réussit de même, par tâtonnements accompagnés de rotations, à passer à 26 et à 28. Pour la solution impossible des différences par 3, elle essaie toutes les combinaisons et conclut : « Si on les met comme ça (en montrant 9/6), ça dépasse, si on les met comme ça (9/6 4- 10/7) Ç^a dépasse encore plus, et les deux comme ça (retournés) c’est trop bas. »

Val (6 ;5) manque d’abord un but à 20, mais, pour 8, pose correctement 3/7 + 5/9 : « Puis pour une autre ou deux autres ? — (4/9 + 4/8.) — Et encore ? — (5/8 4~ 3/6.) — Et un seul ? — (7/9, qu’elle enlève puis 8/10.) — Un autre seul ? — (Elle essaie 10, entre 6/9 et 9/10 et en trouve deux justes.) — Il n’y en a plus ? — Non (et essaie 7/8). — Il y a un moyen de le faire aller ? — Non. —  Et de le mettre autrement ? — (Elle le tourne en 8/7.) Oui (elle en tourne alors d’autres avec réussites). » Pour le double but, on commence par la question la plus facile où un seul retournement suffit : « 7 et 9 ? — (Elle pose par hasard 7/9 pour obtenir le 7 et sans voir que le rectangle convient aussi au 9.) — Ça va pour le premier but. Et pour le 2^e ? — (Elle ajoute 3/7 à 7/9, puis 4/9, puis 4/5.) — Mais avec le même rectangle, tu peux arriver ? — Non (puis elle le tourne). Oui. — Et pour 8 et 10 ? — (Elle pose 4/5 + 3/5 et enlève celui-ci contre 4/6, d’où les 8 demandés.) — Et pour 10 ? — (Elle tourne 4/6 en 6/4) Voilà. » Par contre pour 9 et 11 ainsi que 10 et 12, les tâtonnements sont beaucoup plus laborieux : les deux buts sont recherchés séparément et avec 17 essais pour 9 et 11, dont seulement 5 rotations ; de même pour 10 et 12, avec bonne solution finale (3/7 4- 4/6 + 3/6 pour 10 et rotation de 3/6 4- 4/6 pour 12), mais l’intérêt du cas est que, arrivée à 12, Val a beaucoup de peine à reproduire la répartition qu’elle vient de trouver pour arriver à 10. De même pour 13 et 15, les solutions sont obtenues par essais divers d’adjonctions et de rotations, mais Val ne se rappelle pas les éléments qu’elle a tournés et en indique 1 de faux sur 3 : « Il va celui-là ? — Non. — Et pourquoi les deux autres vont ? — … » On demande alors « lequel (de 9/10 et 3/7) fera monter le plus haut (en les tournant) — Celui-là (3/7) parce qu’il est plus mince et le gros est plus épais ». Différences de 3 pour un but plus haut de 2 : après essais multiples Val dit qu’« on n’arrive pas. —  Pourquoi ? — … ».

La rotation d’un rectangle, en tant qu’action, conduisant à utiliser la dimension Lo ou La non choisie au début, est déjà découverte à l’occasion, au cours du sous-stade IA, mais à titre d’essais occasionnels et non pas encore de procédé destiné à modifier la longueur totale de l’alignement conduisant au but. La nouveauté propre à ce palier IB est que, au contraire, le sujet ayant constaté le rôle de la rotation dans l’obtention d’une certaine longueur totale, il utilise ensuite ce procédé, en coordination [p. 37] avec de simples adjonctions, lorsqu’il s’agit d’atteindre un but donné. Il en résulte que dans les problèmes de double but (ou, comme chez Fab, d’allongement de 23 à 25 ou de 26 à 28) le sujet n’est pas loin des réussites empiriques, comme chez Val qui trouve assez rapidement les solutions simples et ne tâtonne longuement qu’à partir de 9 et 11.

Mais les généralisations de ce procédé soulèvent à ce niveau IB un problème intéressant quant à leur nature. Il s’agit, en partie bien sûr, d’une généralisation constructive dans la mesure où le sujet commence à comprendre qu’un rectangle non carré présente deux dimensions distinctes et qu’en le tournant on trouve par conséquent nécessairement une nouvelle longueur Lo ou La : d’où l’utilisation possible de la rotation. Mais il n’y a là qu’une démarche préalable destinée à fixer les significations, donc un simple cadre général et non pas un mécanisme rendant compte du passage d’une action à la suivante. En effet, pour ce qui est du détail de cette utilisation, l’enfant ne parvient encore nullement à inférer les conséquences d’une rotation particulière ; ce n’est donc qu’au vu des résultats de son action qu’il refuse, accepte ou généralise de tels essais et dans la mesure où il en est ainsi, il va de soi que la généralisation demeure alors inductive. Par exemple, Fab renonce aux rotations sur un point où elle en a essayé une sans succès (« On peut pas, c’est trop grand »), puis les adopte avec excès après une réussite pour passer de 23 à 25 (elle obtient alors 28). Val commence par ne pas voir la rotation possible du 7/9 pour les buts de 7 et de 9, puis, ayant constaté le succès de cette action, elle la généralise dans la suite, mais avec si peu de compréhension que, tôt après, elle ne se rappelle pas les éléments qu’elle vient de tourner et ne sait pas dire pourquoi certaines rotations ont réussi. Elle en reste ainsi à des jugements globalement perceptifs et elle croit que 3/7 retourné fera monter plus que la rotation 9/10 simplement « parce qu’il est plus mince ».

La nouveauté propre à ce sous- stade HA est le début des inférences portant sur les relations entre les dimensions Lo et La d’un rectangle et celles d’un autre, de manière à essayer de quantifier les alignements prévus pour atteindre les buts. Ces recherches de quantification [p. 38] se marquent entre autres par l’utilisation des nombres indiqués sur les rectangles et sur la planche :

Fra (7 ;3) après avoir atteint 8 compose 13 avec 9/10 et 5/9 qu’il remplace aussitôt par 4/5. « Tu pourrais aller plus haut avec les deux ? — J’en mets encore. — Seulement avec les deux ? — (Il les tourne immédiatement en 10/9 et 5/4). » Double but, 13 et 18 : « Ouille ! Il faut essayer (il met 10/9 et 5/9 puis essaie 7/10 et 6/10 ce qui lui donne 13). — Tu calcules ? — (Il met 7/10 + 6/9 + 5/9 ce qui donne 18 et enlève 5/9) pour aller à 13. — Mais avec les mêmes rectangles pour 13 et pour 18 ? — (Il tourne en 10/7 puis cherche un 8/0 pour faire 18 mais est obligé à des adjonctions pour retrouver 13 sous la forme 7/10 -|- 3/7 + 3/5.) — Et jusqu’à 18 ? — On doit y arriver (il tourne en 10/7 et 7/3). Ça va pas (puis en 10/7 + 3/7 + 5/3). Ça va bien. » Pour deux buts de 13 et 19 : il change 3/5 par 6/4. « Ça va pas. (Il garde 10/7 et pose 3/7 + 6/4.) Voilà 19. — Et pour 13 ? — Il faut enlever 6/4. — Mais sans rien enlever ? — (Il tourne en 7/10 + 3/7 + 3/5, ce qui donne 13 et 7/10 + 7/3 + 5/3 = 19.) Oui. » Pour 14 et 20, il trouve immédiatement 6/10 + 8/10 = 14 et 10/6 + 10/8 = 20, mais pour 12 et 20 il tâtonne sans succès en se bornant à dire : « Il faudrait 10 pour le grand nombre. » Solution impossible (par 3) : il fait divers essais et conclut : « Ça n’arrive pas, j’en étais sûr. » Comparaison de 3/7 et 9/10 : « Là (9/10) si on tourne ça ajoute juste un cran, alors que comme ça (7/3) on ajoute 3. »

Jer (7 ;7) pour un but de 8 trouve d’emblée 7 solutions 8 sans erreur puis demande « on peut en mettre ? —  Comme tu veux. — (Il met 6/9 + 3/7 puis remplace 6/9 par 5/5 ce qui donne 8) ». Idem pour un but de 11. Double but : pour 13 et 18 il n’arrive pas, mais pour 6 et 9 il pose immédiatement 6/9 et montre qu’il suffit de le retourner pour avoir les deux solutions. Pour 9 et 13 il trouve, après deux essais manqués, 6/10 et 3/5, d’où 6 + 3 = 9 et 10 + 3 = 13. Pour 13 en 18, il essaie 8/10 + 9/6 puis trouve 8/10 + 5/8 pour 13 et « ça donne une idée : (10 + 8 = 18). — Et avec 2 autres. — (Il tâtonne en 3 essais et trouve 7/10 -f- 6/8) ». Pour 13 et 19,14 et 20 et 13 et 20, les tâtonnements sont plus longs, mais avec réussites finales et accompagnés sans cesse de remarques montrant qu’il pense aux deux buts à la fois : « J’essaie de le faire un peu plus grand (côté du but supérieur) ou un peu plus petit (l’autre) » ou : « J’ai mal compté là », « J’ai mal calculé (d’un côté) », etc. Solutions impossibles : « On n’arrive pas parce qu’il (l’élément final) est 1 de plus. »

Guy (7 ;9) échoue avec doubles buts 5 et 8 sans doute faute de comprendre entièrement la signification du problème, car pour 6 et 9 il prend d’emblée 6/9 et le retourne en disant : « J’ai compris. » Il résout de même les questions 8 et 10 (en donnant 8/10), puis 13 et 15 : « On peut faire comme ça (8/10 et 5/7) pour aller à 13 (et 10/8 + 5/7 pour 15). » Il arrive aussi à 13 et 19 et pour les solutions impossibles, dit : « Comme ça c’est trop petit et comme ça trop grand. »

Gar (8 ;3) construit un alignement correct de 28. On demande d’arriver à 30 ; elle veut rajouter 2/5 mais on réclame les mêmes éléments : elle en retourne certains, arrive à 32 et annule les rotations de trop pour obtenir 30.

[p. 39]Cat (8 ;6) pour 8 et 10 place d’emblée 8/10 et pour 6 et 8 prend 6/8. Pour 17 et 13 : « Avec deux seulement ? — Tu peux en prendre plus. — (Elle essaie 3/7 + 6/5 + 8/10 = 17 mais n’obtient pas 13, puis tâtonne et trouve 7/3 + 4/5 + 6/8, donc juste. » Solutions impossibles : « Encore trop grand (après multiples essais). — Tu aurais pu deviner ? — Non. »

Nous avons vu qu’au niveau IB le sujet commence de coordonner les adjonctions et les rotations mais sans déduction anticipée des résultats de celles-ci, connus seulement après coup et ne donnant donc lieu qu’à des généralisations inductives (ou type « ça marche donc recommençons », ou l’inverse). Les réactions du présent sous-stade HA marquent au contraire ce progrès notable que l’enfant note d’emblée les deux dimensions d’un rectangle donné et les met par tâtonnements en relation avec celles des autres : d’où un début d’essor de la généralisation constructive, qui, de simple cadre, devient l’instrument d’une quantification subordonnant de proche en proche les valeurs additionnées Lo et La à la grandeur prévue de l’alignement nécessaire pour atteindre le but.

Le premier indice de cette transformation du fonctionnement de la généralisation est que le sujet comprend réellement le problème qu’on lui pose dans le cas des doubles buts : il saisit d’emblée (ou presque : voir Guy au moment où il dit « j’ai compris ») qu’il ne s’agit pas d’atteindre un but après l’autre, mais les deux à la fois et avec les mêmes éléments dont certains seront simplement à tourner en Lo ou en La. Il y a donc là un cas net de double partition, un peu plus facile que pour les sujets du chapitre I, sans doute parce qu’il ne s’agit pas ici de qualités hétérogènes, mais uniquement de longueurs différemment réparties ; il n’empêche qu’il est alors nécessaire de penser à deux partitions à la fois.

Néanmoins, nous restons encore loin d’une combinatoire systématique, car, si le sujet peut ainsi relier deux partitions, il est encore incapable de les différencier toutes et a fortiori de les coordonner. Deux sortes de faits le montrent clairement. Le premier est que, une combinaison une fois trouvée, il ne parvient pas ou a beaucoup de peine à en découvrir d’autres (Jer après 3 essais). Le second est que, s’il y a en général réussite finale dans les questions de double but, c’est après de nombreux tâtonnements qu’il eût été fastidieux de transcrire dans le détail et parfois avec des confusions, notamment quant à l’emploi [p. 40] des nombres (Guy dit, par exemple, à propos de l’un de ses essais : « Il faudrait un plus petit qui soit aussi marqué 9/5 »). Il ne faut pas oublier, en effet, qu’il s’agit, au niveau HA, du début des « opérations concrètes », ce qui signifie un emploi de la déduction encore rattaché aux actions matérielles et aux constatations portant sur les objets, donc par abstractions « pseudo-empiriques » et non pas encore « réfléchies » comme au stade formel de 11-12 ans. La différence entre ces stades se marque en particulier dans le cas des solutions impossibles : aucun de ces sujets ne comprend la raison générale qu’avec des différences de 3 entre Lo et La on ne peut pas augmenter un alignement d’un supplément de 2 unités. L’enfant se borne donc à constater qu’il arrive à 1 de trop (Jer) ou « c’est trop petit… ou trop grand… » (Guy). Fra dit bien de l’impossibilité « j’en étais sûr », mais sans motif explicite et Cat, plus honnête, reconnaît qu’elle n’aurait pas pu deviner.

En de nombreuses recherches, notamment sur la causalité, le niveau IIB marque sur certains points une régression apparente par rapport à IIA, mais à l’analyse on constate que le sujet découvre en fait de nouveaux problèmes qui lui compliquent les tâches, d’où l’impression qu’il cherche midi à quatorze heures. Dans le cas de la présente recherche, le phénomène est particulièrement frappant car si les sujets raisonnent de plus en plus, on n’observe pas de progrès dans les résultats de IIA et IIB, mais par contre plusieurs reculs apparents dont il nous restera à chercher la cause :

Bm (9 ;1) pour arriver à 7 refuse 7/6 parce que « là (7) ça va mais l’autre (6) ça va pas ». Elle finit par se rallier, mais à moitié et en précisant que, par exemple 9/8 pour un but de 9, « on peut pas faire 9/8 parce que si on met 8/9 c’est trop petit et si on met 9/8 ça va ». Par contre, elle réussit d’emblée à atteindre les doubles buts 7 et 9, 8 et 10 ; elle tâtonne davantage pour 9 et 11, mais voit rapidement qu’il faut deux rectangles ; pour 10 et 13 elle les calcule (9/7 + 3/7 et 7/9 + 3/7) et de plus, remarque sans le contrôler, que ces additions de longueurs sont commutatives : « On peut aussi faire l’inverse (= changer l’ordre). » Les doubles buts plus complexes donnent lieu aux mêmes tâtonnements qu’en IIA mais accompagnés de commentaires d’intentions : « Celui-là il est plus haut », si on le tourne « j’ai diminué d’une unité », celui-ci « ne va bien que d’un côté », etc. Pour les solutions impossibles, elle conclut qu’« il en faudrait deux grands et un tout petit », « il faudrait qu’il ait 2 de plus » et non pas une différence de 3.

[p. 41]Tie (9 ;2) : longs tâtonnements pour les doubles buts parce que « j’essaie de calculer ». Pour les questions pièges, il voit vite que « c’est impossible » : « il y a 1 de plus là » ; en visant 20 « ça fait partout 21. —  Pourquoi ? — Parce que vous les avez choisis ». Lorsqu’on lui demande si les différences sont toujours les mêmes, il voit bien que « oui, de 3 espaces. — Alors pourquoi ça ne va jamais ? — Sais pas. — Mais comment ferais-tu ? — Je choisirais qu’il y ait 2 de moins ».

Ant (9 ;9) atteint les doubles buts après longs tâtonnements, mais en comptant d’abord la différence qui les sépare mais en est parfois alors plus gêné qu’avancé : pour les solutions impossibles « on voit qu’il y en a 2 qui manquent et on voit dans les numéros qu’il n’y a pas de 2, aucun 2 écrit sur les cartes », comme si la différence était une dimension combinatoire. « Combien tu peux faire de piles différentes avec ça (2 rectangles) ? — 4 (il les fait). — Et avec un 3^e ? — Il y en a 4 là (pour 2), on peut faire comme ça (rotation du même) : ça fait 6. » Avec 4 et 5 rectangles cela fera 8 et 10 arrangements possibles, donc chaque fois deux de plus.

Cor (9 ;9) donne par contre déjà, pour les solutions impossibles, une explication du stade III, « là il y a 3 de différence et pas 2 unités entre chaque » ; mais ses procédures pour les doubles buts ne dépassent pas celles du niveau IIA et les réponses aux questions de combinatoires demeurent de ce niveau IIB : pour 2 rectangles elle trouve bien qu’on peut faire 4 alignements différents, mais pour 3 elle n’en trouve que 6, puis un 7^e mais pas 8. On les fait analyser en détail et elle reconnaît « 4 et 4 quand on les tourne. —  Et avec 4 rectangles ? — 12 : on ajoute 4 possibilités ». On essaie de lui faire décrire : « 16, non 22 », etc.

Dre (10 ;l) combinatoire : « Avec le rectangle, combien de piles différentes ? — Une seule (il tourne). Ah ! non, 2. —  Et avec les 2 ? — 4 (il les fait). — Et avec 3 ? — Eh bien 6 (il en montre 6). — (On lui en montre une autre, mais sans le convaincre.) De toute façon 6. Si on en rajoute, ça fait 8, toujours 2 de plus. »

Ces faits suffisent à nous faire comprendre la situation paradoxale de ce niveau IIB. D’une part les sujets déduisent davantage qu’en IIA et calculent souvent avant de constater, ce qui marque un progrès de la généralisation constructive. En particulier les réactions aux solutions impossibles sont meilleures (et Cor trouve même la bonne explication). Mais, du fait qu’ils cherchent à raisonner avant d’agir, les risques d’erreurs augmentent et les tâtonnements se multiplient, d’où une première raison des reculs apparents. Une seconde raison qui intervient occasionnellement est que leurs progrès dans la compréhension des surfaces les empêchent parfois de dissocier une seule dimension de ce système bidimensionnel et c’est ce que nous montre Bri (tandis qu’elle est plus à l’aise sitôt [p. 42] assignés deux buts). Mais, malgré leurs progrès dans le raisonnement, ces sujets en demeurent aux structures des groupements, avec leurs classes disjointes et leurs compositions de proche en proche, donc sans combinatoire : on voit ainsi Ant, Cor et Dré calculer le nombre des alignements possibles par un procédé purement additif : 4, 6, 8, etc., sans atteindre l’ensemble des parties élémentaires (couples ou triplets de base).

Ce niveau de 11-12 ans marque enfin l’utilisation correcte des déductions :

Tri (11 ;8). Double but de 14 et 19 : « (Il met 7/10 et 6/10.) Non, pas celui-là (7/10) (qu’il remplace par 10/8). Il faut enlever 1 à 10 + 10. Dans la largeur ça va (parce que 8 et 6 ça fait 14), mais pas la longueur. — Alors ? — Il faut un 9/6. J’ai pigé : 9/6 et 10/8. — Et jusqu’à 15 et 20 ? — Encore un grand. Il faut un 5. Ah non (il garde 8/10). Il me faut encore un de 10 pour la hauteur et puis un 5 :10 + 5 ça ferait 15. Ah non, il me faut un 5 plus quelque chose (il prend 10/6). C’est celui-là, alors c’est juste avec un 10/9 (juste). — Et si tu avais laissé 10/8 ? — Il faudrait 10/7 (juste). » Solutions impossibles : après quelques essais il dit que « ceci ira pas non plus parce qu’il y a toujours 3 de différence » et qu’il faudrait « soit 2 (de moins) avant soit 1 après (de plus) ».

Sim (11 ;11) trouve après deux essais 8/8 -f- 3/6 pour les buts de 11 et 14. Pour 11 et 17, il garde 8/8 et compte 17 — 8 = 9 : il faudrait alors substituer 3/9 à 3/6 mais 3/9 n’existe pas. Il garde 8/8 et déduit alors : « 9 en hauteur et 3 (de plus que 8) en petit, donc ce n’est pas possible avec 8/8 », mais il constate qu’il pensait à tort que « si on réduisait ces nombres il faudrait agrandir l’autre ». Libéré de cette hypothèse (d’ailleurs due à un scrupule de nature opératoire), il trouve sa méthode qu’il énonce en choisissant (après essais) 10/8 et 10/6 pour des buts de 14 et 20 : « On arrive à 20 avec 10 et 10 et pour arriver à 14 on prend 6 et 8 ! » Il généralise alors cette méthode pour les cas suivants. Solutions impossibles : après essais il conclut qu’« ils ont toujours 1 de moins ou 1 de plus (07), il y a 3 (de différence) partout. —  Pourquoi tu n’arrives pas à 2 de plus ? — Parce qu’il y a 3 partout, j’arriverai un peu plus haut qu’elles ». Combinatoire : « Combien de possibilités avec 2 rectangles ? — 4. —  Et avec 3 ? — 9 (le carré !). — Pourquoi ? — Non, 6 (il essaie). Non plus, ils peuvent bouger chacun deux fois. — Et avec 4 ? — Ça se double chaque fois : 2, 4, 8, 16 si c’est de la logique. » Pour 4, « . il y a 8 possibilités couchés. — Et debout ? — 8 aussi, en tout 16 ».

Mab (12 ;4) se donne pour méthode de partir d’un élément égal à la différence entre les deux buts : par exemple pour 11 et 17, il part de 6/8 et a « donc (à ajouter) le 9/4, non 9/5 ». Solutions impossibles : « Une différence de 2 il n’y a pas… (donc une différence de) 5, ça ne va pas non plus, c’est pas un multiple (de 3). » Ensemble des possibles : 2 pour 1, 4 pour 2 (il les fait), donc 8 pour 3 : « Avec 4, on a 16 possibilités, et après : 32, 64, 128, 256, 512. »

[p. 43] A ce palier des opérations formelles l’importance de la déduction s’accroît naturellement, mais cette fois à bon escient. Certes, les problèmes de double but continuent de donner lieu d’abord à des tâtonnements et erreurs, mais celles-ci sont pour ainsi dire intelligentes et en tout cas intelligemment comprises (Tri : « Il faut un 5… ah non un 5 plus quelque chose » ou cf. la fausse hypothèse de Sim). La nouveauté est alors que le sujet trouve une méthode pour calculer d’emblée à partir des buts les dimensions à trouver : Mar pose un élément égal à la différence entre les buts, puis déduit ce qui reste à ajouter, et Sim procède par décomposition des buts (20 = 10 + 10 et 14 = 6 + 8). Pour les solutions impossibles l’explication est trouvée : on ne peut pas parvenir à une différence de 2 avec des multiples de 3, ce que Mar dit même explicitement.

Quant aux divers arrangements possibles pour des alignements de mêmes nombres d’éléments, il s’agit donc de calculer tous les couples, triplets, quadruplets, etc., distincts composant les alignements, donc ce que l’on pourrait appeler l’ensemble des « parties élémentaires » ou associations de base, dont l’« ensemble complet des parties » fournirait les combinaisons n à. n. Mais il s’agit déjà d’une combinatoire 2ⁿ puisque chaque élément nouveau est à relier à chacun des précédents. Or, on a vu qu’au niveau IIB les sujets n’y voient encore qu’une composition additive (4, 6, 8, 10, etc.) comme si le nouvel élément n’ajoutait que deux possibilités (Lo ou La). Les sujets de ce stade III débutent parfois eux aussi de cette façon, mais ils voient rapidement que le nouvel élément se combine avec chacun des autres, d’où la solution multiplicative.

Les résultats de cette recherche sont intéressants du point de vue des différentes formes de généralisation. Rappelons d’abord que s’il est facile de construire le tableau des stades du développement d’une notion ou d’une structure (préopératoire ou opératoire) dues les unes comme les autres au fonctionnement de l’abstraction et de la généralisation, celles-ci par contre ne sont que des fonctions (au sens biologique du terme, par opposition aux organes que sont les notions et les structures) : or, une fonction est permanente, tout en utilisant des organes divers (cf. la nutrition et ses innombrables formes), de telle sorte qu’elle ne comporte pas de [p. 44] stades en tant que fonction. Par contre, elle présente de multiples formes de fonctionnement liées aux organes et le problème biologique est alors de savoir si c’est la fonction qui « crée » l’organe ou l’inverse. Au point de vue cognitif, nous pensons que la fonction de généralisation engendre des structures qui améliorent son fonctionnement, d’où de nouvelles structures et ainsi de suite. Les stades que l’on observe sont alors ceux des structures, mais leur analyse permet celle du fonctionnement, qui s’améliore de niveau à niveau (quoique sans permettre à lui seul de déterminer ceux-ci).

Cela dit, cherchons à faire la part pour chacun de ces niveaux, des deux types habituels de généralisations : 1) l’inductive, qui se borne à appliquer à de nouveaux objets un schème déjà connu par abstraction empirique, ou par abstraction réfléchissante (mais, en ce dernier cas, lorsque le schème a été construit antérieurement à la généralisation actuelle et sans que cette construction intervienne dans le mécanisme même de cette généralisation) ; 2) la généralisation constructive, qui engendre de nouvelles formes par complétion ou différenciation d’une opération. Cette seconde forme de généralisation marque donc un progrès en compréhension, mais naturellement aussi en extension (en tant qu’elle est alors subordonnée à la compréhension) : d’où la création de nouveaux contenus ou l’enrichissement de contenus empiriques, en ce cas revêtus de nouvelles formes. D’une manière générale le critère de la généralisation inductive est qu’elle se fonde sur les constatations ou sur le seul résultat des actions, tandis que la constructive généralise les actions elles-mêmes ou les opérations en élargissant et complétant leurs formes antérieures.

D’un tel point de vue, les réactions du niveau IA sont claires : le sujet sait fort bien ajuster les rectangles en un alignement pour atteindre un certain but, mais ne parvient pas à raisonner correctement sur les différences de longueurs entre les dimensions Lo et La de ces rectangles. L’addition simple de longueurs met naturellement en œuvre un schème d’action du sujet, mais de formation bien antérieure (derniers niveaux sensorimoteurs) et simplement appliqué aux nouveaux objets présentés. Il s’agit donc d’une généralisation essentiellement inductive, avec certes différenciations selon les buts, mais guidée par la seule perception sans aucun calcul. Quant au peu [p. 45] de compréhension des différences, il y a bien là la preuve du faible pouvoir de généralisation constructive dont témoignent ces sujets.

Au niveau IB, par contre, celle-ci marque un progrès sensible par les débuts d’un emploi intentionnel de la rotation, coordonnée avec les adjonctions. Il y a, en effet, la construction d’une nouvelle forme, par différenciation et complétion combinée du schème d’addition des longueurs. Mais nous avons vu au § 2 les limites encore très étroites de cette généralisation constructive, puisque le sujet ne juge encore du succès ou de l’échec d’une rotation qu’au vu des résultats obtenus, ce qui reste de nature inductive tandis que le processus constructif ne constitue encore qu’une sorte de cadre, donc de nouvelle forme, mais à remplir empiriquement sans grand enrichissement du contenu.

Avec le niveau IIA, par contre, on assiste à un progrès plus net de la généralisation constructive : poursuivre deux buts à la fois sans changer d’éléments et en ne modifiant que par rotations les longueurs totales même si cela n’a lieu que par solutions non déduites, mais procédant par tâtonnements multiples, c’est, en effet, compléter un schème d’addition homogène par un autre qui en diffère et comme il s’agit des mêmes éléments il y a donc là l’analogue des doubles partitions ou partitions hétérogènes dont on a vu les difficultés au chapitre I. En d’autres termes, il y a déjà ici opération (coordination) sur des opérations (partitions) et c’est là le caractère le plus général de la généralisation constructive, même si à ce niveau ses pouvoirs restent modestes (nombre et longueur des essais préalables).

Si le niveau IIB est caractérisé par de plus grands efforts de déductions anticipatrices, les résultats n’en sont, comme on l’a vu, encore guère positifs sauf en ce qui concerne une explication un peu meilleure des solutions impossibles. Par contre, au stade III, la généralisation constructive l’emporte décidément et sur deux points au moins. D’une part, les questions de double but aboutissent finalement à l’élaboration d’une méthode déductive qui permet de dominer par le calcul les coordinations propres aux partitions hétérogènes. D’où, à titre de corollaire, la compréhension de l’impossibilité de résoudre les problèmes captieux (différences de 3 pour un allongement [p. 46] de 2), ce qui suppose l’utilisation d’une somme de différences. D’autre part, la question du nombre d’alignements possibles pour un ensemble donné de rectangles, qui, au niveau IIB, ne donne encore lieu qu’à de fausses solutions additives, est enfin résolue, ce qui représente un exemple remarquable et quasi pur de généralisation constructive (une fois faite les constatations, par abstraction pseudo-empirique, sur les 4 combinaisons possibles pour 2 rectangles).

Au total, si l’on trouve à tous les niveaux de généralisations inductives et d’autres constructives (antérieures et servant de cadres ou actuelles et pour ainsi dire motrices), il semble évident que les secondes l’emportent de plus en plus sur les premières et se les subordonnent selon un processus continu.