Chapitre XII.
La généralisation de la notion de vitesse ^{1 a} 🔗

Dès les niveaux préopératoires la fréquence est déjà perçue et conçue comme une vitesse, qu’elle soit liée à un mouvement comme en notre dispositif ou simplement à des sons successifs ou à des flashes lumineux à intervalles variables¹. Dans nos présents résultats, il faut d’abord distinguer deux niveaux, l’un (IA), où cette vitesse n’est évaluée qu’en fonction de l’action propre (mieux voir, etc.), l’autre (IB) où débute une sorte de fréquence, non pas en tant que rapport entre le nombre et la durée, mais seulement en termes implicites. Voici des exemples du niveau IA :

Den (4 ;8) décrit ce qu’il voit mais déclare « Je ne crois pas » que ça bouge derrière. Il distingue les cas où « ça va doucement » parce qu’on voit bien le rouge et où « ça allait très fort (vite) » parce qu’« on ne peut pas voir le rouge ».

Xia (5 ;0) ne voit comme mouvement que « quelque chose qui monte, comme ça (geste vertical) ». Elle évalue la vitesse au fait que « tu fais trop vite, je ne peux pas voir le rouge. — Comment tu sais que ça allait vite ? — Parce que tu as allumé vite. — Et maintenant ? — Doucement. — (Encore plus lent.) — On ne voit rien du tout… ça vient pas… c’est venu ! », puis : « Ah ! c’est le blanc qui bouge, c’est le rouge qui le pousse (le mouvement est indiqué cette fois en direction horizontale). »

(1) C’est ainsi que G. Voyat, désirant étudier la perception de durées à l’état pur, a présenté à ses sujets des séquences de flashes à comparer deux par deux, l’une des deux comportant des intervalles plus longs que l’autre. Or, contrairement aux observations courantes, il n’a pas trouvé de surestimation des derniers effets présentés (erreur systématique connue des psychophysiciens sous le terme d’« erreurs temporelles »). Nous lui avons alors suggéré de commencer par demander à ses sujets ce qu’ils voyaient sans se référer dans la question même à la durée : or la grande majorité a répondu en termes de vitesse (des lumières qui venaient « plus vite » ou « plus lentement »), ce qui rétablissait naturellement l’erreur habituelle de succession.

[p. 196] Et voici deux cas du niveau IB :

Mur (5 ;11) invoque de même, comme critère de la vitesse : « Je ne vois presque pas le rouge. — Et lentement ? — Je voyais le rouge… Je vois longtemps le rouge. »

Jac (6 ;10) : « Ah ! ça va plus doucement. — Comment tu sais ? — Parce que je vois mieux les traits. Ils étaient plus épais. — Et vite ? — On les voyait plus petits et presque partout (début de fréquence traduite spatialement). »

On voit qu’au niveau IA le seul critère de la vitesse-fréquence est qu’avec son augmentation on discerne mal les traits, tandis que « doucement » on peut mieux les voir. Au niveau IB ces références aux facilités de la perception sont encore invoquées (et le resteront souvent plus tard), mais il s’y ajoute chez Jac la notation « partout » pour dire que les traits rouges reviennent sans cesse, et chez Mur un début de durée, « je vois longtemps (le rouge) », au sens de « j’ai le temps de le voir », ce qui est encore une mise en relation avec l’action propre, mais annonçant les évaluations d’intervalles temporels qui caractériseront le niveau IIA.

A ce sous-stade IIA (7-8 ans en moyenne), nous sommes encore loin d’un rapport entre le nombre d’éléments perçus et la durée, mais la fréquence intervient plus ou moins explicitement en des termes, soit quantitatifs (« plus », « beaucoup », « souvent »), soit cinématiques mais relatifs aux intervalles (« revenir » plus ou moins rapidement) et surtout aux passages du trait rouge :

Mol (6 ;11) : « Ça tourne plus vite… On voit beaucoup le gris et pas beaucoup l’aiguille (rouge). Lentement, on voit plus l’aiguille. Ça sert à quelque chose de compter ? — Je ne crois pas. »

Val (6 ;11) : « Ça va lentement parce qu’on voit passer (le rouge) moins souvent » et « vite parce qu’il passe plus souvent ». Pour ce qui est des rapports de nombre et du temps, elle s’imagine que « chaque fois qu’on voit passer (le rouge) ça voulait dire une minute » comme si le rapport n’était pas modifié avec la vitesse.

Cor (7 ;5) : « Ça allait moins vite parce qu’on attendait 5’ et puis il venait », donc moins vite quand on n’en voit « pas beaucoup ». Mais par contre lor- qu’elle compte les traits rouges (sur suggestion), elle trouve 26 pour vite et 16 pour lentement, mais est étonnée de la différence des nombres : « C’est normal ? — Pas normal. —  On pourrait avoir la même chose ? — Je ne sais pas. »

[p. 197]Bar (7 ;5) juge de l’augmentation de vitesse au passage d’un trait rouge : il « va lentement » ou « passe vite ». Lorsqu’on suggère de compter, ce ne sont pas les nombres trouvés qui lui paraissent significatifs, mais le fait qu’avec la vitesse « j’ai compté plus longtemps », et en arrive à croire la vitesse proportionnelle à la durée.

Dom (7 ;8) juge également de la vitesse au « trait rouge qui passe » plus ou moins rapidement, tandis que dans le mouvement lent « il y avait un trait blanc qui s’allumait et s’éteignait. — Je refais comme la première fois (rapide). — Non ce n’est pas la même chose (à cause des rouges) ». On lui présente alors deux séries de points, espacés ou serrés : « A quoi ressemble la première fois (rapide) ? — Il montre la plus grande fréquence. — Et la deuxième ? — (Fréquence moindre.) »

Olg (8 ;0). Rapide : « C’est toujours rouge. —  (Lent.) — C’est en blanc. —  Pourquoi ? — Parce que le blanc allait plus vite (en raison de sa fréquence accrue). » Néanmoins la l^re présentation (plus grande vitesse) est jugée la plus rapide, mais cela n’aiderait à rien ni de compter, ni de regarder les temps sur une montre.

Gia (7 ;10) : même critère (« le trait (rouge) allait vite ») mais il ne trouve « pas tellement » utile, ni de compter, ni de mesurer le temps.

Mar (9 ;9) malgré son âge ne juge qu’à l’intervalle de retour des rouges selon qu’il « (re)vient plus vite » ou non, et trouve que compter ou mesurer le temps « c’est complètement inutile ».

Ces réactions sont en net progrès sur celles des sujets précédents en ce qu’elles se réfèrent plus ou moins explicitement à la fréquence. Le sujet Mol se contente d’opposer « beaucoup » à « pas beaucoup » sans préciser s’il s’agit de plusieurs apparitions (comme chez Cor) ou d’une seule que l’on voit plus ou moins longtemps (comme chez Bar, Gia et Dom). En ce dernier cas, le sujet a beau ne considérer qu’un événement isolé (le trait rouge « passe vite », dit Bar, etc.), il est clair que son estimation implique la fréquence, car s’il « va vite », il « revient » rapidement aussi (Cor et Mar) et dans ce cas « il passe plus souvent » (Val), ce qui est l’expression explicite de la fréquence, que Dom ne formule pas, mais admet sitôt qu’on lui montre des points espacés ou massés. Il y a donc en chacun de ces cas une affirmation, explicite ou implicite, de fréquence et l’on peut donc parler d’une vitesse-fréquence en progrès sur celle du niveau IB.

Mais ce qui est frappant est que si chacun de ces jugements implique la durée ou le nombre, il n’intervient encore à ce niveau aucune mise en relation d’ensemble entre le nombre [p. 198] des traits et la durée de la présentation. Il est pourtant évident que les termes « souvent » ou « beaucoup » impliquent un nombre et que d’attendre le retour du trait rouge, ou déclarer qu’il « passe vite » impliquent des durées (au niveau IB, Mur traduisait déjà « passer lentement » en « voir longtemps »). Comment se fait-il donc que ces sujets considèrent ou déclarent « complètement inutile » de compter ces traits ou de mesurer les temps ? C’est que les notions dont ils se contentent pour exprimer la vitesse-fréquence demeurent essentiellement indifférenciées : « souvent », « beaucoup », revenir ou passer « vite » peuvent certes tous conduire à des relations entre le nombre et la durée, mais à la condition de dissocier ces concepts en leurs composantes implicites, alors qu’ils n’apparaissent nullement au sujet comme le produit de compositions et qu’ils se suffisent à eux seuls en tant qu’approximations qualitatives, procédant par intuitions globales et indifférenciées. En fait, ils ne se différencieront que lors de généralisations visant à comparer diverses situations pour en dégager les éléments communs : ce sont alors les comparaisons généralisatrices qui obligeront les sujets à trouver des instruments de mises en relations inter-situations, d’où le recours nécessaire aux dénombrements et à la quantification des durées.

C’est au cours du sous-stade IIB (en moyenne 9-10 ans) que ces considérations débutent, mais avec encore de nombreuses difficultés à construire le rapport entre le nombre et la durée de toute une séquence par opposition aux intervalles ou aux passages individualisés d’un seul trait :

Luc (8 ;10) juge que ça « tourne très vite parce qu’il (trait rouge) revenait tout de suite. —  Qu’est-ce que tu pourrais faire pour être sûr ? — Quelque chose, mais je ne sais pas quoi. —  Des enfants disent qu’il faut compter : ils ont raison ? — Je ne sais pas. Peut-être ils savent ce qu’il faut compter, mais moi pas. — Et ce chronomètre pourrait aider ? — Oui (à voir), combien de secondes ils font ». Il mesure alors 15" pour deux fréquences distinctes : « La même chose : 15". » — Ça veut dire quoi ? — C’est les deux à la même vitesse. — Combien de tours ? — J’ai pas compté. — Tu es sûr que j’ai fait les deux fois à la même vitesse ? — Oui. — C’était pas nécessaire de regarder les traits ? — Je crois pas. » Dans la suite il dit bien : « On aurait dû compter les tours. —  Si tu comptais les 2 fois pendant 15" tu pourrais savoir laquelle est allée plus vite ? — Oui, mais on peut aussi savoir sans le chronomètre. »

[p. 199]Ari (9 ;2) dit d’emblée : « Plus vite parce qu’on les (rouges) voyait plus souvent » mais elle n’imagine pas ce qu’on peut faire pour aider. « Compter ? — Oui, quand ça va plus vite on compte plus de fois les lignes. —  (On fait tourner 9 fois très vite et 13 lentement et elle compte.) — Quand plus vite ? — La première fois. — Et ça suffit de compter comme ça ? — Non (elle rit). — Alors que faire en plus ? — … » On suggère le chronomètre : « C’est utile pour savoir la vitesse ? — Oui, on peut compter combien il y a de secondes entre chaque ligne : si il y a moins de secondes, ça tourne plus vite. »

Wil (9 ;4) : « Les lignes (rouges) allaient plus vite (à leur passage). — Quoi faire pour être sûr ? — Sais pas. — Compter ? — Ça sert à rien. —  Et avec le chronomètre ? — Oui, avec ça. » 30" et 50" : « La deuxième fois ça va plus vite. —  Parce que ça prend plus longtemps ? — Oui. »

Car (9 ;6) : « Quand ça va plus vite, on voit le rouge plus souvent. — Quoi faire pour être sûr ? — … — Ça sert de compter ? — Oui (hésitante). » Elle compte mentalement 10 et 7 pendant un tour de chaque : « La 2^e fois plus vite. — Pourquoi ? — Parce qu’il y a moins de numéros », et elle précise que cela signifie « moins de temps ».

Vil (9 ;11) : plus vite quand « on le voit plus souvent », mais lorsqu’il s’agit de compter (non spontané) elle dit : « Je compte 10 fois (à voix basse) pendant que je ne voyais pas (le trait rouge) », autrement dit elle mesure l’intervalle temporel entre les apparitions. Elle accepte le chronomètre, mais juge la vitesse supérieure lorsque « c’est plus de tours et plus de secondes », ce qui ne signifie rien.

Car (10 ;ll) : « Je l’ai vu passer plusieurs fois. —  Et pour être sûre ? — Compter. » Elle compte alors pendant les intervalles comme Mer et trouve 6 et 4. « Ça veut dire quoi, 4 ? — Qu’elle allait plus vite (juste). — Plus vite jusqu’à 4 ? — Ah non, quand elle allait plus vite j’ai compté plus que 6. » Mais avec le chronomètre elle trouve correctement qu’un tour de 1 « va plus vite qu’avec 3 ».

Met (10 ;3) débute comme Vil en se contentant de compter durant les intervalles ce qui reste, donc approximatifs, mais avec le stoppeur il atteint la précision : « Je compte le temps quand le disque tourne. — Qu’est-ce qu’il faut regarder ? — La barre rouge, ça fait 6" (entre deux passages du repère) et ici 2". —  Plus vite ? — La 2^e fois. » Il atteint ainsi le stade III.

Avant de commenter ces réactions, voici encore des exemples de ce stade III où le problème est résolu, soit encore par une mesure des intervalles, mais en observant alors les conditions nécessaires de précision, soit, ce qui est nouveau, en mettant en rapport le nombre des traits rouges et la durée totale de la séquence :

Zup (1l ;0) : quand cela va vite « la bande rouge revient plus vite et plus souvent. —  Et pour être tout à fait sûr ? — Si c’est régulier (!) je compte 1, 2, 3, 4 chaque fois que je vois une bande rouge. — Et si (les deux séquences) [p. 200] se ressemblent beaucoup ? — On prend une montre et on regarde combien de secondes ça fait entre deux rouges ».

Syl (11 ;5) : « Si tu n’es pas sûre ? — Chronométrer : dès que je vois la l^refois (le rouge) j’appuie et la 2^e fois j’arrête. — C’est quoi ? — Le temps de passage. Je compare les deux (séquences présentées). »

Oli (11 ;2) : plus vite « on voit plus souvent le trait rouge. —  Comment être sûre ? — On regarde pendant une minute combien de tours elle fait ».

Man (12 ;4) propose d’abord de compter les tours, puis de comparer les temps quand on fait chaque fois 3 tours ; enfin « on tourne 15 et on compte les traits ». La vitesse de la roue c’est « le nombre de tours dans un certain temps ».

A commencer par ces derniers cas, deux remarques s’imposent. La première est que près de la moitié des sujets de 11- 12 ans arrivent enfin à compter le nombre total des traits rouges (ou, ce qui revient au même, des tours) au lieu de s’en tenir à l’approximation qualitative « plus souvent ». Or, il est à noter que cette notion du nombre total ne se constitue qu’au niveau où il est mis en relation avec la durée (et la déconvenue de Ari en IIB est révélatrice à ce sujet puisqu’elle reconnaît en riant que de compter 9 et 13 ne sert à rien si l’on n’en dit pas plus quant aux séquences à comparer). Autrement dit, c’est la recherche généralisatrice des caractères communs à deux vitesses différentes qui entraîne la différenciation du terme « souvent » en deux concepts unis par une relation nécessaire : le nombre total et le temps employé. Aussi bien un peu plus de la moitié des sujets du stade III en restent-ils à la mesure de l’intervalle temporel entre la disparition du trait rouge et sa réapparition, donc de la durée d’un seul tour, laquelle peut suffire puisqu’elle varie en proportion inverse de la vitesse. Mais, seconde remarque, cette mesure de t/1 (où t est la durée de 1 tour) n’a de sens que si elle est l’expression de T/N (où T est la durée totale de N tours), et c’est ce que Zup n’admet pas seulement de façon implicite, mais qu’elle précise en disant « si c’est régulier », autrement dit si les tours d’une même séquence sont homogènes (sans parler du comptage de l’enfant lui-même dont elle pense avec raison que, si les séquences à comparer se ressemblent un peu trop, il vaut mieux utiliser une montre).

Quant aux sujets du niveau IIB, c’est la seconde des deux [p. 201] méthodes qu’ils emploient presque tous (sauf Ari au début lorsqu’elle compte les traits en oubliant la durée) et il est frappant de voir que, si l’on suggère un dénombrement, ils l’appliquent à l’intervalle temporel entre deux repères et non pas aux traits eux-mêmes. Mais s’ils pensent donc tous à la durée, c’est encore avec de nombreuses confusions : vitesse en fonction du temps employé et non pas de son inverse (Wil), confusion du nombre des secondes avec celui des tours (Luc et Car), etc., et, en un mot, difficulté à substituer des rapports entre variables différenciées aux termes globaux des niveaux antérieurs.

Section II / Vitesses linéaire et angulaire

Lorsque la roue précédente, au lieu de tourner sur elle-même, avance sur la table, les problèmes sont de mettre le trajet qu’elle parcourt en un temps donné, donc sa vitesse linéaire, en relation avec non seulement le nombre de ses tours (fréquence), mais encore sa vitesse de rotation ou vitesse angulaire. Ces questions posées se répartissent en deux catégories, l’une dans laquelle ne sont mentionnés que le nombre des tours, l’espace parcouru et la vitesse, mais sans référence à la durée, et l’autre où sont explicitées les trois conditions de durée, d’espace parcouru et de vitesse, ce qui facilite naturellement les différenciations et mises en rotations : d’où une opposition instructive entre les résultats.

Voici des exemples du stade I (jusque vers 7-8 ans) :

Bro (6 ;8). « Je fais un tour, elle arrive où (exp.) ? — Là (repère rouge à 10 cm). — Et deux tours ? — Là (18 cm). — Et en poussant fort ? — Non, ça irait trop loin. — Où ? — Par terre (elle dépasserait le bord de la table). — Si je tourne vite, un tour arrive où ? (toujours selon le repère). — Là (10 cm). — Et si je tourne lentement ? — Là (5 cm). — Je vais lancer deux fois la roue avec la même chose de force, il faut plus de temps pour 1 tour ou 2 ? — 2 tours. — La roue tourne très doucement ? — 2 tours (vont plus vite). »

Dan (6 ;11) : « Deux tours arrivent où ? — Là. — Et si on la fait marcher vite ? — Plus loin. — Lentement ? — Là (plus près). — Je les fais marcher très lentement (1 et 2 tours). Une va plus vite ? — Oui, celle-là (2 tours). — Comment tu sais ? — Parce qu’elle est allée plus loin. »

[p. 202]Ard (6 ;10). Un tour lent et un rapide : « Ça prend le même temps ? — Non. —  Quand plus ? — Quand ça va plus lentement. » Par contre pour l’espace, 2 tours rapides mènent « peut-être là » et les deux lents « moins loin ».

Men (7 ;10) : 5 tours mènent plus loin que 2 et prennent plus de temps, mais avec 2 tours une roue va plus vite « parce que c’est plus près qu’avec 5 tours », donc aller plus vite = arriver avant. « Et si je la lance lentement elle va quand même plus vite ? — C’est dur à expliquer » mais il maintient « plus vite ». D’autre part 5 tours rapides mènent « plus loin » et 5 tours lents « plus près ».

Gay (7 ;8) : plus de tours entraînent « plus loin » et plus de temps. Mais si on lance fort avec 2 tours « elle va plus loin » que doucement. « On pourrait faire que 4 tours prennent moins de temps que 2 ? — Oui, lancer très vite les 4. »

Ces réactions sont très claires, dans leurs réussites comme dans leurs échecs. Pour ce qui est des premières, tous ces sujets savent dire qu’à même vitesse aller plus loin prend plus de temps et qu’un même espace parcouru prend plus de temps si la vitesse est moindre : mais c’est qu’alors, comme déjà dit, la considération de la durée est explicite dans la question posée, qui se réfère en ces cas aux trois termes de vitesse, d’espace et de temps. Une autre réussite, qui est générale aussi, mais sans allusion à la durée, est l’affirmation que « plus de tours » de roue conduisent à « plus loin », mais, comme on ne demande ni de compter les tours, ni d’établir de correspondance métrique entre leur nombre et le trajet linéaire, ce qui ferait problème, la simple relation « plus → plus » suffit qualitativement.

Par contre, il est très significatif de constater qu’en l’absence de toute référence à la durée une augmentation de vitesse pour un même nombre de tours conduira ceux-ci « plus loin », comme si un même tour ne correspondait pas à un trajet linéaire constant ², alors qu’en ce cas la vitesse modifie exclusivement la durée et non pas l’espace parcouru. Mais on retrouve ici la notion globale de vitesse, non différenciée en relations entre l’espace et le temps, et qui en d’autres recherches (sur la vitesse- déplacement) s’est montrée comme essentiellement liée à l’intuition [p. 203] ordinale du dépassement : la roue à tours plus rapides dépassera donc celle dont les tours (quoique de même nombre) sont plus lents, d’où plus vite = plus loin, comme si les tours plus rapides équivalaient à « plus de tours ». D’où la seconde erreur assez systématique : « plus de tours » équivaut réciproquement à « plus vite » (sauf quelques cas, comme celui de Men, pour lesquels « moins de tours » signifie « plus près », donc vite arrivé). Il est vrai que l’enfant pense peut-être parfois que plus de tours résultent d’une lancée plus forte au départ, aussi faut-il toujours insister sur l’égalité initiale, mais on voit (comme chez Bro) que cela ne change rien.

Au stade II les sujets débutent de la même manière, mais se corrigent spontanément ou après mesure d’un tour sur la table :

Bir (8 ;10) montre l’endroit où il pense qu’arrivera la roue après une quarantaine de tours. « Et si on la lance lentement ? — Plus près. —  Et très vite ? — Un peu plus loin que l’autre bout de la table. —  Et lentement ? — Ah ! aussi. — La vitesse ne compte pas ? — Non. — Et à toute vitesse je ne peux pas la faire aller plus loin ? — Non. — Et avec cette petite roue (une autre) ? — Là (plus près). — Pourquoi ? — Parce qu’elle est moins grosse. »

Olg (8 ;0). Mêmes réactions initiales. « On peut deviner juste où elle arrivera après 1 tour ? — Il faut essayer. » Elle mesure le trajet et comprend alors qu’avec 2 tours c’est le double, etc., indépendamment de la vitesse.

Ari (9 ;2) croit aussi d’abord que pour un même nombre de tours le trajet dépend de la vitesse, puis, pour contrôler, elle mesure la circonférence et la reporte en linéaire sur la table ! « Et après 10 tours ? — 10 fois le tour de la roue. —  Et si on va très lentement ? — Aussi là. — Vite ou lentement 1 — Pas d’importance. » Elle commence néanmoins par croire qu’une roue va « plus lentement pour 1 tour et plus vite pour 3 » puis elle se ravise en disant que la vitesse ne dépend que de la « force » quand on la « lance : alors elle va plus vite ou moins vite. — Qu’est-ce que ça veut dire ? — Quand elle prend moins de temps elle va plus vite ». Cela ne l’empêche pas un moment après de soutenir que, si on compte les tours pendant une minute « moins de tours ça veut dire qu’elle va plus vite. —  Sûre ? — Pas tout à fait » et elle se corrige.

On retrouve ainsi les situations intermédiaires et les hésitations des niveaux IIA et IIB. La généralisation qui permet ici de différencier la durée variable de l’espace parcouru invariant pour un même nombre de tours consiste, comme on le voit, en un processus récursif procédant de 1 tour = x à n tours = nx, de même qu’aux niveaux IIB et III du § 2 la découverte du [p. 204] rôle de la durée suppose un passage entre ce qui est vu sur un trait à ce qui est construit sur n traits. Voici enfin des réactions du stade III :

Syl (11 ;5) pour le trajet en 1 tour mesure d’emblée les 16 cm du périmètre et les reporte sur la table. « Et 3 tours ? — 3 fois 16 cm. —  Sûre ? — Oui, oui, tout à fait. —  Et tu peux savoir quand elle va plus vite, avec 1 tour ou avec 3 ? — Ni l’un ni l’autre. — Qu’est-ce qu’il faut savoir ? — Comment elle est lancée. — Et si je lance très fort ? — (Montre environ 30 cm : résidu des conduites antérieures.) — Et lentement ? — Ah aussi 16 cm, pour l’autre (très fort) aussi 16 cm. —  Qu’est-ce que c’est la vitesse ? — Le temps qu’elle fait pour aller de là à là (1 tour)… la distance parcourue pendant un certain temps. »

Ant (12 ;0) mesure d’emblée 1 tour = 17 cm. « Et 5 tours ? — 5 fois 17. —  Et si je lance 1 tour ou 5 tours laquelle va plus vite ? — … — Il y a moyen de savoir ? — Je ne crois pas. —  De quoi cela dépend ? — De la distance, ah ! non du temps. — Qu’est-ce que c’est la vitesse ? — On mesure la distance et le temps qu’elle fait. —  Ici c’est la distance ? — Non les tours. — Chaque fois que tu parles de vitesse, manger vite, courir, écrire, aller en auto ? — Il y a toujours le temps. »

Web (13 ;2) mêmes réactions. Pour n tours la roue arrive toujours « au même endroit. — Sûre ? — Mais oui. —  Tu peux dire de 1 tour et de 3 laquelle va le plus vite ? — Non, je ne crois pas, parce que la vitesse c’est le temps qu’elle prend pour faire 1 tour » et de façon générale « quelque chose qu’on calcule dans un temps limité ».

Pour ce qui est du trajet parcouru en un même nombre de tours avec vitesse variable la réponse est donc immédiatement correcte, à part l’erreur aussitôt corrigée de Syl. Quant aux vitesses inhérentes à différents nombres de tours, la nouveauté est que ces sujets ne cherchent plus une solution, mais comprennent qu’elle n’est pas possible (« non, je ne crois pas » disent Ant et Wer) tant qu’on ne précise pas les durées : d’où la définition générale qu’ils donnent de la vitesse et dont Ant dit avec vigueur : il y a toujours le temps ».

Si la vitesse angulaire des roues (rotation) se coordonne ainsi progressivement avec la vitesse linéaire par l’intermédiaire de la vitesse fréquence (nombre de tours), c’est peut-être que dans le cas de la roue avançant sur la table les deux variables de la rotation et de la trajectoire horizontale n’ont pas à être différenciées, étant déjà rendues bien distinctes par le dispositif. Qu’en sera-t-il dans [p. 205] le cas d’un engrenage entre une petite et une plus grande roue, dont les vitesses angulaires (nombre de tours ou vitesse du repère) sont inégales et les vitesses linéaires (nombre de dents s’engrenant successivement indépendamment du nombre de tours) sont égales ? C’est là un problème bien plus difficile, puisqu’il n’y a plus de rapport direct entre les deux vitesses, mais il mérite par cela même un examen attentif.

Le stade préopératoire I, qui au § 1 était celui où la vitesse est évaluée en référence à l’action propre, est caractérisé de même, dans la présente expérience, par une absence complète de considération du nombre des tours ou de celui des dents, donc par des évaluations simplement perceptives et dans le cas particulier remarquablement flottantes et même inadéquates aux observables :

Ste (4 ;8) prétend que les 4 roues vont à la même vitesse. « Et quand R (petite) va faire un tour celle-là (Jl grande) va faire quoi ? — Aussi. —  Regarde : il manque tout ça. Alors J a fait un tour ou non ? — Oui. » Quant aux sens de rotation, il les décrit bien de proche en proche, mais tôt après prétend que les contiguës vont dans le même sens 1-2 et 3-4, et le second couple en sens inverse du premier.

Bou (5 ;0) dit que le jaune Jl et le rouge R vont « la même chose doucement ». On lui fait remarquer le décalage des repères : « Lequel est arrivé d’abord ? — Ici (R : juste). — Alors laquelle tourne plus vite ? — Les deux vont plus vite. » Sur suggestion, elle admet que « (Jl) va plus doucement que (R). — Et Jl et J2 ? — On va voir (exp.). Jl va plus vite (en fait égalité). — Comment ça se fait ? — J’ai bien regardé. »

Mar (5 ;6) : « R la même chose (vitesse) que Jl », bien qu’on l’ait centrée sur les repères : « Regarde bien (rotation lente). — R fait 3 tours de plus », mais elle conclut qu’« elles vont à la même vitesse, mais la rouge (petite) prend plus de temps ».

Fra (6 ;1) mêmes réactions. On essaie de la centrer sur les repères mais elle compte deux ou trois dents. Conclusion finale : « J’ai vu que J allait plus lentement et R plus vite. — Et maintenant (on accélère légèrement) ? — Les deux vont vite, des fois les 2 lentement et des fois les 2 vite. —  Et la J quelquefois plus vite que la petite ? — Oui. »

Il est inutile de multiplier ces exemples : les vitesses sont évaluées subjectivement sans référence aux nombres de tours ou de dents ni relation constante avec le temps et elles varient sans raison, de même que les temps et les sens de rotation. L’idée spontanée initiale est simplement que les 4 roues vont à la même vitesse puisque leurs rotations sont solidaires.

[p. 206] Le sous-stade IIA marque un net progrès comme chez les sujets du § 1 : certaines relations sont établies entre la vitesse et les nombres de tours ou de dents et entre elles et le temps, mais ces relations demeurent incoordonnées, sans système d’ensemble :

Phi (7 ;6) prévoit des inversions de rotation mais pense que R et B contiguës tourneront dans le même sens. A la constatation il voit d’emblée qu’« elles sont toutes mélangées (= alternances) ». Pour les vitesses il constate : « 2 tours la R (petite), 1 tour la J. La rouge (= petite) gagne plus de temps. —  Alors ? — Ça veut dire qu’elle va plus vite. — La J va moins vite même si on tourne lentement ? — Oui, parce que si on va lentement c’est toujours elle qui perd. — Pourquoi elles ne prennent pas le même temps ? — Je n’ai aucune idée. — Parce qu’une est grosse et l’autre petite ? — Ça n’a rien à voir parce qu’elles vont à la même vitesse (il se centre maintenant sur les dents)… Oui parce que si la J tourne, elle fait tourner R parce qu’elle se bloque (engrenage). — Mais c’est la R qui finit son tour avant ? — La R si elle tourne elle perd du temps et J gagne. — Une finit son tour avant l’autre ? — C’est la J (exp.), non, c’est la R parce qu’elle a moins d’aiguilles (dents). — Tu veux compter ? — Oui (exp.) 9 et 21. C’est la R qui gagne. —  Mais avant tu disais la même vitesse ? — Elle gagne plus vite parce qu’elle a 9 dents. —  Alors elle va plus vite et elle ne va pas plus vite ? — Oui. — Qu’est-ce qui est le plus juste ? — Plus juste de dire qu’elles vont à la même vitesse. —  Pourquoi ? — On le voit. —  Seulement ça ? — Mais aussi il y a les dents et le petit papier (repère) qui comptent. —  Laquelle prend plus de temps pour un tour ? — La R, si la J prenait plus de temps elle aurait moins de dents. —  Mais dans une course le premier qui arrive, c’est plus ou moins de temps ? — Plus de temps. »

Gop (7 ;11) : « La petite va plus vite. —  Comment tu sais ? — (Accélération.) — Les 2 vont à la même vitesse parce qu’elles tournent ensemble (engrenage). — C’est plus juste de dire qu’elles ont la même vitesse parce qu’elles tournent ensemble et que la petite va plus vite ? — Oui. — Alors c’est la même vitesse et pas la même en même temps ? — Oui. —  La rouge va plus vite ? — Non. — Qu’est-ce qui est juste ? — Elles tournent ensemble. » On compte les tours : J = 1 et R = 2 et 1/2. « C’est drôle, ou normal ? — C’est normal parce qu’elle est plus petite. » Une fourmi sur la circonférence de J fera un chemin plus long « parce qu’elle est grosse. — Alors même vitesse ou une plus vite ? — Une va plus vite, la petite ».

Mun (8 ;2) prévoit que la grande (J) ira plus vite. Après essais : « Ah non, c’est les deux qui vont vite. —  (On accélère.) Elles ont la même vitesse ? — Oui… la rouge (R) va plus vite. » Le comptage des tours (suggéré) confirme ce jugement. « On met une fourmi sur le bord (circonférence) de la J et une autre sur la R : les fourmis font le même chemin ? — Puisque c’est la R qui va plus vite elle fait plus de chemin… C’est parce qu’elle fait plus de tours qu’elle fait plus de chemin. —  On peut compter les dents ? — Oui : 21 et 9. —  Alors un chemin de 9 dents pour la R ? — Non, parce qu’elle a tourné plus [p. 207] de fois. » Après longue discussion : « Je trouve que la R a fait un chemin plus long. »

Deb (8 ;2) opte d’abord pour la même vitesse entre R et J : « Toujours la même chose, mais de l’autre côté » puis « je me suis trompée : la R fait plus vite parce qu’elle est plus petite… plus vite mais moins de temps ». Puis elle revient à la même vitesse parce que « R fait plus de tours et plus vite, alors ça fait la même chose » que J.

Gar (8 ;2) : « Elles vont à la même vitesse parce que quand on tourne R, la J tourne aussi. » Puis elle constate l’inégalité des tours « parce que J est plus grosse et R plus petite, elle a moins de dents. —  Alors ? — Même vitesse. —  Mais R fait plus de tours ? — Parce que la grosse est grosse et la petite ça fait 2 tours parce qu’elle est petite. — Ça ne veut pas dire qu’elle va plus vite ? — Non, parce qu’il y en a une qui a plus de dents. — Mais pourquoi la même vitesse ? — A cause des dents : il y a chaque fois un creux et elle rentre là. —  Mais la petite fait plus de tours ? — Oui, elle fait plus vite. —  Alors qu’est-ce qui est juste ? — La R va plus vite parce que quand elle fait 2 tours elle arrive plus vite ». Mais la question des fourmis, après la même réponse (« Plus long chemin de la rouge, parce qu’elle fait 2 tours 1/2 ») la ramène à l’égalité : « Mêmes chemins parce qu’à chaque tour de J il y a 21 dents et quand R fait 2 tours 1/2 ça fait 21 dents. — Mais on ne peut pas dire qu’elle va plus vite ? — Non. —  Mêmes vitesses ? — Oui. »

Dès ce niveau IIA le sujet tient donc compte à tour de rôle du nombre de tours des roues et du nombre des dents, le décalage des tours conduisant à des vitesses inégales et l’engrenage des dents à l’égalité. De deux choses l’une, alors : ou bien, ce qui est le plus fréquent, l’enfant change simplement plusieurs fois d’avis ou dit même qu’il s’est trompé (Deb) ou bien il accepte momentanément les deux jugements comme s’ils n’étaient pas contradictoires (Phi et Gop), quitte à admettre tôt après que l’un est plus juste que l’autre. Aux âges habituels du niveau IIB (9-10 ans) on retrouve des cas semblables mais il faut citer à part des exemples d’un certain nombre de sujets qui s’essayent à un compromis pour lever la contradiction :

Mac (9 ;10), après les deux affirmations courantes, dit : « La J est plus grosse alors elle fait moins de tours, elle va plus lentement mais elles vont à la même vitesse. — Une prend plus de temps ? — Oui, la J parce qu’elle est plus grosse et a plus de dents » et « Elles vont à la même vitesse, parce qu’il y a chaque fois une dent. La petite fait deux tours, elle est plus petite mais elle ne va pas plus vite. »

Frê (9 ;2) : « Elles vont à la même vitesse parce que c’est le même espace entre les dents. — Mais la R fait plus de tours ? — Oui, parce qu’elle a moins [p. 208] de dents et si elle a la même vitesse, elle fait plus de tours que la J, qui a plus de dents. »

Bad (10 ;4) : » Comme vitesse elles vont la même chose. Comme tours, la J tourne moins. »

Ria (11 ;7) : « La J va plus lentement mais elle a la même vitesse : c’est une question de grandeur de la roue, parce qu’elle est plus petite et a moins de dents. —  Pour faire un tour, c’est la même vitesse ? — Elles ne vont pas à la même vitesse pour faire un tour, mais elles ont la même vitesse en ce sens qu’elles avancent en même temps : leur allure est la même. »

Comme compromis, on ne saurait trouver mieux. Il faudrait cependant se garder de voir en ces propos une contradiction in adjecto du type « j’ai une grande patience mais je la perds vite ». En effet, le grand progrès de ces propos sur ceux du niveau IIA est que ces sujets, au lieu d’osciller entre deux affirmations contradictoires, ont certes raison de les maintenir constamment toutes deux, et, de plus, ont le sentiment très juste qu’elles ne se contredisent pas dans la réalité des faits. Ce qui leur manque encore est un système conceptuel permettant simultanément de différencier les deux sortes de vitesses et de les intégrer en une notion générale : ils parviennent bien à la différenciation par généralisations respectives de ce que donnent le nombre des tours et les engrenages (une dent correspondant à une dent, dit Meg), mais ils n’y voient pas deux relations analogues entre un déplacement ou une fréquence et une durée, donc deux vitesses à la fois distinctes et semblables en leur forme, d’où des propos surprenants comme celui des débuts de Ria « l’une va plus vite, mais elles ont la même vitesse ». Et la meilleure preuve que notre interprétation n’est pas trop indulgente et que le même Ria parvient au stade III en déclarant ensuite : « Elles ne vont pas à la même vitesse pour faire un tour, mais elles l’ont en ce sens qu’elles avancent en même temps : leur allure est la même. » Cette dualité de la vitesse (angulaire) d’un tour et de l’« allure » linéaire de la marche est en fait la solution du problème. Voici un cas franc de ce stade III :

Gad (12 ;5) constate que la R va plus vite « parce qu’elle a dépassé la J… Si elle fait un bout de plus ça veut dire qu’elle tourne plus vite. » Mais d’autre part les vitesses sont égales « parce que si on tourne les roues s’emboîtent, alors on ne peut pas sauter une dent. — Mais tu n’as pas l’impression que R va plus vite ? — Oui, la rouge tourne plus vite sur son axe, mais à la même [p. 209] vitesse de dents elle ne va pas plus vite. — Alors il y aurait 2 sortes de vitesse ? — Oui, plus vite sur son axe, mais elle ne peut quand même pas sauter des dents ».

Cette distinction de la « vitesse sur l’axe » et de celle du périmètre muni de dents atteste cette fois la reconnaissance explicite de deux vitesses distinctes, mais coordonnées et non plus contradictoires comme au niveau IIA.

Partant de l’intuition ordinale du dépassement et de perceptions fondées également sur le dépassement des mobiles par rapport aux mouvements ou expectations liés à l’action propre, la vitesse finit par constituer un rapport entre, d’une part, une fréquence quelconque, une trajectoire linéaire ou une rotation et, d’autre part, une durée, car « il y a toujours le temps » comme dit Ant au stade III du § 3. Nous sommes donc ainsi en présence d’un exemple précoce de ce qu’est la généralisation en physique : non pas simplement un processus inductif ou simplement extensionnel revenant à élargir le domaine de lois vérifiées, d’abord sur seuls quelques cas, mais un raisonnement constructif consistant en l’invention d’idées nouvelles, non données au départ et qui éclairent les lois en les doublant d’une interprétation.

Mais, dans le cas particulier, les notions d’espace et de durée sont déjà connues et ce n’est donc que leur rapport qui est à construire. Or ce rapport intervient implicitement dès qu’à la considération des dépassements s’ajoute celle des intervalles entre le dépassant et le dépassé, selon que ce décalage est plus ou moins grand et s’effectue en plus ou moins de temps. La construction du rapport est donc, nous l’avons vu sans cesse, affaire de différenciations et d’intégrations. Ce que nous ont montré une fois de plus les faits précédents est alors, en premier lieu, que les différenciations ne sont pas seulement le produit d’abstractions mais qu’elles exigent une part de généralisation. Par exemple, la manière dont les sujets du niveau IIA (§ 3) découvrent que n tours plus rapides ne mènent pas plus loin que n tours lents repose sur une généralisation récursive : si 1 tour parcourt 16 cm, un 2^e tour fera de même et n tours feront n x 16 cm. En ce cas l’espace parcouru est différencié [p. 210] au sein de la vitesse, ce qui du même coup montre la lacune des informations sur la durée. De même lorsque, pour les engrenages, le sujet du niveau IIA découvre le rôle du nombre de tours, cela est dû à des généralisations, non seulement extensionnelles (« c’est toujours elle qui perd », dit Phi de la J), mais encore constructives en tant que dégageant les raisons (« parce que la R a moins de dents » dit encore Phi, ou est « plus petite », Gop, etc.). En bref, la différenciation est le résultat de comparaisons généralisatrices non pas seulement d’abstractions, les deux étant d’ailleurs nécessairement liées.

Quant à l’intégration, elle comporte d’abord en chaque cas la mise en relation des variables différenciées, puis la compréhension du fait que le terme commun de ces relations est la durée. Pour ce qui est de la mise en relations, elle peut être due à deux facteurs. En un premier cas, il s’agit de combler une lacune provenant de ce que la variable considérée jusque-là n’explique pas tout (par exemple la vitesse n’est pas expliquée par le seul nombre de tours, sans la durée), donc que certaines variations observées ne relèvent pas d’elle. Le second cas est celui où deux variables semblent conduire à des résultats contradictoires, comme le nombre des dents et celui des tours lors des engrenages. Dans les deux cas l’intégration est ainsi rendue nécessaire par la différenciation, du fait que celle-ci entraîne des perturbations ou déséquilibres (lacunes ou contradictions) et que la rééquilibration n’est possible que par la construction de nouvelles relations rétablissant la cohérence, donc par une intégration. Cela dit, il se trouve que, dans toutes les situations, la vitesse commence par être caractérisée par le contenu des événements qui se succèdent grâce à elle (perceptions en relation avec les mouvements ou attentes de l’action propre, ordre des arrivées au but, dépassement dans l’espace puis trajets parcourus, fréquences, etc.), donc par ses résultats : la variable qui manque en chaque cas est alors la durée, parce qu’elle suppose une mise en relation rétroactive plus difficile que spatiale ou fréquentielle, du fait qu’elle ne s’inscrit pas dans les résultats obtenus, mais implique une reconstitution. Or, une telle reconstitution étant exigée par toutes les suites d’événements qui constituent le contenu de la vitesse, si différenciés soient-ils (fréquence, trajets linéaires ou rotations) la durée est ainsi le terme le plus général des rapports constituant [p. 211] la vitesse. De ces deux sortes de faits résultent le caractère tardif, mais aussi la généralisation ou intégration achevée de l’idée de vitesse que l’on trouve en notre stade III (fin du § 3) : c’est « quelque chose (quelle que soit la nature de ces événements successifs) qu’on calcule dans un temps limité » dit ainsi Wer à 13 ans, car, répétons-le, « il y a toujours le temps » (Ant).