Chapitre IV.
Un raisonnement récurrentiel relatif à des polygones inscrits ^{1 a} 🔗

De 5 ;1 à 6 ;5 environ il n’y a aucune anticipation du nombre des triangles possibles, et encore moins des quadrilatères, bien que le sujet sache construire quelques- uns des premiers après un exemple donné au début :

Cri (5 ;1). On lui montre ABE sur un pentagone : il fait BCD (sans intersection avec ABE). « Essaie un autre. — ABDE. — Combien de côtés ? — 4. — Fais un T. — (ABE.) — Déjà fait, un autre. — BDE (non conforme à la consigne, mais c’est la seule surface restante). — Un autre ? — Il y en a déjà beaucoup. — Essaie quand même. (Il refait ABE puis renonce). » On suggère les suivants et on fait compter le tout : il compte 1, 3, 4. « Pourquoi tu as pu en mettre 4 ? — Parce qu’il y avait encore de la place. » On présente un grand quadrilatère A BCD en demandant : « Tu peux faire des T ? — Non, parce qu’on a pas mis comme des T. — Essaie. — (Il fait ABD.) —  Encore. — (BCD = le complémentaire, donc disjoint.) — Essaie encore. — (Il refait BCD puis n’en voit plus). » On suggère les 2 autres et on demande « Pourquoi 4 ? — Parce qu’on a mis là et là (les siens) et puis on a mis là et là (les deux suggérés). — (On augmente l’étendue en B.) Combien de T ? — Encore plus, parce qu’on a fait plus grand (la surface totale). — Essaie. — (Il retrouve les 4.) Mais comment faire pour mettre encore des élastiques ? —  Combien tu en as mis ? — 4, mais pour faire encore des T on n’a plus déplacé pour en faire. Jepeux encore en mettre qu’on passe par-dessus. » Il les reconstruit et on lui fait remarquer qu’il y en a de nouveau 4, puis on augmente davantage la surface angulaire en B : « Je pourrai en mettre encore plus que 4. — Pourquoi ? — Parce qu’on a fait encore plus grand, alors on peut mettre plus de T. —  Essaie. — (Il fait 4 et redouble le dernier.) — (On corrige.) Combien ? — 4. —  Et tu pensais ? — 5. » On agrandit D et il recommence à en vouloir plus que 4 et explique l’échec « parce qu’on a déjà passé dans tous les clous ». On rapetisse alors grandement le quadrilatère : « On pourra faire que 1 T, parce qu’on l’a fait plus petit. — La forme a changé ? — Oui. »

Isa (6 ;5). On débute par un hexagone et elle construit 3 T non disjoints mais en succession directe et ne voit les autres que sur suggestion. Elle compte les 6 mais s’attend à plus lorsqu’on agrandit la figure en A : « De nouveau 6. — (On agrandit en D.) Combien il y en aura ? — … — On peut savoir ou pas ? — Non. — A peu près ? — 7 (essais). — Alors ça fait combien ? — 6. — Et avant, comment tu expliques ? — 6 et 6. — Ça fera toujours 6 avec ça ? — Non. » On construit un grand rectangle : « Combien de T ? — (Elle les fait puis les compte.) 4. —  Combien de côtés a cette [p. 65] figure ? — 4. — Et comme ça (on transforme le rectangle en trapèze) ? — (Elle fait 4 T mais essaie d’en obtenir plus.) — 4. —  Et avant dans la figure (hexagone) ? — 6. — Pourquoi plus qu’ici ? — … — Tu as une idée ? — Non. — (On transforme le trapèze en pentagone.) Combien de bouts droits (côtés). — 5. —  Ça fera combien de T ? — On sait pas. »

Les sujets de ce niveau IA examinés pour la récurrence numérique (chap. III) se livraient à de fausses généralisations inductives en vertu d’une idée préconçue qui est celle de la correspondance n à n (alors qu’il eût fallu n — 1, etc.), cette prégnance de la correspondance terme à terme résultant elle- même de généralisations constructives antérieures. Dans le présent cas on retrouve un même phénomène, mais de nature spatiale, alors que l’on attend précisément une correspondance n à n entre les triangles et les sommets du polygone. L’idée préconçue est ici qu’une surface se découpe en d’autant plus de parties disjointes qu’elle est plus grande : idée due à des généralisations constructives correctes, mais antérieures aux données présentées et ne s’y appliquant pas puisque les triangles ont des parties communes (leur intersection étant même nécessaire si l’on applique la consigne) et que leur nombre ne dépend que de leurs formes et non pas de leur grandeur.

Cela étant, une première tendance générale des sujets de ce niveau est de s’en tenir à des triangles disjoints comme fait Cri (Isa procède en reliant successivement 4 côtés adjacents de l’hexagone et ne remarque sans doute pas les intersections, sinon elle continuerait seule jusqu’à 6) : ce primat initial des parties disjointes correspond naturellement à celui des classes disjointes si contraignantes à ce niveau (chap. I). A signaler, en outre, d’autres conditions restrictives fréquentes, mais moins importantes : besoin que les triangles soient équilatéraux (« c’est pas un triangle parce qu’il a une grande pointe là », 5 ;6), que leur base soit parallèle au bord de la table (en tournant la planche : « c’est un triangle si on le regarde par là » dit encore un sujet de 6 ;5), etc.

Mais cette tendance à débuter par le disjoint (ou par agglomération partielle comme Isa) est révélatrice d’un postulat fondamental, sitôt énoncé par Cri : le nombre des triangles possibles dépend exclusivement de la surface disponible, donc de savoir si l’on a « encore de la place ». D’où la réaction générale (dont on aurait pu citer bien d’autres exemples comme pour les [p. 66] parties disjointes) selon laquelle, en augmentant la grandeur du polygone enveloppant, même en un seul point limité, on accroît le nombre des triangles possibles, tandis qu’en la rapetissant (Cri à la fin) on ne peut plus faire qu’un seul triangle.

Il y a donc là une fausse généralisation inductive, dictée par des considérations constructives antérieures et non pertinentes, mais si fortes que, en facilitant ou même en suggérant la mise en correspondance du nombre de triangles et de celui des côtés du polygone total on ne provoque aucune compréhension (Isa).

De 6 ;0 à 7 ;5 environ on observe des réactions de transition entre les attitudes précédentes et la mise en relation du nombre des figures inscrites avec celui des sommets ou côtés du polygone enveloppant :

Mar (5 ;10) débute comme en IA, sauf qu’avec tâtonnements elle arrive à trouver les 5 T d’un pentagone : « Comment ça se fait ? — Parce que 1 là, 1 là, etc. — Tu vois le truc ? — On fait un côté seulement (interprétation disjonctive de la consigne ?). — Et si on agrandit ici (sommet D) ? — Non, il y aura plus, parce qu’on a rallongé (essais multiples). Non on ne peut plus en faire. — Tu en voulais ? — 6. — Pourquoi 5 ? — Si on faisait comme ça (piquet entre C et D, sans rajouter d’angle) on en ferait encore 1. -— (Hexagone.) Combien de T ? — Il y en a 6 de piquets. — Combien de T ? — 6. —  Et si 7 piquets ? — 7. —  Et si 8 ? — 8 T. — (Agrandissement en E.) — On en aurait comme avant. — Pas plus ? — Si on peut rajouter un piquet. —  (Quadrilatère en losange.) — (Elle fait les 4 T.) — Comment tu expliques ? — Parce qu’on a 1, 2, 3, 4 (montre les piquets ou sommets) et 1, 2, 3, 4 (montre les côtés). — (Agrandissement.) — La même chose. — (Pentagone très irrégulier par allongement de C.) Combien de T ? — 3 (disjoints !). — Essaie. — (Tâtonnements.) 5. —  Pourquoi ? — Je sais pas… parce qu’il y a 5 et 5 (sommets et côtés). »

Pat (6 ;5) compte aussi par piquets et flotte lors de l’agrandissement du pentagone : « Rien va changer, ça devient seulement plus grand. —  Mais j’ai plus de place ? — Oui je crois qu’il y en aura plus », etc.

Ron (6 ;3). Pentagone : prévoit 3 T, longs tâtonnements et trouve 5 T. « Pourquoi ? — Parce qu’on avait plus de place (que pour 3). — (Allongement en C.) — Plus de T, parce qu’on a plus de place. — Combien ? — 7. —  Vas-y. — 5. — (Nouvel agrandissement.) — Toujours 5. — Pourquoi ? — Parce qu’on n’a plus d’idées ! —  (Hexagone.) » Il prévoit 7 T « parce qu’on a plus de place ». Il trouve 6 et « toujours 6 » en fonction du nombre des piquets. Pour un quadrilatère : 4 T « parce qu’on n’a plus (= pas assez) de poteaux » et avec agrandissements « toujours 4 parce qu’on n’a pas très beaucoup de place ».

[p. 67]Gil (6 ;8) prévoit 3 T pour un pentagone et en trouve laborieusement 5. « Et si on fait ça (allongement en D) 1 — Je sais pas. —  Plus ou moins que 5 ou idem ? — Moins parce que (l’angle aigu en D) il a une petite forme. (On élargit.) Plus parce qu’il y a une grande place (essais) 1 … 5 ! (Nouvelle extension.) La même chose, parce que j’avais une plus grande place et j’ai toujours fait 5. » Explication : « Parce qu’il y a toujours 5 clous. » Nouveaux changements : « Toujours 5. » Hexagone : prévoit 6. Quadrilatères (Q) inscrits dans le pentagone : tâtonnements, puis « J’ai trouvé la solution (4 angles inférieurs). » Trouve 6 Q et 6 T : « C’est la même chose ? — Oui », puis se corrige en 5 T et 6 : « Pourquoi 6 Q ? — Parce qu’on peut les mettre à égalité avec 6 crochets. »

Gui (7 ;0) croit encore à l’augmentation du nombre des T lors de l’agrandissement d’un pentagone : « 5, non 7. — Sûr ? — Non 6. Ça change tout », puis accepte la constance de 5. Pour les Q il en prévoit 2 et trouve 5. « Pourquoi ? — Il y a 5 trucs (bâtons). — Et les T ? — 5 aussi. » Hexagone : prévoit 6 T. « Pourquoi ? — J’ai 6 bâtons. — Et les Q ? — 6 je crois parce que j’ai 6 bâtons. — Et si 7 côtés, combien de T ? — 7. —  Et de Q ? — 7, non 5. —  Et là (hexagone) ? — 5. »

Les deux progrès marquants de ces réactions sont une généralisation inductive susceptible de conférer une régularité aux constatations, même contraires aux prévisions ; et par conséquent une élimination, d’ailleurs laborieuse, du facteur jusque-là dominant, mais non pertinent, c’est-à-dire de la grandeur. Or, le fait d’écarter un obstacle ou un facteur déformant (la « place »), à laquelle chacun de ces sujets reste tout d’abord attaché, ouvre de nouvelles possibilités et appelle de nouvelles explications. Mais ces sujets n’en sont pas encore là car il s’agit d’abord de découvrir de nouvelles régularités et de les mettre en relations, donc de trouver des lois remplaçant les fausses liaisons admises jusque-là ; et ces lois, quoique obtenues par généralisation inductive des simples constatations, risquent à cause de leur nouveauté de paraître explicatives à elles seules. Or c’est ce qui se passe avec le nombre des piquets. Découvrant que l’agrandissement en un point du polygone enveloppant ne modifie pas le nombre des triangles, le sujet en conclut (et c’est là sa grande avance par rapport au niveau IA) que cette constance est due au fait que le nombre des bâtons n’a d’abord pas changé et qu’il y a donc une relation entre ces deux nombres. Cette découverte, d’abord implicite chez Mar (« si on pouvait rajouter au piquet ») et surtout Ron (qui pense en termes de « place » autant que de « poteaux ») devient très explicite chez [p. 68] Gil (« parce qu’il y a toujours 5 clous ») et chez Guy (« 6, je crois parce que j’ai 6 bâtons »). Mais quel est le sens de cette relation et constitue-t-elle déjà une explication ?

Nous nous trouvons ici en présence de la même situation qu’au chapitre III, bien que le problème posé à l’enfant soit nettement plus simple. La « raison », en tant qu’explication fournie par la généralisation constructive, revient à dégager les coordinations nécessaires intervenant dès l’action et ses constructions matérielles, mais dont l’explication ne débutera qu’au niveau IIB (en cette recherche comme au chapitre III). En effet, cette conceptualisation tardive des conditions intrinsèques ne constitue que le troisième des paliers de la prise de conscience des actes : au premier de ces paliers, la pensée n’atteint que les résultats extérieurs de l’action, que celle-ci soit d’emblée adaptée ou demeure tâtonnante (faute de direction conceptuelle) ; au second palier la conscience rejoint le déroulement de l’action en ses manipulations successives qui demeurent matérielles, mais peuvent alors être en partie dirigées par les progrès de la conceptualisation ; enfin au troisième palier, la pensée remonte de ces manipulations à leurs coordinations nécessaires.

Or, il semble clair que la relation découverte par les sujets du niveau IB entre le nombre des triangles et celui des piquets en reste au premier de ces paliers avec quelques rares poussées jusqu’au second. En effet, d’une part, leurs actions ne présentent encore aucune méthode et leurs tâtonnements multiples (qu’il eût été fastidieux de transcrire dans le détail) n’aboutissent même pas encore sans aide de l’expérimentateur et rappels fréquents de la consigne. D’autre part, la correspondance terme à terme des figures inscrites et des bâtons est encore loin d’être stable et lorsqu’elle est invoquée comme explication, c’est donc essentiellement parce que la structure de correspondance (de formation bien antérieure et déjà sensorimotrice) suggère qu’il intervient une relation objective entre le nombre de ces figures, ou des élastiques qui les matérialisent, et celui des piquets auxquels les élastiques sont fixés, mais sans que le sujet puisse déjà préciser la nature de cette relation.

Les deux progrès caractérisant ce nouveau palier sont, d’une part, l’action du sujet devient [p. 69] moins tâtonnante (plus besoin d’aide) et présente souvent un début de méthode, témoignant d’une prise de conscience des péripéties de la manipulation ; et d’autre part en invoquant le nombre des piquets l’enfant se réfère désormais à la « forme » et non plus à la « place » et se livre alors à certaines généralisations inductives correctes (mais avec difficultés persistantes pour les quadrilatères inscrits) :

Sca (7 ;2) reste intermédiaire entre les niveaux IB et IIA : ses actions demeurent insuffisantes (besoin d’aide) et les agrandissements lui font encore problème : « On va voir, on ne peut pas toujours être précis ! » Il commence par supposer moins de T « parce que c’est plus écarté et on ne pourra pas bien y faire de T » mais ensuite : « On regarde les côtés : c’est simplement qu’on a changé de place ce piquet. — Mais c’est plus grand, pourquoi pas plus de T ? — Parce qu’on a fait une forme (!) qu’on peut faire la même chose. » Pour les Q inscrits, l’action est meilleure et Sca en prévoit d’emblée 5 aussi pour un pentagone. Lors de son agrandissement, il annonce le même nombre « parce que vous avez fait toujours une forme qui peut en avoir que 5 ». Hexagone : prévision correcte de 6 T fondée sur les piquets.

Rik (7 ;11) agit avec méthode pour les T avec un pentagone : il relie les côtés adjacents dans l’ordre (des sommets) 1, 2, 3, 5, 4 et enlève de lui-même un T non conforme à la consigne : « Ah ! non. » Lors de l’agrandissement, on oublie d’enlever l’ancien piquet A : « Ça fera 6 parce que vous avez rajouté un piquet. — Mais celui-là ne compte plus. — Ah ! bon, alors 5 » et il précise qu’il a compté mentalement en visualisant la pose des élastiques (cf. sa méthode initiale). Pour les Q il prévoit qu’« on ne peut pas en mettre 5 », sans doute puisqu’ils ont plus de côtés (cf. plus loin Kar). « Tu as un moyen pour vérifier ? — Non… (oui) suivre, il faut suivre les élastiques (non encore posés : cf. toujours sa méthode de construction) et voir s’il y a un Q qu’on peut faire. » Pour l’hexagone, il construit les T avec méthode en prenant chaque fois une paire de sommets opposés et trouve 6 (après avoir prévu 4) « parce que j’ai utilisé tous les piquets et on ne pourrait pas en mettre d’autres. —  Et avec 7 piquets (hexagone) ? — 7 T et si 8 (octogone) alors 8 T ».

Sam (7 ;5 avancé) construit les T en un quadrilatère enveloppant par paire de sommets opposés, et conserve le nombre de 4 lors des agrandissements « parce qu’il y a toujours 4 coins ». Pentagone : prévision 5. « On a besoin d’essayer ? — Je crois que si », d’où une construction méthodique dans l’ordre 1, 2, 3, 4, 5 des sommets successifs. Agrandissements : « 5 aussi, c’est toujours les mêmes clous, alors autant déformés. » Mêmes réactions pour des pentagones biscornus mais « je crois qu’on peut pas dire si on n’essaie pas, il faut être savant pour dire ». Par contre difficultés de construction pour les Q. Néanmoins la généralisation finale donne un certain nombre d’idées justes, mêlées à des confusions : « Cette figure (pentagone) ? — 5 T. — Si on veut 7 T, quelle figure ? — A 7 clous. — Et combien de Q ? — 7. — Et combien de formes à 5 côtés (dans l’heptagone) ? — Beaucoup, on n’a qu’à compter. —  Alors ? — Au moins 7, si ce n’est pas plus (!) mais on ne pourra pas en faire [p. 70] au-dessus de 10 clous. — Mais exactement ? — Pas en dessus de 7 parce qu’il y a 7 clous. —  Et de figures (inscrites) à 6 côtés ? — Pas en dessus de 6 (confusion des inscrits et enveloppants). — Et de figures à 7 côtés ? — Pas en dessus de 7 (il n’y en a qu’une 1). »

Kar (8 ;2) : construction des T (pentagone) par couples opposés plus le dernier. Agrandissements : encore « 5 parce que ça ne fait pas tellement de différence : celui-là (clou) est écarté ! ». Hexagone : « Peut-être 7 parce qu’il y a 7 clous. » Mais cette généralisation extensionnelle s’arrête à l’octogone, pour lequel elle prévoit 6 T. De même pour les Q dans le pentagone : « 3, parce qu’on prend 4 côtés, on a moins de clous (disponibles). »

Nie (8 ;8) : mêmes réactions mais avec généralisations jusqu’à l’octogone et au décagone et pour les Q comme pour les T, mais après fausse prévision pour les Q en pentagone : « Les T prennent 3 poteaux et les Q en prennent 4, alors ça fait 1 de moins. » Agrandissements : « Ça ne change rien. »

Ati (8 ;1) décrit dans le détail sa méthode de construction : « Je pars de E et je vais à DE et je pars de C et vais là et là », etc., mais il a quelque peine pour les Q. Généralisations finales : 6 T et 6 Q pour les hexagones et 7 de chaque aussi pour les heptagones « parce que je prendrais un élastique sur le poteau nouveau et 2 autres poteaux », mais ensuite il se ravise : 7 T et seulement 6 Q « parce que les Q c’est plus grand que les T, ça prend 4 poteaux alors que les T ça prend que 3 poteaux ».

Hen (8 ;1) a pour ses constructions la jolie formule qu’« on voit avec ses doigts »… « à cause de la forme et des passages ». Hexagone : « Ce qu’il y a d’intéressant c’est qu’il y a 6 piquets et 6 T. — Pourquoi ? — Oui, pour avoir les 6 T on prend 3 piquets, 3 piquets, 3 piquets… » Heptagone : « Je crois 8 ou 7, on comptera après. — Forme à 11 piquets ? — Eh bien peut-être 9, on aurait 8, 9, 10, 11 piquets alors on en a 1 qui part d’ici, ça ferait 8, 9… Ah ! 11. — 9 ou 11 1 — 11 ! »

Ces sujets en sont nettement au deuxième des trois paliers de la prise de conscience que nous rappelions au § 2 : d’une part, ils suivent en pensée le détail de leurs manipulations (« Je vais de là à là », etc., Ati, ou « On voit avec ses doigts », Hen) et d’autre part, celles-ci en tirent un bénéfice puisque l’enfant agit alors avec un début de méthode (Rik, Sam, Kar, etc.) sans avoir plus besoin d’aide sauf pour les quadrilatères inscrits. Le progrès dû à cette abstraction restant en partie empirique, mais orientée dans la direction de la forme réfléchissante, est que la correspondance avec le nombre des piquets prend un début de valeur explicative : ce n’est plus la « place » qui compte, mais la « forme » (déjà chez Sca), et par conséquent les « côtés » (Sca, etc.) et les « coins » (Sam, etc.), ce qui, en relation avec la méthode de construction (« à cause [p. 71] de la forme et des passages » dit Hen, le second terme dérivant du premier), fournit la raison quoique d’une manière encore implicite, des correspondances observées. Ce caractère implicite des explications, faute d’atteindre les coordinations nécessaires (3^e palier débutant en IIB), marque alors les limites de ce niveau IIA : les généralisations demeurant surtout inductives (avec échec à l’octogone chez Kar) et même le sujet avancé Sam reste handicapé pour les quadrilatères inscrits et confond en partie dans ses déductions finales les formes à inscrire et les enveloppantes. Par contre l’erreur de Kar, Nie et Ati sur les nombres inférieurs de quadrilatères à cause de leurs 4 côtés est en principe intelligente, car l’idée serait fondée si les piquets étaient rangés en ordre linéaire et non pas cyclique (cf. les quadruplets à n — 3 élastiques du chapitre III).

La différence entre les réactions de ce niveau et celles de IIA peut paraître subtile mais elle est très instructive : tandis que le sujet du niveau précédent se regarde agir mais « voit avec ses doigts » (Hen), ce qui améliore un peu son action en lui conférant un début de méthode, sans pour autant atteindre les coordinations nécessaires (d’où le peu de prévisions justes avant les essais), les sujets du niveau IIB pensent avant d’agir et programment ainsi leurs actions, ce qui les conduit à la fois à faire des prévisions en général correctes et à se rapprocher de ces coordinations formatrices :

Dao (8 ;5 avancé) domine les questions de T jusqu’à 11 sommets. Pour les Q (pentagone) il n’essaie que le premier, puis « je pense qu’il y en aurait 5 aussi (comme les T). — Pourquoi ? — Je l’ai fait dans ma tête. — Ça t’aide les lettres (face à chaque piquet) ? — Oui, c’est plus facile à voir. Je prends une lettre comme ça et je passe à la suivante » et aussi : « Je regarde les coins et j’essaie de les faire. — Mais ce n’est pas bizarre, 5 Q ? Ils ont un côté de plus ? — Non, ils se croisent plus souvent (intersections). — Et pour une figure de 11 côtés, combien de Q ? — Il y en aurait 11. »

Did (8 ;10) : T dans le pentagone : en prévoit 4, « J’ai essayé de toutes les façons », mais mentalement, puis montre le 5^e qu’il a oublié parce que pas « normal » comme les autres. « Comment faire pour que tu ne te trompes pas ? — On fait de A à C (ABC), puis de C à E (CDE), de E à B (EAB), EBC est faux, de D à A (AED) puis de A à D ah ! non, déjà fait. — Et pour ne pas repasser sur les mêmes ? — Par exemple ABC et AED (symétrique), toujours celui qui est en face. — Et un autre truc : je fais ABC et tu partiras d’où ? — Ah ! de B (BCD), etc. » Pour les Q mêmes réussites par simple inspection visuelle.

[p. 72]Nil (9 ;2) calcule d’emblée par visualisation les T d’un pentagone et après 4, qu’il indique, il déclare : « C’est tout fait, tous les bords (côtés du pentagone) sont pris. —  Alors quand les bords sont pris c’est fini ? — Aussi les poteaux, il y en a partout, ah ! sauf ici (donc 5). » Hexagone : « 4. —  Et avant ? — 5. —  (Visualisation.) Ouais, au moins 6 ! (Il les montre par couples symétriques.) » Heptagone : « 7. — Comment as-tu fait ? — Ben, j’ai pris à la suite, j’ai commencé ici (A), après B, après C et toujours (il montre du doigt) 7. » Pour les Q (pentagone) : « Je compte à partir de chaque piquet : ABCD, BCDE, CDEA, etc., ça fait 5. — Et avec une figure de 11 combien de Q ? — 11 parce qu’on commence par chaque piquet. -— Et de 7 ? — Aussi 11. —  Et avec 11 piquets combien de figures de 10 côtés ? — Ah ! c’est embêtant : 11 aussi ! »

On voit que ce passage d’une intériorisation de l’action après exécution (IIA) à une conceptualisation antérieure à l’action et en fournissant une programmation réelle ou possible conduit bien ces sujets à une analyse structurale plus poussée qui les rapproche des coordinations logiquement nécessaires : Dao explique ainsi l’égalité de nombre des triangles et des quadrilatères par l’augmentation des intersections, Did et Nil cherchent les conditions d’une énumération exhaustive dans les procédés mêmes de la construction, ce qui est davantage que de vérifier après coup une loi de correspondance, etc. Mais tout cela demeure en partie implicite, tandis qu’au stade III on trouvera enfin une analyse proprement réflexive.

Voici d’abord des exemples, à commencer par un cas intermédiaire entre les niveaux IIB et III :

Est (9 ;10) commence par ne trouver que 3 T dans le pentagone puis arrive mentalement à 5. « Pourquoi ? — Parce qu’il y a 5 côtés, alors je suis arrivée à 5 seulement. Et s’il y avait 6 poteaux j’en aurais fait 6, et 1 de moins j’aurais fait 4. » Pour les Q prévoit aussi 5 (les énumère). « Et avec ça (hexagone) ? — 6 Q. — Sûre ? — Oui. — Pas besoin d’essayer ? — Non, parce que si ça va avec 5 poteaux ça va forcément avec 6. — Et pour 10 côtés ? — 10 T et 10 Q. — Ça jouera toujours ? — Oui. On prend chaque fois un poteau alors ça fait forcément 10. —  Mais pourquoi ? — On prend 1 poteau (A) et on prend B et C et puis on reprend B avec C et D, on prend chaque fois un poteau ça fait forcément 10. »

Lau (U ;3) anticipe d’emblée un n de T égal à celui des clous. « Explique. — Une fois comme ça, une fois comme ça (montre les sommets successifs entre les clous voisins)… Parce que 2 clous (donc 2 côtés) pour chacun et ça avance, tac, tac, tac, et ainsi de suite. » Plus loin : « Et pour une figure qui a 19 côtés ? — 19 T et 19 Q. — Indique-moi toutes les constructions possibles

[p. 73] avec une figure à 9 côté ». — 1 figure à 9, 2 à 8, non 9 à 8, 9 à 7,9 à 6,5, 4, 3, 2. »

Mac (ll ;10) : 5 T pour un pentagone « parce qu’il y a 5 piquets et c’est toujours le milieu d’un T et ils changent : ABE — > ABC — > BCD — > etc. ». Pour les Q, on doit « utiliser les mêmes règles (légère hésitation). — Pourquoi tu as hésité ? — Parce qu’ici on saute plus qu’un mais ça revient au même. —  Et si 150 côtés ? — On peut faire des tas de figures à 99, 98, etc. —  Combien ? — 150 toujours. —  Et à 149 ? — 150 aussi. — Et à 150 ? — Une seule ».

On constate d’abord la justification explicite de la double récurrence en jeu dans nos problèmes et cela dans les deux cas en fournissant la raison du passage des propriétés de n à n + 1. En premier lieu le sujet Est nous montre que si l’égalité de nombre des triangles et des piquets est vraie pour 5 (pentagone), « ça va forcément (aussi) avec 6 », parce que dans les deux cas « on prend un poteau » avec ses deux voisins. En second lieu, Mac soutient que si la loi est vraie pour les triangles, elle l’est aussi pour les quadrilatères « parce qu’ici on saute plus qu’un, mais ça revient au même ».

On voit ainsi que cette double récurrence ne tient plus à des généralisations simplement inductives, mais bien à des inférences constructives dont le propre est non seulement de se fonder sur les procédés de construction de l’action effective, mais encore d’en tirer les coordinations nécessaires (« alors forcément » dit Est, ou « ça revient au même », Mac, etc.), c’est-à-dire d’atteindre le troisième palier de la prise de conscience : celui de l’abstraction proprement réfléchissante, alors qu’au second palier la constatation du déroulement des manipulations successives demeure en bonne partie tributaire de l’abstraction empirique.

On admire enfin la manière dont ces raisonnements des sujets les conduisent, comme c’est d’ailleurs la règle à ce niveau des opérations formelles, à s’orienter aussitôt vers de nouveaux possibles : Mac est aussi à l’aise avec des polygones de 150 côtés que de 5 ! En de tels cas, la généralisation constructive ne se borne pas à élaborer de nouvelles formes, car celles-ci engendrent alors de nouveaux contenus. Cela va presque de soi sur le terrain logico-mathématique où la récurrence conduit à « tous » les nombres jusqu’à l’infini, mais nous verrons aux chapitres XI à XIII que cela reste vrai en bien des situations dans le domaine physique.

[p. 74] Le premier point qu’il convient de relever est l’analogie frappante des niveaux observés en ce chapitre et au chapitre III. Certes, il s’agit dans les deux cas de double récurrence et portant concrètement sur de petits ensembles à construire au moyen d’élastiques entourant des tiges. Mais comme au chapitre III ces tiges se succèdent linéairement, les couples, triplets, quadruplets à effectuer sont au nombre de n — 1, n — 2, n — 3, etc. Par contre, dans le présent cas, les ensembles ont des figures (triangles, etc.) et s’inscrivent en d’autres figures dont les tiges placées à leurs sommets se succèdent en ordre cyclique, d’où la correspondance n à n qui semblerait devoir faciliter les solutions, jointe à leur caractère figurai. Or, nous trouvons au contraire un parallélisme complet. Dans les deux cas les réactions du niveau IA sont dominées par de fausses idées préconçues : correspondance n à n là où il la faudrait n à n — x, et rôle des « places » ou surfaces là où il faudrait précisément une correspondance n à n. Dans les deux cas, le niveau IB ne marque que de légers progrès, le sujet ne prenant conscience que du résultat de ses actes et non pas encore de leur déroulement. Ensuite le niveau IIA marque l’accès à un second palier de prise de conscience, avec amélioration des actions, mais avec difficultés dans le passage des couples aux triplets au chapitre III et des triangles aux quadrilatères dans la présente étude. Après quoi dans les deux cas il y a début d’utilisation du schème des actions, avec ses coordinations intrinsèques, d’où un essor notable de la généralisation constructive et celle-ci l’emporte définitivement au stade III.

Cette convergence remarquable dans les deux évolutions tient naturellement aux relations étroites entre les transformations de la généralisation et les étapes, non seulement de la prise de conscience, mais encore et surtout des formes d’abstraction que celle-ci détermine. Au point de départ (stade I) le sujet ne découvre guère encore que le résultat de ses actes et même d’abord déformé (niveau IA) puis, mais seulement dans la suite, accepté (sous-stade IB) : d’où les abstractions empiriques fausses puis correctes, et des généralisations inductives erronées (rôle de la « place » constamment, mais à tort, généralisé au niveau IA), puis valables, quoique restant très courtes. Et cela sans oublier que toute généralisation inductive suppose [p. 75] un cadre préalable, dont l’emploi actuel peut n’être pas ou être justifié et dont la formation est due à des généralisations constructives, mais antérieures et plus élémentaires. Après quoi, dans la mesure où le sujet prend conscience du déroulement de ses actions réussies (par des abstractions encore surtout empiriques portant sur les manipulations comme telles donc matérielles), puis finalement du schème lui-même avec ses coordinations nécessaires (abstraction réfléchissante), la généralisation devient de plus en plus constructive jusqu’à cette capacité surprenante des sujets du stade III de construire des figures nouvelles, à titre de formes et même de contenus non donnés empiriquement. En effet, ces figures nouvelles sont déduites, non pas du matériel, qui ne les contenait pas, ni à partir des constructions antérieures ou de leurs résultats, mais en s’appuyant sur les possibilités ouvertes par celles-ci, ce qui est tout autre chose.

On retrouve ici les trois phases de la formation des raisonnements récurrentiels : 1) des constatations sur n, c’est-à-dire sur les résultats antérieurs simplement enregistrés et qui ne suffisent nullement à assurer la suite, sinon par voie d’induction extensionnelle, donc sans nécessité ; 2) le passage de n à n 1, constitué par les deux sortes de justifications signalées au stade III (Est et Mac) et qui seules introduisent la nécessité tirée du schème même de la construction en actions ; 3) la généralisation quant à la suite (vraie pour « tous » les n, en principe jusqu’à l’infini).

Cela dit, il reste à préciser ce que ces faits nous apprennent quant aux relations entre les deux types de généralisation (et d’abstraction). Ces deux types sont en un sens toujours réunis et indissociables (comme le sont en un sens également les abstractions empiriques et réfléchissantes), mais le fait qu’au cours de leur développement ils changent non seulement de proportions, mais encore et surtout de subordinations, empêche de parler d’un processus continu et oblige de conférer aux formes supérieures (ou plus précisément logico-mathématiques à partir d’un niveau de métaréflexion) des généralisations inductives et des abstractions pseudo-empiriques une signification différente de celle des formes initiales.

Au point de départ, nous avons vu que les variétés les plus élémentaires de généralisation inductive (et par conséquent [p. 76] d’abstractions empiriques) supposent déjà un cadre préalable de constructivité (et donc aussi de réfléchissement), tel que la partition des surfaces en secteurs disjoints, et naturellement la triangularité (ne pas limiter les triangles aux équilatéraux), etc. Mais il s’agit de formations antérieures au raisonnement actuel ou plus élémentaires. Si l’on remonte aux sources sensori-motrices on constate que la formation de tout schème d’assimilation est déjà tributaire à la fois d’un facteur constructif (actions du sujet) et d’un facteur inductif (assimilations reproductrices et pour une part généralisatrices). Il y aura donc toujours un préalable de constructivité et de réfléchissement pour toute généralisation inductive et toute abstraction empirique.

Mais dans la suite il faut distinguer deux situations qualitativement et non pas seulement quantitativement différentes. Dans la première (dominante au stade I) la généralisation inductive et l’abstraction empirique fonctionnent de manière autonome, en ce sens que si le cadre mentionné leur est nécessaire, il se borne à permettre ³ ces inférences ou jugements, mais ne les « engendre » pas, leur alimentation n’étant fournie que par les constatations successives du sujet, donc par des observables non déductibles à partir du cadre préalable. Il y a ainsi là une première signification à conférer aux termes d’« inductif » et d’« empirique », qui est d’ailleurs leur sens usuel et propre.

Par contre, lorsque, pour les raisons déjà vues de prise de conscience, l’essor de la généralisation constructive devient possible, elle fonctionne à son tour de façon autonome en ce sens qu’elle en vient à engendrer (et non plus simplement « permettre ») la constitution, non seulement de nouvelles formes, mais encore de nouveaux contenus (cf. la suite des nombres ou les figures nouvelles de notre stade III) non donnés les uns ni les autres en des observables existant avant cette construction. En ce cas il y aura encore, naturellement, à considérer des processus extensionnels, mais en un nouveau sens qui est simplement l’enrichissement des « extensions » corrélatif de celui des « compréhensions » (formes). Quant à l’abstraction empirique, elle cesse de porter sur des observables exogènes, [p. 77] elle n’est donc plus « empirique », mais ne s’exerce plus que sur les contenus engendrés par les constructions du sujet et devient donc « pseudo-empirique » mais à titre de prolongement fonctionnel, sans continuité structurale. En un mot, ni les processus extensionnels, ni les abstractions pseudo-empiriques en ces nouveaux sens ne dérivent des généralisations et abstractions propres à la première situation : il y a entre elles toute la différence qui sépare l’endogène de l’exogène et nier cette différence reviendrait à annuler toute distinction entre la connaissance physique et la connaissance logico-mathématique. Ce qui risque de fausser les interprétations est le fait fondamental comparable aux relations biologiques du phénotype et du génotype qu’il n’existe jamais d’exogène pur, puisqu’il y a toujours nécessité d’un cadre endogène. Par contre, à partir d’un certain niveau, qui est celui de la formalisation, il existe une logique et une mathématique « pures », c’est-à-dire ne recourant plus qu’à la construction endogène sans aucun besoin de contrôle ou de validation exogènes (ce qui distingue les mécanismes de la pensée de ceux de l’épigenèse organique, encore que le propre du génome est de répondre par des réactions endogènes aux tensions exogènes du milieu).