Chapitre VIII.
Séries additives et exponentielles ^a 🔗

Les sujets d’un premier niveau ne construisent pas d’eux-mêmes des « escaliers », mais débutent par des figures quelconques. Les sériations une fois trouvées (ou acceptées) ils n’en voient que très globalement les ressemblances et différences et lorsqu’il s’agit de les continuer ils s’en tirent sans tenir compte des lignes de base et en refusant systématiquement les éléments trop grands :

Rag (4 ;7) débute par des maisons. Les escaliers (suggérés) ne sont « pas la même chose. —   Pourquoi ? — Sais pas. — Et pour continuer ? — (Il colle un 32 contre l’élément de 32.) — Mais ça ne monte pas ? — Comme ça (il le hausse). — Et ici (base) ? Le trou ? — Tant pis pour le trou. — Et là (série A) ? — (Il rajoute un élément de 8 et le fait dépasser par le haut.) — Ils sont les

mêmes ? — Non. —   Pourquoi pas pareils ? — Ici (A) il y a plus (il les compte). Ah ! non. En classe on en a des comme ça (A) ». On y fait effectivement des exercices de sériation.

Isa (5 ;3) accepte les escaliers après ses figures quelconques. « Us sont pareils ? — Non, parce qu’ici (B) le 3^e et le 4^e sont plus grands que là (A). » Quant aux continuations, Isa s’efforce de les rendre homogènes en A et en B : « C’est la même chose : ici (débuts) petite, puis moyenne, moyenne, moyenne, moyenne, puis grande. » Pour A elle prolonge la série sans s’occuper de la différence constante de 2 cm et pour B elle refuse les grands éléments : « On pourrait ? — Oui, mais je ne veux pas. »

Jeq (5 ;10) : « Les réglettes sont les mêmes, c’est tous les deux des escaliers, mais là il y a un (bâton) très grand et là un plus petit. —   Comment peut-on continuer (A) ? — Avec de plus grandes, une fois plus grande (il mesure avec ses doigts et conserve donc les intervalles¹). — Et là (B) ? — Ah là là elles sont grandes et les autres très grandes. » Il en rajoute une avec un intervalle d’environ 4 cm mais sans s’occuper de la ligne de base et écarte les autres : « Non, elles sont trop grandes. » Conclusion : « C’est des escaliers mais pas les mêmes : pas la même couleur ni la même grandeur. »

Jea (6 ;8) : « On voit que c’est les mêmes formes, des réglettes : une grande puis une moyenne, une plus petite et une toute petite en chaque tas. —   Et en quoi ça ne se ressemble pas ? — -La couleur, pas la même. » Continuation de A : « Une plus grande et la suivante un peu plus (il conserve d’abord l’intervalle de 3 cm qu’il montre du doigt, puis n’y pense plus et l’augmente). — Et là ? (B). — (De plus grandes au hasard.) — Et celle-là (le double) ? — Non, elle est trop grande (choqué). »

Cen (6 ;6) avec les escaliers en ordre descendant : « On commence par le tout grand, puis plus petit, encore plus petit, plus plus petit et tout petit. —   En quoi ils se ressemblent ? — Ils font comme ça, des marches en escalier, quoi ! — Et en quoi ils ne se ressemblent pas ? — La première est très grande là (B), l’autre (A) plus petite. » Continuations en ordre croissant : pour A elle garde l’intervalle, et pour B « il faut une réglette longue (elle prend une autre de 32 cm et la fait dépasser). Il faut une plus grande de ça » (intervalle de 2 cm comme en A). En ordre décroissant pour B : finit par 2, 1, i et i « parce qu’on ne peut pas mettre ça et ça (intervalles de 2 cm) ». Elle refuse naturellement le zéro et le passage aux valeurs en dessous de la ligne de base (0).

Sauf Rag qui ne parvient pas à exprimer la différence entre les séries A et B, cependant perçue, ces sujets notent bien que l’opposition tient à la présence de grands éléments en B, mais à l’exception de Jeq qui a eu l’idée de mesurer avec ses doigts l’intervalle en A, tous s’efforcent de prolonger les séries A et B

f¹) Nous appellerons intervalles les différences entre éléments successifs = 2 cm en A.

de manière homogène (intervalles analogues). Ce qui frappe en ces réactions est donc que l’abstraction pseudo-empirique en jeu (donc la lecture des observables sur les cinq premiers éléments donnés initialement) est essentiellement fonction du mode de construction des séries, adopté par le sujet en son action propre : ce qu’il cherche à obtenir est simplement une suite qualifiée en « petite, puis moyenne, puis grande » (Isa ou Jea et Cen en ordre descendant) sans s’occuper des valeurs quantitatives. Quant à Jeq, c’est encore son action qui l’a conduit à un début de quantification mais demeurant très qualitative (ligne perceptive des sommets en négligeant la base et en écartant les « trop grandes »).

Au niveau suivant (7-8 ans), le progrès notable est que le sujet saisit la différence entre les séries A et B et reconnaît l’existence en B d’intervalles non plus égaux comme en A mais de valeurs croissantes. Seulement cet accroissement des différences en B n’est pas encore métrique et ne devient explicite qu’au moment où il s’agit de prolonger les séries avec de nouveaux éléments :

Cro (7 ;2) arrange d’emblée les réglettes « en escalier ». — « En quoi ces escaliers se ressemblent ? — Ils ne se ressemblent pas parce que là c’est petit et là c’est très grand (intervalles). ■— • Et en quoi encore ça ne se ressemble pas ? — Je ne sais pas. — Et en quoi ça se ressemble ? — Mais en rien : regardez ces distances ! — Et si on continuait ici (A) ? — Il (le suivant à placer) doit arriver jusque-là (il montre à peu près 2 cm). — Comment tu sais ? — Je vois. — Et là (B) ? — Ah ! Je ne sais pas si on arriverait : déjà le 5^e est si grand. — Essaie. — Un autre qui va là (il ne met que 5 cm de plus). — Et en descendant (en B, en dessous de 2) ? — Ça (1 cm), et puis ça Q) et ça (i). C’est juste ? — Qu’est-ce que tu crois ? — Oui, pour (B) mais à (A) il faut toujours ça (2 cm, d’où 10, 8, 6, 4, 2, i). Non (enlève i) rien. — Alors en quoi ça se ressemble (A et B) ? — En escaliers. —   Et où ça ne se ressemble pas ? — Là (A) ça fait toujours la même chose, mais pas là (montre la croissance des intervalles en B). »

Gar (8 ;5). Différences : en B « il y a des grands, mais ici (A) ils sont plus petits. —   Explique en quoi ils sont différents ? — En grandeurs ». Continuations : en A « on ajoute toujours le même petit espace. — Et là (B) ? — Pas le même espace : un tout grand, mais on ne sait pas que mettre parce qu’il y a là un tout grand espace et là un tout petit ». Elle essaie au hasard, puis comprend : « Ah ! Il faut toujours un plus grand espace ! — Et en descendant ? — Toujours plus (que le même) en montant et toujours moins en descendant. — Alors dis- moi maintenant : dans les deux escaliers que tu as vus quelles sont les différences ? — Ici (A) il y a toujours le même espace entre les réglettes et en (B) il y avait chaque fois un espace plus grand. »

San (8 ;6) n’arrive à dire que « cet escalier (B) est plus grand que ça (A) ». Mais lors de la continuation, elle découvre en A « le même espace. — Et ici (B) ? — Il y en a qui sont plus grands que d’autres », en montrant la croissance.

Ren (8 ;6) de même dans la description ne dit que « ceux-là (les bâtons en B) sont plus grands que les autres », mais dès ses essais de continuation : « Ici (en B) l’espace est toujours plus grand, plus grand. »

Riv (8 ;2) : mêmes réactions, mais pour la quantification, n’arrive après la réglette de 32 cm qu’à la solution : « Si les collait (un de 16 + un de 32) ce serait bien. »

Giz (8 ;8) par contre s’oriente vers la quantification, mais additive. Auparavant il n’arrive dans sa description qu’à dire : « Ils ne sont pas la même chose parce que (B) est plus haut que (A) : il a de grandes règles et (A) des petites. —   Et en quoi ils sont pareils ? — Les petits (de 2 cm = 1^er élément de chaque série) sont pareils aux deux et ils montent la même chose. —   Mais pas pareils ? — Non, les couleurs (sont autres). » — Par contre, lors des continuations, « j’imagine dans ma tête que je mets un (intervalle) pareil (en A): 10 -f- 2 = 12. — Et ici (B) ? — J’imagine que je prends un comme ça (2 cm) et plus ça devient grand, plus les petits bouts il faut en mettre pour que ça aille là » (intervalles croissants). Mais pour l’exponentielle décroissante, « ce serait qu’on doit mettre la moitié de celui-là (32)…, puis la moitié de la moitié », etc.

Contrairement aux sujets du stade I, ceux-ci ne cherchent pas, lors de la continuation des séries, à homogénéiser celles-ci, mais au contraire à rendre compte des différences. Or, c’est seulement en entreprenant cette action qu’ils découvrent l’accroissement régulier des intervalles en B, tandis qu’à la simple inspection des escaliers, pourtant construits (et d’emblée sous cette forme) par eux-mêmes, ils n’aperçoivent que l’inégalité de grandeur des derniers éléments de A et de B. Gir, le plus avancé de ces cas, déclare même « ils montent la même chose », c’est-à-dire de manière à ce que chacun soit plus grand que le précédent, mais sans quantifier les intervalles et ce n’est que lors des choix imposés par la continuation que se fait la découverte : Gar exprime bien cette surprise lorsqu’elle dit : « Ah ! Il faut toujours un plus grand espace ! »

Dès 9-10 ans (avec 3 cas avancés de 6 ;6 et 7 ;9), le progrès consiste en une quantification ne ces intervalles croissants en B, le sujet parvenant à la notion du double par une voie additive puis multiplicative, mais à douveau seulement lors de la continuation des séries :

Oli (6 ;6), très avancé, découvre qu’en A « c’est toujours le même bout qui dépasse. —   Et en (B) ? — Deux comme ça (2 cm) ça fait un comme ça (4 cm). — Et ensuite ? — Deux comme ça (4 cm) ça fait un comme ça (8 cm), deux comme ça (8 cm) ça fait celui-là (16 cm) et deux de ça ça fait le grand. — Et pour (A) tu m’as dit qu’il y a toujours le même bout qui dépasse ? — Oui, tandis qu’ici (B) ça fait tout le temps deux entiers, ça fait le suivant ».

Mic (7 ;9) : « Ils se ressemblent (A et B) ? — Pas tout à fait, pas à la grandeur. — Mais en quoi ils se ressemblent ? — A l’ordre dans le même ordre, mais pas à la grandeur. Je les ai classés du plus grand au plus petit, mais ces bois (B) ne sont pas les mêmes que ça (A). » Continuations : en A « tous sont plus grands de ça (2 cm). — Et ici (B). — Ce n’est pas la même différence que ça (2 cm) ». Elle tâtonne par évaluations perceptives, puis a l’idée de mesurer les intervalles au moyen du petit élément de 2 cm : « Le petit c’est deux fois ça (intervalle entre 4 et 8), puis le petit c’est quatre fois ça (intervalle 8-16) et puis c’est huit fois ça (intervalle 16-32). » Néanmoins elle hésite à prolonger selon ce système : « Ça ferait trop haut. — Et en continuant la descente (après 8, 4, 2) ? — On ne peut pas. Ah ! Il faut mettre la moitié du petit, puis la moitié de la moitié et puis la moitié. »

Sar (7 ;9), mêmes réactions mais est prête à continuer en B avec « deux fois ça (32 cm) et deux fois (encore). Mais on s’arrête aussi avant que l’escalier devienne très grand : il n’y a pas une si grande place pour un escalier qui ne finit pas ». Cette restriction marque à la fois une compréhension implicite d’une suite indéfinie possible et les limitations du niveau des opérations « concrètes ».

Gal (9 ;8) : « Ça se ressemble (A et B) ? — Pas tellement parce qu’ici (16-32) il y a de plus grandes différences. — Alors pas du tout ? — Oui, un peu : c’est des escaliers, quoi ! » Continuation : 2 cm pour A, puis tâtonne pour B et compréhension : « C’est le double : ça (4) est le double de 2, ça (8) le double de 4 », etc. A la descente : « La moitié de 2, puis un demi-centimètre et la moitié d’un demi-centimètre. — Et après ? — On ne peut plus, on arrive par terre. »

Phi (9 ;7) : mêmes réactions après ses mesures : « Là (B) il faut faire le double et là (A) prendre la même mesure (2 cm). » La descente est correcte et pour A il continue : « 2 en dessous de zéro, 4 en dessous, etc. — Il y a des chiffres en dessous de 0 ? — Oui, mon père est comptable et il m’a dit qu’on peut faire des chiffres sous 0. »

On voit que le progrès notable constitué par la quantification des intervalles de B, d’abord additive puis en doubles et moitiés, ne s’effectue encore qu’à la suite des tâtonnements en vue de la continuation. Ce n’est qu’au stade III (11-12 ans avec un cas avancé de 9 ;10) que ce rapport est appréhendé dès l’examen des séries obtenues par l’ordination initiale et avant les essais de continuation :

Rie (9 ;10) : « En quoi ils ne se ressemblent pas ? — Ce n’est pas les mêmes grandeurs. —   Autre chose ? — Ici (A) il y a toujours les mêmes différences et là (B) c’est le double. — Comment tu sais ? — Eh bien, je vois en regardant. » Continuations et descente correctes. Les exponentielles complémentaires présentées dans une boîte (16, 15 }, 14, 12,… et J, 1, 2, 4… à continuer toutes deux) sont réussies (pour la première fois) et Rie dessine correctement les deux courbes des sommets, convexe et concave : « Elle est courbée parce que les marches n’ont pas la même hauteur. »

Rue (10 ;9) voit aussi, avant tout essai de continuation, que « là (B) il n’y a pas le même espace : c’est tout le temps la double grandeur des plots, c’est-à-dire que ça va deux fois dans le suivant ». Exponentielles complémentaires : réussite après de nombreux tâtonnements.

Luc (10 ;5) ne parle du « double » que lors de la continuation (elle prolonge 16, 32 en 64 et 128), mais a vu dès l’inspection des figures qu’en B « là (2-4) il y a un petit espace, là (4-8) un plus grand et là encore un plus grand ».

Bol (11 ;7) voit « toujours le double de la petite qui précède » dès l’anticipation de la continuation et avant tout tâtonnement et mesure parce qu’« on voit à peu près approximativement ». Exponentielles complémentaires réussies après erreurs.

Cri (12 ;6) : « Le double de celui qui précède, toujours le double. — Comment tu sais ? — J’ai vu, j’ai comparé. —   Et en descendant ? — La moitié, la moitié de la moitié, etc. — Ça finira quand ? — Jusqu’à presque plus rien… (mais) s’il y avait des machines qui feraient des microns… »

Il y a à ce niveau donc métrisation des intervalles croissants ou compréhension de cette croissance (Luc) dès l’inspection des figures ou dès le projet de la continuation.

Au total, en cette situation de sériations, l’abstraction pseudo-empirique apparaît bien comme un cas particulier d’abstraction réfléchissante : ce que le sujet tire des objets (en plus naturellement de leurs qualités physiques enregistrées par abstraction empirique : différences de couleurs et de grandeurs), ce sont les propriétés qu’il est capable d’y introduire selon le niveau de ses coordinations d’actions. Tous nos sujets ayant construit des « escaliers », ils voient tous que les réglettes sont ordonnées en ordre croissant ou décroissant. Par contre, les deux structures de l’égalité des intervalles en A et de leur croissance en B ne sont aperçues en leur différence que quand le sujet sait les construire. Pourtant cette différence est un observable comme un autre, donné dans les objets quoique introduit en eux par un sujet : en effet, dès le stade I,

l’enfant voit bien qu’en B il y a des bâtonnets plus grands qu’en A, mais il tient si peu compte des différences d’intervalles qu’il cherche à les homogénéiser en continuant les séries. Au niveau HA, les sujets découvrent leur croissance en B mais seulement lorsqu’ils cherchent à continuer la série, tandis que, lors de l’inspection des figures, ils ne remarquent que l’ordination des éléments et non pas leurs différences : « ils montent la même chose » dit même l’un d’eux à presque 9 ans, bien qu’il ait signalé d’emblée les différences de taille des grands éléments. Au niveau IIB le progrès accompli par la quantification de ces intervalles en B et qui témoigne d’un plus haut niveau d’abstraction réfléchissante ne suffit pas à provoquer un enregistrement sur l’objet avant l’action de continuation, même en ce qui concerne leur simple croissance qualitative avant de trouver la loi du double. Il faut donc atteindre le stade III pour que l’inspection des figures en révèle d’emblée les propriétés quant aux intervalles comme aux éléments eux-mêmes.

On dira que tout cela va de soi, puisque la perception des bouquets de fleurs ou des cartes du chapitre Y ne suffit pas non plus à faire voir que le tout est plus grand que la partie tant que le sujet n’a pas construit de structure d’inclusion. Mais on aurait pu s’attendre à ce qu’une propriété de caractère spatial et aussi simple qu’une différence croissante de longueurs entre bâtonnets donne lieu à une lecture immédiate lorsqu’on voit tant d’observables physiques plus complexes correctement constatés bien avant d’être compris. Il faut donc admettre que des relations logico-mathématiques et notamment sériales introduites en des objets n’y sont accessibles à un sujet que si c’est lui-même qui s’est chargé de l’opération ou s’il en est capable : or, la continuation des séries avec des bâtonnets à choisir est tout autre chose que leur construction avec les éléments déjà donnés et c’est pourquoi il faut attendre jusqu’au stade III pour que l’enfant, capable de cette continuation, remarque les propriétés essentielles des réglettes qu’il manipule lors de sa construction initiale (de 2 à 32).