Chapitre XVII.
Rotations et translations ^a 🔗

Les sujets d’un premier stade (5-6 ans) savent déjà tous renverser l’ordre des couleurs lors de la rotation du carton mais le problème de l’équerre présente toutes

sortes de difficultés et le sujet n’aperçoit pas encore l’inversion nécessaire de l’ordre entre les 2^e et 3^e portes : en effet, si l’équerre passe la 2^e porte par le petit bout, il faut alors entrer dans la 3^e par le grand ou inversement, ce dont ne se doutent pas les sujets suivants même en cas de réussite par tâtonnements :

Ran (5 ;2) dessine d’emblée le carton renversé et indique l’ordre exact des couleurs après avoir commencé par le rouge. Le dessin de l’équerre par contre n’est tourné qu’incomplètement quant au passage des portes. Ran prévoit que « ça ira jusqu’au bout », mais « le grand (côté) on ne sait pas ». Elle réussit à la l^re et à la 2^e mais échoue à la 3^e : « On ne sait (= peut) pas passer par là. » Après nouveaux essais, on propose une rotation et elle réussit : « Vous, vous avez fait comme ça, moi je fais comme ça (rotation). — Est-ce que tu crois qu’avec le bois que tu as dessiné sur la feuille et le bois là que tu as passé à travers les portes on a fait quelque chose qui était pareil ? — Non. »

Mar (5 ;2) réussit bien l’inversion des couleurs du carton et exprime la rotation en disant que c’est « la moitié qui est tombée au milieu (= qui part dans l’autre sens) ». Pour le dessin de l’équerre elle commence par le grand bout contre le bord opposé de la feuille et y ajoute le petit bout dans l’autre sens, obtenant donc une rotation par hasard : « Comment ça se fait que le petit bout est vers le bas ? — Parce qu’on n’a pas tourné. » Quant aux portes, « ça passera la 7^re » mais pas les autres « parce que là (2^e) c’est une plus petite porte que là (l^re). — Regarde bien. — Elle est la même chose ». Mais elle continue de taxer d’un « peu plus petite » la porte où elle échoue, notamment la 3^e : « Je vais tourner (on montre). Elle est comment maintenant ? — Plus grande (la même porte !). — Comment tu sais ça ? — Parce qu’il y a un petit bout et un grand bout (de l’équerre). » Dans la suite « il faut aller par les deux côtés pour voir si ça va par là ou par là », mais elle ne prend pas conscience des rotations et ne voit donc aucun rapport avec celle du rectangle à couleurs. Néanmoins elle croit le retour possible de la 4^e à la l^re.

Nat (5 ;9) par contre, à qui l’on demande si elle pense le retour réalisable, une fois franchies les quatre portes, répond : « Je ne pense rien. «   Elle constate cependant qu’après son échec à la 3^e l’expérimentateur réussit « parce que vous avez tourné » ; mais, quant à savoir pourquoi le petit bout ne passait pas, « ça je ne saurais pas dire », puis « parce qu’on peut passer des deux côtés », mais en passant du petit au grand côté « c’est beaucoup plus difficile ».

Wes (5 ;6) de même : « C’est plus facile de ce côté parce qu’on n’a qu’un petit bout. » Mais elle croit possible de passer tous les bois qu’on lui offre à choix.

Sab (6 ;0) échoue dès la 2^e porte en essayant par le grand bout, puis : « C’est parce que je devais mettre la pointe là (petit bout). » Puis, après tâtonnements réussit la 3^e en faisant « passer le grand bout. — Là (2^e) tu es passée par quel bout ? — Le petit. —   Et là (3^e) ? — Le grand. —   Pourquoi ? — Je ne sais pas. —   Comment on peut passer la 2^e porte ? — On peut passer par les

deux côtés. — Et la 3^e ? — Aussi des deux côtés ». Mais elle ne voit pas l’alternance, qu’on lui fait alors remarquer : « petit, grand, petit, c’est ça ? — Oui. — C’est toujours comme ça qu’il faut faire ? — Non. — Alors, comment ? — On se trompe ».

Le trait commun de ces réactions du stade I est donc que, tout en comprenant bien la rotation du rectangle avec ses résultats sur l’inversion des couleurs, les sujets ne conçoivent pas le passage de l’équerre à travers les portes en termes de rotation, et cela pour deux raisons. La première est qu’ils n’anticipent ni les changements de direction précédant l’introduction d’une partie de l’équerre dans la porte, ni ceux qu’il faudra faire à la sortie pour continuer la route, ni même ceux qui sont nécessaires pour la traversée comme telle de la porte (puisqu’en passant l’un des bouts après l’autre il faut une rotation de 90°) : ils ne jugent donc de la possibilité ou non d’un passage qu’en termes de grandeurs globales de l’ouverture par rapport à l’un des côtés de l’équerre comme s’il y avait là une relation simple comparable à celle d’une boîte et de son contenu et comme si les facteurs directionnels ne jouaient pas de rôle. A ce sujet Mar va jusqu’à considérer comme non constante la grandeur de la porte qui est jugée « plus petite » en cas d’échec et « plus grande » lors d’une réussite. La seconde raison de cette négligence des rotations est que celle de l’équerre est peu claire pour ces sujets qui échouent souvent dans leurs dessins, et n’ont pas toujours conscience de la rotation qu’ils effectuent en action (<f. Mar « on n’a pas tourné »).

En ces conditions la rotation nécessaire pour passer la 3^e porte après la 2^e n’est naturellement pas comprise : Sab la remarque mais sans croire à sa nécessité, Nat voit aussi qu’on a « tourné », mais ne comprend pas pourquoi, etc. Il va de soi a fortiori que la comparaison finale entre les rotations des rectangles et de l’équerre demeure sans signification. En effet, le sujet ne remarquant que les différences entre les objets utilisés sans s’occuper des actions, les abstractions propres à ce stade I en demeurent à l’état de constatations mal interprétées, donc d’abstractions empiriques dénuées du cadre « réfléchissant » qui serait nécessaire pour les orienter et les préciser.

Ce niveau se situe vers 7-8 ans, avec quelques sujets plus précoces et plus ou moins intermé-

diaires. Il est caractérisé par une compréhension rapide du rôle des directions et par conséquent de la nécessité des rotations. Quant à la rotation permettant de réussir le passage de la 3^e porte après la 2^e, les sujets d’un niveau IIA la découvrent mais sans explication ni généralisation nécessaire :

Ste (6 ;5) dit pour la 2^e porte : « On essaie de le faire tourner (côté grand bout) pour le faire passer encore. » A la 3^e porte il est bloqué « parce qu’ici c’est pas comme ça (il montre l’espace insuffisant pour le grand bout), alors on doit le faire comme ça (rotation) ». Mais un instant après il affirme qu’« on peut passer les deux » bouts par n’importe quelle porte et ne sait plus pourquoi il a dû tourner l’équerre à la 3^e.

Gil (7 ;6) réussit les quatre portes en tournant quand il le faut et dit pour la 3^e : « Ça va pas parce qu’il n’est pas plié comme ça » puis il change de bout en précisant : « Je l’ai retourné. » Mais pour la succession 2^e-3^e on ne peut être fixé que « quand on a essayé », sinon « on ne sait pas très bien alors ». Comparaison entre le carton à couleurs et les passages de l’équerre : « Il y a quelque chose de pareil ? — Oui parce que c’est retourné. — Et avec les couleurs et le grand et le petit bout ? — Les couleurs elles sont aussi grandes que le petit bout. »

Ren (7 ;4) ne se décourage pas à la 3^e porte « parce qu’on peut le tourner », mais pense ensuite qu’on peut passer la 2^e et la 3^e « par le même bout ». Quant à la comparaison entre le rectangle et l’équerre, on a dû revêtir le premier de couleurs et les « mettre à l’envers : c’est presque la même chose que de tourner ».

Pao (8 ;11) dit d’abord qu’on ne peut passer les portes « parce que le rectangle (= le grand côté de l’équerre) est plus grand que la distance entre les deux murs », mais « il peut passer comme ça (rotation) ». Il passe la 2^e porte avec le petit bout et essaie de même avec la 3^e, puis tourne l’équerre en constatant qu’on n’arrive pas autrement. Mais dans la suite il prévoit qu’on peut revenir de la 4^e à la l^re avec le grand bout « parce que ça va des deux côtés. — Toujours ? — Oui ». Pour les bois à choix : « C’est pas la grandeur que je vois », en oubliant les rotations. Comparaison : il y a des analogies, « oui parce que je passe 3 portes et il y a 3 couleurs. — Et autre chose ? — Vous avez tourné le carton et moi le bâton ».

Lem (9 ;6) dans son résumé se rappelle bien qu’entre la 2^e et la 3^e porte « je l’ai tourné », mais on pourrait faire « tout en grand et tout en petit ».

Le progrès accompli par ces sujets est donc de comprendre d’emblée que le passage lui-même de chacune des portes exige une rotation, l’équerre ne pouvant y entrer perpendiculairement. Mais ce qui leur manque encore est l’évaluation des possibilités de manœuvre dans l’espace entre les parois précédant l’entrée dans la porte ou dans l’espace ultérieur conduisant

à la porte suivante. Pao y pense bien au début (« distance entre les murs ») mais écarte la difficulté en invoquant les rotations. Se centrant ainsi sur un passage comme tel, ils voient bien qu’il leur faut une nouvelle rotation pour la traversée de la 3^e porte mais n’en comprennent pas la raison, faute de cette coordination entre les facteurs directionnels et dimensionnels (et Pao revenant au facteur de dimension en présence des bois à choix oublie alors les rotations). Autrement dit le propre de ce niveau est la découverte de la nécessité des rotations, mais en liaison avec la porte seule et sans référence à l’espace environnant. Quant aux comparaisons avec la rotation du rectangle à couleurs, ce commun renversement est bien noté, mais non dégagé des centrations sur le matériel, ce qui va de pair avec les formes d’abstraction auxquelles en demeurent ces sujets, en partie empirique par constatations successives et en partie réfléchissantes tirées des coordinations d’actions nécessaires aux rotations.

Vers 9-10 ans (quelques cas dès 8 1/2), les coordinations entre les facteurs dimensionnels et directionnels, ou entre les rotations et les translations, s’effectuent progressivement :

Cor (8 ;10) pense qu’on ne peut franchir la 3^e porte « à moins qu’on le mette dans l’autre sens » et dans son résumé donne la succession : « Là le grand, là le petit et ici (3^e) le grand. » « Il n’y a pas moyen de faire autrement… c’est à cause des angles. » Puis il précise que c’est à condition qu’« on arrive à le faire tourner dans ce morceau-ci (partie du casier antérieur) et que le bout arrive en premier vers la porte et l’autre bout dans (la suivante) ». Conclusion : « Il faut savoir manœuvrer les bouts » dans les espaces entre les portes comme au passage de celles-ci, « ce qui est important » n’étant pas leur largeur.

Ala (8 ;5) : « On inverse toujours : ici on commence par le grand, là par le petit, là par le grand de nouveau »… « car le casier est trop petit pour le bâton… enfin ils sont tous les deux de même taille mais on ne peut pas le tourner (seulement) en mettant la pointe ici et en tournant comme ça, ça ira ».

Sen (9 ;5) note l’alternance : « l^Te par le petit, 2^e par le grand, etc. — Et ça irait dans l’ordre petit-grand-grand ? — Ça doit être possible si l’écartement des planches n’est pas trop insuffisant… mais je n’ai pas la possibilité de tourner comme ça ici à la 3^e. Si on le tournait, à mon avis, je serais déporté comme ça (dans l’espace ultérieur), alors je pourrais continuer. » Dans le choix des bois, Sen tient compte à la fois des angles et de la grandeur des parties par rapport aux casiers.

Sca (10 ;5) : « Parce que là (2^e porte) il y a assez de place pour changer la direction tandis qu’ici (3^e) pas. » Comparaisons : on a retourné l’équerre comme le carton et « le rouge reste toujours au milieu. Ici c’est toujours entre la 3^e et la 4^e qu’il va toujours (= qu’il avance sans rotation) ».

Les sujets du stade III ne diffèrent guère des précédents, sinon en ce qu’ils remarquent que les conditions dimensionnelles limitant les manœuvres entre la 2^e et la 3^e porte et obligeant à une rotation anticipée sont liées à la position de ces portes par rapport aux parois extérieures de droite puis de gauche. En outre, ils voient que seule l’inversion est nécessaire, que l’on soit entré en 2 par le petit ou par le grand bout, l’alternance étant donc indépendante du choix absolu de départ :

Cla (11 ;1) : « On peut aller (en 2) par les deux côtés, mais on doit tourner ici, il faut qu’il (l’autre bout) soit à gauche pour entrer… si on arrive comme ça (sans rotation préalable) on est bloqué là dans le coin. Si (ce bout) est à gauche il est bloqué là mais s’il est à droite il sait passer. » Parmi les bois à choix il tient compte de ces divers facteurs et choisit ceux qui « peuvent passer parce que la largeur (le petit bout) est moins longue ».

Gbo (11 ;7). Comparaison : on tourne l’équerre entre les portes 2 et 3 comme on tourne le carton, dont les deux couleurs « du bout changent, tournent et celle du milieu reste » de même que « la 2^e porte reste toujours au milieu », et que les bouts de l’équerre changent de côté : le petit, le grand, « puis de nouveau le petit puis tantôt on revient là ».

Jan (12 ;3). En 3, « c’est trop sur le bord : il n’y a pas moyen de tourner l’angle. Quand c’est sur le bord il y a le mur qui gêne pour tourner l’angle de différentes manières », d’où la nécessité d’une rotation anticipée. Quant à la comparaison avec le rectangle à couleurs : « On l’a aussi retourné comme si ça (le petit bout) équivalait au bout coloré et ceci au long bout là. » Mais ensuite Jan précise : « C’est inversé (rotation à deux dimensions) et ce n’est pas retourné (dans l’espace). Les couleurs c’est la même chose. »

Au terme de cette évolution nous voyons que si la rotation du rectangle à bout coloré ne soulève aucun problème et cela dès le stade I, celles de l’équerre ne sont comprises que par étapes : réalisées en certains cas, mais sans intention ni prise de conscience, au stade I, elles s’imposent au niveau IIA, mais ne sont interprétées qu’en fonction de la traversée même des portes, sans nécessité admise entre la 2^e et la 3^e. Au niveau IIB cette nécessité est peu à peu reconnue en fonction d’une coordination entre les facteurs directionnels et dimensionnels, c’est-à-dire entre les rotations et translations

en un espace suffisant et au stade III le sujet y ajoute des précisions sur les conditions résultant de la position des portes.

Toutes ces données utilisées par le sujet pourraient être tirées de la simple observation des objets ainsi que des actions matérielles qui leur sont adaptées et il est donc clair que, des stades I à III l’abstraction empirique joue un rôle continuel. Mais il est non moins évident qu’elle ne se suffit pas à elle-même et qu’elle requiert l’intervention toujours plus active d’un cadre assimilateur tiré de la coordination des actions du sujet. Celle-ci se manifeste pour l’équerre dès le niveau IIA avec la généralisation des essais de rotations, puis s’élargit au niveau IIB avec la constitution d’un système de référence concernant l’espace de manœuvre et se précise enfin au stade III en englobant toutes les liaisons du système considéré en son ensemble.

Quant à l’abstraction réfléchie intervenant dans les comparaisons entre le rectangle de carton et l’équerre, il n’y a, pour les sujets du stade I, aucune ressemblance, faute de conscience claire des rotations : à vouloir insister on n’obtient que des indications sur la différence des objets. Au niveau IIA, où les rotations deviennent générales, quoique par tâtonnements, elles sont bien indiquées comme constituant le trait commun aux deux sortes de questions, mais il est curieux de constater que cette prise de conscience de l’action principale s’accompagne encore, à ce palier de 7 et 8 ans, d’un caractère qui, en d’autres recherches, semble spécial au stade I, c’est-à-dire de considérations sur les objets utilisés eux-mêmes et non pas sur les seules actions, donc d’une référence aux contenus et non pas à la forme seule des opérations effectuées : « les couleurs sont aussi grandes que le petit bout » de l’équerre, dit ainsi Gil, et « je passe 3 portes et il y a 3 couleurs » déclare Pao à presque 9 ans ! Ces analogies factices semblent indiquer que la rotation n’occupe pas encore, dans l’esprit du sujet, une position centrale. Il l’acquiert au niveau IIB, où la comparaison ne se fonde plus que sur elle, avec des correspondances plus ou moins justifiées. Enfin, au stade III les correspondances se précisent et Jan se livre à un début de pensée réflexive ou réflexion sur la réflexion, en distinguant « inverser » et « retourner », comme Fré (12 ;5) dans la section IV du chapitre VII, qui oppose l’ordre nécessaire à celui que le sujet peut introduire librement dans l’arrangement des objets.