Conclusion de la troisième partie ^a 🔗

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La prise de connaissance des propriétés spatiales soulève un problème complexe du fait que l’abstraction empirique ne s’y suffit jamais à elle seule et a besoin d’un cadre « réfléchissant », comme c’est le cas pour les caractères physiques en général, mais que réciproquement l’abstraction réfléchissante portant sur la coordination des actions du sujet exige constamment, lorsqu’il s’agit, non pas de théorie pure (dont la vérification demeure réfléchissante et intrinsèque), mais de représentation du réel, une mise en correspondance avec les produits de l’abstraction empirique (et non pas pseudo-empirique) portant sur les objets et fournissant une information complémentaire quant à la signification des déductions effectuées. C’est sur ce second point que l’abstraction spatiale diffère à la fois des abstractions physiques et logico-arithmétiques.

Comme les premières, elle porte sur des propriétés que possédait l’objet avant que le sujet ne les y découvre : des formes, dimensions, positions, déplacements, etc., ainsi que s’il s’agissait de masses, forces ou vitesses, etc. Mais la grande différence est que quand le sujet cherche à assimiler les caractères dynamiques grâce à ses modèles déductifs, il n’y parvient qu’approximativement, la suite de ces approximations comportant même probablement une « limite » ne pouvant jamais être atteinte en un sens rigoureux. Par contre, les caractères spatiaux des objets sont transparents à la raison et celle-ci peut les reconstruire déductivement au point, si l’on peut dire, de parvenir presque à les rectifier : par exemple les cristaux se comportent comme s’ils tendaient vers des formes constructivement

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parfaites, mais sans les réaliser intégralement, donc comme si, en ce cas, c’est l’objet qui travaillait par approximation dans la direction des modèles théoriques au lieu que ce soit l’inverse.

Quant aux relations entre les abstractions spatiales et logico-arithmétiques, leur caractère commun est d’enrichir les objets de nécessités déductives non données dans les faits comme tels. Mais la différence est que les cadres logico-arithmétiques tels que les nombres, les classes et relations, les correspondances, etc., qui engendrent cette nécessité sont ajoutés aux objets grâce aux opérations du sujet tandis que les cadres déductifs de nature spatiale rejoignent les propriétés que possédaient déjà les objets. C’est ainsi qu’une collection de 5 objets est dénombrable, égalisable à 5, etc., mais ne contient pas ce nombre comme tel avant d’être dénombrée (pas plus, comme déjà dit, qu’un poisson mangeable n’est de ce fait déjà mangé), tandis qu’en appliquant les propriétés du cercle à une forme naturelle circulaire on rejoint ce qu’elle contenait déjà (et si elle est imparfaite comme toutes les figures, le fait de la mieux arrondir en pensée ne revient qu’à préciser sa configuration et non pas à y introduire une structure qu’elle ne pouvait posséder faute d’une activité du sujet comme dans le cas du dénombrement)¹.

En sa double nature d’étendue des objets et de géométrie du sujet, l’espace constitue donc dès le niveau sensori-moteur le point de jonction ou zone d’intersection entre la réalité extérieure et les opérations du sujet : d’où l’union particulière qu’il comporte entre l’abstraction réfléchissante et l’abstraction empirique, la première conférant aux propriétés spatiales un caractère de nécessité et la seconde s’appuyant sur le fait que ces propriétés existaient dans l’objet avant leur prise de connaissance. L’existence de cette zone d’intersection se manifeste en particulier de deux manières.

La première tient aux rapports entre les deux aspects figuratif et opératif (actions et opérations) de la connaissance, le premier caractérisant les observables et le second les trans-

(^J) Il reste naturellement que la géométrie du sujet est susceptible de dépasser (et même infiniment, au sens propre comme au figuré) celle des objets : c’est le cas des espaces à n dimensions, des multiples géométries non euclidiennes (on peut toujours inventer une géométrie telle qu’une ligne irrégulière quelconque en soit la droite), de nombreuses propriétés topologiques, etc.

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formations. Or les opérations logico-arithmétiques ne peuvent pas être figurées, sinon symboliquement comme par les cercles d’Euler, etc., même dans le cas des sériations, où l’on peut arranger en un escalier des baguettes telles que A < B < C < …, il ne s’agit en cette figure que d’une représentation spatiale tenant au fait que la sériation porte alors sur les longueurs, mais l’encbaînement comme tel de relations asymétriques, transitives et connexes A < B < C…, ne saurait être figuré en ses propriétés générales. Dans le domaine physique les observables sont par contre donnés, mais ils sont à dépasser et même très largement, pour atteindre les liaisons objectives dont ils ne manifestent qu’un aspect très partiel. Le domaine spatial en revanche bénéficie d’un double privilège : les observables figuratifs s’y insèrent très directement dans des transformations rationnelles et ces transformations elles-mêmes sont représentables sous une forme figurative, d’où ce mélange de capacité opératoire et de représentation visuelle que les mathématiciens ont appelé 1’« intuition géométrique ». Or, si celle-ci est sujette à certaines limitations (on ne peut pas « dessiner » une courbe de Jordan) ou même à des erreurs (les courbes ne comportant pas de tangente contredisent l’intuition), elle garde toute sa valeur heuristique parce qu’elle est adéquate par approximations. Il est en particulier remarquable que les transformations intervenant dans les « groupes fondamentaux » des diverses géométries sont toutes représentables figurativement : le groupe des déplacements porte sur des mouvements figurables, celui des similitudes sur des changements de dimensions laissent invariantes les formes, ce qui est doublement perceptible, celui des affinités sur des correspondances de directions, les groupes projectifs sur des correspondances de points de vue et les homéomorphies sur des correspondances de parties continues. En un mot, l’union étroite du figuratif et de l’opératif est à la fois le propre du domaine spatial et l’indice des connexions spécifiques qu’il comporte entre les opérations géométriques du sujet et les observables de l’objet.

Un second ensemble de faits est fourni par les données psychogénétiques : si, au niveau des opérations propositionnelles, les opérations logico-arithmétiques sont nettement dissociées de l’espace, plus on remonte vers les sources et plus

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il y a au contraire indifférenciation entre le spatial et la logique. Les schèmes sensori-moteurs comportent déjà une logique, mais sont indissociables du caractère spatial des actions. Les représentations préopératoires sont imprégnées d’adhérences spatiales : collections figurales, nombre subordonné à la longueur des rangées et ne se conservant pas quand on étire celles- ci, etc. Les opérations concrètes, quoique atteignant le niveau des déductions valables, demeurent en partie spatiales dans la mesure où elles ne portent que sur des objets matériels et non encore sur des hypothèses propositionnelles : les additions restent inséparables de déplacements, les sériations sont encore attachées à de « bonnes formes » figuratives, etc. D’autre part, si la différenciation est alors bien plus poussée que précédemment entre le spatial et le logico-arithmétique, l’isomorphisme des premières opérations logiques et des opérations infra- logiques de même niveau témoigne également d’une parenté originelle.

Mais si l’espace constitue ainsi au départ un point de jonction entre les propriétés de l’objet et les opérations du sujet, son évolution n’est pas moins instructive, car tout en conservant sa fonction fondamentale de médiateur, il se dissocie lui-même selon deux pôles, et d’une manière qui prolonge en un sens le rôle de plus en plus important de l’abstraction réfléchissante (dont témoignent, dès les niveaux élémentaires étudiés ici, les solutions progressives des petits problèmes géométriques utilisés pour nos expériences).

En effet, toute l’évolution de la géométrie est celle d’une formalisation progressive qui dissocie les formes opératoires de leur contenu figuratif, tandis que l’histoire de l’espace physique est celle d’une soudure de plus en plus étroite entre ce contenu spatial et la dynamique en tant que contenu constitué par les autres propriétés des objets. Pour ce qui est du premier aspect de cette double évolution, il est inutile de rappeler combien l’axiomatique d’Euclide demeure intuitive, ni pourquoi la géométrie est restée si longtemps conçue comme une simple étude des figures, donc comme une mathématique non pure mais appliquée aux données de la perception, tandis qu’avec la théorie des groupes fondamentaux et les progrès de la topologie, elle tend aujourd’hui à se résorber dans la théorie générale des structures. Par contre l’espace physique qui chez

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Newton était considéré comme une vaste forme donc un « contenant » englobant tous les corps, devient avec Einstein solidaire d’abord de la cinématique, avec suppression des frontières entre le contenant et le contenu et ensuite de la dynamique, avec subordination des courbures aux masses. Enfin, le géométrodynamique de Misner et Wheeler va jusqu’à une fusion complète (sauf en microphysique) de la dynamique et de l’espace, ce qui ne dénature en rien ses caractères spatiaux tout en conférant à leurs compositions des pouvoirs en quelque sortes causaux. En un mot 1’« intuition » géométrique des débuts s’est peu à peu dissociée en une formalisation, pour ce qui est des opérations du sujet, de plus en plus centrées sur la forme, et en une physique géométrique pour ce qui est du contenu rejoignant alors ceux de la dynamique en général.

Une telle évolution comporte alors deux leçons. La première est que l’espace conserve plus que jamais son rôle de médiateur entre le sujet et les objets permettant au premier d’assimiler de manière intelligible la diversité des manifestations des seconds. Le succès sans cesse grandissant des structures de groupes en physique en est un indice impressionnant puisque ces groupes incarnés dans le réel comportent toujours des composantes spatio-temporelles. Mais, en second lieu, cette incorporation progressive du réel à l’espace (et les transformations de la microphysique laissent entrevoir qu’il s’agira de variétés multiples d’espaces) s’accompagne au sein des activités du sujet d’une assimilation réciproque de plus en plus étroite entre les structures géométriques et les structures algébriques, donc d’une intégration opératoire de plus en plus poussée.

Il n’est donc pas surprenant que dès les niveaux élémentaires étudiés en cet ouvrage les réactions aux problèmes géométriques présentés aux sujets comportent les trois caractères suivants. En premier lieu, elles témoignent au départ d’un primat provisoire de l’abstraction empirique, mais encadrée dès le début par les ébauches d’une abstraction réfléchissante qui prendra de plus en plus d’importance au cours des stades suivants : c’est ainsi que les mouvements de la balle suspendue (chap. XIII) ou la construction des diagonales (chap. XIV), etc., ne sont compris que très laborieusement et exigent un jeu de plus en plus complexe d’abstractions réfléchissantes. En second

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lieu, le sujet tient à vérifier à tous les niveaux la convergence entre les produits de ses abstractions réfléchissantes et les propriétés de l’objet, l’abstraction empirique qui fournit la connaissance de celles-ci étant alors de mieux en mieux affinée par les coordinations inférentielles réfléchissantes. Il y a là une double réaction qui est naturelle du fait que les propriétés spatiales de l’objet sont données en celui-ci avant que le sujet parvienne à les reconstituer déductivement, d’où le besoin de contrôle, puis, lorsque les inférences commencent à anticiper les constatations, une amélioration de celles-ci. Ces diverses conduites peuvent être remarquées en particulier dans la recherche sur les déplacements des repères sur les cailloux et la chenille du chapitre XV.

En troisième lieu nous avons noté que, dans le domaine spatial comme en ce qui concerne la notion d’ordre, l’abstraction réfléchie commence par être en retard sur ce que produit le processus comme tel de l’abstraction réfléchissante, après quoi elle atteint le même niveau (habituellement au sous-stade IIB des opérations concrètes) et finalement est source de progrès en engendrant des réflexions sur les réflexions, autrement dit un début de pensée réflexive et non plus seulement réfléchie. La recherche sur le périmètre et la surface des rectangles a notamment conduit à de telles constatations, la pensée réflexive permettant au sujet de trouver la raison de ses observations précédentes (incompatibilité des deux conservations simultanées).