Chapitre XIV.
Les diagonales ^a 🔗

Les sujets d’un premier niveau (5-6 ans) ne parviennent pas d’eux-mêmes aux obliques et quand on suggère l’emploi de deux mouvements simultanés, ils l’utilisent sans compréhension et ne parviennent pas à des généralisations stables :

Gen (5 ;3). Situation I (les T) : elle s’exerce aux horizontales et verticales et réussit sans difficulté le carré. Pour les obliques, elle s’attend à les obtenir avec un seul T et les utilise à tour de rôle plusieurs fois en s’étonnant de l’échec : « Tu veux que je t’aide ? — Oui. — (Exécution.) — C’est parce qu’on a fait les deux » et elle reproduit la manœuvre. Mais pour une oblique descendante elle n’utilise plus qu’un T et obtient une verticale : « Pour monter qu’est-ce qu’on a fait ? — Les deux. — Et pour descendre qu’est-ce qu’on devait faire ? — Les deux. » On aide à nouveau, puis on fait résumer : « J’ai bougé les deux » et elle réussit à nouveau / mais, pour \ elle emploie bien les deux T mais aboutit à nouveau à une montée. Elle échoue à l’éventail et aux zigzags. Situation II : elle prétend avoir une telle ardoise chez elle et effectivement elle réussit rapidement l’oblique montante, mais mal la descendante. Comparaison : « Tu trouves que ces deux jeux se ressemblent ? — Non. — Pourquoi ? — Là il y avait une maison et là (T) un carré et des montagnes. — Mais à part les dessins (II) autre chose se ressemble ? — Non. — C’est tout différent ? — Oui, là (les T) c’est en bois et on met des feuilles. Ici (II) c’est pas pareil. » Quant aux actions « là on fait ça (on glisse les T) et là on tourne des boutons ».

Nat (6 ;1). Situation II en premier : Nat fait des traits à gauche et à droite, sans modèles, puis verticaux. « Et si on tournait les 2 boutons en même temps ? — Oui. Essai : ça fait de côté ! — Comment tu as tourné ? — De côté (elle veut recommencer mais tourne dans l’autre sens). Ah non, ça va (obliquement) vers le haut ! » Après cette initiation, on donne des modèles simples, qu’elle réussit, puis des obliques : « Comme ça je tourne penché (mais elle ne prend qu’un bouton à la fois et échoue. Idem plusieurs fois). — Tout à l’heure, comment tu as fait ? — (Elle prend les deux boutons et réussit une oblique.) Les deux comme ça. » Mais en sens inverse elle ne prend plus qu’un bouton. Etc. Situation I (le cube) : nouvelle initiation et à nouveau manque de répétition pour les obliques. Comparaison : « Dans les deux jeux il y a des choses qui sont pareilles ? — Non. —   Qu’est-ce que tu as fait ? — Des dessins et là (cube) ça faisait aussi dessins, tout droit, à gauche, à droite. —   Et les traits là (diagonales) ? — Penchés. — Comment tu les faisais ? — Je tournais les deux boutons. — Et avec les souris on a réussi les penchés ? — Non (Elle les oublie). — Et ça (on les montre) ? — Oui. — Comment tu as réussi ? — J’ai tiré une à une. — Ça te fait penser à quelque chose de pareil avec l’ardoise. — Non. »

Le fait que ces sujets de 5-6 ans (et a fortiori ceux de 4 ans qui ont été examinés) ne parviennent pas à trouver d’eux- mêmes le moyen de construire des diagonales en composant simultanément les directions verticales et horizontales n’a rien d’étonnant. Mais que, ayant vu comment faire, ils ne puissent pas inverser l’orientation comme ils le font pour les lignes simples ou, surtout, ne prennent plus qu’un T ou un bouton, est déjà plus intéressant. Mais le plus curieux est que de ces manipulations, qui intéressent visiblement ces enfants, ils ne tirent, au moment de la comparaison, aucun élément commun quant aux actions elles-mêmes : comme à l’ordinaire, les réactions de ce niveau sont centrées sur les différences de contenus (matériel utilisé ou résultat des actions) et non pas sur les actions elles-mêmes en leur forme ou schème généralisable. Mais, dans le cas particulier, il s’y ajoute que, lorsqu’on essaie de rappeler au sujet ces actions comme telles, ou bien il n’y voit encore que des différences (comme Gen : glisser les T ou tourner les boutons) ou ils voient, comme Nat, une analogie très générale (« faire des dessins »), mais en se rappelant le moyen de faire des diagonales avec l’ardoise et en oubliant de façon surprenante le procédé pourtant identique avec les souris ou les T. L’explication probable est que, s’il est compréhensible qu’en tirant sur un crayon (T et souris) ou même en tournant un bouton en une machine « faite pour » agir ainsi on obtienne des traits simples, la composition de deux directions pour en déterminer une troisième reste à ce niveau un mystère complet : utilisé comme simple recette pratique le procédé des deux opérateurs simultanés ne donne alors lieu à aucune abstraction réfléchissante dans la généralisation des actions ni a fortiori réfléchie dans les comparaisons rétroactives.

A 7-8 ans (et parfois dès 6 1/2) un second niveau est celui où le sujet découvre par lui-même la composition des verticales et horizontales en diagonales (ou la comprend et la généralise lorsqu’on lui montre le procédé), et où il arrive partiellement et par tâtonnements (sans stabilité finale) à varier les inclinaisons en dosant (en + et en — ) la valeur des composantes :

Man (6 ;7). Situation I (avec les T) : elle commence par des manipulations séparées et fait des traits verticaux ou horizontaux puis décide d’elle-même abstract.. 2 4

de dessiner « une petite maison. —   Tu commences où ? — Par le toit. —   Comment tu peux le faire ? — Peut-être les deux en même temps (essai : diagonale pas très rectiligne). — Qu’est-ce qui t’a donné cette idée ? — Personne… comme ça ! (Elle recommence et réussit mieux.) Je veux descendre (autre côté du toit, mais elle inverse simplement les mouvements et obtient / au lieu de\), ça ne va pas, ça retourne en arrière (nouveaux essais, toujours pareils). Je suis en train de réfléchir, peut-être que ça va aller. Quand je monte là (avec F) ça donne une idée pour descendre là (H mais du bon côté : réussite). — Comment tu as fait pour monter ? — J’ai poussé ça ( V) vers le haut et ça (H) vers la droite. — Et pour descendre ? — Celui-là (P) on descend et celui- là (H) comme ça tout droit (vers la droite et non plus à gauche comme lors de l’inversion) ». Elle réussit les zigzags. Quant à l’éventail, « d’abord je vais monter celle-là (V) puis je vais faire les deux en même temps » : il en résulte trois obliques internes parallèles et non pas divergentes. Un dôme arrondi : « Je n’ai aucune idée comment faire ça (elle juxtapose des obliques en un polygone). » Situation II : mêmes réalisations en retrouvant seule la diagonale. Comparaison : « Il y a des choses pareilles ? — Oui, c’est presque pareil parce qu’on a dû faire des traits comme ça (verticaux, horizontaux et en diagonale). — Et la façon dont on les faisait, c’était pareil ? — Non, parce que là (I) on a dû les bouger et là (II) on doit tourner le bouton. — ■ Et pour faire les toits de maison on faisait des choses avec les deux ou non ? — Oui, parce qu’on a dû monter comme ça et puis après redescendre (elle indique les combinaisons). — En le faisant, c’était la même chose ? — Non, là je dois tourner des boutons et là bouger. »

Lup (7 ;2). Situation I (cubes). Au cours des essais préliminaires il trace des lignes simples en tirant chaque souris à part et conteste que deux à la fois et à plus forte raison quatre à la fois puissent se déplacer, mais il ajoute : « Ah ! Ça me donne une idée » et il en tire deux à angle droit, pour les réunir ensuite sur la diagonale. On lui rappelle que les trajets des souris ne peuvent être que perpendiculaires (+), mais il remarque que le cube suit la diagonale et généralise pour les autres couples de souris. Lorsqu’on passe à l’ardoise, il croit d’abord impossible de dessiner une oblique, puis : « Je l’ai fait avec deux souris. — Ça ne te donne aucune idée ? — Ah ! peut-être, je prends les deux boutons (essai). Oui, ça va. » Il réussit les zigzags mais par tâtonnements, en commençant par inverser simplement sa diagonale initiale. Lors des comparaisons il voit les ressemblances : « Ici (ardoise) je peux aller aussi partout (+) comme avec les souris » et pour les diagonales : « Il faut tirer deux souris et là ça se ressemble parce que je prends deux boutons. »

And (6 ;9) avec les T les fait fonctionner séparément : « Et si on prenait deux T ensemble tu penses que ça donnerait quelque chose ou non ? — Un petit peu penché. — Il serait comment ton trait ? — (Il fait avancer les T l’un après l’autre puis montre la médiane.) Comme ça. — Comment ? — Penché (diagonale). »

En étudiant antérieurement les problèmes de vecteurs, nous avions déjà constaté que pour deux forces égales formant un angle la résultante est prévue dès le niveau IIA comme étant

la médiane. Les sujets précédents nous montrent la naissance de cette idée. Chez Man il s’agit d’un insight trop rapide pour être suivi, mais chez Lup on voit que pour concilier deux trajectoires à angle droit il faut les réunir sur la diagonale et And montre même le détail de cette inférence en supposant d’abord que si l’un des T agit sur l’autre la résultante ne peut être que « penchée », puis en traçant les deux droites à 90° pour juger de leur action réciproque, d’où la conclusion qu’elle aboutit à la médiane. Cette coordination se traduit alors par un début d’abstraction réfléchie, lors des comparaisons, par une centration sur les actions communes, donc sur la forme plus que sur le contenu bien que celui-ci joue encore un rôle.

Chez les sujets du niveau suivant (9-10 ans, quelques cas dès 8 1/2) une dimension nouvelle s’ajoute à ces coordinations qui consiste, pour la copie de l’éventail non encore réussie en IIA, à doser en plus et en moins les composantes de l’oblique, donc à introduire une nouvelle opération sur les précédentes tout en les prolongeant :

Mar (8 ;8). Situation I avec les T : il s’amuse à construire une suite de rectangles emboîtés (mais avec continuité comme en une grecque), puis pour faire une oblique dit d’emblée : « On pourrait bouger les deux en même temps. » Pour les zigzags, il débute par une simple inversion de la diagonale puis « une fois qu’on aura compris le système ça ira » et il trouve les directions. Pour l’éventail : « Je vais prendre les deux bâtons (T). Pour faire celle-là (une oblique intérieure) ça sera un peu plus difficile parce qu’il faudra monter moins : alors j’arrange tout, je suis malin, je fais comme ça plus avec celui-là (H) et moins avec celui-là (V). » Il réussit ainsi, mais, pour une arcade, « ça n’est pas possible avec ça (les T) » et il construit un polygone avec obliques successives. Avec l’ardoise il trouve aussitôt la diagonale avec les deux boutons, mais échoue aussi à l’arcade. Comparaison : « Il y a quelque chose de pareil ? — Je dirais plutôt que c’est un petit peu la même chose » et pour les obliques « je tournais plus droit (vertical) que couché et dans l’autre (oblique) je poussais plus couché que debout ».

Cat (9 ;7) pour les T et l’oblique dit d’emblée : « On bouge les deux ensembles » et elle réussit les zigzags. Pour l’éventail : « Là (la plus inclinée des obliques) on va plus à droite, là (la moins penchée) on va plus en haut. » Comparaison : « Il y a quelque chose qui se ressemble ? — Oui, on peut bouger les deux en même temps, on peut monter et on peut aller aussi à gauche et à droite comme avec l’autre jeu. »

Avec le stade III nous assistons encore à l’intervention d’une dimension nouvelle, donc d’une opération de plus se

greffant sur les précédentes : le sujet parvient à réaliser le dôme arrondi ou l’arcade en variant les vitesses des mouvements composants et non plus seulement leur valeur en + et en — comme pour l’éventail :

Cla (11 ;6). Avec les T pour les zigzags : « On bouge les deux en même temps pour le toit (= les obliques). — Qu’est-ce qui t’a fait penser ça ? — Le carré (qu’il vient de faire) a des diagonales et ça (moitié des zigzags) ça fait un carré. » Eventail : « J’ai monté plus là (V) et moins celui-ci (H) pour cette ligne, etc. — Et ça (arcade) c’est possible ? — Oui, avec les deux, je vais faire moins vite avec celui-ci (H) qu’avec celui-là (F) pour faire la courbe. » Il essaie et aboutit d’abord à une sinusoïde puis se corrige : « Non, les deux partent dans un sens différent pour redescendre : ils sont partis en angle droit et il y en a encore un qui va plus vite que l’autre. D’abord je vais doucement, un peu plus vite avec celui-ci (F) après j’ai accéléré avec l’autre. Après j’ai fait le contraire. » Comparaison : ce qui se ressemble est « la direction. Je devais manier la même chose les deux bois et les deux boutons… Si on enlève le couvercle de ça (ardoise) on verra la même chose ».

Tia (11 ;10) pour l’arcade : « Il faudrait essayer de trouver un truc pour faire une courbe. — Comment tu penses faire ? — Au hasard : là (une oblique peu rectiligne qu’il a faite avant) on peut déjà faire un genre de courbe… De toute façon on ne fait pas tellement une droite (avec ses obliques) alors on inverse pour tourner, celui-là (H) il va un moment plus vite et puis quand on arrive au milieu ça change et c’est l’autre qui va légèrement plus vite. Et puis comme ça ça se fait en exagérant (la différence de vitesse). » Il aboutit à une sinusoïde puis se corrige : « Ah oui alors celui-là (F) on devrait inverser le sens. »

Man (12 ;11). Arcade : « Qu’est-ce qu’il faut contrôler ? — La vitesse des deux bâtons… parce que si on fait en même temps (= à la même vitesse) les deux ça fait une ligne droite (diagonale). »

Il semble alors que les deux nouveautés caractérisant ces niveaux IIB et III ne sont pas dues à des abstractions empiriques. Dans le cas du plus et du moins à propos de l’éventail, les variations ne résultent pas de constatations mais d’inférences préalables. Quant aux vitesses, Tia pourrait faire croire qu’il part d’une observation (courbure involontaire de certaines de ses obliques) mais ce n’est pas ce fait à lui seul qui aboutit à l’éclairer : c’est la raison qu’il s’en donne rétroactivement en supposant une différence volontaire de vitesse. Il s’agit donc d’abstractions réfléchissantes, il nous reste à en comprendre le processus.

La succession de nos quatre niveaux fournit un bel exemple d’acquisitions opératoires superposées. Au stade I, le sujet reçoit les pouvoirs de construire des droites V

de haut en bas ou H de gauche à droite et de les inverser, mais il ne peut assimiler celui de tracer des obliques qu’on cherche à lui transmettre. Au niveau HA il découvre par lui-même la coordination possible de ces deux opérateurs V et H, sans laquelle il ne pourrait pas dépasser les deux directions initiales. Au niveau IIB il trouve le moyen de faire varier V et H en plus et en moins sans quoi il n’obtiendrait qu’une seule inclinaison (la diagonale). Au stade III, enfin, il parvient à introduire un changement graduel des rapports de vitesses, sans quoi il n’aboutirait (comme le remarque Man) qu’à des trajets rectilignes. Chacune de ces acquisitions constitue donc un dépassement nécessité par un problème nouveau, mais le problème consiste chaque fois à compléter les pouvoirs précédents dans la direction la plus proche : des traits en + aux diagonales X, de celles-ci aux inclinaisons variées mais rectilignes et de celles-ci aux courbures.

La solution trouvée par le sujet revient alors chaque fois à utiliser les coordinations d’actions antérieures, mais en les enrichissant d’un élément nouveau et la question est pour nous de comprendre d’où émerge cette nouveauté. L’hypothèse est qu’elle est en chaque cas tirée de ce qui précède par abstraction réfléchissante, mais que cette extraction est constructive en même temps qu’abstractive par le fait qu’elle réalise ou actualise chaque fois les possibilités ouvertes par la conduite immédiatement antérieure. En effet, passer de l’utilisation successive des opérateurs V et H à leur coordination VH (à la fois) consiste simplement à utiliser la relation de succession en toute son extension : V précède H, ou H précède V ou V et H sont simultanés, cette simultanéité constituant le cas limite où « précède » et « succède » à prennent une valeur nulle ou encore, si l’on préfère ce langage, où la relation de succession est annulée, d’où les réactions du niveau HA dans lesquelles V et H sont utilisés conjointement. Lorsque c’est le cas, deux possibilités sont alors ouvertes. La plus simple, et les sujets de ce sous-stade HA en restent là, consiste à utiliser V et H avec une égale intensité. Mais introduire l’égalité consiste à son tour à ouvrir de nouvelles possibilités, car la relation V = H n’est qu’un cas particulier de V > H ou H V, ou encore, si l’on préfère, peut être annulée : d’où les réactions du niveau IIB, où le sujet introduit des différences entre V et H, en ce qui

concerne leur valeur ou intensité (en J- et en — ). Mais cela étant acquis, une autre possibilité est à nouveau ouverte. En effet, introduire V H, c’est en réalité leur attribuer des vitesses différentes, mais en tant que vitesses constantes : or, l’invariance est un cas particulier de la variation, lorsque celle-ci devient nulle, ou si l’on préfère, lorsqu’elle est niée ; d’où les réactions du stade III où les vitesses différentes de F et de H sont considérées comme variables pour réaliser les courbures.

En un mot, les nouveautés dont nous constatons la formation entre les stades I et III consistent toutes en une extension de la relation précédemment utilisée, ou en sa négation (opération inverse, qui ne constitue également qu’une extension). En une telle situation le processus de l’abstraction réfléchissante perd l’essentiel de son mystère apparent : d’une part, la relation en jeu en chaque cas est tirée des coordinations antérieures, et cela est compréhensible ; mais, d’autre part, la possibilité de la négation ou inversion est elle aussi acquise et cela dès le stade I (sous la forme préopératoire d’une renversa- bilité de V vers le haut ou le bas et de H vers la droite ou la gauche). La nouveauté due à l’abstraction réfléchissante n’est donc ici qu’une nouveauté de combinaison ou de coordination, les éléments ou opérateurs combinés étant tous tirés de ce qui précède.

Mais la grande différence entre ces résultats et ceux du chapitre XII est qu’ici les combinaisons nouvelles se construisent à l’occasion d’un nouveau problème extérieur, donc de la nécessité d’une extension des pouvoirs, tandis que, dans le cas des rectangles du chapitre XII, elles sont provoquées par les nécessités des « réfléchissements » successifs (de l’action à la représentation, de là aux récits puis aux comparaisons rétroactives puis à la pensée réflexive). Mais en cette situation, les réfléchissements entraînent eux aussi une extension du champ et un accroissement des pouvoirs (jusqu’à la découverte des « raisons » de ce qui n’était que constaté jusque-là).

Dans les deux sortes de conduites, le propre de l’abstraction réfléchissante est donc de tirer des coordinations précédentes les possibilités nouvelles ouvertes par elles et de les actualiser. Or, réaliser les possibilités ne consiste pas à être prédéterminé par des structures préformées, et cela pour deux raisons. La première est que l’ensemble de toutes les possibilités est une

notion antinomique et même contradictoire. La seconde est qu’en une succession de stades I, II, III, etc., les performances de I ne « contiennent » pas les possibilités réalisées en III ; elles se bornent à y conduire mais moyennant une condition nécessaire : c’est que les possibilités ouvertes par I soient d’abord actualisées en II, car c’est le stade II et non pas I qui ouvre les possibilités utilisées en III. En un mot il serait profondément erroné de se représenter le monde des conduites réelles ou réalisées comme étant le seul en mouvement tandis que l’univers des possibles serait achevé, statique, et contenant d’avance toutes les actualisations réalisables : les possibilités se construisent elles aussi, et chaque réalisation en « ouvre » de nouvelles, qui s’ajoutent aux précédentes mais ne peuvent s’en déduire qu’après coup, la nécessité demeurant l’apanage des réalisations.