Chapitre XIII.
Les mouvements d’un projectile suspendu avec M. A. et I. Fluckiger ^a 🔗

Le niveau IA est caractérisé par des réactions inadéquates assez surprenantes qui soulèvent d’emblée les questions mentionnées plus haut :

Jac (4 ;8) ne prévoit pas où ira la balle une fois lâchée, puis après constatation ne peut pas décider si la balle se rendra en face, en passant par le centre, ou sur un point latéral (environ 45°). On met une quille de côté (angle analogue mais autre direction) : Jac ne sait pas si elle sera touchée : « Et si tu dois deviner ? — (Elle regarde le plafond puis lâche la balle qui n’atteint pas le but.) — On va y arriver ? — (Recommence mais avec élan.) — Où faut-il mettre la quille ? » Elle la déplace successivement avec échec chaque fois, puis, pour arriver, elle se déplace elle-même de l’autre côté du point qui conviendrait, puis revient à sa place initiale (erreur inverse ou en miroir) mais après quelques va-et-vient, au cours desquels elle varie l’impulsion, elle s’arrête à mi-chemin et réussit : « Ça marche » et elle en reste deux fois de suite assez en face. On substitue alors une petite quille à la grande et la balle passe par-dessus sans la toucher : pour réussir Jac aligne alors quatre quilles sur la tangente en ce point ; elle les resserre après l’échec puis les espace très largement, toujours sur la tangente et sans s’occuper du cercle dont les tiges extrêmes deviennent très éloignées : elle augmente alors l’impulsion, mais sans comprendre. On lui demande enfin si la quille a plus de chance d’être touchée si on la rapproche du centre ou si on l’éloigne encore : « Là (plus loin). »

Ger (4 ;8) prévoit que la balle lâchée ira en face en passant à peu près par le centre mais lorsqu’on lui fait tourner le dos à celui-ci il croit que la balle partira devant lui « tout droit comme ça (essai). Non elle va là (dans son dos). — La balle va haut ou bas ? — Haut. —   Montre avec celle-ci. — (Il promène la balle libre en ligne droite mais à la même hauteur.) — Il n’y a pas des endroits où elle est bas (nouvel essai) ? — Non (il a pourtant regardé à deux reprises). — Regarde bien. — Oui, là (près de lui ! A hauteur du sol) ». On met un ballon à 60° de la position de face : « Tu peux le toucher ? — Oui (essai), non elle va là. —   Et si tu veux attraper le ballon ? — (Il s’en rapproche par étapes au lieu de se mettre en face et finit par se mettre derrière lui.) — Maintenant c’est moi qui lâche la balle : où te mettras-tu pour l’attraper ? (Il se met en face.) — Moi je vais là. Où te mettras-tu pour me la lancer ? (Il reste à la même place mais en se tournant face à l’expérimentateur et échoue.) »

Tom (4 ;11) déplace toujours le but à l’endroit que la balle avait atteint le coup d’avant.

Isa (5 ;6). Quilles : « J’en ai chez moi, mais ici j’arrive pas. — Où va la balle ? — Toujours à gauche. —   Et si tu te déplaces ? — Si je me mets ici (1, à gauche du point en face) la balle va là (même côté) et si je me mets ici (2, à droite) la balle va là. » Isa suppose donc deux trajets parallèles, formant deux cordes assez courtes. — « Essaie. — (Elle lâche du second point puis se met en face.) — Et si tu te mets là (point 2) ? — Elle va là (comme prévu précédemment) : si je la fais aller tout droit elle peut (aussi) aller là ! »

Examinons encore les cas du niveau IB, analogues aux précédents mais avec ce progrès qu’ils découvrent une partie du rôle du crochet sur les directions :

Bey (5 ;3) quille à 30° du point face à l’enfant : « La balle va faire tomber ça. — Sûre ? — Oui (essai). Pas tombé, elle a passé à gauche. —   Comment faire ? — (Elle se déplace dans le bon sens et réussit.) Je me suis mise au milieu. —   De quoi ? — De la salle. — (On met la quille à 40°.) — Me mettre ici (sens inverse, donc en se rapprochant de la quille). — (Echec.) Qu’est-ce qu’il faudrait faire ? — Déplacer le crochet, le mettre dans l’alignement (entre la quille et elle). — (On enlève la quille.) Si tu te déplaces là, la balle irait où ? — Là (montre une courte corde, donc un trajet de son côté sans passer par le centre). — Essaie. — Elle va là (croit voir le trajet prévu). — Et si tu vas là (autre côté) ? — Elle va là (de nouveau une corde courte : cf. Isa en IA). — Mais pour viser la quille il faut se mettre où (on remet la quille) ? — Au milieu. —   Alors ? » (Elle se met en face sans lâcher la balle puis revient de côté, lâche et échoue et recommence enfin en face.) On fait alors varier la position de la quille entre elle et le centre, pour poser la question de la hauteur. Elle débute par une intuition juste après avoir constaté les variations : près du centre la balle « touchera plus bas. —   Et ici (près du lanceur) ? — Ça ne va pas. —   Regarde. — Plus haut. — Pourquoi ? — Parce qu’elle est plus près de vous. — Où mettre la quille pour que ça passe le plus bas possible ? — (Très éloigné du centre : n’a donc pas compris.) — Mais pour la toucher tout en bas ? — (L’éloigne encore.) — Et si je la mets très loin (du centre) ? — Elle touche tout en bas. —   Regarde bien. — Plus bas, plus haut, etc. (bonne lecture). — Alors comment pourrais-tu dire ? — Des fois ça touche en bas et des fois en haut. — Mais quand ? — Celle-là est touchée plus bas et celle qui est plus loin en haut. —   Toujours ? — Non, des fois ça touche pas (= de cette manière) ».

Cor (5 ;6) : « Si on lâche la balle, elle ira où ? — (Correct.) — Et pour viser ce piquet (un fanion à 20° du point en face) ? — (Elle se déplace dans la direction du piquet : échec.) — Que faire ? — Le mettre ici (en face de sa position initiale, mais lui-même reste à sa position latérale). » Dans la suite, face à un piquet il oscille entre cette position latérale et une autre, en miroir par rapport à la première, c’est-à-dire de l’autre côté comme si la symétrie était cherchée en fonction de l’objet seul, et non pas en fonction du centre (donc en face). Finalement il réussit en face et même pour deux quilles successives. Par contre lorsqu’on introduit une seconde balle il ne généralise pas ce qu’il vient de découvrir du passage par le centre : les balles sont censées se rencontrer en partant chacune de l’extrémité d’une courte corde (dont

l’arc équivaut à 90° environ). On les lâche et il est très surpris de leurs trajets : « Elles se croisent. » Il n’en revient pas moins à la solution de la corde. Pour ce qui est de la hauteur de la balle, il dit que pour la diminuer jusqu’à une petite quille : « Faire la ficelle plus bas. »

Arn (5 ;6) prévoit une direction relativement correcte pour la balle seule, mais croit pouvoir atteindre ensuite une quille déviée de 30° : « (Essai.) Non, elle est allée là-bas, elle ira toujours là-bas. —   Pourquoi ? — Parce que le fil est comme ça (montre la ficelle et le crochet). — Et si tu te recules (en retrait du même point en face) ? — Ah peut-être. — Et si tu es là (150° de la quille) ? — Ça ne marche pas. Il faudrait mettre le crochet ici (entre lui et la quille). » Il n’en essaie pas moins à plusieurs reprises d’atteindre la quille à partir de positions latérales, la loi du passage par le centre ne lui paraissant pas encore nécessaire : « J’arriverai jamais. — Pourquoi ? — Parce que le fil est là, le crochet est là. » Il reste le problème de la hauteur, la balle passant par-dessus la quille : « La balle est trop haut. Si le fil était plus long, on pourrait toucher la quille. » On met celle-ci sur une boîte : réussite ; puis on enlève la boîte. Il varie alors les positions, à nouveau latéralement ou en éloignement par rapport au centre, puis réussit une fois quand la quille est proche de celui-ci, mais Arn n’en tire pas la courbe des variations en hauteur.

Rie (6 ;6). Mêmes réactions, mais avec essai de figurer la courbe en hauteur : d’abord un trajet horizontal élevé, qui s’abaisse vers la quille bien au- delà du centre, puis le même trajet mais avec abaissement moins tardif, puis une courbe semi-correcte (abaissement progressif jusque près du centre, mais encore au-delà) ; mais pour une quille en face (180° du sujet) retour à l’horizontale traversant tout le cercle avec abaissement brusque près de la quille à l’autre extrémité.

Ren (9 ;6) malgré son âge figure encore le trajet de la balle soit comme une horizontale lorsqu’elle passe au-dessus d’une quille, soit comme deux horizontales décalées par deux angles droits (— i_) lorsque la balle frappe la quille à la tête ou à mi-hauteur.

Ces faits sont tous remarquables par les difficultés d’abstraction et de généralisation dont ils témoignent : il n’y a, en effet, au niveau IA, que peu de parenté entre les réponses à trois questions qui, pour nous, n’en font qu’une : le trajet de la balle à elle seule et celui qui relie l’enfant à un autre personnage ou à une quille. Pour ce qui est de la balle seule, Jac ne prévoit pas encore son trajet mais Ger et les autres anticipent un départ en face, passant donc à peu près par le centre (encore que Ger généralise faussement ce départ en face de lui lorsqu’il tourne le dos au centre !). Mais cette relation « en face » ne signifie pas seulement face au centre et demeure également relative au corps propre, de telle sorte que pour lancer la balle à l’expérimentateur placé latéralement, l’enfant croit qu’il suffit de

pivoter sur lui-même et de regarder en face de lui dans la direction du partenaire (voir Ger, parmi d’autres cas). Quant aux quilles, etc., le sujet réagit comme si la balle était libre (sans ficelle) et comme s’il suffisait donc de bien viser le but, ce qui est une autre manière de se mettre « en face ». Ces tactiques conduisant à des échecs, il y a alors correction et celles-ci sont tout aussi significatives : elles consistent d’abord naturellement à renforcer l’élan comme si la direction ne jouait pas de rôle et que le succès ne dépende que de l’impulsion, mais elles consistent surtout à se rapprocher du but, ce qui en général revient à se déplacer dans le mauvais sens, mais ce qui est normal si on oublie la ficelle et son centre de fixation.

Mais, chose intéressante, les généralisations propres au stade I ne sont pas seulement relatives à l’action du sujet (se mettre en face dans tous les sens indiqués ou se rapprocher du but) et elles sont déjà en deux cas relatives à l’objet ou (dans le premier) à la réussite de l’action sur l’objet. Cette première variété consiste soit, quand la quille est déplacée, à se remettre soi-même dans la position d’où elle a été atteinte avant son déplacement, soit, quand le sujet se déplace, à remettre la quille à l’endroit où elle a été touchée le coup d’avant (Tom). Le second cas est plus curieux : lorsqu’il y a échec à partir d’une position latérale le sujet se place « en miroir » relativement à celle-ci, c’est-à-dire symétriquement par rapport à l’objet seul et non pas par rapport au centre. Isa (comme Bey au niveau IB) pousse même ce genre de symétrie jusqu’à admettre, à partir des points d’origine en miroir, deux trajets parallèles suivant chacun une courte corde (de 80-90° environ).

Enfin, pour ce qui est de la hauteur ces sujets se représentent la trajectoire comme horizontale et élevée, s’abaissant brusquement vers l’objectif au terme de ce trajet, c’est-à-dire non pas au centre mais au point le plus éloigné du départ.

Au niveau IB on retrouve toutes ces réactions primitives, mais avec ce progrès notable de la découverte du crochet et de la fixation de la ficelle en ce centre : d’où des améliorations dans les prévisions, comme chez Arn qui n’en revient pas moins à des positions latérales, entre autres, lorsqu’il cherche à résoudre la question des hauteurs. Quant à celles-ci, aucun sujet du niveau I ne parvient comme ce sera le cas en IIA à se représenter une courbe descendante puis ascendante de la

balle : Rie arrive un instant à une courbe descendante (première moitié de la courbe correcte) et Arn découvre momentanément l’abaissement vers le centre, mais tous en restent dans l’ensemble à une trajectoire analogue à celle du niveau IA.

Comment donc interpréter ces lacunes surprenantes de l’abstraction et de la généralisation ? Durant tout le stade I, en effet, les lectures en cas d’échec sont remarquablement peu différenciées : le sujet prend simplement acte du fait que c’est raté, sans en chercher les raisons et les ajustements ultérieurs n’en peuvent donc tenir aucun compte. Même lorsqu’on fait suivre la balle à la main avec la ficelle tendue, ce qui devrait être instructif, cela n’apprend rien au sujet.

En fait presque toutes les erreurs des sujets tenant à cette négligence de la ficelle et de son point d’attache (même au niveau IB où leur découverte ne modifie pas grand-chose), on peut les attribuer à la prégnance de coordinations initiales consistant, pour atteindre un but, à se placer en face de lui et le plus près possible : ce serait alors une abstraction réfléchissante à partir de ces coordinations élémentaires d’actions qui fausserait les abstractions empiriques ! On retrouve ainsi les trois problèmes soulevés en notre introduction : celui des indifférenciations ou différenciations entre les deux formes d’abstractions, celui de leur interaction possible ou des actions à sens unique (l’une étant à coup sûr structurante et l’autre pouvant l’être à son tour ou ne rester que structurée) et celui des erreurs possibles de l’abstraction réfléchissante.

Or les réactions de ce stade I permettent une réponse provisoire à chacune de ces questions. En premier lieu si le schème de l’orientation vers un but en se plaçant en face de lui et le moins loin possible suppose certes des coordinations d’actions, et notamment spatiales, il est non moins clair que les réussites de ce schème relèvent de constatations empiriques et non pas uniquement d’inférences : il s’agit donc d’un schème en bonne partie indifférencié, tandis qu’au niveau IIIB, quand le sujet déduira l’existence d’une cuvette hémisphérique des quelques constatations faites sur les trajectoires isolées (celles-ci étant elles-mêmes déjà déduites des liaisons balle-ficelle-crochet au centre), la différenciation entre coordinations et observations, donc entre les deux sortes d’abstractions, sera bien plus poussée.

En second lieu, même en un schème peu différencié et

a fortiori dans ceux qui le sont davantage, la collaboration entre les deux formes d’abstraction n’est pas réciproque. Tirée des coordinations de l’action et source de nouvelles coordinations, l’abstraction réfléchissante est essentiellement structurante, tandis que l’abstraction empirique (ou physique au sens expérimental) fournit des données, soulève les questions et vérifie les solutions par réussites ou échecs : elle collabore donc en un sens avec l’autre forme, mais au sens où un contrôle extérieur collabore avec l’invention sans en produire les constructions, tandis qu’à la limite (niveaux formels) la construction comportera son autocontrôlé déductif. Les apports entre les deux sortes d’abstraction ne sont donc pas de même nature et en ce sens demeurent non réciproques.

Enfin, il est clair que dans le cas particulier, il n’y a pas erreur de l’abstraction réfléchissante : le schème de viser le but en face et le plus près possible est valable en son domaine et s’il est appliqué à tort aux balles suspendues à des ficelles, c’est là une erreur d’application et non pas un défaut de structure. Lorsqu’on physique (et en psychophysique !) on invoque une loi logarithmique en des situations où une analyse plus poussée suggère une exponentielle, cela n’ébranle en rien la solidité de ces schèmes métriques, leur application juste ou fausse ne relevant que de l’examen des faits, donc de l’abstraction empirique.

Ce stade qui s’étend de 7 à 10 ans est marqué par deux sortes de progrès dont il s’agira de trouver les relations. D’une part, on constate un ensemble de lectures des faits plus nuancées que précédemment, le sujet tenant compte du degré des erreurs et utilisant les informations pour améliorer les essais subséquents : il y a donc là un progrès notable dans les abstractions empiriques. Mais d’autre part, en conséquence de ces meilleures observations ou au contraire à titre de fils conducteurs les rendant possibles, on relève la formation de coordinations nouvelles groupées autour de l’idée centrale de balancement. Or, le balancement est connu dès les stades sensori-moteurs antérieurs au langage (réactions aux objets suspendus), mais comme on l’a vu il n’est encore nullement invoqué au stade I (même en IB malgré la découverte du crochet) comme si une balle suspendue avait à jouer son rôle

de balle indépendamment de cette fixation conçue comme gênante. Il y a donc bien un problème quant à l’apparition, à ce stade II, de nouvelles interprétations comportant assurément une part d’abstraction réfléchissante dans l’organisation spatiale du modèle adopté.

Il convient d’abord de signaler l’existence de cas intermédiaires entre les niveaux IB et HA, où les constatations empiriques l’emportent largement sur les coordinations inférentielles :

Lan (6 ;0) ne fait encore aucune allusion au balancement, mais témoigne d’emblée de progrès dans les constatations, ce qui l’amène rapidement à ajuster la quille face à lui : « Elle est trop de ce côté (il la déplace en face : réussite). Ça a marché ! » Ou encore c’est lui qui se déplace face aux nouvelles positions de la quille sans rester accroché aux positions qu’il a occupées lui-même antérieurement avec succès. Il atteint donc, ce qui dépasse le stade I, la loi du passage ordinaire de la balle par le centre (entrevue par Arn mais sans généralisation). Quant au problème des hauteurs, il arrive en fonction des faits observés, à constater que près du centre la balle touche « en bas » et plus à l’extérieur « en haut » mais sans pouvoir dire pourquoi.

Hen (6 ;10) annonce par contre dès le début : « Elle va se balancer. —   Jusqu’où ? — Par terre. — Où ? — Là (près du centre). — Comment tu sais ? — Le fil ! » Néanmoins, cette rotation du fil ne vaut d’abord que pour la moitié du trajet et il lui faut un essai de trajet à la main pour comprendre que la balle « elle remonte » de l’autre côté. Il reconnaît comme Lan le passage ordinaire par le centre (ce qui ne veut pas encore dire nécessaire), d’où les déplacements réussis, soit de la quille, soit du sujet. Mais pour les hauteurs, lorsque la balle passe au-dessus du but « il faut rabaisser la corde, on peut la rabaisser (il se déplace « plus près » de la quille). Ça ne va pas il faut rallonger la ficelle. — Et si on ne peut pas ? — (Mettre le but) plus près de l’arrivée de la balle (il le fait). Ça marche moins bien. Il faut la mettre un peu plus loin (= près du centre : réussite) ». On voit que tout en invoquant un « balancement » Hen réagit en pratique comme Lan.

Xan (9 ;8) malgré son âge, prévoit encore au début une trajectoire horizontale et n’arrive qu’à la fin à dire : « Elle (la balle) baisse ici (jusqu’au centre) et monte par là. »

Les cas francs du niveau HA marquent alors trois nouveautés : 1) la prévision d’un balancement complet et non plus partiel (comme Hen) ; 2) la prévision, mais sans déduction nécessaire à partir du balancement, du fait que le choc de la balle sera plus bas quand la quille se rapprochera du centre et plus haut quand elle sera « plus loin » ; 3) la désignation du « milieu » comme étant le plus bas (mais sans qu’il constitue

encore un point de passage nécessaire pour toutes les balles ni donc leur point nécessaire de croisement). Cette question 3) n’a pas été posée à tous les sujets.

Car (7 ;5) est encore voisine des cas intermédiaires précédents, mais ayant parcouru une partie du cercle avec le fil tendu, la balle à la main et donc à la même hauteur et en conclut que les quilles disposées sur cet arc seront toutes un peu trop basses pour être atteintes en leur sommet : « On peut pas les toucher… » Elle propose alors un allongement du fil, puis découvre, sur 4 quilles disposées à distances différentes du centre, que la plus éloignée sera touchée « plus haut » et la plus centrale « plus bas ». Elle en vient ensuite, pour placer des petites quilles, à les situer correctement entre le centre et la ligne des grandes. « Ça les touchera en haut ? — Oui (essai sur une mais trouve qu’elle est frappée trop bas). Non (elle les met alors de l’autre côté des grandes, mais voit elle-même l’erreur). — Tu veux essayer ? — J’crois pas que ça va frôler les petites parce qu’il y a les grandes devant. » Pour deux balles : croisement mais « plus loin » (que le centre : au bout du trajet de la sienne).

Bue (7 ;3) indique correctement avec une balle libre le trajet en balancement de la balle attachée : « Il y a des endroits où c’est passé près de par terre ? — Oui, là (près du centre). » Les positions choisies sont bien en face des quilles lorsqu’on les déplace. On en donne 4 : « Mets-les pour qu’elles soient juste touchées à la tête. » (Elle les dispose d’abord en ligne serrée puis en carré mais mal centré et prévoit correctement celle qui sera touchée « plus bas », une autre « un peu plus bas » et une 3^e « comme celle-là ».) Mais pour obtenir l’égalité elle n’en recourt pas moins ensuite à un alignement rectiligne avec de larges espaces. Par contre, pour de petites quilles elle les place adéquatement devant les grandes « parce que ça remonte ».

Ste (8 ;5) regarde le crochet quand il se met en face des quilles à atteindre. Pour en toucher plusieurs à la même hauteur il les dispose en triangle par rapport au centre mais avec distances peu égales, puis il a l’idée d’un arc de cercle, mais le met en position inversée : « Ça ferait quoi ? — La moitié d’un rond. » A l’essai il voit l’erreur, il lui substitue une droite et finalement « un rond », mais centré de façon un peu trop approximative pour parler de lieu géométrique.

Dub (8 ;0) : la balle est « attachée à la ficelle » et « elle va partir de l’autre côté. — Et là (centre) ? — Elle sera presque par terre. — Et là-bas (autre bout) ? (Montre environ 1,50 m.) — Alors comment elle reviendra ? — En se balançant ». Pour résoudre le problème des hauteurs, elle commence par des déplacements latéraux puis, se remettant en face de la quille elle l’atteint : « Et pour la toucher plus bas ? — Il faut la rapprocher (du centre). — Et encore plus ? — La rapprocher plus. — Etc. Et (comme ça) ça va la taper où ? — Plus bas. — Pourquoi ? — Parce que ce n’est pas toujours au même endroit. » Les questions successives montrent que pour les grands déplacements elle est sûre de ses prévisions, mais pas pour les petits. « Et où s’arrêtera la balle ? — Là (milieu). » Croisement de deux balles : aussi « au milieu ».

Cal (8 ;8) montre à la main le balancement, puis vise en face en se référant au crochet. Pour plusieurs quilles, prévoit que celle qui sera touchée le plus bas est la plus proche du centre mais n’en place pas moins 4 quilles sur la tangente au point d’en face de lui. Par contre pour atteindre le point où la balle passe le plus bas, il propose une mesure : « On prend la distance de là (point de départ) à la quille (en face) et on cherche où peut être le milieu. » Mais pour un croisement de deux balles il prévoit un point qui, quoique peu éloigné, reste différent.

Fev (8 ;6) annonce les niveaux supérieurs par ses essais de représentations mais en son cas avec un minimum de contrôle empirique ! Pour atteindre les hauteurs voulues il voudrait d’abord qu’on allonge la ficelle, puis il propose 4 quilles sur la tangente au point face à lui : « Ça ne marche pas. Je crois que je sais : elle est trop loin. » Il les place alors sur la circonférence. « Si on avait beaucoup de quilles ? » Il montre un arc de cercle puis dessine un cercle un peu décentré et enfin il mime tout le trajet de la balle en faisant un long balancement avec le bras : lorsqu’il juge la hauteur convenable il pose la quille et recommence d’un autre côté en regardant d’abord comment il viserait s’il lançait en réalité la balle. « Quel chemin ça fait par terre ? — Comme ça (arc de cercle). — Et si tu dois mettre les petites quilles ? » Il prend un bâton comme mesurant et le place entre chaque grande quille correspondante et à l’intérieur : il aboutit d’abord à un alignement rectiligne des petites quilles, puis les met aussi en arc de cercle. « Est-ce que c’est juste ? — Je crois que ça va aller », mais, au lieu de faire l’expérience, il recommence à imiter le mouvement de la balle en tenant la main trop basse. Il se résout alors seulement à essayer avec la balle : « Ça n’a pas touché la tête. —   La balle ça peut nous aider ? » Sur cette suggestion, il se sert enfin de la balle au bout du fil tendu comme mesurant, ce qui ne l’empêche pas de mettre ensuite une quille si loin qu’elle devient inaccessible et d’essayer néanmoins de l’atteindre en lâchant la balle.

Les réactions du niveau IIB de 9-10 ans débutent avec les mêmes tâtonnements et erreurs qu’en IIA, ce qui montre la continuité du stade. Mais à ce sous-stade supérieur deux progrès corrélatifs prolongent ceux que nous avons signalés en abordant ce paragraphe et qui débutent avec le niveau IIA. Du point de vue de la lecture des faits les résultats vérifiés sont mieux retenus et généralisés et surtout le sujet en vient souvent spontanément à utiliser la balle tenue à la main au bout du fil tendu pour résoudre les questions de hauteur. Quand on le lui suggère, il retient cette méthode à titre de contrôle probant, tandis qu’au niveau IIA il n’en tirait aucune conséquence nécessaire (cf. Fev). Du point de vue des coordinations infé- rentielles, la trajectoire en « balancement » prend un sens plus précis, avec une représentation se rapprochant d’un arc symétrique de courbe mais pas encore d’un arc de cercle, d’où non

seulement l’importance qu’on vient de voir attribuée au contrôle par la balle au bout du fil, mais encore le rôle essentiel attribué au « milieu » qui n’est plus seulement le point le plus bas, mais encore le lieu de passage nécessaire (et non plus simplement ordinaire) des trajets et le point de croisement de deux balles lâchées simultanément (mais à une distance suffisante, car trop proches le sujet continue de les croire parallèles) :

Oli (9 ;6) : la balle ira « tout droit, mais elle aurait descendu et remonté » (montre avec la main). Visées de face. Pour les hauteurs il commence par aligner les quilles sur la tangente, mais vérifie aussitôt sans suggestion avec la balle à la main au bout du fil tendu : il corrige alors sa disposition et les met « penchées en tournant », c’est-à-dire en arc de cercle. A la question de savoir si en ordre rectiligne cela marcherait il répond qu’il ne sait pas faute d’avoir essayé. « Pourrais-tu les mettre à d’autres places ? — (Nouvel alignement sur une seule tangente, mais avec même vérification immédiate et spontanée.) — Et si tu en mettais beaucoup ? — Cela ferait un rond (sur le plan horizontal et il tient à le démontrer avec nouveaux reports balle à la main). — Si on mettait tous les chemins ensemble, ça ferait quoi ? — Comme des tournants (pas encore d’idée de cuvette). »

Rey (10 ;0) prévoit le balancement : « Elle descend jusqu’ici puis elle remonte à peu près comme elle est descendue. —   Où est-elle le plus près du sol ? — Ici (juste). — Ça fait quel dessin ? — Une courbe. » Positions correctes et pour ne toucher que la tête, elle recule les quilles en tenant à la main la balle au bout du fil, mais elle ne s’en sert que pour déterminer avec précision la direction sans avoir l’idée d’en faire un mesurant pour la hauteur : les quilles sont donc d’abord alignées sur une tangente, peu à peu (après essais) modifiées en « une courbe ». On lui suggère alors de se servir de la balle et du fil pour évaluer également les hauteurs, d’où un succès rapide. Après une interruption on demande de placer des petites quilles : elles les met d’emblée à l’intérieur du cercle des grandes et mesure avec la balle et le fil : cela fera « un rond aussi avec une qui serait au milieu. — Au milieu de quel rond ? — Du grand. — Et puis pour le petit ? — Aussi le même milieu. —   Sûre ? — S’il n’y avait pas les petites il y aurait un (seul) milieu. Mais les petites sont mises devant les grandes, alors c’est (aussi) le milieu des petites » : donc la notion de deux cercles concentriques, mais elle en fait de formes un peu irrégulières.

Avant de chercher à interpréter ces faits, comparons-les encore à ceux du stade III.

Les deux progrès marqués par ce dernier niveau sont de deux sortes. Il y a, d’une part, l’inférence que le balancement lui-même décrit nécessairement un arc de cercle et non plus une courbe quelconque : au niveau IIB, les cercles ne sont invoqués que sur le

plan horizontal pour représenter la distribution des quilles de même taille à la même hauteur, tandis que l’arc de cercle représentant le balancement s’inscrit sur des plans verticaux. En second lieu et par conséquent l’ensemble de ces arcs de cercle en verticale constitue alors une cuvette hémisphérique et non plus simplement un réseau de « tournants » comme le disait Oli :

Sab (12 ;1) demeure intermédiaire entre les niveaux IIB et III : elle ne traduit pas encore explicitement le balancement en arc de cercle et, pour les quilles à toucher à la même hauteur, elle se contente d’abord d’arcs concentriques situés en horizontal d’un même côté du point milieu, puis dessine trois cercles mais non concentriques et n’arrive qu’enfin à les emboîter et même en profondeur, ce qui suggère un modèle de cuvette. Par contre pour le lâcher de deux balles en positions quelconques elle prévoit une rencontre « au milieu, les balles se touchent au milieu » mais à la condition de compter 1, 2, 3 pour les lâcher simultanément, tandis que si on les lâche en face l’une de l’autre « il ne faut pas compter » parce qu’elles se croiseront nécessairement.

Odi (11 ;5) dit clairement du balancement que « la direction est droite mais la balle elle-même fait un arc de cercle » et « elle passe toujours par le milieu ». « Et si on dessinait toutes ces droites qui font un arc de cercle, ça ferait quoi pour finir ? — Une cuvette (gestes). » La seule lacune de sa représentation est que la cuvette correspond aux lâchers, tandis qu’en lançant la balle (en ellipses) « elle ne toucherait pas toujours » le fond de la cuvette.

Bon (11 ;7) décrit le balancement, vu latéralement, comme « un arc de cercle » mais vu de dessus « ça va tout droit » et pour viser « si on sait où est le milieu on sait où aller plus à droite ou plus à gauche ». Quant à la détermination de la hauteur à laquelle une quille est touchée ou non, Bon invoque d’emblée la longueur du rayon (et en termes non scolaires !) : « Il faut mesurer la distance de la ficelle de la balle au crochet. — Et si on voulait décrire les chemins que fait la balle, qu’est-ce qu’ils feraient ? — Une étoile. — Plate ? — Non, creuse en bas (geste de cuvette). — Et si on avait des tas de branches d’étoiles ? — Ça ferait une assiette si elles se touchent. — Plate ? — Non, creuse. » Bon admet même qu’en lançant la balle en ellipses cet « ovale » touche toujours l’assiette comme les arcs : « Oui, on est au fond de l’assiette. »

La netteté de ces représentations géométriques comme aussi leur caractère tardif nous ramène au problème des débuts du § 2 : sont-elles le produit d’une série cumulative d’abstractions empiriques à partir des observables ou relèvent-elles d’abstractions réfléchissantes tirées des coordinations du sujet et fournissant aux abstractions empiriques les cadres assimilateurs dont elles ont besoin pour leurs lectures ? La longue histoire du balancement, tirant ses origines des réactions sensori-

motrices aux objets suspendus ou même de certains mouvements corporels (des bras, etc.), en passant ensuite par les balançoires et les balances pour n’aboutir ici qu’à 11-12 ans à la notion claire d’un arc de cercle avec centre fixe et rayon de longueur constante, montre assez le caractère effectif du problème. En effet, s’il ne s’agissait que de constatations empiriques, il serait aisé pour le sujet de voir beaucoup plus tôt que la ficelle tenant la balle est attachée à un crochet immobile, que cette ficelle ne change pas de longueur et que la balle ne suit pas une trajectoire horizontale puisqu’elle peut rejoindre les quilles : en reliant simplement les uns aux autres le centre fixe, la ficelle de longueur invariante et cette courbure, il obtiendrait ainsi un arc de cercle de rayon constant, sans avoir à en faire la théorie ni même à le décrire en termes verbaux choisis. Or il découvre le crochet fixe et la longueur de la ficelle dès le niveau IB, mais la courbure n’est aperçue qu’au stade II sous forme d’abord peu régulière d’un balancement quelconque puis sous celle d’un arc symétrique (en IIB), et enfin seulement au stade III d’un arc de cercle proprement dit d’où la solution tardive des problèmes de hauteur et la représentation en cuvette. La raison de ces retards est donc, à l’évidence, que le centre fixe, la longueur et la ficelle et la courbure n’ont pas été mis en relation, autrement dit que les déplacements de la ficelle n’ont pas été conçus comme la rotation d’un rayon à partir de ce centre, imposant à la balle un trajet consistant sur le plan vertical en une portion de circonférence. En un mot, pour lire les observables par abstraction empirique il fallait un modèle, ici géométrique ; or, comme à l’accoutumée, la construction d’un tel modèle suppose l’intervention d’un certain nombre d’abstractions réfléchissantes, bien ou mal différenciées des abstractions empiriques et jouant à leur égard un rôle structurant, qu’il s’accompagne ou non de réciprocité : c’est leur construction laborieuse qu’il s’agit maintenant de retracer, en précisant leurs relations avec les abstractions physiques.

1) De ce dernier point de vue, rappelons d’abord la dualité mais aussi l’étroite connexion existant entre la géométrie de l’objet et celle du sujet. La seconde est de nature opérative en général (actions et leurs coordinations aboutissant à déplacer ou modifier les objets) puis spécifiquement opératoire (transfor-

mations quantifiables avec leurs invariants). La première au contraire est essentiellement figurative et qualitative : perception et représentation des formes, des états initiaux et finals des transformations, ou même de celles-ci mais à titre de changements qualitatifs non quantifiés tant qu’il n’y a pas intervention d’un sujet. Celui-ci peut naturellement par contre appliquer sa propre géométrie opératoire à l’espace des objets, par une adéquation de plus en plus précise de la métrique aux observables figuratifs, d’où la géométrie physique dont la pensée scientifique a montré l’importance croissante. En notre petit problème de la balle suspendue, c’est la nécessité d’une telle métrisation du balancement qui exige une succession d’abstractions réfléchissantes et explique le caractère tardif des solutions finales.

2) L’idée du balancement n’apparaît qu’au niveau HA puisque au stade I le sujet s’efforce d’utiliser la balle comme si elle était libre de toute attache. Ce balancement, encore global et figuratif ou qualitatif, est néanmoins tiré des actions et coordinations antérieures, en tant que schème de « faire balancer », encore que sitôt venu à l’esprit du sujet ce schème s’accorde naturellement avec les données empiriques fournies par le dispositif. Quant à ce schème lui-même il comporte certes quelques coordinations d’actions, mais indissociables de leurs résultats empiriquement constatés, de telle sorte que dans cette application du schème aux débuts du sous-stade HA, la part de l’abstraction réfléchissante y demeure faible et celle de l’abstraction empirique y est considérable. Aussi bien ce balancement, propre au niveau HA, demeure-t-il dénué de toute quantification : il consiste en abaissement initial de la balle et une remontée après le milieu (ce qui permet de prévoir que les quilles seront touchées plus bas vers le centre), mais selon des arcs variables à la fois en longueur et en courbure : preuve en soit que pour atteindre plusieurs quilles à la même hauteur, tous les sujets de ce niveau placent à un moment donné les quilles en alignement linéaire (sur une tangente, etc.), ou encore en carrés ou triangles non centrés sur le milieu, ce qui suppose évidemment, lors du lâcher de la balle face à la quille visée, des trajets de longueurs et courbures inégales. Preuve en soit aussi que de tenir à la main la balle au bout du fil tendu ne semble pas

probant à ces sujets, qui sont donc encore loin de se représenter la ficelle comme le rayon de longueur constante d’une portion de circonférence. Cependant ils cherchent à se donner un modèle représentatif, comme le montre le cas de Fev qui mime les trajets de la balle et considère ces imitations comme plus instructives que les essais matériels eux-mêmes : mais ce modèle demeure étranger à toute quantification.

3) Le niveau IIB marque un progrès notable dans le sens de l’abstraction réfléchissante : du schème opératif (mais non encore opératoire) d’un balancement quelconque est tiré le modèle d’un balancement à courbure symétrique, comme le montre la formule de Rey (« elle remonte à peu près comme elle est descendue ») mais surtout l’utilisation comme mesurant de la balle au bout du fil tendu et le fait que pour atteindre plusieurs quilles à la même hauteur le sujet renonce vite à les aligner et les place en arcs de cercle ou en ronds, même concentriques. On dira que c’est là le résultat de simples constatations, donc d’abstractions empiriques : mais d’abord il fallait les faire systématiquement, ce qui suppose une méthode (fil tendu), et ensuite il fallait un effort de représentation de la courbure propre au balancement, et, dès qu’il y a construction d’un modèle il tend naturellement, pour des raisons de quantification implicite, à prendre une forme symétrique. Mais ce qui est remarquable à ce niveau IIB est, non seulement ce progrès dans le sens de la quantification (utilisation de la balle au bout du fil tendu en tant que celui-ci comporte une longueur constante et construction des arcs et des cercles sur le plan horizontal), mais aussi la limitation d’une telle quantification : en effet, les sujets de ce niveau n’aperçoivent pas encore que les arcs ou les ronds qu’ils construisent sur le plan horizontal comme lieux géométriques d’une même hauteur de frappe (et Rey y ajoute des cercles concentriques avec précisions explicites sur leur « milieu » commun) impliquent en vertical que la courbure propre au balancement constitue elle-même un arc de cercle avec rayon constant. La raison d’une telle limitation est d’ailleurs claire : ce dont le sujet prend d’abord conscience, c’est le résultat de ses opérations, donc les arcs et cercles sur le plan horizontal, tandis que l’opération elle-même en tant que transformation, donc la rotation d’un rayon constant décrivant

à son extrémité un arc de cercle proprement dit, échappe encore à l’attention du sujet.

4) Avec le stade III, enfin, s’impose cette dernière abstraction réfléchissante : la ficelle tendue devient un rayon invariant, sa rotation engendre un arc de cercle et la somme de ces arcs constitue une cuvette. Résultat tardif, mais on comprend maintenant pourquoi : chaque étape de l’abstraction réfléchissante comporte une nouvelle construction, dans le sens des constances et de la quantification des transformations, car le « réfléchissement » de l’action en opérations conduit à une « réflexion » réorganisatrice exigeant ces quantifications.

5) Pour ce qui est alors des problèmes soulevés dans l’introduction de ce chapitre, il va d’abord de soi que ces abstractions réfléchissantes successives ne sont jamais pures, puisque constamment soumises au contrôle des faits qui relève de l’abstraction empirique, mais que leur développement, d’un niveau au suivant marque une différenciation progressive entre les deux types d’abstractions : entre le simple schème du balancement où l’abstraction empirique prédomine et les notions d’arc de cercle en vertical et de « cuvette » propres au stade III dont le contrôle n’est plus qu’inférentiel et indirect la différence est saisissante. En second lieu, il semble clair qu’à tous les niveaux l’abstraction réfléchissante est structurante, tandis que l’abstraction empirique se borne à fournir des données, c’est-à-dire soit à servir de contrôle soit à soulever des questions, ce qui est certes doublement indispensable mais non pas encore source de solution. Enfin on constate que jusqu’au stade III les abstractions réfléchissantes demeurent incomplètes : elles fournissent d’abord le schème de balancer, mais sans précision sur la courbure, puis un arc de courbe symétrique mais non encore circulaire et enfin l’arc de cercle : or une incomplétude n’est point une erreur et lorsqu’il y a erreur (comme déjà vu en fin du § 1) elle tient à une application abusive sans ébranler le fait qu’en son champ restreint d’application l’abstraction en jeu restait valable.