Chapitre XVI.
Abstractions à partir d’actions de déplacements et de leurs coordinations ^a 🔗

A commencer par l’action la plus générale intervenant en ces conduites, et qui est celle du simple déplacement d’un élément vers l’espace libre le plus proche, il semble qu’il n’y intervienne aucune coordination sinon la subordination de ce mouvement au but général qui sera de parvenir par étapes, non nécessairement prévues dans le détail, à rapprocher les rouges du bord de même couleur. Mais nous savons que jusque vers 8 à 9 ans en moyenne, lorsqu’il s’agit d’estimer en égales ou inégales les longueurs de

Abstractions à partir d’actions de déplacements 267

268 L’abstraction de l’ordre et des relations spatiales

deux baguettes initialement constatées congruentes, puis légèrement décalées, ou de construire deux chemins parallèles égaux mais avec points de départ un peu décalés, les sujets ne tiennent compte que des dépassements à un point d’arrivée, sans s’occuper de l’espace laissé vide au départ par l’élément qui dépasse l’autre au terme du déplacement, d’où l’idée que cette baguette ou ce chemin s’est allongé à l’arrivée, par non- conservation des longueurs. Ces réactions très générales donnent donc à penser que le déplacement opératoire, en tant que transformation des positions, réversible et soumise à des lois strictes de composition, comporte plus de coordinations qu’il ne semble, à commencer par une compensation exacte des additions et soustractions ou éléments positifs et négatifs, donc des espaces occupés et des espaces encore (ou laissés) vides.

Or, il est intéressant de noter, dans la présente épreuve, que si, lors des déplacements de proche en proche, les pleins et les vides sont donnés dès l’inspection perceptive, et sont donc objets d’abstractions empiriques, il n’en va plus de même lorsqu’on demande au sujet d’inventer un jeu analogue tel qu’il puisse être réussi par un autre enfant. En ce cas, la réaction des jeunes sujets consiste à remplir d’abord toute la boîte de pièces sans se douter, avant les essais matériels, du fait qu’aucun élément ne peut ainsi être déplacé :

Mas (6 ;3) place dans la rangée supérieure de sa boîte (bord rouge) un grand carré bleu, un rectangle vertical bleu et un rectangle vertical rouge et dans la rangée inférieure un petit carré rouge, un autre bleu et un rectangle horizontal rouge : « Qu’est-ce que tu lui demanderas de faire ? — Mettre les rouges contre (le bord) rouge et les bleus contre le bleu, — Il pourra le faire ? — Oui, peut-être (= s’il est à la hauteur). — Comment il ferait ? — Il pousserait (montre le voisinage du carré rouge inférieur)… Oh ! il n’y a pas de trou… alors… —   C’est embêtant pas de trous ? — Il faut enlever celui-là (rouge d’en bas) non celui-là (bleu à côté). — Pourquoi il faut un trou ? — Parce qu’on ne peut pas déplacer les cubes. » A noter que même avec ce « trou » finalement ajouté, la solution est impossible.

Rya (6 ;1) remplit de même sa boîte : trois éléments bleus (deux carrés et un rectangle horizontal) contre la ligne rouge puis une rangée médiane, une rangée de rouges (un rectangle horizontal suivi de deux carrés) et contre la ligne bleue une rangée identique de rouges : « Quoi faire ? — (Elle s’apprête à déplacer les bleus.) Ah ! on peut pas, parce qu’il faut enlever ces deux-là (carrés bleus). — Pourquoi ? — Parce qu’on peut pas bouger les choses quand il y a tout. »

Gra (7 ;3), mêmes réactions mais même après avoir laissé un carré vide, la solution reste impossible, parce qu’il faudrait tourner un des trois rectangles contigus.

Ban (8 ;3) malgré son âge remplit encore toute la boîte de trois carrés rouges et trois bleus et d’un rectangle rouge et deux bleus : « Alors tu demandes ? — De mettre plus de rouges ici (bord rouge). — Il pourra le faire ? — Oui (sans hésitation). — En lui donnant la boîte comme elle est là ? — Oui, sûrement, oui, en mettant le rouge ici. —   Comment tu faisais ? — En les déplaçant. — Il pourrait lui ? — Les déplacer ? — Oui. » On rappelle la consigne, non oubliée d’ailleurs, et c’est alors qu’elle constate : « Il n’y a pas de place pour les bouger ! —   C’est important qu’il y ait de la place ? — Oui, autrement on ne pourrait pas les déplacer. » Elle refait un arrangement mais à solution impossible à cause des rectangles. Cependant, Ban réagit normalement aux autres questions de son niveau.

Il va de soi que cet oubli de la place vide nécessaire au déplacement dans la direction qu’il devrait suivre n’a ni la même résistance (il s’agit surtout de sujets de 5-6 ans), ni la même signification que la négligence bien plus durable de la place laissée vide au départ du mobile (donc au point dont celui-ci s’éloigne). Il n’en est pas moins intéressant de commencer par constater que quand les jeunes sujets font un projet de déplacements analogues à ceux qu’ils viennent d’effectuer sur les dispositifs I à III, ils manquent la première condition de la coordination des mouvements, c’est-à-dire la compensation des espaces pleins et vides.

Quant au fait que l’arrangement proposé demeure sans solution, une fois la place vacante rétablie, nous y reviendrons sous § 4. Bornons-nous pour l’instant à constater que cet indice s’ajoute au précédent pour montrer que les déplacements successifs réalisés par le sujet ne sont pas coordonnés entre eux au sens d’une composition anticipée : même lorsqu’il y a réussite (ce qui est général dès 5-6 ans pour le modèle I), il y a utilisation de proche en proche des vides laissés par le déplacement précédent, ce qui rend d’autant plus instructif l’oubli de cette condition nécessaire, lors des projets du sujet. Mais, s’il n’y a pas encore ainsi d’anticipation coordinatrice et si chaque étape de la solution demeure dominée par des abstractions empiriques, il va néanmoins de soi que la subordination des moyens successifs au but, ainsi que la compréhension générale de la nécessité des vides sitôt les essais commencés, témoignent d’un début d’abstraction réfléchissante dont on décrira les progrès sous § 5.

Un des critères des coordinations anticipatrices parmi les premières à se constituer est la capacité, lorsque deux éléments sont situés l’un au-dessus de l’autre, de déplacer l’un à côté de l’autre, ou réciproquement, lorsqu’ils sont sur la même rangée horizontale de les ranger l’un au-dessus de l’autre. Nous parlerons en ce cas de déplacement angulaire (de 90°) puisqu’il s’agit de remplacer un arrangement horizontal par un vertical ou l’inverse. Or le problème a son intérêt puisque les déplacements les plus simples se font en direction unique soit verticale, soit horizontale (en fonction des espaces vides en dessus, en dessous ou de côté), tandis que pour aboutir à un déplacement angulaire il faut une anticipation : deux éléments superposés ou juxtaposés ayant à côté ou au-dessus d’eux deux places vides, il faut résister à la tendance de les déplacer tous deux à la fois (comme il vient d’être fait) et il faut décomposer et recomposer deux déplacements dont l’un est vertical et l’autre horizontal, tout cela dans l’intention de pouvoir mettre en mouvement soit un des grands carrés des figures II et III, soit un rectangle, sinon bloqués par leurs dimensions. Effectivement, ces déplacements angulaires présentent de grandes difficultés aux niveaux inférieurs :

Rya (6 ;1) (voir sous § 1) réussit sans difficulté l’épreuve I en poussant Kl et R2 à droite et en déplaçant tous les carrés bleus le long des bords supérieur et de gauche. Elle parvient à les remettre en place en ordre inverse et quand on demande une autre solution, elle pousse RI et R2 à gauche en indiquant la marche (symétrique de la l^re) des carrés bleus par le bord de droite : elle est donc d’un niveau qui n’est plus très primitif. Mais, pour le modèle IIA, elle se contente du même procédé : R à droite, descente de B1 + B2, B3 à gauche, puis B4 et B5 ensemble à gauche en les laissant superposés. Elle est alors arrêtée et croit la solution impossible : « Celui-là (R) on ne peut pas le mettre en haut parce qu’il n’est pas assez mince. » On l’aide alors par une question suggestive : « Ces deux-là (B4 et B5) tu peux pas les bouger autrement. » Elle tâtonne en les déplaçant l’un après l’autre et trouve alors un alignement horizontal qui lui permet de monter R d’un cran en descendant B1 + B2 et en déplaçant B3 à gauche. Mais il s’agirait alors de faire un nouveau déplacement angulaire pour mettre B1 et B2 l’un à côté de l’autre et Rya est à nouveau bloquée : « On ne peut pas tourner celui-là (B3) : ça coince. » Puis, en tâtonnant, elle arrive, d’où elle conclut, malgré plusieurs essais que le dispositif IIB comporte une solution : « Oui, je crois qu’on peut essayer » ; ce qu’elle répétera pour IIIC. Quant à IIIA, elle arrive par tâtonnements au premier déplacement angulaire, mais est bloquée définitivement à celui de B5-B6, malgré divers encouragements.

Mas (6 ;3) réussit l’épreuve I et revient au point de départ par une même circumduction sur le bord de la boîte. En IIA, il tâtonne après avoir poussé R à gauche et B3 à droite, et va jusqu’à mettre B1 et B2 en position oblique (_CP) avant de comprendre qu’il peut les aligner horizontalement. Mais il y a là une part de hasard car il est à nouveau bloqué au deuxième déplacement angulaire (B4B5). Après la réussite, il échoue au retour à la position initiale, ne parvenant pas à retrouver les déplacements angulaires malgré plusieurs reprises. En IIIA, il n’arrive pas non plus sans aide à surmonter cette difficulté angulaire. Quant au dispositif IIIB, il croit la solution impossible alors qu’elle est en fait identique à celle de IIIA : « Il est trop gros (le grand carré). — Ce n’est pas la même chose ce grand carré et ces deux (rectangles) là (IIIA) ? — Non, ceux-là vont mieux : ils sont plus minces et on peut mieux les déplacer. »

Au niveau IIA (7-8 ans) le sujet trouve de lui-même certains déplacements angulaires, mais sans généralisation et avec les mêmes difficultés dans l’ordre inverse (retour à la situation initiale) :

Nat (7 ;1) anticipe déjà ce qu’elle va faire pour le dispositif I et réussit d’emblée de même que la marche inverse. Pour IIA, elle trouve immédiatement le déplacement angulaire de B, B2, hésite un instant pour celui de B4B5, mais le trouve aussi sans aide. On refait un déplacement angulaire avec deux carrés : « Pourquoi as-tu fait ça ? — Pour pouvoir pousser le grand carré. » Par contre, en marche inverse elle est bloquée aux deux mêmes déplacements angulaires : « C’est celui-là (B4) qui me gêne. Même si je les mets comme ça (en diagonale), je ne peux pas… Ah ! oui (elle met B4 au- dessus de B5), je peux. — Pourquoi ça n’allait pas ? — Parce que j’avais oublié de mettre les deux comme ça (passage de l’horizontale à la verticale). » Or en IIIA elle oublie à nouveau ce procédé et est bloquée trois fois de suite jusqu’à recommencer trois fois de suite et finalement ne réussit au second qu’avec l’encouragement de l’expérimentateur. Difficultés accrues en ordre inverse. En revanche, elle voit d’emblée que IIIB ne diffère pas de IIIA : « Si on colle ces deux (rectangles B3 et B4) ça fait un grand carré. »

Col (8 ;5), en IIA, après déplacement de R et de B3 est gênée par B4-B5, les met en diagonale, les remet verticalement et « Ah ! » comprend l’alignement horizontal possible. Elle généralise sans difficulté à Bl, B2, mais pour IIIA elle recommence à tâtonner pour le premier déplacement angulaire et réussit le second sans peine. Pour IIIB elle croit d’abord la solution « plus difficile parce qu’il y a le carré », mais dès l’essai « je pense que ça ira : ça fait comme si c’était les deux barres ».

Au niveau IIB, enfin, les déplacements angulaires ne soulèvent plus de problèmes, mais, chose curieuse et à noter, le sujet a l’impression d’avoir effectué une action inattendue, comme s’il s’agissait d’une acquisition récente et peu facile, et il la relève avec soin dans ses commentaires :

Per (9 ;4) pour IIA effectue sans hésitation les deux déplacements angulaires, de même qu’en ordre inverse (retour) puis, dans son récit : « Je mettais les petits carrés bleus un en bas et l’autre en haut » (ordre inverse).

Fag (9 ;5) de même pour IIA : « J’ai poussé les deux carrés qui étaient droits (verticaux) et je les ai couchés (horizontalement). » Pour IIIB déclare immédiatement : « Ces deux-là (les rectangles de IIIA) ils font comme un grand carré : c’est la même chose. »

J AL (10 ;2) : IIA : « Avant ils étaient en colonne, alors je les ai mis en ligne. » Marche inverse immédiate. IIIB : « Je ne pense pas (que ça change), parce que ça fait comme un carré. »

Man (10 ;ll) dans sa comparaison de IIA et de I : « Ça ne se ressemble pas tout à fait, parce que j’ai dû séparer les deux petits bouts (cubes)… Dans le premier (I) il n’y avait qu’à tourner (circumduction) et c’était tout. » « Pourquoi as-tu fait ça (déplacements angulaires) ? — Je ne pouvais pas faire autrement, sinon je n’aurais pas pu faire monter le rouge. » IIIB : « Je pourrais faire la même chose, parce que les deux (rectangles en IIIA) je les bougeais les deux ensemble. »

Enfin, au stade III le déplacement angulaire paraît tout naturel et n’est pas toujours noté, mais fait partie de ce qui paraît l’essentiel, qui est la mobilité des petits cubes :

Mor (12 ;0) prévoit des difficultés pour IIIA à cause des deux rectangles puis réussit d’emblée : « Comment tu es arrivé ? — Parce que sans ces petits cubes je ne peux pas manipuler les autres. » Il y revient pour IIIB : « Parce qu’il y a les petits cubes : c’est la même chose. »

Bol (12 ;1 ) : « parce qu’il y avait les quatre carrés mobiles ».

Cette évolution des déplacements angulaires, jointe à celle des marches en ordre inverse et des réactions au dispositif IIIB, comparé à IIIA, est assez instructive quant aux rapports entre l’abstraction réfléchissante et l’abstraction empirique. Celle-ci, en effet, dans le domaine spatial, porte sur l’aspect figuratif des objets, c’est-à-dire leurs formes et dimensions, leurs configurations d’ensemble ou leurs mouvements, mais en tant que trajets matériels isolés présentant des Gestalts comme les figures statiques. L’abstraction réfléchissante de nature géométrique porte au contraire sur les coordinations d’actions en tant que libres combinaisons et compositions dépassant les relations simplement constatées. Certes ces compositions de déplacements donnent également lieu à des constatations et sont soumises à des réussites qui sont elles aussi constatées, car

le propre des opérations spatiales (ce qui les distingue des opérations logico-arithmétiques) est de pouvoir se traduire dans le détail en images ou représentations figuratives. Mais le critère fondamental des coordinations réussies dont procède l’abstraction réfléchissante est leur nécessité intrinsèque, par opposition aux réussites aléatoires ou simplement constatées.

Cela dit, le caractère remarquable de la résistance des jeunes sujets aux déplacements angulaires est qu’ils n’arrivent pas à se détacher de l’aspect figurai donné de deux cubes placés l’un au-dessus ou à côté de l’autre et qu’ils n’ont pas à eux seuls l’idée de cette combinaison, pourtant extrêmement simple mais nouvelle par rapport à la configuration constatée, de permuter la superposition en une juxtaposition latérale ou l’inverse, donc de tourner sans plus un cube de 90° par rapport à l’autre. Dans une recherche avec A. Munari on présentait aux sujets des segments de rails, les uns courbés et les autres rectilignes avec pour seule consigne de les joindre pour faire un trajet d’un point à un autre : or les sujets préopératoires les reliaient facilement, mais en les laissant exclusivement dans leur position fortuite constatée (^ ou ^) sans avoir l’idée de les retourner, malgré l’échec total dans la construction du trajet demandé. Nous hésitions alors à considérer comme générale cette soumission à l’aspect figuratif des formes présentées, mais la présente résistance aux déplacements angulaires est presque plus frappante. De plus, on constate que la solution de cette question donne lieu à une belle évolution : réussites fortuites ou échecs (sauf avec aide) au stade I, réussites semi- opératoires au niveau HA mais sans généralisations, réussites complètes au niveau IIB avec sentiment de nécessité (« je ne pouvais pas faire autrement, sinon… » ; Man) et conduite allant de soi au stade III étant soulignée seulement la mobilité des petits cubes…

Quant aux retours en marche inverse, on constate qu’ils sont faciles pour le dispositif I où la solution s’impose de proche en proche par simple circumduction. Mais il ne s’agit alors que de « renversabilité » et non pas de réversibilité opératoire, celle-ci devant être générale : or dans le cas des déplacements angulaires elle n’est atteinte qu’au niveau IIB.

Enfin, le passage des dispositifs IIIA à IIIB fournit un nouvel exemple, et très joli, du contraste entre la prégnance

figurative, source des abstractions empiriques, et la coordination des actions, source de la réflexion : que deux rectangles (B3 et B4 en IIIA), qui ont toujours été déplacés ensemble, soient remplacés par le grand carré R en IIIB, les jeunes sujets y voient une difficulté insurmontable, parce qu’il est trop gros, tandis qu’au niveau IIA déjà le début des coordinations opératoires conduit le sujet à admettre que cela revient au même.

Le propre des libres combinaisons de déplacements, mais soumises à la condition d’une réussite nécessaire et non pas fortuite, est de comporter une capacité d’anticipation, puisqu’il s’agit de mécanismes déductifs. Nous avons déjà vu (sous § 1) que celle-ci fait défaut au stade I en ce qui concerne les espaces vides, mais ce n’est là qu’une lacune momentanée, tous les sujets comprenant dès les essais et même dès leurs projets, que de tels espaces vides sont nécessaires aux déplacements. Par contre des anticipations plus raffinées et surtout plus détaillées peuvent être obtenues en examinant les réactions des sujets aux solutions impossibles IIB et IIIC, sans oublier les modèles qu’ils proposent eux-mêmes.

On pouvait espérer obtenir de même des indications sur les prévisions déductives en interrogeant l’enfant sur les diverses méthodes possibles que comporte le dispositif I, et qui sont au nombre de 12 ! Mais dès le stade I on trouve des sujets (voir Rya sous § 2) qui découvrent la solution symétrique à la leur (ce qui n’est pas très compliqué puisqu’il s’agit d’une circum- duction par les bords droit ou gauche) et ce nombre de 2 demeure assez général jusqu’au niveau IIB où il passe à 3 (gauche, droite ou au milieu).

Par contre, les figures IIB (où le rectangle B3 est simplement permuté avec B4 et B5 ce qui exclut leur déplacement angulaire) et CIII (où les deux rectangles B3 et B4 de IIIA sont déplacés sur la droite, ce qui exclut à nouveau le déplacement angulaire des carrés) donnent lieu à des réactions intéressantes : chez les sujets du stade I et encore, en certains cas, du niveau IIA, la méthode empirique qu’ils emploient pour les modèles à solution possible leur fait croire qu’ils réussiront ainsi en n’importe quelle situation et, en outre, que, les plots B

et R restant les mêmes dans les figures IIA et IIB ou en IIIA et IIIC, leurs changements de position n’ont pas d’importance :

Mil (5 ;3) pour IIB : « Vous avez changé la barre (de place). — Tu pourras amener le carré rouge, etc. ? — Oui. — Comme avant, même si j’ai changé de place ? — Oui. » Mais ses essais le forcent à reconnaître que le rectangle B3 la gêne. Pour IIIC, elle croit aussi réussir : « Ça ne change rien que le grand carré bleu (on l’a mis après IIIB à la place de B3B4) soit là ? — Non. (Essais multiples.) — Pourquoi ce carré te gêne et tout à l’heure (IIIB) il ne te gênait pas ? — On ne peut pas. »

Bet (5 ;10). IIIC : « Qu’est-ce que j’ai fait ? — Vous avez mis les quatre carrés d’un côté et les rectangles de l’autre. — Tu vas pouvoir ? — Oui. —   Pourquoi ? — Je suis sûr que ça ira. »

Rya (6 ;1, voir sous § 2). IIB : « Ça change quelque chose ? — C’est un peu plus difficile. — Et on peut réussir ou pas ? — Oui, je crois qu’on peut essayer. » IIIC : même formule et elle suppose que « ça (les petits carrés) on peut les tourner ». Elle invoque donc un déplacement angulaire possible alors qu’il n’y a pas d’espace vide (cf. son propre modèle sous § 1).

Mas (6 ;3 cf. sous § 2). IIB : « Vous avez pris celui-là (B3) et vous l’avez mis ici. — Ça change quelque chose ? — Rien. —   Pourquoi ? — Parce que le rouge est toujours en bas et les autres en haut. » Essais : « Je ne peux pas… non je crois que oui, je peux. » IIIC : mêmes réactions. Son propre modèle (voir sous § 1) est lui aussi de solution impossible.

Nat (7 ;1 voir sous § 2), quoique de niveau IIA pour les déplacements angulaires croit pouvoir résoudre la question IIB, mais comprend aux essais que B3 empêche les mouvements de R. Pour IIIC, mêmes réactions puis après échec elle montre l’obstacle mais n’en conclut pas moins : « On a changé de place. — C’est important la place ? — Non, ça ne fait rien. » Son propre modèle est impossible quoique comportant un espace vide.

Ces réponses confirment à l’évidence l’absence d’anticipation déductive au stade I et la fragilité de ses débuts au niveau IIA. Le principe de telles réactions est bien formulé par un autre sujet : « Si je suis arrivée avant (en IIA), je peux arriver maintenant… avec un petit peu de patience. » Autrement dit, ce qui compte est la présence des mêmes éléments avec leurs formes et leurs grandeurs, tandis que les relations de position « ça ne fait rien » (Mas) ou encore : « Ça a changé quelque chose mais pas beaucoup », ce qui revient à dire que les mouvements successifs sont à calculer de proche en proche selon les situations particulières sans comporter de compositions d’ensemble nécessaire.

En partie au niveau IIA et un peu davantage au niveau IIB

il y a par contre début d’anticipation ou plus précisément début de compréhension des raisons de l’impossibilité, mais en cours de route et après des essais infructueux :

Ang (7 ;3) pour la figure IIB essaie d’abord de « faire la même chose qu’avant » mais voit rapidement que « celui-là (B3) il gêne : il devrait être au milieu ».

Col (8 ;5 voir sous § 2) : même réaction pour IIB, puis : « C’est plus difficile avec la barre au bord, c’est bloqué. » Il faut « la remettre au milieu, parce qu’on pourrait la descendre et autrement il ne reste que la barre et on ne peut pas la tourner ». IIIC : « Je peux, je ne sais pas. —   Ça change quelque chose ? — Oui, parce qu’il y a les deux barres l’une à côté de l’autre et les carrés ne sont pas séparés (on se rappelle qu’elle a découvert seule les déplacements angulaires). »

Peu (9 ;4 voir sous § 2). IIB : « Ça n’a rien changé, ce que j’ai fait (déplacer B3B4) ? — Ah oui, ça change. — Mais tu pourrais le faire ? — Oui. » (Essais.) Puis elle montre qu’en IIIA on peut faire un déplacement angulaire des petits carrés et « je ne peux plus le faire (montre B4 à la place de B5-B6) ».

Gav (9 ;11) pense arriver à IIB, puis dès les essais dit que le rectangle fait obstacle : « J’avais (en HA) deux carrés et je pouvais les faire passer. »

Man (10 ;ll voir sous § 2) se rapproche des réactions du stade III : « Tu vas arriver (IIB) ? — Je ne sais pas, je ne crois pas mais je vais essayer, je ne veux pas trop dire d’avance. (Il commence.) Ça va être dur. (Essais de déplacements angulaires sur B1B2 puis B5B6.) C’est ça (rectangle) qui les empêche de bouger. Oh ! moi je dirais qu’il n’y a pas de manière : celui-là il faudrait un couteau pour le couper en deux. —   Pourquoi tu n’arrives plus ? — Je ne peux pas les séparer (carrés). » Mêmes réactions pour IIIC.

Voici enfin un cas d’anticipation proprement dite (stade III):

Mob (12 ;0 voir sous § 2). IIB : « Qu’est-ce que j’ai changé ? — Pour ainsi dire rien : vous avez interverti les deux. — Tu pourras arriver ? — (Longue réflexion sans essais.) Je ne peux pas parce que ça ne joue pas, parce qu’ici il faudrait deux petits cubes, (où) j’avais dû les partager… Je pourrais toujours essayer, je n’arriverais pas. » IIIC (réfléchit longuement) : « Ce n’est pas possible parce qu’ici je serais coincé. » Il construit lui-même trois modèles différents, tous de solutions possibles.

A comparer cette évolution à celle des déplacements angulaires, qui exigent eux aussi une part d’anticipation, on constate une certaine avance de celle-ci, puisque ces déplacements sont acquis dès le niveau IIB, et même en partie dès HA, mais sans généralisation, tandis que les impossibilités ne sont réellement prévues et calculées qu’au stade III (et encore pas tou-

jours immédiatement). L’explication semble en être que les déplacements angulaires supposent simplement la prévision d’une nouvelle combinaison possible, mais qui reste à essayer pour voir ce qu’elle donne, tandis que l’anticipation d’une impossibilité comporte en plus la compréhension de la raison de celle-ci, et marque donc un progrès décisif dans le sens des compositions « nécessaires ».

Le problème qui se pose au terme de cette recherche est de savoir si, étant admises les correspondances étroites entre l’espace des objets et la géométrie du sujet, l’abstraction réfléchissante ne serait pas, dans le domaine spatial, un dérivé des abstractions empiriques à partir des actions matérielles du sujet, y compris leurs résultats, et des interactions constatées sur les objets, ces données doublement empiriques étant simplement systématisées étape par étape grâce aux progrès de la logique du sujet. Mais avant de montrer que nos faits s’accordent mal avec une telle interprétation, rappelons la position épistémologique complexe de la géométrie, car en ces questions difficiles il est utile de comparer les stades initiaux d’un développement à ses aboutissements supérieurs, les uns éclairant les autres dans les deux sens du parcours.

Or, dans le domaine de l’espace, les relations entre l’objet conceptuel, c’est-à-dire élaboré par le sujet (géomètre ou enfant) et l’objet réel, donc extérieur au sujet, sont différentes de ce qu’elles sont au plan des connaissances physiques et logico-arithmétiques. L’objet physique est connu par l’expérience et par les modèles explicatifs que s’en donne le sujet, construits grâce aux opérations logico-mathématiques de ce dernier, mais en tant qu’attribuées aux objets matériels eux- mêmes alors conçus comme des opérateurs. Mais qu’il s’agisse de l’expérience ou des modèles opératoires, l’objet extérieur reste toujours plus riche que les objets conceptuels, ceux-ci ne se rapprochant de celui-là que par approximations successives sans atteindre la limite. L’objet logico-arithmétique est au contraire un produit des activités du sujet et si des objets conceptuels tels qu’un nombre ou une classe peuvent être appliqués à des objets extérieurs, ceux-ci ne constituent pour autant ni des nombres ni des classes, mais sont simplement

dénombrables ou classables (de même, si l’on peut dire, qu’un poisson en liberté est mangeable, mais sans que cela ne l’affecte en rien¹ avant qu’il soit effectivement pêché et mangé).

Quant à l’objet conceptuel géométrique, il correspond comme en physique à des objets extérieurs, car une longueur, une surface, un voisinage, une courbure ou un spin existent en tant que propriétés des objets matériels, mais l’objet conceptuel y est plus riche (contrairement au cas de la physique) que l’objet extérieur : parmi l’infinité des géométries possibles, seules quelques-unes sont réalisées ; et des propriétés soi- disant immédiates et empiriques telles que l’indéformabilité d’un solide déplacé comportent un haut degré d’élaboration théorique.

Cela dit, nous constatons, dès nos modestes observations sur le « passalong », que dès les débuts, l’abstraction empirique y est encadrée par des coordinations dues à l’abstraction réfléchissante et que celle-ci, reconnaissable au fait qu’elle vise ou atteint la raison des relations constatées et les insère en un système de compositions « nécessaires », l’emporte de plus en plus au cours des stades successifs. Dès le stade I, nous avons, en effet, relevé (sous § 1) que si les jeunes sujets commencent par oublier la nécessité d’une case vide pour qu’il y ait déplacement, ils sont unanimes à la considérer comme « nécessaire » sitôt l’action commencée. Mais pour les autres questions, ils demeurent largement dominés par l’abstraction empirique des formes, grandeurs et des positions actuellement perçues : d’où leur surprenante incapacité à imaginer les déplacements angulaires, ainsi qu’à prévoir l’impossibilité de réussir dans le cas des modèles IIB et IIIC ou de leurs propres inventions. Au niveau IIA il y a progrès de l’anticipation avec la découverte des déplacements angulaires et début de la compréhension de leur « raison », puis généralisation au niveau IIB et enfin seulement accès aux compositions « nécessaires » avec les réactions aux solutions impossibles. Ce sont là trois étapes essentielles de l’abstraction réfléchissante et il nous reste à tenter de les expliquer.

Cette forme d’abstraction comporte, rappelons-le, deux

(’) Car cette propriété d’être comestible exprime les relations entre la chimie de l’objet et celle du sujet, et non pas celle de l’objet seul.

moments étroitement liés : un « réfléchissement » du plan de l’action à celui de la représentation et une « réflexion » réorganisatrice reconstruisant sur le nouveau palier ce qui est tiré du précédent en y ajoutant l’essai de compréhension des raisons, occasionnelles puis nécessaires. Quant à l’anticipation, elle débute avec le réfléchissement, en tant que prévision de la répétition de ce qui est déjà connu au plan des actions matérielles et s’élargit avec la réflexion lorsqu’elle comporte des généralisations non simplement extensionnelles, mais reposant sur la compréhension des compositions en situations analogues.

La première question est alors celle de la formation des déplacements angulaires. Les sujets du stade I peuvent y parvenir par hasard au cours de tâtonnements variés, mais ce n’est pas de cette succession de mouvements fortuits que peut être tirée la découverte rapide, quoique limitée, des sujets du niveau IIA. Il faut donc admettre que, parvenus à se représenter (par réfléchissement) les divers déplacements verticaux et horizontaux possibles, ils tirent de leur comparaison une nouvelle relation, consistant simplement en une composition des deux, donc un passage de l’un à l’autre puisque le propre de toute représentation est de permettre la fusion du successif en un ensemble quasi simultané. C’est là le début du processus conduisant de façon quasi immédiate du réfléchissement à la réflexion.

Une seconde étape est celle de la généralisation des mêmes déplacements angulaires au cours du sous-stade IIB. En ce cas, il s’y ajoute la compréhension de l’analogie des situations, donc un progrès dans la compréhension de la raison. Mais, dans la mesure où la découverte au niveau IIA des déplacements angulaires par passage du vertical à l’horizontal ou l’inverse constitue déjà une coordination d’actions, il va de soi que cette généralisation est explicable par une abstraction réfléchissante à partir de cette coordination.

Reste le problème intéressant de la troisième étape (stade III) : la compréhension de l’impossibilité de certaines solutions, donc l’accès au caractère de nécessité de certaines compositions en leurs conditions à la fois nécessaires et suffisantes. Or, en tout développement opératoire la nécessité inhérente aux compositions d’un système tient à sa fermeture, c’est-à-dire au fait que les diverses liaisons qu’il comporte sont

finalement toutes réglées et s’engendrent les unes les autres sans sortir des frontières ni faire appel à des éléments extérieurs. A cet égard, la différence entre les stades II et III est nette : les sujets du niveau IIB ne considèrent encore un déplacement angulaire que comme subjectivement ou pour ainsi dire localement nécessaire, en ce sens qu’en telle ou telle situation ils sont obligés de procéder ainsi. Car, comme le dit Man (sous § 2), « je ne pouvais pas faire autrement, sinon je n’aurais pas pu faire monter le rouge » ; mais lorsqu’il s’agit des solutions impossibles, ils n’ont pas l’impression d’avoir épuisé toutes les combinaisons et le même Man déclare prudemment « je ne crois pas (pouvoir réussir) mais je vais essayer, je ne peux pas trop dire d’avance », ce qui revient à admettre que tout n’est pas déductible dans le système. Les sujets francs du stade III au contraire pensent avec Mor (sous § 3) pouvoir épuiser les combinaisons inhérentes au dispositif présenté, non pas au sens de toutes les solutions possibles, mais à celui de toutes les conséquences des déplacements choisis au départ, ou des effets du blocage des petits carrés dont la mobilité serait indispensable. Ils atteignent ainsi le palier des déductions nécessaires quant à l’impossibilité de la réussite lorsqu’un ou deux rectangles empêchent les manœuvres qui s’imposent et les empêchent toutes.

Au total, et bien que tous les produits de l’abstraction réfléchissante correspondent à des constatations empiriques possibles, celle-ci constitue une source de nouveautés continuelles, en ce sens que les constatations fournissent exclusivement des états de fait et des généralisations extensionnelles tandis que la réflexion atteint les raisons et les compositions nécessaires, ne se bornant pas ainsi à devancer l’expérience par des anticipations déductives, mais la dépassant en y introduisant une nécessité que les faits à eux seuls ne comportent jamais.