Emiliano Giostra effectue ses études à Genève, où il obtient un diplôme de médecin en 1982 et un doctorat en 1987. Après une formation en médecine interne, il séjourne à l’Hôpital Beaujon de Paris de 1987 à 1989 pour se spécialiser en hépatologie. Il termine ensuite à Genève sa formation en gastroentérologie au sein du Service de gastroentérologie et hépatologie des HUG (titre de spécialiste en 1995) et commence une collaboration avec le Service de chirurgie dans le domaine des maladies du foie, et plus particulièrement dans celui de la transplantation hépatique. Il est par ailleurs le suppléant du médecin-chef du Service de transplantation.

Ses travaux de recherche se concentrent sur les maladies hépatiques (hépatites virales, stéatose hépatique, hypertension portale), ainsi que sur la greffe de foie. Il est aussi membre du Groupe de travail suisse pour la greffe hépatique (STAL), du Groupe suisse d’audit de la greffe hépatique et expert auprès de l’Agence de la biomédecine en France. Il a par ailleurs été secrétaire de la Société suisse de gastroentérologie de 2000 à 2002. Privat-docent de la Faculté de médecine en 2008, puis chargé de cours, il est nommé professeur associé au Département de médecine interne des spécialités (devenu depuis le Département de médecine) en 2015. Il prend sa retraite en novembre 2020.