Chapitre III.
Le chemin parcouru ^{1 a} 🔗

[p. 58] On se rappelle que, durant le premier stade, la notion d’ordre demeure entièrement intuitive : si l’ordre linéaire direct se conserve, il n’est pas encore susceptible d’inversion ; l’ordre cyclique n’est d’autre part, point compris, et, tant à l’occasion de l’ordre linéaire inverse, qu’à celle de l’ordre cyclique direct on peut constater l’existence de difficultés systématiques à l’égard de la notion d’intervalle ou de la relation « entre ». Or, chose intéressante, c’est précisément sur cet ordre linéaire intuitif que s’appuie l’enfant du stade I pour évaluer la longueur des chemins parcourus. Ce rapport n’a rien d’absurde en lui-même, puisqu’il revient à déterminer la distance en tant qu’intervalle entre deux points ordonnés ; seulement, précisément par le fait que seul l’ordre linéaire direct donne lieu à une intuition correcte, cette méthode d’estimation de la longueur des trajets d’après l’ordre de succession des points d’arrivée ne conduit à des résultats exacts que dans la mesure où les mobiles suivent les mêmes lignes, dans le même sens et en partant du même point ³. Lorsque, par contre, les deux lignes parcourues sont différentes, comme dans la présente expérience où l’une est droite et l’autre brisée, le caractère incomplet de l’intuition initiale de l’ordre et, en particulier, l’incompréhension des rapports d’intervalle (ou relation « entre ») conduisent à ce résultat surprenant que deux chemins sont considérés comme égaux lorsque leurs points d’arrivée coïncident (ou l’un étant vis-à-vis de l’autre) indépendamment des distances constituées par les intervalles linéaires respectifs.

Voici des exemples de ces réactions primitives (sous-stade I A) :

Lil (5 ; 5). L’examinateur parcourt les cinq premiers segments de A₂ : l’enfant place sa perle exactement au-dessus : « C’est le même long chemin ? — Oui. —  Tout à fait sûr ? — Oui. —  Revenons à la gare pour voir si c’est la même chose (on recule segment par segment : question Ib) — (Lil met chaque fois sa perle en regard, sans la déplacer lorsque le segment de A₂ est perpendiculaire à la ligne A₁). — Maintenant je vais seulement jusque-là (deux segments). Fais le même long chemin. — Là (met au-dessus). — Et maintenant (un seul segment). — Je ne peux pas avancer. — Pourquoi ? — Votre train est là (montre au-dessous du point de départ du sien). — Mais il faut faire le chemin. — (Lil avance de 2 mm.) — C’est la même chose ? — Oui. —  Et maintenant (quatre segments). — (Lil suit le trajet par segments parallèles [p. 59] sans tenir compte des segments de A₂ perpendiculaires à A₁ et arrive juste au-dessus.) — Recommençons (deux segments). — (Id.). »

Joc (5 ; 5). Mêmes réactions initiales. On déplace le train sur le seul premier segment de A₂ : Joc déplace d’emblée le sien de 2-3 mm. « C’est le même chemin long ? — (Ne sait que dire.) — Continuons (deuxième segment). — Là (au-dessus). — Tu crois que tu as fait le même chemin long ? — Oui. —  Et ce carton pourrait t’aider à mesurer (on l’approche du premier segment) ? — (Secoue la tête.) — Retournons à la gare en faisant les mêmes chemins (on ramène le train d’un segment sur A₂ et Joc fait de même sur A₁). Mais tu es déjà à la gare. Moi pas. Nous avons fait le même long chemin pour revenir ? — … (embarras). — Alors changeons de train (l’expérimentateur fait un trajet sur A₁ et l’enfant se place juste en dessous sur A₂). Tu crois que tu as fait le même chemin long ? — Oui. »

Cha (5 ; 6). Mêmes réactions mais justifie chaque fois en disant : « C’est le même chemin parce que celui-là il est là (au-dessus) et celui-là il est là (au-dessous) ».

Mic (5 ; 8) débute comme les précédents et ne déplace pas son tram quand on parcourt sur A₂ le premier segment seul. Pour deux segments de A₂ il se borne à un seul sur A₁ pour se placer au-dessus : « Tu es sûr que tu as fait le même long chemin que moi depuis la gare ? — Oui. — Montre avec le doigt ton chemin et le mien (il les suit du doigt). C’est le même long chemin avec ton doigt ? — Non. —  Lequel est plus long ? — Celui du train bleu — Pourquoi ? — Parce qu’il y a les carrés (les angles droits). — Alors je continue (troisième segment : perpendiculaire à A₁. — Je vais rester à ma place. — Mais avec le doigt lequel des deux chemins est le plus long depuis la gare ? — Celui-là (A₂ : juste). — Alors retourne à la gare et fais le même chemin long, mais la même longueur ! — (Il repart du début et le pose à nouveau au-dessus !) »

Avec la planche B : exactement id.

Fre (5 ; 9). Mêmes réactions : « Crois-tu que tu pourrais mesurer avec ce petit carton si tu as fait le même chemin ? — Oui. » Il pose alors le carton sur les deux perles à la fois pour montrer la coïncidence des points d’arrivée et ne s’occupe pas des distances intercalaires par rapport au point de départ.

Il est clair qu’aucun de ces enfants ne s’imagine que quatre ou cinq segments de la ligne brisée à angles droits A₂ équivalent comme longueur à un segment de droite A₁ ayant les mêmes points de départ et d’arrivée : la perception seule suffît à assurer que la droite est plus courte. Et, parmi les sujets, Mic assure lui-même, en passant son doigt le long de l’une et l’autre ficelles, que A₂ est plus longue « parce qu’il y a les carrés », c’est-à-dire les angles droits. Si l’enfant affirme que les chemins sont égaux dans les deux cas, c’est donc qu’il pense aux mouvements comme tels [p. 60] ou déplacements, et non point aux distances parcourues, ou plus précisément qu’il ne dissocie point les distances des mouvements. C’est surtout qu’il conçoit le mouvement ou « déplacement » comme étant au sens strict et limitatif, un changement de place ou « dé-placement », les « placements » eux-mêmes étant fournis par l’ordre intuitif des positions de départ et surtout d’arrivée : deux mouvements sont ainsi considérés comme étant de même longueur lorsqu’ils aboutissent aux mêmes points d’arrivée. Si tel est le principe, peu importent alors les détours effectués en cours de route : « c’est le même chemin, dit Cha, parce que celui-là est là et celui-là est là (= l’un au-dessus de l’autre) ».

Mais un malaise subsiste : et si l’enfant n’avait pas compris ce qu’on désire de lui ? Il se pourrait, en effet, que ses réactions tiennent à une pure question verbale, ou, comme diraient les mathématiciens, à une question de simple définition. L’égalité des deux chemins est définie par nous comme une égalité des distances parcourues elles-mêmes, mais on pourrait par convention la définir comme une coïncidence des points, d’arrivée : l’enfant, en présence de la question « ont-ils fait le même long chemin ? » comprendrait simplement « ont-ils marché sans que l’un dépasse l’autre » et tout serait dit ainsi.

Seulement deux raisons, dont chacune suffirait à elle seule, s’opposent à cette interprétation. La première est que nous retrouverons la même réaction en bien d’autres domaines, et tout spécialement dans celui de la vitesse : l’intuition primitive de la vitesse est, verrons-nous, celle du dépassement, c’est-à-dire du changement d’ordre, et c’est au moyen de ce seul critère que l’enfant juge, au stade I, des différences de vitesses sans s’occuper des espaces parcourus en un même temps donné. S’il s’agit donc d’un mécanisme général, on ne saurait attribuer les réponses précédentes à un malentendu verbal. En second lieu, les sujets du sous-stade I B qui débutent comme les précédents, parviennent à corriger cette réaction initiale lors des petits trajets, mais ensuite retombent dans leur erreur pour les trajets plus longs. L’analyse de leurs réactions permet donc, d’autre part, de vérifier le sens de celles du sous-stade I A. En voici des exemples :

Ray (5 ; 6). L’expérimentateur choisit la droite A₁ et déplace son train de la valeur de deux segments. Ray avance alors le sien de cinq segments sur A₂, ce qui a pour effet de le mettre juste en dessous du premier : « C’est le même chemin long ? — Oui. — Revenons à la gare et changeons de trains. Tiens je vais là (un segment sur A₁. — Et moi là. (Ray se déplace correctement sur A₂ d’un segment environ.) —  [p. 61] C’est la même chose ? — Oui. — Pourquoi ? — … — Bien. Alors recommençons (cinq segments sur A₁). — Là (il le met au-dessus). — C’est la même chose ? — Oui. — Sûr ? — Oui. — Tu peux mesurer avec le carton ? — (Il le met sur les deux perles, comme Fre.) »

Ren (6 ; 7). Nous avançons de la valeur de trois segments sur A₁. Ren déplace son train de 6 segments sur A₂ pour être en face : « C’est la même longueur de chemin ? — Oui. — Tout à fait sûr ? — Oui. —  Pourquoi ? — (Il parcourt du doigt). C’est plus long en bas (A₁). — Alors retourne à la gare et fais la même longueur. — (Il recommence et aboutit au même point.) — Mais tu viens de me dire que le bleu (A₁) a fait un chemin plus long ? — Oui, mais il faut mettre le chemin du bleu droit (= la ficelle A₂ pour qu’on puisse la comparer à A₁. — Avec ce carton (= mesure d’un segment) tu pourras peut-être trouver ? — (Il essaie de mesurer, mais par à peu près en laissant le carton oblique sans suivre chacun des segments à angles droits.) Ça ne va pas, parce qu’il y a les petits carrés (les angles). Il faudrait que ça soit droit. —  (On essaie de lui montrer, mais il ne comprend pas.) Changeons de train (nous parcourons le premier segment de A₂, perpendiculaire à A₁. — (Il reste en place au point de départ de A₁). C’est la même chose. —  Mais moi j’ai bougé, toi pas ! — (Il avance un peu, à peu près de la longueur d’un segment.) — C’est tout à fait la même chose ? — (Il mesure un segment et corrige). Oui. —  Maintenant je vais là (neuf segments). — (Il essaie de mesurer). Là, là et là (arrive juste au-dessus). »

Planche B. L’expérimentateur parcourt trois segments inégaux de B₂ et Ren se met juste au-dessus : « C’est juste le même chemin long ? — Oui. —  Pourquoi ? — Parce que c’est en face. —  C’est la même longueur ? — Non (il avance un peu). — C’est juste comme ça, ou pas ? — Non, c’est plus juste quand c’est en face (il le remet au-dessus). — Tu veux mesurer ? — (Il applique un carton sur les deux perles comme Fre et Ray). »

À la différence des sujets du sous-stade I A ces enfants, par leurs hésitations mêmes, ne laissent plus de doute sur la signification de la réaction primitive que nous discutons ici. Tout se passe, en effet, comme si les notions de chemin parcouru, d’une part, et de déplacement évalué par son point d’arrivée (= dé-placement ou changement de placement), d’autre part, étaient initialement indifférenciées (sous-stade I A) et comme si elles commençaient seulement à se différencier au niveau que nous considérons maintenant. Le sujet Ren, par exemple, dit explicitement que le chemin en ligne brisée « c’est plus long », mais il se déclare incapable de le comparer au chemin rectiligne si on ne le met pas lui-même en ligne droite : « Il faudrait que ça soit droit. » Et alors, ne parvenant à trouver aucun critère pour évaluer les distances en dehors de l’ordre des arrivées, il revient à ce système initial en le justifiant explicitement : « c’est plus [p. 62] juste quand c’est en face ». Au contraire Ray y revient comme automatiquement, après avoir réussi momentanément à dissocier la distance pour un seul segment : dès que celle-ci augmente à nouveau, il retombe sur le critère du point d’arrivée. Mais pourquoi Ren, qui est plus avancé dans cet effort de dissociation, ne parvient-il pas à mesurer la suite des segments ? On a vu qu’il sait fort bien en mesurer un seul, mais, dès qu’il s’agit de plusieurs et orientés en des directions différentes, il reste incapable d’additionner ces segments, comme si la mesure du chemin parcouru devait s’effectuer dans la seule direction du point d’arrivée. Il est donc clair que l’obstacle tient à nouveau à la notion d’ordre : l’intuition primitive de l’ordre, qui est celle d’un ordre linéaire direct, est en réalité celle des successions rectilignes, et, dès qu’il s’agit de lignes brisées et en particulier d’une grecque de la forme de A₂, cet ordre présente alors pour les sujets du stade I les mêmes difficultés que l’ordre cyclique et les relations d’intervalle (ou « entre ») ne sont plus dominées. D’où l’évaluation du chemin parcouru par le seul rapport des points d’arrivée et d’où, même chez des sujets qui comme Ren commence à dissocier la distance de l’ordre, la difficulté à comparer par le moyen de la mesure, le chemin droit A₁ à celui en ligne brisée A₂.

Au cours du sous-stade II A, les sujets débutent comme en I B, mais au lieu de revenir, quand les distances augmentent, à l’évaluation par le point d’arrivée ils continuent de dissocier la distance de l’ordre. Voici des exemples à commencer par un cas intermédiaire entre I B et II A :

Pan (4 ; 8, avancé). Nous déplaçons la perle de cinq segments sur A₂. Pan place sa perle au-dessus : « Qu’est-ce que ça veut dire faire le même chemin : marcher le même bout ou arriver au même endroit ? — Marcher la même vitesse. —  Et ceux-là marchent aussi vite l’un que l’autre ? — Non, le rouge (= A₁) va plus vite. — Pourquoi ? — Le bleu a fait des contours et le rouge est allé tout droit. —  Alors fais que le rouge soit aussi fatigué que le bleu. — (Il avance le rouge sur la droite A₁.) — Ça t’aiderait de mesurer avec ça ? — Non. —  On recommence (deux segments). — (Il met sa perle au-dessus.) — Il est aussi fatigué que l’autre ? — Oui. —  (Quatre segments.) — (Il avance de quelques segments, mais sans pouvoir mesurer terme à terme.) »

Planche B : Nous avançons de 3 segments inégaux sur B₁ et Pan place sa perle au-dessus, puis se corrige d’emblée en la poussant plus loin et en mesurant très approximativement avec son doigt.

Er (5 ; 7). Cinq segments sur A₂ : il met sa perle au-dessus. « Tu [p. 63] crois que c’est le même chemin ? — Oui, parce que les deux trains sont comme ça (l’un au-dessus de l’autre). — Qu’est-ce que ça veut dire : faire le même chemin long ? — Arriver au même endroit. —  Le bleu (A₂) a mis combien de temps ? — Deux-trois minutes. —  Et le rouge (A₁) ? — La même chose. —  Et maintenant (premier segment) ? — Il faut le laisser (ne déplace pas son train). — Mais le mien a marché. — Ah oui ! (Il l’avance.) — (Cinq segments.) — C’était pas juste avant (il l’avance fortement). — Ça t’aide de mesurer ? — (Il essaie.) Non. » Planche B : met d’emblée en avant.

And (5 ; 8). Six segments : il pose son train au-dessus, puis l’avance, le recule, l’avance, etc. sans se décider entre les deux systèmes : « Tu pourrais trouver avec ça (le carton) ? — Non. Je voudrais faire ce tour (il parcourt du doigt l’itinéraire sur A₂). — Et maintenant (cinq segments) ? — (Il met au-dessus.) Non, ce n’est pas juste (hésite comme avant). — (Un segment, perpendiculaire.) — Là (avance d’emblée). — (Six segments.) — Là (avance en quelques étapes). »

Planche B : avance d’emblée, reportant les distances à vue, après avoir mis la mesure sur le premier segment.

Jan (6 ; 2). L’expérimentateur avance de trois unités sur A₁ (la droite) : Jan place son train au-dessous, ce qui représente sept segments. Pour un segment de droite, il fait de même (= trois segments de A₂) : « C’est la même chose ? — Oui (il suit avec le doigt). Non, c’est plus long. — Alors retournons à la gare et recommençons (un segment). — Là, c’est le même, ça fait un (juste : le premier segment de A₂, perpendiculaire à A₁). — Et ça (cinq segments). — (Il se met d’abord au-dessus, puis compte.) Non, ça fait dix (il recule). »

Planche B : se met d’emblée en avant, sur A₁. Essaie de mesurer, mais très inexactement, sans reporter les unités l’une après l’autre, et avec interférences dues au fait qu’il oriente le carton en fonction du point d’arrivée.

Ul (7 ; 7). L’expérimentateur parcourt deux unités sur A₁. Ul se met au-dessous (cinq segments de A₁ : « Es-tu sûr que c’est le même chemin long ? — Oui… Non (il retourne et recommence). Là (juste). — Je vais là (cinq segments). — Là (sept unités). — Comment sais-tu ? — Parce que je regarde les mêmes grandeurs (vérifie avec les doigts). — Et ça (carton), ça t’aiderait ? — Non. —  Tu vois (on pose le carton sur deux segments) ? — Non. »

Planche B : il avance d’emblée sur A₂ plus loin que celui de A₁ puis mesure le trajet de A₂ au moyen de deux cartons juxtaposés et les reporte sur A₂, en les obliquant un peu mais sans tenir compte de tous les contours.

On voit qu’au début de l’interrogation ces sujets présentent la même différenciation entre l’égalité des chemins parcourus et celle des points d’arrivée qu’au cours du sous-stade I B. Le sujet Er est même explicite à cet égard (faire le même chemin, c’est « arriver au même endroit ») et Pan nous donne la clef [p. 64] de cette réaction : faire deux chemins égaux, c’est « marcher (à) la même vitesse », c’est-à-dire précisément, selon l’intuition des petits, arriver au même point (voir chapitre VII). Mais ensuite, la constatation des détours (chez Pan) et surtout l’expérience du trajet effectué sur le premier segment de A₂, perpendiculaire à A₁, montrent à l’enfant que l’ordre points d’arrivée ne correspond pas aux longueurs des chemins parcourus : en particulier si l’on répartit le chemin total en étapes successives, il n’y a plus aucune correspondance entre les deux sortes de valeurs. L’enfant cherche alors à évaluer les longueurs pour elles-mêmes, et il le fait soit à vue, soit par une mesure digitale. C’est, en effet, d’abord en suivant du doigt les trajets parcourus qu’il comprend le mieux leurs inégalités, comme s’il lui fallait revivre le mouvement pour comprendre la différence des chemins : « je voudrais faire ce tour » dit par exemple And. Mais le trajet étant encore senti comme l’expression d’un mouvement unique et indivise, il ne peut être décomposé en étapes statiques, d’où la répugnance à se servir du carton. Il s’y ajoute le fait que, toujours attiré par la direction privilégiée déterminée par le point d’arrivée, l’enfant, en posant le carton, a tendance à l’orientation en fonction de ce point (cf. Jan et Ul à la fin des interrogations), d’où l’impossibilité de décomposer le parcours. Cependant Jan était près de l’attitude métrique en comptant les segments.

Les sujets du sous-stade II B dissocient d’emblée les longueurs des chemins parcourus de l’ordre des points d’arrivée, mais ne réagissent guère mieux à la mesure :

Luc (5 ; 10). Trois unités sur A₁ : Luc place son train au sommet du premier segment de A₂. « C’est la même longueur ? — Non (il l’avance au troisième segment). Là ; ça fait trois carrés. — Ce carton (posé sur la ligne) pourrait t’aider ? — Non. »

Planche B. Deux segments : Luc mesure avec les doigts et arrive un peu en avant « parce que vous êtes parti d’ici et moi d’ici (il vérifie en refaisant les trajets avec son doigt) ».

Dor (6 ; 0). Deux segments de A₂ : juste ; et un : idem (immédiat). Six segments : se place d’emblée plus loin. « Pourquoi ? — Parce qu’ici il y a les petits carrés. — Mais pourquoi là ? — Il y en a six (compte à vue, mais refuse la mesure). » La suite : même réaction.

Planche B : se met d’emblée en avant, prend les mesures 1, 2 et 3 pour les segments de B₂, puis pose 1, 4 et 2 sur la droite B₁, et dit « Ça fait trois et trois » comme s’il s’agissait d’unités égales. « Lequel est le plus long ? — Ici (B₁ où se trouve le plus long des cartons, soit 4). — Remets ces cartons (1, 4 et 2) en bas (sur B₂). — (Il déplace seulement 4 et 2). » Dans la suite il se refuse à l’emploi d’un seul carton unité : « On peut pas comme ça. »

[p. 65]El (6 ; 4) reporte à vue trois segments sur A₁ pour trois sur A₂ : « C’est juste ? — Oui… non, pas tout à fait trois fois (il l’avance un peu). — Tu pourrais mesurer avec ça (on pose le carton sur un segment) ? — Non. » On recommence : il compte à vue, sans égalisation des unités.

Planche B : il place son train en avant et couvre les deux trajets de cartons sans s’occuper de leur inégalité : « Ça fait trois, ici cinq », mais il ne déplace pas sa perle. Il échoue avec un seul carton.

Chri (7 ; 1) met sans cesse le train de A₁ en avant, mais refuse de mesurer : « On y voit. »

Gil (7 ; 2) débute par les mêmes réactions, essaie avec le carton puis le rejette en lui préférant ses doigts. Mais il finit par le reprendre et réussit la mesure, passant ainsi au stade III.

On voit que ces sujets dissocient tous, et même d’emblée, l’égalité des longueurs parcourues de celle des points d’arrivée, mais la question est de savoir si cette dissociation est complète ou s’il reste dans la conception que l’enfant de ce niveau se fait du trajet effectué, des adhérences intuitives empruntées à la notion de l’ordre des arrivées (et si ce ne sont pas précisément ces adhérences qui entravent encore la mesure). Il ne saurait, en effet, y avoir différenciation complète entre les deux sortes de notions en jeu que par le moyen d’un double système opératoire : les points d’arrivée relèvent, à cet égard, d’un groupement de successions (A avant B, B avant C, etc.) tandis que les longueurs ou distances supposent un emboîtement des intervalles comme tels donnés entre ces points successifs. Or, nous avons pu constater, au cours des chapitre I et II que les sujets appartenant à ce deuxième stade sont encore loin de dominer l’emploi des opérations d’ordre, puisqu’ils procèdent encore par intuitions « rigides » (voir pour le sous-stade II B chapitre I § 2 et surtout chapitre II § 3), quoique articulées : la prévision des successions n’est possible qu’à partir du début d’une série et non pas en partant d’un terme intercalaire, etc.

S’il en est ainsi on peut donc se demander si l’emboîtement des intervalles, autrement dit la conception opératoire des distances parcourues, est déjà atteint. C’est ici que l’examen des réactions relatives à la mesure est fort instructif, même sans insister sur le mécanisme de celle-ci.

Pourquoi, en effet, aucun de ces enfants ne parvient-il à mesurer les trajets au moyen des cartons mis à leur disposition ? Toute mesure implique trois conditions au moins : 1° une partition découpant au sein du tout une partie choisie comme unité ; 2° un déplacement permettant de reporter la partie unité sur les autres parties du même tout ou d’un second ; 3° un [p. 66] rapport de transitivité permettant de conclure que si A = B et B = C, alors A = C. Or le comportement des sujets cités (sauf Gil à la fin) montre assez que ces conditions ne sont pas remplies et cela pour une raison jamais exprimée mais qui transparaît en chaque interrogatoire : c’est que le mouvement est un tout indivis et que le chemin parcouru constitue sans plus la suite des positions successivement occupées au cours de ce mouvement, ne comportant ainsi aucune partition possible en unités homogènes.

Que font, en réalité, nos sujets lorsqu’on les pousse à mesurer ? Ou bien ils parcourent les trajets du doigt comme au sous-stade II A, ou bien ils les recouvrent entièrement de cartons inégaux (Dor et El) comme si le spectacle de ceux-ci permettait une évaluation plus claire que celui des lignes elles-mêmes ! Il est donc évident que l’on ne peut encore parler de partition aboutissant à la distribution du tout en parties homogènes ou en unités. C’est ainsi que Dor, après avoir posé les cartons 1, 2, 3 sur la ligne brisée B₂ et 1, 4, 2 sur la droite B₁ dit : « Ça fait trois et trois » comme s’il s’agissait des mêmes unités et que El, au contraire, après avoir couvert les deux lignes de cartons inégaux dit « Ça fait trois, ici cinq » sans déplacer pour autant son train comme si l’égalité des chemins était sans rapport avec cette mesure. Aucun de ces sujets ne sait, d’autre part, se servir d’un carton unique choisi comme unité. Lorsqu’enfin ils comptent les segments, comme Luc et Dor (au début), ce sont les étapes du mouvement lui-même qu’ils numérotent et non pas des unités de distances (bien que A₂ soit réparti en unités toutes faites), puisqu’ils ne s’occupent pas de construire des unités égales sur la droite A₁. Quant au déplacement de la mesure, il n’est pas mieux conçu que la partition elle-même : lorsque l’enfant mesure avec les doigts, c’est qu’il cherche à imiter le mouvement comme tel du mobile, et lorsqu’on lui offre un seul carton, il ne sait pas le reporter par déplacements successifs. Et pourquoi cela ? C’est qu’il ne comprend même pas la transitivité elle-même (A = B ; B = C donc A = C) ou du moins n’a pas l’idée de l’appliquer à la comparaison des deux lignes. Par exemple Dor après avoir mis les cartons 1, 2, 3 sur B₂ et 1, 4, 2 sur B₁ ne cherche nullement à transporter l’un de ces deux ensembles sur l’autre ligne, et, quand après avoir enlevé 1, 2, 3 de B₂ on lui demande de reporter 1, 4, 2 sur B₂ il se contente de déplacer 4 et 2. Bref, il n’y a ni construction d’une unité par partition, ni déplacement de la mesure ni même commune mesure.

[p. 67] Or, la signification de ces réactions est assurément que la distance, pour ces sujets, n’est pas encore entièrement différenciée du mouvement comme tel, bien que l’égalité des longueurs commence à se dissocier de celle des points d’arrivée. La distance, ou longueur du chemin parcouru, constitue toujours une intuition spatio-temporelle globale de la marche à fournir pour parvenir au but. C’est pourquoi il n’y a pas encore, à ce niveau, d’emboîtement opératoire des intervalles suffisant pour permettre la construction d’un système de mesure.

Avant d’examiner les cas francs de ce dernier stade, voici quelques cas intermédiaires entre les stades II B et III qui montrent la découverte progressive de la mesure :

Mon (7 ; 2). Six segments sur A₂ : il place son train beaucoup plus loin : « Ça pourrait t’aider ce carton ? — Sais pas. — On va recommencer (trois segments). — Là (il mesure correctement les trois segments et reporte sur A₁. »

Planche B (trois segments) : il prend les cartons 3, 4 et 5 puis les écarte, et trouve 1, l’applique au premier segment de B₂ et le reporte sur B₂. Il fait ensuite de même avec les cartons 2 et 3. « Et si tu prenais ça seulement (le carton 1) ? — (Il mesure à nouveau le premier segment mais ne sait pas comment continuer). »

Éli (7 ; 11). Cinq segments égaux de A₂ : compte puis reporte approximativement. On lui donne le carton : il le reporte cinq fois. Planche B : procède d’abord comme Mon, puis lorsque l’expérimentateur prend le train de B₁ (la droite), Éli mesure six unités égales sur B₁ et essaie de les reporter sur la ligne brisée B₂, mais, voyant que l’unité ne correspond plus aux autres segments, il se borne à les compter sans tenir compte de leur inégalité.

Jos (8 ; 0) refuse d’abord la mesure puis prend le carton, essaie et reporte cinq segments : « Comment as-tu fait ? — J’ai compté cinq espaces. » Planche B : procède comme les sujets précédents en avançant sa perle lors du rapport de chaque nouveau carton, 1, 2, 3… « Et avec un seul carton ? — (Il essaie avec 5, puis prend le 2, puis le 1 qu’il reporte comme sur la planche A.) Un, deux », etc.

Pie (8 ; 6). Planche B : « Ça ne va pas, parce qu’il n’y a pas tous les mêmes cartons (met 1 puis 4 et 2, et essaie avec 1 seul et s’en sert correctement comme unité). »

Et voici des cas francs :

Geo (7 ; 8) mesure d’emblée les trajets de la planche A. Pour B, il applique d’abord un ou deux cartons qu’il reporte, puis prend le n° 1 et l’applique successivement en le reportant un même nombre de fois.

On lui présente les deux planches à la fois en lui faisant trouver [p. 68] sur la ligne brisée B₂ un chemin parcouru sur la ligne brisée A₂ et réciproquement : il s’en tire très correctement au moyen du carton 1.

Mar (7 ; 11) mesure d’emblée en comptant les segments de A₂ et en reportant un même nombre de fois le carton unité. Pour B, il reporte les différents cartons : « Et avec un seul ? — (Il prend 5 et met le doigt à l’endroit où chacun des segments successifs prend fin sur cette mesure plus longue que 1 à 4, puis se sert de 1 qu’il reporte correctement). »

On voit qu’au terme de cette évolution, les chemins parcourus sont non seulement dissociés de l’ordre des points d’arrivée, mais encore conçus comme des distances indépendamment du mouvement en tant que changement de position ou dé-placement : à titre d’intervalles compris entre les points de départ et d’arrivée ils sont ainsi considérés comme des longueurs susceptibles d’emboîtements se correspondant d’une ligne à l’autre. Cette partition et cette transitivité qualitatives précèdent quelque peu la découverte de l’unité (Mon et Éli), mais est rapidement suivie de la construction de cette dernière, par une combinaison du déplacement itératif (report successif du même carton) avec la partition. D’où la compréhension de la mesure. On peut donc dire qu’au niveau des opérations concrètes (7-8 ans) la notion du chemin parcouru est acquise opératoirement sous son double aspect qualitatif (emboîtement des distances comprises comme intervalles entre les points de départ et d’arrivée) et métrique (mesure par déplacement de la partie unité).

En conclusion, tant que la notion d’ordre reste intuitive (stades I et II) le chemin parcouru reste indifférencié de cet ordre et du mouvement conçu comme une marche orientée vers un but donné, tandis que lorsque l’ordre est construit opératoirement (les opérations de « placement » du stade III), le chemin parcouru s’en dissocie à titre d’intervalle compris entre les points extrêmes du déplacement, l’ordre de ces positions successives n’influençant plus l’addition des intervalles ou distances.