Chapitre X.
La conservation des vitesses uniformes et de leurs rapports ^{1 a} 🔗

Constatant qu’en une première journée l’auto effectue un certain parcours, l’enfant du stade I ne parvient même pas à établir que, marchant une seconde journée pendant le même temps et à la « même vitesse », l’auto parcourra une distance égale en prolongement de la première. Il s’agit, en effet, de faire trouver le chemin parcouru durant la seconde journée à la suite du chemin effectué le premier jour, et c’est en cela que consiste toute la difficulté. Si les deux trajets quotidiens n’étaient pas en prolongement l’un de l’autre, et qu’on se borne à présenter au sujet une seconde route parallèle à la première, il n’aurait aucune peine à reproduire la même longueur de parcours : il ferait coïncider les points de départ, en les mettant l’un au-dessous de l’autre, et trouverait ainsi l’arrêt, à la fin de la seconde [p. 213] journée, en mettant un point exactement au-dessous de celui qui marque la fin du trajet du premier jour. Mais on ne pourrait nullement conclure, de ce comportement intuitif, que l’enfant a compris qu’un mouvement de même vitesse effectué durant un même temps, correspond à une même longueur : l’enfant aurait simplement exprimé l’égalité des vitesses par l’identité des points d’arrivée, et nous avons vu, au chapitre VII, à quelles erreurs systématiques conduit un tel critère. Or, le problème que l’on pose au sujet est au contraire de reporter la même distance en prolongement de celle qui a été parcourue durant le premier jour, ce qui correspond d’ailleurs entièrement aux données concrètes, puisque l’auto est censée continuer sa route et non pas la refaire. Or, cette question de prolongement, qui pour nous équivaut sans plus à celle de la duplication du premier trajet, présente au contraire une grande difficulté pour l’enfant, ou plutôt deux difficultés complémentaires, qu’il convient de se rappeler pour pouvoir lire utilement les faits suivants. La première tient à la notion de temps : reporter un même temps n’a pas encore de signification pour le sujet, car deux temps successifs ne sont pas comparables au niveau intuitif, faute de réversibilité opératoire, et cela d’autant moins que deux durées synchrones ne sont même pas tenues pour égales, lorsque les mouvements simultanés auxquelles elles correspondent n’ont pas les mêmes points de départ et les mêmes points d’arrivée. En second lieu, et surtout, nous avons vu au chapitre III que les chemins parcourus sont d’abord évalués d’après leurs points d’arrivée et au chapitre VII que les vitesses comme telles sont estimées, au cours du premier stade, selon ce même critère. Il va de soi que, en ces conditions, le report d’un même trajet constitue une difficulté réelle et que la conservation de la vitesse ne saurait encore avoir de signification faute d’une structure opératoire permettant la mise en relations des facteurs en jeu.

Voici des exemples d’un sous-stade I A, c’est-à-dire parmi les plus primitives que nous ayons observées :

Ger (5 ; 4). On fait marcher l’auto et le bonhomme : « Lequel va plus vite ? — L’auto. —  À quelle heure tu te lèves ? — À 7 heures. —  Alors regarde : ce bonhomme et cette auto partent les deux ensemble le matin à 7 h et ils s’arrêtent tous les deux à 7 h du soir (on fait les trajets). Ils sont partis en même temps ? — Non. —  Lequel est parti avant ? — L’auto. —  Ils se sont arrêtés en même temps ? — Non. —  Lequel avant ? — L’auto. — Ils ont marché la même chose longtemps ? — Non, l’auto plus longtemps. — Pourquoi ? — Parce qu’elle est arrivée plus loin. — (On recommence avec signaux acoustiques : Ger admet [p. 214] alors ces simultanéités et même l’égalité des temps, mais avec suggestion de notre part.) — Alors le second jour, où arrivera l’auto ? Et elle part aussi à 7 h du matin et arrive aussi à 7 h du soir. Elle marche le même temps et la même chose vite ? — Ici (montre un trajet plus court que le premier). — Est-ce qu’il fait un même chemin, un même chemin long le second jour ? — Le second jour, il arrive plus loin (la distance est donc d’emblée traduite en ordre de succession des points d’arrivée). — Mais ça (on montre du doigt le second trajet), c’est un chemin moins long que ça (premier trajet) ? — … (ne comprend pas). — Pourquoi tu l’as fait moins long ? — … — Et le troisième jour, s’il va la même chose vite et aussi de 7 h du matin à 7 h du soir ? — Ça (distance arbitraire, de nouveau trop courte). — Regarde, on peut mesurer avec ce papier (il reproduit nos gestes). — Alors, le second jour, où arrivera-t-il (on répète les données) ? — Jusque-là (montre un chemin beaucoup trop long). — Pourquoi il fait un plus grand chemin ? — Parce que l’auto est arrivée là. —  Moi je pense qu’elle est arrivée là (on montre un trajet égal au premier). Qui a raison ? — Moi (décidé). » Impossible d’en tirer davantage.

Do (5 ; 2) dit se lever à 8 h et se coucher à 10 h : « Alors, regarde. L’auto part à 8 h et s’arrête à 10 h et le bonhomme aussi (expér.). Lequel est allé le plus vite ? — L’auto. —  Ils sont partis en même temps ? — Oui, mais l’auto va encore plus loin, et pas le bonhomme. — Ils se sont arrêtés en même temps ? — Non, l’auto va plus vite. — Ils ont marché pendant le même temps ? — Non. —  Et le deuxième jour (mêmes données), où arrivera l’auto ? — Je ne sais pas. —  Mais si elle marche à la même vitesse, et aussi de 8 h du matin à 10 h du soir ? — (Désigne un point arbitraire.) — Ce papier peut t’aider à mesurer ? — Non. —  Et le bonhomme, où il arrivera ? — Moins loin que l’auto (de nouveau arbitraire). »

Dit (5 ; 6) dit se lever à 9 h et se coucher à 10 h. On explique et on fait l’expérience : « Ils sont partis en même temps ? — Non, l’auto va plus vite. — Et arrivés en même temps ? — Non. — Mais ils se sont arrêtés au même moment ? — Non. — Et le deuxième jour, si, etc. (répétition exacte des données) ? — (Il montre un trajet à peu près double de celui du premier jour, voulant sans doute indiquer qu’il va quelque chose comme deux fois plus loin le second jour : en fait on a donc environ trois unités.) — Mais il va la même chose vite que le premier jour et il marche aussi de 9 h à 10 h : est-ce que, s’il va à la même vitesse, il fera le même chemin le second jour, un chemin aussi long que ce qu’il a fait le premier jour ? — Non, pas le même. —  Pourquoi ? — Plus court (il montre cette fois un trajet arbitraire, mais plus court que le premier). — Regarde (on reporte le même trajet avec un papier). — Et le troisième jour ? — (Il trace un trajet plus court, etc.) »

« Et le bonhomme, le second jour (on rappelle les données) ? — (Il montre une petite différence avec l’auto, mais lui assigne un trajet plus long que le premier jour.) — C’est le même chemin qu’il a fait le premier jour ? — Non. — Alors ? — (Recommence, etc.) »

[p. 215]Mic (6 ; 1) croit que « l’auto a mis plus de temps » entre 8 h du matin et 9 h du soir parce qu’elle est arrivée « plus loin ». — Et le deuxième jour, si elle part aussi à 8 h et arrive aussi le soir à 9 h et roule à la même vitesse ? — Elle arrive ici, peut-être (montre trop loin). — Pourquoi tu fais plus long que le premier jour ? — Parce qu’elle a fait tout ça. Ça doit être plus long, parce qu’elle s’arrête plus loin (confusion de « plus loin » et de « plus long », comme chez Dit). — Elle a été à la même vitesse que le premier jour ? — Oui. —  Et elle a marché le même temps ? — Non, une heure de plus. —  Mais elle est partie aussi à 8 h et arrivée aussi à 9 h ? — Oui. —  Alors, pourquoi une heure de plus ? — … (mêmes confusions que pour la vitesse). — Et le bonhomme, qu’est-ce qu’il fait le deuxième jour ? — Jusqu’ici parce qu’il fait moins que l’auto (trop loin). — Mais il fait un chemin plus grand ou plus petit que le premier jour ? — Un peu plus grand. — Pourquoi ? — Parce qu’il a fait une demi-heure de plus ».

« Et le troisième jour, jusqu’où va l’auto (on répète les données) ? — Jusqu’ici (encore plus long trajet). — Pourquoi ? — Parce qu’elle roule trois heures de plus. —  Et si le dernier jour, l’auto marche seulement une demi-journée, jusqu’à midi ? — Comme ça (montre un trajet plus long encore). »

Gis (6 ; 2). 9 h à 8 h : « L’auto est arrivée plus loin, parce qu’elle va plus vite. — (Deuxième jour.) — Ici (trajet beaucoup plus long) parce qu’elle va plus loin. —  Pourquoi tu fais le chemin du second jour plus long que le premier ? — Parce qu’il n’était pas loin le premier jour. »

Telles sont les réactions primitives aux questions de conservation de la vitesse. Il est clair que l’enfant ne met pas en doute l’affirmation donnée de l’égalité des vitesses le premier et le second jour, et qu’il est capable de répéter à volonté cette formule verbale. Néanmoins il n’en conclut nullement à l’égalité des trajets successifs et nous avons déjà entrevu pourquoi au début de ce § .

En effet, si l’intuition de la vitesse est essentiellement celle du dépassement, et que le seul critère d’évaluation des vitesses dont dispose le sujet soit l’ordre de succession spatiale des points d’arrivée, il va de soi qu’il ne saura pas traduire l’égalité de vitesse de deux mouvements successifs par celle de leurs trajets, donc des distances parcourues : il faudrait pour cela concevoir la vitesse comme un rapport entre les espaces et les temps, et c’est précisément ce à quoi l’intuition du dépassement ne suffit pas. Nous avons vu au chapitre IX que, encore au début du stade des opérations concrètes (stade III), les sujets qui savent donc juger avec exactitude de la vitesse des mouvements simultanés, sont perdus dès que les mouvements sont successifs ; ils ne comprennent pas, malgré la perception successive des mouvements, [p. 216] les dessins et la mesure des temps, que la distance A parcourue en n secondes équivaut en vitesse à la distance 2 A parcourue en 2 n secondes. Il est donc parfaitement naturel qu’au stade I, c’est-à-dire bien avant la construction opératoire concrète de la relation spatio-temporelle de vitesse, l’enfant ne soit pas capable de reporter la même distance pour exprimer la conservation d’une vitesse, puisque les distances successivement parcourues par le même mobile correspondent à des mouvements successifs et non pas simultanés.

Mais à défaut d’opérations précises le sujet ne pourrait-il pas deviner, puisqu’on lui affirme l’égalité des vitesses de l’auto en ses trajets quotidiens, et l’égalité des temps durant lesquels elle roule, que les longueurs parcourues sont elles aussi égales ? C’est bien ce qui se passera au cours du stade II, au cours duquel l’intuition anticipera la solution juste dont la logique ne serait pas encore capable. Seulement, au niveau du stade I le sujet semble ne parvenir encore ni à reporter une distance égale ni à se représenter l’égalité de deux temps successifs.

En ce qui concerne l’espace parcouru, Ger, Mic et Gis confirment explicitement et les autres implicitement les résultats du chapitre III : du moment que les chemins parcourus, comme les vitesses elles-mêmes, se mesurent d’abord à leurs seuls points d’arrivée, et non point au rapport entre les points de départ et d’arrivée, ces sujets sont fort empruntés pour reporter la distance parcourue le premier jour, puisque le point de départ du trajet du second jour ne coïncide pas avec celui du premier jour, mais bien avec le premier point d’arrivée lui-même. Aussi l’enfant se borne-t-il à affirmer que, le second jour, l’auto va « plus loin », et à assigner, comme Ger et Do, un point d’arrivée arbitraire pour les second et troisième jours, faute de correspondance avec celui du premier jour. Les sujets Dit et surtout Mic et Gis cherchent, il est vrai, à sortir de l’arbitraire et à trouver une distance correspondant à la même vitesse, durant le second jour. Mais alors, étant donné le fait que le mobile arrive plus loin au soir de la seconde journée qu’au soir de la première (plus loin : absolument), ils en concluent qu’il a parcouru une plus grande distance le second jour que le premier (plus grande : relativement, c’est-à-dire le second jour isolément comparé au premier isolément, et non pas les deux jours ensemble comparés au premier). L’auto « a fait tout ça, dit par exemple Mic, ça doit être plus long puisqu’elle arrive plus loin ». Et Gis : c’est plus long « parce qu’elle va plus loin », parce que le chemin « n’était pas loin le premier jour ». Dit va jusqu’à calculer pour le second [p. 217] jour un trajet partiel à peu près double de celui du premier jour, sans voir qu’il aboutit ainsi à trois unités, équivalant à trois et non pas à deux jours. Ce dernier exemple montre d’ailleurs bien que ce ne sont pas les difficultés techniques d’évaluation des longueurs qui arrêtent les enfants (puisque leur acuité visuelle suffît entièrement à une estimation exacte) mais bien les difficultés théoriques relatives aux mouvements successifs.

Or, chose intéressante, cette estimation de la longueur au moyen du point d’arrivée, donc cette indifférenciation de l’intervalle (distance) avec l’ordre de succession, se retrouve chez les mêmes sujets en ce qui concerne cet autre intervalle que constitue la durée et cet autre ordre de succession qu’est l’ordre temporel. Comprendre que l’auto, conservant sa vitesse, fera le second jour le même chemin dans le même temps, suppose en effet, en plus du transport de la même distance, celui de la même durée, conçue comme intervalle de temps compris entre le moment de départ et celui de l’arrivée. Or, l’enfant peut-il à ce niveau parvenir à saisir une telle notion ? Saisira-t-il, autrement dit, que la durée comprise entre 8 h du matin et 10 h du soir le premier jour, équivaut à la durée comprise entre 8 h du matin et 10 h du soir le second jour, et cela bien que nous choisissons toujours, pour faciliter les choses, les heures indiquées par l’enfant lui-même comme étant celles de son lever et de son coucher (que ce soit exact ou non, peu importe) ? Notons d’abord qu’aucun de ces sujets n’a même la notion de l’égalité des durées synchrones : lorsqu’ils voient l’auto et le bonhomme partir ensemble et s’arrêter ensemble le premier jour, ils contestent la simultanéité des points d’arrivée et souvent même, celle des points de départ, et surtout ils se refusent à reconnaître l’égalité de ces deux durées, précisément parce que l’auto va plus vite et plus loin que le bonhomme. Comment donc, ne comprenant pas cette synchronisation élémentaire, admettront-ils l’isochronisme, c’est-à-dire l’égalité de durées successives ? Il faudrait pour cela qu’un intervalle de temps, détaché de ses moments de départ et d’arrivée puisse se trouver le même entre de nouveaux points de départ et d’arrivée, équivalents au premier : or cette égalisation de deux intervalles successifs, abstraits de leurs événements limites, suppose assurément la construction opératoire du temps tout entier, qualitatif et métrique. Les plus jeunes de nos sujets (Ger, Do et Dit) ne comprennent donc même pas le problème. Quant à Mic et à Gis, ils le saisissent en partie, mais lui donnent une solution exactement analogue à celle qu’ils ont trouvée pour la distance [p. 218] spatiale : la grandeur des intervalles est proportionnelle à l’ordre absolu de succession de leurs points limites, c’est-à-dire que n heures s’écoulant après n premières heures sont plus longues que les premières, précisément parce que venant après. C’est ainsi que Mic, tout en reconnaissant sans difficulté que l’auto et le bonhomme partent aux mêmes heures et s’arrêtent aux mêmes heures le second jour et le premier, affirme cependant que l’auto a marché une heure de plus le second jour et trois heures de plus le troisième jour, ou que le bonhomme a marché ½ heure de plus le second jour (½ heure parce qu’allant moins loin que l’auto) : il veut simplement dire par là que la durée du deuxième et du troisième jours n’est pas équivalente à celle du premier, parce que venant après, de même que les trajets effectués durant ces journées ultérieures sont plus longs que celui de la première, parce que le mobile arrive plus loin ². La chose n’a rien d’étonnant, d’ailleurs, puisqu’à ce niveau le temps est indifférencié à l’espace et à la vitesse elle-même, et que tous trois s’évaluent en fonction des points d’arrivée.

Bref, une distance ni une durée ne pouvant se reporter, égales à elles-mêmes, dans la suite linéaire de la trajectoire spatiale ou du temps, il va de soi que la notion de la conservation de la vitesse ne saurait présenter aucun sens spatio-temporel pour l’enfant. Elle peut se comprendre intuitivement grâce à l’expérience des mouvements du corps propre : l’auto, comme le bonhomme, gardent leurs vitesses respectives s’ils n’accélèrent leur marche ni ne la ralentissent. Mais elle ne saurait encore se constituer de façon opératoire parce qu’elle supposerait alors un rapport constant entre des distances successives égales parcourues en des temps successifs eux aussi égaux. On voit donc que, dans ce cas de la vitesse comme dans tous les autres exemples de développement d’une notion de conservation, c’est faute de « groupement » qu’il n’y a, au début, aucune conservation possible : c’est parce que ni les distances ni les durées successives ne peuvent se composer entre elles de façon additive, associative et réversible, au niveau où la vitesse est conçue en fonction d’une simple intuition d’ordre, incomplète et même souvent inexacte comme toutes les intuitions.

Il est clair que la question de la demi-journée (question III) ne saurait dès lors être réussie ni même comprise, faute de considération des distances. Mic va jusqu’à prévoir, pour une demi-journée, un trajet beaucoup plus long que celui du troisième jour, [p. 219] ne tenant compte que de l’ordre des points d’arrivée et n’ayant aucun soupçon de la proportionnalité.

Quant à la différence de vitesse entre le bonhomme et l’auto (question II), il va de soi que, si la vitesse s’évalue ainsi selon l’ordre de succession des seuls points d’arrivée, cette différence se conservera plus facilement que les vitesses elles-mêmes, mais sous une forme absolue et non point relative : autrement dit, l’enfant placera le point d’arrivée du bonhomme un peu en deçà de celui de l’auto, quelle que soit la position de ce dernier. Mais, au niveau I A que nous considérons maintenant, le sujet néglige si complètement les distances qu’il ne cherche même pas à conserver la différence (absolue) exacte de ces deux points d’arrivée et désigne arbitrairement celui du bonhomme, pourvu qu’il demeure en deçà de celui de l’auto.

Au cours d’un sous-stade I B, par contre, cette question des différences d’arrivée entre le bonhomme et l’auto donne lieu à un léger progrès, les autres réactions demeurant exactement semblables à celles du sous-stade I A. Ce progrès consiste simplement à maintenir constante la différence absolue des points d’arrivée des deux mobiles, quelle que soit la position, toujours encore arbitraire, assignée au point d’arrivée de l’auto :

Chel (5 ; 10) reporte, pour la seconde journée de l’auto, un trajet analogue à celui du premier, et, pour le troisième jour, un trajet beaucoup plus long : « Pourquoi tu fais toujours plus long ? — Il a fait tout ce bout-là. —  Pourquoi ? — … — Et le jour suivant, s’il va la même chose fort, le bout de chemin sera plus long, plus petit ou pareil ? — Sais pas. »

« Et le bonhomme jusqu’où il arrive le second jour ? — Ici (reporte la même différence), parce que l’auto va plus vite. — Et le troisième jour ? — Ici (même différence). — Mais regarde : si le bonhomme a fait ça le premier pour et qu’il va toujours la même chose vite, est-ce qu’il arrivera jusqu’ici ? — … — Et le lendemain ? — On ne sait pas encore. »

Lil (6 ; 11) admet la simultanéité des points de départ, mais pas celle des points d’arrivée ni l’égalité des durées synchrones. Pour le second jour, Lil assigne à l’auto un trajet plus long que celui du premier jour, et au bonhomme un trajet également plus long, en maintenant soigneusement la différence constante : « Lequel va plus vite ? — L’auto. —  Quel chemin elle a fait le second jour ? — (Le montre.) — Et le bonhomme ? — (Le montre.) — Mais ils ont fait des chemins aussi longs l’un que l’autre, le second jour ? — Non. — Un est plus court que l’autre, de ceux que tu viens de me montrer ? — Oui, celui du bonhomme (il le croit plus court simplement parce qu’il est en retrait). — Mais ce n’est pas le même long chemin, comme ça et comme ça (gestes montrant les deux longueurs) ? — Non. — Ils ont marché la même chose [p. 220] de temps ? — Sais pas. » On recommence le troisième jour mais on retrouve les mêmes réactions.

Jan (7 ans). Admet la simultanéité des départs, mais pas celle des arrivées ni l’égalité des durées : « Et le second jour, où arrivera l’auto ? — Ici (trajet plus petit). — Elle a fait un même long chemin ? — Non. — Alors, fais-le. — … — Regarde (on le marque). Qu’est-ce qui est plus juste, le tien ou le mien ? — Vous. — Pourquoi ? — Parce que vous savez mieux. —  Et le bonhomme ? — (Il reporte la différence absolue.) — Et le 3^e jour (on répète les explications), l’auto fera quoi ? — Un plus long chemin (il le marque). — Et le bonhomme ? — Plus court (fait un chemin égal, en maintenant constante la différence absolue). »

Ces cas du sous-stade I B présentent un intérêt évident du point de vue du mode d’évaluation primitif des longueurs parcourues et des vitesses elles-mêmes. De ce second point de vue, elles confirment entièrement les réactions du sous-stade I A : si vraiment les vitesses s’évaluent en fonction des seuls points d’arrivée des mouvements, il va de soi que l’écart entre les points d’arrivée du bonhomme et de l’auto, au soir du premier jour, demeurera absolu. Pour qu’il fût compris comme relatif, il faudrait que l’enfant conçoive les vitesses comme les rapports des espaces parcourus et des temps : alors seulement, il comprendrait que la différence entre les points d’arrêt des deux mobiles de vitesses distinctes ne peut que croître absolument, parce qu’elle se conserve en tant que rapport. Le fait que ces sujets, en léger progrès sur ceux du sous-stade I A, maintienne cette différence absolue exactement constante confirme donc simplement, mais avec une précision paradoxale, la mesure de la vitesse par les points d’arrivée. Et, en effet, ces enfants raisonnent sur la question I comme ceux du sous-stade I A.

Seulement, il se trouve alors qu’en reportant chaque fois la différence absolue entre les points d’arrivée de l’auto et du bonhomme, l’enfant du sous-stade I B attribue à ces derniers, sans le vouloir et sans même s’en douter, des longueurs parcourues exactement égales lors de leurs trajets quotidiens ! Du point de vue opératoire, ils leur attribuent donc des vitesses égales à partir du second jour, avec un simple décalage dans les départs et les arrivées… Or, l’enfant, non seulement croit maintenir des vitesses très différentes, puisque les points d’arrivée ne coïncident pas, mais encore estime même inégaux les chemins parcourus sans voir qu’ils sont équivalents et simplement en retrait l’un sur l’autre. Plus précisément, il croit le chemin parcouru chaque jour par l’auto plus long que celui du bonhomme ce même jour, parce que le premier dépasse le second et [p. 221] sans s’occuper du décalage des points de départ ! C’est ainsi que Lil refuse énergiquement d’admettre cette égalité, que nous lui suggérons, etc.

Or cette réaction converge entièrement avec ce qui précède. Du point de vue de la longueur des chemins parcourus, elle confirme les conclusions des chapitres III et VI : la longueur même d’un déplacement est d’abord fonction du seul point d’arrivée. Du point de vue de la vitesse, elle vérifie les conclusions du chapitre VII. Selon un schème que nous n’avions pas prévu (et qui se réduit à une variante de la question II de ce chapitre VII) : si un mobile parcourt la droite AB et un autre la droite A’B’ égale à AB mais en retrait sur elle, celui des deux mobiles qui arrive le plus loin est censé aller plus vite (de même que dans le cas de la question II où un mobile parti de plus loin en rattrape presque un autre, le plus lent des deux est censé plus rapide parce que demeurant sans cesse en avant).

L’enfant de ce niveau parvient progressivement à comprendre que, si l’auto conserve sa vitesse le second et le troisième jour, et part et arrive aux mêmes heures chaque jour, elle parcourra des trajets de longueurs égales. Quant au bonhomme, le sujet ferait naturellement le même raisonnement s’il le considérait isolément, mais, lorsqu’il compare sa vitesse à celle de l’auto, il ne parvient pas à les mettre en relations exactes : il continue donc, comme au stade I, de conserver soigneusement de jour en jour la différence absolue des points d’arrivée sans se soucier de la différence relative des espaces parcourus rapportés aux durées. Par contre, et en progrès sur le stade I, le sujet admettra la solution juste s’il compare les deux séries de trajets construites isolément, et comprendra les explications de l’expérimentateur lorsqu’on lui suggérera les différences relatives. Voici quelques exemples :

Bern (6 ; 3) admet les simultanéités de départ et d’arrivée, mais nie l’égalité des durées synchrones. Il commence, pour la seconde journée, par marquer un trajet trop long de l’auto : « Et le bonhomme ? — Ici (conserve la différence absolue). — Est-ce que l’auto fait le second jour un trajet plus grand, plus petit ou de même longueur que le premier jour ? — La même chose long… Non, il a fait un chemin plus long. —  Pourquoi ? — … — (On montre deux chemins égaux.) — Non, c’est trop petit, parce que le chemin devient toujours plus grand (confond les distances intercalaires avec la longueur totale, c’est-à-dire avec l’ordre de [p. 222] succession des points d’arrivée). — Et le troisième jour ? — Ah ! C’est le même chemin (il mesure et corrige ce qui précède). »

« Et le bonhomme, jusqu’où arrive-t-il le troisième jour ? — (Montre la même différence absolue que pour le second jour.) — Qu’est-ce qu’il a fait le premier jour ? — (Montre juste.) — Et le second jour ? — (Il reporte une distance à peu près égale, parce qu’il ne s’occupe plus de l’auto, restée en position au point final de son troisième trajet.) — Pourquoi là ? — Parce qu’il va moins vite que l’auto. —  Et le troisième jour ? — (Il s’apprête à reporter le même petit chemin mais, apercevant l’auto, il place alors le bonhomme près d’elle en conservant la différence absolue du début.) — Pourquoi tu le mets là ? — Il fait toujours la même distance (!). — Regarde ce que tu as fait : il va toujours à la même vitesse, ton bonhomme ? — (Il regarde les trajets.) Il va plus doucement au commencement et plus vite à la fin (hésitation). Ah non, il va toujours à la même vitesse (Bern corrige le dernier trajet). »

« Qu’est-ce que c’est qu’une demi-journée ? — C’est seulement du matin à midi. —  Bien, alors regarde : le quatrième jour l’auto s’arrête à midi. Elle marchera seulement une demi-journée. Alors où arrivera-t-elle ? — (Il marque une distance pleine et fier de constater l’égalité de tous les trajets, y compris celui de la demi-journée, dit) : J’ai trouvé le truc. —  Et maintenant elle fera deux jours entiers sans s’arrêter. Où arrivera-t-elle ? — (Également faux : montre la valeur de 3 à 4 trajets.) »

Dor (7 ; 2) admet les simultanéités mais pas l’égalité des durées synchrones. Il commence par reporter les trajets non pas à la suite les uns des autres, mais en dessous : d’où une stricte égalité pour le bonhomme comme pour l’auto. On lui dit de partir des points d’arrivée du premier soir : il fait alors, pour l’auto, un trajet un peu plus long que celui du premier jour, puis trop court, puis juste. Troisième jour : d’emblée juste.

Pour le bonhomme, montre à peu près juste pour le second jour, mais, pour le troisième, retombe dans la différence absolue : « Tu crois que le troisième jour le bonhomme va plus loin que le second ? — Ah non, la même chose. —  Et le quatrième jour ? — (Fait avancer l’auto d’un trajet égal aux précédents, mais, pour le bonhomme, retombe dans la différence absolue !) »

Clau (7 ; 11) : « Ils sont partis en même temps ? — Oui. —  Arrêtés au même moment ? — Oui. —  Le bonhomme marche 10 heures. Et l’auto ? — 11 heures, parce qu’elle est plus en avance. — Mais ils partent à 6 h du matin tous les deux ? — Oui. — Et ils s’arrêtent tous les deux à quelle heure ? — À 6 h du soir. —  Si tu veux. Alors combien d’heures marche le bonhomme ? — 11 heures, non 12 heures. — Bien. Et l’auto ? — 12 heures aussi, non 13 heures parce qu’elle est en avance ! »

On répète les données pour le deuxième jour : « Où arrive l’auto ? — (Trop long, puis corrige.) — Et le bonhomme ? — (Montre la différence absolue.) — Pourquoi il n’arrive pas là (point d’arrivée de l’auto) ? — Parce qu’il va moins vite. — Mais pourquoi il a fait tout ce bout et pas autant le premier jour ? — J’ai pensé qu’il a couru un peu plus vite [p. 223] qu’avant. —  Mais non, puisqu’il va à la même vitesse. Alors (on recommence) ? — (Il met l’auto juste, et le bonhomme comme avant !) — Ils ont marché exactement comme le premier jour ? — L’auto, oui, le bonhomme un peu plus vite. —  Mais il va à la même vitesse qu’avant ! — (Clau recule un peu le bonhomme, compare avec les trajets du premier jour, l’avance à nouveau jusqu’à reproduire la différence absolue et le recule enfin jusqu’au point juste.) — Pourquoi là ? — Parce qu’il a fait a même distance que le premier four. —  Si on marche à la même vitesse toute une journée et autant d’heures que la veille, on marche le même bout de chemin ou plus long ou plus court ? — Ça peut être plus long ou plus court. —  Une auto marche une heure, s’arrête et de nouveau une heure a la même vitesse : elle fera quel bout ? — Une fois plus long et une fois plus petit. —  Tu sais ce que c’est une minute ? — Un petit moment. — Dans une heure tu sais combien il y en a ? — Soixante. —  Toutes les heures ont 60 min, ou plus ou moins ? — Quelquefois plus, ou bien moins. »

Pour une demi-journée de l’auto, Clau marque un trajet un peu plus petit que l’unité. « Regarde (on fait l’expér. et il marque à la ½). — Et le bonhomme ? — (Marque presque aussi grand.) — Montre le chemin qu’a fait le bonhomme le 2^e jour (il le montre). Et pendant que l’auto faisait ça (½), qu’a fait le bonhomme ? — (Il montre une unité entière du bonhomme.) »

Mon (8 ; 1) n’admet pas d’emblée la simultanéité des arrivées. Quant aux durées « la fournée du bonhomme est plus courte que celle de l’auto. » — De une heure de l’après-midi à deux heures aujourd’hui et de une heure à deux heures hier, c’est le même temps ? — Oui. —  Et demain ? — Aussi. — Si l’auto marche de 7 h du matin à 8 h du soir et le bonhomme aussi, ils ne marchent pas le même temps ? — Le bonhomme marche plus longtemps. »

Deuxième et troisième jours : met l’auto trop loin puis réduit peu à peu et arrive juste. Pour le bonhomme, commence par la différence absolue puis corrige progressivement.

Demi-journée : trajet de l’auto trop grand, et du bonhomme presque égal à celui de l’auto. Enfin, Mon croit que le bonhomme rattrapera l’auto en trois jours, sur un trajet qui en suppose six.

Cla (8 ; 1) admet simultanéités et synchronisme. Reporte un trajet trop court pour le deuxième jour de l’auto et trop long pour celui du bonhomme (différence absolue) : « Un des deux a fait un plus long chemin que l’autre ? — Oui (il s’aperçoit que le trajet attribué par lui au bonhomme est plus long que celui de l’auto). Ah non, c’est faux. —  L’auto va à la même vitesse le second jour ? — Oui. —  Et le bonhomme ? — Aussi. —  Alors ? — Jusque-là (trajet trop court pour l’auto). — Et si c’était comme ça (encore plus court) ? — Non, parce que ça ne fait pas toute une journée. — Et comme ça (trop long) ? — Non. Si c’était plus long ça ferait la journée et encore un morceau de nuit. —  Alors ? — (Tâtonne et enfin mesure avec un papier.) — Et s’il faisait ça (demi-trajet) ? — Ça ferait la moitié d’une journée. »

[p. 224] « Et le bonhomme le second jour ? — (Trop long : différence absolue.) — Et l’auto le troisième jour ? — (Juste.) — Et le bonhomme ? — (De nouveau trop long.) — Et s’il marchait seul (on enlève l’auto) ? — (Juste.) — Et avec l’auto ? — (Il retombe dans la différence absolue.) »

« Et si l’auto ne marchait qu’une demi-journée ? — (Trop long.) — Et le bonhomme ? — (Aussi trop long.) »

« Un garçon marche une heure et fait un bout de chemin. Ensuite il marche encore une heure. Ça fera quels bouts ? — Les deux les mêmes. — Pourquoi ? — Parce qu’il a fait les mêmes heures. —  Toutes les heures sont la même chose longues ? — Oui. »

Le premier problème que soulèvent ces cas est de savoir comment l’enfant parvient empiriquement à la reproduction des trajets égaux pour l’auto seule et si l’intuition, comme il le semble, au vu du contexte général de ces interrogatoires, suffit à la découverte de la solution juste.

Le sujet Bern, par exemple, commence comme au stade I par croire que « le chemin devient toujours plus grand » (indifférenciation des successions et des distances) : il se refuse, en effet, à l’égalité qu’on lui propose, en trouvant « trop petit ». Mais, pour le troisième jour, alors qu’il veut augmenter encore la différence, il change d’idée après coup et découvre « Ah, le même chemin ! » Dor suit exactement le même processus. Chez ces deux sujets, il y a donc d’abord centration du jugement intuitif sur les points d’arrivée et non pas sur les intervalles, d’où l’idée que l’auto, allant chaque jour plus loin, doit faire un trajet quotidien chaque fois plus grand. Mais, dès le troisième jour l’augmentation de la distance devient trop grande, d’où une régulation par décentration brusque au profit de l’intervalle (« Ah…, etc. »). Chez Cla, la même centration initiale conduit simplement à l’idée que l’auto va plus loin, d’où un trajet arbitraire et trop court, mais il suffit d’en augmenter légèrement la petitesse pour que Cla réponde « non, parce que ça ne fait pas toute une journée », ou d’en exagérer un peu la longueur pour qu’il dise « non, si c’était plus long, ça ferait la journée et encore un morceau de nuit » : le balancement provoqué entre ces deux exagérations déclenche alors une décentration sur l’intervalle qui conduit à l’égalité exacte. Il y a donc là un beau cas de solution par « régulation intuitive ».

Quant aux trajets du bonhomme, le mécanisme régulateur y est encore plus transparent. On constate, en premier lieu, que, par assimilation à ce qui vient d’être acquis par l’enfant, la conservation de la vitesse du bonhomme et l’égalité de ses trajets successifs ne font plus de difficulté lorsque le second mobile [p. 225] n’est pas situé trop près de l’auto, donc n’est pas en connexion visuelle trop proche avec elle : lorsque l’auto est déjà située dans sa position de la fin du troisième ou du quatrième jour, la reconstitution des premiers trajets du bonhomme n’est pas encore influencée par la situation de l’auto et donne effectivement lieu à des réponses exactes. Par contre, dès que le bonhomme se rapproche de l’auto et que la marche du premier est mise en relation avec celle du second, donc dès qu’il s’agit de reconstituer les trajets effectués par le bonhomme pendant que l’auto parcourt les siens, alors les sujets de ce niveau commencent tous, comme ceux du stade I (et même quand ils ont déjà compris l’égalité des trajets quotidiens de l’auto) par situer le point d’arrivée de l’auto dans le même rapport de différence absolue (et non pas relative) avec le point d’arrivée de l’auto qu’au début du parcours : autrement dit, ils conservent simplement la différence absolue initiale, sans comprendre qu’elle augmente chaque jour. Il y a donc, dans le cas du bonhomme bien plus encore que dans celui de l’auto, centration de l’intuition sur les points d’arrivée, sans décentration sur les intervalles parcourus, puisque l’enfant ne se doute même pas, au début, qu’il attribue ainsi au bonhomme des chemins quotidiens chaque jour plus grands. Seulement, à partir de cette centration intuitive initiale, il se produit ensuite, chez ces sujets du stade II, une décentration souvent entièrement spontanée, ou surgissant en cours de discussion : lorsque les espaces parcourus attribués au bonhomme égalent, ou surtout dépassent ceux de l’auto, une régulation, parfois immédiate, vient en effet « modérer » l’erreur. Par exemple Bern commence par reporter (second jour) un trajet à peu près exact pour le bonhomme (l’auto étant plus loin) et par justifier correctement la chose ; mais le troisième jour il se fonde sur la différence absolue en croyant tomber juste (« je fais toujours la même distance ») : la contradiction qui en résulte le conduit alors à la solution. Dor, par contre, oscille sans fin entre la centration sur les points d’arrivée (différence absolue) et celle sur les intervalles, sans parvenir à se décider. Le cas de Clau est analogue à celui de Bern.

Le caractère intuitif (ou régulatoire), et non encore logique (ou opératoire) de ces diverses réactions s’observe également dans la coordination des notions de temps avec l’estimation des trajets parcourus. Tout d’abord, tous ces sujets sauf le plus avancé (Cla) contestent ou la simultanéité des points d’arrivée, ou l’égalité des durées synchrones ou les deux à la fois ³. Or, [p. 226] même lorsqu’ils parviennent intuitivement à la solution correcte de l’égalité des trajets, ils ne peuvent la traduire en relations spatio-temporelles complètes. Le sujet Clau, par exemple, juste après avoir affirmé que (le second jour) le bonhomme « fait la même distance que le premier jour », nie qu’à vitesses égales et temps égaux on ait toujours des espaces égaux : « Ça peut être plus long ou plus court » ; ce que l’on comprend d’ailleurs bien à voir comment il conçoit une heure de temps, puisque l’heure n’a pas toujours soixante minutes, mais « quelquefois plus, ou bien moins », selon les événements qui la remplissent. Par contre, chez Cla, la régulation intuitive finit par atteindre le niveau de la réversibilité opératoire : pour la première fois, l’enfant comprend et formule explicitement qu’à mêmes vitesses les chemins parcourus pendant deux heures différentes seront « les deux les mêmes », parce que le mobile « a fait les mêmes heures ». Ce qui est nouveau dans ce raisonnement est que l’expression « les mêmes heures » s’applique à des heures successives, ainsi considérées comme équivalentes : or, c’est précisément cette permutabilité qualitative (vicariance) de durées successives, qui, en se généralisant, conduira à la notion d’unités de durée, égales entre elles parce que permutables, et, par cela même, aux deux idées corrélatives d’un écoulement uniforme du temps lui-même et de la conservation des vitesses uniformes. C’est en effet lorsque la conservation de la vitesse s’appuiera sur l’idée de l’écoulement uniforme du temps (et vice-versa) qu’elle atteindra le niveau opératoire et dépassera le niveau des simples régulations intuitives : c’est en quoi Cla parvient à la limite du stade III.

Mais, avant de passer à l’analyse de ce troisième stade, cherchons encore pourquoi l’enfant du stade II reste incapable de résoudre les problèmes de la demi-journée et du nombre de jours nécessaires au bonhomme pour rattraper l’auto en une position donnée. Sur le premier point, nous voyons Bern, après avoir défini correctement la demi-journée, reporter un trajet entier sans soupçonner son erreur (« j’ai trouvé le truc ») tandis que pour deux jours il reporte trois à quatre unités ! Clau fait un trajet de 8/10 pour la moitié ; Mon et Cla également. Quant au problème du nombre des jours, l’échec est dû aux mêmes raisons de centration intuitive. Mais les dessins construits par les sujets, pour faciliter leur calcul et représenter la correspondance [p. 227] des trajets restant à effectuer, sont d’un grand intérêt et constituent comme une représentation graphique des régulations préopératoires propres à ce stade II. On y constate d’abord, en ce qui concerne les trajets de l’auto, des dessins représentant des trajets quotidiens inégaux, les uns trop grands mais suivis alors d’une diminution nette du trajet suivant, les autres trop petits et suivis d’un trajet plus grand : l’égalité des trajets quotidiens résulte ainsi de régulations alternant dans un sens et dans l’autre, et tendant progressivement vers elle, sans mesures opératoires reportant l’unité. Quant aux trajets du bonhomme on trouve tous les extrêmes entre les deux types suivants, également représentés (on se rappelle que cette question du nombre de jours vient en fin d’interrogatoire, donc après que les questions précédentes aient été résolues. Voir le cas de Mon). Dans le premier cas, l’enfant commence par situer correctement le point d’arrivée du bonhomme à mi-chemin du trajet de l’auto, mais, lors des trajets suivants, fasciné par le souvenir de la différence initiale des points d’arrivée et ne considérant plus les distances parcourues, le sujet rapproche insensiblement, mais chaque fois davantage, le point d’arrivée du bonhomme de celui de l’auto : il tend ainsi à revenir à la conservation d’une différence absolue, et même, dans les cas extrêmes, il réussit les deux points. D’où les prévisions fantaisistes sur le nombre des jours qu’il faudra au bonhomme pour rejoindre l’auto. Dans le second cas, l’enfant commence au contraire, par conserver la différence absolue, puis décentre progressivement son attention au profit de la distance et finit par parvenir à la différence relative : seulement le résultat est faux ici encore puisque la série a débuté selon un autre principe. Entre ces deux cas extrêmes, on observe toutes les fluctuations.

Au total, les réactions de ce stade II constituent un bel exemple de régulations intuitives aboutissant, par leur équilibre progressif, à la réversibilité opératoire (cas de Cla vers la fin). Partant d’une négation des simultanéités et synchronismes l’enfant ne saurait en effet, conclure d’emblée à la notion d’une conservation des vitesses fondée sur le rapport du temps et de l’espace parcouru. Procédant donc d’abord par intuitions centrées sur les points d’arrivée, le sujet décentre cependant peu à peu son jugement en faveur des intervalles spatiaux et temporels eux-mêmes, à la suite des absurdités auxquelles conduit son point de vue initial. Les régulations qui s’ensuivent, en égalisant graduellement les trajets prévus ou construits, conduisent alors le sujet à la fois à une structuration progressive des durées, [p. 228] tendant dans la direction des relations réversibles entre moments successifs, et par là même à la notion spatio-temporelle de la vitesse, rendant possible la conservation des vitesses uniformes. Une fois de plus le temps et la vitesse apparaissent ainsi solidaires l’un de l’autre, du point de vue des opérations qui les constituent génétiquement.

Les sujets du stade III savent d’eux-mêmes reporter des distances égales, à vitesses et temps égaux, pour le bonhomme comme pour l’auto, c’est-à-dire pour deux vitesses différentes à la fois. Ils dominent par conséquent aussi les notions de simultanéité et de synchronisme et, dès le sous-stade III A, parviennent même (sauf quelques cas de transition) à trouver la proportion simple 2/1 dans l’exemple de la demi-journée employée par l’auto. Par contre, durant le sous-stade III A, ils ne parviennent pas à résoudre cette question pour le bonhomme, qui par lui-même parcourt déjà la moitié du chemin de l’auto (d’où la double relation ½ × ½ = ¼). Au sous-stade III B ce dernier problème est résolu. Mais, pas plus en III B qu’en III A les sujets ne réussissent à prévoir combien de jours de voyage du bonhomme correspondent à quelques jours du voyage de l’auto.

Voici quelques exemples caractéristiques du sous-stade III A, à commencer par un cas intermédiaire :

Pie (6 ; 6). Simultanéités et synchronisme justes. Pour la seconde journée les trajets de l’auto et du bonhomme sont exacts. Le trajet de l’auto, pour la troisième journée est trop court, mais Pie se corrige en disant : « (Le trajet doit être le même) parce que ce jour avait la même longueur que l’autre. » Pour le bonhomme, il attribue toute une unité au troisième jour, mais, voyant l’inégalité avec les jours précédents, il ajoute « Ça doit être faux » et se corrige en disant « J’ai regardé la longueur ». Les questions de la demi-journée ne sont pas réussies ni pour l’auto ni pour le bonhomme.

Ser (7 ; 9) admet les simultanéités et le synchronisme. « Le second jour, ils partent avec la même vitesse que le premier et aux mêmes heures. Jusqu’où arrivent-ils ? — (Un peu trop long pour l’auto, puis se corrige) : Ah oui, le même chemin qu’avant. — Et le bonhomme ? — (Un peu trop long aussi puis mesure) Ah non, c’est la même chose. — Et le troisième jour ? — (Reporte les distances justes.) — Et si l’auto ne roule qu’une demi-journée ? — (Juste.) — Combien le bonhomme fait en un jour ? — (Le montre.) — Et en deux jours ? — (Montre juste.) — Et en une demi-journée ? — (Faux : montre son unité.) — Et pour [p. 229] faire le trajet de l’auto (½) combien faudra-t-il de temps au bonhomme ? — Deux jours. » Donc tout est compris sauf les deux dernières questions.

Nic (8 ; 7). Simultanéités et synchronisme exacts. Marque d’emblée juste les deux trajets du second jour et du troisième, en mesurant avec précision et sans hésitation pour le bonhomme : « Combien l’auto fait en une demi-journée ? — (Trop long, puis raccourcit.) — Et le bonhomme ? — Comme avant : il fait le bout d’un jour. —  Pourquoi ? — Puisqu’il fait la moitié. —  Et un jour il fait quoi ? — (Juste.) — En deux ? En trois ? — (Juste.) — Et en une demi-journée ? — Ah, il marche seulement un petit bout (diminue, mais sans précision). »

Quant aux jours nécessaires au bonhomme pour rattraper l’auto, Nic fait un dessin qui marque une différence croissante entre les points d’arrivée correspondants, mais il n’en prend pas conscience jusqu’à comprendre la chose déductivement : « Si l’auto marche 3 jours, comme ça, et ensuite 4 jours, 5 jours, etc., le bout de chemin que le bonhomme devra faire pour la rattraper sera toujours le même, ou toujours plus grand ou toujours plus petit ? — Il sera toujours le même. »

Ren (8 ; 10) admet simultanéités et synchronisme. Second jour : juste pour l’auto « parce qu’il faut qu’elle marche le même chemin que le jour avant, si elle va à la même vitesse. —  Et si elle faisait ça (trajet un peu plus long) aux mêmes heures ? — C’est qu’elle aurait été plus vite, si les deux jours elle a marché le même temps. —  Et le bonhomme ? — (Il montre un trajet trop grand mais se corrige aussitôt.) Non, il faut qu’il fasse le même chemin, comme avant. Les deux marchent toujours la même chose (= conservent leurs vitesses respectives). — Et les jours suivants ? — (Tout juste) ».

« Un enfant marche une heure et fait 1 km. S’il marche encore une heure à la même vitesse ? — Il fera la même chose. —  Ça se pourrait qu’il fasse un plus long chemin ? — Peut-être un peu plus long s’il va un peu plus vite. — Mais si c’est juste la même vitesse ? — Alors il fait le même chemin. »

« Et si l’auto marche une demi-journée ? — (Montre à vue, puis mesure juste.) Ça fait le même trajet que le bonhomme. —  Et le bonhomme, combien il fait en une demi-journée ? — (Montre son unité.) — Pourquoi ? — Ah non, c’est pas juste, parce qu’il doit marcher moins de chemin (mais il diminue à peine). » Quant aux jours nécessaires pour rattraper l’auto, il s’embrouille malgré son dessin et fait correspondre à trois journées d’auto 4 jours 4/5 du bonhomme. »

Geo (9 ; 10) commence par mettre les trajets corrects, pour l’auto et le bonhomme ; il trouve le demi-trajet pour la demi-journée de l’auto, mais ne réussit pas pour le bonhomme : « Et le bonhomme combien il a marché quand l’auto a fait le chemin de demi-journée ? — … — On peut le savoir ? — Non. — Combien de fois plus vite l’auto marche que le bonhomme ? — … — En cinq jours, combien l’auto fait de marche ? — (Dessin juste.) Et le bonhomme ? — (Dessin juste.) — Alors l’auto marche combien de fois plus vite ? — … »

[p. 230] Le fait nouveau, par rapport aux stades I et II, est que chacun de ces enfants a compris la relation : à temps égaux et à vitesses égales, les chemins parcourus sont nécessairement égaux. La condition préalable de cette opération est naturellement que les égalités des temps et d’espace aient un sens pour le sujet, c’est-à-dire que les simultanéités de départ et d’arrivée ainsi que l’égalité des durées synchrones soient admises sans discussion, et que les chemins parcourus soient conçus comme des intervalles mesurables à partir de leurs points de départ. Or, chacun de ces sujets domine ces notions. Il s’ensuit que, dès le début des interrogatoires l’accent est mis sur la longueur des trajets, au lieu de s’y porter en cours de discussion, comme c’est encore le cas au stade II. Chez le sujet intermédiaire Pie, la chose est déjà claire : « j’ai regardé la longueur » dit l’enfant, pour expliquer sa méthode, et « c’est parce que ce jour avait la même longueur que l’autre », déclare-t-il pour en énoncer le principe. Dans les cas francs du stade, il ne s’agit plus d’un procédé de découverte, mais bien d’une opération déductive : « il faut que l’auto marche le même chemin que le jour avant, si elle va à la même vitesse » dit Ren. Il s’ensuit que les questions I et II, relatives aux trajets respectifs de l’auto et du bonhomme ne présentent plus de difficultés à ce stade III : il y a dorénavant conservation des vitesses uniformes et de leurs rapports.

Or, quelle est la nature opératoire de cette conservation ? Autrement dit, par quel mécanisme de pensée les sujets du stade III sont-ils parvenus à l’établir, à partir des régulations intuitives du stade II ? L’essentiel en est la possibilité de comprendre l’égalité de deux unités de temps lorsqu’il s’agit de durées successives et non pas synchrones : en effet, la construction d’unités isochrones suppose à la fois l’écoulement uniforme du temps et la conservation des vitesses uniformes, de même que cette conservation implique l’idée de durées successives égales (isochronisme) et par conséquent l’écoulement uniforme du temps. Or, nous avons vu ailleurs ⁴ comment se construit la notion d’unités temporelles successives et uniformes. D’une part, les simultanéités et l’égalité des durées synchrones s’élaborent en fonction d’opérations additives, associatives et réversibles dont la composition, encore toute qualitative (sériations et emboîtements) permet la constitution d’un temps homogène commun aux divers mouvements perçus simultanément. D’autre part, [p. 231] le fait même que la réversibilité soit nécessaire pour construire les égalités synchrones, permet sitôt cette première construction achevée, de la prolonger en concevant deux durées successives comme si elles étaient synchrones ; c’est en effet, le propre de la réversibilité opératoire de la pensée que de pouvoir intervertir l’ordre des événements et remonter le cours du temps, d’où le passage possible du synchrone au successif et réciproquement : le synchronisme opératoire se prolonge ainsi aussitôt en isochronisme ⁵. Seulement, ce passage implique que l’esprit s’appuie sur un mouvement extérieur déterminé, susceptible de se répéter tel quel et d’entraîner avec lui la reproduction d’une même durée. Si la synchronisation résulte d’un groupement qualitatif, l’isochronisme requiert donc la construction d’une unité itérable, née de la généralisation des opérations qualitatives initiales (et de la fusion de l’emboîtement partitif avec le déplacement). C’est pourquoi, si le temps homogène (= commun à tous les phénomènes donnés simultanément) est de nature qualitative en sa source, le temps uniforme (= égalisation possible des durées successives), est nécessairement métrique. Mais on voit immédiatement que, en plus de ce qui précède, l’isochronisme suppose alors la conservation de la vitesse puisqu’il implique la répétition d’un même mouvement quelconque ou celle des trajets équivalents d’un mouvement uniforme. Il est donc naturel que la conservation des vitesses uniformes apparaisse génétiquement en connexion étroite avec la construction d’unités de durée successives, c’est-à-dire avec celle du temps uniforme : la conservation d’une vitesse uniforme et la construction d’unités temporelles successives constituent, en fait, les deux aspects indissociables d’un même processus, et ceci est bien naturel puisque le temps lui-même n’est pas autre chose que la co-ordination des mouvements et de leurs vitesses.

Ainsi, quand Pie énonce, au début des réactions de ce stade III, cette vérité fondamentale que « ce jour avait la même longueur que l’autre », l’isochronisme qu’il découvre contient en puissance la conservation opératoire de la vitesse uniforme, et c’est ce que déduit Ren lorsque de l’égalité des durées quotidiennes il conclut que, si le mobile marche à vitesses égales « il faut qu’il fasse le même chemin ».

Mais il n’en subsiste pas moins un cercle : l’égalisation des [p. 232] durées successives suppose une vitesse qui se conserve et la vérification de cette conservation suppose une mesure du temps fondée sur l’isochronisme. Il faut donc admettre qu’entre ces deux sortes d’opérations métriques intervient, à titre de résultat du groupement des opérations simplement qualitatives, cette conclusion qu’un mouvement ayant parcouru un certain espace en un temps donné traversera le même espace dans le même temps si aucune condition n’est changée ⁶. C’est seulement lorsqu’il s’agira d’itérer ces espaces et ces temps que l’opération deviendra métrique.

C’est donc en étendant aux durées et aux espaces successifs les égalités établies qualitativement que l’enfant prépare les notions de temps et de vitesses uniformes, mais cette extension, préparée par une double réversibilité qualitative (l’une concernant le temps et l’autre l’espace) aboutit ainsi nécessairement à une métrique.

Mais, si les sujets de ce niveau parviennent ainsi aux opérations constitutives de la conservation de la vitesse, il ne s’agit encore que d’opérations concrètes et non formelles. Il est, en effet, frappant de constater que ces sujets, tout en sachant montrer jusqu’où s’avancera l’auto en une demi-journée, ne peuvent parvenir d’emblée à faire de même à l’égard du bonhomme, comme s’il n’était pas facile de partager en deux le trajet de ce dernier après avoir divisé celui de l’auto. D’autre part, ces sujets ont beau constater empiriquement que la distance séparant le bonhomme de l’auto, au soir de chaque journée, augmente d’un jour à l’autre, ils ne peuvent se résoudre à prévoir qu’elle continuera d’augmenter (question III) : le bout à rattraper « sera toujours le même » dit Nie. Enfin, malgré la répétition des essais, l’enfant n’arrive pas à formuler la loi selon laquelle le bonhomme parcourt la moitié du chemin de l’auto dans les mêmes temps (question V). Ces trois difficultés, ou du moins les deux dernières, qui séparent ainsi les opérations concrètes des opérations formelles, soulèvent une question intéressante, que nous retrouverons après avoir examiné les réactions du sous-stade III B.

Le seul progrès accompli par les sujets du sous-stade III B est, en effet, qu’ils parviennent à généraliser aux trajets du [p. 233] bonhomme la question des chemins parcourus en une demi-journée :

Gil (8 ; 1). Questions I et II justes : « Et s’ils roulent les deux une semaine, le bonhomme pourra rattraper l’auto ? — L’auto est beaucoup en avance, le bonhomme ne peut pas la rattraper. —  Il fait tous les jours le même chemin ? — S’il va plus vite, il fait plus de chemin ; avec la même vitesse, il fait le même chemin. —  Et en une demi-journée l’auto fait quoi ? — (Juste.) — Et que fait pendant ce temps le bonhomme ? — (Juste.) — Alors combien de jours le bonhomme doit faire pour rattraper l’auto là (1 ½ unités d’auto) ? — Un jour et demi (donc faux). » À la fin du troisième jour, on lui demande : « Tu vois ce bout de chemin qui reste à faire entre le bonhomme et l’auto. Est-ce que le lendemain le bout entre deux sera le même, ou plus grand ou plus petit ? — Il sera le même. —  Pourquoi ? — Parce qu’ils font toujours le même chemin. — Montre-moi où ils sont le quatrième jour ? — (Juste.) — La différence est la même ? — Elle est plus grande. —  Pourquoi ? — L’auto marche plus vite. —  Et au cinquième jour elle sera comment, la différence ? — Un tout petit peu plus petite. —  Pourquoi ? — (Il fait le dessin.) Non plus grande. —  Et le suivant ? — Elle sera la même. —  Pourquoi ? — Non, un tout petit peu plus loin, parce que l’auto va plus vite que le bonhomme, et la différence sera un tout petit peu plus grande, parce qu’il va plus vite. —  Combien doit marcher le bonhomme pour faire le chemin que l’auto fait en 4 jours ? — Il marchera 6 jours. —  Et pour 1 jour ? — 2 jours. —  Pour 2 jours ? — 3, non 4 jours. —  Pour 3 jours ? — 6 jours. — Et pour 4 ? — Il marchera 10 jours. »

Iea (8 ; 7) répond également juste pour les demi-journées. « Est-ce que la différence entre le bonhomme et l’auto, tu vois (on montre celui du troisième jour) restera la même le lendemain, ou bien elle sera plus grande ou plus petite ? — Elle sera la même. —  Pourquoi ? — Ils marchent à la même vitesse le lendemain que le jour avant. — Regarde où ils sont le quatrième jour ? — (Il montre juste.) — Alors la différence ? — C’est la même chose. Ah non, elle est plus grande ! »

Ed (9 ; 1) répond juste après une petite hésitation initiale pour les quatre premiers jours (question I et II). « Et la distance entre le bonhomme et l’auto sera toujours la même, ou plus grande ou plus petite, les jours suivants ? — La même chose. —  Pourquoi ? — Parce qu’ils marchent une journée chacun. —  Regarde ce qui s’est passé ces quatre jours ? — Ah non, elle est plus grande parce que l’auto va plus vite. Elle devient toujours plus grande parce que l’auto avance toujours et le bonhomme reste plus en arrière. —  Et le quatrième jour, comment sera la différence ? — La même. —  Regarde. — Ah non, de nouveau plus grande. — Et le sixième jour ? — Plus grande. »

Demi-journées justes, pour le bonhomme comme pour l’auto. « Et maintenant si l’auto fait ce chemin en plus (deux jours), le bonhomme fera quoi ? — Une journée (= un trajet d’une journée) et un petit bout. —  Et quand l’auto sera là (8 jours) où sera le bonhomme ? — (Doit dessiner et déterminer empiriquement jour par jour). »

[p. 234]Tel (9 ; 6). Trajets exacts : « Regarde (3^e jour) : il y a une grande distance entre eux ? — Oui. —  Et le lendemain elle sera plus grande, plus petite ou pareille ? — Elle reste toujours la même. —  Pourquoi ? — Ils font tous les jours le même chemin. —  Regarde. — Ah, elle est devenue plus grande, parce que l’auto est allée plus vite et le bonhomme moins vite. —  Et le cinquième jour, elle sera plus grande encore, ou pas ? — Peut-être. — Regarde. — C’est plus grand, parce que le bonhomme a fait la moitié moins de chemin. » Il semble ainsi qu’il formule la loi mais lorsqu’on lui demande combien de jours il faudra au bonhomme pour rattraper 4 jours d’avance ou 10 jours d’avance, etc., de l’auto, il en est incapable sans une construction empirique et oublie le rapport de 2 à 1.

Mar (10 ; 7). Mêmes réactions. Trouve empiriquement qu’il faut 6 jours au bonhomme pour faire les trajets de 3 jours d’auto, mais ne peut généraliser à 5 ou à 10. Croit en outre la différence constante malgré les constatations faites.

On voit donc que ces sujets, tout comme ceux du sous-stade III A, conservent la vitesse de façon opératoire, en déduisant l’égalité des trajets successifs de celle des vitesses et des temps : « avec la même vitesse, il fait le même chemin », dit Gil. De plus, et c’est là leur nouveauté, ils se trouvent d’emblée capables de déterminer le trajet effectué en une demi-journée par le bonhomme et non plus seulement par l’auto. Mais, pas plus qu’au niveau III A ils ne parviennent ni à prévoir que les différences de distances entre les points d’arrivée du bonhomme et de l’auto augmentent régulièrement (question VI), ni à formuler la proportion 1 à 2 qui relie leurs trajets respectifs (question V).

Pour ce qui est de la question VI, on constate (ce qui est intéressant au point de vue de la théorie des décalages) que ces sujets de 8 à 10 ans reproduisent exactement les erreurs qu’ils ne font plus lorsqu’ils construisent effectivement les trajets successifs du bonhomme en connexion avec ceux de l’auto, mais qu’ils faisaient régulièrement au cours des stades I et II : ils croient que la différence absolue des points d’arrivée se conserve, et ne parviennent qu’empiriquement, après de nombreux tâtonnements, à prévoir qu’elle augmentera (voir en particulier Gil et Ed). Quant au rapport de 2 à 1 entre les espaces parcourus par l’auto et le bonhomme, il est extraordinaire de voir ces sujets, qui sont capables de déduire sans faute l’un après l’autre les trajets quotidiens respectifs des deux mobiles, ainsi que leurs trajets durant une demi-journée, n’arrivent pas à formuler la loi selon laquelle l’auto fait dans le même temps deux fois le chemin du bonhomme ! Et cependant, en chaque cas particulier, ils voient bien ce rapport, puisque Tel, à propos de la distance entre deux arrivées simultanées dit « c’est plus grand [p. 235] parce que le bonhomme a fait la moitié moins de chemin ». Mais, lorsqu’on en revient au problème général de prévoir combien de jours il faudra au bonhomme pour faire un trajet effectué en n jours par l’auto, ils sont incapables de donner la réponse 2n en doublant simplement le chiffre proposé et doivent procéder empiriquement sous peine de grossières erreurs (voir Gil, Ed et Tel).

Or, ces réactions sont aisées à expliquer. Pour résoudre le problème de la conservation de la vitesse, il n’est besoin que d’opérations concrètes : reporter des distances égales des temps égaux, c’est-à-dire tenir compte non plus seulement des seuls points d’arrivée mais des points de départ et des intervalles (distances et durées) intercalaires. Pour résoudre les problèmes des trajets parcourus en une demi-journée par le bonhomme qui va la moitié moins vite que l’auto ; de la distance absolue entre les points d’arrivée, qui augmentera sans cesse au-delà des limites de la construction déjà effectuée ; et du rapport de 1 à 2 entre les trajets futurs, il faut plus qu’une simple construction concrète : il faut une construction hypothético-déductive ou formelle, analogue à celle que nécessite la notion des propositions extensives ou métriques analysée au chapitre IX.

Dans le cas des trajets de demi-journée, qui est le plus facile (le bonhomme fait en une demi-journée la moitié de son trajet propre comme l’auto fait la moitié du sien), le problème peut être résolu soit par raisonnement (le trajet de l’auto = 1, celui du bonhomme = ½, d’où ½ × ½ = ¼), soit empiriquement. La meilleure preuve que l’enfant procède selon un procédé empirique de simple dichotomie et non pas par déduction des proportions est que ce problème des demi-journées est résolu en deux étapes : pour l’auto au sous-stade III A et pour le bonhomme en III B. Quant aux questions V et VI (rapport 1 à 2 et augmentation de la différence absolue), il est clair que leur solution n’est possible que par voie formelle. Ce n’est qu’après coup, et une fois les constructions achevées, que leur solution est possible par opérations concrètes, tandis que s’il s’agit de prévision (et c’est ce que l’on demande), le raisonnement porte sur des trajets futurs, donc hypothétiques, et reliés entre eux par de pures proportions. Nous retrouvons ainsi les résultats du chapitre IX comparés à ceux du chapitre VII : de même que la comparaison des vitesses de mouvements successifs définis par des temps et des espaces inégaux dépassait le cadre des opérations concrètes (suffisantes pour le cas des mouvements simultanés), de même nous voyons maintenant que la prévision [p. 236] des rapports de deux mouvements futurs suppose les opérations hypothético-déductives, tandis que celle de la continuation de chacun de ces deux mouvements peut être assurée par les opérations concrètes. La simple continuation des mouvements donnés (conservation de la vitesse découverte en ce stade III) ne constitue en effet qu’un problème relatif à un système unique, tandis que les rapports entre des mouvements futurs, dont chacun est à construire mentalement et non pas effectivement, relèvent d’un problème de proportions formelles parce qu’il s’agit de relier l’un à l’autre deux systèmes distincts : e₁/e₂ = ½ et (2e₂ — 2e₁) > (e₂ — e₁), où e₂ est l’espace parcouru par l’auto et e₁ celui parcouru par le bonhomme dans le même temps.

De même que les sujets du stade III parviennent, par opérations concrètes, à déduire l’égalité de, trajets successifs, de celle des durées et des vitesses, et à construire ainsi les mouvements respectifs des deux mobiles de vitesses distinctes, en coordonnant lors de chaque trajet, leurs points d’arrivée progressivement distants l’un de l’autre, de même les enfants du stade IV parviennent, par opérations formelles, à prévoir, avant de terminer leur construction, cette augmentation régulière de distance entre les points d’arrivée ainsi que la constance du rapport des trajets parcourus. L’âge moyen des débuts de ce stade IV est de 10 à 11 ans, mais il arrive, comme en chacun de ces problèmes de proportionnalité, que l’on trouve des réactions précoces exceptionnelles dès 9 et même 8 ans ½ :

Ray (8 ; 6). Simultanéités et synchronismes exacts. Trajets du deuxième jour justes : « Le troisième jour l’auto ne marchera que jusqu’à midi ? — Elle fera alors la moitié. — Et le bonhomme aussi jusqu’à midi ? — Je prends la mesure du bonhomme et je cherche la moitié. —  Regarde maintenant combien il faudra de temps à l’auto pour faire ce que le bonhomme fait en 3 jours ? — 1 jour ½. — Et pour ça (6 jours) ou ça (8 jours) peut-on savoir ? — La moitié de moins. — Pourquoi ? — L’auto fait ce chemin, alors il faut mesurer la moitié pour le bonhomme. —  Quelle est la distance entre les deux, le troisième jour ? — Ça. —  Et les jours suivants ? — Elle restera… ah non, ce n’est pas la même chose parce que l’auto va plus vite. La distance devient toujours plus grande. »

Lan (9 ; 6) : tous les trajets justes, y compris les demis. « La différence entre l’auto et le bonhomme sera la même le lendemain ? — Elle sera [p. 237] plus grande. —  Pourquoi ? — L’auto va plus vite et elle fait toujours le même chemin, et le bonhomme va lentement et il va aussi toujours le même chemin. —  Quelle est la différence entre les deux chemins ? — C’est la moitié. —  L’auto va dix jours et fait ce chemin. — Combien il faudra au bonhomme pour le faire ? — Vingt jours. — Et pour ce bout-là (½ du précédent) ? — Dix jours », etc. Aucune erreur.

Nin (10 ; 10). Trajets exacts. « La différence entre les deux reste la même ? — Non, toujours plus grande. —  Pour ce bout-là il faut combien de jours à l’auto ? — Deux. —  Et au bonhomme (sans regarder) ? — Il fera 4 jours de chemin. — Comment as-tu trouvé ? — J’ai compté : le bonhomme fait toujours la moitié. »

Laur (11 ; 4). Trajets justes. « Et la distance entre les deux augmentera le troisième jour ou restera pareille ? — La même. Ah non, pas du tout : elle augmentera tous les jours parce que l’auto va plus vite. —  Pour faire ce chemin (6 jours d’auto) il faudra combien de temps au bonhomme ? — (Il commence à compter sur le dessin, mais dès le second jour dit) : Douze jours, parce que le bonhomme fait la moitié du chemin chaque jour. »

Ainsi seulement s’achève cette évolution des notions de conservation de la vitesse et de la constance du rapport de deux vitesses uniformes distinctes. Avant de chercher à interpréter l’ensemble de ce développement, il importe de rappeler combien il converge avec les résultats des chapitres VII et IX.

Deux obstacles retiennent, en effet, les enfants des stades I et II (donc jusqu’à 7-8 ans) dans la solution des problèmes posés. En ce qui concerne la vitesse la plus grande (celle de l’auto), ils confondent la distance parcourue chaque jour — laquelle reste constante — avec la distance totale qui augmente en fonction de l’ordre de succession des points, d’arrivée et concluent, ou bien simplement que le mobile ira chaque jour plus loin, ou bien même qu’il fera chaque jour un trajet plus grand. Il y a donc indifférenciation entre l’ordre des points d’arrivée et la longueur des intervalles. En ce qui concerne, d’autre part, la différence de vitesse des deux mobiles, c’est de nouveau à la différence des points d’arrivée qu’ils l’évaluent, mais à une différence supposée constante, approximativement ou rigoureusement (primat de la différence absolue sur la différence relative). Le stade III (après une préparation due aux régulations intuitives du stade II) marque un affranchissement par rapport à cette centration de l’intuition initiale sur les points d’arrivée : en devenant réversibles, les opérations spatio-temporelles permettent à l’enfant de comprendre qu’une unité de durée peut être la même le lendemain que la veille, et qu’ainsi, à vitesses égales, la distance parcourue sera aussi la même. La conservation de la [p. 238] vitesse devient ainsi opératoire. Or, cette évolution du stade I au stade III est exactement parallèle à celle que nous avons décrite au chapitre VII : les différences de vitesses s’évaluent d’abord en fonction des seuls points d’arrivée des mobiles, puis les distances et les durées se différencient de l’ordre de succession spatiale de ces points et la vitesse se construit opératoirement, par une généralisation du schème du dépassement, comme un rapport entre le temps et l’espace parcouru. C’est naturellement lorsque cette construction est achevée que la conservation de la vitesse uniforme devient possible, cette conservation n’étant que la conséquence d’ordre métrique de la construction à la fois qualitative et métrique qui précède.

Mais le chapitre IX nous a appris que les difficultés réapparaissent, lorsque les mouvements à comparer ne sont plus de durées égales et d’espaces inégaux, ou l’inverse, mais de temps et espaces inégaux les uns et les autres, et surtout lorsque les mouvements sont successifs et non plus simultanés. Lors de ces deux nouvelles conditions, il s’agit en effet de déduire par opérations formelles, et non plus concrètes, les rapports en jeu, et en particulier de construire formellement les rapports de rapports que sont les proportions. D’où l’existence de deux nouveaux sous-stades : le niveau III A au cours duquel les vitesses des mouvements successifs ne sont même pas comprises dans le cas d’espaces égaux avec durées inégales, ou l’inverse, et le sous-stade III B au cours duquel ce problème est résolu pour les mouvements successifs (comme il l’était dès le début du stade III pour les mouvements simultanés), mais pas encore celui des temps et espaces tous deux inégaux. Enfin le stade IV, qui débute vers 10-11 ans, voit se constituer la notion des proportions sur le plan hypothético-déductif, grâce à laquelle les vitesses des mouvements successifs peuvent être comparées même à temps et espaces inégaux les uns et les autres.

Or, il est remarquable que le problème de la conservation des vitesses conduise à des résultats exactement parallèles. En effet, au sous-stade III A l’enfant parvient par opérations concrètes, non seulement à concevoir la conservation de deux vitesses dont l’une est le double de l’autre, mais aussi à montrer le trajet que le plus rapide des deux mobiles parcourra en une ½ unité de temps (la demi-journée de l’auto) ; mais, chose curieuse, il ne peut effectuer la même opération (de simple division en deux) sur le mobile le plus lent. Or, cette différence, surprenante au premier abord, s’explique d’elle-même si on la compare aux résultats du chapitre IX. S’il ne s’agissait que de [p. 239] prévoir le trajet que fera en une demi-unité le mobile le plus lent (le bonhomme) envisagé isolément, il va de soi qu’il n’y aurait aucune difficulté supplémentaire à cela, puisque le problème est résolu pour le plus rapide, envisagé à l’état isolé. Mais il s’agit de savoir ce que fera le bonhomme en une demi-journée pendant que l’auto fait la moitié de son trajet à elle en cette demi-journée. Autrement dit, nous posons précisément le problème en termes de mouvements successivement perçus et définis par des temps égaux et des espaces inégaux : d’après les résultats du chapitre IX c’est donc au sous-stade III B que ce genre de questions sont résolues et c’est bien ce que nous retrouvons ici. Quant aux trajets de l’auto et du bonhomme en unités entières de temps, le problème est plus simple, puisque chaque trajet quotidien est comparable, pour chacun des deux mobiles, au trajet précédent et que, s’il s’agit déjà de mouvements successifs il y a de ce point de vue, temps et espaces respectivement égaux.

Quant au sous-stade III B, deux dernières questions restent non résolues : celle de l’augmentation constante de la différence de distance entre les points d’arrivée des mobiles inégalement rapides, et celle de la proportion de valeur 1 à 2 de leurs trajets respectifs. Or, dans ces deux cas, si les temps sont égaux, il intervient par contre chaque fois quatre espaces inégaux reliés entre eux par une proportion. Comprendre que la distance comprise entre les points d’arrivée successifs des deux mobiles augmente régulièrement, c’est en effet comprendre que si les trajets successivement calculés depuis le point d’origine sont dans les rapports 1/2 ; 2/4 ; 3/6 ; etc., l’écart entre ces trajets augmente selon la différence 2 − 1 =1 ; 4 − 2 = 2 ; 6 − 3 = 3, etc. D’autre part, comprendre que le rapport des espaces parcourus par les deux mobiles sera toujours de 1 à 2, c’est précisément saisir cette proportion 1/2 = 2/4 = 3/6 = … etc. Bref, dans l’une et l’autre de ces deux questions il intervient des rapports de rapports, donc des proportions, et cela entre quatre longueurs différentes : un trajet partiel et le trajet total du bonhomme et de l’auto. Il est donc clair que de résoudre ces deux problèmes sous forme de prévision pour les trajets futurs suppose une déduction hypothético-déductive consistant à construire un système de proportions formelles : il intervient ainsi de nouvelles opérations, bien différentes de celles qui suffisent à la solution de ces mêmes questions par composition successive des cas particuliers. Bref, la solution générale de ces deux questions est formelle parce qu’elle requiert [p. 240] la conscience de la proportionnalité, c’est-à-dire d’opérations au second degré, tandis que la construction progressive des trajets ne relève que des opérations concrètes parce qu’elle ne présuppose pas le schème des proportions. Autrement dit encore, la solution formelle naît d’une réflexion sur la construction concrète, et c’est pourquoi il y a décalage entre les solutions des mêmes questions au stade III (A et B) et au stade IV malgré leur identité logique : une fois de plus, nous constatons ainsi que les « opérations formelles » ne sont que des « opérations concrètes », mais transposées du plan de l’organisation de l’expérience à celui des propositions et de leurs implications, c’est-à-dire transformées en opérations portant sur d’autres opérations préalables.

Le stade IV, qui est caractérisé par la solution formelle des questions précédentes, marque donc l’apparition d’opérations en un sens nouvelles, mais qui reproduisent sans plus, en un autre sens, la construction déjà achevée au stade III sur le plan des opérations concrètes. Il y a là un bel exemple de décalage vertical (du concret au formel) analogue à tous ceux dont foisonne l’évolution intellectuelle de l’enfant. Ce décalage va même si loin qu’il intéresse, non seulement l’apparition des solutions opératoires, les unes concrètes vers 7-8 ans et les autres formelles vers 10-11 ans, mais encore les régulations intuitives qui les précèdent et les préparent dans les deux cas. Nous avons vu, en effet, comment au stade II, la centration initiale sur les points d’arrivée donne lieu à une décentration progressive, qui articule l’intuition en un système de régulations préparant les opérations concrètes. Or, au stade III B, on retrouve, à l’égard des questions de proportions formelles encore insolubles à ce niveau, une décentration analogue par rapport aux points d’arrivée, conduisant aux mêmes fluctuations caractéristiques de la régulation intuitive : tout en niant que la distance absolue des points d’arrivée augmente lors des trajets futurs, l’enfant du sous-stade III B est en effet progressivement ébranlé par les expériences nouvelles, d’où les réactions du genre de celles de Gil (§ 3) qui prévoit une distance tantôt « un tout petit peu plus petite » et tantôt « un tout petit peu plus grande ». L’évolution qui conduit du niveau III A au niveau IV en passant par III B reproduit donc dans les grandes lignes celle qui conduit du niveau I au niveau II^e passant par le stade II, et ceci encore est parallèle à ce que nous ont montré les chapitres VII et IX en ce qui concerne la construction même des relations de vitesse.