Chapitre XII.
Les opérations constitutives du mouvement et de la vitesse ^a 🔗

Oublions pour un instant toute connaissance mathématique et bornons-nous à mettre en relations de la manière la plus simple les données de l’expérience, telles qu’elles pourraient être lues, sans présupposition aucune, même par un petit enfant : le mouvement apparaît, d’un tel point de vue, comme étant avant tout, non pas un chemin parcouru — notion que l’analyse nous a montrée beaucoup plus abstraite et dérivée qu’on ne pourrait l’imaginer — mais un changement de position ou de place. Un crayon était tout à l’heure sur la table, mais il n’y est plus et se retrouve par terre : c’est donc qu’il est tombé, et ce déplacement ne se présente pas comme un parcours précis, évalué en termes de distance, mais bien comme un « changement de place » qui a remplacé la position « sur la table » par la position « sous la table ». Une bille roule, lancée par un joueur : l’important n’est pas le nombre de décimètres de l’espace qu’elle franchit, mais que son mouvement ait débuté à la ligne de départ (la « coche ») et surtout qu’il ait atteint le but visé c’est-à-dire [p. 259] rejoint une position finale bien déterminée. Ce sont donc les positions ou emplacements et leurs changements qui définissent le mouvement avant les intervalles ou distances parcourues. C’est pourquoi, lorsque l’on demande aux petits de reporter un certain trajet linéaire sur une seconde ligne non parallèle à la première, mais présentant les mêmes points limites, ils ne s’occupent que des points d’arrivée et non des distances de parcours (chapitre III). Ce primat du point d’arrivée est d’ailleurs la conséquence naturelle du finalisme inhérent aux conceptions primitives du mouvement.

Or, si le déplacement est ainsi à concevoir génétiquement comme un « dé-placement » au sens étymologique du mot, c’est-à-dire comme un changement de position (A se déplace par rapport à B s’il commence par le précéder, dans un certain ordre d’orientation, pour ensuite lui succéder, ou réciproquement), il convenait de commencer notre étude du mouvement par une analyse des « placements » eux-mêmes : non pas, naturellement en abordant toute la géométrie de l’ordre mais simplement l’ordre de succession ou d’orientation en une suite de mobiles quelconques. La chose s’imposait d’autant plus que la vitesse elle-même est conçue par tous les petits en fonction, non pas des rapports de temps et d’espace parcouru, mais de l’intuition du dépassement : A marche plus vite que A’ (lorsque tous deux se déplacent simultanément par rapport à B et dans le même sens) si A, qui était d’abord situé en arrière de A’ ou au même point que lui finit par être placé devant lui. La vitesse elle-même, autant que le mouvement en général, commençant par être conçue en fonction des rapports de placement, c’est donc bien de ceux-ci que dépend toute la construction génétique ultérieure.

Soit donc trois boules A, B et C, qui se suivent dans un tuyau ou le long d’une tige de fer, de façon telle que leur ordre ne puisse être altéré davantage que celui de trois points quelconques sur une ligne. L’opération constitutive du placement consistera à les ordonner dans un même sens, tel par exemple que « A précède B » et que « B précède C », etc. La composition de deux opérations engendre une nouvelle opération : par exemple « A précède C » est le produit des deux placements AB et BC. Appelons direct le sens d’orientation ainsi défini. L’opération inverse consistera alors à suivre les éléments selon le sens d’orientation inverse, donc (en allant de C à A) « C précède B », et « B précède A » ¹.

Un point est encore à noter. Par le fait que le groupement [p. 260] des opérations de placements est constitué par des relations asymétriques (« précède » ou « succède à ») transitives, reliées entre elles à la manière d’une « sériation qualitative » (voir La Genèse du nombre chez l’enfant, chapitres V et VI), on peut en tirer un autre groupement : celui de l’emboîtement des intervalles compris entre les termes ordonnés. P. ex. entre A et B se trouve un intervalle, qui est emboîté dans l’intervalle compris entre A et C, etc. Or, si les relations d’ordre ou de placement sont asymétriques, les intervalles consistent en relations symétriques : l’intervalle est le même entre A et B qu’entre B et A. C’est cette symétrie des intervalles qui permet de définir la relation « entre ». P. ex. entre A et C se trouve un intervalle, occupé par l’élément B : il s’ensuit que B est aussi entre C et A et ce n’est pas autre chose que cette symétrie qu’exprime le célèbre axiome de Hilbert « si B est entre A et C, il est aussi entre C et A ». Or, en ce qui concerne l’acquisition de ces deux groupements complémentaires, l’observation a fourni un résultat décisif : ni l’un ni l’autre ne se présentent comme des mécanismes innés de la pensée et tous deux supposent une construction dans laquelle interviennent l’activité perceptive, puis l’intuition et ses régulations et qu’achèvent seulement les opérations. Ces opérations « groupées » que l’on ne trouve donc qu’au terme de ce développement apparaissent dès lors comme la forme terminale d’équilibre du raisonnement, l’équilibre étant dû au fait que les régulations intuitives ont atteint la réversibilité complète. Comme nous l’a appris, en effet, le chapitre I, l’enfant ne sait déduire, au début de cette évolution, ni l’ordre inverse des trois boules CBA, ni que l’élément médian B restera toujours « entre » C et A aussi bien qu’« entre » A et C, quelles que soient les opérations effectuées. Au cours d’un second stade les questions sont résolues mais empiriquement, tandis qu’au cours du stade III (vers 7-8 ans) toutes les opérations sont groupées sur le plan concret. Quant aux opérations formelles, il faudra attendre 10-11 ans, comme nous avons pu l’établir il y a longtemps déjà ², pour que l’enfant comprenne que B est nécessairement à la fois « à gauche de A » et « à droite de C » ou l’inverse.

Supposons maintenant que la suite se referme sur elle-même, telle que l’on ait ABCDABCDA… etc. Les mêmes opérations d’ordre peuvent naturellement être effectuées, en ce nouveau cas, à cette seule différence près que l’on obtient alors un ordre cyclique tel que la suite directe donne la périodicité A… DA… [p. 261] DA…, etc., et la suite inverse la périodicité D… AD… AD… etc. L’analyse de ces opérations représentées concrètement par la rotation d’une suite de couleurs sur un cylindre, a donné les mêmes résultats et aux mêmes âges (chapitre II).

Or, pour expliquer le développement de ces opérations de placement, tant linéaire que cyclique, il faut assurément se rappeler que, dès le niveau de l’intelligence sensori-motrice et préverbale, le sujet a sans cesse l’occasion d’acquérir le schème pratique de chacun des rapports en jeu dans les groupements. Il lui arrive, par exemple, de suivre des yeux une succession d’objets dans un sens puis dans l’autre ; ou de se déplacer par rapport à cette suite d’objets, dans un sens et dans l’autre ; et de voir se déplacer (ou, mieux encore, de déplacer lui-même) cette suite d’objets, dans un sens et dans l’autre, etc. Il lui arrive surtout, et nous avons même étudié jadis cette conduite en détail ³, d’apprendre à retourner les objets en découvrant ainsi un ordre de succession cyclique grâce à la rotation qu’il leur imprime. En toutes ces expériences sensori-motrices, relevant d’une organisation solidaire des perceptions et des habitudes sous la direction de l’intelligence pratique, les différents schèmes du « placement » linéaire et cyclique s’élaborent donc de façon analogue aux situations expérimentales des chapitres I et II.

Seulement, il est bien clair que ces schèmes pratiques ne sont pas des pensées. Autrement dit, voyant A, le sujet apprend à anticiper la perception de B, et voyant B après A, à anticiper la perception de C. Il se peut en outre, mais c’est là un nouvel apprentissage — et qui, à ce niveau psychologique, n’est nullement inclus dans le précédent — que, voyant C, il apprenne à anticiper la perception de B, etc. Cette réversibilité pratique est non seulement accessible à l’enfant de 10-12 mois : elle est même la condition de la construction du schème de l’objet permanent, c’est-à-dire de la notion d’un retour possible au point de départ de chaque modification du réel ⁴. Mais, elle ne constitue qu’un retour pratique et non pas une opération déductive : l’enfant de ce niveau ne parvient nullement à penser la suite ABC, indépendamment de la perception successive de chaque terme, et encore moins à en déduire la suite CBA, indépendamment des phases perceptives et habituelles de l’action en cours.

Le stade I envisagé dans le présent ouvrage, autrement dit celui des intuitions élémentaires précédant la pensée opératoire, [p. 262] n’est donc qu’une période de reconstruction des rapports déjà acquis sur le plan purement pratique et qu’il s’agit de traduire en représentations (c’est-à-dire en intuitions évocatrices, puis anticipatrices et reconstructrices) indépendantes de l’action. Et de même que les anticipations et reconstitutions perceptives et motrices de l’action ont permis la construction du schème des retours pratiques, de même le progrès des anticipations et reconstitutions intuitives explique la régulation des intuitions initiales et le passage du stade I au stade II : l’intuition simple et irréversible du stade I, encore liée à la perception elle-même, s’assouplit en intuitions articulées, dont les régulations annoncent les opérations réversibles. Il va de soi, dès lors, que celles-ci ne peuvent constituer que la forme d’un équilibre final, et non pas une structure a priori, antérieure à tout le développement.

Sans l’expérience, en effet, aucune opération n’est possible, puisque l’opération procède de l’action et que c’est l’action qui permet à l’enfant de découvrir les ordres direct et inverse, ainsi que l’invariance de la relation symétrique « entre ». Mais, sans l’activité du sujet, qui se traduit par la réversibilité progressive des actions et intuitions jusqu’à la réversibilité entière des mécanismes opératoires, les actions ne se transformeraient pas en opérations et celles-ci ne parviendraient donc pas à se « grouper » en systèmes mobiles et cohérents. On peut donc se représenter de la manière suivante les rapports de l’expérience et de la déduction. Dans les périodes initiales le sujet se livre à des actions non réversibles ni groupées, et qui ne convergent pas nécessairement avec les propriétés de la réalité objective (assimilation égocentrique). En effet, l’expérience, par ses modifications, impose sans cesse des relations nouvelles qui ne coïncident pas nécessairement avec les prévisions du sujet (accommodation phénoménale). Ces deux sortes de transformations sont donc à la fois orientées en sens différents, souvent même contraires, et cependant en partie indifférenciées : les premières demeurant à la périphérie de l’activité du sujet et les secondes à la surface de l’expérience, elles interfèrent de façon continuelle, mais chaotique et non réglée. Au fur et à mesure, par contre, que le sujet est mieux capable de coordonner ses actions, il ne tient plus seulement compte de l’expérience actuelle et immédiate, mais de toutes les expériences passées, et des expériences futures du possible. Il s’ensuit alors deux développements corrélatifs : 1° Le sujet aboutit à composer ses actions entre elles d’abord en anticipant davantage leurs résultats et en reconstituant avec une précision plus grande leurs phases antérieures (décentrations [p. 263] et régulations intuitives), puis en prenant conscience des conditions elles-mêmes de coordination des actions et représentations, et en réglant les anticipations et reconstitutions au moyen d’opérations de réunion, de sériation, etc. : ainsi se constituent les groupements réversibles, terme ultime de la coordination propre à l’activité du sujet. 2° Mais alors les modifications de la réalité, au lieu d’être aperçues seulement dans le champ étroit de l’expérience actuelle, donnent lieu aux mêmes anticipations et reconstitutions, et, dépassant ainsi de toutes parts les limites du sensible et souvent même du représentable, convergent de plus en plus avec les opérations. C’est pourquoi les opérations mathématiques, qui marquent le terme de cette double évolution, expriment aussi bien les transformations de la réalité objective que les phases de l’activité du sujet : à ce niveau de coordination les transformations opératoires et les modifications du réel sont donc à la fois différenciées, mais en équilibre permanent les uns avec les autres.

Tout ce que nous venons de rappeler des opérations de placement serait à redire de celles de déplacement, parce que ce sont en réalité les mêmes opérations, et qu’il est impossible de les dissocier psychologiquement. Pour étudier l’ordre de succession d’une suite ABC…, nous avons mis les éléments A, B, C… en mouvement d’aller et de retour et avons imprimé au système entier des mouvements de rotation pour mieux analyser l’invariance de la relation « entre » : translations et rotations sont donc deux déplacements. On aurait certes pu, et un mathématicien l’eût sans doute exigé, laisser la suite immobile et la parcourir en pensée dans l’ordre ABC… ou… CBA. Mais qu’est-ce que parcourir une suite en pensée ? Pour le psychologue, qui analyse la pensée au lieu de la tenir, à la manière des mathématiciens, comme donnée, c’est nécessairement faire intervenir des mouvements. S’il s’agit d’un déplacement du regard, ou d’un organe perceptif, sur chacun des éléments successifs A, B, C… ou… C, B, A, il est clair que le sens d’orientation de la suite sera relatif à un mobile, qui est l’œil ou la main, etc. S’il s’agit d’une pensée « pure » et « abstraite », telle que celle du topologiste qui « parcourt » en esprit l’infinité des points successifs d’une ligne quelconque ou d’une courbe de Jordan, il est clair que le mouvement est toujours là, mais intériorisé dans l’activité du sujet pensant, dont l’attention se centre successivement sur quelques [p. 264] points A, B, C… ou… C, B, A et que sans ce mouvement intérieur, la notion même de « sens de parcours » ou de « sens d’orientation » n’aurait aucune signification. Les opérations de placement sont donc toujours relatives à un sujet qui déplace ou qui se déplace : tel est le premier point ⁵.

Mais qu’est-ce qu’un déplacement, sinon précisément un changement de position par rapport à un système considéré comme immobile, donc un changement de place par rapport à un placement antérieur ? Un déplacement géométrique est relatif à un système de coordonnées, c’est-à-dire à un placement préalable des points de repère, de même que le déplacement d’une balle dans une chambre est rapporté, par un bébé déjà, à l’emplacement des meubles, des portes et des parois. Les opérations de déplacement sont donc toujours relatives à des opérations de placement : tel est le second point.

C’est pourquoi si, raisonnant comme il le doit, en faisant abstraction de l’activité du sujet pensant, le géomètre considère le groupe des déplacements comme un sous-groupe très restreint d’une hiérarchie de groupes dont le plus général est le groupe principal de la topologie pure, le psychologue qui étudie les opérations de l’esprit dans leur ordre génétique doit bien considérer les opérations qualitatives de placement et de déplacement comme solidaires dès le point de départ ⁶, ce qui ne l’empêche nullement de reconnaître que les opérations métriques de déplacement sont beaucoup plus tardives et beaucoup moins générales. C’est d’ailleurs le sens évident de la doctrine célèbre d’H. Poincaré, pour lequel l’espace dérivait psychologiquement d’un groupe des déplacements constitué de façon expérimentale par chaque sujet en fonction des mouvements perçus sur les objets et de ses propres déplacements.

Cela dit, le problème est alors le suivant : comment se peut-il, si l’organisation des déplacements est esquissée par les perceptions et par les mouvements du corps propre dès le niveau de l’intelligence sensori-motrice, que le groupement opératoire n’en soit achevé que si tard sur le plan de la pensée représentative ? [p. 265] On se rappelle, en effet, les questions analysées au cours des chapitres III et IV : comparer les chemins parcourus sur deux lignes ayant les mêmes points de départ et d’arrivée mais dont l’une est une droite, et l’autre une ligne brisée ; ou bien, un mobile, partant de O, faisant une série de navettes partielles, OC, CB, BA, etc., entre O et D, et se retrouvant finalement au point de départ O, a-t-il fait plus de chemin dans la direction OD ou dans la direction DO ? Or, jusque vers 7 ans, l’enfant n’arrive pas à dissocier l’égalité des chemins parcourus de celle des points d’arrivée (chapitre III) ; jusque vers 7 ans également il n’admet pas dans tous les cas l’égalité d’un seul trajet OD avec un seul trajet DO, et il faut attendre le niveau des opérations formelles, vers 10-11 ans, pour qu’il comprenne que, quels que soient les trajets partiels (OA, AB, BC, CB, etc.) il y aura toujours autant de chemin dans un sens que dans l’autre s’il se retrouve en O !

Mais ces résultats étranges vont de soi si l’on se rappelle la parenté étroite des opérations de placement et de déplacement. En effet, l’enfant commence par concevoir un déplacement en fonction, non pas du chemin parcouru, mais seulement des changements de position, c’est-à-dire essentiellement du « placement » d’arrivée : c’est ainsi qu’il jugera égaux deux chemins inégaux s’ils concourent au même point (chapitre III). Dès lors, si D est placé plus haut que O au lieu d’être situé sur le même plan horizontal, le trajet OD sera considéré comme « plus long » que le trajet DO parce qu’aboutissant à un point d’arrivée qualitativement différent (demandant plus d’effort, etc.). De même, si O et D étant sur la même droite horizontale, D est plus éloigné de l’enfant, le trajet OD n’aura pas la même valeur que le trajet DO (chapitre IV), etc. Vers 7 ans, au contraire, le chemin parcouru sera défini par l’intervalle entre les points de départ et d’arrivée, ou segment OD, en suivant la forme du trajet, qu’il s’agisse d’une ligne sinueuse ou brisée autant que d’une droite : l’enfant construira ainsi l’égalité OD = DO du point de vue de l’intervalle, puisque celui-ci est symétrique, contrairement au déplacement en tant que changement de position, qui est asymétrique, soit (O → D) = − (D → O). C’est à ce niveau seulement que l’on pourra considérer les déplacements comme « groupés » opératoirement ⁷. Il ne restera alors qu’à apprendre [p. 266] à combiner en pensée des trajets complexes, irreprésentables simultanément, et ce sera l’œuvre de la pensée formelle (10-11 ans).

On peut donc représenter de la manière suivante les opérations de déplacement. Soit une suite de termes ordonnés ABCDE… selon un ordre linéaire. Faisons d’abord abstraction de tout l’espace qui les entoure, c’est-à-dire des autres objets et surtout de cette sorte de boîte vide dans laquelle nous situons les objets et que nous appelons l’espace lui-même. Autrement dit, cette suite ABCDE… constituera, pour commencer, un espace à elle seule, donc un espace à une dimension, et sans que rien ne s’y conserve (distances, etc.) en dehors de l’ordre lui-même. Cela posé, nous dirons qu’un élément A se déplace s’il change d’ordre, et succède aux termes qu’il précédait antérieurement : par exemple A se déplacera par rapport à B et à C s’il vient à occuper la place située après C et si l’on transforme donc ABCD… en BCAD…, de telle sorte que A, qui précédait A et B, leur succède en fin de déplacement. L’opération est d’ailleurs la même que si A restait immobile et si B et C reculaient jusqu’à précéder tous deux A après lui avoir succédé. On voit d’emblée qu’il suffit alors, dans une suite ABCDE, de déplacer successivement chacun des termes, à partir de B, par rapport à tous ceux qui le précèdent pour obtenir la suite EDCBA c’est-à-dire l’ordre inverse. De ce premier point de vue, les opérations de placements et de déplacements constituent un seul et même groupement : l’opération inverse d’un placement AB est le déplacement BA et l’opération inverse du déplacement, donc l’inverse de l’inverse est le replacement AB. En leur source, les deux sortes d’opérations n’en constituent donc qu’une seule, et c’est bien ce qui correspond à leur genèse psychologique.

Seulement, au lieu de faire abstraction des autres objets, étrangers à la suite ABCDE… réintroduisons-les maintenant : nous constatons alors que l’élément A n’est pas seulement « placé » par rapport à B, à C, à D, etc., mais aussi par rapport à toutes sortes d’autres termes : s’il s’agit, par exemple de bonshommes situés sur une table, A est bien placé « avant » B, C, D, etc., mais il est aussi placé sur la table, « après » une certaine rainure, « à côté » d’une certaine tache, etc., etc. Bref, il occupe un « emplacement », bien défini par un ensemble d’autres [p. 267] rapports d’ordre, et, si nous appelons A₀ cet emplacement, nous constatons que, lors d’un déplacement de A, par rapport à B, C, D, etc., l’emplacement A₀ ne se déplace pas avec lui, mais reste en place, c’est-à-dire demeure placé comme auparavant par rapport aux objets étrangers à la suite ABCDE… Il en est de même de B, dont l’emplacement B₀ est immobile par rapport à ce mobile B, de C dont l’emplacement C₀ l’est aussi par rapport à ce mobile C, etc. À la suite initiale d’objets ABCDE… correspond donc une suite d’emplacements A₀B₀C₀D₀E₀… définis par les rapports que soutiennent ces objets, non pas entre eux, mais avec un système de référence constitué par les éléments étrangers à cette suite ABCDE… et demeurant immobiles pendant que se déplacent les termes de la suite. C’est cette distinction entre les éléments mobiles et les emplacements immobiles qui permet de répartir les opérations de placement et de déplacement en deux sous-groupements distincts, malgré leur identité initiale.

Pour ce qui est des déplacements, il suffit de reproduire les opérations définies plus haut (changements d’ordre ou de placement) mais en les appliquant aux rapports des éléments ABCDE… avec leurs emplacements A₀B₀C₀D₀E₀… Nous dirons alors que A se déplace en A₀ de C₀, que B se déplace de B₀ en A₀ et que C se déplace de C₀ en B₀ si A a pris la place de C, si C a pris celle de B, et B celle de A. Il s’agit donc toujours des mêmes « dé-placements » mais cette fois par rapport à un système de référence défini par les emplacements. Quant aux emplacements eux-mêmes, nous dirons qu’ils se succèdent en ordre direct si le mobile A, ou l’observateur (le regard du sujet, etc.) les parcourt selon le sens d’orientation A₀B₀C₀D₀E₀… et en ordre inverse si les mêmes mobiles (objet ou sujet) les parcourent selon le sens d’orientation… E₀D₀C₀B₀A₀. Il suffira, dès lors, pour distinguer les opérations de placement de celles de déplacement, de dire que l’ordre constitué par les premières est relatif à un mouvement (déplacement) d’un mobile ou de l’observateur lui-même (les termes ordonnés ou « placés » restant donc par définition immobiles), et que les mouvements constitués par les secondes sont relatifs à un système de référence ou de placement, défini par les emplacements initiaux. Mais il faut bien comprendre que, malgré cette abstraction qui dissocie en chacun de ces deux cas la réalité totale en deux compartiments, l’un mobile et l’autre immobile, chacun des groupements en jeu demeure, en fait, double : il n’existe pas d’ordre, ou de placement, sans un mouvement qui, tout au [p. 268] moins, est celui du sujet ou observateur et il n’existe pas de déplacements sans un système de référence ordonné.

La meilleure preuve que cette construction n’a rien d’artificiel et correspond bien au développement génétique réel, est qu’il est facile de la retrouver, non pas seulement dans les faits décrits en nos chapitres I à IV, mais encore dans tout le comportement géométrique et cinématique de l’enfant en ses activités spontanées. Ce n’est pas à l’école ou dans les expériences que lui impose la curiosité des psychologues, que l’enfant apprend à ordonner et à déplacer : c’est en maniant, pour lui-même, des objets solides et mobiles. Or, on ne peut déplacer des mobiles physiques ABC… qu’en les mettant les uns à la place des autres, et c’est ainsi que prennent naissance simultanément les opérations de déplacement et de placement. Pendant longtemps, sans doute, l’espace lui-même n’est rien que le système de ces rapports entre solides (mais de cela nous ne voulons rien dire ici, car la géométrie de l’enfant est restée singulièrement inexplorée…). Seulement, tôt ou tard, le fait de changer les objets de place oblige à ordonner leurs emplacements comme tels, A₀B₀C₀… : c’est alors que ce système des emplacements vides et immobiles distincts des solides pleins et mobiles, commence à constituer un espace géométrique ou un ordre spécifiquement spatial, par opposition au système des mouvements physiques, qui caractérisent les mobiles ou objets remplissant l’espace. De telle sorte qu’après avoir conçu le déplacement comme une simple permutation empirique ou un changement de place, l’enfant en viendra à le définir par rapport aux emplacements seuls et non plus aux autres objets. Ce dernier système nous apparaît, à nous qui raisonnons en géomètres plus facilement qu’en physiciens, plus simple que le système des déplacements corrélatifs ou, si l’on peut dire, de permutations de placements : mais nous avons constaté (chapitre IV) que le système des déplacements multiples et mutuels des objets ABC… est, pour l’enfant, de difficulté exactement équivalente à celui des déplacements d’un seul mobile par rapport à des cases vides, et qu’il n’est pas plus difficile à saisir comme on aurait pu le supposer ⁸.

Cela admis, si déplacer A consiste donc à le changer d’ordre par rapport à un placement A₀B₀C₀… (ou, naturellement aussi, [p. 269] à un placement multidimensionnel), la notion du chemin parcouru s’introduira de la manière suivante, sous une forme qualitative bien avant d’être métrique. Comme nous l’avons déjà vu à propos des relations d’ordre ou de placement (I) à toute suite de relations asymétriques entre des termes ordonnés A, B, C… on peut faire correspondre une suite de relations symétriques définissant l’intervalle compris entre ces éléments. Lorsqu’il s’agit de simples relations d’ordre, telles que le placement des termes A, B, C… ne soit défini que par rapport à ces seuls termes, sans référence à aucun autre système, l’intervalle compris entre A et B est nul (c’est-à-dire que ces termes se suivent directement), l’intervalle compris entre A et C comprend B (B est alors placé « entre » A et C), etc., mais l’on pourra cependant dire que l’intervalle compris entre A et C est plus grand qu’entre A et B ; que celui qui est compris entre A et D est plus grand qu’entre A et C, etc. (emboîtement des intervalles). Or, lorsqu’en plus des rapports d’ordre donnés entre A, B, C… on envisage ceux qui les relient à leurs « emplacements », ou qui relient ces derniers entre eux, la notion d’intervalle prend alors le sens d’une distance (ensemble des emplacements possibles compris entre A et B) et l’intervalle devient ainsi le chemin parcouru. Du point de vue qualitatif, il est d’emblée évident, en vertu de leur emboîtement, que l’on a les rapports A₀B₀ < A₀C₀ < A₀D₀ < … etc. Mais il est alors possible de passer de la qualité (ou quantité intensive définie par ces seuls rapports de partie et de tout) à la qualité extensive (par comparaison de A₀B₀ avec B₀C₀), etc., c’est-à-dire des parties successives entre elles) et de là à la quantité métrique (par choix d’une unité, par exemple A₀B₀, d’où A₀C₀ = n A₀B₀, etc.).

Or, il est bien visible que cette construction du chemin parcouru, en tant qu’intervalles symétriques compris entre les termes ordonnés par les relations de placement et de déplacement, correspond exactement aux données génétiques fournies par nos chapitres III et IV. Au cours des premiers stades, l’enfant ne se souciant que de l’ordre des points d’arrivée et non pas de celui des points de départ, il définit le chemin parcouru par l’arrivée seule et s’égare ainsi sans cesse faute de pouvoir construire l’intervalle. Dans la suite (intuitions articulées) il considère bien l’intervalle, mais ne le dissocie point encore de l’ordre des points d’arrivée : l’intervalle n’est alors pas conçu comme symétrique, d’où la négation de l’égalité des chemins parcourus à l’aller et au retour. La notion exacte et opératoire n’est enfin construite que lorsque le groupement de l’emboîtement des intervalles est achevé en correspondance avec celui de la sériation [p. 270] des relations d’ordre (placements et déplacements en tant que changements d’ordre). Mais, chose intéressante, la notion de l’espace parcouru en tant que pure distance semble rester longtemps au second plan par rapport aux notions liées à l’ordre des points de départ et d’arrivée : l’enfant dira par exemple « arriver plus loin » de préférence à « faire un plus long chemin », etc. Or, cela se comprend de soi-même en fonction de ce que nous venons de voir de la dualité des opérations qualitatives de déplacement : les premières ne portent que sur les changements de place des éléments A, B, C… les uns par rapport aux autres, et alors l’intervalle passe au second plan tandis que les permutations jouent le rôle essentiel ; les secondes, au contraire portent sur les changements d’ordre par rapport aux « emplacements » eux-mêmes et alors seulement les notions de distance et de longueur des intervalles sont mises au premier plan.

Nous avons constaté jusqu’ici l’étroite solidarité des opérations de déplacement physique et de placement spatial qui se constituent les unes en fonction des autres et construisent ainsi simultanément le cadre immobile qu’est l’espace et le contenu mobile qu’est l’objet physique au repos ou en mouvement. Mais il y a plus : c’est cette même coordination des placements et des déplacements qui explique la construction des idées de vitesse, de succession temporelle et de durée, et cela pour autant que deux ou plusieurs déplacements sont ordonnés à la fois, c’est-à-dire en correspondance les uns avec les autres. C’est cette mise en correspondance que nous appelons opérations de co-déplacement.

Un seul déplacement et par conséquent un enchaînement de déplacements successifs est un mouvement sans vitesse : que A aille de A₀ en D₀ en une heure, une seconde ou à une vitesse infinie, c’est toujours le même déplacement. Il n’y a donc pas de vitesse absolue, au sens de la vitesse d’un mouvement isolé (il n’y a d’ailleurs pas non plus de déplacement absolu puisque si A change d’ordre par rapport à B, on peut aussi bien considérer B comme mobile et A comme immobile). Par contre, si l’on ordonne les positions successives d’un mobile par rapport à celles d’un autre, la notion de vitesse intervient nécessairement et c’est bien ainsi qu’elle apparaît du point de vue de sa genèse [p. 271] psychologique : pour les petits, la vitesse c’est le dépassement c’est-à-dire l’interversion de l’ordre des positions respectives de deux mobiles en cours de déplacement. Or, si incomplète et même trompeuse que soit cette conception sous sa forme intuitive initiale (qui consiste à juger des vitesses, comme des mouvements en général, par les seuls points d’arrivée), elle devient, en fait, par les corrections régulatrices puis opératoires auxquelles elle donne lieu, le principe des groupements permettant d’interpréter tous les rapports qualitatifs de vitesse (qualitatifs, par opposition à extensifs et métriques). C’est ce que nous allons chercher à montrer maintenant.

Voyons d’abord comment les opérations de co-déplacement dérivent de celles qui précèdent puis nous constaterons en quoi elles rejoignent effectivement le développement génétique.

Supposons un certain nombre d’objets placés dans l’ordre A₁B₁C₁D₁… que l’on déplace ensuite dans l’ordre B₁C₁A₁D₁… En vertu des opérations décrites jusqu’ici, nous pouvons, sans sortir de la constatation spatiale et sans faire intervenir la durée, considérer l’ordre A₁B₁C₁D₁… comme un système de positions données en un seul bloc spatial, ou d’un seul tenant, et l’ordre B₁C₁A₁D₁… comme un autre système analogue (= d’un seul tenant également), mais incompatible avec le premier sans un déplacement. Nous appellerons ces systèmes incompatibles entre eux des « états » ou « instantanés » et pouvons donc dire que le déplacement consiste en un passage de l’état I à un autre état II. Que ce passage s’effectue à la vitesse que l’on voudra et suppose une durée (temporelle) ou aucune durée (vitesse idéale infinie), cela n’entre pas en considération tant qu’il s’agit d’un seul déplacement, ou d’un enchaînement de déplacements successifs, chaque état étant simplement le système spatial considéré avant cette transformation qu’est le déplacement ou le nouveau système résultant du déplacement.

Mais admettons maintenant qu’aux placements A₁B₁C₁D₁… correspondent les placements A₂B₂C₂D₂… donnés dans le même état I, les objets A₂B₂C₂D₂… étant situés par exemple chacun dans le voisinage de son correspondant. Il s’agit du même état I, si l’on peut par un procédé quelconque (superposition, etc.), établir ces correspondances sans effectuer de déplacements, les deux suites A₁B₁C₁D₁… et A₂B₂C₂D₂… étant donc compatibles en un même bloc spatial que nous pourrions appeler simultané si ce n’était là une référence inutile au temps (les figures données en un même plan ne sont pas plus désignées du terme de simultanées qu’un déplacement n’est comme tel affecté d’une vitesse). [p. 272] Et supposons qu’en l’état II on ait l’ordre B₂C₂D₂A₂…, chacun de ces quatre termes se trouvant en regard (dans le voisinage) des termes B₁C₁A₁D₁… (A₁ étant donc en regard de D₂ et D₁ de A₂) : cela revient alors à dire que le déplacement de A₁ (par rapport à B₁ et à C₁ correspond à un déplacement plus grand de A₂ (puisque A₂ s’est déplacé par rapport à B₂ ; C₂ et D₂). En ce cas A₂ qui correspondait à A₁ dans l’état I, le précède (dans le sens du mouvement) dans l’état II, c’est-à-dire qu’il y a dépassement et intervention des notions de vitesse et de temps.

Appelons d’abord co-déplacements les déplacements distincts qui s’effectuent entre deux mêmes états I et II (donc, dans cet exemple, les déplacements de A₁ et de A₂). Disons, d’autre part, que deux déplacements A₁B₁C₁D₁… et A₂B₂C₂D₂… se correspondent bi-univoquement si l’on peut établir une correspondance entre chaque terme de l’un et chaque terme de l’autre dans le même ordre, c’est-à-dire si l’on peut reconnaître à un indice univoque, pour chaque terme de l’un, quel est le terme du même ordre appartenant à l’autre placement. Nous dirons alors que deux termes correspondants A₁ et A₂ sont déplacés sans dépassement si leurs nouveaux placements sont également correspondants, tandis que l’un des deux dépasse l’autre si son nouveau placement est d’un ordre supérieur au précédent.

Lorsque ces opérations sont possibles (et l’on reconnaît d’emblée ce qu’elles représentent dans la genèse réelle de la notion enfantine de vitesse), quatre conséquences s’ensuivent nécessairement : 1° Les co-déplacements ne sont plus caractérisés seulement par des changements de position (placements), au sens exclusivement spatial du terme, mais par des vitesses : seront de mêmes vitesses les déplacements sans dépassements tandis qu’un déplacement sera de vitesse supérieure à un autre dans la mesure du dépassement. 2° Outre l’ordre de succession spatiale assuré par la correspondance qui définit les dépassements, il intervient alors un ordre temporel de succession, qui est celui des états eux-mêmes : l’état II succède à l’état I. Cet ordre temporel est distinct de l’ordre spatial, puisque les placements ne se correspondent plus en cas de dépassement. Chaque état définit ainsi un système de simultanéités (= le système des placements) données ensemble spatialement et la succession de deux états définit un « avant » et un « après » temporels. 3° L’intervalle spatial entre les deux placements successifs d’un même élément (donc l’intervalle entre les deux positions extrêmes d’un même déplacement) constitue un chemin parcouru : tout dépassement marque donc une inégalité de chemin parcouru [p. 273] et la plus grande vitesse se reconnaît, d’autre part, au fait qu’un plus grand chemin a été parcouru entre deux mêmes états. Pour ce qui est de ces intervalles spatiaux ou « distances », nous avons vu à propos des opérations de déplacement comment on peut les définir qualitativement — par opposition à leur mesure — en fonction des emboîtements tirés soit de l’ordre des éléments considérés (l’intervalle AB étant toujours plus petit que l’intervalle AC, soit AB < AC < AD, etc., indépendamment de tout système de référence), soit de l’ordre des emplacements (A₀B₀ < A₀C₀ < A₀D₀… etc.). 4° La durée, enfin, constitue l’intervalle général donné entre deux états, donc entre les termes de la succession temporelle (voir 2°) par opposition à la succession spatiale. La durée se reconnaît ainsi au chemin parcouru rapporté à la vitesse (= multiplié logiquement par la relation inverse de vitesse). P. ex. si un chemin a a été parcouru à une vitesse v₁ pendant que le chemin b (b = a + a’ où a’ est donc la différence entre les deux chemins) est parcouru à une vitesse v₂ (v₂ = v₁ + v’ où v’ est donc la différence des vitesses), alors sa durée est égale à celle de a parce que la différence des chemins parcourus a’ est compensée par − v’ (inverse de la différence des vitesses). On a en effet a + a’ − v’ = a puisque la différence de vitesse v’ se définit précisément par l’augmentation (ou différence) a’ des chemins parcourus (a’ = v’ et a’ − v’ = 0). Notons en ce qui concerne cette construction de la durée par le chemin parcouru rapporté (logiquement, et non pas seulement métriquement) à la vitesse, que c’est précisément elle que l’étude psychologique de la genèse de cette notion nous a conduit à découvrir chez le jeune enfant (voir La Genèse du temps chez l’enfant, conclusion) ⁹.

[p. 274] Or, il est fort intéressant de constater que chacune de ces opérations intervient effectivement dans le développement génétique de l’idée de vitesse. Au début de cette évolution, en effet, seul le dépassement visible importe (stade I des chapitres VI et VII), sans que le sujet tienne compte des correspondances de départ, c’est-à-dire des chemins parcourus dans les mêmes temps. Au cours de tout le stade II le progrès consiste à généraliser l’idée de dépassement au moyen de correspondances permettant d’étendre les comparaisons aux cas où il n’y a pas seulement dépassements visibles, mais invisibles, et surtout où les mobiles se rattrapent sans se dépasser, ou ne se rattrapent même pas entièrement, se croisent, etc. En toutes ces situations, le mécanisme correcteur des jugements consiste, nous l’avons vu, en décentrations régulatrices qui conduisent à porter l’attention sur les points de départ autant que sur les points d’arrivée, donc à anticiper la suite des mouvements jusqu’à dépassement possible, ou à reconstituer leurs phases initiales jusqu’à pouvoir établir les correspondances nécessaires à l’établissement des dépassements virtuels. C’est en fonction d’un tel processus que l’intervalle ou chemin parcouru commence à jouer un rôle, ce qui permet de juger de la vitesse lorsque les points de départ et d’arrivée sont les mêmes, mais que les chemins sont inégaux : la correspondance opératoire l’emporte alors peu à peu sur la correspondance simplement visuelle. Enfin, au stade III la vitesse se juge directement aux correspondances de départ et d’arrivée, c’est-à-dire au dépassement entièrement généralisé, ainsi qu’aux intervalles définis par elles, c’est-à-dire aux chemins parcourus rapportés à la durée.

Mais il va de soi que tout ce qui précède demeure limité au cas des mouvements synchrones, en tout ou en partie, avec départs et arrivées simultanés. La comparaison des mouvements successifs relèvera par contre des opérations extensives et métriques (voir V et VI).

Il reste un cas particulier à examiner : celui de la composition des mouvements relatifs (dont nous avons traité au chapitre IV) ou des vitesses relatives (dont il a été question au chapitre VIII), relevant toutes deux encore des simples opérations qualitatives avant de donner lieu au calcul métrique.

Un mouvement est un changement de position (déplacement) par rapport à un système de positions fixes (placement). Mais ce système de positions peut être fixe par rapport au mouvement considéré tout en étant lui-même en mouvement par rapport à un autre système de positions fixes. C’est alors qu’intervient la nécessité de composer entre eux les deux mouvements et leurs deux vitesses, et nous allons essayer, comme pour les précédentes, de décrire ces opérations de composition telles qu’elles se constituent génétiquement et non pas telles qu’elles peuvent s’abréger après coup.

Soit A₀B₀C₀… un système d’emplacements ordonnés, tels que les points de repère immobiles pouvant servir de référence à l’observateur pour juger du mouvement d’un mobile sur une table ou sur le sol. Soit A₁B₁C₁… un système d’éléments également « placés » dans un ordre constant et qui peuvent être ou bien les parties d’un même solide (par exemple les parties successives de la planchette du chapitre V), ou bien des éléments discontinus (par exemple les cyclistes du chapitre VIII qui se suivent dans un ordre invariable). Soit enfin A₂ un mobile placé sur A₁ ou devant A₁. Il est alors possible de concevoir deux sortes de compositions, distinctes mais complémentaires et se réduisant au même principe, lorsque A₂ se déplace par rapport à la suite A₁B₁C₁… : on peut composer les mouvements de A₂ par rapport aux emplacements fixes A₀B₀C₀… lorsque A₂ est entraîné par A₁B₁C₁… ou bien on peut composer les mouvements de A₁B₁C₁… par rapport à A₂ et non pas par rapport aux emplacements fixes A₀B₀C₀…

Dans le premier cas, A₂ est en mouvement sur la suite A₁B₁C₁…, qui est elle-même en mouvement sur A₀B₀C₀… Supposons donc que la suite A₁B₁C₁… se déplace de manière telle que A₁ arrive en D₀. Pendant ce temps A₂ s’est déplacé et est parvenu en C₁ : il est clair que, par rapport à A₀B₀C₀… le mobile A₂ a donc fait le chemin (A₁C₁) + (A₀D₀) et qu’il est donc lui-même au-delà de D₀ : si (A₀D₀) équivaut au chemin parcouru m₁ et (A₁C₁) au chemin parcouru m₂ la composition sera donc sans plus m₁ + m₂, si A₂ et la suite A₁B₁C₁… vont dans le même sens, et [p. 276] m₁ − m₂ s’ils marchent en sens inverse. En principe cette composition n’est donc pas autre chose que celle des déplacements (voir III) sauf qu’il s’agit d’un double déplacement, c’est-à-dire d’une addition ou d’une soustraction soit des relations d’ordre soit des distances parcourues. Nous avons cependant constaté la grande complication que suppose le maniement de ce déplacement double : pour comprendre le rapport du mouvement de A₂ avec A₁B₁C₁… et A₀B₀C₀… à la fois, il s’agit de penser d’abord les mouvements de A₂ par rapport à A₁B₁C₁… et de A₁B₁C₁… par rapport à A₀B₀C₀…, comme s’ils étaient successifs, puis ensuite de les relier à nouveau en un double rapport. Il s’agit donc de les décomposer en hypothèse pour les recomposer déductivement : ce qui implique, comme par définition, la pensée hypothético-déductive et les opérations formelles. C’est pourquoi, tout en étant analogue en sa structure aux compositions des déplacements simples, la composition des déplacements doubles, ou mouvements relatifs, n’est acquise que vers 10-11 ans au lieu de 7-8 ans, à cause du décalage vertical qui existe entre les mêmes opérations, selon qu’elles sont concrètes ou formelles.

Quant au second problème (vitesse relative de A₁B₁C₁… par rapport au mouvement de A₂) il relève exactement du même schéma. Supposons A₂ placé non plus sur, mais à côté de A₁B₁C₁… et situé en A₀. En un temps t₁ l’élément A₂ immobile verra défiler devant lui A₁B₁C₁ et D₁ (mais pas E₁F₁… etc.). La vitesse de la suite A₁B₁C₁… sera donc fonction de ces quelques dépassements (A₁ à D₁) en un temps t₁ ou si l’on préfère d’une longueur e (e = de A₁ à D₁) en un temps t₁. Si maintenant A₂ marche à la rencontre (= en sens inverse) de A₁B₁C₁… il croisera D₁ après un temps t₂ plus court que t₁ (donc t₂ < t₁, c’est-à-dire qu’en t₁ il croisera A₁B₁C₁D₁ + E₁F₁, etc. Autrement dit encore la longueur e sera parcourue en moins de temps (t₁) qu’auparavant, c’est-à-dire que la vitesse de A₁B₁C₁… sera plus grande du point de vue de A₂ que du point de vue de A₀. Si A₂ avance au contraire dans le même sens que les A₁B₁C₁…, après un temps t₁ il n’aura pas été dépassé par D, mais seulement par A₁B₁ ou C₁ et il lui faudra un temps t₃ plus grand que t₁ pour être dépassé par D₂. La longueur e sera ainsi parcourue en plus de temps (t₃ > t₁) et la vitesse de A₁B₁C₁ sera ainsi plus faible du point de vue de A₂ que de celui de A₀.

Cette seconde composition paraît au premier abord beaucoup plus subtile que la première. En réalité elle revient au même, du point de vue opératoire, sauf que dans la première il s’agit d’additionner ou de soustraire des espaces parcourus dans le même temps, tandis que dans celle-ci on peut soit additionner ou soustraire [p. 277] des temps (t₃ > t₁ ou t₂ < t₁) pour le même espace, soit l’inverse (nombre des croisements ou dépassements plus grand ou plus petit qu’en A₀). Mais, du point de vue des difficultés intuitives il semble beaucoup plus difficile de coordonner deux points de vue distincts (celui du mobile A₂ et celui de A₀, ou de A₂ immobile en A₀) que d’additionner ou de soustraire deux mouvements. Or, l’expérience a au contraire montré (chapitre VIII) que cette seconde composition est acquise en même temps que la première et que, sitôt acquises les opérations formelles portant sur les déplacements successifs multiples (chapitre III), l’enfant est capable de se mouvoir avec aisance et subtilité dans ce problème de relativité.

Les opérations précédentes aboutissent à des groupements purement qualitatifs dont l’enfant se rend maître entre 7 ans (opérations concrètes) et 11 ans (opérations formelles), et qui sont exacts dans ce qu’ils permettent d’affirmer mais demeurent essentiellement insuffisants pour dominer l’ensemble des problèmes élémentaires de mouvement et de vitesse. Dans le domaine du déplacement, ils conduisent uniquement à déduire qu’un chemin parcouru sera égal dans les deux sens de parcours (ou qu’un déplacement inverse annule le déplacement direct correspondant), que deux déplacements s’additionnent en un seul déplacement, et enfin qu’un déplacement partiel sera toujours plus petit qu’un déplacement total. Mais ils ne permettent ni la mesure ni même la mise en proportions. Dans le domaine des vitesses, ils conduisent à affirmer qu’en deux durées synchrones, le mobile qui parcourt le plus grand chemin a une plus grande vitesse, ou qu’à espaces parcourus égaux le mobile le plus rapide est celui qui emploie le temps le plus court ; mais encore faut-il, en cette seconde situation, que les durées comparées débutent ou prennent fin simultanément. De ces compositions, peuvent enfin être déduites la plus ou moins grande vitesse relative selon le mouvement de l’observateur. Mais, en aucun de ces cas, les opérations qualitatives décrites jusqu’ici ne permettent de mesurer les vitesses, et elles ne sont même pas aptes à étendre aucun des rapports que l’on vient de rappeler aux mouvements successifs et non plus simultanés. Par conséquent, elles demeurent impuissantes à fonder les notions de vitesse uniforme ou d’accélération, [p. 278] quelque intuitives que soient ces notions en certains de leurs aspects.

En d’autres termes, les opérations dont il a été question jusqu’ici, sous I-IV, ne relèvent que de la quantité intensive (comparaison entre le tout et la partie, soit A < B si B = A + A’, comme en logique qualitative pure), et non pas des quantités extensives (comparaison des parties entre elles, soit A > A’ ou A < A’ si B = A + A’) ni surtout des quantités métriques (itération d’une unité A = A’, donc B = 2A si B = A + A’). Mais, comme nous l’avons vu au cours des chapitres IX à XI, sitôt constituées les opérations intensives, elles se prolongent par cela même en opérations extensives et métriques.

Une mention spéciale doit être faite, à cet égard, de la question de la proportionnalité, dont nous avons vu au chapitre IX qu’elle intervenait dans la comparaison des vitesses de mouvements successifs. Si l’espace e est parcouru en un temps t à la même vitesse que l’espace e’ en un temps t’, on a, en effet, e/t = e’/t’, et s’il y a inégalité de vitesses, il y a absence de proportions. Or, avant de chercher à effectuer aucune mesure, il arrive que le sujet témoigne d’un sentiment net des proportions et surtout des disproportions, ce qui pose un problème psychologique intéressant, de corrélation avec les opérations qualitatives et métriques.

On sait, en effet, que la notion de proportion se présente sous deux formes bien distinctes en géométrie : la forme métrique, qui est l’égalité de deux rapports numériques a/b = c/d, et la forme dite qualitative, ou purement géométrique ¹⁰. De ce dernier point de vue, on dit, depuis Grassmann, que deux paires de segments a et a₁, b et b₁ sont proportionnels, soit a : a₁ = b : b₁ « si, en portant des segments sur deux demi-droites concourantes, à partir de leur point d’intersection, a et b sur l’une, a₁ et b, sur l’autre, la droite qui joint les extrémités des segments aa₁ et la droite qui joint les extrémités des segments bb₁ sont parallèles » (Enriques, Encycl. Math., III¹, p. 58).

Mais cette forme purement géométrique diffère néanmoins essentiellement d’une simple proportion logique ou qualitative (le mot « qualitatif » étant pris en un sens différent en logique et en géométrie), telle que « fils est à père comme petit-fils est à [p. 279] grand-père » ou « Paris est à France comme Rome est à Italie ». Ces correspondances logiques constituent, il est vrai, elles aussi l’égalité de deux rapports (rapports d’inversion dans ce premier exemple, ou de partie qualifiée à tout, dans le second). Mais deux différences fondamentales les opposent aux proportions mathématiques : 1° Les correspondances logiques énoncent simplement l’identité ou l’équivalence de structures qualitatives ou intensives (le même rapport d’inversion ; la même relation de partie à tout, etc., bref la même comparaison ou le même emboîtement), tandis que les proportions géométriques supposent la quantité extensive, c’est-à-dire la comparaison quantitative de chaque partie avec chacune des autres. En effet, si a₁ et a’₁ sont deux segments de valeur b₁ = a₁ + a’₁ que a₂ et a’₂ sont deux segments de valeurs b₂ = a₂ + a’₂ et que a₁/a’₂ alors on a aussi a₁/a’₁ = a₂/a’₂ c’est-à-dire un rapport quantitatif entre chaque partie a et la suivante a’. Au contraire, la correspondance logique ne connaît de rapport quantitatif qu’entre la partie a (par exemple Paris) et le tout b (par exemple la France). 2° On peut toujours traduire une proportion géométrique a₁ : a’₂ = a’₁ : a’₂ en un rapport métrique, d’où l’on peut tirer a₁ × a’₂ = a₂ : a’₁, tandis que les rapports logiques sont irréductibles au nombre. Il s’ensuit que la multiplication (Paris × Italie = Rome × France) ou (fils × grand-père = père × petit-fils) ne présente pas de signification ¹¹. Bref, même sous sa forme géométrique dite « qualitative », c’est-à-dire extensive et non métrique, la proportion est une égalisation de [p. 280] deux rapports quantitatifs que l’on ne mesure pas, mais qui sont toujours mesurables, puisqu’ils impliquent les notions de droite, de parallèles et d’angles, tandis que la correspondance logique est une équivalence entre deux rapports intensifs non mesurés non plus, mais en outre non mesurables.

Comment donc l’enfant parvient-il à cette notion ? Il lui faut naturellement être au préalable en possession des opérations qualitatives, sur le plan concret mais aussi sur le plan formel : sur ce dernier plan, il en est maître dès qu’il sait comparer des mouvements successifs à espaces égaux et temps inégaux ou à temps égaux et espaces inégaux. Mais supposons maintenant des temps et des espaces tous deux inégaux, tels que dans les exemples du chapitre IX : 4 cm en 2 secondes comparés à 5 cm en 3 sec., ou 4 cm en 2 sec. comparés à 7 cm en 3 sec. L’enfant compare les différences de temps (ici 1 seconde) aux différences d’espaces (ici 1 cm et 3 cm). Puis il compare ces différences de 1 ou 3 cm à l’espace parcouru par le premier mobile (4 cm) et la différence de 1 seconde au temps employé par le premier mobile (2 secondes). Comparant ces deux comparaisons, il parvient alors à cette idée que 1 cm de différence est moins par rapport à 4 cm que 1 sec. par rapport à 2 sec., tandis que 3 cm sont plus par rapport à 4 cm que 1 sec. par rapport à 2 sec. et il conclut ainsi que, dans le premier exemple, le deuxième mobile va plus lentement que le premier et que, dans le second exemple c’est l’inverse. Le sentiment de la proportionnalité est donc issu de l’opération qualitative appelée parfois « éduction des corrélats » (Spearman) et qui n’est qu’une correspondance par multiplication logique de relations (= rapport entre rapports) ; mais cette opération, au lieu d’être appliquée simplement (comme dans les groupements III à IV) aux rapports de partie à tout (ou de relation totale à son inverse) est étendue à la comparaison des parties entre elles. C’est cette comparaison entre a et a’ au sein de b (b = a + a’), par exemple de 4 cm à 1 cm de différence au sein de 5 cm ou de 4 cm à 3 cm de différence au sein de 7 cm ou encore de 1 sec. à 1 sec. au sein de 2 sec., etc., qui transforme la correspondance logique, ou rapport de rapports de partie à tout, en proportion mathématique ou rapport de rapports de partie à partie.

Or, d’où viennent ces comparaisons des parties a et a’ entre elles, qui caractérisent la proportion ? Simplement d’une généralisation des opérations qualitatives citées précédemment. Celles-ci se bornent à emboîter les parties et a’₁ dans un tout b₁ et, une fois constaté que a₁ < b₁ puisque b₁ = + a₁ + a’₁, à [p. 281] emboîter selon le même principe une autre partie a₂ en un autre tout b₂ = a₂ + a’₂. La comparaison de ces deux emboîtements engendre les deux correspondances logiques : a₁ est à b₁ comme a₂ est à b₂ et a’₂ est à b₁ comme a’₂ est à b₂. Mais ces correspondances conduisent naturellement à chercher s’il existe aussi un double rapport entre les parties elles-mêmes : a₁/a₂ = a’₁/a’₂ ? C’est ainsi qu’apparaît la proportionnalité : elle constitue, comme nous l’avons vu par les exemples rappelés plus haut, une comparaison des parties entre elles, donc une comparaison totale entre deux emboîtements, tandis que la correspondance logique n’est qu’une double comparaison de parties à tout. Mais cette dernière comparaison, quoique limitée, prépare et entraîne la proportionnalité, avant toute métrique, car comparer la manière dont deux parties appartiennent à deux totalités provoque tôt ou tard la comparaison de ces deux parties avec leurs parties complémentaires, et c’est ce dernier rapport qui marque le passage de l’intensif à l’extensif ou du qualitatif au mathématique.

Sitôt amorcée la comparaison des parties entre elles, par la généralisation des opérations qualitatives, une partie quelconque a peut alors être égalée à une autre a’, d’où b = a + a = 2a, ce qui entraîne le choix de a comme unité et constitue une métrique. Nous avons examiné ailleurs celle qui se développe dans le domaine du temps et avons constaté aux chapitres III et IV comment apparaît la mesure du déplacement par report d’une même distance ¹². Les mesures du temps et du chemin parcouru permettent alors, dès le stade III, la compréhension du mouvement uniforme et, au stade IV, celle du rapport entre deux mouvements uniformes de vitesses distinctes et celles du mouvement accéléré.