Chapitre V.
Les mouvements relatifs ^a 🔗

La présentation de l’épreuve est la plus simple possible : une petite coquille [p. 96] d’escargot est placée sur une planchette ou un morceau de carton de 10 à 15 cm de long et de 3 à 5 cm de large. On dit au sujet que l’escargot va se promener sur la planchette et que sa lenteur permettra de bien regarder son mouvement. « Seulement, pendant qu’il marche, nous allons lui faire des farces. Nous allons pousser le carton, très lentement aussi, sans qu’il s’en doute : quelques fois dans le même sens que lui, d’autres fois dans l’autre sens ». On met alors l’escargot à une extrémité du carton, en marquant une ligne de repère bien visible sur la table, et on déplace simultanément l’escargot et le carton (ou d’abord successivement si l’enfant n’arrive pas à comprendre d’emblée) selon les diverses combinaisons possibles. L’enfant dispose de bandelettes de papier pour mesurer le trajet de la planche à partir de la ligne de référence, ainsi que le trajet de l’escargot sur la planche, et le problème est de reconstituer où l’escargot est arrivé, une fois le matériel écarté, ou bien où il arrivera étant données certaines conditions énoncées verbalement.

En règle générale, nous avons posé les quatre questions suivantes. Question I. L’escargot et le carton avancent en même temps dans la même direction (avec trajet du carton plus long ou plus court que celui de l’escargot). Question II. Même reconstitution à l’aide des papiers, mais les trajets étant de sens contraires. Question III. On annonce, mais cette fois sans mesures (avec énoncé purement verbal ou en esquissant les mouvements, mais sans que le sujet puisse en percevoir le résultat) que l’escargot et le carton vont aller en sens contraire l’un de l’autre, mais en parcourant tous deux simultanément la même distance : l’enfant doit donc prévoir que l’escargot restera sur place. Question IV. L’escargot étant posé à l’extrémité du carton (sur la ligne de repère), prévoir s’il arrivera à gauche ou à droite de cette ligne selon qu’il parcourt un trajet plus long ou plus court que le carton, celui-ci se déplaçant en sens contraire.

Sur 67 enfants interrogés de 5 à 14 ans, nous avons pu distinguer les stades suivants, en corrélation avec ceux qui ont été caractérisés dans les chapitres précédents. Au cours du premier stade les sujets ne parviennent à tenir compte que d’un seul des deux mouvements : en général celui de l’escargot. Mais comme ils ne réussissent pas à mesurer même un seul trajet pris en bloc, leurs réactions ne nous retiendront pas longtemps. Par contre, on trouve des sujets intermédiaires entre les stades I et II, qui arrivent à se servir des bandelettes de papier pour mesurer les trajets et qui continuent cependant à ne considérer qu’un seul de ceux-ci. Au cours du second stade l’enfant mesure [p. 97] les deux trajets mais pour reconstituer le chemin parcouru par l’escargot, il se borne à les placer l’un à côté de l’autre, tous deux à partir de la ligne de repère, faute de comprendre qu’ils s’additionnent l’un à l’autre ou se soustraient : le sujet n’arrive donc même pas à résoudre la question I faute d’aligner les deux trajets l’un à la suite de l’autre. À partir du stade III (opérations concrètes débutant vers 8 ans environ), la question I (trajets de même sens) est résolue par addition des trajets et la question III (trajets égaux de sens contraires) par soustraction. Au cours d’un sous-stade III A elles restent seules susceptibles de solution, tandis que durant le sous-stade III B (9-10 ans) les autres questions (trajets inégaux de sens contraires) donnent une solution empirique progressive. Enfin, au stade IV (10-11 ans) les quatre questions sont résolues d’emblée.

On voit donc, à comparer ce développement avec celui des solutions analysées au chapitre IV, que si la composition des mouvements relatifs est plus difficile du point de vue intuitif que celle des mouvements successifs, ce retard n’est sensible que durant les premiers stades. Au fur et à mesure que l’on se rapproche du stade IV, au contraire, il y a synchronisation entre les opérations, et, au niveau hypothético-déductif ou formel, les deux développements se rejoignent.

Voici d’abord des exemples du premier stade (pas de mesure) et des cas intermédiaires entre les stades I et II (début de la mesure des trajets), chez lesquels un seul des deux mouvements est considéré lors de la reconstitution du point d’arrivée de l’escargot :

Ton (6 ; 7) ne sait que faire des bandes de papier destinées à la mesure. Pour savoir où est arrivé l’escargot Ton se borne à reproduire approximativement le mouvement du carton, mais sans tenir compte de la ligne de repère ni du déplacement effectué par l’escargot sur le carton lui-même. Même réaction pour les mouvements de sens contraire. Pour les mouvements inverses égaux, par contre, il ne s’occupe pas du déplacement du carton, mais seulement de celui de l’escargot. Posant l’extrémité du carton à la ligne de repère, il dit de l’escargot : « Il est parti d’ici (repère) et il est arrivé là (autre extrémité du carton). — Et le carton a fait quoi ? — … »

Nis (7 ; 60) mesure le trajet du carton et celui de l’escargot : « Ce papier représente quoi ? — La mesure de l’escargot, la mesure quand il a avancé. — Montre-moi où il est arrivé ? — Jusque-là (porte la mesure à partir du point de repère). — Et le carton a fait quoi ? — Il a aussi avancé. —  De combien ? — (Il montre la mesure du trajet du carton.) — Alors ? — … — Ça a fait quelque chose que le carton ait avancé pendant [p. 98] que l’escargot marchait ? — Non. —  L’escargot est arrivé où ? — Là (comme avant). » On explique et on aligne les deux chemins.

Question II : Nis reporte la mesure de l’escargot. « Et le carton ? — Vous l’avez reculé en arrière. —  Alors où est arrivé l’escargot ? — Là (montre le même point qu’avant). »

Nal (7 ; 8) : « Là (escargot seul). — Mais le carton a fait du chemin ? — … — Où il est arrivé ? — (Montre approximativement.) — Ça n’a rien changé, pour l’escargot, que le carton marche pendant ce temps ? — Non ».

Question II : même réaction.

Et voici maintenant des exemples du stade II, au cours duquel les enfants reportent le second mouvement, en plus du premier, mais sans les additionner l’un à l’autre, et en se bornant à juxtaposer les papiers-mesures tous deux à partir de la ligne de repère :

Iac (7 ; 7) : « Maintenant l’escargot descend. Il a fini son voyage. Où est-il arrivé ? — Ici (montre approximativement). — Il ne faut pas mesurer ? — (Il mesure et reporte à partir de la ligne de repère.) — Et la planche ? — Oui, elle a avancé (il mesure et place le papier-mesure à côté de celui de l’escargot). — Mais regarde : quand la planche avançait de ça l’escargot a marché dessus (on glisse le papier mesurant le chemin de l’escargot sur le papier représentant celui de la planche, jusqu’à ce que le premier prolonge l’autre bout à bout). Alors recommençons (nouvel essai). Où est-il arrivé ? — Ici (il met à nouveau les deux papiers l’un à côté de l’autre à partir du point de départ absolu). — Regarde (on met les deux papiers bout à bout). Alors où est-il descendu ? — (Semble comprendre.) »

Question II (sens contraire) : « Il croit qu’il fait un long voyage, mais, tu vois, je tire la planche comme ça. Où descend-il ? — (Iac mesure les deux mouvements, puis place la bande de l’escargot à gauche du point de départ et le papier de la planche à droite.) Ici. — Pourquoi ? — L’escargot va de ce côté et la planche de celui-là. — Mais regarde bien (on recommence). Où descend-il ? — Ici (oriente à nouveau les deux bandes de papier en sens inverse, à partir de la ligne de repère, et désigne l’extrémité de la bande de l’escargot sans s’occuper de celle de la planche) ».

Col (8 ; 1) mesure d’emblée (question I), les deux trajets et place les deux bandes de papier parallèlement, toutes deux à partir de la ligne de repère : « L’escargot arrive là (extrémité de sa bande, sans tenir compte de celle de la planche). — Et la planche ? — Là. —  Mais l’escargot était sur la planche quand elle a avancé ? — Oui, mais il est parti de là (point de départ absolu). — Mais la planche a avancé encore plus ? — Oui. — Alors, où est arrivé l’escargot ? — Ici (extrémité de sa bande à partir de la ligne de repère, et toujours sans s’occuper du trajet de la planche). »

[p. 99] Question II : Col place, comme Iac, les bandes de papier de chaque côté du point de départ : « L’escargot est arrivé ici (à gauche, à l’extrémité de sa bande). — Mais la planche est allée de quel côté ? — De l’autre. — L’escargot a été entraîné ? — Oui. —  Alors où est-il arrivé ? — Ici (comme avant). — Pourquoi ? — Parce que lui, il allait de ce côté et il a fait ce bout de chemin. »

On voit l’intérêt de ces dernières réactions. Que les sujets du stade I ne parviennent pas à tenir compte des deux mouvements à la fois et oublient l’un quand ils reproduisent l’autre, cela n’a rien de décisif car il pourrait n’y avoir là qu’une difficulté d’attention ou de centration de l’intuition. Mais que les sujets du stade II mesurent le trajet de l’escargot sur la planche, puis de la planche sur la table, et reportent soigneusement ces deux mouvements à partir de la ligne de départ sans arriver à les réunir par simple addition ou soustraction, c’est bien l’indice d’une difficulté systématique à la composition des déplacements. Or, cette difficulté est tout à fait analogue à celles que nous avons analysées, dans les chapitres III et IV, au niveau de ce même stade II : incapacité de mesurer des trajets lorsqu’ils ne sont pas indivis mais composés de segments qu’il s’agit de coordonner entre eux, non réversibilité des sens de parcours et surtout indifférenciation des longueurs et de l’ordre des successions. Dans le cas présent, deux points sont spécialement à noter. Lorsque l’escargot et la planche se meuvent dans le même sens, l’enfant voit fort bien, au moment de la perception des données, que la planche entraîne l’escargot, mais, au moment de reconstituer le trajet de ce dernier en reportant la longueur mesurée, le sujet ne comprend pas que le point de départ de ce trajet a été lui-même entraîné par la planche et que le problème est justement de savoir de combien il a été entraîné : par le fait que ce point de départ a coïncidé, au début du mouvement de la planche, avec la ligne de repère d’où sont partis simultanément la planche et l’escargot, l’enfant s’obstine à calculer le trajet de l’escargot depuis cette ligne, comme si le point de départ de l’escargot était absolu et non relatif à la planche elle-même. En d’autres termes c’est l’absoluité attribuée au point de départ du mouvement relatif, qui empêche de composer celui-ci avec le mouvement absolu : c’est donc à nouveau une question d’ordre qui fausse la composition des longueurs dans le cas du problème I. Quant à la question II, lorsque l’escargot se dirige d’un côté et la planche de l’autre, le mouvement de l’escargot est conçu comme se déroulant complètement du premier côté : s’il est parti sur la gauche de la ligne de repère, l’enfant [p. 100] mettra donc la bande de papier, servant de mesure, tout entière sur la gauche sans tenir compte du fait que la planche entraînait le mouvement sur la droite. Il mettra d’autre part la bande mesurant ce second mouvement tout entière à droite de la ligne de départ comme s’il s’agissait de deux mouvements absolus partant en sens opposés du même point. Ici encore les relations d’ordre déterminant les sens de parcours l’emportent sur la considération des longueurs parcourues, d’où l’impossibilité de composer celles-ci. Dans les deux cas (questions I et II), tout se passe donc comme si le mouvement de l’escargot demeurait indépendant et pouvait être reporté seul. Le seul progrès du stade II sur le stade I est que le mouvement de la planche est également mesuré et reporté, mais il l’est à part et sans aucune coordination avec le premier.

On se rappelle les caractères des stades III décrits au chapitre III et dans les deux sections du chapitre IV : devenu capable d’opérations concrètes, le sujet parvient à mesurer des trajets segmentés, par composition des trajets partiels. Quant aux sens inverses, il conçoit le chemin du retour comme nécessairement égal à celui de l’aller (y compris le cas des montées et descentes), même lorsque le retour s’effectue en plusieurs étapes, pourvu qu’elles soient toutes orientées dans la même direction (inverse). Par contre lors de plusieurs allers et retours partiels il ne parvient qu’à une solution empirique progressive. Or, la situation est très analogue en ce qui concerne le mouvement relatif. Les sujets du stade III réussissent en effet, la composition des deux mouvements lorsqu’ils sont de même sens. En outre, ils arrivent à résoudre d’avance, c’est-à-dire sans constatation expérimentale, la question des mouvements égaux de sens contraires : c’est donc bien que la composition des mouvements de même sens est devenue opératoire, puisque de l’opération A + X le sujet tire les opérations A − A = 0, c’est-à-dire l’inverse et l’identique. Mais lorsque les mouvements inverses sont inégaux, c’est-à-dire A − X (où X ≶ A), ou bien il échoue à toute composition (sous-stade III A), ou bien il ne parvient à la solution qu’empiriquement et par tâtonnements progressifs (sous-stade III B).

Voici des exemples du sous-stade III A, à commencer par un cas intermédiaire entre II et III A (qui ne réussit pas d’emblée la question III) :

[p. 101]Rol (7 ; 10). Question I : place bout à bout le papier représentant le chemin de l’escargot et celui de la planche, mais sans tenir compte de la ligne de départ. « Tu te rappelles où était la planche ? — Là (il l’ajuste). — Où est descendu l’escargot ? — Ici (extrémité du trajet de la planche) Non, là ! (il rajoute le trajet de l’escargot). — Pourquoi là ? — Parce qu’il y a là le point de départ et puis la planche a avancé ; alors, parce qu’il y avait l’escargot dessus, c’est là (juste). — Et maintenant (question II : sens contraires avec trajets inégaux) ? — L’escargot a reculé (il dit cela au moment de la perception des mouvements, puis il mesure les trajets de l’escargot et de la planche et met le papier correspondant au premier à gauche de la ligne de départ et le second papier à droite). — L’escargot a fait quel chemin ? — Ce côté-là. — Mais, puisque la planche a reculé, il a fait un plus grand ou plus petit bout de chemin ? — Plus grand (on répète les mouvements). Ah, plus petit ! —  Alors ? — (Il aligne bout à bout les deux papiers, mais tous deux du côté de l’escargot !) — Il a fait tout ce chemin ? — Oui. »

Question III (mouvements égaux de sens contraires) : il montre d’abord à gauche, puis à droite et découvre enfin que l’escargot ne se déplace pas.

Fran (8 ; 1). Question I : « (Il aligne d’emblée les mesures bout à bout.) Ça, c’était le chemin du carton, et puis l’escargot était dessus. —  (Question II : mouvements contraires.) Il est arrivé où ? — Jusque-là (il met à gauche de la ligne le trajet de l’escargot et à droite celui de la planche et désigne l’extrémité du premier). — Tu crois qu’il a fait un si grand chemin ? — Ah non, on a poussé en arrière le carton jusque-là. —  Et l’escargot était où ? — Sur le carton. —  Alors ça change quelque chose ? — On lui a tiré le carton en arrière et il est parti de ce côté. —  Et l’escargot pendant ce temps allait en avant ou en arrière sur le carton ? — En avant. — (On reproduit les mouvements.) — Ah, parce que, quand l’escargot est parti (= s’est mis en marche), le carton a reculé, et puis l’escargot ne marchait pas avec (= dans le même sens). — Est-ce que l’escargot serait arrivé au même endroit si je n’avais pas bougé le carton ? — La même chose. —  Où est-il arrivé ? — Là (toujours le même point). » Nouvel essai : il place cette fois les deux papiers côte à côte du même côté de la ligne de départ, et désigne l’extrémité du trajet de l’escargot comme si celui de la planche ne jouait aucun rôle.

Question III (trajets égaux de sens inverses) : « Il reste là (d’emblée juste). »

Vil (9 ans). Question I : montre approximativement, puis aligne bout à bout les deux trajets en désignant l’extrémité du second.

Question II : met un trajet de chaque côté de la ligne de départ, comme Rol et Fran. « Qu’a fait le carton ? — Parti en arrière. —  Alors l’escargot a fait un chemin plus grand ou plus petit ? — Plus grand. —  Plus grand que s’il était allé seul ? — Non, plus petit (il les replace comme avant). — Mais l’escargot est descendu où ? — Là (extrémité de son papier, sur la gauche) et puis le carton est redescendu là (vers la droite). »

Question III : hésitation brève puis : « Il ne bouge pas. »

[p. 102] On voit le progrès de ces réactions par rapport à celles du stade II : le sujet comprend d’emblée que si l’escargot est entraîné par la planche, le point de départ de son propre trajet est à situer à l’extrémité initiale de celle-ci et non pas à la ligne de départ absolue, qui marque le début du trajet de la planche. C’est ce que dit Rol très clairement : « il y a là le point de départ (= la ligne de repère) et puis la planche a avancé ; alors, parce qu’il y avait l’escargot dessus (= sur la planche) c’est là (= il situe le trajet de l’escargot en prolongement de celui de la planche) ». Bref, le point de départ de l’escargot cesse d’être absolu et est conçu comme entraîné, d’où la composition par addition des chemins parcourus. Il s’ensuit que quand les mouvements sont de sens contraires, l’enfant comprend également qu’ils s’annulent à longueurs égales (question III).

Mais pourquoi ne parviennent-ils pas, en ce cas, à composer par simple soustraction les chemins de sens contraires lorsqu’ils sont inégaux ? Or, les solutions données à cette question II prolongent simplement celles du stade précédent. Rol dit pourtant d’emblée « l’escargot a reculé », mais ne parvenant pas à soustraire un trajet de l’autre, il place comme au stade II le premier à gauche et le second à droite de la ligne de départ. Nous lui demandons, comme aux sujets suivants lorsqu’ils se mettent dans cette même impasse, si le chemin de l’escargot est en définitive plus long ou plus court que si la planche n’avait pas reculé : à quoi Rol et Vil répondent d’abord « plus grand », parce qu’il y a ainsi deux mouvements au lieu d’un seul, puis seulement « plus petit » parce qu’il rétrograde en fait ! On comprend donc qu’ils hésitent à soustraire des chemins qui leur paraissent au fond s’additionner : d’où la solution finale de Rol qui les aligne. Quant à Vil et Fran, leur conclusion est explicitée par ce dernier : « le carton a reculé et puis l’escargot ne marchait pas avec », donc les mouvements sont indépendants.

Bref, les opérations concrètes qui apparaissent avec le stade III ne permettent d’abord que la solution des compositions de même sens (question I) ou de sens contraires quand les trajets sont égaux, parce qu’alors il y a compensation exacte et que la composition du trajet direct + A avec l’inverse − A engendre l’identique A − A = 0. Mais lorsque les trajets inverses sont inégaux, les opérations concrètes ne suffisent plus et un mécanisme formel devient nécessaire. Pourquoi ? C’est ce que l’examen des réactions suivantes nous permettra d’analyser. En effet, au cours du sous-stade III B la question II est peu à peu résolue par tâtonnements empiriques :

[p. 103]Ed (8 ; 10). Question I : d’emblée juste. Question II : « Il marchera à reculons (Ed aligne les papiers bout à bout comme pour la question I, sur la gauche de la ligne de départ, puis il recule celui qui représente le trajet de la planche sans savoir que faire de celui de l’escargot). — L’escargot fera un plus grand chemin qu’avant ? — Non, il fera un moins grand bout. — Que faisait l’escargot quand je tirais la planche ? — Il avançait, mais il n’allait pas loin (il recule le trajet de la planche jusqu’à droite de la ligne de repère et pose celui de l’escargot à cheval sur cette ligne pour marquer le recul, mais sans pouvoir coordonner avec le papier de la planche). — (Nouvel essai.) — Il est arrivé plus loin que la ligne (correct, mais sans coordination précise). »

Question III (inverses égaux) : « Il reste à la même place ».

Question IV : prévoit correctement à gauche ou à droite.

Aud (9 ; 5). Question I : d’emblée juste. Question II : « Il fera un plus petit chemin (il les aligne comme avant, sur la gauche, puis recule le trajet de la planche jusqu’à droite de la ligne de repère et applique contre celle-ci le papier de l’escargot. Après quoi il recule encore le dernier papier et arrive approximativement juste mais sans coordination avec le papier représentant le trajet de la planche). »

Questions III et IV : juste.

Lil (10 ; 0), pour la question II, commence par mettre le papier de l’escargot à droite de la ligne de repère et le papier de la planche à gauche, puis inverse ces positions et place le papier de l’escargot à cheval sur la ligne. Enfin il met les deux papiers à droite de la ligne, comme au stade II mais dans le sens droit, pour marquer le recul général.

Question III : « Il a reculé : il est toujours sur la ligne. »

Question IV : « La planche fait ça et l’escargot ça : à droite. » Id. pour les rapports inverses (juste).

Hub (10 ; 7). Question II : « Ça c’est le chemin de la planche (le met d’emblée à droite de la ligne : juste). L’escargot a fait ça (le met à gauche de la ligne, comme au stade II, puis recule). En tout cas, on n’a pas besoin de ça (chemin de la planche). Il arrive plus loin que la ligne (recule encore celui de l’escargot), non, moins loin. »

On voit que ces sujets commencent à coordonner, ou du moins cherchent à coordonner les mouvements de sens inverse même lorsqu’ils sont inégaux (question II). Mais ils ne parviennent pas à la soustraction exacte. Ils placent correctement à droite de la ligne de repère le papier représentant le trajet de la planche, lequel mesure donc le recul. Quant au trajet de l’escargot, ils échouent à lui trouver son point de départ relatif, c’est-à-dire à le situer à l’extrémité de l’autre papier. Ils savent cependant bien que ce point de départ est entraîné par le mouvement de la planche ; ils savent surtout, contrairement aux sujets du sous-stade III A, que le trajet total de l’escargot est plus court que [p. 104] s’il s’était déplacé seul : « il fera un moins grand bout » (Ed) et « un plus petit chemin » (Aud). Ils trouvent donc qu’il faut soustraire ou diminuer quelque chose mais ne savent pas comment faire, ni de combien soustraire.

À quoi tient cette situation bizarre ? Pourquoi l’enfant ne comprend-il pas qu’il suffirait de faire coïncider le point de départ du trajet de l’escargot avec l’extrémité du chemin de la planche en recul, alors qu’il saisit fort bien qu’il y a diminution au total ? Tout se passe comme si le sujet ne concevait pas cette diminution comme une soustraction proprement dite et cela faute de se représenter clairement les mouvements en jeu soit comme simultanés soit comme successifs. Pour comprendre le rapport de ces deux mouvements, il faut, en effet que la pensée puisse, à volonté, évoquer chacun à part successivement puis les raccorder l’un à l’autre en un tout simultané. Or, si les sujets cités ont atteint le niveau des opérations concrètes, il faut admettre que celles-ci ne suffisent pas à assurer ce passage du simultané au successif et réciproquement, et que seul un mécanisme déductif portant sur des hypothèses comme telles, donc un mécanisme formel permet la solution du problème. Examinons, à cet égard les sujets intermédiaires entre ce sous-stade III B et le stade IV et cherchons comment ils découvrent la solution exacte :

Gab (9 ; 8). Question II : il commence par poser les papiers-mesures des deux côtés de la ligne de départ, puis recule le papier de la planche progressivement de gauche à droite (sens exact) tandis qu’il pose le papier de l’escargot à cheval sur la ligne de repère. Il le recule ensuite très lentement, jusqu’à ce qu’il ait atteint l’extrémité droite du premier papier, et s’écrie alors « Ça y est. Il part d’ici. » Il montre enfin l’endroit où est descendu l’escargot.

Question III. Inverses égaux : « Il arrive à la même place d’où il est parti. »

Ren (10 ; 5). Question I : dit immédiatement « Il faut additionner ces deux. — (Question II : sens inverses.) — Il faut aussi les additionner (met un trajet à gauche et l’autre à droite de la ligne). Non, il faut ôter ça (mesure de la planche) de ça (mesure de l’escargot). Il ne restera plus que ce bout (montre la différence après avoir mis le papier de la planche sur celui de l’escargot). — Bien. Alors où est-il descendu ? — (Il place la mesure de la planche à droite de la ligne et celle de l’escargot à côté, en faisant coïncider les extrémités.) C’est là qu’il descend (juste). »

Ger (10 ; 6). Question I : « Voilà le chemin que le carton a fait ; l’escargot a encore fait ce chemin sur le carton. Alors on ajoute les papiers bout à bout. —  C’est juste. Et comme ça (question II) ? — L’escargot a été en avant, et le carton en arrière. (Il met la mesure de l’escargot à [p. 105] gauche de la ligne, et celle du carton à droite, puis intervertit, puis met le papier de l’escargot à cheval sur la ligne et celui du carton à droite, et enfin ajuste les extrémités.) »

Question IV : « Ici (juste) parce qu’on a tiré le carton plus loin que l’escargot a avancé : il s’est trouvé en arrière de la limite. »

On voit comment l’enfant parvient à la réponse correcte : en rendant les mouvements en jeu simultanés après les avoir mesurés comme s’ils étaient successifs. Chez Gab la chose se passe sans paroles, mais chez Ren et Ger, le mécanisme est clair : c’est tantôt le sentiment de la soustraction à effectuer qui les conduit à reconstituer les deux mouvements contraires en tant que simultanés et tantôt la simultanéité qui les conduit à la soustraction. Ren commence par déclarer explicitement qu’il faut « additionner » les mouvements de même sens, et, après avoir voulu faire de même pour les inverses il reconnaît qu’il faut « ôter » la longueur de l’un de celle de l’autre : c’est alors que, pour réaliser l’opération il pose la mesure de la planche sur celle de l’escargot, ce qui exprime assez leur simultanéité et lui permet enfin de faire coïncider correctement les extrémités. Quant à Ger, partant aussi de l’addition explicite des mouvements de même sens il projette d’emblée la soustraction des inverses conçus comme simultanés, puis tâtonne jusqu’à réalisation de cette opération.

Bref, pour arriver à soustraire les mouvements de sens inverses il faut poser au préalable leur simultanéité, sans quoi leur succession ou plutôt leur mesure successive donne l’impression d’une addition ou d’un chemin « plus grand » comme on l’a vu au sous-stade III A, mais pour se les représenter comme simultanés après les avoir mesurés l’un après l’autre, il faut avoir l’intention de les composer grâce à une opération unique de soustraction. Or, c’est précisément le pouvoir de la pensée formelle que d’arriver à remplir ces deux conditions à la fois, en dépassant la réalité par une reconstitution hypothético-déductive qui permette à volonté de penser le simultané comme successif et réciproquement. Mais, chose intéressante c’est seulement — dans le cas de la présente épreuve comme dans celui des déplacements successifs étudiés au chapitre IV, — lorsque interviennent des mouvements partiels de sens contraires que cette reconstitution hypothético-déductive est nécessaire. Lorsque, par contre, les mouvements simultanés sont de même sens (on qu’il s’agit de mouvements successifs de sens contraires, mais l’inverse s’effectuant en une fois, ou aussi en plusieurs [p. 106] fois mais toujours dans la même direction) les opérations concrètes suffisent parce qu’elles parviennent déjà à dépasser le réel en anticipant les mouvements inverses des déplacements perçus.

Les sujets que l’on vient d’examiner sont donc à la limite de la pensée formelle à laquelle ils parviennent (ou plutôt qu’ils remplacent en partie) par une suite de tâtonnements progressifs. Ceux que l’on va analyser maintenant résolvent par contre d’emblée, et en un seul acte de pensée, ce double problème de représentation simultanée et de coordination opératoire.

L’âge moyen des débuts de ce dernier stade est d’environ 11 ans mais on trouve naturellement des cas exceptionnels dès 9 ans ½ et surtout dès 10 ans :

Gui (9 ½). Question I : « Il faut les additionner. —  (Question II) — La planche fait ce mouvement et l’escargot celui-là (il met d’emblée la mesure du trajet de l’escargot en regard de l’extrémité de celle du trajet de la planche). — (Nouvel essai avec trajet de l’escargot plus court que celui de la planche.) — (Idem.) —  (Question III) — Il restera au même endroit. —  (Question IV : juste.) »

Do (9 ; 11). Question I : « L’escargot a aussi avancé, en même temps que la planche (il additionne les trajets). — (Question II) — Le carton a été en arrière et l’escargot en avant. Puisque l’escargot a fait ce chemin et la planche celui-là, l’escargot a fait quand même ce chemin sur la planche (= il met les mesures l’une sur l’autre). Ce bout (= la différence) c’est le chemin de l’escargot en plus de la planche. —  (Proportions renversées.) — L’escargot a fait un bout plus petit parce que la planche a reculé davantage (indique exactement). »

Gil (10 ; 3). Mêmes réactions. Motive la soustraction (positions exactes) en disant : « Le carton a fait faire moins de chemin à l’escargot. »

Iac (11 ; 4). Question I : « Voilà ce qu’a fait la planche, et voilà ce qu’a fait l’escargot sur la planche : il faut les mettre à la suite. —  (Question II) — L’escargot a fait le trajet et en même temps qu’il avance, la planche recule de ça (il soustrait). »

And (12 ; 3). Question II : « Voilà (mesure) ce que l’escargot a avancé, et voilà ce que vous avez reculé : je cherche la différence. »

Dol (12 ; 8) : « C’est comme si la route s’en irait en arrière quand il avance (cherche d’emblée la différence). »

Comme toujours, au terme d’une évolution complexe, on est frappé de la simplicité des réactions finales. À lire ces quelques propos, il semble que le sujet ne fasse exactement rien de plus que de traduire en paroles et en mesures ce qu’il vient de percevoir : l’escargot avance et pendant ce temps la planche recule, [p. 107] donc le trajet total consiste en la différence des deux. En réalité, comme nous l’avons vu du stade I au stade III, les sujets des niveaux précédents ont beau percevoir les deux mouvements simultanément, ils ne parviennent pas pour autant à les penser en tant que simultanés, ce qui est en effet tout différent puisqu’il s’agit d’abord de les mesurer successivement et ensuite de reconstituer opératoirement leur synchronisation. Au cours du stade I, un seul des mouvements est considéré pendant que l’autre est comme refoulé par l’attention centrée sur le premier. Au stade II, cette situation semble dépassée puisque les deux mouvements sont mesurés et que les deux mesures des trajets sont posées sur la table mais ils ne sont que juxtaposés et non pas additionnés, de telle sorte qu’un seul des deux est en définitive considéré. Au stade III A les deux mouvements sont additionnés lorsqu’ils sont de même sens, mais, quand ils sont de sens contraires, la coordination est recherchée sans être atteinte, puisque les deux mesures de trajets sont posées l’une à gauche et l’autre à droite de la ligne de repère : l’enfant perd ainsi toute notion de coordination simultanée dès que le mouvement de la planche commence à entraîner le point de départ du mouvement de l’escargot qui est dirigé en sens inverse. Obligé de penser ces mouvements comme successifs pour pouvoir les mesurer, le sujet ne parvient plus ainsi à reconstituer la simultanéité faute de savoir où placer le point de départ du second puisque la planche a changé de position à partir du repère absolu. Au cours du sous-stade III B, l’enfant cherche à préciser la coordination, mais ne parvient pas à la soustraction exacte faute de reconstituer encore la simultanéité complète. Enfin, la pensée formelle des sujets du stade IV cités à l’instant remédie à cette situation, grâce à son mécanisme hypothético-déductif qui permet de traduire à volonté le simultané en successif puis le successif en simultané : c’est grâce à cette mobilité de reconstruction, mobilité due elle-même au maniement habituel des hypothèses ou assomptions, que le sujet parvient enfin à soumettre les mouvements relatifs perçus aux opérations ordinaires de soustraction en tant qu’inverses de l’addition (sur le plan logico-arithmétique ou spatio-temporel).

En règle générale, les opérations formelles se distinguent donc des opérations concrètes en ce que celles-là constituent des opérations du second degré effectuées sur celles-ci. Les opérations concrètes portent en effet sur la réalité elle-même, perçue ou conçue, tandis que les opérations formelles fonctionnent sur de simples assomptions verbales ou sur des « hypothèses » [p. 108] symboliques (comme en mathématique) traduisant les premières. Les opérations concrètes suffisent par conséquent à la solution des compositions de mouvements de même sens (question I) ou des mouvements inverses de longueurs égales (question III). Cette dernière question est même résolue dès le stade III sur le plan verbal (ce n’est naturellement pas parce qu’une opération est verbale qu’elle devient par le fait même formelle) : avant toute expérience le sujet du stade III A déduit déjà que les mouvements contraires équivalents se compenseront sans plus. C’est donc que les opérations concrètes parviennent à construire un système réversible unique, qu’il s’agisse de mouvements de même sens ou de mouvements contraires dont la compensation est comprise comme due à un simple aller et retour. Dans le cas des mouvements inverses inégaux, au contraire, l’enfant a beau avoir perçu la simultanéité des mouvements et pouvoir manipuler ses papiers-mesures en tous sens, l’opération est formelle parce qu’il s’agit de penser à deux systèmes concrets à la fois, donnés par les mesures successives, et à les coordonner en un seul tout simultané. Il en est de même pour les opérations du chapitre précédent, lorsqu’elles font intervenir des allers et retours partiels (par opposition aux trajets complets, même lorsqu’ils se font en plusieurs fois pourvu que les vecteurs partiels aient la même direction) : quoique successifs, ces allers et retours partiels doivent être coordonnés entre eux comme s’ils étaient simultanés, et c’est cette réunion en un seul tout de plusieurs systèmes successifs de directions différentes, dont chacun pris à part est compris concrètement comme un mouvement réversible, qui donne aux problèmes de déplacements complexes un caractère d’opérations formelles (voir chapitre IV, fin du § 5).

Mais il est entendu que, à part leur caractère hypothético-déductif et par conséquent la logique des propositions au moyen de laquelle elles complètent celle des classes, des relations et des nombres ainsi que des rapports infralogiques ou spatio-temporels, les opérations formelles n’ajoutent rien aux opérations concrètes en tant qu’opératoires : elles les traduisent simplement sur un nouveau plan, qui est celui des assomptions ou hypothèses. La soustraction des trajets, dans la question II, ne diffère donc pas, du fait qu’elle est formelle, d’une soustraction concrète telle que celle qui intervient dans la question III, et toutes deux obéissent aux mêmes lois opératoires.

Au total, les opérations propres au seul mouvement (indépendamment de la vitesse) se réduisent aux suivantes, dont [p. 109] nous venons ainsi de terminer l’étude : 1° Le groupement qualitatif des déplacements, conçus comme des changements (asymétriques) de position ou d’ordre (groupement identique à celui des « placements », dont il ne diffère que par référence aux mouvements du sujet ou des objets eux-mêmes). 2° Le groupement qualitatif des distances parcourues, ou intervalles (symétriques) compris entre les points ordonnés de départ et d’arrivée. 3° Le groupe métrique des déplacements supposant une mesure des distances parcourues autant que de celles qui définissent les axes de coordonnées leur servant de système de référence (cette double métrique synthétisant ainsi à la fois, en les quantifiant, les rapports de placement, de déplacement et d’intervalles). 4° Enfin la reconstruction, sur le plan formel, des trois sortes de systèmes précédents : alors que les groupements (1) et (2), ainsi que le groupe (3) sont achevés des 7-8 ans, cette reconstruction formelle n’est donc effective qu’à partir de 10-11 ans, sous son double aspect de coordination des mouvements successifs de directions opposées, et des mouvements relatifs inégaux de sens contraires.