Les Notions de mouvement et de vitesse chez l’enfant (1946)

Chapitre IV.
La composition des déplacements ¹ ^a

Nous avons pu constater jusqu’ici que si l’ordre linéaire (ordinairement rectiligne) direct était donné intuitivement, les diverses relations d’ordre n’étaient constituées sous une forme complète (ordre linéaire inverse et ordre cyclique dans les deux sens d’orientation) qu’une fois « groupées » en un système opératoire que l’on pourrait appeler le groupement des « placements ». Abordant ensuite le mouvement ou « déplacement », qui, envisagé qualitativement n’est qu’un changement de position ou d’ordre, nous avons déjà pu établir que le chemin parcouru, ou intervalle entre les points de départ et d’arrivée, restait indifférencié de l’ordre lui-même, tant que celui-ci demeure intuitif : d’une part, les distances franchies sont d’abord estimées en fonction des seuls points d’arrivée et d’autre part, leur évaluation reste longtemps réfractaire à la partition et à la mesure à cause du caractère total et indivis du mouvement, en tant que changement de position orienté vers un but ou un terme final. Ce n’est que quand l’ordre atteint le niveau des opérations concrètes (7-8 ans) que les chemins parcourus sont conçus à titre d’intervalles ou distances emboîtables et susceptibles d’estimation opératoire qualitative ou métrique. Il convient donc maintenant d’étudier l’opération du déplacement lui-même, lequel si les analyses précédentes sont exactes, peut être conçu soit en fonction des opérations d’ordre, comme un changement de placement ou dé-placement, soit en fonction des intervalles compris entre les positions ordonnées, comme une réunion de distances.

Pour ce faire, nous demanderons simplement à l’enfant si, sur un chemin rectiligne, la distance parcourue à l’aller, de O à X est égale à la distance parcourue au retour, de X à O, et si une suite de distances partielles parcourues entre O et X est égale à la même suite parcourue en sens inverse. Nous analyserons la chose tantôt sur un plan incliné, en faisant ainsi comparer des montées et des descentes (sect. 1), tantôt sur un plan horizontal (sect. II). Ces questions si simples suffisent, verrons-nous, à l’étude des réactions s’étageant entre 4 et 11 ans. Au cours du chapitre suivant, nous compléterons cette recherche en abordant le problème des mouvements relatifs.

Section I. — Les montées et les descentes

Le dispositif utilisé consiste en une montagne en carton, sur un versant de laquelle sont tendues deux ficelles parallèles ou plutôt une ficelle double retenue par un clou au sommet. Une perle circule le long de cette ficelle et figure un funiculaire ou un téléphérique (tous nos sujets connaissent celui du Salève). Entre la base O et le sommet D de la montagne des points de repère A, B et C sont disposés sous forme d’arbres ou de maisons, etc. Appelons a le trajet OA ; a’ le trajet AB ; b’ = BG et c’ = CD ; appelons en outre b le trajet OB (b = a + a’) ; c le trajet OC (c = b + b’) et d le trajet total OD (d = c + c’) ; désignons enfin par les mêmes lettres précédées du signe — les trajets inverses (descentes). De plus, nous disposons de bandelettes de carton correspondant à ces différentes longueurs a, a’, b’, c’, b, c et d ; les unes sont colorées en rouge et les autres en bleu pour permettre à l’enfant de distinguer celles qui ont servi à mesurer les chemins dans le sens OD (rouges) et dans le sens DO (bleues). On pose ainsi trois sortes de questions :

Question I. Nous faisons sans plus monter la perle de O à D et descendre de D à O en demandant à l’enfant si le funiculaire a « plus monté ou plus descendu ». Les cartons rouges et bleus sont d’emblée offerts à l’enfant pour mesurer les chemins, ou sont posés sur ceux-ci s’il ne mesure pas de lui-même, de manière à ce qu’il puisse préciser le sens de la question ou de sa réponse.

Question II. La ficelle monte jusqu’en C, d’où elle redescend en B et remonte de là en D pour redescendre enfin d’une fois de D à O. Les trajets partiels sont donc : a + a’ + b’ − b’ + b’ + c’ − d. La question est alors de savoir s’il y a eu autant de montées que de descentes, donc si (a + a’ + b’ + b’ + c’) ou (c + b’ + c’) équivalent à (− b’ − d). S’il y a équivoque on montre du doigt les deux montées (a + a’ + b’) soit OC et (b’ + c’) soit BD et les deux descentes (b’), soit CB et (d) soit DO. Les cartons servant de mesure sont à nouveau à disposition de l’enfant et, s’il ne parvient pas de lui-même à les employer correctement, on mesure avec lui. Mais les trois réactions suivantes sont à noter : la réponse de l’enfant avant sa propre mesure, sa mesure avec la réponse qui suit et la réponse après la mesure de l’adulte.

Question III. On introduit une navette de plus, en parcourant le trajet suivant (a + a’ − a’ + a’ + b’ − b’ + b’ + c’ − d), soit OB, BA, AC, CB, BD et DO. Le problème est de savoir si la somme des montées (a + a’ + a’ + b’ + b’ + c’) équivaut à la somme des descentes (− a’ − b’ − d), ce qui est évident si l’on raisonne déductivement (formellement) mais donne lieu à des difficultés si l’on cherche à se rappeler intuitivement toutes les étapes. Mais d’une part, les navettes de la ficelle entre les sept clous plantés en O, B, A, C, B, D et O suffisent à rappeler les chemins parcourus et surtout, d’autre part, les cartons rouges et bleus sont toujours à disposition de l’enfant, de telle sorte que la question se réduit à établir que la somme des longueurs rouges (alignées bout à bout) est égale à la somme des longueurs bleues.

Or, les réactions observées sont à la fois très simples et très instructives. Au cours du premier stade, l’enfant manque déjà la question I, c’est-à-dire croit que la perle monte plus à la montée qu’elle ne descend à la descente. Il ne cherche pas à mesurer les trajets et si l’on applique sur eux les cartons + d et − d pour lui montrer ensuite leur égalité, cela ne le convainc nullement. Les questions II et III sont par là même insolubles. — Au cours du second stade le sujet continue à croire que la montée l’emporte sur la descente, mais la mesure au moyen des cartons le conduit à reconnaître l’égalité de ces deux mouvements. Par contre le sujet n’arrive pas à mesurer de lui-même les trajets de la question II : mais, après la mesure, il admet aussi l’égalité (b + b’ + b’+ c’ = − d − b’) qu’il niait tout d’abord. La question III, enfin est ou insoluble ou résolue elle aussi grâce à la mesure et avec l’aide de l’expérimentateur. — Au cours du troisième stade (7-8 ans) la question I est résolue : l’enfant sait d’emblée et avant toute mesure que les déplacements sont égaux à la montée et à la descente. Les questions II et III donnent par contre lieu à des réactions distinctes au début et à la fin du stade. Durant un sous-stade III A, la question II ne peut être résolue a priori, par une méthode de déduction formelle, mais le sujet parvient à mesurer lui-même les navettes et il établit donc par ses propres mesures l’égalité des montées et des descentes. La question III ne donne pas non plus lieu à une solution a priori faute de généralisation formelle mais elle est, elle aussi, résolue par un nouvel ensemble de mesures. Au stade III B ces progrès se maintiennent mais il s’y ajoute que la question III est réussie par généralisation directe, une fois obtenue la solution (par la mesure) de la question II. — Enfin, au quatrième stade (10-11 ans) l’enfant parvient à résoudre les trois questions par déduction a priori (formelle) sans avoir besoin de mesures concrètes et en anticipant leur résultat.

§ 1. Les deux premiers stades : inégalité des déplacements à la montée et à la descente

Pour la plupart des jeunes sujets, le funiculaire monte plus à la montée qu’il ne descend à la descente, les sujets du stade I maintenant cette affirmation même lorsqu’ils constatent l’égalité des cartons servant de mesures, tandis que les sujets du stade II changent d’opinion au vu de la mesure.

Voici des exemples du stade I :

Luc (4 ; 0) se trouve d’accord que le train a « passé tout droit » dans les deux sens. « Alors il est plus monté ou plus descendu ? — Plus monté. — Pourquoi ? — Plus monté pour aller jusqu’au chalet (= en D). — (On pose les cartons rouge et bleu sur les deux trajets.) Regarde ces deux bouts de carton. — Oui. —  Ils ont la même longueur ? — Oui. —  Alors il est plus monté ou plus descendu ? — Plus monté. »

Question II : le train est plus descendu que monté parce que la descente se fait en ligne droite. Luc demeure incapable de dissocier les montées et descentes partielles du trajet aller, et a fortiori de les mesurer.

Fanc (4 ; 9) : « Plus monté ou plus descendu ? — Plus monté. —  Pourquoi ? — (Montre le trajet d’un geste global.) — Avec ces cartons, tu peux me montrer ? — (Fanc pose elle-même le rouge sur la montée et le bleu sur la descente.) — Mets-les sur la table. C’est la même longueur ? — Oui. — Alors le train a plus monté ou plus descendu ? — Plus monté. »

Question II : même réaction.

Chri (4 ; 9), jumelle de la précédente : mêmes réactions.

Bia (5 ; 0) : « Plus monté. — Pourquoi ? — Parce que là il est en haut. —  Tu crois qu’avec les cartons on peut voir si c’est plus monté ou plus descendu ? — (On pose le bleu sur la descente et il met le rouge sur la montée.) Alors comment ils sont ? — Ils sont la même chose longs —  Eh bien, si le train est monté le long de ce carton rouge et descendu le long de ce bleu, et que les deux cartons ont la même longueur, il est plus monté ou plus descendu ? — Plus monté. »

Question II : « Plus descendu. — Montre-moi là où il monte et là où il descend. — (Il montre correctement les montées et les descentes.) — Alors plus monté ou plus descendu ? — Plus monté. — Pourquoi ? — … — On peut mesurer avec ces cartons ? » Il n’y parvient pas. On applique alors les rouges sur les deux montées (+ b) et (+ b’ +  c’) et les bleus sur les deux descentes (− b’ et − d) et on fait constater l’égalité des longueurs totales. « Alors ? — Il est plus monté. »

Cat (6 ans) : « Plus monté. —  Pourquoi ? — Parce que le fil est plus grand. — Tu peux montrer avec ces cartons ? — (N’agit pas. On met le rouge sur la montée et le bleu sur la descente.) C’est la même chose. —  L’un est plus long que l’autre ? — Non. — Alors plus monté ou plus descendu ? — Plus monté. »

Question II : « Plus descendu. — Pourquoi ? — Parce que celui-ci est plus grand (d). — Et avec les cartons ? (Il n’arrive pas mais on lui aide et on fait constater l’égalité.) Alors ? — Plus descendu. »

Et voici des exemples des réactions du stade II, qui débutent comme les précédentes mais donnent lieu à rectification après la mesure. Les deux premiers des cas cités sont intermédiaires entre les stades I et II, parce que la compréhension résultant de la mesure ne se produit que pour la question I et non pas pour la question II :

Jac (6 ; 4) : « Plus monté. —  Pourquoi ? — … — Tu peux me montrer avec les cartons ? — (Il les met sur les ficelles et les compare spontanément.) Non, c’est la même chose. »

Question II : « Plus descendu. — Pourquoi ? — Là (b) c’est plus court que ça (d). — Montre-moi où ça monte et où ça descend. — (Il montre correctement et on mesure avec lui.) — Alors ? — Il est moins monté que descendu. »

Rob (6 ; 6) : « Plus monté. —  Tu peux montrer avec ton doigt ? — (Il parcourt la montée puis la descente.) — Alors ? — Plus monté. — Un peu plus ou beaucoup plus ? — Beaucoup plus. —  Essaie avec les cartons (il les place). Regarde encore (il suit du doigt). Alors ? — Ah non, il n’y a rien de plus à la montée, alors c’est la même chose. »

Question II : « Plus descendu. — Tu peux montrer avec les cartons (il s’embrouille complètement faute de les aligner ensuite. On les juxtapose avec lui et il constate l’égalité). Alors ? — Plus monté. »

Gis (7 ; 4) hésite, puis : « Plus monté. — Tu peux montrer ce qu’on a montré ? — (Il met le carton rouge sur la montée.) — Et descendu ? — (Il met le carton bleu sur la descente après l’avoir suivie du doigt.) — Alors ? — Plus monté. — Mets les cartons sur la table. — C’est la même chose. —  Quoi ? — Le rouge et le bleu. — Alors on a plus monté ou plus descendu ? — On a monté comme on a descendu. »

Question II : « Plus monté. (Il pose les cartons avec notre aide, puis on lui demande de les mettre sur la table et il les juxtapose spontanément.) C’est la même chose, parce qu’ils sont aussi grands. »

Question III : mêmes réactions, sans prévision.

Nel (7 ; 6) : « Plus monté. —  Pourquoi ? — Parce que la montée, ça fait un peu plus long. — Tu peux montrer de combien avec ces cartons ? — (Il met le rouge et le bleu.) C’est la même chose. — Pourquoi ? — Parce que les cartons sont de la même longueur. »

Question II : « Plus monté. —  Montre. — (Il met les cartons avec notre aide.) — Alors ? Mets-les sur la table. — (Il les juxtapose spontanément.) La même chose. »

Question III : mêmes réactions (sans généralisation).

Sim (8 ; 0). Même réaction pour la question I. Question II : « Plus descendu. — Pourquoi ? — Parce que c’est plus long. — Essaie de mesurer. — (Il met les cartons, mais oublie une demi-navette, puis termine avec notre aide.) — Alors ? — Plus monté. — Mets-les sur la table. — Ah, c’est la même chose. »

Tels sont les deux premiers types de réactions observées. D’après les enfants vus à Genève dans des milieux scolaires variés (écoles publiques et privées) les 2/7 seulement des sujets de 4-5 ans comprennent d’emblée que les déplacements sont égaux à la montée et à la descente ; à 6 ans la moitié, à 7-8 ans les 3/4 et à 9 ans le 100 % des normaux reconnaissent de même l’égalité lors de la question I. Sur les jugements d’inégalité, seuls deux cas douteux ont estimé que la descente l’emporte sur la montée, l’un peu normal et l’autre, invoquant la vitesse. Il est donc bien permis d’admettre que l’enfant commence par considérer un mouvement montant comme plus grand que le mouvement descendant correspondant.

Or cette intuition initiale est d’un certain intérêt parce que témoignant de deux sortes au moins d’indifférenciations : une indissociation entre le chemin parcouru et l’ordre des points d’arrivée (comme au chapitre précédent, mais l’ordre étant ici défini par les rapports de « haut » et de « bas »), et une indissociation entre les éléments dynamiques ou physiques du mouvement et le déplacement simplement spatial, la verticale et l’horizontale constituant ainsi des directions privilégiées et non isotropes, ni entre elles ni par rapport aux autres.

Il est vrai qu’on pourrait invoquer un malentendu sur la question elle-même : l’adulte penserait au chemin parcouru, en tant que distance, tandis que l’enfant répondrait en termes de force de durée ou d’ordre. Pour sortir d’embarras, il ne suffit nullement de multiplier les questions et de varier leur forme : tous les termes sont équivoques et la notion d’un chemin plus long peut toujours être prise dans un sens temporel autant que spatial. D’autre part, s’il y a indifférenciation entre le chemin parcouru et l’ordre, ainsi qu’entre les facteurs spatiaux et dynamiques du mouvement, il va de soi que cette indissociation générale entraîne des malentendus verbaux, ceux-ci n’étant alors pas causes mais effets de celle-là. Or, la réaction des sujets à la mesure montre assez que cette seconde solution est la bonne. Chez les petits (stade I) qui ne comprennent pas la mesure, la constatation de l’égalité des cartons posés sur la table ne modifie en rien leur croyance en l’inégalité des montées sur les descentes. Mais les sujets du stade II qui, sans parvenir à une mesure parfaite, en comprennent le sens, s’attendent à ce que cette inégalité se traduise dans la mesure même. Constatant que ce n’est pas le cas, ils modifient alors leur supposition et admettent l’égalité : preuve que leur réaction initiale n’était pas simplement verbale.

En quoi consiste donc l’idée que de O à D le train monte plus qu’il ne descend de D à O ? Il y a d’abord (cela va de soi pour autant que les résultats du chapitre III sont généraux) une indissociation entre la distance parcourue et l’ordre des points d’arrivée. Si vraiment la longueur d’un chemin parcouru s’évalue d’abord à son point d’arrivée, les petits éprouveront déjà quelque difficulté, sur un plan horizontal à comprendre que le trajet OD égale le trajet DO puisqu’il s’agira de permuter les points de départ et d’arrivée : nous verrons effectivement au § 5, qu’il subsiste une résistance, au cours du stade I, à admettre cette égalité élémentaire, c’est-à-dire à tirer des déplacements asymétriques O → D et O ← D la distance symétrique O ↔ D. Or, dans le cas d’un chemin montant, il s’y ajoute une asymétrie intuitivement bien plus forte encore : D est « au-dessus » de O ou « en haut » et O « en dessous » de D ou « en bas ». L’ordre vertical qui intervient ainsi confère donc au point d’arrivée D dans le sens de la montée O ↑ D un privilège positif par rapport au point d’arrivée O dans le cas de la descente D ↓ O. C’est ce que dit explicitement Bia : « il est plus monté… parce que là il est en haut ». Et Luc : « Plus monté pour aller jusqu’au chalet. » En outre, tandis que l’égalité des distances symétriques entre O et D et entre D et O est reconnue à l’unanimité dès le stade II sur le plan horizontal (voir § 48) elle commence par ne pas l’être en hauteur chez les sujets de ce même stade et seule la mesure les convainc de leurs erreurs.

Mais pourquoi l’ordre selon les rapports « en haut » et « en bas », crée-t-il une asymétrie plus forte et plus durable que l’ordre de succession horizontal ? C’est parce que les notions de la verticale et de l’horizontale sont de nature physique et non géométrique : or, l’espace primitif témoigne d’une indifférenciation fondamentale entre ces deux domaines et n’est donc pas isotrope. En effet, outre les sujets, qui motivent leur réponse en faisant intervenir l’ordre « en haut » et « en bas », il y a ceux (et les deux sortes de motivations s’impliquent même au début) qui déclarent explicitement que le trajet de la montée est plus « long » que le trajet de la descente, ou qui s’y attendent implicitement. Par exemple pour Cat (stade I) la montée l’emporte sur la descente « parce que le fil est plus grand ». Or, chose intéressante l’égalité des cartons servant à mesurer les deux longueurs ne le détrompe pas, non seulement faute de transitivité mais sans doute aussi parce que ces cartons, une fois posés horizontalement sur la table, n’expriment plus l’inégalité des chemins puisque ceux-ci sont en pente. Quant aux sujets du stade II, ils s’attendent si bien à une inégalité des trajets de montée et de descente qu’ils essaient de la contrôler par la mesure (et lorsqu’il s’agit des trajets d’un seul tenant de la question I ils savent déjà les mesurer au moyen de cartons uniques, contrairement à la mesure des segments intervenant dans les questions II et III) : ils sont alors tout étonnés de trouver une égalité de longueurs, et, contrairement à Cat ils en concluent à l’égalité des trajets. Par exemple Nel : « C’est la même chose parce que les cartons sont de la même longueur » et surtout Rob : « Il n’y a rien de plus à la montée (ceci dit en comparant le carton rouge au bleu), alors c’est la même chose. » Gis est encore plus clair : en regardant les cartons plaqués contre les trajets en pente, il continue à penser que la montée est plus longue que la descente, mais en voyant les cartons sur la table bout à bout, il change d’idée et conclut : « on a monté comme on a descendu ». Il est donc bien clair qu’il intervient une inégalité de distance ou de longueur dans l’affirmation initiale de ces sujets, selon laquelle le train monte plus de O à D qu’il ne descend de D à O. Or, cette inégalité, qui est incluse, au cours de stade I, dans les évaluations fondées sur le seul point d’arrivée, subsiste donc au cours du stade II et ne disparaît qu’une fois constatés les résultats de la mesure. Au contraire, lorsque les trajets sont horizontaux (voir § 4), elle disparaît à la fin du premier stade : les directions verticales et horizontales ne sont donc pas isotropes avant le stade III.

La raison en est claire : dans l’intuition primitive du mouvement, et par conséquent, si nos hypothèses sont exactes, dans les intuitions initiales de l’ordre lui-même, il intervient des facteurs qui dépassent le spatial pur et qui tiennent au temps, à la vitesse et à l’effort dépensé. Ce que pense l’enfant lorsqu’il affirme que le mobile monte plus qu’il ne descend, ou que le point d’arrivée « en haut » prime le point d’arrivée « en bas », c’est donc simplement qu’il y a dans l’action de monter quelque chose de plus que dans l’action de descendre : il y a un effort, une activité musculaire, qui peut se traduire indifféremment par un plus grand espace parcouru ou un plus long temps employé. C’est un « plus long chemin » comme dit le langage courant. C’est cet élément égocentrique qui confère à l’ordre des rapports « en bas » et « en haut » son caractère privilégié, qui empêche donc la distance OD d’être symétrique, c’est-à-dire égale à la distance DO et qui pour tout dire, fait obstacle à la réversibilité du déplacement ou du mouvement : une distance à la montée n’est pas égale à la même distance à la descente, parce que l’acte de descendre n’est pas encore sans plus l’inverse de l’acte de monter, mais constitue une action intuitivement différente.

C’est cette irréversibilité primordiale que nous retrouvons dans les réponses de ces stades à la question II, mais avec cette complication en plus que les distances sont cette fois composées et non plus d’un seul tenant, les distances + b’ et − b’ s’ajoutant respectivement aux trajets OD (= + d) et DO (= − d). Il se présente souvent à cet égard une difficulté verbale et sans intérêt : l’enfant peut croire qu’on appelle « montée » l’ensemble du voyage d’aller, y compris (− b’ + b’) et naturellement il estime alors la montée plus grande que la descente. Mais il suffit en général de faire préciser, du doigt ou par la pose des cartons, que l’on compare (+ d + b’) à (− d − b’) pour que cette équivoque tombe. Que se produit-il alors ?

Les cas les plus jeunes (Luc, Fanc et Chri : 4 ans) n’arrivent pas à comprendre que (− b’) à l’aller constitue une descente à joindre à (− d) du retour. Ils ne parviennent donc pas à comprendre la question elle-même, faute de pouvoir dissocier en parties composables le mouvement qui leur paraît indivis. Mais Bia, Cat, etc. (c’est-à-dire la grande majorité des cas de 5-6 ans du stade I) arrivent, les uns d’emblée les autres après avoir levé avec notre aide le malentendu, à comprendre où sont les montées et les descentes. Et cependant, ils restent unanimes (et avec eux encore les cas de Jac et Rob, intermédiaires entre les stades I et II) à penser que la somme des montées n’égale pas celle des descentes. Mais il n’y a plus, cette fois, primat général de la montée : dans la moitié des cas (et ceci reste vrai aux stades II et III) c’est la montée qui l’emporte et dans l’autre moitié c’est la descente. Autrement dit l’enfant est impressionné par le fait que la montée se fait en deux parties à peu près égales (a + a’ + b’) et (b’ + c’) et la descente en une grande et une plus petite (− d et − b’) et tantôt il croit les deux premières plus grandes que les deux secondes et tantôt le contraire.

Mais pourquoi n’arrive-t-il pas à les composer exactement ? C’est qu’il se produit un phénomène analogue, mais non pas identique, à celui des réponses à la question I. L’ordre des points d’arrivée et les déplacements eux-mêmes n’étant pas dissociés, pour l’intuition initiale, du dynamisme moteur à la fois objectif (vitesse, etc.) et subjectif (sentiment d’effort, etc.) un grand trajet et deux demi-trajets ne constituent pas le même déplacement : l’élan est coupé, la vitesse différente, etc. C’est pourquoi tantôt les sujets cités pensent que la descente l’emporte parce que supposant un grand trajet unique (− d), et tantôt que c’est la montée parce que reposant sur une suite de trajets distincts. Et dans les deux cas, la mesure des distances seules (par opposition au mouvement) ne convainc pas l’enfant. Au cours du stade II par contre (les cas francs Gis, Nel et Sim) l’enfant commence à dissocier le déplacement des intuitions motrices, et, sans prévoir encore l’égalité, il se laisse néanmoins convaincre par la mesure. Si, par contre, il n’est pas capable de mesurer seul les trajets segmentés (par opposition à ceux de la question I où la mesure se réduit à la mise en place d’un seul carton), c’est précisément que la dissociation reste partielle : pour autant que le mouvement reste imprégné de dynamisme, l’enfant ne comprend pas pourquoi il s’agit de mesurer les distances comme telles ; mais une fois la mesure effectuée avec l’aide de l’expérimentateur, l’égalité est admise.

Les réactions à la question III sont les mêmes aux niveaux correspondants.

§ 2. Le troisième stade : le groupement des déplacements par opérations concrètes, mais sans généralisation formelle

Le caractère essentiel du troisième stade est la compréhension acquise par l’enfant, de l’égalité de la montée et de la descente, autrement dit, si l’on accepte les interprétations qui précèdent, la dissociation du déplacement comme tel et de la dynamique du mouvement. Or, il est intéressant de remarquer combien cette acquisition converge avec les réactions de ce même troisième stade, décrites au cours des chapitres I à III. C’est vers 8 ans, en effet, que l’ordre linéaire est susceptible d’inversion opératoire et non plus seulement intuitive, donc que placements et déplacements commencent à constituer un seul et même groupement. C’est au même niveau que l’ordre cyclique est acquis, et surtout que le chemin parcouru se dissocie de l’ordre, et se constitue sous forme de distance ou intervalle symétrique entre les points de départ et d’arrivée. Quant à la dissociation des facteurs dynamiques et du déplacement, c’est à ce même troisième stade que l’ordre temporel se différencie de l’ordre spatial (voir Le Développement de la notion de temps chez l’enfant), et verrons-nous (chapitres VI-VII), que les relations opératoires de vitesse se constituent en tant que généralisation du « dépassement ». Il est donc aisé de comprendre pourquoi la question I est résolue au stade III, par dissociation du déplacement comme tel. Il s’ensuit une conséquence importante en présence de la question II : l’enfant devient capable de mesurer de lui-même les trajets partiels de montée et de descente et d’aboutir ainsi par opérations concrètes à l’égalité. Mais, contrairement à la question I, où il anticipe les résultats de la mesure puisqu’il s’agit de deux trajets entiers ne nécessitant aucune combinaison mentale, il n’en est pas capable pour la question II, où il s’agirait de reconstituer mentalement le détail des allées et venues : il s’imagine donc que les montées l’emportent sur les descentes ou l’inverse, et ne parvient à l’égalité que grâce aux mesures. Quant à la question III, les sujets la résolvent empiriquement comme la question II, au cours du sous-stade III A, tandis qu’au niveau III B, ils en anticipent la solution par généralisation à partir de la solution de la question II.

Voici des exemples de réactions propres au sous-stade III A, à commencer par un cas intermédiaire entre les stades II et III A, qui résout d’emblée la question I mais ne parvient pas encore à la mesure entièrement spontanée pour la question II :

Jul (6 ans). Question I : « Il a plus monté ou plus descendu ? — Ça fait la même chose. —  Pourquoi ? — (Il pose les cartons.) C’est la même longueur. »

Question II : « Plus monté. — Pourquoi ? — … — Montre avec ces cartons. — (Il mesure OD et DO.) — C’est la même chose. — Et ça (CB et BC) ? — (Il mesure) On est autant monté que descendu. »

Question III : « Plus monté. — Essaie. — (Il mesure correctement.) C’est la même chose. »

Bran (6 ; 11). Question I : « C’est la même chose. —  Pourquoi ? — On voit. —  Regarde avec ça (cartons) ? — (Il mesure.) Oui. »

Question II : « Plus monté. — Pourquoi ? — Il tourne plus pour monter. — Mesure. — (Il mesure exactement tout, après hésitation pour − b’ met bout à bout et conclut) : C’est la même chose. »

Question III : « Plus monté. —  Pourquoi ? — Parce qu’il y a tout ça (les montées) à faire. — Essaie. — (Il mesure toutes les montées et les reporte bout à bout, puis hésite, réfléchit, et fait de même pour toutes les descentes. Alors, sans rapprocher la suite des cartons rouges de celle des cartons bleus, il conclut) : C’est la même chose. —  Pourquoi ? — Parce que c’est la même longueur. »

Pie (6 ; 11). Question I : « Même chose. — Pourquoi ? — Parce que c’est la même distance. »

Question II : « Plus monté, non plus descendu. Non, la même chose. Non, plus descendu parce qu’il y a ça (− b’). — Tu es sûr ? — Oui. — Essaie avec les cartons. — (Il pose d, puis a’ + b’, puis choisit a comme unité et le reporte sur les montées.) Ça fait cinq fois. (Il mesure de même les descentes.) Ça fait aussi cinq fois. C’est la même chose. »

Question III : « Attends, je vais voir (il mesure aussi par unités). C’est la même chose. »

Marc (7 ; 7). Question I : « Même chose. — Pourquoi ? — Parce que les ficelles sont la même grandeur. »

Question II : « Plus monté. — Pourquoi ? — Parce qu’il y a ça (les lacets). — Montre avec les doigts ce qui monte et ce qui descend. — (Il le fait correctement.) — Alors ? — Ça monte plus. —  Et avec ça ? — (Il applique les cartons, les met sur la table, les juxtapose et finit par dire) : C’est la même chose. »

Question III : « Plus monté » pour les mêmes raisons, puis même méthode jusqu’à solution juste.

Éli (8 ; 10). Mêmes réactions. Répète exactement pour la question III les démarches de la solution de II, en un peu plus rapide.

Sql (9 ; 2). Question I juste. Question II : « Plus descendu » parce que les deux parties de montée (a + a’ + b’) et (b’ + c’) lui semblent plus courtes à elles deux que les parties (− d − b’) de descentes.

Question III : « Plus descendu » comme précédemment. Il commence, à poser les cartons, puis dit « Je crois que c’est à peu près la même chose », mais, contrairement aux réactions du sous-stade III B, il a besoin de terminer ses mesures pour être certain.

La conquête essentielle dont témoignent ces réponses est donc la réversibilité exacte de l’opération du déplacement : la descente de D à O n’est plus autre chose que la montée de O à D mais en sens inverse : − d = − (+ d), de telle sorte que l’intervalle séparant O de D devient le même dans les deux sens et constitue ainsi la « distance », désormais différenciée du dynamisme psychophysique du mouvement et érigée en relation rigoureusement symétrique (= la relation O ↔ D distincte de O → D et de D → O. La question I est donc résolue d’emblée et avant toute mesure, par le simple énoncé des propriétés opératoires du déplacement conçu comme opération réversible.

En second lieu, cette réversibilité de l’opération élémentaire de déplacement permet au sujet de résoudre les questions II et III en réunissant l’ensemble des vecteurs de montée et celui des vecteurs de descentes pour constater leur égalité. Tant que le déplacement demeurait irréversible, il n’était d’aucun sens, en effet, de le mesurer, puisque les longueurs des cartons ne pouvaient exprimer le dynamisme même du mouvement ni son caractère indivis. Au contraire, avec la réversibilité du déplacement, le problème devient une simple question de distance ou de chemin parcouru, et la mesure devient ainsi possible comme nous l’avons déjà constaté chez les sujets du troisième stade décrit au chapitre précédent (chapitre III, § 3). Avec cette mesure (laquelle est métrique chez Pie, qui se sert d’une unité, mais demeure intensive chez ceux qui juxtaposent simplement les cartons), une composition opératoire des déplacements devient ainsi possible indépendamment de toute direction privilégiée.

Mais pourquoi ce groupement naissant demeure-t-il limité au plan des opérations concrètes, c’est-à-dire pourquoi la solution des questions II et III suppose-t-elle que l’enfant mesure les trajets au lieu de déduire a priori que + b’ − b’ = 0 et que (a + a’ + b’ + c’) = (d) ? Dans le cas du problème étudié au chapitre III on comprend qu’il faille la mesure pour reporter les segments de ligne brisée sur une droite, tandis qu’ici le raisonnement suffirait à démontrer qu’à chaque segment de montée correspond un segment de descente équivalent. Or, non seulement ces sujets ont besoin de mesurer pour résoudre la question II, mais encore, celle-ci résolue, ils réemploient cette même méthode pour la question III au lieu de déduire d’emblée qu’un lacet de plus ne changera rien à l’égalité des montées et des descentes. Les réactions ultérieures nous permettront peut-être de comprendre ces difficultés.

Au cours d’un sous-stade III B, en effet, c’est-à-dire dès 9-10 ans en moyenne, l’enfant raisonne encore comme précédemment en ce qui concerne la question II, mais, une fois les mesures effectuées et la solution trouvée, il parvient à prévoir, par généralisation immédiate, que la solution du probl. III est aussi une égalité. Voici des exemples de ce niveau III B :

Clan (8 ; 1). Question I : « C’est la même chose. »

Question II : « Plus monté, parce qu’il y a des tas de contours. —  Montre où ça monte et où ça descend. — (Juste.) — Alors ? — Ça descend plus, non ça monte plus, non c’est la même chose… Mais je crois (quand même) que c’est plus monté à cause du crochet. Non… (il mesure). Oui, c’est la même chose. »

Question III : « C’est la même chose qu’avant. —  Pourquoi ? — Parce que je sais que c’est la même chose. Il n’y a qu’à mettre les cartons. »

Thes (9 ; 2). Question I : « La même chose. — Pourquoi ? — C’est pareil. »

Question II : « Plus monté. —  De combien ? — De ça (+ b’). — Prouve-le. — (Il pose les cartons.) Ah non, c’est la même chose : un qui monte et un qui descend ! »

Question III : « C’est la même chose. —  Pourquoi ? — Là (+ a’ et − a’) il y a une descente et une montée et là aussi (deuxième lacet + b’ et − b’). Oui, c’est toujours pareil. »

Jac (9 ; 5). Question I : « Pareil. » Question II : « Plus monté. — De beaucoup ? — Non, de ça (+ b’). —  Tu peux le prouver ? — (Il pose les cartons et dit) Plus monté. — Pourquoi ? — (Regarde à nouveau, sans les détacher de la pente et dit) Non, c’est pareil ! —  Tu peux le montrer ? — (Il pose les cartons sur la table et les aligne.) C’est juste. »

Question III : « C’est pareil. —  Pourquoi ? — Parce qu’ici ça monte (+ b’) et ici ça descend (− b’) et ici aussi (+ a’ − a’). Si on ajoute ce qui monte et ce qui descend ça fera la même chose. »

Ros (9 ; 7). Mêmes réactions, mais en sens contraire (plus descendu en II à cause de − b ! Question III : « (longue réflexion) C’est pareil. —  Pourquoi ? — (Mesure chaque segment séparément et son inverse.) Voilà. »

An (10 ; 10). Question I : « Pareil. » Question II : « Plus monté. —  De combien ? — (+ b’). — Peux-tu le prouver ? — (Il pose les cartons sur les trajets.) C’est la même chose : il y a les mêmes longueurs. —  (Question III.) — Pareil. — Pourquoi ? — C’est la même chose. »

On voit l’intérêt de ces réponses, comparées à celles du sous-stade III A. Les difficultés de la question II restent à peu près les mêmes : faute d’analyser le départ des parcours, l’enfant juge que les montées l’emportent sur les descentes en désignant le segment + b’, ou l’inverse en désignant − b’. Puis, souvent dès les débuts de la mesure, il constate la compensation. Lorsque ensuite, on passe au problème III, il y a par contre généralisation immédiate, la mesure devenant inutile.

Notons d’abord qu’il y a bien généralisation, et non pas simplement « transfert ». Au cours du sous-stade III A l’enfant applique sans plus à la question III la méthode qui lui a réussi pour la question II : dans la mesure où cette application des mêmes procédés en facilite l’emploi et diminue le temps nécessaire à la solution, on peut alors parler de transfert. Dans le cas des sujets cités à l’instant, au contraire, c’est la solution même, trouvée pour la question II, qui est ajustée à la question III par un acte de compréhension directe et l’on peut donc parler de généralisation ². Or, en quoi consiste cette compréhension ? Manifestement, le sujet n’a plus besoin d’analyser le détail des segments de montées et de descente : par une sorte de mécanique formelle, il saisit d’emblée que chaque montée partielle est compensée par une descente partielle, et réciproquement. C’est donc, pour ainsi dire, parce qu’il n’analyse pas chaque élément qu’il réussit à dominer le système dans son ensemble, tandis que lors de la question II, l’essai d’analyse l’embrouille et le perd. Mais cette pensée formelle naissante, qui dépasse la reconstitution réelle par une déduction portant d’emblée sur le fait général de la compensation n’est encore accessible, à ce niveau III B, qu’à la condition d’avoir été préparée par les opérations concrètes de la mesure des trajets, lors de la question II. Ce qui manque donc aux sujets du stade III, durant les périodes III A et encore III B, c’est la possibilité de se lancer, dès la question II, dans une méthode abstraite et formelle qui les dispenserait d’une analyse segment par segment. Faute de cette manière de raisonner, ils s’engagent alors dans une reconstitution terme à terme et s’égarent dans les difficultés perceptives.

§ 3. Le quatrième stade : solution correcte de trois questions par la méthode de la déduction formelle

Le progrès qui caractérise cette dernière étape est le décrochage de cette méthode formelle dont nous venons de décrire la naissance et qui, au stade IV, se manifeste dès la question II, c’est-à-dire sans qu’il soit désormais nécessaire de la préparer par une suite de mesures concrètes. L’âge moyen des débuts de ce stade IV est de 10-11 ans, avec quelques cas exceptionnels dès 9 ans et même 8 ; 10 intermédiaires entre les stades III B et IV.

Voici trois exemples, à commencer par l’un de ces cas de transition :

Ray (8 ; 10). Question I : « Même chose. —  Pourquoi ? — Parce qu’on peut dire que [chaque trajet] c’est la moitié. »

Question II : « Plus monté, non c’est la même chose. — Pourquoi ? — Parce que ça se voit. —  Montre. — (Il place les cartons sur les segments et les pose en désordre sur la table.) C’est la même chose. —  Tu es sûr ? — On le voit (il les aligne alors seulement). »

Question III : « C’est la même chose qu’avant. »

Mar (11 ; 2). Question III (avant les autres) : « Je crois que c’est la même chose. — Pourquoi ? — Parce que là ça monte (il montre les trois segments) et là ça descend (idem). C’est la même chose. —  Et moi, si je dis que ça monte davantage, tu peux montrer ? — Oui (il mesure sans difficulté). C’est juste. » Question II : idem.

Laur (11 ; 4). Question II : « Peut-être que ça descend plus. Ah non. Ça se vaut, ça fait part égale parce que là (+ b’) il monte et là (− b’) il descend et là (le second b’) il remonte ce qu’il a descendu, puis il remonte encore (+ c’) et descend tout (− d). »

Question III : « Ça se vaut toujours parce que, s’il remonte toujours ce qu’il descend, ça revient au même. »

On voit la grande différence qui oppose les sujets aux précédents : au lieu de se perdre dans l’analyse préalable des trajets ils partent d’emblée d’un schème anticipateur d’ordre formel, consistant à supposer que le détail des montées est compensé par celui des descentes, et, alors seulement, ils examinent le détail pour vérifier si l’hypothèse est exacte. La méthode formelle est donc hypothético-déductive, c’est-à-dire qu’elle procède par coordination d’hypothèses, avant de procéder au contrôle de l’expérience. C’est ce que l’on voit clairement chez Mar et chez Laur. Au contraire, Ray, qui annonce ce genre de raisonnement, en reste en partie à l’inspection directe du détail, dépassant simplement les sujets du stade III B par son pouvoir d’analyse. Certes, les enfants du stade III (opérations concrètes) connaissent déjà le raisonnement déductif, puisque la mesure des trajets implique une déduction : on le voit assez en comparant les sujets du stade III à ceux du stade II, qui ne parviennent pas sans aide à mesurer les itinéraires des questions II et III, et on l’a vu surtout au cours du chapitre III. Mais c’est une déduction faite d’opérations concrètes, puisque la manipulation des intermédiaires constitués par les cartons est indispensable à la conclusion. Au contraire, les sujets du stade IV parviennent à la certitude de l’égalité par le simple calcul logique des opérations directes et inverses, sans que la mesure demeure nécessaire : le groupement des déplacements est ainsi reconstitué sur le plan formel après avoir conquis celui des opérations concrètes et, précédemment, celui des compositions sensori-motrices. Il reste cependant à comprendre pourquoi la solution des questions II et III nécessite une anticipation formelle au lieu d’être résolue par déduction concrète : c’est ce que la suite nous apprendra.

Section II. — Les mouvements horizontaux

On peut se demander ce que serait l’évolution des réactions aux mêmes questions, abstraction faite des montées et des descentes. Pensant que les problèmes posés seraient alors trop faciles, nous avons utilisé deux techniques, l’une correspondant à la précédente et l’autre impliquant plusieurs mobiles à la fois permutant leurs positions. Nous supposions cette dernière beaucoup plus difficile, mais chose intéressante, elles se sont révélées de difficultés à peu près équivalentes et nous exposerons concurremment leurs deux résultats.

La technique (1) consiste simplement à présenter sur une droite OD des points de repère à distances inégales ou égales, et des bandes de carton, rouges pour l’aller et bleues pour le retour : on fait alors voyager un seul pion, par exemple de O en D (= + d), puis de D en B (= − c’ − b’) puis de B en C (= + b’) et enfin de C en O (= − b’ − a’ − a). Pour mieux varier les conditions nous n’avons pas fixé de ficelles mais nous sommes contentés, de dessiner au fur et à mesure, sur un papier séparé, les trajets parcourus selon les deux couleurs. Par contre, les trajets s’effectuent directement sur les cartons de couleur, que nous mettons de côté après chaque trajet partiel, en deux tas (rouge et bleu) : la question est alors simplement de savoir si la réunion des cartons ou chemins rouges (aller) équivaudra à celle des chemins bleus (retour). La technique (2) consiste à poser d’emblée cinq pions O, A, B, C et D sur les points précédents. Ensuite on met par exemple O en C, C et B et B en O : avec ou sans dessin, suivant les cas, les cartons rouges OC (= + c) et bleus CB (= − b’) et BO (= − b) sont mis de côté et la question est de savoir si (+ c = − b’− b). Après réponse, on mesure et on varie ensuite les questions sur le même type, mais en compliquant ou en simplifiant, selon les réactions de l’enfant.

Or, deux résultats intéressants ont pu être ainsi obtenus. L’un est donc que les réactions à la seconde technique correspondent chronologiquement à celles relatives à la première. L’autre est que ces deux sortes de réactions sont elles-mêmes homologues à celles que nous venons d’étudier sur un plan incliné. La seule différence à relever est que la question I (la distance OD égale-t-elle la distance DO) est naturellement plus facile sur le plan horizontal puisque les facteurs dynamiques (effort, vitesse et temps) sont les mêmes dans les deux sens, contrairement à l’opposition des montées et des descentes. Elle n’est cependant pas résolue, de façon générale au cours du stade I mais l’est d’emblée au stade II contrairement aux réactions relatives au plan incliné.

Les stades observés sont donc les suivants. Il n’y a pas de composition opératoire au cours des stades I et II, c’est-à-dire ni prévision ni induction après alignement des chemins parcourus, cette constatation ne facilitant pas les prévisions ultérieures. Le stade III donne lieu à des compositions concrètes sous la forme d’une induction progressive en fonction des constatations faites et le stade IV à une déduction formelle anticipant tous les résultats.

§ 4. Les stades I et II : pas de composition opératoire

Les sujets du premier stade non seulement ne prévoient pas le résultat des itinéraires, mais encore, après constatation des égalités ou inégalités (selon que l’on est revenu ou non au point de départ), ne savent pas trouver la loi pour les questions suivantes :

Rot (5 ans). Technique 1. Itinéraire + d et − d (= question I) : « C’est la même chose ? — Non, il y a plus de chemin de votre côté. — Et maintenant (idem). — (Il mesure.) Oui, c’est pareil. —  Et comme ça (+ d − c’ − b’ + b’ − b’ − b) ? — Je vais réfléchir. — Qu’est-ce qu’il a fait ? — (Il montre juste.) — Quoi faire ? — Regarder ça (il aligne les cartons). C’est la même chose : il a fait comme ça et comme ça (montre le détail des trajets). — Et maintenant (+ d − c’ − b’ − a’ + a’− a’ − a) ? — Sais pas (il aligne les cartons). Mais oui, c’est la même chose. —  Et maintenant (même combinaison) ? — Sais pas (il aligne). De nouveau la même chose. —  Et comme ça (autre combinaison) ? — C’est compliqué. Il faudrait compter. »

Cri (5 ans). Même début. « Et comme ça (+ d − c’ − b’ + b’− b) ? — C’est le rouge qui sera le plus long. — Pourquoi ? — Il a fait plus de chemin comme ça. — Regarde (on aligne et il comprend). — Et ça (+ d − b’ − a’ + a’− b) ? — Sais pas (il aligne). Ah ! La même chose. —  Et maintenant (+ c + c’ − d) ? — Plus de bleu, parce qu’il a plus marché en revenant », etc.

Jac (5 ans). + d − c’ + c’− d : « Sais pas. En tout cas un plus long que l’autre. Je vois le bleu. — Regarde (il aligne). — Ah ! C’est pareil. —  On pouvait le savoir d’avance ? — Non », etc.

Wil (6 ans) + d − d (question I) : « Même chose long ? — Non. —  Pourquoi ? — (Il compare les cartons.) Oui. — Et maintenant (technique 2 : + b − a’ + a’ + b’ + c’ − d), même chose ? — (Il aligne les cartons.) Oui. —  Et comme ça (+ c − b’ − a’ − a en mettant les cartons de côté) ? — Non, le rouge plus long. — Et comme ça (technique 1 : + d − c’ + c’ − d) ? — Non. —  Pourquoi ? — Le rouge de nouveau plus long. »

On voit qu’aucune composition n’est possible : les jugements sont ou fortuits ou fondés sur le plus grand élément perçu.

Au cours du second stade les sujets résolvent tous la question I (+ d − d). En outre ils parviennent souvent à deviner le résultat, mais sans pouvoir le justifier. Il suffit, pour savoir s’il y a composition réelle, d’introduire un retour inégal, sans toucher le point de départ : si l’enfant se contente de deviner, il croit alors à l’égalité. Voici deux exemples :

Ser (6 ½) admet que l’aller + d et le retour − d « c’est les deux la même chose. —  Et comme ça (+ d − c’ − b’ + b’ − c) ? — Plus long ici (aller). — Regarde (il aligne les cartons). — Même chose. — Et ça (autre combinaison) ? — Des deux côtés pareil. —  Et comme ça (autre itinéraire) ? — Encore la même chose. —  Et maintenant (autre combinaison, mais sans retour : s’arrête à B) ? — Même chose. — Regarde bien ? — Oui. C’est toujours pareil ». Ne calcule donc pas.

Pie (7 ; 10) admet l’égalité de l’aller et du retour pour + d et − d. Technique 2 : « (+ d − c’ − b’ − c) ? — Le rouge plus long (il aligne). Non, pareil. —  Et comme ça (autre combinaison) ? — Même chose. —  Et maintenant (autre combinaison) ? — À peu près la même chose. —  Pourquoi « à peu près » ? — Plus vers moi. — Regarde bien. — Ça embrouille. Il faudrait compter combien il fait de voyages. »

« Alors regarde (technique 1 : + d − c’ − b’ − b’ − c) ? — Plus de rouge. —  Alors tu vas faire toi-même le jeu (on le fait marcher dans la chambre le long d’une ligne). Tu pars d’ici (O), tu vas jusqu’à la fenêtre (D), tu reviens ici (B), tu retournes là (C) et tu reviens (O). Tu as marché plus dans un sens que dans l’autre ? — J’ai été plus vers la fenêtre que vers la porte. —  Qu’as-tu fait vers la fenêtre ? — (Montre OD = + d et BG = + b’). — Et vers la porte ? — (Montre DB = − c’− b’ et CO = − b’ − b). — Alors ? — Plus marché vers la fenêtre. — Et si je te dis que c’est la même chose ? — Non. »

On voit que tout en répondant juste à la question I de l’égalité des trajets uniques dans un sens et dans l’autre, et que tout en devinant par moment les résultats justes les enfants ne composent en réalité pas plus les segments d’itinéraires qu’au cours du premier stade.

§ 5. Le troisième stade : compréhension par opérations concrètes sans déduction formelle

Les sujets du troisième stade (7-8 à 10-11 ans) ne résolvent pas non plus le problème d’avance. Cette solution anticipée supposerait, en effet, la déduction formelle, comme nous l’avons vu au cours de la sect. I, et le moment est venu de chercher à expliquer pourquoi il en est ainsi. Mais, lorsque après une ou deux prévisions fausses, ces enfants constatent le résultat de l’alignement des segments, ils prévoient correctement la suite et comprennent la loi en reconstituant les opérations effectuées. La question est donc de saisir pour quelles raisons ils ne parviennent pas à déduire d’avance ce qu’ils comprennent après coup. Voici des exemples :

Par (7 ans). Technique 2 (+ d − c’ − b’ + b’ − c) : « Non. Plus de rouge. —  Regarde (il aligne les cartons). — Oui. —  Et comme ça (autre combinaison) ? — Ça doit être pareil dans les deux sens. — Pourquoi ? — (Il reconstitue.) Oui. — Et maintenant (nouvel essai) ? — Même chose. —  Et comme ça (nouvelle combinaison, mais deux pions restent sur la même ligne) ? — Non. —  Pourquoi ? — Il manque ça (juste). » Technique 1 : idem.

And (8 ans). Technique 1. Aller et retour : « Même chose. — Et comme ça (+ d − c’ − b’ + b’ − b’) ? — Le rouge plus long, parce qu’il n’est pas revenu jusqu’au bout (juste). — Et maintenant (+ d − c’ − b’ + b’ − c) ? — Le rouge plus court. — Essaie de voir si c’est juste. — (Il mesure lui-même les trajets au moyen d’une feuille de papier, sans aligner les cartons.) Non, c’est les deux la même chose. — Et maintenant (+ c − b’ − a’ + a’ + b’ − b’) ? — Le bleu plus court parce qu’il ne revient pas jusqu’au bout (juste). — Et maintenant (+ d − c’ − b’ − a’ + a’ + b’ − c) ? — Même chose, parce qu’il a fait comme ça et comme ça (montre les navettes). — Et ça (nouvelle combinaison) ? — Même chose. — Et ça (contre-épreuve : inégalité) ? — Non. — Et ça ? — Même chose, parce qu’il a fait un entier et plusieurs zigzags dans chaque sens (juste). »

Technique 2 : mêmes réactions.

Luc (8 ans). Technique 2 : « (+ d) − (c’ − b’) − b) ? — Même chose. — Pourquoi ? — Parce que les deux chemins bleus (c’ + b’) et (b) sont la moitié du rouge (d : juste). — Alors regarde (+ d − c’ − b’ − a’ − a) ? — Non, plus de rouge. — Essaie. — (Il aligne les cartons.) Oui. — (Autre combinaison.) — Oui, parce que les pions font le même bout de chemin. — (Autre essai.) — Encore le même chemin (juste). »

Jea (9 ; 3). Technique 1 : « (+ d − c’ − b’ + b’ − c) ? — Plus de bleu, parce qu’il y a plus de chemin vers moi (il aligne). Ah non, le même voyage. — (Autre essai.) — Mêmes chemins parce que le pion est revenu au point de départ. — (Autre essai mais arrêt en A au retour.) — Pas la même chose. — Pourquoi ? — À cause des aller et retours qu’il a faits : il n’est pas revenu ici (O). — (Autre essai). — Pas pareil, non : pareil parce que c’est les mêmes chemins dans les deux sens. »

Technique (2) : « (+ d − b’ − c’ + b − b’ − c’ − a) ? — C’est pareil. —  (Contre-épreuve : deux pions sur la même ligne) ? — Même chose. Non, plus de bleu, parce qu’ils ne sont pas tous en place. »

Dré (9 ; 6). Technique (1) : « (+ d − c’ − b’ − a’ − a) ? — Même longueur parce que le pion est revenu à son point de départ. —  Et comme ça (+ d − c’ − b’ + b’ − c) ? — Plus de chemin dans ce sens (rouge). — Essaie de dessiner. — (Il le fait.) Ah oui. — (Autre essai.) — Même chose, parce qu’il est allé trois fois et revenu trois fois. — (Encore un essai, mais arrêt en A au retour ?) — Plus de rouge que de bleus. —  Et maintenant (autre essai) ? — Même chose, parce qu’il y a plusieurs zigzags dans chaque sens. »

Technique (2) : « Même chose parce que les pions sont à la même place qu’avant. —  (Autre essai.) — Encore la même chose. — (Nouvel essai avec 2 pions au même endroit ?) — Plus dans votre sens que dans le mien (juste) parce que les pions sont partout revenus. »

On voit l’intérêt de ces faits et leur parallélisme avec ceux du stade correspondant étudié dans la sect. I. Aucun de ces sujets ne résout, en effet, d’emblée la question des navettes partielles. Par contre, lorsqu’il y a aller simple (+ d) et retour en deux temps (− c’ − b’) et (− b) le problème ne fait pas de difficultés (voir Luc). Le sujet Dré résout même la question d’un retour en quatre temps mais tous les segments étant orientés dans le même sens. Ce sont donc les allers et retours partiels qui retiennent encore l’enfant. Mais dès qu’il a constaté une ou deux fois le résultat (en alignant les cartons, ou par mesure spontanée ou même simple dessin permettant l’analyse des trajets), il reconstitue alors aisément les opérations (voir And, Luc, Jea et Dré à la fin des interrogatoires), et parvient même à prévoir correctement le résultat des combinaisons suivantes, avec ou sans égalité.

Bien plus, on constate que la technique 2 qui suppose des permutations entre cinq pions n’est guère plus difficile que la technique 1, c’est-à-dire les navettes partielles d’un seul mobile. Or, il semblerait qu’ayant à combiner les déplacements de cinq mobiles qui se remplacent les uns les autres aux points O, A, B, C et D, l’enfant dût s’embrouiller bien davantage qu’en déplaçant un seul mobile entre les mêmes points, même avec des allers et retours variés. Le fait qu’il n’en soit rien est hautement instructif et nous permet enfin de résoudre la question laissée en suspens jusqu’ici de la différence entre les opérations concrètes et formelles.

On peut se demander, en effet, pourquoi des sujets sachant, comme les précédents, reconstituer le détail des opérations effectuées, ne parviennent pas à les déduire d’avance. Nous avons vu, il est vrai, au terme de la sect. I, qu’au schéma anticipateur groupant tous les déplacements en jeu dans ces questions (technique 1) est nécessairement hypothético-déductif et par conséquent formel, puisqu’il suppose au préalable l’hypothèse d’une compensation générale et ne parvient à la vérifier qu’après coup. Mais pourquoi ce schème anticipateur n’apparaît-il pas dès 7-8 ans, c’est-à-dire dès que la réversibilité du déplacement est acquise et permet la mesure ainsi que le groupement concret des segments de chemin parcouru ? Nous avons constaté, aux chapitres I et II combien l’enfant du stade III dominait la question des inversions multiples dans l’ordre linéaire et cyclique et à quelles compositions subtiles il parvenait à cet égard (deux inversions = l’ordre direct, etc.). Pourquoi est-il arrêté ici par un simple jeu de navettes partielles ?

En réalité, si vraiment (comme tout nous a conduit à l’admettre jusqu’ici) un déplacement est essentiellement un changement d’ordre ou de placement, le trajet complexe d’un élément parcourant des chemins tels que OD, DB, BC et CO est alors comparable à un système de permutations. Si M est le mobile, ces trajets équivalent, en effet, aux ordres successifs : MABCD, OABCM, OAMCD, OABMD, et MABCD, comme si M remplaçait successivement O, D, B, C et O. Il s’ensuit qu’il change de numéro d’ordre 4 + 1 fois dans un sens et 2 + 3 fois dans l’autre, d’où l’égalité 5 = 5. Dans le cas de la technique 2, si l’on place O en D, D en B, B en C et C en O, on obtient la suite CADBO qui suppose également 5 déplacements dans chaque sens (4 pour O remplaçant D plus 1 pour B remplaçant C, dans un sens, et 2 pour D remplaçant C plus 3 pour C remplaçant O, dans l’autre sens). Les deux opérations sont donc bien équivalentes, mais elles supposent, dans l’un et l’autre cas, un système de permutations : permutations entre M et les points fixes non occupés par lui, dans la technique (1) et permutations entre les pions correspondant à ces points, dans la technique (2).

Or, une étude que nous avons en cours sur le développement des opérations de permutations et de combinaisons montre précisément que la découverte d’un système complet ne se fait que vers 11-12 ans, contrairement aux opérations de simple sériation ou ordination qui sont acquises aux environs de 7 ans. La raison en est claire : un système de permutations ou de combinaisons suppose que l’esprit effectue plusieurs sériations à la fois et non pas successivement, c’est-à-dire qu’il ait présenté en un même champ de réflexion une suite de données que la sériation déroule simplement dans les deux sens mais que les opérations de permutations doivent sérier selon tous les ordres possibles. En d’autres termes, les opérations de permutation sont de caractère formel et non plus simplement concret.

D’une manière générale, en effet, les opérations formelles sont donc à concevoir comme des opérations effectuées sur d’autres opérations, donc comme des opérations au second degré. Les opérations de permutation, par exemple consistent à sérier des sériations. Les opérations du premier degré sur lesquelles portent les secondes sont elles-mêmes des opérations concrètes, d’où l’analogie de contenu entre les opérations formelles et les opérations concrètes. Quant aux opérations portant sur celles du premier degré, ce sont soit de nouvelles opérations concrètes (mais au second degré), comme dans les permutations, etc., soit de simples systèmes d’implications et d’incompatibilités établies entre les propositions qui traduisent les opérations concrètes de départ : c’est le cas de toutes les opérations formelles exprimant au moyen du langage courant ou mathématique des opérations qu’il serait possible d’effectuer concrètement et que la pensée formelle se borne à construire symboliquement. On comprend alors pourquoi les opérations formelles, étant des opérations du second degré ou opérations portant sur d’autres opérations, sont à la fois semblables aux opérations concrètes et cependant beaucoup plus difficiles à manier.

C’est assurément pour de telles raisons que la construction du schème anticipateur indispensable à la solution des question II et III est d’une difficulté qui dépasse celle des opérations concrètes. Les sujets du stade II parviennent à résoudre les problèmes d’égalité, quand le trajet de retour se fait en plusieurs étapes, mais toujours dans le même sens, parce qu’il ne s’agit alors que d’additions concrètes tandis qu’ils échouent lorsque les sens contraires sont mêlés et supposent ainsi des reconstitutions analogues à celles qui interviennent dans les opérations de permutations pures.

§ 6. Le quatrième stade : solution immédiate par déduction formelle. Conclusion : le groupement des déplacements

Contrairement aux sujets du stade précédent, ceux que nous allons citer n’ont plus besoin d’aligner effectivement les trajets partiels pour comprendre la solution, mais construisent d’emblée déductivement les égalités ou inégalités. Voici trois exemples :

Ger (9 ; 10). Technique 1 : « Même longueur. — Pourquoi ? — Parce qu’il y a les mêmes chemins pour aller chez moi et chez vous. — (Autre combinaison.) — Même chose. — Pourquoi ? — Parce que les chemins sont plus ou moins longs, mais c’est toujours la même chose pour aller chez moi et chez vous. — (Nombreux lacets mais arrêt au retour en A.) — Plus de rouge. — Pourquoi ? — Parce que le pion n’est pas revenu à son point de départ. — Tu es sûr ou tu devines ? — Sûr. »

Technique 2 : « Plus de bleu parce qu’ils ont fait plus de tours de votre côté que du mien… Ah non. — (Autres permutations.) — La même chose parce qu’ils ont tous voyagé dans les deux sens. — (Autre combinaison avec deux pions sur une même ligne.) — Pas la même chose parce que celui-là n’est pas revenu ici. »

Nera (10 ; 3). Technique 1 : « Même chose, parce qu’il a fait les mêmes chemins dans les deux sens. — (Autre combinaison avec arrêt en A.) — Même chose parce qu’il fait 6 étapes dans chaque sens. Ah non, 5 ici. — (Déplacements très rapides pour qu’il ne puisse pas compter.) — La même chose parce que, pour revenir à son point de départ il doit faire les mêmes chemins. — (Contre-épreuve, très rapide aussi.) — Pas la même chose, parce qu’il n’est pas revenu à son point de départ. »

Technique 2 : « Il y a trop de pions pour compter, mais c’est quand même la même chose dans les deux sens. »

Laur (11 ; 4). Technique 2 : « (+ d − c’ − b’ + b’ − b’ − b) ? — Ça se vaut parce qu’ils reviennent toujours où ils ont été : ils se remplacent seulement. — (Autres combinaisons). — Ça se vaut. — (Encore d’autres, mais 2 pions sur A). — Non ça ne se vaut pas, parce qu’il y a ce bout-là (OA) en moins. — (Idem). — Ça ne se vaut pas non plus parce qu’il y a plus de retours que d’aller s’il est parti de là (juste). »

Technique 1 : « Ça se vaut. Il a seulement fait des zigzags mais il est revenu chaque fois qu’il est allé en avant. »

On constate donc une fois de plus le synchronisme des niveaux de réactions à la technique (1) et à la technique (2).

Si tels sont les résultats obtenus, nous pouvons maintenant jeter un regard en arrière et nous demander quelle est la nature du mouvement et des opérations de déplacement, ainsi que celle des groupements et groupes qui permettent de les structurer.

À confronter ces résultats (parallèles à ceux du chapitre III) avec ceux des chapitres I et II, on ne peut s’empêcher d’être frappé par l’étroite parenté des opérations d’ordre ou de placement et des opérations de déplacement. Les premières supposent, en effet, les secondes du moins si l’on se place au point de vue spatio-temporel ou infralogique. Du point de vue logique pur, un ordre est donné indépendamment de sa construction et alors les relations qui le caractérisent peuvent être composées sous leur forme directe et inverse, sans aucune intervention du mouvement. Mais si l’on pousse l’analyse sur le terrain infralogique ³, qui est celui des opérations constitutives de l’espace, du temps, du mouvement et de la vitesse, alors toute suite ordonnée suppose le mouvement et cela pour deux raisons : 1° pour construire la suite envisagée il a fallu placer ou suivre les éléments dans un certain ordre et cet ordre ou « placement » résulte ainsi d’un déplacement ; 2° pour passer de l’ordre direct à l’ordre inverse, c’est-à-dire de A → B à B→ A il faut ou bien les « dé-placer » ou bien déplacer le sujet qui observe, c’est-à-dire en termes abstraits changer le « sens de parcours » ou d’« orientation ». C’est ce que nous avons vu au chapitre I : le passage de l’ordre direct à l’ordre inverse suppose une demi-rotation ou du dispositif ou de l’observateur. Réciproquement les opérations de déplacements supposent le placement, comme nous l’ont appris le chapitre III (évaluation des chemins parcourus par l’ordre des points d’arrivée, puis seulement par les intervalles entre les points ordonnés de départ et d’arrivée) et le présent chapitre (parallélisme entre la compréhension des déplacements et celle des permutations). Et il en est ainsi pour deux raisons également : 1° un déplacement des objets les uns par rapport aux autres est un changement d’ordre ou de placement ; 2° le déplacement d’un seul mobile est aussi un changement d’ordre, mais par rapport à des co-ordonnées, c’est-à-dire à des points ordonnés de référence.

Si donc, en nous plaçant sur un terrain exclusivement génétique et sans être influencés par aucune autre préoccupation, nous cherchons à caractériser les opérations qualitatives qui engendrent l’ordre et le mouvement nous pouvons dire que ces deux notions procèdent d’une seule et même opération réversible, dont la forme directe est le « placement » et la forme inverse le « déplacement ». Soit A → B un placement : le placement inverse B → A constitue un déplacement, et le déplacement inverse (qui est alors l’opération inverse de l’inverse) ramène au placement A → B. D’un tel point de vue il y aura par conséquent relativité entière des deux formes de l’opération, chaque mouvement pouvant être à volonté considéré comme un déplacement ou un replacement.

Une seule différence, mais elle aussi toute relative, peut légitimement être maintenue entre les opérations d’ordre et de mouvement, et elle suffît à les dissocier en pratique : ou bien c’est le sujet qui ordonne les éléments en les suivant de sa marche, de ses yeux ou des mouvements intériorisés de sa pensée, et qui se déplace pour les obtenir dans l’ordre inverse, et alors on parlera de « placement » dans les deux sens de parcours ou d’orientation ; ou bien ce sont les éléments qui se déplacent les uns par rapport aux autres, et alors on parlera de « déplacements » direct et inverse. Mais il demeure qu’en chacun des deux cas, tout placement est relatif à un déplacement, et vice-versa.

Les opérations qualitatives d’ordre (placement) et de déplacement sont donc à elles deux l’équivalent sur le plan infralogique de ce que sont les sériations de relations asymétriques transitives sur le plan logique. Et alors, de même que de toute sériation on peut extraire un système de relations symétriques définies par les intervalles compris entre les éléments sériés, de même à tout système de placements et déplacements on peut faire correspondre le système des intervalles compris entre les points ordonnés, ces intervalles constituant alors les distances ou chemins parcourus. En effet, nous avons pu constater tant au chapitre III par la mesure des chemins parcourus qu’en ce chapitre IV par la comparaison des chemins totaux en fonction des déplacements partiels successifs, que la notion de distance parcourue n’est comprise qu’au troisième stade, une fois les opérations de déplacement devenues réversibles.

En bref, du point de vue qualitatif, ce sont les changements d’ordre qui constituent le déplacement comme tel, et les intervalles entre points ordonnés qui engendrent les distances ou chemins parcourus. Ces deux sortes d’opérations qualitatives sont ainsi distinctes quoique indissociables, les relations d’ordre ou de déplacement s’additionnant sur le mode non commutatif puisqu’elles sont asymétriques et les distances ou intervalles s’additionnant commutativement de par leur symétrie.

Quant au passage de ces groupements qualitatifs de nature simplement logique (ou, pour être précis, infralogique) au groupe mathématique des déplacements il suffit pour le comprendre, d’introduire une métrique dans les deux éléments de placement et de déplacement en jeu en chaque mouvement. Du point de vue du « placement » c’est-à-dire du système des points de référence ordonnés auquel est relatif tout mouvement, il suffit de construire des « coordonnées », c’est-à-dire précisément un ensemble de points ordonnés dont les intervalles constituent des distances mesurables. Du point de vue du déplacement, il suffit alors de mesurer le chemin parcouru en distances-unités relatives au système de référence précédemment défini. C’est pourquoi dans la construction mathématique, le déplacement relève de la géométrie métrique tandis que l’ordre comme tel intervient dès la topologie parce que l’on fait abstraction des mouvements du sujet dans l’inversion des « sens de parcours » ainsi que dans l’acte d’ordonner lui-même. Mais cette dissociation, si légitime soit-elle, ne saurait faire oublier la commune nature opératoire du placement et du déplacement, lorsque celui-ci est envisagé qualitativement, et indépendamment de toute mesure.

Chez l’enfant, le passage des groupements qualitatifs de placements et déplacements au groupe métrique des déplacements voit par contre ses apparences compliquées du fait que les notions de droite, de parallèles et d’angles sont données intuitivement bien avant d’être construites opératoirement. Il s’ensuit qu’il existe des intuitions des longueurs et distances presque aussi primitives que les intuitions initiales de l’ordre, et en parties indépendantes d’elles — ce qui ne signifie pas que les unes ou les autres en soient plus exactes ⁴. Au contraire, fondées sur la perception, elles en héritent les illusions autant que le caractère immédiat. Ce n’est qu’une fois les opérations qualitatives de placement et de déplacement organisées en systèmes réversibles cohérents que les distances se constituent en tant que systèmes d’intervalles et alors, mais alors seulement, car deux groupements qualitatifs se complètent d’un groupe métrique, d’abord sur le plan des opérations concrètes (7-8 ans) puis sur le plan hypothético-déductif ou formel (10-11 ans).