Chapitre XI.
Le mouvement uniformément accéléré ^{1 a} 🔗

La situation la plus facile à étudier chez l’enfant est celle du mouvement accéléré sur un plan incliné. On montre d’abord au sujet une planche colorée en blanc, qui figure une route enneigée et sur laquelle roule une boule. La question préalable (question I) est de savoir comment descend la boule (ou une luge) et si sa vitesse reste toujours la même. Une fois au clair sur ce point (l’affirmation globale de l’accélération est à peu près générale, ce qui permet de poursuivre l’interrogatoire mais n’implique en rien une prévision des rapports spatio-temporels), nous présentons un grand dessin représentant un enfant parcourant sur sa luge une pente uniforme. La pente est jalonnée de drapeaux à intervalles égaux (quatre intervalles) : la question II est alors de savoir sur lequel de ces intervalles la vitesse de la luge sera la plus grande et quels sont les rapports de vitesse (en >, < ou =), d’intervalle à intervalle. Après quoi nous revenons à la planche, en plantant de petits drapeaux à intervalles égaux (et à nouveau au nombre de quatre comme sur le dessin), et posons la question III : quel temps le lugeur mettra-t-il pour parcourir le [p. 242] premier intervalle, puis le second, le troisième et le dernier ? Enfin vient la question IV : le lugeur descend à nouveau mais une montre à la main et toutes les minutes (ou toutes les 3 ou 5 minutes, comme le veut l’enfant) il crie « hop » aux spectateurs situés sur le bord de la piste ; à chaque « hop » un spectateur plante un fanion et la question est de savoir quelles seront les distances entre les fanions. La question III porte donc sur le raccourcissement des temps à distances égales et la question IV sur l’allongement des espaces parcourus à durées égales.

Sur 65 enfants interrogés (24 filles et 41 garçons, de 5 à 14 ans) nous avons pu établir les quatre stades suivants, en corrélation avec ceux de la conservation de la vitesse. Au cours d’un stade I, le sujet n’a pas la notion de l’accélération uniforme, pas plus qu’il n’avait au même stade celle de la conservation d’une vitesse uniforme. Au cours du stade II l’enfant présente une notion intuitive de l’accélération uniforme, mais ne sait pas la traduire en rapports de temps et d’espace parcouru, c’est-à-dire en relations opératoires de vitesse. Pour les temps correspondant aux intervalles spatiaux égaux, ou bien il croit que ces temps sont aussi égaux, puisque les distances le sont, ou bien il traduit l’augmentation de vitesse par une augmentation de temps. Quant aux espaces parcourus en des temps égaux, le sujet pense, ou bien qu’ils sont égaux puisque les temps le sont, ou bien, chose curieuse, qu’ils sont de plus en plus courts parce qu’on va plus vite ! Au stade III, les erreurs commencent par demeurer les mêmes, parce que l’accélération continue suppose des comparaisons entre vitesses successives avec temps égaux et espaces inégaux ou l’inverse (contrairement au mouvement uniforme dans le cas duquel les trajets successifs sont égaux en durée et en distance), et un mécanisme analogue à celui de la proportionnalité formelle, mais la solution est ensuite découverte par tâtonnements progressifs et régulations intuitives. Au stade IV, enfin (moyenne d’apparition : 11 ans), l’accélération est conçue opératoirement, en tant que continue et régulière, soit qu’elle se traduise sous la forme d’une vitesse uniformément accélérée (différence constante de longueurs d’une unité de durée à l’autre ou différence constante de durée d’une unité de longueur à l’autre), soit sous la forme d’une augmentation progressive des différences. Malgré l’erreur physique que comporte cette dernière solution, il va de soi que sa structure opératoire est à la hauteur de la première.

[p. 243] Dans la grande majorité des cas, nos sujets connaissent l’accélération par expérience. Ils se sont lugés, ont déjà fait de la bicyclette (sur la leur ou assis à la place qui leur est réservée sur celle de leurs parents), ont roulé des balles ou des billes sur les plans inclinés, etc. Ils traduisent cette accélération en parlant de l’« élan » que prend le mobile au cours du mouvement. Néanmoins, de même que nous avons vu, au chapitre précédent, des petits qui, tout en ayant certainement connu l’existence de mouvements pratiquement uniformes (un train, une auto, etc., après l’accélération positive du départ et avant l’accélération négative de l’arrivée), ne savent pas reporter une même distance pour marquer cette uniformité, de même nous trouvons ici de jeunes sujets qui ne peuvent pas traduire leur expérience de l’accélération en disant que le mobile va de plus en plus vite ou simplement « plus vite » au fur et à mesure de son mouvement. Voici deux exemples de ce stade initial :

Pie (5 ; 6), en présence de la planche : « Tu t’es déjà lugé ? — Oui. —  Regarde cette belle pente bien droite, et cette petite luge. Est-ce que, sur une pente comme ça la luge va partout la même chose vite, ou bien plus vite en haut, ou au milieu, ou en bas ? — Partout la même chose vite. —  Pourquoi ? — Ça descend tout le temps. —  Il n’y a pas un endroit où ça va plus vite, en haut ou en bas ? — Oui, en haut. —  Pourquoi ? — Elle prend de l’élan. — Qu’est-ce que c’est l’élan ? — C’est quand on va lentement et après on va vite. —  Alors sur une pente comme ça quand est-ce qu’on a le plus d’élan ? — En descendant. On n’en a pas en montant. —  C’est juste. Et pourquoi on a de l’élan en descendant ? — Parce qu’on prend de l’élan. —  Comment ? — Pour aller vite. —  Et quand est-ce qu’on a le plus d’élan, en haut de la pente, vers le bas de la pente ou au milieu ? — En haut. — Pourquoi ? — Parce que d’abord on ne bouge pas, puis on prend de l’élan. —  Oui, mais où la luge va le plus vite, en haut ou en bas ? — Partout la même chose. — Mais où a-t-elle le plus d’élan ? — En haut. —  Et où va-t-elle le plus fort ? — Partout. D’abord en haut. »

Sam (6 ; 11) : « As-tu une luge ? — Non. —  Une bicyclette ? — Oui. — Dans une descente, vas-tu partout la même chose vite ? — Plus vite quand je pars. —  Montre-moi (par la fenêtre) une descente que tu connais. — Là-bas (montre une grande descente près de l’école). — Quand tu la descends à bicyclette tu vas plus vite en haut ou vers le bas ? — La même chose vite. — Regarde cette boule (on la fait rouler sur la planche). Où va-t-elle le plus vite ? — En haut. —  Regarde encore. — Au milieu. »

Il est inutile de s’attarder sur ces cas. Il est clair qu’au niveau où la vitesse n’est encore que l’intuition d’un dépassement, liée à l’ordre intuitif des points d’arrivée mais sans mise [p. 244] en relation du temps et de l’espace parcouru, l’accélération ne peut être conçue que sous la forme d’un « élan » ou d’effort momentané. Seulement cette intuition de l’élan reste toute subjective ou égocentrique : elle est faite d’impressions musculaires, kinesthésiques ou posturales et n’est nullement liée, au début, à la notion d’une force extérieure telle que la pesanteur agissant sur un mobile à la descente. Nous avons déjà vu autrefois ² que l’eau des ruisseaux ne descend pas en vertu de son poids, mais d’un élan qu’elle se donne pour se diriger vers les lacs, etc., et en général vers le bas. Nous retrouvons ici cette même notion : l’élan, même à la descente, apparaît au petit comme quelque chose qu’on se donne activement, en vertu de sa force propre, et que l’on ne subit pas. Dès lors, sur une pente, l’élan est maximum au départ, puisqu’il marque la volonté de mouvement, opposée au repos antérieur ; quant à la vitesse, ou bien elle est la même partout, ce qui revient à dire que la question n’a pas de sens pour le sujet, ou bien elle dépend de l’élan, d’où le jugement de Sam : « plus vite quand je pars ». Nous n’avons donc pas posé à ces sujets les questions III et IV.

Le stade II est au contraire caractérisé par une intuition d’origine empirique de l’accélération en fonction de la pente. Il s’agit donc d’une intuition articulée, moins égocentrique que celle de l’élan purement endogène, et liée à l’expérience d’actions mieux différenciées. Cette intuition est ordinairement incomplète : l’accélération n’est ni continue ni régulière (le rapport des vitesses d’un intervalle à l’autre donnera par exemple 1 = 2 ; 2 < 3 et 3 < 4 ; ou 1 = 2 ; 2 < 3 et 3 = 4, etc.). Mais elle est parfois exacte, c’est-à-dire bien analysée, chaque intervalle donne alors un mouvement plus rapide que le précédent (1 < 2 ; 2 < 3 et 3 < 4). Mais, même en ce dernier cas, il n’y a aucune mise en relation du temps avec l’espace parcouru et les rapports en jeu ne consistent qu’à traduire les choses en termes de « plus vite » ou « plus d’élan » ou de « moins vite ». En outre, on rencontre dès le stade II deux types de réactions que nous retrouverons au cours du stade III.

Selon le premier de ces deux types, les espaces égaux correspondent à des temps égaux et réciproquement :

Ber (6 ; 8). Question I : « La boule va plus vite en bas. Elle va moins vite en haut, parce qu’elle s’élançait seulement. »

Question II : « La luge va-t-elle à la même vitesse partout ? — Non, pour le premier bout, elle va lentement et pour le dernier, plus vite. — Et [p. 245] 2 avec 3 ? — Même vitesse. — Et 1 avec 2 ? — Moins vite au premier qu’au second. »

Question III : mêmes temps. Question IV : « On met un drapeau toutes les minutes. Ça fera quels bouts de chemin ? — Le même bout pour toutes les minutes. »

Selon le second type de réactions, les espaces parcourus égaux correspondent à des temps toujours plus longs, en vertu du rapport primitif que nous connaissons bien (plus vite = plus de temps), mais, chose intéressante, aux temps égaux correspondent des espaces parcourus toujours plus petits, en vertu de cette intuition (déjà étudiée au chapitre VI) suivant laquelle on va plus vite quand on a moins de chemin à faire :

Dal (6 ; 7). Questions I-II : « Elle va plus vite en bas, parce qu’elle prend de l’élan en descendant. » Intervalles 4 > 3 ; 3 > 2 ; 2 = 1.

Question III : « 1’ ; 2’ ; 3’ et 4’. — Pourquoi ? — Parce qu’elle va toujours plus fort. — Quand tu cours, tu vas plus vite que quand tu marches ? — Oui. — Alors tu mets plus de temps ou moins de temps ? — Plus de temps. »

Question IV : Dal dessine des intervalles toujours plus petits : « Pourquoi ? — Parce qu’il va plus vite. — Mais pourquoi tu fais un petit bout, s’il va plus vite ? — Parce qu’il arrive plus vite. »

Mic (6 ; 10). Question I « Quand tu te luges même vitesse partout ? — Ça va très vite au milieu. —  Pourquoi ? — Parce que ça me donne de l’élan. —  Où vas-tu le plus vite, en bas ou au milieu ? — Plus vite en bas. Il y a plus d’élan. » Question III : « Combien de temps jusqu’au premier drapeau ? — Deux minutes. —  Et du premier au deuxième drapeau ? — Trois minutes. »

Question IV. On place un drapeau toutes les trois minutes. Mic dessine des intervalles toujours plus petits : « Quand on va vite, on fait le même chemin que quand on va lentement ? — Un plus petit chemin. —  Et quand tu cours, quel chemin fais-tu ? — Je fais un plus petit chemin plus je cours, plus je me rapproche (cf. la confusion de l’ordre des points d’arrivée avec la distance !). — Mais pendant que la montre marque trois minutes ici (3^e intervalle), la luge va la même chose vite ? — Plus vite. La petite fille aura été toujours plus vite. Il y a tout le temps le même nombre (de minutes) à faire. —  Est-ce que c’est aussi le même nombre de chemin ? — Moins de chemin. »

« Regarde : je tape sur la table (on frappe de l’index) pendant 10 secondes. Je tape maintenant de nouveau 10 sec. mais plus vite : ça fera plus ou moins de coups ? — Si vous tapez le même nombre de secondes, ça fera moins de coups. Si vous tapez plus vite, ça fera moins de coups. —  Regarde (exp.). — Il y a plus de coups. —  Alors je marche pendant 10 secondes. Si je marche plus vite, je ferai plus ou moins de chemin ? — Vous arriverez (!) plus vite. » Donc arriver plus vite : « se rapprocher » = « moins de chemin ».

[p. 246] Il est inutile d’insister dès maintenant sur ces deux sortes de réactions, parce que, chose curieuse, nous allons les retrouver au cours de tout le stade III, étant donné qu’il s’agit de vitesses successives à comparer entre elles, et non simultanées, et de temps égaux à espaces inégaux ou d’espaces égaux à durées inégales.

Aux questions I et II, les enfants de ce niveau répondent comme les précédents que la vitesse s’accroît au cours de la descente. Tout au plus cet accroissement est-il conçu comme plus continu et plus régulier. Quant aux questions III et IV, on s’aperçoit une fois encore du contraste qui oppose les jugements portés sur les mouvements simultanés aux estimations relatives aux mouvements successifs, ou aux segments successifs d’un même mouvement : alors que ces sujets du troisième stade sont, en effet, maîtres des relations spatio-temporelles intéressant la première de ces deux situations, ils ne parviennent nullement à appliquer ces relations à l’accélération et conçoivent celle-ci comme les sujets du stade II (cf. aux chapitres VII et IX le même décalage entre les réactions des stades II B et III A selon que les mouvements sont simultanés ou successifs). On retrouve à cet égard les deux types de réponse déjà distingués au § 2.

Pour les sujets d’un premier type, les espaces égaux correspondent à des temps égaux, malgré l’accélération, et les temps égaux à des espaces égaux :

Lan (8 ; 4). Questions I-II : « Il va un peu plus vite en bas. — Pourquoi ? — Parce que ça descend. — Mais ça descend partout ? — Oui, mais il va un peu plus lentement en haut parce qu’il vient de commencer. »

Question III « : 1^er intervalle ? — 5 minutes. — Et le second ? — 5’ aussi. — Pourquoi ? — C’est le même bout. — Mais il va plus vite ? — Oui. —  Et là (3^e) ? — Encore plus vite. —  Et combien de temps ? — 5 minutes aussi ».

Question IV : il plante les drapeaux à distances égales « parce que c’est toujours une minute. »

Nel (8 ; 8). Questions I-II « : D’abord lentement, parce qu’on vient de lâcher (la boule), et puis vite parce qu’elle est déjà lâchée depuis un bon moment. » Rapports de vitesse des intervalles : 1 < 2 = 3 < 4.

Question III : Premier intervalle : « Une minute. — Et le deuxième ? — La même chose. —  Pourquoi ? — C’est la même distance. — Mais il va plus vite ? — Oui. — Alors, ça fait le même temps ? — … — Et le quatrième ? — Une minute aussi. »

Question IV : il dessine quatre intervalles égaux correspondant aux [p. 247] durées partielles dont il est convenu qu’elles sont de cinq minutes : « Ils sont tous pareils ? — Oui. —  Pourquoi ? — Parce que cinq minutes c’est beaucoup. —  En haut ça va aussi vite qu’en bas ? — Non, moins vite parce qu’il vient de se lancer. —  Et alors il fait le même chemin pendant 5’ qu’en bas ? — Oui. —  Pourquoi ? — C’est toujours cinq minutes. »

D’autres sujets, caractéristiques d’un type II, admettent au contraire que les temps augmentent avec l’accélération, tandis que les espaces diminuent ! Voici des exemples de cette logique à rebours, d’autant plus curieuse que, pour des mouvements simultanés, ces sujets procèdent par opérations correctes :

Lil (7 ; 11). Question I : « À la fin, elle va plus vite. — Pourquoi ? — Parce que ça penche, elle a pris de l’élan. » Question II : chaque intervalle plus rapide que le précédent. Question III : 1, 2, 5 et 6 minutes : « Pourquoi ? — Parce qu’elle va toujours plus vite. — Alors, si elle va plus vite ? — Elle met plus de temps. »

Question IV : « La petite fille regarde sa montre. Toutes les trois minutes, elle crie hop ! Alors met les drapeaux pour montrer les bouts qu’elle fait pendant les trois minutes. Le premier bout sera pareil au deuxième ? — Non, le premier plus grand. — Mais elle va plus vite au deuxième ? — Oui. — Alors ? — Elle fait un plus petit bout. »

Alb (8 ; 6). Questions I-II : « Il va de plus en plus vite. » Question III (intervalles égaux) : « Il mettra 3 minutes ici, ensuite 4 minutes, etc. »

Question IV (durées égales) : « Un plus petit bout chaque fois (il place les drapeaux) parce qu’il va plus vite. — Pourquoi ? — On fait un plus petit bout quand ça descend plus vite. »

And (9 ; 2). Question II : deuxième intervalle même vitesse que le premier, mais troisième plus vite et quatrième encore plus vite. Question III : « Alors combien de temps pour faire le premier bout ? — 2 minutes. —  Et le second ? — 4 minutes. —  Et le troisième ? — 6 minutes. — Et le quatrième ? — 8 minutes. — Alors où va-t-il le plus fort ? — À la fin. »

Question IV. On lui demande de dessiner les trajets correspondant à cinq minutes chaque fois : il les fait de plus en plus petits. « Lequel sera le plus petit ? — À la fin. —  Où la luge va le plus vite ? — Là, en bas. »

Avant de discuter ces réactions étranges, précisons encore que les deux types distingués ne semblent nullement caractériser deux sous-stades, car on voit des enfants qui passent indifféremment de l’un à l’autre à propos de la même question, ou qui sont du premier type pour la question III et du second pour la question IV ou vice-versa. Voici des exemples de ces oscillations :

Eve (7 ; 2) passe du type I au type II. Elle pense que la luge « va plus vite vers la fin ». Question III (intervalles égaux) : « Dix minutes chacun. — Comment il va ici (dernier intervalle) ? — Plus vite. Le plus vite, etc. — Alors crois-tu qu’il met plus de temps ou la même chose [p. 248] pour faire le premier bout et le dernier ? — Moins de temps pour le premier, parce qu’il va moins vite. »

Question IV : elle commence aussi par des intervalles égaux. « Mais à la fin, ça va plus ou moins vite ? — Plus vite. — Alors il va plus loin ou moins loin en cinq minutes, s’il va plus vite ? — Moins loin. » Iac (7 ; 5), au contraire, passe du type II au type I. « Le lugeur va toujours plus vite, parce qu’il prend de l’élan. » D’où (question IV) pour les trajets égaux : 1, 2, 3 et 4 minutes ! « Les bouts entre les drapeaux sont les mêmes ? — Oui. —  Il va toujours plus vite ? — Oui. —  Pourquoi as-tu dit 1, 2, 3 et 4 minutes ? — J’aurais dû dire chaque fois une minute. »

De même pour les intervalles à trouver en une minute chaque fois (question IV), Iac commence par donner des distances de plus en plus courtes. « Pourquoi toujours plus petits ? — Je me suis trompé : ils doivent être toujours les mêmes. »

Gu (7 ; 10) est du type II pour la question III et du type I pour la question IV. « La luge va moins vite en haut, parce que ça ne venait que de commencer » et « plus vite en bas parce qu’il y a déjà un bon moment qu’elle a roulé ». Les intervalles égaux (question III) sont alors parcourus en 1, 2, 2 ½ et 3 ½ minutes : « Pourquoi plus de temps en bas ? — Parce que ça descend plus vite. »

Mais les intervalles correspondant à une minute chacun sont « toujours de la même grandeur, parce que c’est toutes les minutes ».

Gis (9 ; 8) est également du type II pour la question III et du type I pour la question IV. La luge « va toujours plus vite parce que là elle a de l’élan ». D’où (question III) pour les intervalles égaux : « 3 minutes, puis un tout petit peu plus, 4 minutes et (le dernier) un peu plus que à minutes. — Où va-t-elle le plus vite ? — En bas. — Et où met-elle le plus de temps ? — En bas. »

Quant aux durées égales (question IV) elle fait des bouts « égaux. — Pourquoi ? — Parce qu’elle fait toutes les fois trois minutes ».

Mon (7 ; 10) est inversement du type I pour la question III et du type II pour la question IV. La luge « prend toujours plus d’élan en descendant ». Mais les intervalles égaux (question III) prennent chacun une minute. Par contre les intervalles correspondant à une minute (question IV) sont de plus en plus petits, parce que ça va toujours plus vite.

Arl (9 ; 5) de même est du type I pour la question III et du type II pour la question IV. La luge « va toujours plus vite en descendant. — Pourquoi ? — Parce qu’en haut c’est le commencement : elle commence seulement à aller ». Les intervalles égaux (question III) sont alors parcourus en cinq minutes chacun. Mais en cinq minutes (question IV) les espaces parcourus sont toujours plus petits ! « Montre-moi le plus petit. — Là. —  Pourquoi c’est le plus petit ? — Parce qu’elle allait plus vite. »

On constate que ces réactions sont exactement semblables à celles du stade II. Elles n’en diffèrent, en effet, que sur deux points, dont l’un est donné indépendamment de ces interrogatoires [p. 249] et dont l’autre n’est visible qu’après coup. Le premier est que, contrairement aux sujets du stade II les enfants que nous réunissons dans le stade III savent fort bien, lorsqu’il s’agit de comparer les vitesses de deux mouvements simultanés, mettre l’espace parcouru et le temps en relations opératoires. C’est seulement parce qu’il s’agit ici de vitesses caractérisant les parties successives d’un mouvement, et portant sur des temps égaux et des espaces inégaux ou l’inverse (et non pas sur des temps et des espaces tous deux égaux) qu’ils retombent dans des difficultés antérieurement vaincues dans le cas des mouvements simultanés. Nous connaissons déjà, par le chapitre IX ce décalage systématique, propre au sous-stade III A et il est exactement le même dans les deux cas (temps égaux et espaces inégaux ou l’inverse). Quant à savoir pourquoi ces sujets du stade III A échouent dans les questions d’accélération tandis qu’ils réussissent à coordonner les temps et les espaces des trajets successifs dans le problème de la conservation d’un mouvement uniforme, la raison en est simple : en ce dernier cas, les espaces et les temps sont tous les deux égaux d’un segment a l’autre. — La seconde différence entre les stades II et III A est que, une fois fournies les réponses précédentes, les sujets du niveau III A peuvent être facilement détrompés et conduits à des réactions supérieures : il suffît de les interroger sur des mouvements simultanés puis de les ramener à la question de l’accélération pour qu’ils sentent leurs contradictions et commencent à répondre correctement. C’est ce que nous verrons, mais de façon spontanée au sous-stade III B. Il est facile de le provoquer en III A.

Cela dit, ces réactions, si bizarres qu’elles paraissent, sont, chacune prise à part, aisées à comprendre. Seule leur réunion incohérente pose un problème ainsi que la persistance de cette incohérence au cours de tout le stade III. Leur principe commun est que, si l’accélération est intuitivement mise en relation avec la pente, elle n’est pas encore conçue, pour les raisons que l’on vient de voir (succession et non pas simultanéité des trajets partiels à comparer), comme un rapport entre le temps et l’espace parcouru.

Les réactions du type I, tout d’abord, s’expliquent d’elles-mêmes. Faute de savoir comparer les vitesses de deux mouvements successifs entre elles, l’attitude la plus simple consiste assurément à supposer qu’à des temps égaux correspondent des espaces égaux et réciproquement. Quant au type II, nous avons rencontré presque en chacune de nos recherches sur le [p. 250] temps et la vitesse le rapport « plus vite = plus de temps » et n’avons donc pas à y revenir spécialement ici (voir Le Développement de la notion de temps chez l’enfant, chapitre III et, dans le présent volume chapitres VI et VII). Il reste le raisonnement curieux selon lequel les espaces parcourus diminuent régulièrement avec l’augmentation de la vitesse. Mais lui aussi nous est déjà connu : c’est celui qui fait dire aux petits lors de deux chemins d’inégale longueur avec mêmes points de départ et d’arrivée (chapitre VI sect. II) ou lors des deux pistes concentriques à comparer (ibid., sect. III) que le chemin le plus court correspond à la plus grande vitesse parce qu’il est parcouru plus rapidement. Aux stades I et II, cette intuition indifférenciée s’accompagne d’une confusion des rapports d’ordre, relatifs aux points d’arrivée et des rapports de distance, comme si la vitesse se mesurait en fonction du but à atteindre, c’est-à-dire de l’espace à parcourir encore et non pas de l’espace parcouru : à une plus grande vitesse, dit ainsi Mic (stade II, § 2) correspond « un plus petit chemin : plus je cours plus je me rapproche ». Mais au stade III, où cette intuition n’est que résiduelle, le raisonnement revient simplement à poser les équivalences : plus vite = plus tôt arrivé = moins de chemin à faire.

Seulement, si chacune de ces réactions est ainsi explicable considérée en elle-même, il reste curieux que les cas francs du type II fassent simultanément correspondre à une plus grande vitesse, d’une part un temps plus long (donc un espace parcouru plus grand) et cependant, d’autre part, un espace parcouru plus court. Au stade II cette incohérence ne surprend pas, car, à un niveau préopératoire, il est normal que de telles contradictions se produisent entre des intuitions que seule l’opération saura rendre consistantes en les rendant réversibles. Mais comment des contradictions aussi grossières peuvent-elles subsister au stade III, qui est celui des opérations concrètes ? À ce niveau, en effet, les groupements temporels sont achevés sous leur double aspect de l’ordre des successions et de l’emboîtement des durées, de même que le groupe des durées métriques fondées sur la notion du mouvement uniforme et continu. Cette notion de la conservation de la vitesse est donc elle-même acquise lorsqu’il s’agit d’un seul mouvement, les difficultés commençant seulement lors de la comparaison de deux vitesses uniformes distinctes : en ce cas leur différence augmente sans cesse ce qui revient précisément à concevoir leur rapport comme une accélération. Si ces notions de temps, de conservation de la vitesse uniforme (et naturellement de relations spatio-temporelles de [p. 251] vitesse dans le cas des mouvements simultanés) sont acquises dès le début du stade III, comment donc expliquer que, dans le domaine du mouvement accéléré, des notions absurdes concernant les rapports entre la vitesse, l’espace et le temps puissent se maintenir, et même se présenter sous une forme contradictoire entre elles ?

Rappelons d’abord que la comparaison des phases successives d’un même mouvement accéléré n’est pas assimilable à celles des phases correspondantes d’un seul mouvement uniforme mais bien à la comparaison des phases successives de deux mouvements uniformes de vitesses distinctes. En effet, par le fait même de son accélération, un mouvement accéléré unique constitue à chaque instant un autre mouvement doué d’une nouvelle vitesse, de telle sorte que la comparaison de ces vitesses équivaut psychologiquement à celle de mouvements différents. Au chapitre IX nous demandions aux enfants de comparer deux mouvements successifs de temps égaux et d’espaces inégaux ou l’inverse, pour trouver lequel a la plus grande vitesse. Les présents problèmes de mouvement accéléré reviennent réciproquement à demander, si deux phases successives sont caractérisées par le même espace parcouru et des vitesses différentes, ce que seront les temps inégaux ; ou, si ces phases sont de durées égales et de vitesses différentes, ce que seront les espaces inégaux : on voit donc que ce sont les mêmes problèmes. Or, précisément, nous avons vu au chapitre IX que ces questions se résolvent progressivement au cours des stades III B et IV seulement. Et nous avons vu, surtout, que faute de les résoudre au sous-stade III A les sujets de ce niveau présentent exactement comme nos sujets actuels, toutes sortes d’erreurs résiduelles analogues à celles des stades I et II en ce qui concerne les mouvements simultanés. De plus nous venons de voir au chapitre X que, lorsqu’ils raisonnent sur le rapport de deux mouvements uniformes distincts (rapport qui est précisément assimilable à une accélération puisque la différence des points d’arrivée augmente sans cesse), ces mêmes sujets du niveau III A raisonnent également de façon prélogique, tout en raisonnant très logiquement en ce qui concerne la conservation d’une seule vitesse uniforme. Nous pouvons donc conclure de toutes les analogies que la présente situation n’a rien d’exceptionnel, mais est conforme à une règle générale de décalage vertical.

Or, la raison de ce décalage étrange est simplement, et une fois de plus, que la comparaison des phases successives d’un mouvement accéléré fait intervenir, comme celle des deux mouvements [p. 252] successifs distincts, un mécanisme formel ou hypothético-déductif, tandis que la comparaison des mouvements simultanés ou des phases successives, mais équivalentes entre elles, d’un seul mouvement uniforme, ne requiert que les opérations concrètes. Or, les opérations formelles entrent en jeu lorsqu’il s’agit de relier l’un à l’autre deux systèmes différents, c’est-à-dire non manipulables simultanément ni par conséquent réductibles à un seul processus réversible. Et leur rôle est de rendre simultanés ces deux systèmes distincts, ce qui n’est possible qu’en pensée, donc par hypothèse, d’où la nature hypothético-déductive de ces nouvelles opérations qui reproduisent par ailleurs le détail des opérations concrètes. On comprend alors pourquoi, dans le cas présent, les enfants du stade III A raisonnent autrement que les mouvements accélérés et sur les mouvements simultanés et uniformes : dans ce dernier cas (cf. les chapitres VII et IX) il s’agit d’une situation unique, malgré la dualité des vitesses à comparer, et alors leur raisonnement atteint la logique des opérations concrètes ; lorsque la pensée doit au contraire, relier l’une à l’autre, en hypothèse, deux situations successives comme si elles étaient simultanées, alors, faute de mécanisme formel, toute logique fait encore défaut et l’on voit réapparaître à ce niveau III A les procédés prélogiques propres aux intuitions antérieures. En effet, tant que le sujet n’est pas parvenu à forger les instruments hypothético-déductifs permettant de raisonner à la fois sur deux situations distinctes, il en est réduit à utiliser comme il peut les procédés intuitifs, dont il vient seulement de se défaire sur le plan concret ; bien plus il ne sentira pas les contradictions que ces procédés entraînent car pour les sentir il lui faudrait posséder le mécanisme logique de caractère formel qui lui fait précisément encore défaut dans le cas de deux situations différentes à comparer mentalement.

— Au cours de la seconde moitié de ce même stade, les sujets commencent par réagir de la même manière que les précédents (sauf peut-être que le type I devient un peu plus rare avec l’âge), mais se corrigent ensuite d’eux-mêmes, ou très rapidement à la suite des questions posées, jusqu’à répondre correctement à tout. À noter encore que la question des espaces égaux (question III) paraît un peu plus facile que celle des espaces inégaux (question IV), de telle sorte que plusieurs des sujets qui suivent répondent d’emblée juste à la première :

[p. 253]Ray (8 ; 2). Questions I-II : « Il va plus vite au milieu qu’en haut et plus vite à la fin qu’au milieu. La descente est toujours plus rapide. — Alors (question III) combien de temps d’un drapeau à l’autre ? — 5 secondes, 3 sec., 1 sec. et ½ sec. — Pourquoi toujours moins ? — Parce qu’il va toujours plus vite. »

Question IV (durées égales) : « Construit des intervalles toujours plus petits : « Toujours moins d’espace parce que la luge va toujours plus vite. —  On fait moins de chemin. Quand on va vite ? — Moins… Ah non la même chose. —  Si tu cours ? — Ah oui, une plus grande distance (corrige les intervalles) parce que la luge va plus vite. —  Combien de temps chacune ? — Une minute partout. »

Na (8 ; 8). Mêmes réactions pour les questions I-III.

Question IV (durées égales) : « C’est les mêmes distances. —  Quand on va plus vite ? — Ah, plus long (il refait un dessin mais cette fois avec intervalles chaque fois plus petits). — Quand on va plus vite on fait quel chemin ? — Ah oui, il est chaque fois plus long (corrige juste). »

Léo (9 ; 9). Questions I-II : « Quand on descend, on va toujours plus vite, parce qu’on a pris de l’élan en haut. —  Combien de temps, ces bouts-là (question III) ? — 2 minutes, 4 minutes, 6 minutes. —  Pourquoi ? — Parce qu’il va toujours plus vite. Ah non, je me suis trompé, c’est 2 minutes chaque fois, partout 2 minutes. —  C’est les mêmes vitesses ? — Non, plus vite en bas. Ah oui, alors toujours moins de temps. —  Bien et maintenant (question IV : durées égales de 5 minutes), quels espaces ? — (Il les fait égaux, mais le dernier un peu plus grand.) — Comment sont-ils ? — Je me suis trompé au début : ils doivent être toujours plus grands, parce qu’il va toujours plus vite. »

Wil (9 ; 10). Questions I-II : « Toujours plus vite, parce qu’il a toujours plus d’élan. » Question III : temps décroissants.

Question III (durées égales de 3 secondes) : « Il commence par dessiner des espaces croissants, donc justes. « Pourquoi ? — Je ne sais pas. Il va très vite, alors il dépasse un peu chaque fois quand il dit hop (il redessine tous les espaces égaux !). Non, ils sont tous les mêmes parce qu’il crie hop toutes les trois secondes. —  Quand on marche plus vite, on fait quel chemin ? — Ah oui (il revient à son idée première) ».

Dré (10 ; 3). Question I : « Il part doucement mais va toujours plus vite. —  (Question II : rapports de vitesse des intervalles) : 1 = 2 < 3 < 4. Pourquoi les deux premiers les mêmes ? — Il n’a pas encore beaucoup d’élan. —  Et les temps (question III) ? — 3 secondes ; 2 ½ ; 1 ; ½. —  Et s’il crie hop toutes les 3 secondes (question IV) ? — (Il dessine des espaces toujours plus petits.) — Pourquoi ? — Ils sont toujours moins longs, parce qu’il va toujours plus vite, il met toujours moins de temps, alors les bouts sont toujours plus petits (à noter ce raisonnement étonnant). — Combien de temps chaque fois ? — Trois secondes… ah oui, les bouts sont toujours plus grands. »

Chri (10 ; 4). Questions I-II : « Toujours plus vite. — Et les temps (question III) ? — 4 secondes, 6, 8 et 19 secondes. — Pourquoi ? — Parce [p. 254] qu’il va toujours plus vite. — Alors, s’il va plus vite ? — … — Recommence — Ah oui, 4, 3, 2 et 1 secondes. »

Question IV : espaces toujours plus petits « parce qu’il va plus vite en bas qu’en haut… Ah oui, plus il va vite, plus il va loin (il recommence juste) ».

An (10 ; 4). Questions I-II « Il va plus vite en bas, parce qu’il a pris de la force en haut. » Question III : « Partout une seconde. —  Où va-t-il plus vite ? — En bas, ah oui 1, 1, un peu moins que 1 et encore un peu moins. » Question IV : durées égales : « À peu près tous les mêmes. —  Il va partout aussi vite ? — Ah non, égaux jusqu’au milieu puis plus grand après. »

Monta (11 ; 7). Question III : « 3 minutes partout. —  Partout même vitesse ? — Non, moins vite en haut et plus vite en bas. —  Mêmes temps ? — Non, moins en bas : 3, 3, 2, 1. »

Question IV : « Tous les mêmes parce qu’il fait chaque fois trois minutes. — Mêmes vitesses ? — Ah non, chemins plus longs en bas. »

On voit jusqu’à quel âge moyen de 10-11 ans peuvent durer ces erreurs initiales faute de pensée formelle. La seule différence entre ces sujets et les précédents est en effet qu’ils se corrigent, soit spontanément, soit à cause de la question posée. Mais dans les deux cas la correction provient d’une sorte d’évocation des mouvements simultanés, c’est-à-dire de la situation concrète de comparaison des vitesses : cette situation qu’il faut reproduire en fait lorsque l’on veut amener les sujets du sous-stade III A à se corriger, et est imaginée tôt ou tard par les sujets du sous-stade III B et leur permet ainsi de traduire les trajets successifs en trajets simultanément réels. Il y a donc là un début de pensée formelle, mais ce n’est qu’un début modeste, plus proche encore de la simple imagination représentative que de l’hypothèse proprement dite. Un petit fait est significatif de cette résistance de tous les sujets jusqu’au présent niveau inclusivement, à la pensée hypothético-déductive : on a beau leur dire que la piste figurée par les dessins ou par la planche est censée se continuer au-delà du dernier drapeau et ne représente qu’une section de piste, la plupart des sujets s’obstinent à raisonner sur le réel et non pas sur cette hypothèse et commencent par déclarer que le dernier intervalle sera marqué par une vitesse plus faible « parce qu’on freine vers le bas ». Ce n’est là qu’un petit indice, mais révélateur de cette difficulté générale de la pensée enfantine à dépasser le réel, pour construire de façon purement déductive des solutions sur les seules données du problème, considérées comme des hypothèses à admettre pendant toute la durée du raisonnement. Or, c’est précisément cette pensée hypothético-déductive qui est nécessaire pour relier de façon réversible [p. 255] plusieurs situations distinctes, tandis que les opérations concrètes suffisent à introduire la réversibilité en chacune d’entre elles considérée isolément.

Nous classerons dans ce stade IV les sujets qui, sans hésiter, admettent qu’à chaque nouvel espace égal le temps employé diminue et qu’à chaque nouveau temps égal l’espace parcouru augmente. La solution correcte la plus simple serait celle qui attribue aux espaces successifs les valeurs 1, 2, 3 et 4 pour des durées égales et aux durées successives les valeurs 1 ; ½ ; ⅓ et ¼ pour des espaces égaux. Mais il va de soi que ce n’est pas la découverte d’une loi physique exacte que nous attendons de nos sujets : c’est simplement un mécanisme opératoire apte à exprimer une accélération. De ce point de vue, on peut distinguer deux types de réponses.

Un premier type (âge ordinaire d’apparition : 10 à 11 ans, avec quelques réactions précoces dès 9 ans et même une à 7 ; 9 !) admet une diminution des temps par simple soustraction d’une différence à peu près constante :

Jos (7 ; 9). « Elle va toujours plus vite. » Temps : 5, 4, 3 et 2 minutes. Espaces : addition d’une différence constante.

Al (9 ; 6). Chaque intervalle plus rapide parce que « sur le deuxième elle a déjà un peu d’élan ». Temps : 4, 3, 2 et 1 minutes. Espaces croissant rapidement.

Jac (10 ; 4) mêmes réactions : « Elle met toujours moins de temps en allant vers le bas » et pour les temps égaux « les distances sont toujours plus grandes ».

Jean (11 ; 1) 4, 4, 3 et 2 minutes. Espaces croissant régulièrement.

Nac (12 ans). Temps : 50", 45", 40" et 35". Espaces : différence constante.

Un second type de réactions témoigne du sentiment d’une loi plus complexe :

Ben (10 ; 5). Temps : 30", 28", 25", 20" et 14" donc différences de 2, 3, 5 et 6 secondes pour cinq intervalles « parce qu’il y a toujours plus d’élan ». Espaces : différences croissantes également.

Hen (12 ; 2). Temps : 1 ; ¾ ; ½ ; ¼ de minutes, et espaces : différences croissantes.

Rena (13 ; 2). Temps : « 30", 27", 24", 20" 18" non 16". — Pourquoi 16 ? — Parce que c’est toujours moins. Pour le premier bout, il y a peut-être 20 mètres d’élan : pour le deuxième 40 mètres. Il faut toujours enlever beaucoup de secondes vers la fin parce qu’on a autant de mètres de plus d’élan. »

[p. 256] Espaces : il mesure de manière à avoir une différence s’accroissant régulièrement : env. 10, 15, 23 et 24 mm.

On voit que les sujets du premier type ne s’aperçoivent pas que leur soustraction simple des temps correspond mal à leur addition des différences d’espaces. Les sujets du second type, qui sont logiquement supérieurs, ne résolvent naturellement pas mieux un problème dont la solution a dû attendre Galilée, dans l’histoire des sciences. Mais ils ont le sentiment net d’une relation entre les accroissements des espaces et des temps. Rena, en particulier s’applique d’une manière remarquable à mesurer des différences progressives, ce qui est contraire à l’idée d’accélération uniforme mais fort intéressant comme indice de la capacité de raisonnement hypothético-déductif d’emblée atteinte à ce quatrième stade.

On peut ainsi conclure que la question du mouvement accéléré, sans aboutir à une solution métrique exacte donne cependant lieu à une construction spatio-temporelle progressivement opératoire et entièrement parallèle à celle qui intervient dans la comparaison des deux vitesses uniformes mais inégales.